第2讲 信号的运算及奇异信号
合集下载
第一章(2)信号的运算
解法一： f 5 t f t 5 f t 6 f 3t 6 f(5+t) f(5-t)
2
反转
2
-1
左移1个单位
0
1 2
t
2
f(6+t)
-2 -1 0 1 f(6+3t)
t
尺度变换
t -1 0
2
-3 -2
0
t
解法二： f 5 t f t 5 f t f 3t 6
f 2t
f 2t 3
2
左移3/2
0 1 2 3 t
2
0.5 0
1.5
t
f t
f t
尺度变换
1
2
反转
0 1 3 t 3 -1
2
0 1
t
法四 f 2t 3 f 2t f 2t f t
f 2t 3
2
f 2t
1信号的分类2信号的性质阶跃函数和冲激函数一个复杂的运算总可以看成是一些基本运算的复合如加乘时移反转尺度变换微分积分卷积的和是指同一瞬时两信号之值对应相加所构成的和信号即的积是指同一瞬时两信号之值对应相乘所构成的积信号即13信号的基本运算连续信号的相加和相乘离散信号的相加和相乘二反转和平移反转
复习
1、信号的分类 2、信号的性质
-2-1 0 1 2
图(a) a=2
k
1
2
3
f (k) 4 4
2 2 a=1/2 k 1 2
3
f (1/2 k) 4 4
2 2 4 6 8 k
-4-3 -2-1 0 1 2 3 4
-8 -6 –4 -2 0 2 图(b) a=1/2
信号系统第二章(第2-4讲)
第二章 连续时间系统的时域分析§2-1 引 言线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。
一、建立数学模型主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。
线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为：)()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dtd b te dt d b t e dt d b t r a t r dtd a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------二、求解（时域解）1、时域法将响应分为通解和特解两部分：1） 通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自由响应）；2） 特解：由激励项得到系统的受迫响应；3）代入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。
经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易，这时候很难确定特解的形式。
2、卷积法（或近代时域法，算子法）这种方法将响应分为两个部分，分别求解：1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应r)(t；zi2）零状态响应: 状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应r)(t。
zs●系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中只有自然响应部分；●系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是用卷积积分法更加方便。
借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。
●卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无法确定初始状态。
● 零输入响应与自然响应、零状态响应与受迫响应之间并不相等，具体对比见§2-9经典法在高等数学中已有详细介绍。
本课程中重点介绍近代时域法。
§2-2 系统微分方程的算子表示一、算子通过微分算子可以简化微分方程的表示。
微分算子：令dt d p =，n n n dtd p =， 积分算子：⎰∞-=t d p τ)()(1● 利用算子可以将电路中的电感和电容的伏安特性记为：L L L i p L dt di L u ⋅⋅== C t C C i pC d i C u ⋅⋅==⎰∞-11τ 即可以将电感和电容记成阻值为p L ⋅和p C ⋅1的电阻，即感抗和容抗。
《信号与系统》课程讲义1-2
ii)抽样特性： (t ) f (t )dt f (0)
证明： (t ) f (t )dt ( ) f ( )d ( ) ( ) f 0 d f 0
iv)延时抽样： v)关系：
t t f t dt f (t )
1 t
-1 0 f(-t-2) 1 -3 -2 0 t 2 t
0 1
1 -1
2 3
f(-3t-2)
0
t
§1.3信号的运算
②已知f(t)定义域为[-1,4]，求f(-2t+5)的定义域 解：
i)方法一：f(t)→f(-t) [-4,1]；f(-t)→f(-t+5) [1,6]；
ii)方法二： 1 2t 5 4 6 2t 1
f (t ) f 1 ( t ) f 2 ( t )
§1.3信号的运算
7．信号相乘 ① f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
②常用在调制解调中 8．卷积
f (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 ( ) f 2 (t )d
9．相关
a
Ke at (a 0)
③特性：微积分后仍为指数信号
§1.2 信号描述分类和典型示例
2．正弦信号 ①表达式：
f (t ) K sin(t )
②参数：K振幅， 角频率， 初相位 f(t) ③特性 i)周期信号， 0 2 1 T f ii)微积分后仍为正弦信号
3 8
t
t
f(t)
t
0 ln 2 2 ln 2 3 ln 2
3
练习
信号与系统 第一章第2讲
17
若冲激点在t=t0处，则定义式为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数
18
由定义知 当t<0时 当t>0时
t
( )d 0
门函数与任意函数相乘， 在外为0，在内为f(t)
12
G(t) 1
0 t0
t
符号函数——单位阶跃函数的派生函数：
1 t 0 sgn( t ) 2 u ( t ) 1 ( 1 . 5 10 ) 1t 0
2u(t) sgn(t)
2 0
t
1
0 t
在此，符号函数在跳变点 也不予定义。有些书中规 定sgn(0)=0
f(t) A T
2
式中A、、分别为正弦信号的振幅、角 频率、初相位
2
正弦信号的性质：
无时限信号
周期信号，T=2/
对它进行微分或积分运算后，仍是同频率 的正弦函数 f(t) 指数函数
a<0 a>0
f (t) Ae
at
A 0
3
a=0
t
其中A，a均为常数
指数函数的性质：
对指数函数的微分或积分，仍是指数函 数形式 抽样函数
t
( )d 1
所以函数的积分为：
o 0 t ( )d o 1 t
t
19
所以， u(t)与函数的关系为
或
u ( t ) ( ) d
t
单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数
若冲激点在t=t0处，则定义式为：
(t t0 )dt 1 (t t0 ) 0 (t t0 )
(t-t0) (1)
0
t0
t
单位冲激函数的特性： 单位冲激函数的积分是单位阶跃函数
18
由定义知 当t<0时 当t>0时
t
( )d 0
门函数与任意函数相乘， 在外为0，在内为f(t)
12
G(t) 1
0 t0
t
符号函数——单位阶跃函数的派生函数：
1 t 0 sgn( t ) 2 u ( t ) 1 ( 1 . 5 10 ) 1t 0
2u(t) sgn(t)
2 0
t
1
0 t
在此，符号函数在跳变点 也不予定义。有些书中规 定sgn(0)=0
f(t) A T
2
式中A、、分别为正弦信号的振幅、角 频率、初相位
2
正弦信号的性质：
无时限信号
周期信号，T=2/
对它进行微分或积分运算后，仍是同频率 的正弦函数 f(t) 指数函数
a<0 a>0
f (t) Ae
at
A 0
3
a=0
t
其中A，a均为常数
指数函数的性质：
对指数函数的微分或积分，仍是指数函 数形式 抽样函数
t
( )d 1
所以函数的积分为：
o 0 t ( )d o 1 t
t
19
所以， u(t)与函数的关系为
或
u ( t ) ( ) d
t
单位阶跃函数等于单位斜坡函数的导数
信号的运算和处理 (2)
详细描述
卷积运算是信号处理中非常重要的概念，它表示两个信号的结合方 式。具体来说，如果两个信号`f(t)`和`g(t)`，则它们的卷积可以表示 为`h(t) = f(t) * g(t)`。在时域中，卷积运算相当于将一个信号通过另 一个信号进行滤波。在实际应用中，卷积运算广泛应用于图像处理、 音频处理等领域。
将一个信号逐点对应地除以另一个信号。
详细描述
信号的除法运算在数学上表示为`h(t) = f(t) / g(t)`，其中`f(t)`和`g(t)`是两个信号。在信号处理中，除法运 算常用于归一化、放大等操作。同样地，除法运算也可能会引入非线性失真，因此在实际应用中需要特别 小心。
卷积
总结词
将一个信号与另一个信号进行逐点对应相乘后再求和的操作。
信号的运算和处理 (2)
目
CONTENCT
录
• 信号的数学运算 • 信号的滤波处理 • 信号的调制与解调 • 信号的变换域处理 • 信号的采样与量化
01
信号的数学运算
加法
总结词
将两个信号在时间上逐点对应相加。
详细描述
信号的加法运算是最基本的数学运算之一，它逐点对应地相加两个信号。在时域中， 如果两个信号`f(t)`和`g(t)`，则它们的和可以表示为`h(t) = f(t) + g(t)`。这种运算在 信号处理中非常常见，特别是在处理噪声和其他干扰信号时。
详细描述
在通信中，带通滤波器用于提取特定频带的信号 ，实现信号的传输和接收；在雷达中，带通滤波 器用于提取目标回波的特定频带信号；在生物医 学信号处理中，带通滤波器用于提取心电图、脑 电图等生物电信号的特定频带成分。
带阻滤波器
总结词
详细描述
总结词
卷积运算是信号处理中非常重要的概念，它表示两个信号的结合方 式。具体来说，如果两个信号`f(t)`和`g(t)`，则它们的卷积可以表示 为`h(t) = f(t) * g(t)`。在时域中，卷积运算相当于将一个信号通过另 一个信号进行滤波。在实际应用中，卷积运算广泛应用于图像处理、 音频处理等领域。
将一个信号逐点对应地除以另一个信号。
详细描述
信号的除法运算在数学上表示为`h(t) = f(t) / g(t)`，其中`f(t)`和`g(t)`是两个信号。在信号处理中，除法运 算常用于归一化、放大等操作。同样地，除法运算也可能会引入非线性失真，因此在实际应用中需要特别 小心。
卷积
总结词
将一个信号与另一个信号进行逐点对应相乘后再求和的操作。
信号的运算和处理 (2)
目
CONTENCT
录
• 信号的数学运算 • 信号的滤波处理 • 信号的调制与解调 • 信号的变换域处理 • 信号的采样与量化
01
信号的数学运算
加法
总结词
将两个信号在时间上逐点对应相加。
详细描述
信号的加法运算是最基本的数学运算之一，它逐点对应地相加两个信号。在时域中， 如果两个信号`f(t)`和`g(t)`，则它们的和可以表示为`h(t) = f(t) + g(t)`。这种运算在 信号处理中非常常见，特别是在处理噪声和其他干扰信号时。
详细描述
在通信中，带通滤波器用于提取特定频带的信号 ，实现信号的传输和接收；在雷达中，带通滤波 器用于提取目标回波的特定频带信号；在生物医 学信号处理中，带通滤波器用于提取心电图、脑 电图等生物电信号的特定频带成分。
带阻滤波器
总结词
详细描述
总结词
2_2_连续时间基本信号(奇异信号)
(5) 2 (t2 3t) ( t 1)dt
2
3
(3) 6 e2t (t 8)dt 4
(6) e4t (2 2t)
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺
[例] 计算下列各式
(1) sin(t) (t π)dt sin( π) 2 / 2
4
4
(2) e 3 5t (t 1)dt e5 1 1 / e5 2
(3) 6 e2t (t 8)dt 0 4
(4) et (2 2t)dt et 1 (t 1) dt 1
2
2e
(5) 2 (t2 3t) ( t 1)dt 2 (t2 3t) 3 (t 3) dt 0
2
3
2
(6) e4t (2 2t) e4t 1 (t 1) 1 e4 (-1) (t 1) 1 e4 (t 1)
(1902～1984)
英国理论物理学家，量子力学的创始人之一。 1935年应清华大学邀请，在清华大学作了关于 正电子的演讲，曾被选为中国物理学会名誉会员。
1928年他把相对论引进了量子力学，建立了相 对论形式的薛定谔方程，也就是著名的狄拉克方 程。狄拉克由此做出了存在正电子的预言， 1933年获诺贝尔奖。主要著作有《量子力学原 理》。此外，他和费米各自独立发现了费米-狄 拉克统计法，发表过大量有关宇宙学方面的论文， 提出可能存在磁单极的预言。
x(t)
1
t
0
T
2T
x(t) = u(tT)u(t2T)
x(t)
1
t
0
T
2T
-1
1. 单位阶跃信号
作用：(2) 利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
sin0t u(t) t
第2讲 信号的运算及奇异信号
1 t
求法：宗量相同，函数值相同→求新坐标
宗量相同，函数值相同 t
-1 0 f(t) 0 1 t+1 -1 0 f(t+1） 0 1
求新坐标
t -2 -1 f(t+1) 0 1
f (t ) f ( t 1)
1
左加右减！
1 O
1
t
3
2．倒置(反演/翻转)
f (t ) f ( t )
例：
f (t )
( t )d t 1
( t ) 0( t 0 )
2 .奇 偶
3 .抽 样
'( t ) d t 0
( t ) (t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) ( t )
'( t ) '( t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) '( t ) f '( 0 ) ( t )
f (5 t ) f ( t ) ：左移 5；
f(-t)
(4) t 0 f(t) 1 2 3 6
f ( t ) f [5 (t 5)] 4 (t 1)
f ( t ) f ( t ) ：倒置；
(4)
f ( t ) 4 ( t 1)
0 1 2 3 6
n个函数 g 1 ( t ), g 2 ( t ), g n ( t )
如在区间
构成一函数集，
( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即
(i j)
t2 g ( t ) g ( t )d t 0 j t1 i t 2 2 t1 g i ( t ) d t K i
求法：宗量相同，函数值相同→求新坐标
宗量相同，函数值相同 t
-1 0 f(t) 0 1 t+1 -1 0 f(t+1） 0 1
求新坐标
t -2 -1 f(t+1) 0 1
f (t ) f ( t 1)
1
左加右减！
1 O
1
t
3
2．倒置(反演/翻转)
f (t ) f ( t )
例：
f (t )
( t )d t 1
( t ) 0( t 0 )
2 .奇 偶
3 .抽 样
'( t ) d t 0
( t ) (t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) ( t )
'( t ) '( t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) '( t ) f '( 0 ) ( t )
f (5 t ) f ( t ) ：左移 5；
f(-t)
(4) t 0 f(t) 1 2 3 6
f ( t ) f [5 (t 5)] 4 (t 1)
f ( t ) f ( t ) ：倒置；
(4)
f ( t ) 4 ( t 1)
0 1 2 3 6
n个函数 g 1 ( t ), g 2 ( t ), g n ( t )
如在区间
构成一函数集，
( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即
(i j)
t2 g ( t ) g ( t )d t 0 j t1 i t 2 2 t1 g i ( t ) d t K i
信号与系统(奥本海默)_习题课总结
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
3
Ch1：信号的运算
1. 时移 （Time Shift） f (t) f (t t0 )
2. 反褶 （Time Reflection）
f (t) f (t)
3. 倍乘（尺度变换 Time Scaling） f (t) f (at)
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
换路定则
完全解=齐次解（系数待定）+特解
0+状态
0-状态
完全解=齐次解+特解
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
冲激函数
匹配法
11
响应的分类：
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
12
第三章 傅里叶变换
傅里叶级数（周期信号）
傅里叶变换（非周期信号）
傅里叶变换的性质*
因果性？ r(t) sin[e(t)]u(t)
结论：响应只和激励的现在值有关，因此是因果的。
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
7
第二章 连续时间系统的时域分析
经典法求解电系统响应的基本步骤 状态分解法*（rzi和rzs） 冲激响应 卷积积分及其性质
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
19
Ch5：无失真网络
《信号与系统》，光电学院/武汉光电国家实验室，董建绩
20
关于1-5章总结
第一章 信号的运算（时移、反褶、尺度） 第二章 信号的分解（全响应/零输入/零状态/稳态暂态） 第三章 傅里叶变换的性质（关键是理解其中含义：等效脉宽
和等效带宽） 第四章 s域中的零状态和零输入分解，拉氏变换和逆变换，系
信号与系统——第二讲
冲激函数的导数——冲激偶函数
' (t )
1 ( ( t 2 ) (t 2 ))
当 0，
1
即冲激的强度越来越大
其极限即为 (t )函数的导数
1
( )d
t>0
=u(t) t<0
du( t ) dt
0
(b) (t ) 函数是阶跃函数的导数 即 (t ) (c) (t ) 的采样性质
f (t ) (t )dt f (0) f (t0 )
而 f (t ) (t t0 )dt
(d） (t ) 函数是t的偶函数
t
（2）常用u(t)加权和来表示一些阶梯信号
6 x(t) 4 2 0
2
4
6
8
t
x(t)=4u(t-2)+2u(t-6)-6u(t-8)
三、单位冲激函数 （1）定义
( t )dt 1
t0
或
( t t 0 )dt 1
(t t 0 )
(t ) 0
(1) 0
t
应用：矩形脉冲信号：用阶跃信 号与其延时之差表示
0( t 0 ) 1 P ( t ) ( 0 t ) 0( t )
P (t )
1
面积为 1
0
t
应用：矩形脉冲信号：用阶跃 信号与其延时之差表示
1 1 u (t )
P (t )
信号与系统
1.4 奇异函数
奇异函数——是指函数本身或其导数（或 积分）具有不连续
一 单位斜变信号
信号与系统(教案) 第二章
二、图解机理
用图形方式理解卷积运算过程，包括以下6个步骤： Step1：换元。画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴 改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)。 Step2：翻转。将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻 180°，得 到f2(-τ)波形。 4
信号与系统
2.2
卷积积分
Step3:平移。给定t值,将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。
卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质 （或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。 下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
性质1.卷积代数 满足乘法的三律： 1. 交换律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t) 2. 分配律： f1(t)*[ f2(t)+ f3(t)] =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t) 3. 结合律： [f1(t)* f2(t)]* f3(t)] =f1(t)*[ f2(t) * f3(t)]
1.奇异信号
单位冲激信号 (t), 单位阶跃信号 (t).
2.正弦信号
也称为虚指数信号。 f (t ) A cos( t ) A [e j (t ) e j (t ) ] 2
式 中A、和分 别 为 正 弦 信 号 的 振 幅 角 频 率 和 初 相 。 、 f ( t )是 周 期 信 号 ， 其 周 期 2 T＝
1 0
f 1(t)
2
t
14
信号与系统 例：f1(t), f2(t)如图，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t) = 2ε (t) –2ε (t –1) f2(t) = ε (t+1) –ε (t –1)
2.2 卷积积分 2.2 卷积积分
信号的运算及奇异信号PPT共33页
信号的运算及奇异信号
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
信号的运算与处理 (2)
调相（PM）
要点一
总结词
调相是一种通过改变信号相位以携带信息的方式。
要点二
详细描述
在调相中，载波信号的相位根据要传输的信息信号而变化 。相位变化的载波信号携带了信息，并在信道中传输。在 接收端，通过比较载波信号的相位与原始相位，可以提取 出信息信号。
04
信号的变换域处理
傅立叶变换
傅立叶变换是信号处理中最常 用的工具之一，它可以将时域 信号转换为频域信号，从而揭 示信号的频率成分。
减法运算
总结词
信号的减法运算是指将一个信号在时间域上对应点的值减去另一个信号在相应 点的值，得到一个新的信号。
详细描述
减法运算是信号处理中常用的数学运算之一。通过从一个信号中减去另一个信 号，可以得到一个新的信号。这种运算在消除噪声、提取特定成分等场景中非 常有用。
乘法运算
总结词
信号的乘法运算是指将两个信号在时间域上对应点的值相乘，得到一个新的信号 。
陷波滤波器
总结词
陷波滤波器主要用于消除特定频率的信号，通常用于消除干扰或噪声。
详细描述
陷波滤波器对特定频率的信号产生强烈的衰减，从而实现消除该频率噪声的目的。在通 信和声音处理中，陷波滤波器用于消除不需要的频率成分，如电磁干扰或机械振动产生
的噪声。
03
信号的调制与解调
调幅（AM）
总结词
调幅是一种通过改变信号幅度以携带信息的 方式。
傅立叶变换具有多种形式，包 括离散傅立叶变换（DFT）和 快速傅立叶变换（FFT）。
傅立叶变换在通信、图像处理、 音频处理等领域有着广泛的应 用。
拉普拉斯变换
拉普拉斯变换是一种将时域信号 转换为复平面上的函数的方法， 它可以用于分析信号的稳定性。
信号与系统第2章 信号的时域分析(5学时)
一、典型普通信号
3. 指数类信号 — 复指数信号
x(t ) A e s j 0， t R
st
x(t ) Aet e j0t Aet cos0 t jAet sin 0 t
et cos 0t
0
et sin 0t
0
t
实部
t
虚部
一、典型普通信号
x (t ) ' (t t )dt x ' (t )
0 0
二、奇异信号
(4)、卷积特性
x( t ) '( t ) x '( t)
(5)、与冲激信号的关系
d (t ) ' (t ) dt
(t ) ' ( )d
t
总结：四种奇异信号具有微积分关
e
t
1 1 (t 1) dt 2 2e
(4)( t3 2 t 2 3) (t 2)
解： (t 2t 3) (t 2) (2 2 2 3) (t 2) 19 (t 2) （筛选特性）
3 2 3 2
注 意
0 / 2 p 3 / 8
1)x1[k] = cos(kp/6)
x1[k] k
0
2)x2[k] = cos(k/6)
x2[k] k
0
3)对x3(t) = cos6pt,以fs= 8 Hz抽样所得序列
x3(t), x3[k]
1
0 1
1
t
二、基本离散时间序列
3．复指数序列 x[k ] Ae( j0 ) k Aek e j0k Ar k e j0k
3. 斜坡信号
第2讲 信号运算
19
7.信号的卷积积分与卷积和
2. 卷积积分的图解法
(i)变量置换 t →τ ，将x(t), h(t) → x(τ), h(τ )； (ii) 反转 h(τ ) → h(τ ) [时间轴反转] ； (iii)平移 h(τ ) → h(t τ) ； (iv)相乘 x(τ )与h(t τ) 两图形相乘，有重叠部分即为乘积值，不重 叠部分乘积为零； (v)积分求和 x(τ )与h(t τ) 乘积曲线下的面积，就是t时刻的卷积 值。再不断平移h(t τ)， h(t τ) 和x(τ )两图形无重合面积为止，即 可得到所有相应时刻的卷积值。 举例说明
f1 (t ) [ f 2 (t ) * f 3 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )] f 3 (t )
天津工业大学机械工程学院
24
7.信号的卷积积分与卷积和
1）信号卷积积分后的微分
d df (t ) df (t ) [ f1 (t ) f 2 (t )] f1 (t ) 2 1 f 2 (t ) dt dt dt
x x1 x2
两个信号相乘，其积信号在任意时刻的信号值等于两信号 在该时刻的信号值之积
x x1 x2
天津工业大学机械工程学院
3
1信号的相加和相乘
x1(t)
x2(t)
天津工业大学机械工程学院
4
1信号的相加和相乘
x1(t)+x2(t)
天津工业大学机械工程学院
2）分配律: 设有 f1 (t ) 、 f 2 (t ) 和 f 3 (t ) 三个信号，则
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 3
t
验证： 计算特殊点
宗量t
t=-1
t=0 t=1
t
宗量3t+5
3t+5=-1，t=-2
3t+5=0，t=-5/3 3t+5=1，t=-4/3
函数值
1
1 0
9
二．微分(斜率)和积分（面积）
微分：f t
f t
d f t dt
，
积分： f d
t
f t
( t )是 奇 函 数 :
( t ) ( t ) ( t 0 t ) ( t t 0 )
f t ( t ) f 0 ( t ) f (0) t ，
（与
不同）
f ( t ) ( t ) f 0 t 20
则此函数集称为正交函数集.
30
②完备正交函数集：
g i (t )
在正交集 g i (t ) 之外再没有一有限能量的x(t)满 足以下条件 t2 x ( t ) g i ( t )d t 0
(t ) d t
0
(t ) d t
0
函数值只在t=0时不为零； 积分面积为1；
t=0时， t ，为无界函数。
17
冲激函数的性质
1）奇偶性：
(t ) ( t )
2）乘积性质与抽样性 若f(t)在t=0处连续，且处处有界，则：
0
t
T
0
T /2
t
宗量相同，函数值相同
t 0 T f(t) 1 2 2t 0 T f(2t) 1 2
求新坐标
t 0 T/2 f(２t) 1 2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
6
比较
f t
f t / 2 2 1
t
f 2 t 2 1
2T
2
1
0
T
0
t
0
T /2
t
•三个波形，都是t 的一次函数。 •但由于自变量t 的系数不同，则达到同样函数值2的时 间不同。
1 t
求法：宗量相同，函数值相同→求新坐标
宗量相同，函数值相同 t
-1 0 f(t) 0 1 t+1 -1 0 f(t+1） 0 1
求新坐标
t -2 -1 f(t+1) 0 1
f (t ) f ( t 1)
1
左加右减！
1 O
1
t
3
2．倒置(反演/翻转)
f (t ) f ( t )
例：
f (t )
2
1
f t
f tt 2 f /
2
1
0
t
T
0
2T
t
宗量相同，函数值相同 t
0 T f(t) 1 2 t/2 0 T f(t/2) 1 2
求新坐标
t 0 2T f(t/2) 1 2 5
时间尺度压缩：t t
2 ,波形扩展
f(t)f(2t)
f t
ff2t t
2
1
2
1
R(t )
1
①有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
O
1
t
R( t t 0 )
1
由宗量t-t0=0 可知起始点为 t 0 ②三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0
O
t0
f (t )
t0 1 t
f u(t ) u( t )
28
此窄脉冲可表示为
从 到, f (t )可表示为许多窄脉冲的叠加
f (t )
f ( )u( t ) u( t ）
f ( )
u( t ) u(t ）
K
0 t 其 它
O
t
13
2 单位阶跃信号u(t)
0 u( t ) 1 t0 t0
0点无定义或1/2
u(t ) 1
t=0时，函数有断点，跳变点
O
t
①有延迟的单位阶跃信号
0 u( t t 0 ) 1 t t0 t t0
1
u( t t 0 )
, t0 0
注意！
一切变换都是对t而言 最好：先尺度变换后平移的顺序
8
例题 已知 f (t) ，求 f (3t+5)。
解:
f (t )
1
f ( t 5)
左移5（+5）
1 t
6 5 4
1 t
1 0
尺度 变换
尺度 变换
f ( 3t 5)
f ( 3t )
1
左移5/3（+5/3）
1 301 3
1
2
O
t0
t
0 u( t t 0 ) 1
t t0 t t0
, t0 0
u( t t 0 )
1
t0 O
t
14
②用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数（矩形脉冲）
f t u t u t 2 2
t
t
11
1.4 奇异信号(奇异函数)
本身、其导数或其积分有不连续点(跳变点)的函数。 1 斜变信号R(t)
2 单位阶跃信号u(t)
3 符号函数sgnt 4 单位冲激信号δ(t) 5 单位冲激偶函数δ' (t)
12
1 斜变信号 R(t)
0 R( t ) t t0 t0
导数有 跳变点
a 1压缩,保持信号的时间缩短了 f ( t ) f (at ) 0 a 1扩展,保持信号的时间增长了
7
4．混合情况
f t f at b f at b a
设a 0
先展缩： a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位 加上倒置：f at b f at b a
18
5 单位冲激偶函数δ' (t)
s(t )
1
(t )
1
(1)
o
s(t )
1
2
t
t
o
0 图像定义
2
(t )
1
O
1
1
2
1
t
o
t
1
2
19
1）冲激偶的性质
① ( t ) f ( t ) d t f (0)
n个函数 g 1 ( t ), g 2 ( t ), g n ( t )
如在区间
构成一函数集，
( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即
(i j)
t2 g ( t ) g ( t )d t 0 j t1 i t 2 2 t1 g i ( t ) d t K i
对 t 的k阶导数：
(k )
t f t d t 1k
f
(k )
0
时移，则：
t
( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )
②
③ ④
( t ) d t 0 ,
( t ) d t t
f (t )
乘积性质： ( t ) f ( t ) f (0) ( t ) 抽样 筛选 性质： ( t ) f ( t ) d t f (0)
f ( 0)
o
t
( t ) f ( t t 0 ) f ( t 0 ) ( t ) 对于移位情况： ( t t 0 ) f ( t )d t f ( t 0 )
1
1
O
2
2
f t 2tLeabharlann O2
2
t
2
冲激信号
t
2
f d
t
2
O
1
O
2
t
10
三．相加和相乘
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sin t
sin t
t
t
sin 8t
sin 8t
t
t
sin t sin 8t
sin t sin 8t
信号的运算
一．信号的自变量的变换
平移 反褶 尺度 混合情况
二．微分和积分 三．两信号相加或相乘
1
一．信号的自变量的变换（波形变换）
1.信号的移位 2.信号的反褶 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合情况
2
1．信号的平移 f ( t ) f ( t )
f (t )
例：
1 O
1
f (t+1)的波形？
( t )d t 1
( t ) 0( t 0 )
2 .奇 偶
3 .抽 样
'( t ) d t 0
( t ) (t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) ( t )
'( t ) '( t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) '( t ) f '( 0 ) ( t )
t
验证： 计算特殊点
宗量t
t=-1
t=0 t=1
t
宗量3t+5
3t+5=-1，t=-2
3t+5=0，t=-5/3 3t+5=1，t=-4/3
函数值
1
1 0
9
二．微分(斜率)和积分（面积）
微分：f t
f t
d f t dt
，
积分： f d
t
f t
( t )是 奇 函 数 :
( t ) ( t ) ( t 0 t ) ( t t 0 )
f t ( t ) f 0 ( t ) f (0) t ，
（与
不同）
f ( t ) ( t ) f 0 t 20
则此函数集称为正交函数集.
30
②完备正交函数集：
g i (t )
在正交集 g i (t ) 之外再没有一有限能量的x(t)满 足以下条件 t2 x ( t ) g i ( t )d t 0
(t ) d t
0
(t ) d t
0
函数值只在t=0时不为零； 积分面积为1；
t=0时， t ，为无界函数。
17
冲激函数的性质
1）奇偶性：
(t ) ( t )
2）乘积性质与抽样性 若f(t)在t=0处连续，且处处有界，则：
0
t
T
0
T /2
t
宗量相同，函数值相同
t 0 T f(t) 1 2 2t 0 T f(2t) 1 2
求新坐标
t 0 T/2 f(２t) 1 2
t2t，时间尺度增加，波形压缩。
6
比较
f t
f t / 2 2 1
t
f 2 t 2 1
2T
2
1
0
T
0
t
0
T /2
t
•三个波形，都是t 的一次函数。 •但由于自变量t 的系数不同，则达到同样函数值2的时 间不同。
1 t
求法：宗量相同，函数值相同→求新坐标
宗量相同，函数值相同 t
-1 0 f(t) 0 1 t+1 -1 0 f(t+1） 0 1
求新坐标
t -2 -1 f(t+1) 0 1
f (t ) f ( t 1)
1
左加右减！
1 O
1
t
3
2．倒置(反演/翻转)
f (t ) f ( t )
例：
f (t )
2
1
f t
f tt 2 f /
2
1
0
t
T
0
2T
t
宗量相同，函数值相同 t
0 T f(t) 1 2 t/2 0 T f(t/2) 1 2
求新坐标
t 0 2T f(t/2) 1 2 5
时间尺度压缩：t t
2 ,波形扩展
f(t)f(2t)
f t
ff2t t
2
1
2
1
R(t )
1
①有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t 0 t t0 t t0
O
1
t
R( t t 0 )
1
由宗量t-t0=0 可知起始点为 t 0 ②三角形脉冲
K R( t ) f (t ) 0
O
t0
f (t )
t0 1 t
f u(t ) u( t )
28
此窄脉冲可表示为
从 到, f (t )可表示为许多窄脉冲的叠加
f (t )
f ( )u( t ) u( t ）
f ( )
u( t ) u(t ）
K
0 t 其 它
O
t
13
2 单位阶跃信号u(t)
0 u( t ) 1 t0 t0
0点无定义或1/2
u(t ) 1
t=0时，函数有断点，跳变点
O
t
①有延迟的单位阶跃信号
0 u( t t 0 ) 1 t t0 t t0
1
u( t t 0 )
, t0 0
注意！
一切变换都是对t而言 最好：先尺度变换后平移的顺序
8
例题 已知 f (t) ，求 f (3t+5)。
解:
f (t )
1
f ( t 5)
左移5（+5）
1 t
6 5 4
1 t
1 0
尺度 变换
尺度 变换
f ( 3t 5)
f ( 3t )
1
左移5/3（+5/3）
1 301 3
1
2
O
t0
t
0 u( t t 0 ) 1
t t0 t t0
, t0 0
u( t t 0 )
1
t0 O
t
14
②用单位阶跃信号描述其他信号
门函数：也称窗函数（矩形脉冲）
f t u t u t 2 2
t
t
11
1.4 奇异信号(奇异函数)
本身、其导数或其积分有不连续点(跳变点)的函数。 1 斜变信号R(t)
2 单位阶跃信号u(t)
3 符号函数sgnt 4 单位冲激信号δ(t) 5 单位冲激偶函数δ' (t)
12
1 斜变信号 R(t)
0 R( t ) t t0 t0
导数有 跳变点
a 1压缩,保持信号的时间缩短了 f ( t ) f (at ) 0 a 1扩展,保持信号的时间增长了
7
4．混合情况
f t f at b f at b a
设a 0
先展缩： a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位 加上倒置：f at b f at b a
18
5 单位冲激偶函数δ' (t)
s(t )
1
(t )
1
(1)
o
s(t )
1
2
t
t
o
0 图像定义
2
(t )
1
O
1
1
2
1
t
o
t
1
2
19
1）冲激偶的性质
① ( t ) f ( t ) d t f (0)
n个函数 g 1 ( t ), g 2 ( t ), g n ( t )
如在区间
构成一函数集，
( t 1 , t 2 ) 内满足正交特性，即
(i j)
t2 g ( t ) g ( t )d t 0 j t1 i t 2 2 t1 g i ( t ) d t K i
对 t 的k阶导数：
(k )
t f t d t 1k
f
(k )
0
时移，则：
t
( t t 0 ) f ( t ) d t f ( t 0 )
②
③ ④
( t ) d t 0 ,
( t ) d t t
f (t )
乘积性质： ( t ) f ( t ) f (0) ( t ) 抽样 筛选 性质： ( t ) f ( t ) d t f (0)
f ( 0)
o
t
( t ) f ( t t 0 ) f ( t 0 ) ( t ) 对于移位情况： ( t t 0 ) f ( t )d t f ( t 0 )
1
1
O
2
2
f t 2tLeabharlann O2
2
t
2
冲激信号
t
2
f d
t
2
O
1
O
2
t
10
三．相加和相乘
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sin t
sin t
t
t
sin 8t
sin 8t
t
t
sin t sin 8t
sin t sin 8t
信号的运算
一．信号的自变量的变换
平移 反褶 尺度 混合情况
二．微分和积分 三．两信号相加或相乘
1
一．信号的自变量的变换（波形变换）
1.信号的移位 2.信号的反褶 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合情况
2
1．信号的平移 f ( t ) f ( t )
f (t )
例：
1 O
1
f (t+1)的波形？
( t )d t 1
( t ) 0( t 0 )
2 .奇 偶
3 .抽 样
'( t ) d t 0
( t ) (t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) ( t )
'( t ) '( t )
f ( t ) ( t ) f ( 0 ) '( t ) f '( 0 ) ( t )