椭圆与双曲线的标准方程共21页

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2022年高考复习椭圆、双曲线、抛物线的方程与性质

2
取值范围是 [0,12] .
因为椭圆的上顶点到焦点的距离为 2,所以 a=2.
x2 y 2
1
2
2
因为离心率 e= ,所以 c=1,b= a c = 3 ,则椭圆方程为 + =1,
2
4
3
所以 A 点的坐标为(-2,0),F 点的坐标为(-1,0).
设 P(x,y),则 AP ·FP =(x+2,y)·(x+1,y)=x2+3x+2+y2.
因此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB′|)=4+(|PA|-|PB′|).
因为|PA|-|PB′|≤|AB′|,所以|PA|+|PB|≤4+|AB′|=4+1=5.
当且仅当点 P 在 AB′延长线上时,等号成立.
综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为 5.
常考题型
考
点
三
例3 (1)(绍兴模拟)如图所示, 点F是抛物线y2=8x的焦点, 点A,B分别在
在 Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=
FF PF =
2
2
4 5
2
42 =8.
由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,所以 a=6,a2=36,于是 b2=a2-c2=36-(2 5 )2=16,

双曲线及其标准方程

y
M
M F2
y
图象
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F1
o
F2
x
F1
x
方程
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
2
2
焦点
a.b.c 的关系
c a b
2
双曲线与椭圆之间的区别与联系：椭定义圆双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
问题3：如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那么点的轨迹会发生怎样的变化？
动画
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①如图(A)，
|MF1|-|MF2|=常数
②如图(B)，
首页上页下页小结结束
|MF2|-|MF1|=常数由①②可得： | |MF1|-|MF2| | =常数（差的绝对值）
F1
o
F2
x
F1
F(0, ± c)
① 方程用“－”号连接。 ② 分母是 a ③
2
, b2 , a 0, b 0 但 a , b
大小不定。
2 c 2 a 2 b。
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
练习1.判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 a, b, c 及焦点坐标。

椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

一、知识要点: 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质

第一种定义:平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于｜F1F2｜)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. 第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数,这个动点的轨迹叫椭圆,定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线.

2.椭圆的标准方程:

(1)

,焦点:F1(-c,0),F2(c,0),其中

2 2b a-.

(2)

,焦点:F1(0,-c),F2(0,c),其中

2 2b a-.

3.椭圆的参数方程:⎩

⎨⎧==θθsin cos b y a x ,(参数θ是椭圆上任意一点的离心率). 4.椭圆的几何性质:以标准方程)0(12222>>=+b a b

y a x 为例: ①范围:|x|≤a,|y|≤b;

②对称性:对称轴x=0,y=0,对称中心为O(0,0);

③顶点A(a,0),A ′(-a,0),B(0,b),B ′(0,-b);长轴|AA ′|=2a,短轴|BB ′|=2b;

④离心率:e=a

c ,0<e<1;

⑤准线x=±c

a 2

;⑥焦半径:|PF 1|=a+ex,|PF 2|=a-ex,其中P(x,y)是椭圆上任

意一点. 二、基本训练 1．设一动点

P 到直线3x =的距离与它到点A （1，0）的距离之比为

3，

则动点P 的轨迹方程是（）

2.2.1 椭圆及其标准方程 (共29张PPT)

Y
M (x,y)
X
O
F2
(c,0)
两边平方得: (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
即： a2 cx a (xc)2 y2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
2019/11/1
y2 b2
1(a b 0)
这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的
焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这
2里019c/121/=1 a2-b2．
13
4．椭圆标准方程分析
我们把方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
叫做椭圆的标准方程，它表示
y M (x,y)
2019/11/1
焦点在y轴的椭圆 y 2项分母较大.
25
作业:课本P 第题
2019/11/1
制作:吉林市吉化一中韦宇哲
26
从今天开始,我们就来认识圆锥曲线的方程及用方程来研究它们的几何性质.
2019/11/1
2
1.问题情境
想一想
在我们实际生活中，同学们见过椭圆吗？能举出一些实例吗？
2019/11/1
制作:吉林市吉化一中韦宇哲
3

高中数学双曲线公式总结大全

圆锥曲线公式：椭圆

1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²

2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²

参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)

圆锥曲线公式：双曲线

1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².

2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².

参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)

圆锥曲线公式：抛物线

参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0

直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)

离心率

椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式知识点总结

圆锥曲线椭圆双曲线抛物线

标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)

范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)

y∈[-b,b] y∈R y∈R

对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)

椭圆和双曲线的公式

椭圆和双曲线是数学中两种不同的曲线类型，它们的公式可以用来描述它们的形状和特点。

椭圆的公式为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b是椭圆长轴和短轴的长度。椭圆是一个类似于圆形但更加扁平的曲线，它的所有点到两个固定点（焦点）的距离和为定值，这个定值就是椭圆的两个轴的长度之和。椭圆在几何学和物理学中都有着广泛的应用，例如描述行星轨道、电子轨道等。

双曲线的公式为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a和b是双曲线的两个参数。双曲线是一个类似于椭圆但更加瘦长的曲线，它的形状类似于两个开口的漏斗。双曲线是极坐标系中的渐进线之一，也是物理学和工程学中常见的曲线，例如描述声波、电磁波等。

除了它们的公式之外，椭圆和双曲线还有很多有趣的性质和应用。例如，它们都有着不对称的特点，即它们的左右两侧和上下两侧的形状是不同的。这一特点在图像处理、信号处理和模式识别等领域中都有重要的应用。

另外，椭圆和双曲线还有很多有用的参数和变换。例如，对于一个椭圆，我们可以通过改变它的长短轴的长度和方向、旋转角度、平移等方式来生成不同形状的椭圆。

总之，椭圆和双曲线是数学中非常重要的曲线类型，有着广泛的应用。它们的公式和形状特点可以帮助我们更好地理解它们的性质并进行相关的研究和应用。

椭圆和双曲线标准方程推导

椭圆方程的推导

22221y x a +=≠≠因此椭圆公式： (0 and )b 0a b

详细推导过程如下

2a =（移项）

2a ⇒

222

22()()44y y a x c x c ⇒+=+--+（展开）

2222

2222x+c 2x+c 44y y a x c x c ⇒+=-+-+

（移项）

22222222x 2x+c c 44y y a x x c c ⇒-++-=--+

24x 44a c ⇒=-4）

x a c ⇒=-

2x a c ⇒-=

椭圆上的点满足PF 1

+PF 2

为定值，设为2a ，则2a >2c

则：

=2a

4222222()2x+c x a a c a x c y ⎡⎤⇒-=-+⎢⎥⎣⎦

（展开） 4222222222c x+c x a a c a x cx y ⎡⎤⇒-=-+⎢⎥⎣⎦+（展开） 4222222222222c x+c x a a c a x a cx a a y ⇒-=-++（移项） 2222222222422c x++c x a c a cx a x a y a a ⇒---=- （合并同类项） 222222224c c x a x a y a a ⇒--=- （按x,y 顺序提公因式） 22222222222)(c a (c a x a y a a c ⇒--=- -=,b 让左边变形)（令） 222222221)(a (a c x a y a c ⇒---=--- 两边乘以)（） 22222222222)(a (a c c x a y a c ⇒-+=- -=代入)（将）a b 22222222x a y a a ⇒+= 两边除以b （）

数学学科专业知识：椭圆与双曲线

04 椭圆与双曲线在几何图形中应用举例
04 椭圆与双曲线在几何图形中应用举例
在平面几何问题中求解策略分享
1 2
利用椭圆和双曲线的定义
根据椭圆和双曲线的定义，可以建立方程求解相关问题，如求离心率、焦点距离等。
利用椭圆和双曲线的标准方程
通过标准方程，可以研究椭圆和双曲线的性质，如顶点、焦点、准线等，进而求解相关问题。
椭圆对称性与中心对称性
对称性
椭圆关于两条对称轴对称，也关于中心对称。
中心对称性
对于椭圆上的任意一点P，总能在椭圆上找到另一点P'，使得P和P' 关于中心O对称。
椭圆对称性与中心对称性
对称性
椭圆关于两条对称轴对称，也关于中心对称。
中心对称性
对于椭圆上的任意一点P，总能在椭圆上找到另一点P'，使得P和P' 关于中心O对称。
双曲线定义及标准方程
定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长度之差等于常数（且小于两定点间距离）的所有点”组成的集合。
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$，其中 $a, b > 0$。
01 椭圆基本概念与性质

椭圆和双曲线标准方程表格

双曲线与椭圆之间的区别与联系:

F1(-c,0)F2

2 1

方程

范围x > a或x < - a, y e R 弋-芟=1(a>0b >0)

y > a或y < - a, x e R

对称性关于x轴、y轴、原点对

称关于x轴、y轴、原点对称

顶点A

1(-a, 0), A2(a, 0) A1(0, -a), A2(0, a)

离心率e =一(e > 1)

e =— (e >

1) a

渐进线y= ±

a x

定义1

平面内与两个定点F1、£的距离的和等于常数(大

于|F 1 F2)的点的轨迹。

定义2

平面内与

焦点：F(0,-c)、F2(0,c)

准线：y= ±竺

一个定点的距

离和它到一条

定直线的距离

的比是常数

e = —(0 v e < 1)

的点的轨迹。

数学中的椭圆与双曲线方程

数学中的椭圆与双曲线方程椭圆与双曲线方程在数学中具有重要的地位和应用。它们在几何图形的研究、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。本文将介绍椭圆与双曲线方程的概念、性质以及解法。

一、椭圆方程

椭圆是平面上一组点，到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。这两个给定点称为焦点，而常数称为椭圆的离心率。

椭圆的方程可以用坐标系表示为：

(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1

其中，(h, k)为椭圆的中心点坐标；a和b分别表示椭圆在x轴和y 轴上的半长轴。根据椭圆的离心率可将方程进行相应的变换。

二、双曲线方程

双曲线也是平面上一组点的集合，其定义与椭圆类似。双曲线的方程可以表示为：

(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1或(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = -1

其中，(h, k)为双曲线的中心点坐标；a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半长轴，且a² > b²。

三、椭圆与双曲线方程的解析法

1. 根据方程的形式来判断：椭圆方程左侧和右侧系数都为正数；双

曲线方程左侧系数为正数，右侧系数为负数。

2. 将方程转化为标准形式，即将中心移到坐标原点，确保(x - h)²和(y - k)²的系数为1。

3. 使用平移、旋转等变换将方程变为标准形式。

4. 掌握常见的椭圆与双曲线的形状和特点，根据方程参数的取值可

以判断椭圆或双曲线的长短轴、中心、焦点等属性。

四、椭圆与双曲线方程的应用

椭圆和双曲线在几何学中具有重要的应用，例如描述行星的轨道、

椭圆拟合等。此外，在物理学和工程学中，椭圆和双曲线也有广泛的