分式及其运算
分式及其运算
分式函数：解决实际问题中的函数关系
03
分式不等式：解决实际问题中的不等关系
04
分式数列：解决实际问题中的数列关系
05
分式极限：解决实际问题中的极限关系
06
分式积分：解决实际问题中的积分关系
数学公式的推导
分式的定义：形如A/B，其中A、B
01
是整式，B≠0 分式的运算：包括加法、减法、乘
03
法、除法、乘方、开方等 分式的应用：包括求解方程、不等
整式，分式的值不变
分式的通分：将两个或 多个分式的分母化为相 同，以便进行加减运算
分式的约分：将分式的 分子、分母同时除以它 们的最大公因式，以简
化分式
分式的加减法：将分式 的分子、分母分别相加 或相减，得到新的分式
分式的乘除法：将分式 的分子、分母分别相乘 或相除，得到新的分式
分式的幂运算：将分式 的分子、分母分别进行 幂运算，得到新的分式
乘方和开方：分式乘方，分式开 方
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
分式除法：分子相除，分母相除
混合运算：分式乘法、除法、乘 方、开方混合运算
乘方和开方
01
乘方：分式乘方时，分子和 分母分别乘方，分母中如果 有平方项，需要先开方
03
运算顺序：先乘方，后开方， 遵循先乘除后加减的运算顺 序
开方：分式开方时，分子和 分母分别开方，分母中如果 有平方项，需要先开方
分式分解
01
分式分解的定义：将分式分解为两 个或多个分式的过程
02
分式分解的方法：提取公因式、分 组分解、公式分解等
03
分式分解的步骤：观察分式的结构， 选择合适的分解方法，进行分解
分式及其运算
第三讲 分式及其运算第一部分 知识梳理一、分式的基本概念及性质1．概念一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式（B ≠0）。
①在分式 中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母。
②对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义。
③分式值为0的条件：在分母不等于0的前提下，分子等于0，则分数值为0。
2．分式的基本性质和变形应用（1）分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
（2）约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 分式约分的步骤:①如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
②分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
3．最简分式一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。
约分时，一般将一个分式化为最简分式。
二、分式的运算1．分式的四则运算①同分母分式加减法则:同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
②异分母分式加减法则:异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。
③分式的乘法法则:两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
④分式的除法法则:两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。
三、分式方程1．概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2．解分式方程的基本思想将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程。
3．解分式方程的基本方法（1）去分母法：去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程。
但要注意，可能会产生增根。
所以，必须验根。
①产生增根的原因:当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解。
第4课 分式及其运算
x －3 －3 时，分式 (2)当x＝________ 的值为0. x－3 解析：当|x|－3＝0，|x|＝3，x＝±3，
而x－3≠0，x≠3，故x＝－3. (3)若分式 A．1
x－2 的值为0，则x的值为( D ) 2 x －1 B．－1 C．±1 D．2
解析：当x－2＝0，x＝2时，x2－1≠0，故选D.
3．分式的运算法则：
(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中 任何两个，分式的值不变． 用式子表示为：a ＝－ a ＝ －a ＝－ －a ， b －b －b b － a ＝ a ＝ －a . b －b b (2)分式的加减法： a b a± b ± ＝ 同分母加减法： c c ； c b d bc± ad ± ＝ 异分母加减法： a c ac .
x－2 的值为0. x＋2 解析：当x－2＝0，x＝2时，分母x＋2＝4，分式的值是0.
2 时，分式 (2)(2011· 泉州)当x＝_______
知能迁移1
x 有意义的x的取值范围是________． x≠2 2x－4 解析：当2x－4≠0，x≠2时，分式有意义，
(1)使分式
故x的取值范围是x≠2.
A．x＝－2 C．x＝1
2x－5 3 ＝ 的解是( C ) 2－x x－2 B．x＝2
D．x＝1或x＝2
1－5＝ －3＝3， 解析：当x＝1时，方程左边＝ 2× 1－2 －1 右边＝ 3 ＝3，∴x＝1是原方程的解. 2－1
题型分类 深度剖析
题型一 分式的概念，求字母的取值范围 1 【例1】 (1)当x＝_______ 时，分式 2 无意义； x－1 解析：当x－1＝0，x＝1时，分式无意义．
这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性
第4讲 分式及其运算
【点评】
准确、灵活、简便地运用法则进行化
简，注意在取x的值时，要考虑分式有意义，不能
取使分式无意义的0与〒2.
1 3．(1)(2014· 十堰)已知 a －3a＋1＝0，则 a＋a－2 的值为
2
( B) A. 5＋1 B．1 C．－1 D．－5
x2－4 1 (2)(2014· (1－ )， 娄底)先化简 2 ÷ 再从不等式 2x－3 x －9 x－3 ＜7 的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值 ．
（x＋2）（x－2） x－3－1 解：原式＝ ÷ ＝ （x＋3）（x－3） x－3 （x＋2）（x－2） x－3 （x＋2）（x－2） · ＝ ， （x＋3）（x－3） x－4 （x＋3）（x－4）
不等式 2x－3＜7，解得 x＜5，其正整数解为 1，2，3，4， 1 当 x＝1 时，原式＝ 4
分式方程的解法
|x|－3 (2)当 x＝__-3 __时，分式 的值为 0. x－3
分式的性质
【例 2】 (1)(2014· 贺州)先化简，再求值： a ＋2a＋1 (a b＋ab)÷ 其中 a＝ 3＋1，b＝ 3－1. ， a＋1
22ຫໍສະໝຸດ a＋1 解：原式＝ab(a＋1)· 2 ＝ab，当 a＝ 3＋1， （a＋1） b＝ 3－1 时，原式＝3－1＝2
杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和
已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值
．
2．(1)(2012· 义乌)下列计算错误的是( A ) 0.2a＋b 2a＋b A. ＝ 0.7a－b 7a－b a－b C. ＝－1 b－a x3y2 x B. 2 3＝ xy y 1 2 3 D. ＋ ＝ c c c
x2 x 3．(2012· 安徽)化简 ＋ 的结果是( D ) x－1 1－x A．x＋1 B．x－1 C．－x D． x m－1 m－1 4．(2014· 济南)化简 m ÷ m2 的结果是( A ) 1 1 A．m B. m C． m－1 D. m－1 4x－12 5．(2014· 安徽)方程 ＝3 的解是 x＝__6__． x－2
分式基本概念与运算法则
乘方与开方的混合运算
乘方与开方的 混合运算是指 将分式的乘方 和开方进行混
合运算
混合运算的步 骤包括：先乘
方，后开方
混合运算的结 果是一个新的
分式
混合运算需要 注意的问题包 括：分式的符 号、分母的变
化等
分式与整式的运算
05
顺序
先乘除后加减的顺序
分式与整式的运算顺序： 先乘除后加减
乘除法运算：先计算乘除 法，再计算加减法
先进行分数与小数的运算
分数与小数的运算顺序：先分数后小数
分数与小数的运算方法：分数与小数可以相互转化，然后进行运算
分数与小数的运算技巧：利用分数与小数的性质和规律，简化运算过 程 分数与小数的运算应用：在实际问题中，分数与小数的运算可以解 决很多问题
先进行根式与分式的运算
根式与分式的运算顺序：先根式后分式 根式与分式的运算方法：根式运算法则、分式运算法则 根式与分式的运算技巧：简化、合并、化简 根式与分式的运算实例：具体例子，如根式与分式的加减乘除运算
乘除混合运算的 注意事项：注意 运算顺序，避免 错误
乘除混合运算的 应用：解决实际 问题，如计算面 积、体积等
04
分式的乘方与开方
分式的乘方法则
分式的乘方： 分式的分子 和分母分别 乘方
分式的开方： 分式的分子 和分母分别 开方
分式的乘除： 分式的分子 和分母分别 乘除
分式的加减： 分式的分子 和分母分别 加减
YOUR LOGO
20XX.XX.XX
分式基本概念与运算法则
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
目 录
01 分 式 的 定 义 与 性 质 02 分 式 的 加 减 法 03 分 式 的 乘 除 法 04 分 式 的 乘 方 与 开 方 05 分 式 与 整 式 的 运 算 顺 序02分式的加减法
分式的意义及运算
（2பைடு நூலகம்为了节约时间，王老师与小刚约定每天7：35从家里同时出发，小刚走路，王老师骑车，遇到小刚后，立即搭小刚到校．如果小刚和王老师走路的速度一样，王老师骑车的速度不变，请问他们能否在8：00钟前赶到学校？说明理由．
2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3.分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。
4.零指数、负整数指数幂：
任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即 ；
当n为正整数时， （
【基础知识与技能的训练】
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.计算 ·（- ）等于（ ）
分式的意义及运算
【知识要点】
一：分式及其基本性质
1.分式的概念：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母那么式子 叫做分式。
2．分式有意义、无意义的条件：
分式有意义的条件：分式的分母不等于0；
分式无意义的条件：分式的分母等于0。
3.分式的值为0：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。
4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
A．k＞2B．1＜k＜2C． D．
解：k= = = =1+ ，
∵a＞b＞0，∴0＜ ＜1，
分式方程训练
【知识要点】
1.分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：
使分式方程的最简公分母不为零的根是分式方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，原方程无解。
因此，解分式方程一定要验根
（4）先化简 ，然后从不等组 的解集中，选取一个你认为符合题意的x的值代入求值．
分式及其运算
分式及其运算分式，也叫有理式，是由一个整式的形式分子和分母组成的表达式，分子与分母都可以是整数多项式，且分母不能为0。
分式的运算是数学中的重要内容之一，主要包括分式的加减乘除四则运算。
一、分式的基本概念分式由分子和分母两个部分组成，用横线隔开。
分子表示分子部分的表达式，分母表示分母部分的表达式。
分式的形式可以用以下表示方法：$\frac{a}{b}$ 或 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 。
例如，$\frac{3}{5}$、$\frac{x^2+1}{2x}$ 都是分式。
其中，3是分式的分子，5是分式的分母；$x^2+1$是分式的分子，2x是分式的分母。
二、分式的加减运算1.同分母分式的加减运算：将同分母分式的分子相加（或相减），分母保持不变，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$；$\frac{7x}{4} - \frac{3x}{4} = \frac{7x-3x}{4}=\frac{4x}{4}=x$。
2.异分母分式的加减运算：先找到它们的最小公倍数（简称最小公倍数），然后将分子通分，再进行加减运算。
最后将结果化简到最简形式。
例如，$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}$；$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{8-3}{12}=\frac{5}{12}$。
三、分式的乘除运算1.分式的乘法：将分式的分子与分母分别相乘，得到的结果即为所求。
例如，$\frac{3}{4} \times \frac{2}{5}=\frac{3 \times 2}{4 \times5}=\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$；$(\frac{a}{b}) \times(\frac{c}{d})=\frac{a \times c}{b \times d}$。
分式及其运算(完整版)
❖分母中字母的取值不能使分 母值为零，否则分式无意义 ❖当分子为零且分母不为零时， 分式值为零。
.
第2课时
.
（一）问题情景
问题1 小学学过分数计算，请你快 速计算下列各式，并说出计算根据：
（ 1）6 8
（2） 240 3600
复习分数的基本性质
分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不 等于零的数，分数的值不变.
表示成 A 形式。如果B中含有字母，式 AB
子 就叫做分式。其中，A叫做分式的
B
分子，B叫做分式的分母。
分式的特征是: ①分子、分母 都是 整式 ； ②分母中含有 字母 。
.
思考： 1、两个整式相除叫做分式，对吗？请举 例说明。 A 2、在式子 B 中，A、B可为任意整式，是 吗？请举例说明。
.
分类：
.
（二）类比归纳
1.下列从左到右的变形成立吗？为什么？
① 11 3,② 1 1 b,③ 1 1 (a 3 ) aa 3 a1 b a1 (a 3 )
2.你能归纳出以上所体现的变形吗？ 3.会用字母表达式表示吗？
（类比分数的基本性质，得出分式的基本性质）
.
分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个 不等于０的整式，分式的值不变。
5, x , a xy
y , 2004 xy x 2004 x 30
。
。。。。
.
被除数
被除数÷ 除数 = 除数
3÷4= 3
4 整数 整数 分数
（商数）
类比
被除式
被除式÷除式 = 除式 （商式） t ÷ (a-x) = t a-x 整式 整式 分式.
分式的概念:
分式知识点总结
分式知识点总结分式是数学中的一个重要概念，它在实际应用中十分常见。
本文将对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解。
一、分式的定义分式由分子和分母组成，通常形式为a/b，其中a和b为整数，b不等于0。
分子表示了被分割的数量，分母表示了每份的份数。
二、分式的基本性质1. 分式的值是一个有理数，可以是正数、负数或零。
2. 分式的值可以是一个整数、真分数或带分数。
3. 分式可以化简，即将分子和分母同时除以一个公因数，得到一个等价的分式。
4. 分式可以相互比较大小，分子相乘，分母相乘，得到的积的大小关系不变。
三、分式的运算1. 分式的加法和减法：- 分式加法：将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相加，分母保持不变。
- 分式减法：与分式加法类似，将两个分式的分母找到一个公倍数，分别乘以这个公倍数后得到新的分数，然后将它们的分子相减，分母保持不变。
2. 分式的乘法和除法：- 分式乘法：将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到的分子作为新分数的分子，得到的分母作为新分数的分母。
- 分式除法：将第一个分式的分子与第二个分式的分母相乘，作为新分数的分子；将第一个分式的分母与第二个分式的分子相乘，作为新分数的分母。
3. 分式的化简：- 将分式的分子和分母同时除以一个公因数，直到分子和分母没有公因数为止，得到一个等价的分式。
四、分式的应用场景1. 比例和比例分配问题：比例可以用分式来表示，通过求解分式可以解决比例分配问题。
2. 股票涨跌问题：利用分式可以计算股票的涨跌幅度。
3. 质量问题：分式可以用来表示物体的质量与体积之间的关系，解决质量问题。
通过以上对分式的定义、基本性质以及常见的操作进行总结和讲解，相信读者对分式的概念及其应用有了更深入的理解。
在实际问题中，对分式的灵活运用可以帮助我们更好地解决各种计算和应用问题。
专题03 分式及其运算(4大考点)(教师版)
第一部分数与式专题03分式及其运算核心考点核心考点一分式的概念核心考点二分式的基本性质核心考点三分式的运算核心考点四分式的化简求值新题速递核心考点一分式的概念（2022·湖南怀化·中考真题）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（）A ．2个B．3个C ．4个D ．5个（2022·内蒙古包头·x+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是___________．【答案】1x ≥-且0x ≠【分析】根据二次根式与分式有意义的条件求解即可．【详解】解：由题意得：x +1≥0，且x ≠0，解得：1x ≥-且0x ≠，故答案为：1x ≥-且0x ≠．【点睛】本题考查二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．注意1.分式可以表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
2.分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是区别分式和整式的重要依据。
（2022·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷⎪++⎝⎭，从-3，-1，2中选择合适的a 的值代入求值．知识点：分式的概念一般地,如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母,那么式子AB叫做分式，其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
（1）分式有意义的条件:分母不为零，即()0AB B≠（2）分式值为零：分子为零，且分母不为零。
即A B（0A =且0B ≠）【变式1】（2022·河北石家庄·一模）关于代数式M =2211121x x x x x ⎛⎫÷ ⎪⎝⎭－－＋＋＋，下列说法正确的是（）A ．当x =1时，M 的值为0B ．当x =﹣1时，M 的值为﹣12C ．当M =1时，x 的值为0D ．当M =﹣1时，x 的值为0【变式2】（2022·广东珠海·模拟预测）若1(1)ma =--（m 为正整数），且a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，则2()m m ab b b c +--的值为（）A ．0B ．1-C ．2-D ．0或2-【答案】C【分析】根据分母不为0的原则可知m 为奇数，即可求得a 、b 、c 的值，分别代入即可求得其值．【详解】解：根据分母不为0的原则可知m 为奇数，1a =，a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，1b ∴=-，1c =-，2()m mab b b c -∴+-()()()211111mm=⨯-+---+()110=-+--2=-，故选：C ．【点睛】本题考查了分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的定义，有理数的乘方运算，代数式求值问题，熟练掌握和运用分式成立的条件，互为相反数、互为负倒数的关系是解决本题的关键．【变式3】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【变式4】（2022·广东·华南师大附中三模）把代数式322363x x y xy -+分解因式，结果正确的是___________；若分式11x x +-的值为零，则x 的值为___________；若代数式26x x b -+可化为()21x a --，则b a -的值是___________．【答案】()23x x y -无解5【分析】（1）先提公因式，然后再利用完全平方公式进行分解因式即可；（2）根据使分式的值为0的条件进行解答即可；（3）根据()()2226391x x b x b x a -+=-+-=--求出a 、b 的值，再代入b a -求值即可．【详解】解：（1）322363x x y xy -+()2232x x xy y =-+()23x x y =-【变式5】（2022·广东佛山·二模）平面直角坐标系中有两个一次函数1y ，2y ，其中1y 的图象与x 轴交点的横坐标为2且经过点()1,2，22y mx =-．(1)求函数1y 的关系式；(2)当2y 的图象经过两点11,22n ⎛⎫- ⎪⎝⎭和(),1n 时，求22n m +的值；(3)当1x >时，对于x 的每一个值，都有12y y <，求m 的取值范围．核心考点二分式的基本性质（2020·河北·中考真题）若a b ¹，则下列分式化简正确的是（）A ．22a ab b+=+B ．22a ab b-=-C ．22a a b b=D．1212aa b b =【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式22x x -与282x x -的最简公分母是_______，方程228122-=x x x x的解是____________．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x ﹣2）2﹣x （x ﹣1）24x x x-+．知识点：分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
分式的运算法则公式
分式的运算法则公式一、分式的加法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的和可以表示为一个新的分式：a/b + c/d = (ad + bc)/bd例如：1/2+2/3=(1*3+2*2)/(2*3)=7/6二、分式的减法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的差可以表示为一个新的分式：a/b - c/d = (ad - bc)/bd例如：2/3-1/4=(2*4-1*3)/(3*4)=5/12三、分式的乘法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：(a/b) * (c/d) = (ac)/(bd)例如：1/2*2/3=(1*2)/(2*3)=1/3四、分式的除法法则公式设a/b和c/d是两个分式，那么它们的除法可以表示为一个新的分式：(a/b)/(c/d)=(a/b)*(d/c)=(a*d)/(b*c)例如：1/2÷2/3=(1/2)*(3/2)=(1*3)/(2*2)=3/4五、带分数的乘积法则公式设a是一个整数，b/c是一个带分数，那么它们的乘积可以表示为一个新的分式：a*(b/c)=(a*b)/c例如：2*(11/2)=(2*3)/2=3设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的倒数可以表示为一个新的分式：1/(a/b)=b/a例如：1/(2/3)=3/2设a/b是一个分式，并且a/b不等于0，那么它的负数可以表示为一个新的分式：-(a/b)=(-a)/b=a/(-b)例如：-(2/3)=(-2)/3=2/(-3)以上就是关于分式的运算法则公式的详细介绍。
通过运用这些公式，我们可以简化分式的运算，更加方便地求解分式的加减乘除问题。
分式的运算与分式方程
分式的运算与分式方程一、分式的运算1、分式的乘除分式乘法法则：分式乘分式，分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即DB CA D CB A ⋅⋅=⋅分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即C BD A C D B A D C B A ⋅⋅=⋅=÷分式的乘方：b ab a n nn=）（ ，此公式不仅要会正用，有时根据题目需要还要会逆用。
2、分式的加减运算的次序：（1）同级运算，应从左到右按顺序算。
（2）进行乘除与乘方的混合运算时，应先乘方后乘除。
（3）分式混合运算，先算乘除，再算加减。
例1、（1）化简：1112421222-÷+--⋅--a a a a a a （2）化简：2324324422222+⋅--+÷++-+x x x x x x x x （3）化简：()a b bba ab a -÷-⋅+222 （4）化简：()）（）（y x x y x xyyx-⋅+÷-2223例2、计算：（1）81385---+m m m （2）s s -++1312 （3）11122---x x x（4）969392222++-+++x xx x x x x （5）111+-+x x （6）242++-a a例3、（1）2121442-÷++-x x x ）（（2）x x x x x x x x 44412222-÷+----+）（（3）12111222+-÷--+x xx x x例4、有这样一道题：“计算：xxx x x x x -+-÷-+-2221112的值，其中2007=x ”，某同学把2007=x 错抄成2008=x ，但它的结果与正确答案相同，你说这是怎么回事？例5、已知aba abb b a ab b ab a --⋅+÷-+2222的值为正整数，试求所有符合条件的a 的整数值.例6、已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22aa a a --的值.例7、求待定字母的值（1）若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. （2）已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值.例8、若.1111的值，求++++++++=c ca cb bc b a ab a abc二、整数指数幂两个规定：（1）当100=≠a a 时，；（2）当aa a nn 1,0=≠-时.由此我们可以将正整数数幂推广到全体整数。
分式的运算
分式的运算
★一、分式的四则运算：
⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：
⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：
⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：
⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：
⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：
★二、约分与通分
1．确定最简公分母的方法：
①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：
①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；
②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.
★三、整数指数幂
1．知道负整数指数幂=（a≠0，n是正整数）.
2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，.
3．科学计数法：
①你还记得1纳米=0.000000001米？②太阳离地球150********00千米？。
分式的四则运算和化简
分式的四则运算和化简分式是数学中常见的一种形式，它可以表示一个数或者一个算式。
在数学中，我们经常需要进行分式的四则运算和化简，这是数学学习的基础内容之一。
本文将详细介绍分式的四则运算和化简的方法和技巧，帮助中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一知识点。
一、分式的加法和减法分式的加法和减法是较为简单的运算，只需要注意分母相同或者分母不同的情况即可。
当分母相同时，我们只需要将分子相加或者相减，分母保持不变即可。
例如，计算1/3 + 2/3，由于分母相同，我们可以直接将分子相加，得到3/3，再化简为1。
当分母不同时，我们需要找到一个公倍数，将分式的分母变成公倍数，然后按照分母相同的情况进行运算。
例如，计算1/2 + 1/3，我们可以找到它们的最小公倍数是6，将分式的分母变成6，得到3/6 + 2/6，然后将分子相加，得到5/6。
二、分式的乘法分式的乘法也比较简单，只需要将分子相乘，分母相乘即可。
例如，计算1/2× 2/3，我们可以直接将分子相乘得到2，分母相乘得到6，然后化简为1/3。
三、分式的除法分式的除法也是比较简单的，只需要将除号变成乘号，然后将除数的分子和被除数的分母相乘，除数的分母和被除数的分子相乘即可。
例如，计算1/2 ÷ 2/3，我们可以将除号变成乘号，得到1/2 ×3/2，然后将分子相乘得到3，分母相乘得到4，最后化简为3/4。
四、分式的化简分式的化简是将一个分式写成最简形式的过程。
化简分式的关键是找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母同时除以最大公约数。
例如，化简4/6，我们可以找到它们的最大公约数是2，然后将分子和分母同时除以2，得到2/3。
化简分式时，我们还需要注意约定分式的符号。
如果分子和分母都是正数或者都是负数，那么化简后的分式也是正数；如果分子和分母一正一负，那么化简后的分式是负数。
五、分式的应用举例分式的四则运算和化简在实际问题中有着广泛的应用。
分式的运算与性质
分式的运算与性质一、引言分式是数学中常见的一种表达形式，它是数的比的记法。
分式的运算是数学中的基本操作之一，通过对分式进行加、减、乘、除等运算可以得到一个新的分式。
同时，分式还具有一些独特的性质和规律。
本文将深入探讨分式的运算与性质，通过几个实例来帮助读者掌握和理解分式的运算方法和特点。
二、加法和减法运算1. 加法运算：分式加法的基本原则是分母必须相同，即只有当两个分式的分母相同，我们才能进行相加。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子加起来，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式1/2 + 2/3的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，1/2 = 3/6，2/3 = 4/6；b) 将分子加起来，得到3/6 + 4/6 = 7/6；c) 结果7/6无法再化简，因此最终结果为7/6。
2. 减法运算：分式减法与加法类似，同样要求两个分式的分母相同。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分母化为相同的形式；b) 将分子相减，分母保持不变；c) 化简结果。
例如：求解分式3/4 - 1/2的结果。
解：a) 将两个分式的分母化为相同的形式，3/4 = 6/8，1/2 = 4/8；b) 将分子相减，得到6/8 - 4/8 = 2/8；c) 结果2/8可以化简为1/4，因此最终结果为1/4。
三、乘法和除法运算1. 乘法运算：分式乘法可以简单地将两个分式的分子相乘，分母相乘，得到一个新的分式。
具体步骤如下：a) 将两个分式的分子相乘，分母相乘；b) 化简结果。
例如：求解分式2/3 × 4/5的结果。
解：a) 将两个分式的分子相乘，得到2 × 4 = 8；b) 将两个分式的分母相乘，得到3 × 5 = 15；c) 结果8/15无法再化简，因此最终结果为8/15。
2. 除法运算：分式除法可以将除数的分子与被除数的分母相乘，除数的分母与被除数的分子相乘，得到一个新的分式。
第讲分式的基本性质及其运算
第3讲 分式的基本性质及其运算第一部分 知识要点一、分式的性质1. 形如A B（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0）的式子叫做分式。
① 分式有意义⇔分母B ≠0②分式无意义⇔分母B=0③ 分式值为0⇔分子A=0且分母B ≠02. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示为：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。
3. 最简分式就是分子、分母中不含有公因式的分式。
4. 分式的符号变号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，用式子表示为：BA B A B A B A --=--=--=。
5. 约分是把分子、分母中的公因式约去的过程；通分是根据分式本身的性质，不改变分式的值，把几个分母不同的分式化为分母相同的分式的过程。
二、分式的运算1. 分式运算法则： ①bcad c d b a d c b a =⨯=÷ ②为正整数）n ba b a n nn ()(= ③bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± ④)0()1(1≠==-a a a a p p p 2. 分式的乘除运算其实就是约分，约分时，分子、分母如果是多项式的，先因式分解再约分；分式的加减运算其实就是通分，通分的关键在于确定公分母。
3. 分式的加减乘除乘方混合运算顺序，应注意选择合适的运算律改变运算顺序以使运算简便三 分式方程1、分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解2. 解分式方程组的基本思想是：化为整式方程（两种做法：去分母，换元；常见思路：取倒，方程叠加）。
3. 分式方程的应用主要是列方程解应用题。
做题步骤为：①审；②设；③列；④解；⑤检；⑥答。
专题04 分式及其运算
专题04 分式及其运算☞考点归纳归纳1：分式的有关概念分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零．注意问题归纳：1.分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0.2.分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．【例1】使分式21x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x =1 C ．x ≤1 D ．x ≥1【例2】分式x 3x 3-+的值为零，则x 的值为（ ）A . 3B . ﹣3C . ±3D . 任意实数归纳2：分式的性质分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为)0()0(≠÷÷=≠⋅⋅=C C B C A B A C C B C A B A注意问题归纳：1.分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变；2.将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底；3.巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值.【例3】化简2244xy y x x --+的结果是（ ） A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x - 【例4】已知x +y =xy ，求代数式11x y+-（1-x ）（1-y ）的值．归纳3：分式的加减运算基础知识归纳：加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变,分子相加减 ② 异分母的分式相加减：先通分,变为同分母的分式,然后再加减 . 注意问题归纳：1.分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母.求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母．【例5】计算：1a a 11a +--的结果是． 【例6】化简21639x x ++-的结果是 归纳 4：分式的乘除运算1.乘法法则：分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.乘方法则：分式的乘方,把分子、分母分别乘方.2.除法法则：分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘. 注意问题归纳：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去.【例7】计算：222x 1x x .x 1x 2x 1--⋅+-+ 归纳5：分式的混合运算基础知识归纳：在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意问题归纳：注意运算顺序，计算准确.【例8】化简：222x 2x 6x 3x 1x 1x 2x 1++-÷+--+全 国 中 考 体 验(2.4分式)1.要使分式有意义，x 应满足的条件是（ ） A ．x ＞3 B ．x=3 C ．x ＜3 D ．x ≠32.化简的结果是（ ） A ． B ． C ． D ．3.(2017济南，6，3分)化简a 2＋ab a －b ÷ab a －b 的结果是( )A ．a 2B ．a 2a －b C ．a －b b D ．a ＋b b 4.（3分）如果a 2+2a ﹣1=0，那么代数式（a ﹣a 4）•22-a a 的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣1 C ．1D ．3 5.计算﹣的结果是（ ）A ． B ． C ． D ． 6.若式子21x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 7.若分式241x x -+的值为0，则x 的值为 8.化简：xx x x 112++-9.（3分）计算：a−1a +2+3a +2= ． 10. 化简：23332x x x x x -⎛⎫+= ⎪---⎝⎭ ______ 11.计算：22x y xy y x x x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭． 12.化简：2225(1)14x x x x -+⋅++- 13.计算：（+a ﹣2）÷．14. ）化简：bb a a b a 222)(-÷- 2442x x x x ---22x x -+26x x -+2x x -+2x x -15. 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣116.（本小题满分5分） 先化简144)111(22-+-÷--x x x x ，再从不等式612<-x 的正整数解中选一个适当的数代入求值．17. 先化简，再求值：，其中 18.先化简，再求值：，其中，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x2 x 6 x 3 的值。 5. 若x为 2 1 的倒数，求 2 x3 x x6
展示二
2a 4.若分式 的 a，b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则此分式 a＋b 的值( ) A．是原来的 20 倍 B．是原来的 10 倍 1 C．是原来的10 D．不变
m2－4mn＋4n2 5．化简： ＝____________. m2－4n2
ห้องสมุดไป่ตู้
x2－1 6．化简求值： 2 ，其中 x＝ 2－1. x ＋2x＋1
考点2
分式的基本性质
分式的基 分式的分子与分母都乘(或除以) 本性质 ______________________，分式的值不变． 分式的约分是根据分式基本性质约去分式 分式基本 约分 中分子与分母的_________使分式变成 ___________． 性 质的运用 根据分式的基本性质，将异分母的分式化 通分 成____________的分式． 约分与通 两者都是利用分式的__________，约分是将一个 分的联系 分式化成最简分式，而通分是将几个分母不同的 与区别 分式化成同分母的分式.
回顾目标
这节课你有哪些收获？ 你有哪些困惑?
当堂检测
1.下列运算正确的是( －x－y x－y A. ＝ －x＋y x＋y a2－b2 a＋b C. ＝ a－b 2 a－b ) a2－b2 a－b B. ＝ a－b 2 a＋b x－1 1 D. ＝ 1－x2 x＋1
2.若分式
1 有意义，则实数 x 的取值范围是________． x－5
展示一
1．使分式 1 A．x≥2 1 C．x＞2 x 有意义，则 x 的取值范围是( 2x－1 1 B．x≤2 1 D．x≠2 )
3x－6 2．若分式 的值为 0，则( 2x＋1 1 A．x＝－2 B．x＝－2
) 1 C．x＝2 D．x＝2
3．下列各式中哪些是分式？ 2 2 1 7a a ＋2 3x＋5 3 5x －3 x＋y －3x，9b， 5 ， ，－b， ， 2π x－2 2ɑ＋2
第六章 频率与概率
1.频率与概率 (2)
九年级数学组
分式及其运算
复习目标
1.了解分式的概念，理解并掌握分式的基本性质。
2.掌握分式的加、减、乘、除运算。
考点1
分式的有关概念
A 分式的 A， B 是整式，形如B的式子，当 B_________ 概念 B， 且_________时叫做分式． 最简分 分式的分子与分母________________的分式叫 式 做最简分式． 最简公 几个分式的分母中所有因式的_____________ 分母 叫做这几个分式的最简公分母.
考点3 分式的运算
展示三
4 m2 7.化简： ＋ ＝______________. m－2 2－m
b a 8．已知 ab＝－1，a＋b＝2，则a＋b＝________.
9．计算：
2a 3a2 － (1)(－6ab2)2· 4b2÷ － b ；
y2 (2) －y＋2. y＋2
3x2－27 3. 如果分式 的值为 0，则 x 的值应为________． x－3
4.已知
1 1 3 ,则代数式 2 x 14 xy 2 y 的值为 x y x 2 xy y
．
x2 x 6 x 3 的值。 5. 若x为 2 1 的倒数，求 2 x3 x x6