“三边成比例”

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27.2.2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定课件初中数学人教版九年级下册

对应关系不明确,勿忘分类讨论本题没有明确两个三角形的对应元素,所以要分情况过论.
由于∠B 是公共角,所以点B 和点B 是对应点,要分两种情
况讨论.
解：设经过t s后，△PBQ与△ABC相似，
那么AP=2t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t) cm.
因为∠PBQ =∠ABC，所以有两种情况：
第二十七章相似
27.2.2 三边成比例、两边成比例且夹角相等判定
学习目标
1. 掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进行相关计算.
新课引入
回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有哪些方法？
B
A' C'
A C
思考
对于△ABC 和 △A′B′C′，如果 AB AC ，∠B = ∠B′，这两个三角 A' B' A' C'
形一定会相似吗？试着画画看.
A
A'
不一定，如下图，显然∠C和∠C'不相等 B
C
B'
C'
结论：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.
A' A

勾股定理直角三角形三边比例

勾股定理是数学中一个重要的定理，它指出在直角三角形中，三角形两条直角边的平方之和等于斜边的平方，也就是说，直角三角形的三边成比例。勾股定理可以表示为（a, b, c）是直角三角形的三边，其中一条直角边的平方加上另一条直角边的平方等于斜边的平方，即a2+b2=c2。

勾股定理有非常重要的数学意义和价值，例如，有时我们可以使用勾股定理来求三角形的斜边的长度。以直角三角形ABC为例，设角A、B、C的对边分别为a、b、c。我们已经知道A为直角，AB就是一条直角边，AC也是一条直角边，那么，c^2=a^2+b^2，所以我们就可以求得三角形的斜边c的长度了，这就是勾股定理的实际应用。

另外，我们还可以使用勾股定理来判断一个三角形是否是直角三角形，以直角三角形ABC为例，若满足勾股定理，即c^2=a^2+b^2，则ABC是直角三角形，如果不满足勾股定理，则ABC不是直角三角形，而是锐角三角形或钝角三角形。

《三边成比例的两个三角形相似》教案

27.2.1 相似三角形的判定

第2课时三边成比例的两个三角形相似

1．理解“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法；(重点)

2．会运用“三边成比例的两个三角形相似”的判定方法解决简单问题．

一、情境导入

我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？

在如图所示的方格上任画一个三角形，再画第二个三角形，使它的三边长都是原来三角形的三边长的相同倍数．画完之后，用量角器比较两个三角形的对应角，你发现了什么结论？大家的结论都一样吗？

二、合作探究

探究点：三边对应成比例的两个三角形相似

【类型一】直接利用定理判定两个三角形相似

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，在Rt△EDF中，∠F＝90°，DF ＝3，EF＝4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？

解析：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两条边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边的长，看对应边是否对应成比例．

解：△ABC∽△EDF.在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，∠C＝90°，由勾股定理得AC ＝AB2－BC2＝102－62＝8.在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∠F＝90°，由勾股定理得

ED＝DF2＋EF2＝32＋42＝5.在△ABC和△EDF中，

DF＝

3＝2，

EF＝

4＝2，

ED＝

5＝2，所以

DF＝

EF＝

ED，所以△ABC∽△EDF.

方法总结：利用三边对应成比例判定两个三角形相似时，应说明三角形的三边对应成比例，而不是两边对应成比例．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题

北师大版九年级数学上册《三边成比例的两个三角形相似》优课件

5．(4 分)下列条件中能使△ABC 与△DEF 相似的是( A ) A．AB＝6，BC＝6，AC＝9；DE＝4，EF＝4，DF＝6 B．AB＝4，BC＝6，AC＝8；DE＝5，EF＝10，DF＝15 C．AB＝1，BC＝ 2，AC＝2；DE＝ 6，EF＝ 3，DF＝
5 D．AB＝1，BC＝ 5，AC＝3；DE＝ 15，EF＝2 3，DF
3．(3 分)△ABC 的三边长分别为 3， 3， 15，△A1B1C1 的两边长分别为 1 和 5，当△A1B1C1 的第三边长为 ____3____时，△ABC 与△A1B1C1 相似． 4．(3 分)如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是___①_____和___③_____(填序号)．
证明：设 AB＝BD＝DE＝EC＝a，则 AD＝ 2a，AE＝ 5a，AC＝ 10a， ∴ADDE＝ACDD＝AACE＝ 22， ∴△AED∽△CAD.
16．(12分)一个用钢筋做的三角架各边长分别是30 cm， 50 cm，70 cm，现在要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长35 cm和70 cm的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另两边，问有几种不同的截法？
8．(8 分)如图，点 D 在△ABC 内，连接 BD，并延长到点 E，连接 AD，AE，若∠EAC＝40°，AADB＝DBCE＝AACE，求 ∠BAD 的度数．

4.4三边成比例的判定方法北师大版九年级数学上册习题PPT课件

5．如图，BADB＝BBCE＝ECDA，△ABD 与△BCE 相似吗？为什么？
解：相似．理由如下：∵BADB＝BBCE＝ECDA，∴△ABC∽△DBE，∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE.∵BADB＝BBCE，∴ABBC＝BBDE， ∴△ABD∽△CBE.
【典例】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
分析：∵不妨令每个小方格的边长为 1.①中的三角形的三边长从小到大依次是 2，2， 10；②中的三角形的三边长从小到大依次是 2， 5，3；③中的三角形的三边长从小到大依次是 2,2 2，2 5；④中的三角形的三边长从小到大依次是 3， 17， 4 2.∵①与③中的三角形的三边的比为 1∶ 2，∴①与③中的三角形相似．
9．如图，点 B、D、E 在同一条直线上，BE 与 AC 相交于点 F，AADB＝DBCE＝AACE. (1)求证：∠BAD＝∠CAE； (2)若∠BAD＝21°，求∠EBC 的度数； (3)若连接 EC，求证：△ABD∽△ACE.
(1)证明：∵AADB＝DBCE＝AACE， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC－∠DAF＝∠DAE－∠DAF，即∠BAD＝∠CAE. (2)解：∵△ABC∽△ADE，∴∠ABC＝∠ADE.∵∠ABC＝∠ABE＋∠EBC，∠ ADE＝∠ABE＋∠BAD，∴∠EBC＝∠BAD＝21°. (3)证明：由(1)，得∠BAD＝∠CAE.又∵AADB＝AACE，∴△ABD∽△ACE.

三边对应成比例的两个三角形相似

第2课时相似三角形的判定（2）
R·九年级下册
新课导入三边对应相等的两个三角形全等，这是判定三角形全等的SSS方法.
类似地，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？
• 学习目标：
1.知道三边成比例的两个三角形相似，知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 2.能够运用这两个判定定理解决简单的证明和计算问题.
综合应用
3.如图，已知△ABD∽△ACE．求证：△ABC∽△ADE.
证明：∵ △ABD∽△ACE
∴∠BAD=∠CAE,
AB AD
AC AE
∴∠BAD+∠DAC= ∠CAE+ ∠DAC
即∠BAC=∠DAE. 又∵ AB AC
AD AE
∴△ABC∽△ADE.
课堂小结
相似三角形的两条判定定理
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
在△ABC中,∠B=30°，AB=5cm，AC=4cm，在△A′B′C′中，∠B′=30°，A′B′=10cm，A′C′=8 cm，这两个三角形一定相似吗？若相似，说说是用哪个判定方法;若不相似，请说明理由.
解：不一定. 虽然 AB AC 1
A' B' A' C ' 2
A'E=AC △ABC∽△A'DE

人教版九年级数学下册教案第27章相似第2课时三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

第2课时三边成比例或两边成比例且夹角相等的两个三

角形相似

教师备课素材示例

这节课我们来探索三角形相似的条件．

【教学与建议】教学：通过对三角形全等的判定方法的回顾，让学生类比全等三角形的判定方法尝试去判定三角形相似．建议：复习三角形全等的判定方法时，让学生自主归纳，强调三个条件，有利于相似三角形判定条件的确定．

●悬念激趣

如图，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量某工具的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，如果测得CD＝8，那么AB＝2×8＝16.你知道这是为什么吗？

【教学与建议】教学：用生活中的实例吸引学生的注意力，激发学生对新知识的渴求．建议：让学生写出证明过程再小组讨论，增强学生对数学知识的感性认识．

判断三边是否成比例，先将三边按大小顺序排列，再分别计算出比值，最后由比值是否相等确定两个三角形是否相似．

【例1】已知△ABC三边长是2，6，2，与△ABC相似的三角形三边长可能是(A)

A ．1，2，3

B ．1，3，

22C ．1，3，62D ．1，3，33

【例2】三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形最长边是21cm ，则最短边为__9__cm.

判定网格图中的两个三角形相似，一般要把网格中小正方形的边长看作1，再利用勾股定理计算出三角形的边长，最后利用三边成比例进行判定．

【例3】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是(B)

【例4】在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的图形叫做格点图形．如图，方格纸中的小方格是边长为1的正方形，试判断格点图形△ABC 与△DEF 是否相似，并说明你的理由．

三边成比例的判定方法PPT精品课件

A′C′＝6，则当BC∶B′C′＝__________时，
1∶2
△A′B′C′∽________△__A_C．B
12．一个铝质的三角形框架的三边长分别为24 cm，30 cm，36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段 (允许有余材)，则截法有____1____种．
(1)试证明△ABC为直角三角形； (2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由； (3)画一个三角形，它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似．(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明)
解：(1)由题意得AB＝2，AC＝，BC＝5，∵AB2＋AC2＝BC2， ∴△ABC为直角三角形
足球与人种
地地理理与与日生常产生建活设生产建设包括农业生产和工业生产,那么它们也我们有什么联系呢?
农业生产:比较南方和北方的农产品
工业生产:罐头厂、家具厂、服装厂等的选址
解开地理之“谜”
地理
自然地理：地貌、地质、天文、水文、气候、土壤等
人文地理：人口、人种、宗教、城市、经济等
请同学们看书Ｐ２第二段的问题哪些属于自然地理哪些属于人文地理？
1．甲三角形的三边分别是 1， 2， 5，乙三角形的三边分别
是 5， 5， 10，则甲，乙两个三角形是( A )

人教版九年级数学下册27 第2课时三边成比例的两个三角形相似课件

(2) AB=4， BC =8， AC＝10， DE＝20，EF＝16， DF＝8. 是
例2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
2.4 D
E
1.8
A
4
B
2.1 F
C
3
3.5
A
4
B
2.4 D
E
1.8
2.1 F
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA，在 △ DEF中，
DE > EF > FD.
解：相似.理由如下：
∵
AB 4 1 , BC = 6 1 , AC = 8 1 , AB 12 3 BC 18 3 AC 24 3
∴ AB BC = AC , AB BC AC
∴△ABC∽△A′B′C′.
已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(1) AB =3， BC =4， AC＝6， DE＝6， EF＝8， DF＝9；否
解：不相似.理由如下：
∵
AB AB
5 15
1, 3
BC BC
=
7 21
1, 3
AC AC
=
8 23
，
∴△ABC与△A′B′C′的三边不成比例， ∴不相似.
2. 如图，在大小为4×4的正方形网格中，有两个三角形，它们是否相似？请说明理由.

4.4 探索三角形相似的条件第3课时三边成比例的判定方法

北师版
第四章图形的相似
4.4 探索三角形相似的条件
第3课时三边成比例的判定方法
知识点：三边成比例的两个三角形相似
1．甲三角形的三边分别为1， 2 ， 5 ，乙三角形的三边分别为5，
5， 10，则甲、乙两个三角形( A ) A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断是否相似
2．(教材P95习题2变式)如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形 (阴影部分)与△ABC相似的是( A )
RDQ
(2)∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，AC
∥DE，∴PB＝PR，
PC RE
＝
1 2
，又∵PC∥DR，∴△PCQ∽△RDQ，又∵点R是
DE中点，∴DR＝RE，∴QPQR＝DPCR＝RPCE＝12，∴QR＝2PQ.又∵BP＝PR＝PQ＋
QR＝3PQ，∴BP∶PQ∶QR＝3∶1∶2
11．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.
证明：∵AB∥DE，∴△ODE∽△OAB，∴ADBE＝OOBE.∵BC∥EF，∴△OEF ∽△OBC.∴BECF ＝OOBE＝OOCF .∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC.∴ADCF ＝OOCF .∴ADBE ＝ BECF＝ADCF.∴△DEF∽△ABC
14．一个钢筋三角架边上分别是20 cm、50 cm、60 cm，现在要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边，共有几种不同的截法？

九年级下册数学三边成比例的两个三角形相似强化训练

三边成比例的两个三角形相似强化训练

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,在Rt△EDF中,∠F=90°,DF=3,EF=4,则△ABC和△EDF相似吗?为什么?

解:△ABC∽△EDF.

在Rt△ABC中,AB=10,BC=6,∠C=90°.

由勾股定理AC===8,

在Rt△DEF中,DF=3,EF=4,∠F=90°.

由勾股定理ED===5,

在△ABC和△EDF中,

==2,==2,==2,

所以==,所以△ABC∽△EDF.

2.如图,已知==,找出图中相等的角,并说明你的理由.

解:在△ABC和△ADE中,

因为==,所以△ABC∽△ADE,

所以∠BAC=∠DAE,∠B=∠D,∠C=∠E.

相似三角形判定——三边对应成比例

A'B'C' 全
等。
相似三角形判定定理：
石家庄创新国际学校九年级数学导学案
备课人：李盼
定理的应用：
1、已知：如图，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠B=∠D=90°，
AB AC . DE DF
求证：Rt△ABC∽Rt△DEF
D A
B
C
E
F
①可以利用三边成比例，但是已知条件缺少一条边成比例，而已学过的勾股定理能够将三边建立联系 ②根据我们刚刚学过的办法是否可以证出？ ③通过本题你能联想到相似三角形与全等三角形之间的联系吗？说一说。
活动对子组两个人合作画出两个三角形要求：使其中一个三角形的三边长是另一个三角形三边长的 2 倍。问题发现：对子组将两个三角形进行比对，观察两个三角形是否相似？
三边关系：
学法指导提示：纸张最好是透明的，画出的三角形痕迹深一些；你可以利用相
学三对角的关系：
内两个三角形是否相似：猜想：三条边对应成比例的两个三角形
检测题
备课人：李盼
已知△ABC 的三边长分别为 6cm，7.5cm，9cm，△DEF 的一边长为 4cm，当△DEF 的另两边长
是下列哪一组时，△ABC 能与△DEF 相似（）
A. 2cm，3cm
B. 4cm，5cm

新人教版九年级数学第二课时三边成比例或两边成比例且尖角相等的两个三角形相似教学课件

在△ABC 和△A'B'C' 中， AB = BC = CA A'B' B'C ' C ' A'
求证： △ABC∽△A'B'C'
合作探究
证明：在线段A'B'（或它的延长线）上截取A'D＝AB，过点D 作
DE∥B'C'，交A'C'于点E，根据前面的结论可得△A'DE∽△A'B'C'.
A
A'
B
C
D
E
B'
27 相似
27.2.1 相似三角形的判定第2课时三边成比例或两边成比例且尖角相等的两个三角形相似
学习目标
1.经历探究两个三角形相似的过程，获得探究数学结论的体验，
教学分析进一步发展探究、分析、归纳与归纳能力.
2.掌握两个三角形相似的判定条件：相似三角形的定义和相似三角形的预备定理（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
C'
合作探究
∴
A'D A'B'
DE B' C'
A'E A' C'
AB A'B'
BC B'C'

27.2.1相似三角形判定之三边成比例

D
E
Baidu Nhomakorabea
A
∴△ADE∽△ABC
B
CB
C
4.思猜考想：：是三三否角条的形对类全应似等边的的的方判比法定相判方等定法的两，两个S个S三S、三角S角形AS形相、是似A否S呢A相、？似A而A？S相，似
三角形的边的关系是比相等。
二举一反三
已知：如图，已知在△ABC和△A' B'C '
中，AB
A' B '
BC B'C '
B'
C'
（三边成比例的两个三角形相似）
三趁热打铁
（三条对应边的比相等的两个三角形相似）
四画龙点睛
（一）相似三角形的判定方法：
1.定义：三条对应边的比相等，且三个角对应相等的两个三角形相似.
2. 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3. 判定定理1：三条对应边的比相等的两个三角形相似.
注意：
（二）判定定理1的使用方法：
1. 把每个三角形的三边按大小顺序依次排列，计算对应边的比； 2. 比较它们对应的比值是否相等； 3. 判断是否相似。
五融会贯通
1.根据条件，判断△ABC和△ A'B'C ' 是否相似，并说明理由：

三边成比例的三角形相似

三角形相似判定定理4

一、复习提问

1.相似三角形的判定方法有哪些？分别是什么？

2.通过几何语言来描述三角形相似的判定

二、新知探究

在△ABC 和△A ′B ′C ′中，

A B A C B C AB AC BC ''''''==.那么这两个三角形相似吗？

相似三角形的判定3:

文字语言：如果一个三角形的与另一个三角形的对应成比例，那么这两

个三角形相似。

符号语言：三、新知应用

例1.已知△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，求证：△DEF ∽△BAC

B / B

C C / A / A

练习：如图，在正方形网格中有△ABC 和△DEF ，这两个三角形相似吗？如果相似，请给出证明。

四、巩固提高

1.如果两个三角形的边长分别为6，5,8和3,

2.5,4，那么这两个三角形，理由是。

2. △ABC 的三边分别为4,2,5，△DEF 的两个边分别为6,3，当△DEF 得第三条边长为时，△ABC ∽△DEF 。

3. A

B C

D E F

三边成比例的两个三角形相似证明例题

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