凹凸性、渐近线、作图

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-5
0
5
x
ezplot('x*y=1',[-10 10])
10
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作业
P108 习题4 20(2)(3) 21
预习：P112—115
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Hale Waihona Puke 17二、曲线的渐近线
如果曲线上一动点沿曲线趋于无穷远时, 动点与某一直线的距离趋于零, 则称该直线 为曲线的一条渐近线.
y
y f (x)
a 0,
x x
或
f x
lim
a 0,
x x
lim f x ax b
x
lim f x ax b
x
则 y ax b是曲线 y f x 的一条斜渐近线．
例子见书98页例6
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三、函数作图
(1) 确定函数的定义域, 有无奇偶性 和 周 期 性;
当 x 0 时， y '' 不存在． 当 x 0 时， y '' 0; 当 x 0 时， y '' 0, 在 x 0 的两侧，y '' 的符号发生改变.点
(0,0) 是该曲线的拐点．
y=x1/3
3
2
1
y
0
-1
-2
--310
-5
0
5
10
x
x=linspace(-10,10);
P

y kx b
o
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M
x
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曲线渐近线的分类 (1)铅直渐近线
y xa
若 lim f (x) () xa
(或 lim f (x) ())
xa
oa
x
则直线 x a
y f (x)
为曲线 y f (x)的
铅直渐近线.
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（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y 5x3 3x2 7x 1 凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (, )
y ' 15x2 6x 7, y '' 30x 6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
x
(,
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对于函数 f (x) sin x
x
由于 lim sin x 0
x x
所以， y 0 是曲线的一条水平渐近线．
y=sinx/x 1
0.5
y
0
-0.5
-200 -100
0
100 200
x
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(3)斜渐近线
如果曲线 y f (x) 有
f x
lim
y Ox
故曲线 y x4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
或二阶导数不存在的点； （4）检验各点两侧二阶导数的符号,如果
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
1 )
5
y '' -
y凸
1
5
0
8 25
拐点
(1 , ) 5
+
凹
在 x 1 两侧 y ''符号发生改变,则(1 , 8 )是拐点．
5
5 25
1
例3.求曲线 y x3 的拐点．
1
解:函数 y x3 的定义域为 (, )
y'

1
2
x 3,
y
''


2

x
5 3

2
3
9
9x3 x2
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
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-5
0
5
x
ezplot('x*(x-1)*y=1',[-10 10])
10
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(2)水 平 渐 近 线 若 lim f ( x) b,则 直 线 y b是 曲 线
x ( x)
y f ( x)的 水 平 渐 近 线.
注意：只有当函数的定义域是无穷区间时， 其曲线才有可能存在水平渐近线．
y
y tan x y y cot x


2
o

2
x
o

2
x
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例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为
lim
1
,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0和x 1是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
是 水 平 渐 近 线.
y 2xex2
y 2ex2 (2x2 1)
令 y 0 驻点：x 0
令 y 0 x 1
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2
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x (, 1 )
2
1 ( 1 ,0) 22
0 (0,
1 )
2
1 2
( 1 ,) 2
y 0
在该点两侧曲线凹凸性相反,则称点(x0, f (x0 ))
为曲线y f (x)的拐点.
y
y f (x)
定理1：（拐点必要条件）
设 f ( x) 有 二 阶 导 数,
(x0, f (x0 )
若 ( x0 , f ( x0 ))为 f ( x)的
x
拐 点,则 有f ( x0 ) 0.
o x0
(2) 求函数的单调区间, 极值;
(3) 求函数的凹、凸区间和拐点;
(4) 求渐近线;
(5) 计 算 特 殊 点, 描 点 作 图.
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例6 作函数 y ex2的图形
[解] 定义域：(,), 是偶函数.
因 为 lim e x2 0, 所 以 直 线y 0 x
(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方
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（一） 凹凸性定义
设 f (x)在区间I上连续,如果对I上任意两点
x1, x2恒有:
f

x1
2
x2


f (x1) 2
f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凹的;如果恒有:
f

x1
2
x2


f (x1) 2
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定理2（拐点的充分条件）
设f 在 点 x0 的某邻 域内有二阶 导数, 若f 在 x0 两 侧 异 号,则( x0 , f ( x0 ))是 f 的 一 个 拐 点.
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例1.判断曲线 y x4 的凹凸性.
解:
y 4x3, y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时, y 0,
y 0
0
y
凹
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拐 点 1凸
e
极 大
1凸
拐 点
1凹 e
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y
2 o
2
x
2
2
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f (x2 )
则称f (x)在该区间上的图形是凸的.
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4
凹曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凹函数,则 f (x)单调增加；
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凸曲线的一阶导数变化规律：
若 f (x)是凸函数,则 f (x)单调减少.
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（二）凹凸性的判定 定理1：( 用二阶导数判定函数的凹凸性 )
设函数 f (x)在[a, b]上连续,在(a, b)内 二阶可导,那么
(1) 若在(a, b)内 f (x) 0, 则 f (x)在[a, b]是凹函数;
(2) 若在(a, b)内 f (x) 0, 则 f (x)在[a, b]是凸函数.
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（三 ） 拐点
设点(x0, f (x0))是曲线y f (x)上的一个点，
函数的凹凸性、渐近线 与作图
一、函数的凹凸性 二、曲线的渐近线 三、函数作图
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1
一、函数的凹凸性
若在某区间内,曲线上每一点的切线都位 于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的； 若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，
则称曲线在该区间内是凸的．
(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方
y=nthroot(x,3);
plot(x,y)
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例4.求曲线 y 1 的拐点．
x
解 函数 y 1 的定义域为 (,0) (0,)
x
y'


1 x2
,
y ''

2 x3
由于
y

1 x
在
x

0
处没有定义,所以该曲线
没有拐点．
y=1/x 10
5
y
0
-5
-10 -10