模拟退火算法 第一节[优质ppt]
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《模拟退火算法》PPT课件
2、SA算法的起源
SA算法起源于对固体退火过程的模拟。简单而言，在固体退火 时，先将固体加热使其温度充分高，再让其徐徐冷却，其物理退火过 程由以下三部分组成：加温过程、等温过程、冷却过程。
SA算法就是模仿上述物理系统徐徐退火过程的一种通用随机搜索技
术。
模拟退火算法与物理退火过程的相似关系
3、SA算法的基本思想
在搜索最优解的过程中，SA算法除了可以接受优化解外，还 基于随机接受准则（Metropolis准则）有限度地接受恶化解，并且 接受恶化解的概率慢慢趋向于0。（这使得算法有可能从局部最优 中跳出，尽可能找到全局最优解，并保证了算法的收敛）
SA的思想最早是由Metropolis等在1953年提出的， Metropolis 等提出了重要性采样法，即以概率接受新状态。
5、SA算法应用范围与一般要求
冷却进度表是指从某一高温状态T0向低温状态冷却时的降温管理表 。
假设时刻t的温度用T(tT)来(t)表示，T则0 经典模拟退火算法的降温方式为
：
lg(1t)
T (t) T0 而快速模拟退火算法的降温方1式为t ：
这两种方式都能够使得模拟退火算法收敛于全局最小点。
5、SA算法应用范围与一般要求
4、SA算法的基本步骤
1) 随机产生一个初始解x0，令xbest＝ x0并计算目标函数值E(x0); 2) 设置初始温度T(0)=To，迭代次数i = 1; 3) Do while T(i) > Tmin
1) for j = 1~k 2) 对当前最优解xbest按照某一邻域函数，产生一新的解xnew。计算
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1、引子 2、SA算法的起源 3、SA算法的基本思想 4、SA算法的步骤 5、SA算法应用范围与一般要求 6、SA算法的优缺点
《模拟退火算》课件
模拟退火算法的优缺点分析
1 优点
能够全局搜索，不容易陷入局部最优解。
2 缺点
运行时间较长，需要合理选择参数和策略。
模拟退火算法的改进
1 多种调节参数方法
通过改变各个参数的值来优化算法的性能。
2 算法复杂度分析
对模拟退火算法的复杂度进行分析，提出改进措施。
结语
算法总结
通过学习模拟退火算法，我们可以更好地应对各种优化问题。
《模拟退火算法》PPT课 件
欢迎大家参加今天的课程！本课程将介绍模拟退火算法的概念、原理、应用 以及优缺点分析。让我们一起探索这个优秀的优化算法吧！
概述
模拟退火算法（SA）是一种优化算法，其灵感来源于固体退火原理。通过模 拟固体物质的退火过程，以一定的概率接受差解，从而在搜索空间中寻找到 全局最优解。
模拟退火算法的实现步骤
1
初始化
设置初始状态和温度。
2
生成新解
通过随机移动改变当前解。
3
判断新解是否接受
根据能量差和概率判断是否接受新解。
4
更新状态
根据降温策略和接受准则更新状态，循环迭代直到满足停止条件。
模拟退火算法的优化
1 降温策略
选择合适的降温方式，平 衡全局搜索和局部搜索的 能力。
2 解的表示方法
3 种子的选择
选择适当的解的表示方法， 提高搜索效率。
合理选择初始化的种子解， 减少搜索空间。
模拟退火算法的应用
旅行商问题
通过模拟退火算法解决旅行 商问题，寻找最短路径。
图像匹配问题
利用模拟退火算法进行图像 匹配，实现图像识别和辨识。
近似最优化问题
应用于一些实际生活中的近 似最优化问题，如资源分配 等。
模拟退火算法讲解课件
结果分析与优化方案制定
结果分析
优化方案制定
06
模拟退火算法的改进与优化建议
冷却策略优化
冷却速度缓慢
模拟退火算法的冷却过程应该缓慢进行，以增加算法找到全局最 优解的概率。
温度下降策略
在冷却过程中，温度下降应该有一个合适的策略，以保证算法的 性能和稳定性。
温度初始值设定
温度初始值的设定对算法的性能有很大的影响，应该根据问题的 性质和复杂度来设定合理的初始值。
降低温度 终止条件 优缺点
02
模拟退火算法原理详解
冷却过程与温度控制
初始温度 温度下降 低温终止
状态接受准则
Metropolis准则
概率接受策略
马氏链蒙特卡洛方法
马氏链
蒙特卡洛方法
03
模拟退火算法的实现步骤
初始化温度和初始解
初始化温度
初始解
迭代过程
评估当前解的质量
计算当前解的质量，通常是通过比较当前解和最优解的适 应度函数值来实现的。
终止条件
达到最大迭代次数
1
达到最小温度
2
达到最大运行时间
3
04
模拟退火算法的应用场景与优势
应用场景
组合优化问题
人工智能领域
工程领域
算法优势
概率性搜索 降温策略 通用性强
与其他优化算法的比较
与暴力搜索算法相比
01
与遗传算法相比
02
与蚁群算法相比
03
05
模拟退火算法的实例演示
问题定义与数据准备
要点一
问题定义
模拟退火算法是一种基于概率的随机搜索算法，使 得搜索过程能够在全局范围内进行，避免陷入局部最优解。
《模拟退火算法》课件
03
可能陷入局部最优 解
在某些情况下，模拟退火算法可 能无法跳出局部最优解，导致无 法找到全局最优解。
未来研究的方向和挑战
要点一
算法改进
针对模拟退火算法的缺陷，研究改进算法以提高其性能和 适用性。
要点二
并行化与分布式实现
研究如何利用并行计算和分布式技术加速模拟退火算法的 执行。
未来研究的方向和挑战
总结词
优化分类和聚类
详细描述
模拟退火算法在机器学习中用于优化分类和聚类算法的性能，通过优化参数和搜索空间 ，提高分类和聚类的准确性和稳定性。
06
总结与展望
Chapter
模拟退火算法的优势与局限性
全局优化
模拟退火算法在搜索过程中能够跳出局部最 优解，寻找全局最优解。
适用范围广
模拟退火算法适用于解决连续和离散优化问 题，尤其在处理大规模、复杂问题时表现出 色。
模拟退火算法的优势与局限性
• 灵活性高：算法参数可根据具体 问题进行调整，以适应不同场景 的需求。
模拟退火算法的优势与局限性
01
计算量大
模拟退火算法需要大量的计算资 源，尤其在问题规模较大时更为 明显。
02
参数设置困难
算法参数如初始温度、降温速率 等对算法性能影响较大，但合理 设置这些参数较为困难。
算法的参数敏感性分析
初始温度
模拟退火算法的初始温度对算法的性能有很大影响。初始温度过高可能导致算法陷入局部最优解，而初始温度过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置初始温度。
冷却率
冷却率决定了算法在退火过程中的温度下降速度。冷却率过高可能导致算法在最优解附近“振荡”，而冷却率过低则 可能导致算法收敛速度过慢。因此，需要根据问题特性和需求合理设置冷却率。
模拟退火算法ppt课件
新的目标函数值E(xnew) ，并计算目标函数值的增量ΔE = E(xnew) - E(xbest) 。
.
10
3) 如果ΔE ＜0，则xbest = xnew； 4) 如果ΔE ＞0，则p = exp(- ΔE /T(i));
1) 如果c = random[0,1] < p， xbest = xnew; 否则xbest = xbest。 5) End for 4) i = i ＋ 1； 5) End Do 6) 输出当前最优点，计算结束。
.
7
SA算法的思想为： ➢ 由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复
产生新解 →计算目标函数差 →接受或舍弃
的迭代， ➢ 并逐步衰减t值， ➢ 算法终止时的当前解即为所得近似最优解， ➢ 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。
.
8
SA算法与其它搜索方法相比，具有如下的特点： ➢ 以一定的概率接受恶化解； ➢ 引进算法控制参数； ➢使用对象函数值进行搜索； ➢ 隐含并行性； ➢搜索复杂区域。
.
4
2、SA算法的起源
SA算法起源于对固体退火过程的模拟。简单而言，在固体退火时， 先将固体加热使其温度充分高，再让其徐徐冷却，其物理退火过程由 以下三部分组成：加温过程、等温过程、冷却过程。
.
5
SA算法就是模仿上述物理系统徐徐退火过程的一种通用随机搜索技术。 模拟退火算法与物理退火过程的相似关系
.
13
5、SA算法应用范围与一般要求
冷却进度表是指从某一高温状态T0向低温状态冷却时的降温管理表。
假设时刻t的温度用T(t)来表示，则经典模拟退火算法的降温方式为： T(t) T0 lg(1t)
而快速模拟退火算法的降温方式为： T (t) T0 1 t
.
10
3) 如果ΔE ＜0，则xbest = xnew； 4) 如果ΔE ＞0，则p = exp(- ΔE /T(i));
1) 如果c = random[0,1] < p， xbest = xnew; 否则xbest = xbest。 5) End for 4) i = i ＋ 1； 5) End Do 6) 输出当前最优点，计算结束。
.
7
SA算法的思想为： ➢ 由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复
产生新解 →计算目标函数差 →接受或舍弃
的迭代， ➢ 并逐步衰减t值， ➢ 算法终止时的当前解即为所得近似最优解， ➢ 这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。
.
8
SA算法与其它搜索方法相比，具有如下的特点： ➢ 以一定的概率接受恶化解； ➢ 引进算法控制参数； ➢使用对象函数值进行搜索； ➢ 隐含并行性； ➢搜索复杂区域。
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4
2、SA算法的起源
SA算法起源于对固体退火过程的模拟。简单而言，在固体退火时， 先将固体加热使其温度充分高，再让其徐徐冷却，其物理退火过程由 以下三部分组成：加温过程、等温过程、冷却过程。
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5
SA算法就是模仿上述物理系统徐徐退火过程的一种通用随机搜索技术。 模拟退火算法与物理退火过程的相似关系
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5、SA算法应用范围与一般要求
冷却进度表是指从某一高温状态T0向低温状态冷却时的降温管理表。
假设时刻t的温度用T(t)来表示，则经典模拟退火算法的降温方式为： T(t) T0 lg(1t)
而快速模拟退火算法的降温方式为： T (t) T0 1 t
模拟退火算法PPT课件
2023/10/9
14
算法的关键参数和操作的设定
➢状态接受函数：
➢ 原则：函数一般以概率的方式给出，不同接受函数的差别主要在 于接
➢(1)在固定温度下，接受使目标函数下降的候选解的概率要大 于使目标函数上升的候选解概率；
➢(2)随温度的下降，接受使目标函数上升的解的概率要逐渐减 小；
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11
模拟退火算法的流程图
初使化设定
随机产生一个初始解
扰动产生一个新解 No
是否接受? Yes
修改目前解 Yes
降温
缩减温度
No
No 是否达到中止条件?
Yes
2023/10/9
最佳解
12
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13
算法的关键参数和操作的设定
➢状态产生函数： ➢原则：设计状态产生函数（邻域函数）的出发点应该是 尽可能保证产生的候选解遍布全部的解空间。通常，状 态产生函数由两部分组成，即产生候选解的方式和候选 解产生的概率分布 ➢方法：在当前状态的邻域结构内以一定概率方式（均匀 分布、正态分布、指数分布等）产生
退火的作用
(1) 降低硬度，改善切削加工性.
(2)消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；
(3)细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。
(4)均匀材料组织和成分，改善材料性能或为以后热处理做组织准备。
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4
数学描述
• 在同一个温度T，选定两个能量E1<E2，有： >0
P{E E1} P{E E2}
最低能态？
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降温图像
离散函数图像
6
组合优化与物理退火的相似比较
• 从某一初始温度开始，伴随温度的不断下降，结合概率突跳特性在 解空间中随机寻找全局最优解
很经典模拟退火算法PPT
以目前解为中心对解空间做随机扰动，产生一个扰动解 ，
其目X标' 函數值为。 f (X')
若接受，则以该扰动解取代目前解作为该次迭代的解。
Simulated Annealing
6
模拟退火的情况下，能量差所表现的 机率如下：
P(ΔE)=exp(-ΔE / kt) –k是Boltzmann’s Constant 转换到模拟退火法，则变成
反之，维持目前温度。之后判断是否达到终止条件，例如 达到设定的迭代次數或是連续几次迭代目前解都不再改变 时。
Simulated Annealing
8
模拟退火法的流程图
初使化设定
随机产生一个初始解
扰动产生一个新解 No
是否接受? Yes
修改目前解 Yes
降温
缩减温度
No
No 是否达到中止条件?
Yes 最佳解
Simulated Annealing （模拟退火法）
报告人:陈世明
Simulated Annealing
1
大纲
简介 攀登算法 模拟退火法v.s. Hill Climbing 仿真退火法的检测标准与流程 模拟退火法的考虑因素 其他的问题 提高效能与算法的修正 结论
Simulated Annealing
4
模拟退火法v.s. Hill Climbing
HillClimbing是挑选邻近点中最好的点，但这样会有局部 最大值的问题。
仿真算法是随机数找寻邻近的点。 –若找到的点比立足点好，则取之。 –否则依照机率决定是否取之。
Simulated Annealing
5
模拟退火法的流程(1/2)
需先设定一些參數，。接着随机产生一个初始的目前解 ， 并计X算他的目标函數值 。 f (X )
其目X标' 函數值为。 f (X')
若接受，则以该扰动解取代目前解作为该次迭代的解。
Simulated Annealing
6
模拟退火的情况下，能量差所表现的 机率如下：
P(ΔE)=exp(-ΔE / kt) –k是Boltzmann’s Constant 转换到模拟退火法，则变成
反之，维持目前温度。之后判断是否达到终止条件，例如 达到设定的迭代次數或是連续几次迭代目前解都不再改变 时。
Simulated Annealing
8
模拟退火法的流程图
初使化设定
随机产生一个初始解
扰动产生一个新解 No
是否接受? Yes
修改目前解 Yes
降温
缩减温度
No
No 是否达到中止条件?
Yes 最佳解
Simulated Annealing （模拟退火法）
报告人:陈世明
Simulated Annealing
1
大纲
简介 攀登算法 模拟退火法v.s. Hill Climbing 仿真退火法的检测标准与流程 模拟退火法的考虑因素 其他的问题 提高效能与算法的修正 结论
Simulated Annealing
4
模拟退火法v.s. Hill Climbing
HillClimbing是挑选邻近点中最好的点，但这样会有局部 最大值的问题。
仿真算法是随机数找寻邻近的点。 –若找到的点比立足点好，则取之。 –否则依照机率决定是否取之。
Simulated Annealing
5
模拟退火法的流程(1/2)
需先设定一些參數，。接着随机产生一个初始的目前解 ， 并计X算他的目标函數值 。 f (X )
遗传算法模拟退火PPT课件
为了更详细地展示实验结果，我们还采用了数据表格的形式对实验结果 进行汇总和展示。数据表格中包含了各算法的误差率、收敛速度等关键 指标，方便进行横向和纵向的对比分析。
06
总结与展望
本次课程重点内容回顾
遗传算法基本原理
介绍了遗传算法的基本概念、操作流程以及适应度函数 设计等核心内容。
遗传算法与模拟退火的结合
初始化
迭代过程
降温操作
终止条件
设定初始温度T0、降温速率r 、终止温度Tf等参数，并随机 生成初始解S0。
在每次迭代中，对当前解进行 随机扰动生成新解S'，计算目标 函数差值Δf = f(S') - f(S)。若Δf < 0，则接受新解；否则以一定 概率exp(-Δf/T)接受新解，其中 T为当前温度。
早熟收敛问题
在搜索过程中，可能会陷入局部最优解而无法跳出。
遗传算法和模拟退火局限性讨论
遗传算法和模拟退火局限性讨论
对初始解依赖
模拟退火算法的性能受初始解影响较大。
收敛速度慢
在搜索过程中，模拟退火算法的收敛速度相 对较慢。
参数敏感
模拟退火算法的参数设置对结果影响较大， 需要仔细调整。
未来发展趋势预测
Hale Waihona Puke 划、整数规划等。求解方法03
传统方法如梯度下降、牛顿法等；智能优化算法如遗传算法、
模拟退火等。
遗传算法求解步骤
编码
将问题的解表示为一个字符串（基因编码），常用编 码方式有二进制编码、实数编码等。
初始种群生成
随机生成一组初始解，构成初始种群。
适应度函数设计
根据目标函数设计适应度函数，用于评估解的优劣。
测试函数选择
为了全面评估遗传算法和模拟退火算法的性能，我们选择了 多个具有不同特性的测试函数，包括单峰函数、多峰函数、 离散函数等。
06
总结与展望
本次课程重点内容回顾
遗传算法基本原理
介绍了遗传算法的基本概念、操作流程以及适应度函数 设计等核心内容。
遗传算法与模拟退火的结合
初始化
迭代过程
降温操作
终止条件
设定初始温度T0、降温速率r 、终止温度Tf等参数，并随机 生成初始解S0。
在每次迭代中，对当前解进行 随机扰动生成新解S'，计算目标 函数差值Δf = f(S') - f(S)。若Δf < 0，则接受新解；否则以一定 概率exp(-Δf/T)接受新解，其中 T为当前温度。
早熟收敛问题
在搜索过程中，可能会陷入局部最优解而无法跳出。
遗传算法和模拟退火局限性讨论
遗传算法和模拟退火局限性讨论
对初始解依赖
模拟退火算法的性能受初始解影响较大。
收敛速度慢
在搜索过程中，模拟退火算法的收敛速度相 对较慢。
参数敏感
模拟退火算法的参数设置对结果影响较大， 需要仔细调整。
未来发展趋势预测
Hale Waihona Puke 划、整数规划等。求解方法03
传统方法如梯度下降、牛顿法等；智能优化算法如遗传算法、
模拟退火等。
遗传算法求解步骤
编码
将问题的解表示为一个字符串（基因编码），常用编 码方式有二进制编码、实数编码等。
初始种群生成
随机生成一组初始解，构成初始种群。
适应度函数设计
根据目标函数设计适应度函数，用于评估解的优劣。
测试函数选择
为了全面评估遗传算法和模拟退火算法的性能，我们选择了 多个具有不同特性的测试函数，包括单峰函数、多峰函数、 离散函数等。
《模拟退火算法》课件
在能源领域，模拟退火算法有助于寻找最佳的能源 系统配置和运行策略。
算法优缺点
1 优点
全局搜索能力强、易于实现、适用于连续和离散问题、具有较好的灵活性。
2 缺点
运行时间较长、初始参数设置对结果影响较大、难以解决高维问题。
案例分析
让我们通过一个旅行商问题的案例来进一步了解模拟退火算法的应用。该算法能够有效求解旅行商在各个城市 之间的最短路径。
算法原理
随机接受差解
初始解随机生成，通过接受差解以跳出局部最优解。
温度下降
模拟温度不断下降的冷却过程，控制解空间的探索范围。
近邻解搜索
通过近邻解搜索策略，不断迭代寻找更优解。
算法步骤
1
初始化
设定初始温度、停止条件和初始解。
2
生成邻域解
通过变换当前解，在邻域内生成新的解。
3
接受或拒绝邻域解
依据接受准则，决定是否接受邻域解。
4
降温
降低温度，控制解空间的收敛速度。
5
重复搜索
重复生成邻域解、接受或拒绝直至满足停止条件。
应用领域
数据分析
模拟退火算法可以优化大规模数据集的聚类分析和 模式提取。
路径优化
在物流和交通领域，模拟退火算法可用于优化路径 规划和调度问题。
图像重建
模拟退火算法能够恢复模糊或损坏的图像，提高图 像质量。
能源系统退火算法的定义、原理、步骤、应用领域 和优缺点。继续研究和探索模拟退火算法的改进和应用将为解决实际问题提 供更多可能性。
《模拟退火算法》PPT课 件
欢迎来到《模拟退火算法》的PPT课件！在本课程中，我们将探索模拟退火 算法的定义、原理、步骤、应用领域、优缺点，并通过案例分析加深理解。 最后，我们将总结与展望。让我们开始吧！
算法优缺点
1 优点
全局搜索能力强、易于实现、适用于连续和离散问题、具有较好的灵活性。
2 缺点
运行时间较长、初始参数设置对结果影响较大、难以解决高维问题。
案例分析
让我们通过一个旅行商问题的案例来进一步了解模拟退火算法的应用。该算法能够有效求解旅行商在各个城市 之间的最短路径。
算法原理
随机接受差解
初始解随机生成，通过接受差解以跳出局部最优解。
温度下降
模拟温度不断下降的冷却过程，控制解空间的探索范围。
近邻解搜索
通过近邻解搜索策略，不断迭代寻找更优解。
算法步骤
1
初始化
设定初始温度、停止条件和初始解。
2
生成邻域解
通过变换当前解，在邻域内生成新的解。
3
接受或拒绝邻域解
依据接受准则，决定是否接受邻域解。
4
降温
降低温度，控制解空间的收敛速度。
5
重复搜索
重复生成邻域解、接受或拒绝直至满足停止条件。
应用领域
数据分析
模拟退火算法可以优化大规模数据集的聚类分析和 模式提取。
路径优化
在物流和交通领域，模拟退火算法可用于优化路径 规划和调度问题。
图像重建
模拟退火算法能够恢复模糊或损坏的图像，提高图 像质量。
能源系统退火算法的定义、原理、步骤、应用领域 和优缺点。继续研究和探索模拟退火算法的改进和应用将为解决实际问题提 供更多可能性。
《模拟退火算法》PPT课 件
欢迎来到《模拟退火算法》的PPT课件！在本课程中，我们将探索模拟退火 算法的定义、原理、步骤、应用领域、优缺点，并通过案例分析加深理解。 最后，我们将总结与展望。让我们开始吧！
模拟退火法PPT课件
2013/9/10 Simulated Annealing 8
冷卻排程（續）
最終溫度（Final Temperature）
– 通常是零，但會耗掉許多模擬時間 – 溫度趨近於零，其周遭狀態幾乎是一樣的 – 所以尋找一個低到可接受的溫度
2013/9/10
Simulated Annealing
9
冷卻排程（續）
冷卻排程
初始溫度（Starting Temperature）
– – 溫度要夠高才能移動到任何的狀態 溫度不能太高，否則會導致在一段時間內皆 用亂數在湊解答 1. 如果可以知道檢測函數的最大值就可以找到 最好的初始溫度 2. 快速提高溫度，然後又快速降溫，直到有60% 的最差解被接受 3. 快速提高溫度，但慢慢降溫，並定出適當比 例最差解的接受度
Simulated Annealing （模擬退火法）
Graham Kendall
Artificial Intelligence Methods (G5BAIM) The University of Nottingham
2013/9/10 Simulated Annealing 1
大綱
簡介 模擬退火法 v.s. Hill Climbing 模擬退火法的檢測標準 實際退火與模擬退火之間的關係 演算法 冷卻排程 其他的問題 提高效能 演算法修正 結論
– k是Boltzmann’s Constant
轉換到模擬退火法，則變成 P=exp(-c / t)>r
– c是評估函數的差 – r是0~1之間的亂數
2013/9/10 Simulated Annealing 5
實際退火與模擬退火之間的關係
實際退火法
系統狀態 能量
轉換狀態 溫度 冷卻狀態
冷卻排程（續）
最終溫度（Final Temperature）
– 通常是零，但會耗掉許多模擬時間 – 溫度趨近於零，其周遭狀態幾乎是一樣的 – 所以尋找一個低到可接受的溫度
2013/9/10
Simulated Annealing
9
冷卻排程（續）
冷卻排程
初始溫度（Starting Temperature）
– – 溫度要夠高才能移動到任何的狀態 溫度不能太高，否則會導致在一段時間內皆 用亂數在湊解答 1. 如果可以知道檢測函數的最大值就可以找到 最好的初始溫度 2. 快速提高溫度，然後又快速降溫，直到有60% 的最差解被接受 3. 快速提高溫度，但慢慢降溫，並定出適當比 例最差解的接受度
Simulated Annealing （模擬退火法）
Graham Kendall
Artificial Intelligence Methods (G5BAIM) The University of Nottingham
2013/9/10 Simulated Annealing 1
大綱
簡介 模擬退火法 v.s. Hill Climbing 模擬退火法的檢測標準 實際退火與模擬退火之間的關係 演算法 冷卻排程 其他的問題 提高效能 演算法修正 結論
– k是Boltzmann’s Constant
轉換到模擬退火法，則變成 P=exp(-c / t)>r
– c是評估函數的差 – r是0~1之間的亂數
2013/9/10 Simulated Annealing 5
實際退火與模擬退火之間的關係
實際退火法
系統狀態 能量
轉換狀態 溫度 冷卻狀態
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2.1 模拟退火算法及模型
一 固体退火过程
退火是一种物理过程，固体退火是先将固体加
热至熔化，再徐徐冷却使之凝固成规整晶体的热 力学过程．
退火过程中，系统在每一温度下达到平衡态， 系统状态的分布满足一定的概率分布，即在温度 T，系统达到平衡态后，分子停留在状态 r 满足 波兹曼(Boltzmann)概率分布
T
所以，
P E E (r m )in
关于温度 T是单调下降的．又有
PE
E(rmin )
1 exp( Z(T )
E(rmin )) kBT
1 D0
R
其中，D0是具有最低能量的状态集合，
R
exp( E(s) E(rmin )) 0 , T 0 (2.4)
rD0
T 0 0
rD0
3. T l i0 m PEE(r)|rD01 T l i0 m PEE(r)|rD00
例2.1
简化概率分布(2.1)为
p(x) 1 exp(x), q(t) t
其中q(t)为标准化因子．设共有四个能量点x=1, 2, 3, 4,
在此
q(t) 4 exp(x)
判断．由(2.1)知，固体处于 i 和 j 的概率的比值等 于相应Boltzmann因子的比值，即
rexE pi (Ej) () kBT
r是一个小于1的数．用随机数发生器产生一个[0 ,1) 区间的随机数，若r > ，则新状态 j 作为重要状态， 否则舍去．若新状态 j是重要状态，就以 j 取代 i 成 为当前状态，否则仍以 i 为当前状态，再重复以上 新状态产生过程．在大量固体状态的变换后，系统 趋于能量较低的平衡状态，固体状态的概率分布趋 于(2.1)式的Boltzmann概率分布．
D 为状态空间．
先研究由(2.1)确定的函数随 T 变化的趋势．选 定两个能量 E1< E2，在同一个温度 T ，有
P ( E E 1 ) P ( E E 2 ) Z ( 1 T ) e x k E B 1 T ) 1 p [ e( x E k 2 B T E p 1 )] (
x1
t
观察
t
=
20,
5,
0.5,
三个温度点概
率分布变化．
t=20 t=5 t=0.5
x 1 x2 x 3 x4 0.269 0.256 0.243 0.232 0.325 0.269 0.221 0.181 0.865 0.117 0.016 0.002
二． Metropolis准则
固体在恒定温度下达到热平衡的过程可以进 行模拟．
PE E(r) 1 exp( E(r)) (2.1)
Z(T )
kBT
其中，E(r)为状态 r 的能量，kB 0为波兹曼常数，
E 为分子能量的一个随机变量，
exp( E(r)) kBT
称为波兹曼因子．Z(T)为概率分布的标准化因子，
Z(T) expE ((s))
sD
kBT
Pr
1 D0
1D
O
T
(a) 在能量最低状态
对于非能量最小的状态，由(2.2)和分子在能量最小状 态的概率是单调减小的事实，在温度较高时，分子在
这些状态的概率在
1 D
附近，依赖于状态的不同，
可能超过 1 D ; 由(2.3)和(2.4)可知存在一个温度t，
使(2.1)决定的概率在(0 ,t)是单调升的；再由(2.4)可知， 当温度趋于 0时，(2.1)定义的概率趋于 0．概率变化 曲线见图(b)．
由
PE TE(r)eZx ( T )p kE kB B (T T r2 ) E(r)s DE(s)Z e(T x )pE kB (T s) (2.3)
当 rmin 是 D中具有最低能量的状态时，得
PEE(rmi)n0
sD:E(s) E(rmin )
kBT
因此得到，当 T 趋向于 0 时，
PE
E(rmin )
1 D0
,
T 0
当温度趋向于 0时，(2.1)决定的概率渐近
1 D0
由此可以得到，在温度趋向于 0时，分子停留在最 低能量状态的概率趋向1．综合上面的讨论，分子 在最低能量状态的概率变化趋势由图(a)表示．
1953年，Metropolis等提出重要性采样法．他 们用下述方法产生固体的状态序列：
先给定以粒子相对位置表征的初始状态 i，作 为固体的当前状态，该状态的能量是 Ei ．然后用 摄动装置使随机选取的某个粒子的位移随机地产 生一微小变化，得到一个新状态 j，新状态的能 量是Ej ．如Ej < Ei ，则该新状态就作为重要状 态．如Ej > Ei ，则考虑热运动的影响，该新状态 是否重要状态，要依据固体处于该状态的几率来
Pr
1D T
O (b) 在非能量最低状态
从上面的讨论得到，在温度很低时，能量越低的 状态的概率值越高，在极限状况，只有能量最低的 点概率不为０．即有
1. 系统在 T 平衡时，系统状态的概率分布趋于(2.1)
式，
P EE (r)1exE p(r)()
Z (T) kB T
2.
1
PEE(r) D0
因e为 x E p 2 E (1) 1, T 0 k B T
所 P ( E E 1 ) 以 P ( E E 2 ) 0 T 0 （ 2 . 2 ）
在同一个温度，(2.2)表示分子停留在能量小状 态的概率比停留在能量大状态的概率要大．当温 度相当高时，(2.1)的概率分布使得每个状态的概 率基本相同，接近平均值1D，D为状态空间 D 中状态的个数．此时，具有最低能量状态的波兹 曼概率接近并超出平均值1D．
第2章 模拟退火算法
模拟退火(simulatedannealing)算法是局部搜索算法的 扩展．它源于对固体退火过程的模拟;采用Metropolis接 受准则；并用一组称为冷却进度表的参数控制算法进程， 使算法在多项式时间里给出一个近似最优解．
模拟退火算法最早的思想由Metropolis在1953 年提出，Kirkpatrick在1983年成功地应用在组 合最优化问题中．