高二圆与方程经典复习题

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高二圆与方程基础练习题

高二圆与方程基础练习题1. 已知圆心坐标为O(2, 3)，半径为r = 5。

求圆的方程。

解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

代入已知数据，得到方程为(x-2)²+(y-3)²=5²。

2. 已知圆心坐标为M(-2, 4)，圆上一点的坐标为A(3, -1)。

求圆的方程。

解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

代入已知数据，得到方程为(x+2)²+(y-4)²=6²。

3. 已知圆心坐标为N(0, -5)，半径为r = 7。

求圆的方程。

解答:设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。

代入已知数据，得到方程为(x-0)²+(y+5)²=7²。

4. 已知圆心坐标为P(-3, 2)，过点Q(4, 5)的直线交圆于两点。

求交点坐标。

解答:设直线方程为y=mx+c，其中m为斜率，c为截距。

将直线方程代入圆的方程，得到(x+3)²+(mx-2m+c)²=5²。

代入点Q的坐标，得到(4+3)²+(4m-2m+c)²=25。

化简为49+25m²-20m+c²=25。

化简后得到25m²-20m+c²=-24。

由于过点Q的直线交圆于两点，可以设两个交点的坐标为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。

根据交点的性质，有以下方程组：(x₁+3)²+(mx₁-2m+c)²=5²,(x₂+3)²+(mx₂-2m+c)²=5².解方程组得到交点坐标为(x₁, y₁)≈(-1.26, 6.37)和(x₂, y₂)≈(-5.42, -2.37)。

高二圆与方程练习题

高二圆与方程练习题题目一：已知圆心为O，半径为r的圆C，过点A（2，3）的切线与圆C相交于点B，且∠AOB = 60°。

求圆C的方程。

解答：设圆C的方程为(x - p)² + (y - q)² = r²。

由题意可知，点A（2，3）在圆C上，即（2 - p）² + (3 - q)² = r²①。

又已知∠AOB = 60°，则角AOB是一个正三角形，OB的长度等于r，而点B在切线上，所以OB ⊥ AB。

根据切线与半径的垂直性质可知，∠OAB = 90°，则AO的长度等于r。

因此，我们可以得到点O的坐标为(p，q+r)。

由正三角形的性质可知，三角形AOB中，∠ABO = 30°，所以△ABO为等腰三角形。

根据等腰三角形的性质可知，OA = OB，即√[(2 - p)² + (3 - q)²] =√[(p - 2)² + (q + r - 3)²] ②。

将①式代入②式中，并整理得：(2 - p)² + (3 - q)² = (p - 2)² + (q + r - 3)²。

化简上式得 jq + pr - pq = r²即 jq + pr = pq + r²由此推出 q(p - j) = r² - pr = r² - qr + 2r(q - 3) + qr²化简得 pr = 2r(q - 3)再由Pr = 2r(x - p)解得 x = (pq - 6r) / (p - 2r) + 2r验证题意满足所以得方程为 (x - pq/(p-2r) )² + (y + 6/(p-2r) ) ² = r²题目二：已知圆C的方程为(x - 4)² + (y + 3)² = 25，请求圆C的圆心和半径。

高考圆复习题

高考圆复习题一、选择题1. 圆的标准方程是：A. \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)B. \(x^2+y^2=r^2\)C. \((x-a)^2+(y-b)^2=1\)D. \(x^2+y^2=1\)2. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 圆的切线与半径垂直，切点到圆心的距离等于：A. 半径的长度B. 切线的长度C. 圆心到切点的距离D. 半径的一半二、填空题4. 若圆的方程为 \(x^2+y^2=9\)，圆心坐标为（0，0），半径为3，则圆上任意一点P(x,y)到圆心的距离为______。

5. 圆 \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\) 与直线 \(Ax+By+C=0\) 相切，则\(D^2+E^2-4F=\) ______。

三、解答题6. 已知圆 \((x-2)^2+(y+1)^2=9\)，求圆心坐标和半径。

7. 证明：圆的任意一条直径所对的圆周角是直角。

8. 已知圆心在原点，半径为4的圆，求经过点P(3,2)的圆的切线方程。

四、综合题9. 圆 \(x^2+y^2-4x-6y-10=0\) 与直线 \(2x+3y-11=0\) 相交于A、B 两点，求弦AB的长度。

10. 已知圆 \(x^2+y^2=16\) 内接于一个矩形，求矩形的面积最大值。

【答案】1. A2. B3. A4. 35. \(AB^2\)6. 圆心坐标为(2,-1)，半径为3。

7. 证明略。

8. 切线方程为 \(x+3y-7=0\) 或 \(3x-y-5=0\)。

9. 弦AB的长度为 \(\sqrt{65}\)。

10. 矩形面积最大值为32。

【结束语】通过以上题目的练习，相信同学们对圆的方程、性质、与直线的位置关系等知识点有了更深刻的理解和掌握。

希望同学们能够继续努力，不断巩固和提高自己的数学能力，为即将到来的高考做好充分的准备。

高考数学复习圆的方程专项练习(附解析)

高考数学复习圆的方程专项练习（附解析）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。

以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。

一、填空题1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________.[解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1，解得a=2或a=-(舍).因此该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.[答案] (x-2)2+(y-1)2=12.(2021南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________.[解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上，该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0，因此-+1-1=0，解得a=0，因此圆心坐标为(0,1).[答案] (0,1)3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________.[解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x联立可求得圆心为(1，-4).半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.[答案] (x-1)2+(y+4)2=84.(2021江苏常州模拟)已知实数x，y满足x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y |的最小值为________.[解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令x=2+cos ，y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin |=|7-sin (-7-(tan =2).[答案] 7-5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________.[解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，因此a+b =2.因此+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b =时取等号.[答案] 96.(2021南京市、盐都市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2 +(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________.[解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，因此kOP==1，kAB=-1，而直线AB过P点，因此直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即x+y-3=0.[答案] x+y-3=07.(2021泰州质检)若a，且方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a =________.[解析] 要使方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a2+(2a)2-4(2a2 +a-1)0，解得-20)关于直线x+y+2=0对称.(1)求圆C的方程;(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值.[解] (1)设圆心C(a，b)，由题意得解得则圆C的方程为x2+y2=r2，将点P的坐标代入得r2=2，故圆C的方程为x2+y2=2.(2)设Q(x，y)，则x2+y2=2，=(x-1，y-1)(x+2，y+2)=x2+y2+x+y-4=x+y-2.令x=cos ，y=sin ，=x+y-2=(sin +cos )-2=2sin-2，因此的最小值为-4.10.已知圆的圆心为坐标原点，且通过点(-1，).(1)求圆的方程;(2)若直线l1：x-y+b=0与此圆有且只有一个公共点，求b的值;(3)求直线l2：x-y+2=0被此圆截得的弦长.[解] (1)已知圆心为(0,0)，半径r==2，因此圆的方程为x2+y2=4.(2)由已知得l1与圆相切，则圆心(0,0)到l1的距离等于半径2，即=2，解得b=4.(3)l2与圆x2+y2=4相交，圆心(0,0)到l2的距离d==，所截弦长l=2=2= 2.一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

高二数学圆的一般方程练习题

高二数学圆的一般方程练习题一、填空题1. 圆C的半径为5，圆心坐标为(2, -3)，求圆C的一般方程。

2. 已知圆的一般方程为x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0，求圆的圆心坐标和半径。

3. 圆心在原点O，通过点A(3,4)，则圆的一般方程为________。

4. 圆C的圆心为(-2, 3)，与直线y = 2x + 1相切，求圆C的一般方程。

5. 给定两个圆的一般方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 2y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

二、解答题1. 已知圆C的一般方程为x^2 + y^2 + 8x - 4y + 16 = 0，求圆C的圆心坐标和半径。

解答:将方程转化为标准方程:(x + 4)^2 - 16 + (y - 2)^2 - 4 = 0(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 20圆的圆心坐标为(-4, 2)，半径为√20。

2. 设点A(1, 2)，点B(4, 5)为直径所在直线上的两个点，求过点A且与直线Bx + 4y - 17 = 0相切的圆的一般方程。

解答:由于圆与直线相切，所以圆心到直线距离等于半径。

圆心到直线的距离公式为d = |Ax + By + C|/√(A^2 + B^2)，其中A、B、C为直线的系数。

将直线的方程Bx + 4y - 17 = 0转化为一般方程：4y = -Bx + 174y + Bx - 17 = 0因此，直线的A、B、C分别为0、4、-17。

点A(1, 2)到直线的距离为d1 = |0*1 + 4*2 - 17|/√(0^2 + 4^2) = 13/2过点A的圆的一般方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (13/2)^2。

3. 已知两个圆的方程分别为x^2 + y^2 + 6x - 2y + 10 = 0和x^2 + y^2 + 4x + 8y + 5 = 0，求这两个圆的位置关系。

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解

高中数学高考总复习圆的方程习题及详解一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 [答案] B[解析] 依题意设圆心C (a,1)(a >0)，由圆C 与直线4x －3y ＝0相切得，|4a －3|5＝1，解得a ＝2，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选B.(理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线x 26－y 23＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－23x ＋2＝0B ．(x －3)2＋y 2＝9C ．x 2＋y 2＋23x ＋2＝0D ．(x －3)2＋y 2＝3[答案] D[解析] 双曲线右焦点F (3,0)，渐近线方程y ＝±22x ，故圆半径r ＝3，故圆方程为(x－3)2＋y 2＝3.2．已知两点A (－1,0)，B (0,2)，点P 是圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是( )A ．2，12(4－5)B.12(4＋5)，12(4－5) C.5，4－ 5D.12(5＋2)，12(5－2) [答案] B[解析] 如图圆心(1,0)到直线AB ：2x －y ＋2＝0的距离为d ＝45，故圆上的点P 到直线AB 的距离的最大值是45＋1，最小值是45－1.又|AB |＝5，故△P AB 面积的最大值和最小值分别是2＋52，2－52.3．(文)(2010·延边州质检)已知圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝1上一点P 到直线3x －4y －3＝0距离为d ，则d 的最小值为( )A ．1 B.45 C.25D ．2[答案] A[解析] ∵圆心C (－1,1)到直线3x －4y －3＝0距离为2，∴d min ＝2－1＝1.(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，k 的值为( )A.13B.15 C ．－13D ．－15[答案] D[解析] 圆C 的方程可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心C 的坐标为(－1,1)，又直线kx ＋y ＋4＝0恒过点A (0，－4)，所以当圆心C 到直线kx ＋y ＋4＝0的距离最大时，直线CA 应垂直于直线kx ＋y ＋4＝0，直线CA 的斜率为－5，所以－k ＝15，k ＝－15.4．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示的圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1[答案] D[解析] ∵方程表示圆∴16m 2＋4－20m >0，∴m <14或m >1.5．已知f (x )＝(x －1)(x ＋2)的圆象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点．则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(0，2)D ．(0，22) [答案] A[解析] f (x )的图象与x 轴交于点A (1,0)，B (－2,0)，与y 轴交于点C (0，－2)，设过A 、B 、C 三点的圆与y 轴另一个交点为D (0，a )，易知a ＝1.6．(2010·北京海淀区)已知动圆C 经过点F (0,1)，并且与直线y ＝－1相切，若直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，则圆C 的面积( )A ．有最大值πB ．有最小值πC ．有最大值4πD ．有最小值4π[答案] D[解析] 由于圆经过点F (0,1)且与直线y ＝－1相切，所以圆心C 到点F 与到直线y ＝－1的距离相等，由抛物线的定义知点C 的轨迹方程为x 2＝4y ，设C 点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 024，∵⊙C 过点F ，∴半径r ＝|CF |＝(x 0－0)2＋⎝⎛⎭⎫x 024－12＝x024＋1，直线3x －4y ＋20＝0与圆C 有公共点，即转化为点⎝⎛⎭⎫x 0，x 024到直线3x －4y ＋20＝0的距离d ＝|3x 0－4×x 024＋20|5≤x 024＋1，解得x 0≥103或x 0≤－2，从而得圆C 的半径r ＝x 024＋1≥2，故圆的面积有最小值4π. 7．(文)已知a ≠b ，且a 2sin θ＋a cos θ－π4＝0，b 2sin θ＋b cos θ－π4＝0，则连结(a ，a 2)，(b ，b 2)两点的直线与单位圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定[答案] A[解析] ∵A (a ，a 2)，B (b ，b 2)都在直线x cos θ＋y sin θ－π4＝0上，原点到该直线距离d ＝⎪⎪⎪⎪－π4sin 2θ＋cos 2θ＝π4<1，故直线AB 与单位圆相交．(理)(2010·温州中学)设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )A ．4 B.163 C.473D ．5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A 1(－3,0)，A 2(3,0)，焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，A 1F 1的垂直平分线x ＝－4，代入双曲线方程中得，y ＝±473，∴圆心⎝⎛⎭⎫－4，473到双曲线中心距离为d ＝(－4－0)2＋⎝⎛⎭⎫473－02＝163，A 1F 2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.8．(2010·吉林省质检)圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，0)C ．(－4，＋∞)D ．(4，＋∞)[答案] A[解析] ∵方程x 2＋y 2－2x ＋6y ＋5a ＝0表示圆， ∴4＋36－20a >0，∴a <2，又圆关于直线y ＝x ＋2b 成轴对称图形， ∴圆心(1，－3)在直线上，∴－3＝1＋2b ，∴b ＝－2，∴a －b <4. 9．(文)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋2y －4≤0表示的平面区域恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝5B ．(x －2)2＋(y －1)2＝8C ．(x －4)2＋(y －1)2＝6D ．(x －2)2＋(y －1)2＝5 [答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ 是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是5，所以圆C 的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝5.(理)(2010·北京东城区)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1x －y ≥－1y ≥0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx－3k 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0B.⎝⎛⎦⎤－∞，13 C.⎝⎛⎦⎤0，13 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 [答案] A[解析] 画出可行域如图，直线y ＝kx －3k 过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k ＝0，最小值为k ＝0－13－0＝－13.10．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取最小值时，过点P (x ，y )引圆C ：⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋142＝12的切线，则此切线长等于( )A.12B.32C.62D.32[答案] C[解析] 由于点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，得x ，y 满足x ＋2y ＝3，又2x ＋4y ＝2x＋22y ≥22x＋2y＝42，取得最小值时x ＝2y ，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，34.由于点P 到圆心C ⎝⎛⎭⎫12，－14的距离为d ＝⎝⎛⎭⎫32－122＋⎝⎛⎭⎫34＋142＝2，而圆C 的半径为r ＝22，那么切线长为d 2－r 2＝2－12＝62，故选C. 二、填空题11．(文)(2010·金华十校)圆C 的半径为1，圆心在第一象限，与y 轴相切，与x 轴相交于A 、B ，|AB |＝3，则该圆的标准方程是________．[答案] (x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1 [解析] 设圆心C (a ，b )，由条件知a ＝1，取弦AB 中点D ，则CD ＝AC 2－AD 2＝12－⎝⎛⎭⎫322＝12，即b ＝12，∴圆方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝1.(理)已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线y 2＝2x 上，其中O 为坐标原点，则△OAB 的外接圆的方程是________________．[答案] (x －4)2＋y 2＝16[解析] 由抛物线的性质知，A ，B 两点关于x 轴对称，所以△OAB 外接圆的圆心C 在x 轴上．设圆心坐标为(r,0)，并设A 点在第一象限，则A 点坐标为⎝⎛⎭⎫32r ，32r ，于是有⎝⎛⎭⎫32r 2＝2×32r ，解得r ＝4，所以圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝16.12．(2010·南京师大附中)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )的导函数f ′(x )<0恒成立，且f (4)＝1，若f (x 2＋y 2)≤1，则x 2＋y 2＋2x ＋2y 的最小值是________．[答案] 6－4 2[解析] 依题意得，f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∵f (x 2＋y 2)≤1，f (4)＝1，∴f (x 2＋y 2)≤f (4)， ∴x 2＋y 2≥4，又因为x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2－2，(x ＋1)2＋(y ＋1)2可以看作是点(x ，y )到点(－1，－1)的距离的平方．由圆的知识可知，最小值为(r －|OC |)2＝(2－2)2＝6－4 2.13．(文)(2010·浙江杭州市质检)已知A 、B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________．[答案] (x －1)2＋(y ＋1)2＝9[解析] ∵M 是以AB 为直径的圆的圆心，|AB |＝6，∴半径为3，又⊙M 经过点C ，∴|CM |＝12|AB |＝3，∴点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9.(理)(2010·胶州三中)以椭圆x 241＋y 216＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程为________．[答案] (x －5)2＋y 2＝16[解析] 由c 2＝41－16＝25得c ＝5，∴椭圆右焦点F 2(5,0)，又双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，∴圆半径r ＝|4×5＋0|42＋32＝4，∴圆方程为(x －5)2＋y 2＝16. 14．(文)(2010·天津文，14)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为__________．[答案] (x ＋1)2＋y 2＝2[解析] 在直线方程x －y ＋1＝0中，令y ＝0得，x ＝－1，∴圆心坐标为(－1,0)，由点到直线的距离公式得圆的半径 R ＝|－1＋0＋3|2＝2，∴圆的标准方程为(x ＋1)＋y 2＝2.(理)(2010·瑞安中学)已知圆x 2＋y 2＝r 2在曲线|x |＋|y |＝4的内部(含边界)，则半径r 的范围是______．[答案] (0,22][解析] 如图，曲线C ：|x |＋|y |＝4为正方形ABCD ，∵圆x 2＋y 2＝r 2在曲线C 的内部(含边界) ∴0<r ≤|OM |＝2 2. 三、解答题15．(2010·广东华南师大附中)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连结OA ，OC ，求△AOC 的面积S . [解析] (1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1.当切线的斜率不存在时，过点A 的直线方程为x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．当k 存在时，设直线方程为y －5＝k (x －3)，即kx －y ＋5－3k ＝0，由直线与圆相切得， |－k ＋2|k 2＋1＝1，∴k ＝34.∴过点A 的圆的切线方程为x ＝3或y ＝34x ＋114.(2)|AO |＝9＋25＝34，过点A 的圆的切线OA ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝134， S ＝12·d ·|AO |＝12. 16．(文)(2010·烟台诊断)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m <3，半径为5，圆C 与椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有一个公共点A (3,1)，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点．(1)求圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程；若不能，请说明理由．[解析] (1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m <3) 将点A 的坐标代入圆C 的方程得，(3－m )2＋1＝5 即(3－m )2＝4，解得m ＝1，或m ＝5 ∵m <3，∴m ＝1∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切依题意设直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4，即kx －y －4k ＋4＝0若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|k 2＋1＝ 5 ∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112，或k ＝12当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为3611，不合题意，舍去当k ＝12时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0) ∴由椭圆的定义得： 2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝(3＋4)2＋12＋(3－4)2＋12 ＝52＋2＝6 2∴a ＝32，即a 2＝18，∴b 2＝a 2－c 2＝2直线PF 1能与圆C 相切，直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 22＝1.(理)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．[解析] (1)设圆C 的圆心为A (p ，q )，则圆C 的方程为(x －p )2＋(y －q )2＝8. ∵直线y ＝x 与圆C 相切于坐标原点O ， ∴O 在圆C 上，且直线OA 垂直于直线y ＝x .于是有⎩⎪⎨⎪⎧p 2＋q 2＝8p q＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝2q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－2q ＝2. 由于点C (p ，q )在第二象限，故p <0. 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)∵椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10，∴2a ＝10，∴a ＝5.故椭圆右焦点为F (4,0)．若圆C 上存在异于原点的点Q (x 0，y 0)到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长，则有|QF |＝|OF |，于是(x 0－4)2＋y 02＝42，且x 02＋y 02≠0①由于Q (x 0，y 0)在圆上，故有(x 0＋2)2＋(y 0－2)2＝8.②解①和②得⎩⎨⎧x 0＝45y 0＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.17．(文)设O 点为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有两点P 、Q 关于直线x ＋my ＋4＝0对称，且OP →·OQ →＝0.(1)求m 的值； (2)求直线PQ 的方程．[解析] (1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆． ∵点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称． ∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m ＝－1. (2)∵直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，∴设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 方程为y ＝－x ＋b . 将y ＝－x ＋b 代入圆方程得， 2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0. Δ＝4(4－b )2－8×(b 2－6b ＋1)>0， ∴2－32<b <2＋32，由韦达定理得，x 1＋x 2＝b －4，x 1·x 2＝b 2－6b ＋12，y 1·y 2＝(－x 1＋b )(－x 2＋b )＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＝b 2＋2b ＋12，∵OP →·OQ →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－6b ＋12＋b 2＋2b ＋12＝0.解得b ＝1∈(2－32，2＋32)． ∴所求的直线PQ 方程为y ＝－x ＋1.(理)已知动圆P 与定圆B ：x 2＋y 2＋25x －31＝0内切，且动圆P 经过一定点A (5，0)． (1)求动圆圆心P 的轨迹E 的方程；(2)若已知点D (0,3)，M 、N 在曲线E 上，且DM →＝λDN →，求实数λ的取值范围． [解析] (1)定圆B 的圆心B (－5，0)，半径r ＝6， ∵动圆P 与定圆B 内切，且过A (5，0)， ∴|P A |＋|PB |＝6.∴动圆圆心P 的轨迹E 是以B 、A 为焦点，长轴长为6的椭圆．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则2a ＝6，a ＝3，c ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝4. ∴椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由DM →＝λDN →，可得(x 1，y 1－3)＝λ(x 2，y 2－3)，故⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2y 1＝λ(y 2－3)＋3.∵M ，N 在动点P 的轨迹上，∴⎩⎨⎧(λx 2)29＋(λy 2＋3－3λ)24＝1x 229＋y224＝1，消去x 2得，(λy 2＋3－3λ)2－λ2y 224＝1－λ2.解得y 2＝13λ－56λ(λ≠1)或λ＝1.①当λ＝1时，M 与N 重合，DM →＝DN →，满足条件．高考总复习含详解答案 ②当λ≠1时，∵|y 2|≤2，∴⎪⎪⎪⎪13λ－56λ≤2，解得15≤λ≤5，且λ≠1. 综上可得λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤15，5.。

高二数学圆与方程练习题

高二数学圆与方程练习题1.已知曲线C的方程为x^2+y^2-4x-6y+9=0，求曲线C的圆心坐标及半径长度。

解：我们可以将方程进行配方变换，得到(x-2)^2-4+(y-3)^2-9+4+9=0，化简为(x-2)^2+(y-3)^2=4+9=13。

由此可见，该方程表示的曲线C为一个圆，圆心的横坐标为2，纵坐标为3，半径为√13。

2.已知三角形ABC中的顶角A为120°，边AB的长度为3，边BC的长度为2，求边AC的长度。

解：我们可以利用余弦定理来求解该问题。

根据余弦定理，边AC的平方等于边AB的平方加上边BC的平方减去2倍边AB与边BC的乘积再乘以A的余弦值（即cosA）。

代入已知数据，得到AC的平方等于3^2+2^2-2*3*2*cos120°。

化简计算可得AC的平方等于9+4-12*(-0.5)，即AC的平方等于13。

因此，边AC的长度为√13。

3.已知函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)-1，且f(0)=3，求f(2019)的值。

解：根据已知条件，我们可以通过迭代计算的方法来求解f(2019)。

首先，将f(x+1)的表达式代入方程中，得到f(x+1)=2f(x)-1，再将f(x)的表达式代入方程中，可得f(x+1)=2(2f(x)-1)-1。

将f(0)的值代入方程中，可得f(1)=2f(0)-1=2*3-1=5。

进一步迭代，我们可以得到f(2)=2f(1)-1=2*5-1=9，f(3)=2f(2)-1=2*9-1=17，依此类推。

观察上述结果，我们可以猜测f(x)的通项公式为f(x)=2^x+1。

通过数学归纳法可以证明该猜想成立。

首先，当x=0时，f(0)=2^0+1=1+1=2-1=3，与已知条件一致。

假设对任意的正整数k，都有f(k)=2^k+1成立。

那么对于k+1，根据迭代关系式，有f(k+1)=2f(k)-1=2(2^k+1)-1=2^(k+1)+1，即f(k+1)=2^(k+1)+1。

(完整版)高二数学圆专项训练

高二数学：圆专题一、圆的标准方程和一般方程1.【AB 】方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________.半径是________.【解析】由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1. 当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆. 2.【A 】圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为____________．【解析】设所求圆的标准方程为 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意得222222(2)(3),(2)(5),230.a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+--=⎨⎪--=⎩解得 21, 2,10.a b r =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.2.【B 】圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（） A ． B ． C ． D ．【解析】设圆心坐标为，则由题意知，解得，故y 22(2)1x y +-=22(2)1x y ++=22(1)(3)1x y -+-=22(3)1x y +-=(0,)b 1=2b =圆的方程为。

3.【A 】圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)的圆方程为。

【解析】设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.3.【B 】已知圆心在x 轴上，半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是__________．【解析】设圆心为(a,0)(a <0)，则|a |2＝2，解得a ＝－2，故圆O 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝2.二、与圆有关的轨迹问题1.【A 】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.求圆心P 的轨迹方程；【解析】 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.22(2)1x y +-=∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.2.【B 】点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________________．【解析】设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则x 02＋y 02＝4，连线中点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧ 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2，代入x 02＋y 02＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3.【A 】已知P(5,0)和圆1622=+y x ,过P 任意作直线l 与圆交于A 、B 两点,则弦AB 的中点M 的轨迹为．解：M 是弦的中点，可利用垂径定理。

圆的方程复习题

圆的方程复习题圆的方程复习题在数学中，圆是一个非常重要的几何形状。

它具有许多有趣的性质和应用。

在这篇文章中，我们将复习一些关于圆的方程的基本概念和问题。

通过这些复习题，我们可以更好地理解圆的方程以及如何应用它们解决实际问题。

1. 已知圆心为（2，-3），半径为5。

请写出这个圆的方程。

解答：圆的方程可以用标准方程表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径。

根据已知信息，我们可以得到这个圆的方程为：(x - 2)² + (y + 3)² = 25。

2. 已知一个圆的方程为x² + y² - 6x + 4y + 9 = 0。

求圆心和半径。

解答：首先，我们需要将方程转化为标准方程。

通过完成平方项并整理，我们可以得到(x - 3)² + (y + 2)² = 4²。

从这个标准方程中，我们可以看出圆心的坐标为(3, -2)，半径为4。

3. 已知两个圆的方程分别为x² + y² - 4x + 6y + 9 = 0和x² + y² + 2x - 8y + 1 = 0。

求这两个圆的交点坐标。

解答：为了求解这个问题，我们需要解这两个方程组。

首先，我们将两个方程整理为标准方程，得到(x - 2)² + (y + 3)² = 4²和(x + 1)² + (y - 4)² = 3²。

通过观察，我们可以看到这两个圆的圆心分别为(2, -3)和(-1, 4)，半径分别为4和3。

然后，我们可以将这两个圆的方程相减，得到(x - 2)² - (x + 1)² + (y + 3)² - (y - 4)² = 4² - 3²。

人教A版高中数学必修2《第四章圆与方程复习参考题》_7

章末检测一、选择题1．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形是( )A ．以(a ，b )为圆心的圆B ．以(－a ，－b )为圆心的圆C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )2．点P (m,3)与圆(x －2)2＋(y －1)2＝2的位置关系为( )A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．与m 的值有关 3．空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)和B (x ，－1,6)的距离为86，则x 的值为 ( ) A ．2B ．－8C ．2或－8D ．8或－2 4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[－3，－1] B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 5．设A 、B 是直线3x ＋4y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＋4y ＝0的两个交点，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．4x －3y －2＝0B ．4x －3y －6＝0C ．3x ＋4y ＋6＝0D ．3x ＋4y ＋8＝06．圆x 2＋y 2－4x ＝0过点P (1，3)的切线方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －3y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝07．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )A ．相离B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 8．已知圆O ：x 2＋y 2＝5和点A (1,2)，则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A ．5B ．10C.252D.2549．将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7B ．－2或8C ．0或10D ．1或1110．已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 11．若直线mx ＋2ny －4＝0(m 、n ∈R ，n ≠m )始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －4＝0的周长，则mn 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 12．过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 的距离为( )A ．4B ．2C.85D.125二、填空题13．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程为________． 14．过点P (－2,0)作直线l 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，则|P A |·|PB |＝________.15．若垂直于直线2x ＋y ＝0，且与圆x 2＋y 2＝5相切的切线方程为ax ＋2y ＋c ＝0，则ac 的值为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．三、解答题17．自点A (－3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程．18．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．19．已知圆x 2＋y 2－6mx －2(m －1)y ＋10m 2－2m －24＝0(m ∈R )．(1)求证：不论m 为何值，圆心在同一直线l 上； (2)与l 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．如图，已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，且有|PQ |＝|P A |. (1)求a 、b 间关系； (2)求|PQ |的最小值；(3)以P 为圆心作圆，使它与圆O 有公共点，试在其中求出半径最小的圆的方程．答案章末检测1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．D 7．C 8．D 9．A 10．A 11．C 12．A 13．2x ＋3y ＋8＝0 14．3 15．±5 16.4317．解如图所示，已知圆C ：x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0关于x 轴对称的圆为C 1：(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C 1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C 1相切．设l 的方程为y －3＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3＋3k ＝0. 则|5k ＋5|1＋k2＝1，即12k 2＋25k ＋12＝0. ∴k 1＝－43，k 2＝－34.则l 的方程为4x ＋3y ＋3＝0或3x ＋4y －3＝0.18．解设P ，Q 两点坐标为(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，由OP ⊥OQ 可得 x 1x 2＋y 1y 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0，x ＋2y －3＝0，可得5y 2－20y ＋12＋m ＝0.①所以y 1y 2＝12＋m5，y 1＋y 2＝4.又x 1x 2＝(3－2y 1)(3－2y 2) ＝9－6(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )，所以x 1x 2＋y 1y 2＝9－24＋45(12＋m )＋12＋m 5＝0，解得m ＝3.将m ＝3代入方程①，可得Δ＝202－4×5×15＝100>0，可知m ＝3满足题意，即3为所求m 的值．19．(1)证明配方得：(x －3m )2＋[y －(m －1)]2＝25，设圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m y ＝m －1，消去m 得x －3y －3＝0，则圆心恒在直线l ：x －3y －3＝0上．(2)解设与l 平行的直线是l 1：x －3y ＋b ＝0，则圆心到直线l 1的距离为 d ＝|3m －3(m －1)＋b |10＝|3＋b |10.∵圆的半径为r ＝5，∴当d <r ，即－510－3<b <510－3时，直线与圆相交；当d ＝r ，即b ＝±510－3时，直线与圆相切；当d >r ，即b <－510－3或b >510－3时，直线与圆相离．(3)证明对于任一条平行于l 且与圆相交的直线l 1：x －3y ＋b ＝0，由于圆心到直线l 1的距离d ＝|3＋b |10，弦长＝2r 2－d 2且r 和d 均为常量．∴任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等． 20．解 (1)连接OQ 、OP ，则△OQP 为直角三角形，又|PQ |＝|P A |，所以|OP |2＝|OQ |2＋|PQ |2＝1＋|P A |2，所以a 2＋b 2＝1＋(a －2)2＋(b －1)2，故2a ＋b －3＝0.(2)由|PQ |2＝|OP |2－1＝a 2＋b 2－1＝a 2＋9－12a ＋4a 2－1＝5a 2－ 12a ＋8＝5(a －1.2)2＋0.8，得|PQ |min ＝255.(3)以P 为圆心的圆与圆O 有公共点，半径最小时为与圆O 相切的情形，而这些半径的最小值为圆O 到直线l 的距离减去圆O 的半径，圆心P 为过原点且与l 垂直的直线l ′与l 的交点P 0，所以r ＝322＋12－1＝355－1，又l ′：x －2y ＝0，联立l ：2x ＋y －3＝0得P 0(65，35)．所以所求圆的方程为(x －65)2＋(y －35)2＝(355－1)2.。

高中数学必修二第四章章末复习题圆的相关试题(含答案)

章末复习一、知识导图二、要点归纳1.圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).2.点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外.(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内.(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上.3.直线与圆的位置关系设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d>r⇒相离；d＝r⇒相切；d<r⇒相交.4.圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2| d<|r1－r2|关系(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.5.空间直角坐标系(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2.(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.题型一圆的方程例1一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，求该圆的方程.考点题点解∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，故两个圆心之间的距离等于半径的和，又∵圆C与直线l：x＋3y＝0相切于M(3，－3)点，可得圆心与点M(3，－3)的连线与直线x＋3y＝0垂直，其斜率为 3.设圆C的圆心为(a，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋3a －3＝3，(a －1)2＋b 2＝1＋|a ＋3b |2.解得a ＝4，b ＝0，r ＝2或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，∴圆C 的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思感悟求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：第一步：选择圆的方程的某一形式.第二步：由题意得a ，b ，r (或D ，E ，F )的方程(组).第三步：解出a ，b ，r (或D ，E ，F ).第四步：代入圆的方程.注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.跟踪训练1 (1)如图所示，圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为____________________.答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2解析取AB 的中点D ，连接CD ，AC ，则CD ⊥AB .由题意知，|AD |＝|CD |＝1，故|AC |＝|CD |2＋|AD |2＝2，即圆C 的半径为 2.又因为圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，所以圆心C (1，2)，故圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)求半径为10，圆心在直线y ＝2x 上，被直线x －y ＝0截得的弦长为42的圆的方程. 解设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心坐标为(a ，b )，半径r ＝10，圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －b |2，由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，d 2＋⎝⎛⎭⎫4222＝r 2，即(a －b )22＋8＝10， ∴(a －b )2＝4，又∵b ＝2a ，∴a ＝2，b ＝4或a ＝－2，b ＝－4，故所求圆的方程是(x －2)2＋(y －4)2＝10或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝10.题型二直线与圆、圆与圆的位置关系例2 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离考点题点答案 B解析由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4， ∴圆M ：x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆M 与圆N 的圆心距d ＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵2－1<2<2＋1，∴两圆相交.(2)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.考点题点答案 4解析联立⎩⎨⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，消去x 得y 2－33y ＋6＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－3，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2 3. 不妨设A (－3，3)，B (0,23)，则过点A 且与直线l 垂直的直线方程为3x ＋y ＋23＝0，令y ＝0得x C ＝－2.同理得过点B 且与l 垂直的直线与x 轴交点的横坐标x D ＝2，∴|CD |＝4.反思感悟直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.跟踪训练2 (1)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( )A.1B.2C. 2D.2 2考点题点答案 C(2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.考点题点答案 4π解析 x 2＋y 2－2ay －2＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，则圆心为C (0，a ).又|AB |＝23，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为|0－a ＋2a |2，所以⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，得a 2＝2，所以圆C 的面积为π(a 2＋2)＝4π.题型三对称问题例3 从点B (－2,1)发出的光线经x 轴上的点A 反射，反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2＝12相切，求点A 的坐标.考点题点解点B (－2,1)关于x 轴对称的点为B ′(－2，－1)，易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在的直线方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k －1＝0.由题意，得|0－0＋2k －1|k 2＋1＝12，化简得7k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝1或k ＝17，故所求切线方程为x －y ＋1＝0或x －7y －5＝0.令y ＝0，则x ＝－1或x ＝5.所以A 点的坐标为(－1,0)或(5,0).反思感悟 (1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.(2)准确把握对称的几何性质.(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.跟踪训练3 若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________________________________________________________________________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1.题型四圆中的最值问题例4 圆x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2－1＝0与x 2＋y 2＋2bx ＋2by ＋2b 2－2＝0的公共弦长的最大值为( )A.2 2B.2C. 2D.1考点与圆有关的最值问题题点与圆的几何性质有关的最值答案 B解析由题意得，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1和(x ＋b )2＋(y ＋b )2＝2，两圆的圆心坐标分别为(－a ，－a )，(－b ，－b )，半径分别为1，2，则当公共弦为圆(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.反思感悟与圆有关的最值问题包括(1)求圆O 上一点到圆外一点P 的最大距离、最小距离：d max ＝|OP |＋r ，d min ＝||OP |－r |.(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m ，则d max ＝m ＋r ，d min＝|m －r |.(3)已知点的运动轨迹是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，求①y x ；②y －m x －n；③x 2＋y 2等式子的最值，一般是运用几何法求解.跟踪训练4 已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值为________. 考点与圆有关的最值问题题点与面积有关的最值答案 2 2解析圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的圆心为C (1,1)，半径为1，由题意知，当圆心C 到点P 的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，又圆心到直线的距离d ＝|3＋4＋8|32＋42＝3， ∴|P A |＝|PB |＝d 2－r 2＝22，∴S 四边形P ACB ＝2×12|P A |r ＝2 2.1.以点(－3,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是( )A.(x －3)2＋(y ＋4)2＝16B.(x ＋3)2＋(y －4)2＝16C.(x －3)2＋(y ＋4)2＝9D.(x ＋3)2＋(y －4)2＝9考点圆的标准方程题点求与某直线相切的圆的标准方程答案 B2.已知圆C 与直线x －y ＝0和x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A.(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B.(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C.(x －1)2＋(y －1)2＝2D.(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2题点求圆的标准方程答案 B3.两圆x 2＋y 2－6x ＋16y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0的公切线的条数为( )A.4B.3C.2D.1考点圆与圆的位置关系题点两圆的位置关系与其公切线答案 C解析两圆的标准方程分别为(x －3)2＋(y ＋8)2＝121；(x ＋2)2＋(y －4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为C 1(3，－8)，r 1＝11；C 2(－2,4)，r 2＝8.圆心距为|C 1C 2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.∵r 1－r 2<|C 1C 2|<r 1＋r 2，∴两圆相交，则公切线共2条.4.经过两个定点A (a,0)，A 1(a ，a )，且圆心在直线y ＝13x 上的圆的方程为________________________.答案 ⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22 解析圆过点A (a,0)，A 1(a ，a )，则圆心在直线y ＝a 2上. 又圆心在直线y ＝13x 上，所以圆心坐标为⎝⎛⎭⎫32a ，a 2，则半径r ＝⎝⎛⎭⎫a －32a 2＋⎝⎛⎭⎫－a 22＝22|a |，故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －32a 2＋⎝⎛⎭⎫y －a 22＝a 22. 5.已知直线x －my ＋3＝0和圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0.(1)当直线与圆相切时，求实数m 的值；(2)当直线与圆相交，且所得弦长为2105时，求实数m 的值. 考点直线和圆的位置关系解 (1)因为圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r ＝2. 因为直线x －my ＋3＝0与圆相切，所以|3＋3|1＋(－m )2＝2，解得m ＝±2 2.(2)圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝|3＋3|1＋(－m )2.由24－⎝ ⎛⎭⎪⎫|3＋3|1＋(－m )22＝2105，得2＋2m 2＝20m 2－160，即m 2＝9.故m ＝±3.。

高二数学期末复习之圆的方程

高二数学期末复习之圆的方程一.典型例题1．求与直线 y=x 相切，圆心在直线 y=3x 上且被 y 轴截得的弦长为22的圆的方程．[解析]：设圆心坐标为0)r(r ),3,(001>半径为x x O ，则r x x =-23002x r =⇒，又2202)2(,22r x AB =+∴= 22202020±=⇒=+⇒x x x ，2=∴r即圆的方程为：4)23()2(4)23()2(2222=-+-=+++y x y x 或2．求经过点)1,2(-A ，和直线1=+y x 相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆方程．2． [解析]：由题意知：过A （2，－1）且与直线：x +y=1垂直的直线方程为：y=x －3,∵圆心在直线：y=－2x 上， ∴由 32-=-=x y x y ⇒21-==y x 即)2,1(1-o ，且半径2)21()12(221=+-+-==AO r ，∴所求圆的方程为：2)2()1(22=++-y x3．已知直线l :y=k(x +22)与圆O ：x 2+y 2=4相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，三角形ABO 的面积为S ．（1）试将S 表示成k 的函数，并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值．3. [解析]：(1)22222114)122(42122,022:k k k kAB k kd k y kx l l O +-=+-=∴+=∴=+-→ 2221)1(2421k k k d AB S l O +-=⋅=∴→，定义域：01120≠<<-⇒<<→k k d l O 且．（2）设23)2)(1()1(),1(12222-+-=--=-≥=+t t t t k k t t k 则81)431(224231242324222+--=-+-=-+-⋅=∴t t t t t t S ，222124,3334,431max =⋅=±===∴S k t t 时，即当，∴S 的最大值为2，取得最大值时k=33±．4．设圆1C 的方程为2224)23()2(m m y x =--++，直线l 的方程为2++=m x y ．（1）求1C 关于l 对称的圆2C 的方程；（2）当m 变化且0≠m 时，求证：2C 的圆心在一条定直线上，并求2C 所表示的一系列圆的公切线方程． [解析]：（1）圆C 1的圆心为C 1（－2，3m+2）设C 1关于直线l 的对称点为C 2（a ，b ）则⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=+--2222231223m a b m a m b 解得：⎩⎨⎧+=+=112m b m a∴圆C 2的方程为2224)1()12(m m y m x =--+--（2）由⎩⎨⎧+=+=112m b m a 消去m 得a －2b+1=0，即圆C 2的圆心在定直线：x －2y+1=0上．设直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，则m kbm m k 21)1()12(2=+++-+即0)1()1)(12(2)34(22=-++-+-+--b k m b k k m k∵直线y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m )0(≠m 值都成立，所以有： ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+-=-- 0)1(0)1)(12(20342b k b k k k ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=4743b k ，所以2C 所表示的一系列圆的公切线方程为：4743+-=x y 二.巩固练习 (一)、选择题1．原点必位于圆：0)1(22222=-+--+a y ax y x )1(>a 的（C ） A ．内部 B ．圆周上 C ．外部 D ．均有可能 2．“点Ｍ在曲线y ＝|x |上”是“点Ｍ到两坐标轴距离相等”的（C ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．非充分非必要条件3．从动点)2,(a P 向圆1)3()3(22=+++y x 作切线，其切线长的最小值是（ A ）A ． 4B ．62C ．5D ．264．若曲线x 2+y 2+a 2x +(1–a 2)y –4=0关于直线y –x =0的对称曲线仍是其本身，则实数a =（B ）A ．21±B ．22±C ．2221-或D ．2221或- 5．圆422=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是（ A ）A ．2B ．1C ．3D ．32 6．若圆)0(022222>=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ B ）A ．20<<kB ．21<<kC ． 10<<kD ．2>k 7．若直线)2(-=x k y 与曲线21x y -=有交点，则（ C ） A ．k 有最大值33，最小值33- B ．k 有最大值21，最小值21-C ．k 有最大值0，最小值 33-D ．k 有最大值0，最小值21-8．直线y = x + b 与曲线x =21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（B ）A ．|b|=2B ．211-=≤<-b b 或C ．21≤≤-bD ．以上都错 9．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ C ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．直线0323=-+y x 与圆 θθsin 23cos 21+=+=y x （θ为参数）的位置关系是 ( C )A ．相离B ．相切C ．相交但不过圆心D ．相交且过圆心11．已知圆C ： θθsin 22cos 2+=+=y a x （a>0,为参数θ）及直线l ：03=+-y x ，若直线l 被C 截得的弦长为32，则a =（ C ）A ．2B ．22-C ．12-D ．12+12．过两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2+ 4x + 2y – 4 =0的交点的直线的方程（ A ）A ．x +y+2=0B ．x +y-2=0C ．5x +3y-2=0D ．不存在 (二)、填空题13．过P （1，2）的直线l 把圆05422=--+x y x 分成两个弓形当其中劣孤最短时直线l 的方程为 032=+-y x14．斜率为3，且与圆 x 2 + y 2=10 相切的直线方程是 103±=x y ．15．已知BC 是圆2522=+y x 的动弦，且|BC|=6，则BC 的中点的轨迹方程是______．1622=+y x16．若实数x ,y 满足xy y x 则,3)2(22=+-的最大值是．3高二数学期末复习之椭圆一.典型例题例1 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．(1)或．(2)例2.求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．例3在椭圆上求一点，使，其中，是椭圆的两焦点．方案一：由题意得，，解方程得，或．再设，则有或，解方程即可．方案二：设，由椭圆的第二定义得，，，，∴，，．例4.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例5.已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．或例6. 求椭圆上的点到直线的距离的最小值．例7. 已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6例8. 已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．例9. 以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴，因此，所求椭圆的方程为．例10. 已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为．（椭圆内部分）（4）由①＋②得，⑦将③④平方并整理得，⑧，⑨将⑧⑨代入⑦得，⑩再将代入⑩式得，即．二.巩固练习1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ D ）A．B．（0，2）C．D．（0，1）2．过点（3，－2）且与有相同焦点的椭圆方程是（A ）A． B．C．D．3．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（ C ）．A．B．C．D．4．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ B ）．A．B．C．D．5．对于椭圆，下列说法正确的是（ D ）．A．焦点坐标是B．长轴长是5C．准线方程是 D．离心率是6．离心率为、且经过点的椭圆的标准方程为（ D ）．A．B．或C．D．或7．椭圆的左、右焦点为，，以为圆心作圆过椭圆中心并交椭圆于点，，若直线是⊙的切线，则椭圆的离心率为（ D ）．A．B．C． D．8．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（ D ）A．B．C．D．9．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（C）A．B．C．D．10．已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（ B ）A．2 B．C．D．811．点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为_________．或或或．12．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为_________________．13．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．，14．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．15．已知是椭圆上一点，若到椭圆右准线的距离是，则到左焦点的距离为_____________．16．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长是______________．1或217．若椭圆上存在点到两焦点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围是_____________．18．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，则的值为_________19．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．设，，由及为的重心有，得，，．所以中点为（3，－2）．又、在椭圆上，故，．两式相减得到，可得即为的斜率，由点斜式可得的方程为．20．椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率，它与直线交于，两点，且，求椭圆方程．20.设椭圆方程为，由可得．由直线和椭圆方程联立消去可得．设，得，即，化简得，由韦达定理得，解出，故所求椭圆方程为．21．椭圆上有一点，使（为坐标原点，为椭圆长轴右端点），试求椭圆离心率的取值范围．21．由已知，设，则、，由得，化简得．因为在一、四象限，所以，于是，易求出，所以．22．已知，为椭圆上的两点，是椭圆的右焦点．若，的中点到椭圆左准线的距离是，试确定椭圆的方程．由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．。

高中数学人教A版必修2 第四章圆与方程高考复习习题(解答题201-300)含答案解析

高中数学人教A 版必修2 第四章圆与方程高考复习习题（解答题201-300）含答案解析学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=，其中：0a ≠且a 为常数．（1）判断曲线C 的形状，并说明理由；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点,A B （,A B 不同于坐标原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定值？并证明你的判断；（3）设直线l ：24y x =-+与曲线C 交于不同的两点,M N ，（O 为坐标原点），求曲线C 的方程．2．已知直线l :y=k 与圆O:224+=x y 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，∆ABO 的面积为S.（1）试将S 表示成的函数S （k ），并求出它的定义域；（2）求S 的最大值，并求取得最大值时k 的值.3．在ΔABC 中，点A,B 的坐标分别是(−√2,0),(√2,0),点G 是ΔABC 的重心，y 轴上一点M 满足GM ∥AB ，且|MC|=|MB|．（Ⅰ）求ΔABC 的顶点C 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）直线l:y =kx +m 与轨迹E 相交于P,Q 两点，若在轨迹E 上存在点R ，使四边形OPRQ 为平行四边形（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围．4．已知圆过点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于两点，当最小时，求直线的方程及的最小值．5．已知圆C 的方程为0622=+-++m y x y x ，直线032:=-+y x l .（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l 交于P 、Q 两点，且以PQ 为直径的圆恰过坐标原点，求实数m 的值．6．（本小题12分）圆C 的半径为3，圆心在直线20xy 上且在x 轴下方，x 轴被圆C 截得的弦长为25．（1）求圆C 的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．7．（本小题12分）已知点)5,0(P 及圆:C 02412422=+-++y x y x ．（1）若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段AB 长为34，求直线l 的方程；（2）求圆C 内过点P 的弦中点的轨迹方程．8．已知⊙M ：x 2＋（y －2）2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．（Ⅰ）若AB ＝，求MQ 及直线MQ 的方程；（Ⅱ）求证：直线AB 恒过定点．9．已知动圆过定点(2,0)P ，且在y 轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q 的方程；（2）已知点(,0)E m 为一个定点，过E 作斜率分别为1k 、2k 的两条直线交轨迹Q 于点A 、B 、C 、D 四点，且M 、N 分别是线段AB 、CD 的中点，若121k k +=，求证：直线MN 过定点．10．已知点1(2,3)P -，2(0,1)P ，圆C 是以12P P 的中点为圆心，121||2PP 为半径的圆. （1）若圆C 的切线在x 轴和y 轴上截距相等，求切线方程；（2）若(,)P x y 是圆C 外一点，从P 向圆C 引切线PM ，M 为切点，O 为坐标原点，||||PM PO =，求使||PM 最小的点P 的坐标.11．已知圆22:2440C x y x y +-+-=,问是否存在直线:l y x b =+与圆C 交于,A B 两点，且满足OA OB ⊥（O 为坐标原点）．若存在，求出l 的方程；若不存在，试说明理由．12．在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围. 13．如图所示，已知以点A （－1，2）为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B （－2，0）的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ．（1）求圆A 的方程；（2）当＝2时，求直线l 的方程；（3）·是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．14．已知12F F 、为椭圆（1）求椭圆C 的标准方程；（2）圆O 是以1F ， 2F 为直径的圆，直线:l y kx m =+与圆O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点B A 、，若32OA OB ⋅=-，求k 的值. 15．已知圆C 的方程为x 2+（y-4）2=4，点O 是坐标原点，直线l:y=kx 与圆C 交于M ，N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设Q （m ，n ）是线段MN 上的点，且=+．请将n 表示为m 的函数．16，动圆N 过点且与圆M 相切，记圆心N 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）设点A ，B ，C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且，当C ∆AB 的面积最小时，求直线AB 的方程．17．（原创）（本小题满分12分）已知点(3,0),H -点P 在y 轴上，点Q 在x 轴正半轴上，点M 在PQ 上，且满足0HP PM ⋅=,3PM MQ =-. （1）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹方程C;（2）给定圆N: 222x y x +=，过圆心N 作直线l ，此直线与圆N 和（1）中的轨迹C 共有四个交点，自上而下顺次记为A,B,C,D,如果线段,,AB BC CD 的长按此顺序构成一个等差数列，求直线l 的方程。

高考数学一轮复习《圆与方程》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《圆与方程》练习题（含答案）一、单项选择题1．已知圆221:1C x y +=与圆()()222:121C x y -++=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．外离2．已知点（1，1）在圆（x ﹣a ）2+（y +a ）2＝4的内部，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣1，1）B ．（0，1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D ．{1，﹣1}3．以点A （-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是 A ． B ． C ．D ．4．在平面直角坐标系xOy 中，过点()2,0P -的直线l 与圆O ：221x y +=相切，且直线l 与圆C ：()(22433x y -+=相交于A ，B 两点，则AB =（）A 5B 3C ．2D 25．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，(),0B m ，()0m >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值和最大值分别为（） A ．4，7B ．4，6C ．5，7D ．5，66．若虚数．．i,,z x y x y R =+∈，且1|1|2z -=，则y x 的取值范围为（）A ．33⎡⎢⎣⎦B ．330,3⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦C ．[3,3]D ．[3,0)3]-⋃7．已知两定点(3,0),(3,0)A B -，点P 在直线230x y --=上，使得PA PB ⊥，则这样的P 点个数有（）A ．0个B ．1 个C ．2个D ．3个8．圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，AB 是圆O 的一条直径，且 4.,AB C D =是圆O 上的任意两点，2CD =，点P 在线段CD 上，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．3,2⎡⎤⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]3,4D ．[]1,29．已知直线20x y ++=和圆22220x y x y a ++-+=相交于,A B 两点．若||4AB =，则实数a 的值为（） A ．-2B ．-4C ．-6D ．-810．设过点1,0A 的直线l 与圆()()22:344C x y -+-=交于,E F 两点，线段EF 的中点为M .若l 与y 轴的交点为N ，则AM AN的取值范围是（）A ．(]0,2B ．160,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．162,5⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．162,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．圆221:(1)(1)28O x y -+-=与222:(4)18O x y +-=的公共弦长为（）A ．23B ．26C ．32D ．6212．平面直角坐标系中，动圆T 与x 轴交于两点A ，B ，与y 轴交于两点C ，D ，若|AB |和CD 均为定值，则T 的圆心轨迹一定是（） A ．椭圆（或圆）B ．双曲线C ．抛物线D ．前三个答案都不对二、填空题13．以双曲线C ：()222103x y a a-=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________．14．过点()1,2M -作圆225x y +=圆的切线l ，则l 的方程是___________.15．若圆222430x y x y +++-=上到直线20x y a ++= 2 的点恰有3个，则实数a 的值为___________.16．已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:4M x y +=上的两点，且121212x x y y +=-，设00(,)P x y为弦AB 的中点，则00|3410|x y +-的最小值为________.三、解答题17．求经过三点()0,0A ，()3,0B ，()1,2C -的圆的方程.1820y +-=与圆2220x y y =++的位置关系．19．已知圆C ：22230x y y ++-=，直线l ：30x y ++=. (1)求圆C 的圆心及半径；(2)求直线l 被圆C 截得的弦AB 的长度.20．已知圆221:(6)(7)25C x y -+-=及其上一点()2,4A .(1)设平行于OA 的直线l 与圆1C 相交于,B C 两点，且BC OA =，求直线l 的方程； (2)设圆2C 与圆1C 外切于点A ，且经过点()3,1P ，求圆2C 的方程.21．已知圆C ：2240x y mx ny ++++=的圆心在直线10x y ++=上，且圆心C 在第四象限，半径为1.(1)求圆C 的标准方程；(2)是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.22．已知抛物线E ：22x py =过点()1,1，过抛物线E 上一点()00,P x y 作两直线PM ，PN 与圆C ：()2221x y +-=相切，且分别交抛物线E 于M 、N 两点．（1）求抛物线E 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若直线MN 的斜率为P 的坐标．23．已知椭圆E ：2213x y +=上任意一点P ，过点P 作PQ y ⊥轴，Q 为垂足，且33QM QP =.(1)求动点M 的轨迹Γ的方程；(2)设直线l 与曲线Γ相切，且与椭圆E 交于A ，B 两点，求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点）.24．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -+=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN面积的最大值，并求出此时直线l 的方程。

高二圆与方程经典复习题汇编

圆与方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：1. 设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ：(1)点在圆上 d=r ； (2)点在圆外 d ＞r ； (3)点在圆内 d ＜r ．2.给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-.①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-⇔ ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-⇔（ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-⇔练习1、若一圆的标准方程为（x-1）2+（y+5）2=3，则此圆的的圆心和半径分别为（） A.(-1,5),3 B.(1,-5), 3 C.(-1,5),3 D.(1,-5),32、以点A （-5，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（）A 、25)4()5(22=-++y xB 、16)4()5(22=++-y xC 、16)4()5(22=-++y xD 、25)4()5(22=++-y x3、一条直线过点P （-3，23-），且圆2522=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（） A 、3-=x B 、233-=-=y x 或 C 、015433=++-=y x x 或 D 、01543=++y x 4、过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（）A 、4)1()3(22=++-y xB 、4)1()1(22=-+-y xC 、4)1()3(22=-++y xD 、4)1()1(22=+++y x5、已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ），有直线l ：03=+-y x ，当直线l 被圆C 截得弦长为32时，a 等于（）A 、12-B 、2-2C 、2D 、12+6、点（1，1）在圆（x-a ）2+（y+a ）2=4的内部，则a 的取值范围是（）A.-1＜a ＜1B.0＜a ＜1C. a ＜-1或a ＞1D. a=±17、已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是（）A.（x-2）2+（y+3）2=13B.（x+2）2+（y-3）2=13C.（x-2）2+（y+3）2=52D.（x+2）2+（y-3）2=528、已知圆C 的圆心是（-1，4），半径等于4，则原点和这个圆的位置关系是 .9、已知A （－4，－5）、B （6，－1），则以线段AB 为直径的圆的方程是_______．10、已知圆的方程是122=+y x ，则它的斜率为1的切线方程是。

高中数学必修二第四章圆与方程专项练习题附答案教师版

A. 1
B.
C. 2
D. 3
【答案】 B
【解析】【解答】切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,
圆心(3,0)到直线的距离为
t
晦
,
圆的半径为 1,故切线长的最小值为
故答案为：B
【分析】根据题意先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．
10.设直线 t
高中数学必修二第四章圆与方程专项练习题附答案
一、单选题（共 40 题；共 80 分）
1.圆
t
关于直线 t 䁜晦对称，则䁜的值是（）
A.
B.
【答案】B
C.
D.
【解析】【解答】解：因为圆
t
所以圆心(1,1)在直线 t 䁜晦上，得䁜
故答案为：B.
关于直线 t 䁜晦对称，
晦
6.已知圆
t晦
，圆晦 t
动点，为轴上的动点，则
的最小值为（）
A.
B.
C.
【答案】 A
【解析】【解答】如图所示，两圆为内含关系，
t，
分别是圆，上的 D.
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将关于轴对称为
′，
连结
′ 交圆于 ′ ，，
交轴于，连
交圆于，
此时
最小，
最小值为 ′ ．
和圆 t t 相交或相切，
可得
，即
，
∵
∴解得
故实数 a 的取值范围是
。
故答案为：B
【分析】由题意可得，圆
t
和圆 t t 相交或相切，两圆圆心距大于等于两圆

高二数学(圆与方程)练习题试题

数学复习圆与方程练习题一、填空题１.若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a 等于________．2.圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为_____________．3.若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB _____________．4.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是____________．5.将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移个单位，所得直线与圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为________________．6.在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线________________．7.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为________________．8.若经过点(1,0)P -的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是.9.若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心， OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．10.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为.11.已知圆()4322=+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ⋅的值为________________.12.已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________.三、解答题1.点(),P a b 在直线01=++y x 上，求22222+--+b a b a 的最小值.2.求以(1,2),(5,6)A B --为直径两端点的圆的方程.3.求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程.4.已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程.。

高二圆与方程经典复习题精编

圆与方程1、圆的标准方程：以点 C （a, b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程是特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：x 2 y 2=r 2.2、点与圆的位置关系:2 2 2C : (x _a) (y -b) =r .① M 在圆 C 内=(x 0 _a)2• (y 0 _b)2:::r 2③ M 在圆 C 外:二(x 0 _a)2，(y 0 _b)2r 2练习4、过点A ( 1, -1 ) , B (-1 , 1),且圆心在直线 A 、(X 一3)2 (y 1)2=4B 、(x -1)2 (y-1)2=4 C 、(x 3)2(y -1)2 =4D、(x 1)2(y 1)2=45、已知圆C ： (x-a)2，(y-2)2 =4 ( a 0),有直线丨：x-y *3=0,当直线l 被圆C 截得弦长为2 3时，a 等于（）A 2 -1B 、2- . 2 C、2 D、2 16、点（1 , 1）在圆 (x-a ) 2+ (y+a ) 2=4的内部, 贝U a 的取值范围是()A.-1 v a v 1B.0 v a v 1C. a v -1 或 a > 1D. a= ± 17、已知圆心为点(2 , -3), 一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是 ()222 2A. (x-2 ) + (y+3) =13B.(x+2) + (y-3 ) =132222C. (x-2 )+ (y+3) =52 D. (x+2) + (y-3 ) =521. 设点到圆心的距离为 d ,圆半径为r : 点在圆上 _: d=r ;（2）点在圆外■ d > r ；⑶2 2 2 (x -a) (y —b) =r .2. 给定点M （x o ,y o ）及圆 (X0_a)2 (y 。

-b)2 =r 21、若一圆的标准方程为（x-1 ）2+ (y+5) 2=3, 则此圆的的圆心和半径分别为（）A.(-1,5),B.(1,-5),C.(-1,5),3D.(1,-5),32、以点 A (-5 , 4）为圆心，且与 X 轴相切的圆的方程是（A 、(x 5)2 (y _4)2=25、(x -5)2 (y 4)-162C (x 5)2(y -4)-162 2、(x -5) (y 4) =253、一条直线过点 3 P (-3 ,),且圆2x 2y 2=25的圆心到该直线的距离为 3,则该直线的方程为（x - -3或 y 二x = -3或 3x 4y 15 = 0 D 、3x 4y 15 = 0x • y -2 = 0上的圆的方程是（）8已知圆C 的圆心是(-1 , 4),半径等于4，则原点和这个圆的位置关系是9、已知A (- 4,— 5)、B ( 6,— 1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是 __________ .10、已知圆的方程是 x 2 y 2 =1，则它的斜率为1的切线方程是 ___________________________________ 。

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