2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二(上)期中数学试卷
上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题
绝密★启用前上海市位育中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知a 、b 为非零向量，则222||||a b a b +=-是a b ⊥的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2．下列三阶行列式可以展开为a b b ca c de efdf++的是（ ）A ．111a bc de f B ．111ab c defC ．111a bc d efD ．111ab cdef - 3．若||1OA =，||3OB =0OA OB ⋅=，点C 在AB 上，且30AOC ︒∠=，设OC mOA nOB =+(,)m n R ∈，则mn的值为（ ） A ．13B ．3C D4．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈．下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的*n N ∈，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列外………内………C ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若对任意的*n N ∈，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．计算：AB AC BC -+=________6．如果向量 ，共线且方向相反，则 等于 . 7．已知2111n na n n=+，则lim n n a →∞= . 8．已知||6a =，||4b =，则||a b -的取值范围是________9．若12201102x x -=-，则x =________ 10．与(1,3)a =-垂直的单位向量的坐标为________ 11．若11223PP PP =，则2P P =________1PP 12．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =______________ 13．已知向量(2,2)OA =，(4,1)OB =，在x 轴上存在点P 使得AP BP ⋅有最小值，则点P 的坐标为________14．如图，在三角形ABC 中，0BA AD ⋅=，||2AB =，2BC BD =，则A C A B⋅=____15．已知函数()1x f x x=+，在9行9列的矩阵111213192122232991929399a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⋅⋅⋅⎝⎭中，○……………………线…○……………………线…()ij ia f j=，则这个矩阵中所有数之和为________16．如图，OM //AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线组成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+u u u r u u r u u u r ，当12x =-时，y 的取值范围是________三、解答题17．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==，求b 与c 的夹角. 18．设()1,1OA =，()3,0OB =，()3,5OC =. （1）求证AB AC ⊥，并求ABC ∆的面积；（2）对向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r，定义一种运算：()1221,f a b x y x y =-，试计算(),f AB AC 的值，并说明它与ABC ∆面积之间的等量关系，由此猜想这一运算的几何意义.19．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.20．已知OA a OB b ==，，对于任意点M ，点M 关于点A 的对称点为点S ，点S 关于点B 的对称点为点N . （1）用a ，b 表示向量MN ；（2）设1223a b MN ⎡==∈⎣，，，求a 与b 的夹角θ的取值范围.21．如图，M 为△ABC 的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交线段AB 、AC 于点P 、Q 两点，设AP xAB =，AQ y AC =，记()y f x =.（1）求11x y+的值； （2）求函数()y f x =的解析式（指明定义域）；（3）设32()32g x x a x a =++，[0,1]x ∈，若对任意11[,1]3x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C 【解析】 【分析】a 、b 为两个非零向量，根据向量的数量积的运算以及向量垂直的性质可判断.【详解】解：a rQ 、b 为两个非零向量，()2222222a b a ba b a b a b -=-=+-=+20a b ∴=a b ∴⊥r r，即充分性成立；若a b ⊥，则0a b =()2222222a b a ba b a b a b ∴-=-=+-=+，即必要性成立；故222a b a b -=+是a b ⊥的充要条件. 故选：C 【点睛】本题考查充分条件、必要条件，向量的数量积及向量垂直的性质，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】由二阶行列式和三阶行列式的求解方法直接计算即可. 【详解】 由题干二阶行列式a b b c a c deef df++=ae bd bf ce af cd -+-+-,由AB 选项三阶行列式111a bcdef =111a b c d ef=ae bf cd ce bd af ae bd bf ce af cd ++---≠-+-+-,则AB 选项不对;由C 选项三阶行列式111a bcaf ce bd cd ae bf ae bd bf ce af cd def=++---≠-+-+-,则C 选项不对; 由D 选项三阶行列式111ab cdef ae bd bf ce af cd =-+-+--,则D 选项正确. 故选:D . 【点睛】本题考查了二阶行列式和三阶行列式的运算法则,直接运算即可,属于基础题,要求熟练掌握运算法则及运算能力. 3．B 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算即可算出． 【详解】 解：30AOC ︒∠=3cos ,OC OA ∴<>=32OC OA OC OA⋅∴=()32mOA nOB OA mOA nOB OA+⋅∴=+ 2222322m OA nOB OAOA mnOA OB n OB OA+⋅=+⋅+1OA=，3OB =，0OA OB ⋅==229m n ∴=又C 在AB 上0m ∴>，0n >3m n∴= 故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用． 4．A 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示，得到11n n a n a n++=，利用累乘法，求得1n a na =，从而可作出判定，得到答案． 【详解】由题意知，向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，*n N ∈， 当//n n c b 时，可得1(1)n n na n a +=+，即11n n a n a n++=， 所以3211111123121n n n a a a na a a na a a a n -=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=-， 所以数列{}n a 表示首项为1a ，公差为1a 的等差数列． 当n n c b ⊥，可得1(1)0n n na n a +++=，即11n n a na n +=-+， 所以132111111(1)121()()()23n n n n a a a a n a a a a a a n n----=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=，所以数列{}n a 既不是等差数列，也不是等比数列. 故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．0 【解析】【分析】根据向量的加减运算及运算律计算可得. 【详解】解：0AB AC BC AB BC AC AC AC -+=+-=-= 故答案为：0 【点睛】本题考查向量的加减运算，属于基础题. 6．【解析】试题分析： ， 共线，，又 与方向相反，考点：平面向量共线的充要条件 7．1- 【解析】 【详解】解：由题意可知2222121lim 11(1)(1)n n n n n n n a n n n n n n →+∞+-+-=-=∴=-+++ 8．[2,10] 【解析】 【分析】根据向量的三角形不等式可得. 【详解】 解：6a =，4b =a b a b a b ∴-≤-≤+ 6464a b ∴-≤-≤+即[]2,10a b -∈ 故答案为：[]2,10 【点睛】本题考查向量的三角形不等式，属于基础题. 9．5- 【解析】 【分析】用三阶行列式的化简方法把方程左边化简，得到一个关于x 的一元一次方程，解出x 即可。
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二数学10月份考试卷附答案解析
上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠= B ．2BAC π∠= C ．AB AC = D ．AC BC =二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________.8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________.9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r 表示为____________. 11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________.12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________.13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC ∆的形状为__________.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________.15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ．16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.三、解答题 17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u u r 平行，求OC u u u r 的坐标.18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r ，求b r 与c r 的夹角.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y m x my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式．21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围解析上海市位育中学2018-2019学年上学期高二10月份考数学试卷一、单选题1．已知(,),(5,0)a m n b ==-r r 且向量a r 在向量b r 方向上的投影是2-，则（ ）A ．2,2m n ==-B ．2,2m n =-=C ．2m =，n 取任意实数D ．2m =-，n 取任意实数【答案】C 【解析】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得到方程2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ，将向量的坐标代入，即可得到关于,m n 的关系.【详解】由向量a r 在向量b r 方向上的投影定义得：2||cos ,||a b a a b b ⋅-=<>=r r u u r r r r ， 所以5225m m --=⇒=， 所以2m =，n 取任意实数.故选：C.本题考查向量数量积中投影的定义，考查对投影概念的理解和坐标运算，属于容易题.2．设a r 、b r 是非零向量，命题甲：//a b r r 且||||a b =r r ，命题乙：a b =r r ，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由于命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，反过来命题乙成立可以推出命题甲成立，故可得到答案.【详解】因为命题甲中两个向量可能为相反向量，所以推不出命题乙，所以充分性不成立；反过来，当两个向量是相等向量时，则这两个向量互相平行且大小相等，所以命题乙可推出命题甲成立，所以必要性成立.故选：B.【点睛】本题以相等向量、平行向量、模的概念为背景，考查简易逻辑知识，考查对概念的理解与应用，属于容易题. 3．设a r 、b r 、c r 是三个任意的非零平面向量，且互不平行，有下列四个结论：（1）()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r （2）[()()]0b c a c a b c ⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r（3）||||||a b a b -<-r r r r （4）22(32)(32)9||4||a b a b a b +⋅-=-r r r r r r其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】对（1），向量的数量积不满足结合律；对（2），利用向量的数量积与数乘运算，再根据数量积的交换律可判断；对（3），根据向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断；对（4），利用数量积运算的分配律.【详解】 对（1），向量的数量积不满足结合律，所以()()a b c c a b ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 错误，故（1）错误；对（2），原式()()()()()()()()0b c a c c a b c b c a c b c a c =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=r r r r r r r r r r r r r r r r ，故（2）正确；对（3），由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故（3）正确；对（4），由数量积运算的分配律得：2222(32)(32)949||4||a b a b a b a b +⋅-=-=-r r r r rr r r ，故（4）正确.【点睛】本题考查向量数量积的运算律和向量加法、减法法则的运用，考查对概念的深刻理解与运用，属于中档题.4．设的边AB 上一定点0P 满足014P B AB =u u u r u u u r ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则（ ） A ．2ABC π∠=B ．2BAC π∠= C ．AB AC =D ．AC BC =【答案】D 【解析】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，由此能求出ABC ∆是等腰三角形，AC BC =．【详解】设||4AB =u u u r ，则0||1P B =u u u r ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ， 在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，2||||||(1)||PB PC PH PB PB a PB ⋅=⋅=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，00P B PC a ⋅=-u u u r u u u r ， 于是00PB PC P B P C ⋅≥⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立，整理得2||(1)||0PB a PB a -++≥u u u r u u u r 恒成立，只需△22(1)4(1)0a a a =+-=-≤即可，于是1a =，因此2HB =，即H 是AB 的中点，故ABC ∆是等腰三角形，所以AC BC =．故选：D.【点睛】本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用，考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题5．AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r ______.【答案】0r【解析】根据向量加法的法则即可化简求值.【详解】 因为AB BC AC +=u u u r u u u r u u u r ，所以+0AB BC CA AC CA ++==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r .故答案为：0r【点睛】本题主要考查了向量的加法运算，属于容易题.6．方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩的増广矩阵是_____________. 【答案】116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭【解析】先将方程组转化成632x y x y +=⎧⎨-=-⎩，写出方程组的系数矩阵，再加入常数列，从而得到増广矩阵. 【详解】因为方程组60320x y x y +-=⎧⎨-+=⎩等价于632x y x y +=⎧⎨-=-⎩， 所以系数矩阵为1131⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 所以増广矩阵是116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 故答案为：116312⎛⎫ ⎪--⎝⎭. 【点睛】本题考查増广矩阵的概念，考查对概念的理解与应用，属于容易题.7．已知点(1,3),(4,15)A B -，则与AB u u u r 同向的单位向量为________________. 【答案】512,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】可求出(5,12)AB =u u u r ，从而得出与AB u u u r 方向相同的单位向量为(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 【详解】因为(5,12)AB =u u u r ；所以与AB u u u r 方向相同的单位向量坐标为：(,)|5121313|AB AB =u u u r u u u r ． 故答案为：512,1313⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查向量的坐标表示及单位向量的坐标运算，考查基本运算求解能力，注意所求单位向量的方向与AB u u u r 方向相同． 8．三阶行列式123456789的元素4的代数余子式是___________. 【答案】2389- 【解析】利用代数余子式定义直接求解．【详解】 在三阶行列式123456789中，元素4的代数余子式的为：32323(1)8989-=-．∴元素4的代数余子式的为2389-． 故答案为：2389-． 【点睛】 本题考查行列式的代数余子式的求法，而不是求代数余子式的值，解题时要认真审题，考查概念的理解与应用．9．函数sin 4cos )31(x xf x =的最大值为_____________.【答案】5【解析】先根据二阶行列式的计算得到()3sin 4cos f x x x =-，再由三角恒等变换中的辅助角公式，将()f x 化成正弦型三角函数，从而求得最大值.【详解】 因为sin 4cos ()3sin 4cos 5sin()31x xf x x x x θ==-=-，其中4tan 3θ=， 当sin()1x θ-=时，max ()5f x =.故答案为：5.【点睛】本题考查二阶行列式的计算、三角恒等变换公式的应用、三角函数的最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意辅助角公式的运用.10．若ABCD 为正方形，E 为CD 的中点，且AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，则BE u u u r 可以用a r 和b r表示为____________. 【答案】12BE b a =-u u u r r r 【解析】利用平面向量基本定理，取a r 和b r 为基底，将BE u u u r用基向量表示出即可．【详解】 如图，1122BE AE AB AD DE AB AD AB AB b a =-=+-=+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r ． 故答案为：12BE b a =-u u u r r r .【点睛】考查向量的加法、减法、数乘运算的综合运用，属于容易题．11．计算：12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭________. 【答案】881820⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推，即可得到答案.【详解】由第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵的第一列元素对应相乘再相加得到相乘后矩阵的第一行第一列的元素，其它行列的元素依此类推：所以12243432⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭881820⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为：881820⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查矩阵相乘的定义，考查基本运算求解能力，属于容易题. 12．设(2,7),(,3)p q x ==-r r ，若p u r 与q r 的夹角为钝角，则x 的取值范围是_________. 【答案】6621,,772⎛⎫⎛⎫-∞-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∪ 【解析】利用数量积公式知向量的夹角为钝角时数量积小于0且不是方向相反的向量，除去当两向量平行时x 的取值，进而得到x 的取值范围.【详解】Q p r 与q r 的夹角为钝角，∴0p q ⋅<r r ，即2210x -<，解得212x <. 当p r 与q r 方向相反时，设p q λ=r r 且0λ<，(2,7)∴(,3)x λλ=-，∴273x λλ=⎧⎨=-⎩，67x ∴=-. x \的范围为212x <且67x ≠-； 故答案为：212x <且67x ≠-. 【点睛】本题考查向量夹角与向量数量积的关系，考查转化与化归思想的应用，求解时注意数量积小于0无法保证向量的夹角为钝角，还要把共线向量的情况除掉．13．在ABC ∆中，若AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABC ∆的形状为__________.【答案】等腰三角形 【解析】由向量数量积的定义，将等式转化成||cos ||cos AC A BC B =u u u r u u u r ，再由三角形的中线与高合一，判断三角形的形状.【详解】作CD AB ⊥交AB 于D ，因为AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r所以||||cos ||||cos ||cos ||cos AB AC A BA BC B AC A BC B =⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以AD BD =，则D 为AB 的中点，由三角形底边AB 中线与高合一，所以ABC ∆为等腰三角形.故答案为：等腰三角形.【点睛】本题考查三角形形状的判定，求解过程中要注意利用向量既有几何又有代数的双重身份进行求解，求解的关键在于和平面几何知识的结合运用.14．若向量(1,2)n a =r 是直线:(21)10l a x ay +-+=的一个法向量，则a =___________. 【答案】34-或0 【解析】由直线:(21)10l a x ay +-+=的方程可得直线的一个方向向量为(,21)v a a =+r ，利用0n v ⋅=r r 可求得a 的值.【详解】取(,21)v a a =+r 为直线l 的一个方向向量，所以0n v ⋅=r r 4(21)320a a a a ⇒+⇒+⋅==-或0a =. 故答案为：34-或0. 【点睛】本题考查直线的方向向量与法向量的关系，考查基本运算求解能力，属于容易题. 15．在ABC ∆中，14AM AB m AC =+⋅u u u u r u u u r u u u r ，向量AM u u u u r 的终点M 在ABC ∆的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 ． 【答案】304m <<【解析】【详解】试题分析：设1,4AD AB =过点D 作DE 平行AC 于E 点，则3,4DE AC =由向量加法的几何意义知，点M 必在线段DE 上（不含端点）.又0m =时，M D =；34m =时，M E =，所以304m <<. 【考点】向量加法的几何意义16．给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=u u u r u u u r，则ABC ∆面积的最大值为_______.【答案】 【解析】先利用向量的数量积公式，求出60BOC ∠=︒，利用余弦定理求出BC ，由等面积可得O 到BC 的距离，即可求出ABC ∆面积的最大值． 【详解】3OB =Q ，2OC =，3OB OC ⋅=u u u r u u u r，60BOC ∴∠=︒，BC ∴==设O 到BC 的距离为h ，则由等面积可得113222h =⋅⋅7h ∴=，ABC ∆∴面积的最大值为1(4)272+=．故答案为：． 【点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查分析解决问题的能力，求出BC ，O 到BC的距离是关键．三、解答题17．已知O 为原点，(3,1)OA =u u u r ，(1,2)OB =-u u u r ，OC u u u r 与OB uuu r 垂直，BC uuu r 与OA u u ur 平行，求OC u u u r 的坐标.【答案】(14,7).【解析】设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,故BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ,由题可得0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,BC uuu r 与OA u u ur 平行,进而求出点C 坐标即可【详解】由题, 设C 为(),x y ,则(),OC x y =u u u r ,所以()1,2BC OC OB x y =-=+-u u u v u u u v u u u v因为OC u u u r 与OB uuu r垂直,则0OC OB ⋅=u u u r u u u r ,即20x y -+=①,又因为BC uuu r 与OA u u u r平行,则1231x y +-=②, 由①②可得,14x =,7y =,所以OC u u u r的坐标为()14,7【点睛】本题考查向量的垂直与平行关系,考查坐标法处理向量的位置关系,考查运算能力18．已知32(2,4),(2,2),2,||4a b c a c b -=-=-⋅==r r r r r r，求b r 与c r 的夹角.【答案】π-【解析】利用向量的夹角公式cos ,||||b cb c b c ⋅<>=r rr r r r ，根据条件分别把,||,||b c b c ⋅r r r r 三个值算出，再代入公式求得余弦值，即可得到答案. 【详解】因为(32)(2,4)(2,2)12a b c -⋅=-⋅-=rrr， 所以32123a c b c b c ⋅-⋅=⇒⋅=-r r r rr r，因为(2,2)c =-r，所以||c =r所以cos ,16||||b c b c b c ⋅<>===-r rr r r r ，因为,[0,]b c π<>∈r r，所以,arccos 16b c π<>=-r r . 【点睛】本题考查向量夹角、向量数量积、向量的模及已知三角函数值求角等知识的交会，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求夹角时要注意反三角函数知识的运用.19．用行列式的方法解关于x ，y 的方程组(2)36m x y mx my m -+=-⎧⎨+=--⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】当3m =时，方程有无数解；当1m =-时，方程组无解；当3m ≠且1m ≠时，方程组有唯一解2141m x m m y m --⎧=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩【解析】将原方程组写成矩阵形式为Ax b =，其中A 为22⨯方阵，x 为2个变量构成列向量，b 为2个常数构成列向量．计算系数矩阵对应的行列式223D m m =--，再对D 进行分类讨论，求得方程组解的情况. 【详解】系数矩阵对应的行列式221233m D m m m-==--，当2230D m m =--≠，即1m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一的解，1621m m m m x D m -----==+，62341m m m y m D m ----==--+． 2230D m m =--=，即3m =或1m =-时．当3m =时，原方程为3339x y x y +=-⎧⎨+=-⎩无数个解，当1m =-时，原方程组为3133x y x y -+=⎧⎨-=-⎩无解．【点睛】本题二元一次方程组解的行列式求法，考查基本的运算求解能力． 20．在ABC ∆中，已知()1,2A 、()2,1B -．（1）若点C 的坐标为()4,5C ，直线//l AB ，直线l 交AC 边于D ，交CB 边于E ，且CDE ∆与ABC ∆的面积之比为49，求直线l 的方程； （2）若(),C x y 是一个动点，且ABC ∆的面积为2，试求y 关于x 的函数关系式． 【答案】（1）370x y -+=；（2）1133y x =+或133y x =+.【解析】（1）作出图形，可得出CDE ABC ∆∆:，根据面积比为49得出23CD AC =，从而得出2CD DA =u u u r u u u r ，设点(),D m n ，利用向量的坐标运算求出点D 的坐标，并求出直线AB 的斜率，即为直线l 的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线l 的方程；（2）求出直线AB 的方程和AB ，设点C 到直线AB 的距离为d ，利用ABC ∆的面积为2求出d 的值，结合点到直线的距离公式可求出y 关于x 的函数关系式.【详解】（1）//l AB Q ，即//DE AB ，CDE ABC ∴∆∆:，且249CDE ABC CD S S AC ∆∆⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭， 2CD DA ∴=u u u r u u u r，设点D 的坐标为(),m n ，()4,5CD m n =--u u u r ，()1,2DA m n =--u u u r ， ()()421522m m n n ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩，()2,3D ∴. 直线AB 的斜率为211123AB k -==+，//l AB Q ，则直线l 的斜率为13. 因此，直线l 的方程为()1323y x -=-，即370x y -+=；（2）直线AB 的方程为()1213y x -=-，即350x y -+=，AB ==设点C 到直线AB 的距离为d ，则ABC ∆的面积为11222ABC S AB d d ∆=⋅==， 得d =d ==， 354x y ∴-+=±，解得1133y x =+或133y x =+.因此，y 关于x 的函数关系式为1133y x =+或133y x =+.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.21．如图，M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交,AB AC 两边于点,P Q ，设,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，记()y f x =（1）求函数()y f x =的表达式；（2）设APQ ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，且12S kS =，求实数k 的取值范围【答案】（1）41x y x =-，1,13x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）11,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【解析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤，利用导数法，求出函数的值域，可得答案． 【详解】 （1）如图所示：D Q 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，又PQM Q 三点共线，故(1)(1)AM AP AQ AB y AC λλλ=+-=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，故141(1)4x y λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，故11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x ≤≤.（2）设ABC ∆的面积为21S =，则APQ ∆的面积2141x S xy x ==-，1(1)3x ≤≤故2'1242(41)x xS x -=-，当1132x ≤<时，'10S <，函数为减函数， 当112x <≤时，'10S >，函数为增函数， 故当12x =时，1S 取最小值14，当13x =，或1x =时，1S 取最大值13， 故1211[,]43S S ∈， 因为12APQ ABCS S k S S ∆∆==，所以11[,]43k ∈【点睛】本题考查函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．。
上海市位育中学2018学年高二上学期期末考试数学试题
【上海市位育中学2018学年第一学期高二数学学科期末考试卷】一、填空题（本大题满分40分，共有10题，要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分）1、若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m = ．2、直线12y x =关于直线1x =对称的直线方程是 ．3、直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 ．4、若R θ∈，则直线sin 2y x θ=⋅+的倾斜角的取值范围是 ．5、已知双曲线2222:1x y C a b-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为 ．6、若122z z ==，且12z z +=12z z -= ．7、在直角坐标系xOy 中，已知曲线11:12x t C y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与曲线2sin :3cos x a C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，0a >）有一个公共点在x 轴上，则a = ．8、已知12,F F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A 在曲线C 上，点M 的坐标为(2,0)，AM 为12F AF ∠的平分线，则2AF = ．9、已知直线:90L x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线L 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC △中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 横坐标范围为 ．10、椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意两点,P Q ，若OP OQ ⊥，则乘积OP OQ ⋅的最小值为 ．二、选择题（本大题满分16分，共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．）11、在复平面内，复数2334i i -+-（i 是虚数单位）所对应的点位于（ ）A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限12、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ）A ．B ． 4C ．D ．13、设,mn R ∈，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）A ． 1⎡-+⎣B ． (),113,⎡-∞++∞⎣C ． 22⎡-+⎣D ． (),2222,⎡-∞-++∞⎣14、直线143x y +=，与椭圆221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上点P ，使得PAB ∆面积等于3．这样的点P 共有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个三、解得题（本大题满分44分，共有4题，解答下列各题必须写出必要步骤．）15、（本题10分）已知复数z 满足22z -=，4z R z+∈，求z ．16、（本题10分）已知以点P 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交P 于点C 和D ，且CD =P 的方程．17、（本题12分）已知椭圆22:14x G y +=．过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于,A B 两点．（1）求椭圆G 的焦点坐标；（2）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．18、（本题12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上一点(,0)(0)A a a >的直线与抛物线相交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为11,M N ．（1）当2p a =时，求证：11AM AN ⊥； （2）记1111,,AMM AM N ANN ∆∆∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在λ，使得对任意的0a >，都有2213S S S λ=成立．若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．四、附加题19设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过M N 两点，O 为坐标原点．是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求出AB 的取值范围；若不存在，说明理由．。
上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
上海市位育中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．下列命题正确的是（ ）A ．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行B ．如果两个平面垂直于同一个平面，那么这两个平面平行C ．如果一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行D ．如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直14．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比为1:4，母线（原圆锥母线在圆台中的部分）长为12，则原圆锥的母线长为（ ）A ．16B ．18C ．20D ．2215．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，且3,4,AB AC AB AC ==^，112AA =，则球O 的半径为 （ ）A ．5.5B ．6C ．6.5D ．716．M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，对于下列两个命题：①直线MN 恒与平面ABD 平行；②异面直线AC 与MN 恒垂直．以下判断正确的是（ ）A ．①为真命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①为假命题，②为真命题；D ．①为假命题，②为假命题；三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，求：(1)异面直线AD与AC所成角的大小；1(2)求点C到平面ABC D的距离．11四、作图题18．沪版必修第三册教材中用了较多的篇幅来介绍立体几何中的定理及其证明过程，力求培养同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.(1)写出“异面直线判定定理”的内容并证明该定理；(2)表述出祖暅原理的内容，并画出用祖暅原理推导半球体积时构造出的几何体（需交代主要线段的长度，可适当用文字说明）.五、解答题19．如图①，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为20cm，高为30cm，杯内有20cm深的溶液．如图②，现将水杯倾斜，且倾斜时点B始终在桌面上，设直径AB 所在直线与桌面所成的角为α．(1)求图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角(用α表示)；(2)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，求α的最大值．六、证明题20．如图， 在四棱锥P ABCD -中， PD ^底面ABCD ， 四边形ABCD 为正方形，PD DC =， ,E F 分别是,AD PB 的中点．(1)证明：EF //平面PCD ．(2)鳖臑是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称. 右图中是否能找到鳖臑，若能，写出一个并证明；若不能，说明理由.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ^，2AB AD BC AB E F ==，，、分别为棱BC BP 、中点．(1)求证：平面AEF ∥平面DCP ；(2)若平面PBC ^平面ABCD ，直线AP 与平面PBC 所成的角为45o ，且CP PB ^，求二面角P AB D --的大小．七、填空题22．正方体中1111ABCD A B C D -，过1D 作直线l ，若直线l 与平面ABCD 中的直线所成从而直线m 在平面a 内，这与已知条件矛盾，所以直线,m n 为异面直线.（2）祖暅原理：夹在两个平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图所示，图①几何体的为半径为R 的半球，图②几何体为底面半径和高都为R 的圆柱中挖掉了一个圆锥，设与平面a 平行且距离为d 的平面b 截两个几何体得到两个截面，则图②与图①截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分），在图①中，设截面圆的圆心为1O ，易得截面圆1O 的面积为()22πR d -，在图②中，截面截圆锥得到的小圆的半径为d ，所以圆环的面积为()22πR d -，所以截得的截面的面积相等，则图②几何体的体积即为图①半球的体积.EF 为液面，EF ∥水平线，∴∠BEF ＝β∵AD ∥BC ，∴∠DFE ＝∠BEF ＝β，∵∠ABC ＝2p ，∴α＋β＝2p ，图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为（2）如图，过F 作FQ ∥CD 交BC 于Q在Rt CDFÐ=，20△中，FCD aCD=，则=-．AF a3020tan此时容器内能容纳的溶液量为：【分析】（1）证明//EF 平面PCD ，//AE 平面PCD ，即可证明结论；（2）根据面面垂直性质定理得45APB Ð=o ，进而得AB PB =，再根据题意证明PC ^平面ABP 可得PBC V 为直角三角形，再根据几何关系得60PBC Ð=o ，进而根据PBC Ð是二面角P AB D --的平面角求解即可.【详解】（1）证明：因为E F 、分别为棱BC BP 、中点，所以，在PBC V 中，//EF PC ，因为EF Ë平面PCD ，PC Ì平面PCD ，所以，//EF 平面PCD ，因为AD BC ∥，2BC AB E =，为棱BC 中点．所以，//,AD CE AD CE =，所以，四边形ADCE 是平行四边形，所以，//CD AE因为AE Ë平面PCD ，DC Ì平面PCD ，所以，//AE 平面PCD ，因为,,AE EF E AE EF Ç=Ì平面AEF ，所以，平面AEF ∥平面DCP（2）解：因为平面PBC ^平面ABCD ，平面PBC Ç平面ABCD BC =，AB BC ^，AB Ì。
上海市徐汇区2017-2018学年高二上学期期末考试数学试题
徐汇区统考高二期末数学试卷2018.1一、填空题（本大题共有12题，满分40分，第1-8题每题3分，第9-12题每题4分） 1．直线310x +=的倾斜角的大小为 ． 2．若矩阵A 得155132121A ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A = ． 3．抛物线22y x =的准线方程为 ．4．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为 ．5．行列式63125142k --中元素3-的代数余子式的值为5，则k = ．6．过点()0,1且以直线230x y +-=的一个法向量为一个方向向量的直线方程为 ． 7．设点(),x y 是曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则yx 的最大值为 ．8．若点()3,a 在两条平行直线2610x y -+=和340x y --=之间（不在两条直线上），则实数a 的取值范围是 ．9．在ABC ∆中，已知4A B =，1A C =，A BC S ∆=A B A C ⋅的值为 ．10．设不等式组041x y x y x -<⎧⎪+<⎨⎪>⎩表示的平面区域为M ，若直线()2y k x =+上存在区域M 内的点，则实数k 的取值范围是 ．11．已知()()1,11,1A B -、，点P 在圆221x y +=上运动，若(),OP m OA nOB m R n R =+∈∈，则mn 的最小值为 ．12．以下是矩阵的一种运算：a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变成点()ax by cx dy ++．若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ⎛⎫⎪⎝⎭的作用下变换成曲线2221x y -=，则a b +的值为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确答案． 13．设a R ∈，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与2:20l x y a +-=平行”的（ ）．()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既不充分也不必要条件14．已知a 、b 均为单位向量，且=2a b a b +-，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）．()A 13- ()B 13()C 23- ()D 2315．已知椭圆的焦点1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是（ ）．()A 圆 ()B 椭圆()C 双曲线的一支 ()D 抛物线16．已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）．()A (][),10,1-∞- ()B (]1,1- ()C [)1,1- ()D []()1,01,-+∞三、解答题17．若关于,x y 的方程组2321x y ax y -=⎧⎨+=⎩有唯一解，求实数a 的取值范围并求出此方程组的解．18．已知()()cos ,sin ,2sin ,2cos OP OQ θθθθ==+-，其中[)0,2θπ∈，求PQ 的最大值，并指出PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角的大小．19．已知抛物线2:4y x τ=的焦点为F ，AB 是τ上过F 的弦，且AB 的斜率为1，若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点()0,0Q x ，求0x 的值及ABQ ∆的面积．20．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点⎛ ⎝⎭，其左焦点为()F ，过F 点的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）设1M A A F λ=，2M B BF λ=，求证：12λλ+21．如图，已知双曲线221:142x y C -=，双曲线2C 以1C 的左、右焦点1F 、2F 为顶点，且与1C 有相同的渐近线． （1）求2C 的标准方程；（2）设点P 为2C 右支上的一个动点，直线1PF 与1C 交于A 、B 两点，直线2PF 与1C 交于C 、D 两点，请你探索A B CD -是否为定值？证明你的结论．参考答案一、填空题1．3π 2．4842⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 3．12x =- 4．4 5．1 6．210x y -+=78．17,36⎛⎫- ⎪⎝⎭9．2± 10．1,13⎛⎫⎪⎝⎭11．14- 12．2 【第8题解析】由题意，直线2610x y -+=上有点73,6⎛⎫⎪⎝⎭，直线340x y --=上也有点13,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，点()3,a 在两条平行直线之间，显然1736a -<<【第11题解析】利用圆的参数方程，设点P ()()cos ,sin 02θθθπ≤<，则由(),OP m OA nOB m R n R =+∈∈可得()cos 02sin m n m n θθπθ-=⎧≤<⎨+=⎩()()221cos 244m n m n mn θ+--⇒==-，即mn 的最小值为14- 【第12题解析】设曲线22421x xy y ++=上有点()00,x y ，即220000421x x y y ++=，由00000011x x ay a y bx y b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得，点()0000,x ay bx y ++在曲线2221x y -=上， ()()()()()2222220000000021122421x ay bx y b x a b x y a y +-+=⇒-+-+-=．令001,0x y ==，得到0b =，()()()()22222220000000122421221b x a b x y ay x ax y a y -+-+-=⇒++-=，令000,x y ==，得到24a =，()2222200000000221221x ax y a y x ax y y ++-=⇒++=， 令001,2x y ==-，得到2a =，222200000000221421x ax y y x x y y ++=⇒++=．即2a b +=．二、选择题13．C 14．B 15．A 16．A 三、解答题17．744,234x a a a y a ⎧=⎪⎪+≠-⎨-⎪=⎪⎩+18．π- 19．设直线AB 的方程为：1y x =-，联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩，12126,1x x x x +==， 则直线AB 中点坐标为()3,2，线段AB 的垂直平分线为5y x =-+，与x 轴相交于点()05,05Q x ⇒=，又8A B =，点()5,0Q 到直线AB 的距离为d ==，12A BQ S AB d ∆=⋅=． 20．（1）由题意222231412,13a b a b a b ⎧⎪⎪+=⇒==⎨⎪-=⎪⎩，则椭圆方程为2214x y +=；（2）证明：设直线的方程为():0l y kx k =+>，点()M，()22222214124044y kx k x x k x y ⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 设点()()1122,,A x y B xy 、，则21212212414k x x x x k -+=+， ()()11111,3,3,MA x y k A F x y λ=-=--⇒=，()()22222,3,3,M B x y k BF x y λ=-=--⇒=122823x x x xλλ-++==，12λλ+为定值． 21．（1）由题意，())12F F a ⇒、2b b a =⇒=222:163x y C -=；（2）1°点P为)时，422A B CD -=-=； 2°设直线11112:,0,PF l y k x k ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立()2222111112212124024y k x k x x k x y ⎧=+⎪⇒----=⎨-=⎪⎩， 则21214412k A B k +==-， 设直线22222:,,,PF l y k x k⎛⎛⎫=-∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 联立()2222222222212124024y k x k x x k x y ⎧=+⎪⇒-+--=⎨-=⎪⎩， 则22224421k CD k +==-，由1122y k x y k x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩可得点)121212k k P k k ⎛+ -⎝⎭，代入双曲线222:163x y C -=，可得1212k k =，则221122111442442121212k k A B CD k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭-=-=-⎛⎫- ⎪⎝⎭．。
上海市位育中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案
位育中学2017-2018学年第一学期高二年级期中考试数学试卷班级_____，学号_____，姓名_____________一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．已知矩阵2591A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11021B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A -2B =_______________．2．下列关于算法的说法，正确的序号是_______________．(1) 一个问题的算法是唯一的； (2) 算法的操作步骤是有限的；(3) 算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义； (4) 算法执行后一定产生确定的结果．3．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为-10，则k =_______________．4．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________．5．O 为平行四边形ABCD 内一点，已知OA a =，OB b =，OC c =，则OD =_______________． 6．已知直线l 的倾斜角是直线y =2x +3倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为_______________． 7．在数列}{n a 中，12a =且1130n na a +=，若n S 是}{n a 的前n 项和，则n n S ∞→lim =_______________．8．已知(2,1),(,1)a b λ=--=，若a与b 夹角为钝角，则实数λ取值范围是_______________． 9．∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________． 10．直线ax +by =ab (a >0,b <0)不经过第_______________象限．11．点(a ,b )在直线x +2y -1=0上，则a 2+b 2的最小值为_______________． 12．已知向量33(cos,sin )22x x a =，(cos ,sin )22x xb =-，[0,]x π∈， 则a b +的取值范围为_______________．13．如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且||||1OA OB ==，||23OC =(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则(x ,y )=___________．14．设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；CB AO②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥； ③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解b x a=-； ④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解． 其中真有_______________．(写出所有真的序号) 二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ） A ．ACB ．BAC C ．ABCD ．AB -AC 16．下列中，正确的是（ ）A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b =B ．若//a b ，则222()a b a b ⋅=⋅C ．若a c b c ⋅=⋅，则a b =D ．若//a b ，则存在实数k ，使b ka = 17．若直线l 1:mx +y -1=0，l 2:4x +my +m -4=0，则“m =2”是“直线l 1⊥ l 2”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 18．O 是∆ABC 所在平面上的一点，若1()3PO PA PB PC =++（其中P 为平面上任意一点），则点O 是∆ABC 的 （ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心三、解答题（本大题满分46分） 19．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．若根据右面的框图，产生数列{a n }．(1) 当04965x =时，写出所产生数列的所有项； (2) 若要产生一个无穷常数列，求x 0的值．20．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．已知矩阵13mP m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N ．(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组．21．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(-2,0)，点B 坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,-3)，且AM tAB =（t ∈R ）．(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围．22．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．(1) 直线kx -y +1=3k ，当k 变动时，所有直线都通过一个定点，求这个定点；(2) 过点P (1,2)作直线l 交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点，求使PA PB ⋅取得最大值时，直线l 的方程．23．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分3分，第3小题满分3分．已知向量(,)u x y =与向量(,)v x y x y =-+的对应关系用()v f u =表示． (1) 证明：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+； (2) 证明：对于任意向量a ，|()|2||f a a =；(3) 证明：对于任意向量a 、b ，若a b ⊥，则()()f af b ⊥．xy参考答案及评分标准2014-11-14一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）(,2)(2,2-⋃+∞19．（本题满分8分）解：(1) 11119a =，215a =，31a =-．3分 (2) 由1421n n n n a a a a +-==+,得x 0=1,或x 0=2． 8分20．（本题满分8分）解：(1) 由PQ =M +N ，得1323mx y mx my m +-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，方程组为1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； 3分(2) 1(3)3m D m m m m==-+-，11(3)23x D m m m -==-++- ,12(3)323y m D m m m m -==++5分1︒当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；2︒当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解；3︒当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R )．8分21．（本题满分10分）解：(1) (6,3)AB =，(6,3)AM t AB t t ==，(3,3)AC =-，(63,33)CM AM AC t t =-=-+， ∵CM AB ⊥，∴4590CM AB t ⋅=-=，∴15t =； 4分(2) 点M 在线段AB 上，AC 的斜率k 1=-1，AB 的斜率k 2=2， ∴k ≤-1,或k ≥2，8分 3[arctan 2,]4πθ∈． 10分(2) 另解：当12t =时，CM 的斜率不存在； 当12t ≠时，CM 的斜率311221221t k t t +==+--在区间1[0,)2和1(,1]2单调递减， 7分∴k ∈(-∞.,-1]⋃[2,+∞]，3[arctan 2,]4πθ∈． 10分22．（本题满分10分）解： (1) 对任意的实数k ，(3,1)是直线方程y -1=k (x -3)的解，∴定点坐标为(3,1)；4分(2) 直线l 的斜率存在，设l :y -2=k (x -1)，则2(1,0)A k-,B (2-k ,0)，由21020k k ⎧->⎪⎨⎪->⎩，的k <0， 6分(1,)PA k =--，2(,2)PB k =--，2122()4PA PB k k k k⋅=+=--+≤--， 8分当且仅当1k k-=-,即k =-1时，max ()4PA PB ⋅=-， 此时，直线l 的方程为y -2=-(x -1)，即x +y -3=0． 10分23．（本题满分11分）证：(1) 设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则11221212(,)(,)(,)ma nb m x y n x y mx nx my ny +=+=++∵12121212()(,)f ma nb mx nx my ny mx nx my ny +=+--+++11112222()()(,)(,)mf a nf b m x y x y n x y x y +=-++-+11221122(,)mx my nx ny mx my nx ny =-+-+++∴()()()f ma nb mf a nf b +=+；4分(2) ∵22222221111111111|()||(,)|()()2()2||f a x y x y x y x y x y a =-+=-++=+= ∴|()|2||f a a =；7分(3) 由a b ⊥，得0a b ⋅=，由(1),(2)结论可得222222222|()()||()|2||2(2)2||2|||()||()|f a f b f a b a b a a b b a b f a f b +=+=+=+⋅+=+=+∴()()0f a f b ⋅=，()()f a f b ⊥． 10分。
上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
上海市徐汇中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷一、填空题1．若直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系是．2．如图，若PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA AB =，则二面角P BC A --的大小为.3．在数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N ，有11n n n a a a +=+，则5a =．4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱的外接球表面积为．5．已知长方体1111ABCD A B C D -，如图建系，若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC uuu r 的坐标为．6．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为．7．湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个直径为24cm ，深为8cm 的空穴，则这球的半径为cm .8．棱长为1的正四面体，过三条侧棱中点做截面，则截面与底面之间所成棱台的高为．9．已知正三棱柱111ABC A B C -中，14AB AA ==，点D 、E 分别为棱1AA 、11A B 的中点．则三棱锥1E BDC -的体积为．10．已知正三角形ABC 的边长2的平面有个；11．已知两母线长度相等的圆锥侧面展开图拼起来恰是一个整圆，且两圆锥的侧面积之比为1：2，则两圆锥的体积比为．12．关于正方体1111ABCD A B C D -有如下四个说法，则下列说法正确的有．（1）若点P 在直线1BC 上运动，则三棱锥1A D PC -的体积不变（2）若点P 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则P 点的轨迹是直线11A D ．（3）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与DC 所成角的范围为π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（4）若点P 在线段1BC （含端点）上运动，则直线AP 与1D C 可以垂直二、单选题13．关于直线l ，m 及平面α，β，下列命题中正确的是（）A ．若l α∥，m αβ= ，则l mB ．若l α∥，m α ，则l mC ．若l α⊥，m α ，则l m ⊥D ．若l α∥，m l ⊥，则m α⊥14．下列四个正方体图形中，,,,,A B M N P 分别为正方体的顶点或其所在棱的中点，能得出AB //平面MNP 的图形是（）A ．B ．C ．D ．15．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性的提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”.如图，已知两个体积分别为1V ，2V 的几何体夹在两个平行平面之间，任意一个平行于这两个平面的平面截这两个几何体，截得的截面面积分别为1S ，2S ，则“12V V =”是“12S S =”的（）条件.A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，将ABD △沿BD 折起，使顶点A 至点M ，在折起的过程中，对于下面两个命题：①存在一个位置，使CDM V 为等边三角形；②DM 与BC 不可能垂直，成立的是（）A ．①为假命题，②为真命题；B ．①为真命题，②为假命题；C ．①②均为真命题；D ．①②均为假命题三、解答题17．正方体1111ABCD A B C D -，E ，F 分别是棱1B B ，AD 的中点．(1)直线BF ∥平面1AD E ；(2)求异面直线BF 与1D E 所成角的大小；18．已知等差数列{}n a 的公差不为零，113a =，且3a ，6a ，7a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式：(2)求其前n 项和n S 取最大值时n 的值．19．如图，已知点P 在圆柱1OO 的底面圆O 上，圆O 的直径4AB =，圆柱1OO 的表面积为20π，120A O P ∠=︒．(1)求四面体1P A AB -全面积；(2)求二面角1O A P A --的大小；20．（1）对于精美的礼物，通常会搭配礼盒保护，现工厂有一种树脂工艺球待礼盒包装，为节省材料费用，定制礼盒尺寸大小卡住树脂工艺球避免其来回滚动即可．现在有两种定制方式，一种是正方体礼盒，另一种是圆柱体礼盒，均不计损耗的话后者的单位面积费用是前者的1.2倍，工厂应选择哪一种礼盒更经济实惠？（2）包装好的礼物，通常还会用彩带捆扎，有时还会扎出一个花结，这些包装彩带也不便宜，因此在捆扎时不仅要考虑美观、结实，也要考虑尽量地节省包装彩带．以长方体的礼盒为例，较为典型的两种捆扎方式分别为“十字”和“对角”，如下图所示．“十字”捆扎“对角”捆扎假设1：将礼物视作一个长方体，其长为4，宽为2、高为1；假设2：不考虑花结处的彩带，将每一段彩带视为线段，且完全位于礼物的表面上；假设3：“十字”捆扎中，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）都与其相交的棱垂直；假设4：“对角”捆扎中，以某种方式展开长方体后，长方体表面上的每一段彩带（上底面和下底面各2段，每个侧面各1段）在其表面展开图上均落在同一条直线上．①求“十字”捆扎中彩带的总长度；②根据假设4绘制示意图，求“对角”捆扎中彩带的总长度，并比较两种捆扎方式，给出用彩带捆扎礼物的建议．21．已知点P 是边长为2的菱形ABCD 所在平面外一点，且点P 在底面ABCD 上的射影是AC 与B 的交点O ．已知60BAD ∠=︒，PDB △是等边三角形．(1)求证：AC PD ⊥；(2)求点D 到平面PBC 的距离；(3)若点E 是线段B 上的动点．问：点E 在何处时，直线PE 与平面PBC 所成的角最大？求出这个最大角，并说明点E 此时所在的位置．。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
和平均值，则 lim H n =
。
xn
1 5 9 13 ... 117
5 10 15 20 ... 150
9 15 21 27 ... 183
14．给出 30 行 30 列的数表 A ：
，其特点是每行每列都构成等差数列，
13 20 27 34 ... 216
... ... ... ... ... ...
题类 得分值
上海市行知中学第一学期期中考试
高二年级 数学试卷
一
二
19
20
2l
22
23
总分
一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分 )
2
1．若 P1P
5 PP2 ，设 P1P2
PP1 ，则 的值为
。
2．已知 { an } 是等比数列，则方程组
a1x a2 y a4 的解的个数是 a5x a6 y a8
7. 设 f (n) 1
1
n1 n 2
1 ， n N * ，若 k N * ，则 f (k 1) f ( k) 2n
8. 已知 | a | 1 ， | b | 1 ， a 、 b 的夹角是 60°，若向量 c 满足 | c a b | 1 ，则 | c | 的最小
值为
9. 设函数 y 2nx n 和 y
15．如果 lim(1 2x)n 存在，那么 x 的取值范围是 ( ) x
(A) 0≤x<1 (B) 0< x <1 (C) 0≤x≤ 1 (D) 0< x ≤１
16．已知 m ， n 是夹角为 60°的单位向量，则 a 2m n 和 b 3m 2n 的夹角为 ( )
(A)30 ° (B)60 ° (C)90 ° (D)120 °
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷及解析
上海市位育中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合23},{|log 1},N x x =>则M N =（ ）A.∅B.{|03}x x <<C.{|13}x x <<D.{|23}x x <<2.若()sin 3cos2,f x x =- 则()cos f x = ( )A. 3cos2x -B. 3sin2x -C. 3cos2x +D. 3sin2x +3.定义两个平面向量的一种运算sin ,a b a b θθ⊗=⋅⋅为,a b 的夹角，则对于两个平面向量,a b ，下列结论错误的是（ ） A.a b b a ⊗=⊗B.=a b a b λλ⊗⊗()()C.2222)+=a b a b a b ⊗⋅⋅(()D.若1122(,),(,)a x y b x y ==，则1221=a b x y x y ⊗-第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）2,},{|}x R B x x a ∈=≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.5.函数y =cos x +cos （x +）的最大值是 .6.函数()22log 1y x =+（0x <）的反函数是______. 7.方程2lg lg(2)0x x -+=的解集是_______.8.若32(2)+2n n n x x ax bx cx +=++++…（*n N ∈且3n ≥），且:3:2,a b =则n =_______.9.在等差数列{}n a 中，13464,2,a a a a +=+=-若2log n n a b =，则12lim()n n b b b →∞++…+=_______.10.若ABC △的面积2221(),3S a b c =+-则C ∠=_________. 11.复数z a bi =+，其中{1,3,5},{0,2,4,6},a b ∈∈则得到的复数z 的模不大于5的概率是_____.12.若函数14()121x f x a a x=的最小值是非负数，则符合条件的整数a 的一个可能值是______.13.函数sin arcsin y x x =+的值域是______.14.定义：若函数()f x 的图像经过变换T 后所得的图像对应的函数与()f x 的值域相同，则称变换T 是()f x 的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换：①21()(1),f x x T =-将函数()f x 的图像关于y 轴作对称变换； ②12()21,x f x T -=-将函数()f x 的图像关于x 轴作对称变换；③3(),1xf x T x =+将函数()f x 的图像关于点（-1，1）作对称变换； ④4()sin(),3f x x T π=+将函数()f x 的图像关于点（-1，0）作对称变换；其中T 是()f x 的同值变换的有_______.（写出所有符合题意的序号）15.在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点．若圆上存在一点C ，满足5344OC OA OB =+，则r 的值为________．三、解答题（题型注释）16.如图，正四棱柱1111A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求：（1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分 得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为 。
2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是 。
3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为 。
4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。
5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。
6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是 。
7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是 。
8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。
9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。
10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。
11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。
12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。
2017-2018年上海市徐汇中学高二上期中数学试卷(有答案)
徐汇中学2017学年高二第一学期期中考试数学试卷一、填空题（每小题3分，共48分）1、过点()6,1-，法向量()3,2=→n 的直线的点法向式方程为 2、已知三阶行列式563183212--，其中3-的代数余子式是 3、已知二元一次方程组为⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-311111，则此方程组的解是 4、y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-01022042y x y x y x ，则y x +的最大值是5、将直线03=+-y x 绕其与y 轴的交点逆时针旋转15，则所得直线的方程是6、直线0132=+-y x 关于直线1=x 对称的直线方程是7、 过点()3,2且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是8、已知直线01243:1=--y x l ，32=x l ：，则两条直线的夹角为9、已知两条直线()m y x m l 3523:1-=++，()1654:2=++y m x l ，若21//l l ，则实数a 的值为 10、设21F F ，分别为椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点()10-，M 在椭圆上，过点的1F 的直线与椭圆相交于B A ,，且2ABF ∆的周长为8，则椭圆的标准方程为11、若椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则椭圆上的一点到两个焦点的距离之和是 12、已知点A 是圆4:22=+y x O 的一个定点，点B 是圆O 上的一动点，若满足→→→→-=+BO AO BO AO ，则 =⋅→→AB AO13、在ABC ∆中，C ∠为直角，且25-=⋅+⋅+⋅→→→→→→AB CA CA BC BC AB ，则AB 的长为14、已知圆C 的方程为015822=+-+x y x ，若直线2-=kx y 上至少存在一点M ，使得以M 为圆心，1为半径的圆P 与圆C 有公共点，则k 的最大值是15、已知c b a ,,是直角三角形的三边长，c 为斜边长，()n m P ,是直线02=++c by ax 上的动点，则22n m +的最小值是16、下列5个命题：①方程k kx y 2+=可表示经过点()2,0的所有直线；②当0≠=C A ，0=B 时，方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示一个圆；③若→→→c b a 、、是互不平行的平面向量，则→→→→→→⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a c a c b 与→c 垂直； ④设圆的方程()0,:=y x f C ，()00,y x M 为圆C 外的定点，则M 到圆C 的切线段长()00,y x f =；⑤动点P 到两定点()()1,0,1,0-的距离之和为2，则P 点的轨迹是椭圆。
上海市位育中学2017届高三数学上册期中考试题
位育中学2017届第一学期期中考试高三数学试卷一 填空题（本大题满分56分，每小题4分）1 设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M C u ;则集合M =______________2 已知53)2sin(=-απ，则)cos(απ-=_____________3 公比为2的等比数列}{a n 的各项都是正数，且16113=a a ，则102log a =_____________4 求值：)74arcsin(cosπ=_____________ 5 在等差数列}{a n 中，若2576543=++++a a a a a ，则=+82a a _____________6 在ABC ∆中，3=a ，6=b ，3π=A ,则B =____________7 已知数列}{a n 是递增数列的等比数列，941=+a a ，832=a a ，则数列}{a n 的前n 项和等于____________8 若函数22log 36)(>≤⎩⎨⎧++-=x x x x f a （0>a 且1≠a ）的值域是[)∞+，4。
则实数a 的取值范围是____________9 若函数)ln()(2x a x x x f ++=为偶函数，则=a ___________10 设n s 是数列}{a n 的前n 项和，且11-=a ，11++=n n n s s a ，则n s =___________11 设函数211|)|1ln()(x x x f +-+= ，则使得)12()(-≥x f x f 成立的x 的取值范围是__________12 已知函数)0(cos sin )(>+=ωωωx x x f ，R x ∈，若函数)(x f 在区间)(ωω，-内单调递增，且函数)(x f 的图像关于ω=x 对称，则ω的值为___________13 若ab 是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且a ，b ，2-这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于___________14 已知函数)3)(2()(++-=m x m x m x f ，22)(-=x x g ，若同时满足条件： （1）对任意实数x 都有0)(<x f 或0)(<x g ；（2）总存在），（4-∞-∈o x 时，使0)()(<o o x g x f 成立，则m 的取值范围是___________二 选择题（满分20分，每小题5分）15 设n s 是公差为)0(≠d d 的无穷等差数列}{a n 的前n 项和，则下列命题错误的是（ ）A 若0<d ,则数列}{s n 有最大项B 若数列}{s n 有最大项，则0<dC 若数列}{s n 是递增数列，则对任意*N n ∈,均有0>n sD 若对任意*N n ∈，均有0>n s ，则数列}{s n 是递增数列16 将函数x x f 2sin )(= 的图像向右平移ϕ）（20πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图像，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x 2x ，有3x min 21π=-x ，则ϕ=___________A125π B 3π C 4π D 6π17 已知)(x f 是定义在R 上的偶函数且以2为周期，则“)(x f 为[]10，上的增函数”是“)(x f 为[]43，上的减函数”的（ ）A 充分而不必要的条件B 必要而不充分的条件C 充要条件D 既不充分也不必要的条件18 对于函数)(x f ，若存在区间[]n m A ,= 使得{y|y=f （x ），x ∈A}=A ，则称函数f （x ）为“可等域函数”，区间A 为函数f （x ）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f （x ）=sin （x ）；②f （x ）=2x 2﹣1；③f （x ）=|1﹣2x|； ④f （x ）=log 2（2x ﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ）A ．①②③B ．②③C ．①③D ．②③④三 解答题（满分74分） 19 （满分12分）已知二次函数32)(2--=x mx x f ，若不等式0)(<x f 的解集为),1(n - （1）解关于x 的不等式：1)1(422-+>+-x m n x x ；（2）是否存在实数），（10∈a ，使得关于x 的函数14)(+-=x x a a f y []），（21∈x 的最小值为4-？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由20 （本题满分14分） 在ABC ∆中,已知135cos =A , 3102cot 2tan =+B B , 21=C （1）求)cos(B A -的值; （2）求ABC ∆的面积.21 (本题满分14分)已知函数2cos 102cos 2sin 310)(2x x x x f += （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）将函数)(x f 的图像向右平移6π个单位长度,再向下平移a )0(>a 个单位长度后得到函数)(x g 的图像,且函数)(x g 的最大值为2 . 求函数)(x g 的解析式;证明:存在无穷多个互不相同的正整数0x ,使得0)(0>x g22 (本题满分16分)已知数列}{a n 的前n 项和为n s , 且n n s s a a +=22 对一切整数n 都成立. （1）求1a ,2a 的值（2）若01>a ,设数列}{n b 的前n 项和为n T , 且满足nn a a b 110lg = ,证明}{n b 是等差数列;（3）当n 为何值时, n T 最大? 并求出n T 的最大值.23(本题满分18分)已知函数)(x f ,如果存在给定的实数对）（b a , ,使得bx a f x a f =-+)()(恒成立,则称)(x f 为”-Γ函数” .（1）判断函数x x f =）（1, x x f 32=）（ 是否是”-Γ函数” . （2）若x x f tan 3=）（ 是一个”-Γ函数” .,求出所有满足条件的有序实数对）（b a ,;（3）若定义域为R 的函数)(x f 是”-Γ函数” ,且存在满足条件有序实数对），（10和)4,1( ,当[]10，∈x 时,)(x f 的值域为[]21， ,求当[]20162016-，∈x 时函数)(x f 的值域 答案1 }6,5,3{=M ,2 53-， 3 5， 4 14π-， 5 10， 6 4π， 7 12-n ， 8(]21，，9 1， 10 n1-， 11 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡131，， 12 2π，13 9 ，14 ），（2-4- 15 C, 16D, 17C,18B.19 (1) ()),2(1,+∞⋃∞- (2) 31=a 20 （1）6556， （2）126 21 （1） π2=T （2）8sin 10)(-=x x g 证明题22 （1） 121+=a ，222+=a ，或211-=a ，222-=a （2）2lg 21-=d（3）7=n 2lg 2217)(7max -==T T n23 （1）不是；是 （2） ))(1,4(z k k ∈±ππ(3) []201620162,2-沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分得分值一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分)21. 若 P 1PPP 2 ，设 5P 1P 2 PP 1 ，则 的值为 。
a 1x a 2 y a 42. 已知 { a n } 是等比数列，则方程组的解的个数是 。
a 5 x a 6 y a 83. 已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，sintan 3 )，则行列式1cos的值为。
4. 等边△ ABC 边长为 1，则 AB BC BC CA CA AB =。
5. 向量x 经矩阵y0 1 变换后得到矩阵1 02 ，则 x y。
36. 执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是 7，则输出 S 的值是。
7. 如果 3nlimn 11 n，那么 a 的取值范围是。
x3(a 1)38. 用数学归纳法证明 “ (n1)(n 2)...(n n) 2n1 3...(2 n 1) ”，从“ k到 k1 ”左端需增乘的代数式为。
9. 已知等差数列 { a n } 前 n 项和为S n ，若 OB a 1007 OA a 1008 OC ，且 A ， B ， C 三点共线 (不过原点 )，则S 2014 =。
10. 已知 a 与 b 均为非零向量， 给出下列命题： ①( a b) ( a) 2(b)2；② | a | a (a)2； ③若 a c b c ，则 a b ；④ (a c) b a (c b) ，上述命题中，真命题的个数是。
11. 在等差数列 { a n } 中， a 113 ，前 n 项和为 S n ，且 S 3 S 11 ，则使得 S n 最大的正整数 n 为。
12. 已知 A ， B ， C ， D 四点的坐标分别为 A(-1 ， 0)， B(1 ， 0)，C(0 ， 1)， D(2 ， 0)， P 是线段 CD 上的任意一点，则 AP BP 的最小值是。
上海市位育中学2017-2018学年高二第一学期期中考试数学试卷
绝密★启用前 上海市位育中学2017-2018学年高二第一学期期中考试数学试卷 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．关于向量，下列结论错误的是（ ） A ． 0a ⋅=0 B ． ()()(),m na mn a m n R ⋅=⋅∈ C ． AB BA = D ． ()(),m n a m a n a m n R +⋅=⋅+⋅∈. 2．如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程(),0f x y =的解”是正确的，则下列命题正确的是（ ） A ． 曲线C 是方程(),0f x y =的曲线; B ． 方程(),0f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上； C ． 不满足方程(),0f x y =的点(),x y 不在曲线C 上; D ． 方程(),0f x y =是曲线C 的方程. 3．设P 是圆： ()22-3y 14x ++=）（上的动点， Q 是直线-3x =上的动点，最小值为（ ） A ． 6 B ． 4 C ． 3 D ． 2 4．已知直线1l ： -10ax y +=， 2l ： 10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：②当a 变化时， 1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）； ③不论a 为何值时， 1l 与2l 都关于直线0x y +=对称； ④如果1l 与2l 交于点M ，则1； 其中，所有正确的结论的个数是（ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．已知a=（x,3），b=（3,1），且a∥b，则x=_______.6中，第2行第1列得元素的代数余子式的值为10，则实数k =_______.7．增广矩阵为3110mn-⎛⎫⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是1{2xy==，则m+ n =__________.8．已知矩阵A=1234⎛⎫⎪⎝⎭，矩阵B=4231⎛⎫⎪⎝⎭，计算：AB= ．9．已知直线上两点A（2,3），B=（-1,5），则直线AB的点方向式方程是____________. 10．直线l的一个方向向量d=（1,2），则l与直线-20x y+=的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）.11．若实数x, y满足10{304x yx yy-+≤+-≥≤，则目标函数2z x y=+的最大值为_____________.12．与直线2350x y++=平行，且距离等于___________. 13．若直线l：与直线23-60x y+=的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是___________.14．在△ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，则•AD BC=____________. 15．在平面直角坐标系yxO中，在所有以点（1,0）为圆心且与直线--2-10my y m=（m R∈）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是_____________.16．在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB= BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC PQ，则△PAC的面积的最大值为______________.…………外…………○………………内…………○…… 三、解答题 17．讨论关于x ， y 的一元二次方程组()22{ 3121mx y x m y m +=+-=+的解得情况.18．已知圆O ： 225x y +=.（1）当直线l ： 20ax y a ++=与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程;（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为.19．已知2,1a b ==， a b 与的夹角为45°.（1）求a b 在方向上的投影；（2）求2a b +的值;（3）若向量()2-3a b a b λλ-与（的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1， AB ， AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上， A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为A '.（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（ k 为常数），试用k 表示点A '的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当-20k ≤≤时，求折痕长的最大值.21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y = x 关于圆C 的距离比λ=，求此圆的C 的方程； （3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆()222212:11:(-3(-34C x y C x y ++=+=与））的距离比始终相等？若存在，求出相应的点P 点坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．A【解析】对于A ， 000a ⋅=≠，故A 错误；对于B ，当,m n R ∈时， ()()m na mn a mn a ⋅=⋅=⋅，故B 正确；对于C ，因为,AB BA 大小相等，方向相反，则AB BA =，故C 正确；对于D ，当,m n R ∈时， ()m n a m a n a +⋅=⋅+⋅，故D 正确 故选A2．C【解析】由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程(),0f x y =的解为坐标的点是否都在曲线C 上，所以方程(),0f x y =的曲线不一定是C ，故曲线C 是方程(),0f x y =的曲线不正确，即A 不正确；方程(),0f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确，即B 不正确；因为不能推出曲线C 是方程(),0f x y =的轨迹，从而得到D 不正确；不满足方程(),0f x y =的点(),x y 不在曲线C 上是正确的，即C 正确. 故选C3．B 【解析】圆上一动点到定直线的最短距离为圆心到直线的距离减去半径，圆心()3,1-到直线3x =-的距离为6，该圆的半径为2，故 624d =-=. 故选B点睛：与圆有关的距离的最值问题，一般根据距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．4．C【解析】对于①，当0a =时，两条直线分别化为: 1,1y x ==-，此时两条直线互相垂直，当0a ≠时，两条直线斜率分别为: 此时两条直线互相垂直，因此不论a 为何值时， 1l 与2l 都互相垂直，故①正确；对于②，当a 变化时，代入验证可得: 1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -，故②正确；对于③，由①可知:两条直线交点在以AB 为直径的圆上，不一定在直线0x y +=上，因此1l 与2l 关于直线0x y +=不一定对称，故③不正确；对于④，如果1l 与2l 交于点M ，由③可知:1，故④正确.所有正确结论的个数是3.故选C5．9【解析】∵(),3a x =， ()3,1b =， a ∥b∴133x ⨯=⨯∴9x =故答案为96．6 【解析】由题意得()32121||2211012k M k =-=⨯+⨯=- ∴6k =故答案为67．-4 【解析】∵增广矩阵3110m n -⎛⎫ ⎪⎝⎭的二元一次方程组的实数解是1{ 2x y == ∴321{ 20m n +=-+= ∴2,2m n =-=- ∴4m n +=- 故答案为4-8．1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：AB =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭4231⎛⎫ ⎪⎝⎭=1042410⎛⎫ ⎪⎝⎭。
上海市位育中学高二数学上学期期中试题(新疆班,无答案)
位育中学2014学年第一学期期中考试 高二年级 数学试卷（新疆班）2014-11-14班级_____，学号_____，姓名_____________一、填空题（本大题满分42分，每小题3分）1．AB BC CA ++u u u v u u u v u u u v=_______________．2．已知矩阵2591A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，11021B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A -2B =_______________．3．二元一次方程组的增广矩阵为125318-⎛⎫⎪⎝⎭，通过矩阵的变换，得方程组解的增广矩阵为_______________．4．已知向量)1,3(),3,3(-==→→b a ，则向量→→b a ,的夹角大小是__________5．三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为-10，则k =_______________．6．直线2x +y -1=0的倾斜角大小为_______________．7．直线3x -4y +2=0的单位法向量0n =u u r_______________．8．O 为平行四边形ABCD 内一点，已知OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，则OD u u u r=_______________． 9．在数列}{n a 中，12a =且1130n na a +=，若n S 是}{n a 的前n 项和，则n n S ∞→lim =___________．10．平面向量a r 与b r的夹角为60︒，(2,0)a =r ，||1b =r ，则|2|a b +=r r _______________． 11．∆ABC 中，||5AB =u u u r ，AC u u u r 在AB u u u r 上的投影为3，则AB BC ⋅u u u r u u u r的值为_______________．12．点(a ,b )在直线x +y +1=0上，则ab 的最大值为_______________．13．已知(2,1),(,1)a b λ=--=r r ，若a ρ与b r夹角为钝角，则实数λ取值范围是_______________． 14．经过点(2,2)A -且在第二象限与两坐标轴围成的三角形面积最小时的直线方程为_______________二、选择题（本大题满分12分，每小题3分） 15．有矩阵32A ⨯、23B ⨯、33C ⨯，下列运算可行的是（ ）A ．ACB ．BACC ．ABCD ．AB -AC 16．下列命题中，正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=r r ，则0a =r r 或0b =r rB ．若//a b r r，则222()a b a b ⋅=⋅r r r rC ．若a c b c ⋅=⋅r r r r ，则a b =r rD ．若//a b r r ，则存在实数k ，使b ka =r r17．若直线l 1:mx +y -1=0，l 2:4x +my +m -4=0，则“m =2”是“直线l 1⊥ l 2”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件18．点P 是∆ABC 内一点，设AP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r(m >0,n >0)，则m 、n 还需满足的条件是 （ ）A ．m +n >0B ．m +n <1C ．m +n =1D ．m +n >1三、解答题（本大题满分46分）19．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．若根据右面的框图，产生数列{a n }． (1) 当04965x =时，写出所产生数列的所有项； (2) 若要产生一个无穷常数列，求x 0的值．20．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．已知a r 、b r 、c r是同一平面内的三个向量，(1,2)a =r ．(1) 若||25c =r 且//c a r r ，求c r的坐标；(2) 若||10b =r ，且2a b +r r 与2a b -r r 垂直，求a r 与b r的夹角θ．21．（本题满分8分）第1小题满分3分，第2小题满分5分．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N ．(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组．开始 输入A ←x 0结束A =-1 打印A A ←(4A -2)/(A +1)Yes No22．（本题满分10分）第1小题满分4分，第2小题满分6分．直角坐标系xOy 中，点A 坐标为(2,0)，点B坐标为(4,3)，点C 坐标为(1,3)，且AM t AB =u u u u r u u u r（t ∈R ）．(1) 若CM ⊥AB ，求t 的值；(2) 当0≤ t ≤1时，求直线CM 的斜率k 和倾斜角θ的取值范围．23．（本题满分12分）第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分． 设数列}{n a 的前n 项和为S n ，点(,)n S n n(n ∈N *)均在函数32y x =-的图像上。
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2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）已知=（x，3），=（3，1），且∥，则x=．2．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=．3．（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=．4．（3分）已知矩阵A=，B=，则AB=．5．（3分）已知直线上两点A（2，3），B=（﹣1，5），则直线AB的点方向式方程是．6．（3分）直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为．（结果用反三角函数值表示）7．（3分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为．8．（3分）与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是．9．（3分）若直线l：y=kx﹣与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是．10．（3分）在△ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，则•=．11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，在所有以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是．12．（3分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）关于向量，下列结论错误的是（）A．0•=0 B．m•（n）=（mn）•（m，n∈R）C．||=||D．（m+n）•=m•+n•（m，n∈R）14．（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程15．（4分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．216．（4分）已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B （﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．（8分）讨论关于x，y的二元一次方程组的解得情况．18．（8分）已知圆O：x2+y2=5．（1）当直线l：ax+y+2a=0与圆O相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程；（2）求与圆O外切点（﹣1，2），且半径为2的圆方程．19．（10分）已知||=，||=1，与的夹角为45°．（1）求，在方向上的投影；（2）求|+2|的值；（3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为2，宽为1，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A点落在线段DC上，设此点为A′．（1）若折痕的斜率为﹣1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k，（k为常数），试用k表示点A′的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当﹣2+≤k≤0时，求折痕长的最大值．21．（12分）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．2017-2018学年上海市徐汇区位育中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．（3分）已知=（x，3），=（3，1），且∥，则x=9．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵=（x，3），=（3，1），且∥，∴，解得x=9．故答案为：9．【点评】本题考查函数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．2．（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=6．【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论．【解答】解：∵三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，∴﹣=10，∴﹣[2×（﹣2）﹣k]=10，∴k=6．故答案为：6．【点评】本题考查了行列式的代数余子式，本题难度不大，属于基础题．3．（3分）增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，则m+n=﹣4．【分析】由已知得到，由此能求出m+n的值．【解答】解：∵增广矩阵的二元一次方程组的实数解为，∴，解得m=﹣2，n=﹣2，∴m+n=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵解方程组的性质的合理运用．4．（3分）已知矩阵A=，B=，则AB=．【分析】利用矩阵的乘法法则能求出AB．【解答】解：∵矩阵A=，B=，∴AB==．故答案为：．【点评】本题考查矩阵乘积的求法，考查矩阵乘法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．5．（3分）已知直线上两点A（2，3），B=（﹣1，5），则直线AB的点方向式方程是=．【分析】求出向量，再写出经过A、B两点的直线点方向式方程．【解答】解：直线上两点A（2，3），B=（﹣1，5），∴=（﹣3，2），∴经过A、B两点的直线点方向式方程为：=．故答案为：=．【点评】本题考查了直线的点方向式方程应用问题，是基础题．6．（3分）直线l的一个方向向量，则l与直线x﹣y+2=0的夹角为arccos．（结果用反三角函数值表示）【分析】先求出直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，从而能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值，由此能求出直线l与x﹣y+2=0的夹角大小．【解答】解：∵直线x﹣y+2=0的方向向量是（1，1），又直线l的一个方向向量，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角的余弦值是=，∴直线l与x﹣y+2=0的夹角大小为arccos．故答案为：arccos．【点评】本题考查两直线夹角大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的方向向量的概念的合理运用．7．（3分）若实数x，y满足，则目标函数z=2x+y的最大值为10．【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数z=2x+y的位置，求出最大值．【解答】解：作出实数x，y满足的可行域如图：目标函数z=2x+y在的交点A（3，4）处取最大值为z=2×3+4=10．故答案为：10．【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出可行域，判断目标函数经过的位置是解题的关键．8．（3分）与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于的直线方程是2x+3y+18=0或2x+3y﹣8=0．【分析】设出平行线方程，利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：与直线2x+3y+5=0平行的直线方程设为：2x+3y+b=0，因为与直线2x+3y+5=0平行，且距离等于，所以，解得b=18或﹣8，所求直线方程为：2x+3y+18=0或2x+3y﹣8=0．故答案为：2x+3y+18=0或2x+3y﹣8=0．【点评】本题考查平行线之间的距离的应用，直线方程的求法，基本知识的考查．9．（3分）若直线l：y=kx﹣与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是．【分析】联立两直线方程到底一个二元一次方程组，求出方程组的解集即可得到交点的坐标，根据交点在第一象限得到横纵坐标都大于0，联立得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集即可得到k的范围，然后根据直线的倾斜角的正切值等于斜率k，根据正切函数图象得到倾斜角的范围．【解答】解：联立两直线方程得：，将①代入②得：x=③，把③代入①，求得y=，所以两直线的交点坐标为（，），因为两直线的交点在第一象限，所以得到，且，解得：k＞，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＞，所以θ∈（，）．故答案为：．【点评】此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标，掌握象限点坐标的特点，掌握直线倾斜角与直线斜率的关系，是一道综合题．10．（3分）在△ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，则•=﹣10．【分析】利用已知条件表示出数量积的向量，利用已知条件转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，AB=6，AC=4，D为BC中点，可得=，=，则•====﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，向量的表示，考查计算能力．11．（3分）在平面直角坐标系xOy中，在所有以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的圆中，半径最大的圆的标准方程是（x﹣1）2+y2=2．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣2m﹣1=0的距离：d==∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，是基础题．12．（3分）在如图所示的平面中，点C为半圆的直径AB延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P作半圆的切线PQ，若PC=PQ，则△PAC的面积的最大值为4．【分析】以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】解：以AB所在直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，∵AB=BC=2，∴C（3，0），设P（x，y），∵过动点P作半圆的切线PQ，PC=PQ，∴=•，整理，得x2+y2+6x﹣11=0，∴点P的轨迹方程是以（﹣3，0）为圆心，以r=2为半径的圆，∴当点P在直线x=﹣3上时，△PAC的面积的最大，）max==4．∴（S△PAC故答案为：4．【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．二、选择题（本大题共4题，每题4分，共16分）13．（4分）关于向量，下列结论错误的是（）A．0•=0 B．m•（n）=（mn）•（m，n∈R）C．||=||D．（m+n）•=m•+n•（m，n∈R）【分析】根下向量数乘向量的和性质进行判断即可．【解答】解：A.0•=，故A错误，B．m•（n）=（mn）•（m，n∈R），故B正确，C．||=||，故C正确，D．（m+n）•=m•+n•（m，n∈R），故D正确，故错误的是A，故选：A．【点评】本题主要考查与向量数乘向量有关的命题的真假判断，比较基础．14．（4分）如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A．曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B．方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C．不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D．方程f（x，y）=0是曲线C的方程【分析】利用曲线的方程、方程的曲线的定义的两个方面，进行判断．【解答】解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．故选：C．【点评】本题考查曲线与方程的关系，只有曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，而且以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，才能得出方程f（x，y）=0的曲线是C，曲线C的方程是f（x，y）=0．15．（4分）设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【分析】过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值．【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．故选：B．【点评】本题考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．（4分）已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B （﹣1，0），给出如下结论：①不论a为何值时，l1与l2都互相垂直；②当a变化时，l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0）；③不论a为何值时，l1与l2都关于直线x+y=0对称；④如果l1与l2交于点M，则|MA|•|MB|的最大值是1．其中，所有正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①对a分类讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件即可得出；②当a变化时，代入验证即可判断出正误；③由①可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，即可判断出正误；④如果l1与l2交于点M，由③可知：|MA|2+|MB|2=2，利用基本不等式的性质即可判断出正误．【解答】解：直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+ay+1=0，a∈R，和两点A（0，1），B（﹣1，0），给出如下结论：①a=0时，两条直线分别化为：y=﹣1，x=﹣1，此时两条直线互相垂直；a≠0时，两条直线斜率分别为：a，﹣，满足=﹣1，此时两条直线互相垂直；因此不论a为何值时，l1与l2都互相垂直，正确；②当a变化时，代入验证可得：l1与l2分别经过定点A（0，1）和B（﹣1，0），③由①可知：两条直线交点在以AB为直径的圆上，不一定在直线x+y=0上，因此l1与l2关于直线x+y=0不一定对称，不正确；④如果l1与l2交于点M，由③可知：|MA|2+|MB|2=2，∴2≥2|MA|•|MB|，∴|MA|•|MB|的最大值是1，正确．其中，所有正确结论的个数是3．故选：C．【点评】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、圆的性质、基本不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共8+8+10+10+12=48分）17．（8分）讨论关于x，y的二元一次方程组的解得情况．【分析】根据题意，分析可得方程mx+2y=2对应直线mx+2y=2，方程3x+（m﹣1）y=2m+1对应直线3x+（m﹣1）y=2m+1，方程组的解即直线的交点个数，分析直线间的位置关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，方程mx+2y=2对应直线mx+2y=2，方程3x+（m﹣1）y=2m+1对应直线3x+（m﹣1）y=2m+1，分析可得：当m≠﹣2且m≠3时，两直线相交，只有一个交点，则方程组有唯一解；当m=3时，两直线平行，没有交点，当m=﹣2时，两直线重合，由无数个交点，方程组有无穷多解；综合可得：当m≠﹣2且m≠3时，方程组有唯一解；当m=3时，方程组无解；当m=﹣2时，方程组有无穷多解；【点评】本题给出含有字母参数m的二元一次方程组，要求讨论该方程组的解，注意将二元一次方程对应为直线，分析直线的交点情况．18．（8分）已知圆O：x2+y2=5．（1）当直线l：ax+y+2a=0与圆O相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的（2）求与圆O外切点（﹣1，2），且半径为2的圆方程．【分析】（1）根据直线和圆相交时的弦长公式进行求解即可．（2）利用两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为C（a，b），列方程求得a，b即可．【解答】解：（1）圆心坐标为（0，0），半径R=，则圆心到直线的距离d=，∵AB=2时，∴R2=d2+（）2，即5=+2，即=3，则4a2=3+3a2，则a2=3，则a=或a=﹣，即直线方程为x+y+2=0或﹣x+y﹣2=0；（2）解：设所求圆的圆心为C（a，b），∵切点P（﹣1，2）与两圆的圆心O、C三点共线，∴==，又|PC|=2，∴由（a+1）2，+（b﹣2）2=（2）2，得a=﹣3，b=6，∴所求圆的方程为（x+3）2+（y﹣6）2=20．【点评】本题考查直线和圆相交的弦长公式以及圆与圆的位置关系的应用，根据切点与两圆的圆心三点共线是关键，考查方程思想与运算能力，属于中档题．19．（10分）已知||=，||=1，与的夹角为45°．（1）求，在方向上的投影；（2）求|+2|的值；（3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．【分析】（1）由向量投影概念可得结果；（2）运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；（3）由题意可得（2﹣λ）•（λ﹣3）＞0，且（2﹣λ）与（λ﹣3）不共线，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）在方向上的投影为||cos45°=×=1；（2）•=×1×=1，|+2|2=2+4•+42=2+4+4=10，则|+2|=；（3）向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角是锐角，可得（2﹣λ）•（λ﹣3）＞0，且（2﹣λ）与（λ﹣3）不共线， 即为2λ2+3λ2﹣（6+λ2）•＞0，即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6，由（2﹣λ）与（λ﹣3）共线，可得2•（﹣3）=﹣λ•λ，解得λ=±，则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）． 【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，以及向量的投影和夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于中档题．20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为A′．（1）若折痕的斜率为﹣1，求折痕所在的直线的方程；（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点A′的坐标，并求折痕所在的直线的方程；（3）当﹣2+≤k≤0时，求折痕长的最大值．【分析】（1）折痕斜率为﹣1时，由于A点落在线段DC上，可得：折痕必经过点D（0，1），即可得出．（2）当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=．当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为A′（a，1），可知：A与A′关于折痕所在的直线对称，有k OA′•k=﹣1，解得a=﹣k．故A′点坐标为A′（﹣k，1），从而折痕所在的直线与OA′的交点坐标即线段OA′的中点为M，即可得出．（3）当k=0时，折痕长为2．当﹣2+≤k≤0时，折痕所在直线交BC于（2，2k+），交y轴于Q（0，）．利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）折痕斜率为﹣1时，∵A点落在线段DC上，∴折痕必经过点D（0，1），∴折痕所在的直线方程为y=﹣x+1．（2）①当k=0时，此时A点与D点重合，折痕所在的直线方程y=．②当k≠0时，将矩形折叠后A点落在线段DC上的点记为A′（a，1），∴A与A′关于折痕所在的直线对称，有k OA′•k=﹣1⇒，解得a=﹣k．故A′点坐标为A′（﹣k，1），从而折痕所在的直线与OA′的交点坐标（线段OA′的中点）为M（﹣，）折痕所在的直线方程y﹣=k（x+），即y=kx+k2+由①②得折痕所在的直线方程为：y=kx+k2+．（3）当k=0时，折痕长为2．当﹣2+≤k≤0时，折痕所在直线交BC于（2，2k+），交y轴于Q（0，）．∴|PQ|2=22+（2k+）=4+4k2≤4+4（﹣2+）2=32﹣16=4（8﹣4）=4（﹣）2，∴|PQ|≤2（﹣）＞2．∴折痕长的最大值为2（﹣）【点评】本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（12分）定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；（1）设圆C0：x2+y2=1，求过P（2，0）的直线关于圆C0的距离比λ=的直线方程；（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=，求此圆C的方程；（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C1：（x+1）2+y2=1与C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k，即可得到所求直线方程；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③，解方程可得a，b，r，进而得到所求圆的方程；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x ﹣m），求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐标．【解答】解：（1）设过P（2，0）的直线方程为y=k（x﹣2），圆C0：x2+y2=1的圆心为（0，0），半径为1，由题意可得=，解得k=±，即有所求直线为y=±（x﹣2）；（2）设圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由题意可得a2+（3﹣b）2=r2，①|a|=r②，=r③解方程可得a=﹣3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．则有圆C的方程为（x+3）2+（y﹣3）2=9或（x﹣1）2+（y﹣3）2=1；（3）假设存在点P（m，n），设过P的两直线为y﹣n=k（x﹣m）和y﹣n=﹣（x﹣m），又C1：（x+1）2+y2=1的圆心为（﹣1，0），半径为1，C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=4的圆心为（3，3），半径为2，由题意可得=，化简可得k（2m+n﹣1）+（m﹣2n﹣3）=0，或k（2m﹣n+5）+（3﹣m﹣2n）=0，即有或，解得或．则存在这样的点P（1，﹣1）和（﹣，），使得使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．。