“三边成比例”

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勾股定理直角三角形三边比例

勾股定理直角三角形三边比例
勾股定理是数学中一个重要的定理，它指出在直角三角形中，三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方，也就是说，直角三角形的三边成比例。

勾股定理可以表示为（a, b, c）是直角三角形的三边，其中一条直角边的平方加上另一条直角边的平方等于斜边的平方，即a2+b2=c2。

勾股定理有非常重要的数学意义和价值，例如，有时我们可以使用勾股定理来求三角形的斜边的长度。

以直角三角形ABC为例，设角A、B、C的对边分别为a、b、c。

我们已经知道A为直角，AB就是一条直角边，AC也是一条直角边，那么，c^2=a^2+b^2，所以我们就可以求得三角形的斜边c的长度了，这就是勾股定理的实际应用。

另外，我们还可以使用勾股定理来判断一个三角形是否是直角三角形，以直角三角形ABC为例，若满足勾股定理，即c^2=a^2+b^2，则ABC是直角三角形，如果不满足勾股定理，则ABC不是直角三角形，而是锐角三角形或钝角三角形。

三角形边长比例关系公式

三角形边长比例关系公式三角形是初中数学中的一项重要内容，掌握其相关概念和公式不仅有助于学生提高自己的数学成绩，而且对于将来的数学学习和实际应用都具有重要的指导意义。

其中，边长比例关系公式是初中三角形中最基本、最常用的公式之一。

边长比例关系公式的定义很简单，即在给定三角形ABC中，有a:b:c表示三边长度的比值，那么该三角形的三个角的正弦、余弦和正切关系式如下：sinA：sinB：sinC=a:b:ccosA：cosB：cosC=b:c:atanA：tanB：tanC=a/c:a/b:b/c其中，sin、cos、tan分别表示三角形的正弦、余弦和正切函数，A、B、C表示三角形的三个角，而a、b、c则分别表示三角形的三边长度。

在实际应用中，我们常用边长比例关系公式来推导三角形中各个角度的大小，或者帮助我们求解各个角度的大小。

例如，已知三角形的边长比例为3：4：5，求三角形的三个角度。

此时，可以应用上述公式，得到：sinA：sinB：sinC=3：4：5由此可得，sinA=3/5，sinB=4/5，sinC=1。

再利用反三角函数，我们就可以求出：A=sin^-1(3/5)≈36.9°B=sin^-1(4/5)≈53.1°C=sin^-1(1)＝90°另外，边长比例关系公式还可用于解决一些实际问题。

例如，在旅行中，我们可以通过测量三角形的三边长度来确定自己当前所在的位置或者目标地点的位置，这就需要运用到三角学和边长比例关系公式。

综上所述，初中三角形中的边长比例关系公式是一项重要的数学知识，不仅直接涉及到三角形角度的大小，而且在实际应用中也具有重要的指导意义。

因此，学生在学习数学的同时，应该认真掌握边长比例关系公式，练习多项例题，以便更好地应用到实际生活中。

三边对应成比例的两个三角形相似

解：（1）相似. 设小方格边长为1，
则AB=2, BC=2 2，AC=2 5, EF=2，ED= 2 , DF= 10 .
∵ DE EF DF
AB BC AC
2 2
∴△DEF∽△ABC.
（2）求图2中x和y的值.
解：（2）∵ AC BC 1.5
EC DC
∠ACB=∠ECD ∴△ACB∽△ECD ∴∠B=∠D=98°， x 1.5
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm，在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
∵ AB AC
A' B' A' C '
又∠A=∠A' ∴ △ABC∽△A'B'C'
练习
1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由：
（1）∠A=40°, AB=8cm, AC=15cm, ∠A'=40°, A'B'=16cm, A'C'=30cm.
相似，因为两边成比例，夹角相等. （2）AB=10cm, BC=8cm, AC=16cm,
• 学习重、难点：
重点：三角形相似的判定1和判定2.
难点：两判定定理的证明.
推进新课
知识点1 相似三角形的判定定理
探究
任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍. 度量这两个三角形的角，他们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论.

人教版数学九年级下册《三边成比例的两个三角形相似》PPT课件

例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
4
A
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA；
在 △DEF 中，DE > EF > FD.
∵ DE 2.4 0.6，EF 2.1 0.6，FD 1.8 0.6，
AB 4
BC 3.5
CA 3
∴
∴ BC 2 = AB 2－AC 2 = ( 2 A′B′ )2－( 2 A′C′ )2 = 4 A′B′ 2－4 A′C′ 2
= 4 ( A′B′ 2－A′C′ 2 ) = 4 B′C′ 2 = ( 2 B′C′ )2.
∴
BC=2B′C′，BB'CC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
巩固练习
如图，△ABC中，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．
证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，
CA的中点，
∴
DE
1 2
AC，DF
1 2
BC，EF
=
1 2
AB，
∴
DE AC
DF BC
=
EF AB
=
1， 2
∴ △ABC∽△EFD.
探究新知
考点 3 利用三角形相似说明角相等
AB BC AC
D
E
又
AB A' B'
BC B' C'
AC A' C'

九年级数学上册 22.2.4 三边成比例的两个三角形相似教

相似三角形的判定难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程BC相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？全等三角形是相似比为 1 的特殊的相似三角形。

平行于三角形一边的直线与三角形的其它两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似。

：在△证明：在AB，AC上分别截取∵AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'∴ΔA DE≌ΔA'B'C'，∴∠ADE=∠B'，又∵∠B'=∠B，∴∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC。

∴ΔA'B'C'∽ΔABC判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

可简述为：两角对应相等，两个三角形相似。

用数学符号表示：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'∴ΔABC ∽ΔA'B'C'B=80分析：画△ABC 与 '''C B A ∆使C'A'AB B 'A'AC ==成任意一个正数k ， △ABC 与 '''C B A ∆相似吗？：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两 ∴△ABC '''C B A ∆相交与点O,OA=1，OB=1.5，OC=3，OD=2.'C'A'AB B'A'A A AC∠=∠=且是否有△ABC ∽△A’B’C’'''AC A B C = A = A'∠∠18.3.318.3.3Rt a/b=bABC课后作业专案__(1) (2) (3)3．如图3，已知），B（0，6），且∠，•则点C•的坐标为4．已知，如图中，DE∥BC，DF∥AC，则图中共有________对相似三角形．5．下列各组图形一定相似的是（）．．有一个角相等的等腰三角形 B°的等腰三角形 D，∠B=90°，则∠1+(4) (5) (6)7．如图6，若∠B，则△_______∽△______，对应边的比例式为_____________8．如图，在△ABC CD，AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．写出图中的相似12．如图，等腰直角三角形13．在ABCD中，MAMD∽△EMB；（2）求14．在△ABC中，M是画出相应的图形加以说明．。

27.2.1 第2课时三边成比例的两个三角形相似

∴△ABC∽△EFD.
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′
AB AC .
A
A'
A'B' A'C '
B
CD
E
B'
C'
归纳
由此得到三角形的判定定理：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
典例精析
例1 在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm,
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
A
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°， ∴∠CAE=20°.
C
D E
3.如图，△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA
的中点，求证：△ABC∽△EFD．证明：∵△ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
证明： ∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1
C F
cm,EF=1.5cm,
A
D
E
B
又∵∠C=∠F=70°， ∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
练一练如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. 证明：
第二十七章相似
27.2.1 相似三角形的判定
第2课时三边成比例的两个三角形相似
学习数学享受数学
合作探究
探究2
猜想
已知： AB BC AC .
A1B1 B1C1 A1C1

相似三角形的判定3三边成比例

对应成比例，那么这两个三角形相
似）．
课堂练习
书70页练习1，2，3
补充：生活中的三角形
如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙1.6 米，梯子上一点D距离墙1.4米，BD长为0.5米，则梯子的长为——————
A
D
E
B
C
丰收园
本节课你学到了什么?
作业
习题23.3
4．依据下列各组条件，判断△ABC和△A′B′C′是不是相似，如果相似，请给出证明过程．（1） ∠A＝70°，∠B＝46°，∠A′＝70°，∠C′＝64°；（2） AB＝10厘米，BC＝12厘米，AC＝15厘米，A′B′＝150 厘米，B′C′＝180厘米，A′C′＝225厘米；（3） ∠B=35°，BC=10，BC上的高AD=7，∠B′=35°， B′C′=5，B′C′上的高A′D′=3．5．
相似三角形的判定3
【开心一刻】
1.三个金叫鑫，三个水叫淼，三个人叫众，那么三个鬼应该叫什么? ------叫救命
2.你的爸爸的妹妹的堂弟的表哥的爸爸与你叔叔的儿子的嫂子是什么关系? ------亲戚关系
3.用什么可以解开所有的谜? ------迷底
4.上无片瓦遮身，下无立锥之地。腰间挂个葫芦，只知阴阳之理。猜一字。 ------卜
如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形
似．（简单的说成：三边对应成比例的两个三
角形相似)
三角形相似的判定定理3：
三边对应成比例的两个三角形相似
C' C
A
B
A'
B'
在△ ABC与△ A′B′C′中,
∵ AA′ BB ′ =AA′ CC ′ =BB′ CC ′ .

第3课时三边成比例的两个三角形相似

·数学
【导学探究】
1. DE =
10 5
, DF =
AB
AC
10 5
, EF =
BC
10
5
.
2.根据三边成比例判定△ABC∽△DEF.
解:△ABC 与△DEF 相似.理由如下: 由小方格是边长为 1 的正方形,根据勾股定理易求得: DE= 2 ,DF=2,EF= 10 ,AB= 5 ,AC= 10 ,BC=5,
·数学第3课时三边成比例的两个三角形相似
三角形相似的判定方法三
1.三边成比例
的两个三角形相似.
2.应用格式:如图,
因为 AB = AC = BC , DE DF EF
所以△ABC∽△DEF.
·学
探究点一:利用三边成比例判定三角形相似【例1】在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点连线为边的图形叫做格点图形.如图,网格中的小方格是边长为1的正方形,试判断格点图形△ABC与 △DEF是否相似,并说明你的理由.
【导学探究】
1.由 AB = BC = AC ,可得△ABC∽ △ADE . AD DE AE
2.由 AB =
AD AE
,∠BAD=
∠CAE ,可得△ABD∽△ACE.
AC
·数学
证明:因为 AB = BC = AC , AD DE AE
所以△ABC∽△ADE. 所以∠BAC=∠DAE, 所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 因为 AB = AC ,即 AB = AD ,
所以 DE = DF = EF = 10 ,所以△ABC∽△DEF. AB AC BC 5
·数学
网格中判定三角形相似的步骤 (1)求边长:求出三角形各边长,并按大小顺序排列. (2)求比值:分别计算它们对应边的比值. (3)判断:通过比值是否相等判断两个三角形是否相似.

三边成比例的两个三角形相似证明例题

三边成比例的两个三角形相似证明例题下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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三边成比例的判定方法-课件

8．如图，在1×5的正方形的网格上面有四边形ABCD，求 ∠BDC的度数．
解：由图知 AB＝ 2，AD＝1，BD＝ 5，BC＝5，DC＝ 10，
∴ABDD＝ 15，ADBC＝
2＝ 10
15，BBDC＝
55＝
15，∴ABDD＝ADBC＝BBDC，
∴△ABD∽△DCB，∴∠BDC＝∠BAD＝135°
9．(易错题)如图，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，点P是 AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若想得到以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为( B )
(1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)
解：(1)由题意得AB＝2，AC＝，BC＝5，∵AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形
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14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。2021年2月27日星期六2021/2/272021/2/272021/2/27
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。。2021年2月2021/2/272021/2/272021/2/272/27/2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
A．3
B．3 或43
C．3 或34
4 D .3
10．如图所示，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；② △BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK.其中②～⑥ 中与①相似的是( B )

直角三角形三边的比例

直角三角形三边的比例直角三角形，这个名字听起来是不是很严肃？它就像我们生活中的小伙伴，时而显得呆萌，时而又让你刮目相看。

你看，直角三角形有三条边，分别叫做“直角边”、“直角边”和“斜边”。

这斜边可是个大角色，听说它是直角三角形里的“超级明星”，总是给人一种稳重的感觉。

咱们要说的就是这三条边之间的比例关系，简单易懂，不信你听我慢慢道来。

直角三角形的边长比例，真是个妙趣横生的话题。

比如，著名的“三八比例”，就是指一条边长为3，另一条边长为4，那么斜边就能用勾股定理求出来，结果正好是5。

看吧，这不就是个“345”的完美搭档吗？就像兄弟俩，一起长大，互相成就。

你要是记住这个比例，将来做几何题的时候，绝对能让你如鱼得水，轻轻松松搞定。

再说说这些比例的应用。

你有没有想过，咱们的生活中其实随处可见直角三角形的身影？比如，咱们的房子、桌子，甚至是建筑物，都是用直角三角形的原理来设计的。

嘿，没想到吧，原来连我们生活的环境都跟直角三角形有关系，真是“无处不在”。

想象一下，没了这小家伙，整个世界会不会变得“摇摇欲坠”？那可真是让人心惊胆战的呀。

再往深处想想，直角三角形的比例还有很多妙用呢。

比如，想要建一座完美的坡道，就离不开这个比例。

坡度合适，才能让小车子顺利上下，不然要是太陡，那就麻烦了，车子可能就“呜呜”往下冲，像是在玩过山车一样，谁敢坐？所以，这些比例的存在，简直是为咱们的安全保驾护航。

这些比例不仅仅是冷冰冰的数学公式。

它们还有故事，有情感，就像一个个小小的传奇。

有人说，直角三角形的完美比例，象征着平衡与和谐。

生活嘛，不就是在追求这种平衡吗？有时候工作、生活、娱乐，得找个平衡点，不然忙得像陀螺一样，真是累得够呛。

说到这里，不妨想象一下，直角三角形就像是人生的一部分。

我们常常需要面对选择，有时候要把两条直角边拉开，才能找到最好的斜边。

那条斜边，就是我们最终的目标。

走得快不如走得稳，稳住心态，才能慢慢接近那个目标。

用三边比例关系判定两三角形相似

解： ∵ ∴ ∴ △ABC∽△A′B′C′.
知1－讲
总结
这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
知1－讲
知1－练
1 已知△ABC的三边AB＝ 5 cm，AC＝10 cm，BC＝ 12 cm， △A′B′C′的三边A′B′＝3 cm， A′C′ ＝ 6 cm， B′C′ ＝ 7.2 cm.判断△ABC与△A′B′C′是否相似.
知3－练
，AD＝2.当AB的长为多
（来自《点拨》）
知3－练
2 在Rt△ABC和Rt△DEF中，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，EF＝6，如果 Rt△ABC和Rt△DEF相似，还需要添加条件，下列条件中不可能的是( )
A．∠A＝∠D＝90° B．∠B＝∠E＝90° C． D．∠A＝∠E＝90°
（来自《典中点》）
1.学习时采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.
2.利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”： (1)排序：将三角形的边按大小顺序排列； (2)计算：分别计算它们对应边的比值； (3)判断：通过比较比值是否相等判断两个三角形是否相似．
用三边比例关系判定两三角形相似
2020/8/17
1 课堂讲解 2 课时流程
三边成比例的两个三角形相似网格上相似三角形的判定直角三角形相似的条件
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢?
知识点

三角形三边比例与其角关系

三角形三边比例与其角关系
三角形的三边比例与其角关系是由三角形的三边长度之间的比
例关系以及三角形内角之间的关系决定的。

在三角形中，三条边的
长度分别为a、b和c，对应的三个内角分别为A、B和C。

首先，我们来看三角形的三边比例与角关系。

根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即 a + b > c，a + c > b，b + c > a。

这就是三角形的三边关系，它们之间存在一定的比例关系。

其次，根据三角形的正弦定理和余弦定理，我们可以得到三角
形的三边比例与角关系。

正弦定理指出，a/sinA = b/sinB =
c/sinC，即三角形的每条边与其对应角的正弦值成比例。

余弦定理
指出，a² = b² + c² 2bccosA，b² = a² + c² 2accosB，c²
= a² + b² 2abcosC，即三角形的每条边的平方与其他两条边的平
方和减去它们的乘积与对应角的余弦值成比例。

此外，三角形的三边比例也与三角形的形状有关。

当三角形的
三边长度比例固定时，三角形的形状也随之确定。

比如，当三边比
例为1:1:1时，即三边相等，这样的三角形为等边三角形；当三边
比例为3:4:5时，这样的三角形为直角三角形等等。

总的来说，三角形的三边比例与其角关系是一个复杂而丰富的数学问题，涉及到三角函数、三角形的性质和形状等多个方面的知识。

通过深入学习和理解这些知识，我们可以更好地理解和应用三角形的性质和定理。

相似直角三角形三边比例关系

相似直角三角形三边比例关系相似直角三角形是指具有相同形状但尺寸不同的直角三角形。

在相似直角三角形中，三条边的比例关系是一个重要的性质。

在本文中，我们将探讨相似直角三角形的三边比例关系，并解释其几何意义。

在直角三角形中，两条边与直角的夹角为90度，而第三条边则是斜边。

我们可以用a、b、c来表示直角三角形的三边，其中a和b 分别为直角的两条边，c为斜边。

在相似直角三角形中，如果两个直角三角形的对应边长之比相等，那么这两个三角形就是相似的。

假设有两个相似直角三角形，它们的边长分别为a₁、b₁、c₁和a₂、b₂、c₂。

根据相似三角形的性质，我们可以得出以下关系：a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂其中a₁/a₂表示a₁与a₂的比值，b₁/b₂表示b₁与b₂的比值，c₁/c₂表示c₁与c₂的比值。

这个比值可以用任意单位来表示，如厘米、米等，因为比值是一个无量纲的数。

可以看出，相似直角三角形的三边比例关系是固定的，在同一个相似直角三角形中，任意两边之比都等于另一对相似直角三角形相应边之比。

这个比例关系可以帮助我们计算未知边长或角度。

例如，已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，我们可以根据三边比例关系计算出斜边的长度。

设斜边的长度为c，则根据三边比例关系有：3/c = 4/3通过交叉相乘得到：3 * 3 =4 * c化简得到：9 = 4c解方程得到：c = 9/4 = 2.25cm因此，斜边的长度为2.25cm。

除了计算边长，三边比例关系还可以帮助我们计算角度。

在相似直角三角形中，两个角度之比等于两个对边之比。

例如，已知一个直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，我们可以通过三边比例关系计算出斜边与直角的夹角。

设直角的两边分别为a和b，斜边为c，直角的两个角分别为A和B。

根据三边比例关系有：a/b = A/B代入已知边长得到：3/4 = A/B通过交叉相乘得到：3B = 4A通过解方程得到：B = (3/4)A因此，斜边与直角的夹角B等于直角的夹角A的三分之四。