高职高专高等数学课程中求极限方法探索

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浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算高职高专是我国的一种特殊教育层级，旨在培养具有实用技能的技术技能人才。

在高职高专学校的教育教学中，极限的运算是一个重要而又特殊的技能。

本文将从浅谈高职高专极限的运算这个主题展开，介绍极限运算在高职高专教育中的重要性，并探讨如何有效地进行极限运算的教学。

我们需要明确极限运算的概念。

极限是微积分中的重要概念，它描述了一个函数在某一点上的“接近程度”。

在高职高专教育中，极限运算通常是指对一个数列或者函数在无穷大或者无穷小的情况下的行为进行研究，以及对极限的计算和求解。

极限运算不仅仅是数学学科的内容，它也具有重要的物理、工程等应用领域。

那么，高职高专极限运算为何如此重要呢？极限运算是数学基础中的基础，它是后续微积分、数学分析等学科的重要前提。

极限运算的概念和方法在现实生活中有着广泛的应用，比如在工程建设、经济管理、物理实验等领域都需要运用极限概念进行分析和计算。

高职高专学生掌握极限运算的能力，对他们未来的学习和工作都具有非常重要的意义。

高职高专极限运算的教学应该如何进行呢？教师在教学中应该注重激发学生的兴趣，引导他们对极限运算的概念有着深刻的理解。

通过生动的例子、直观的图像等方式，帮助学生建立起对极限运算的直观理解。

教师应该鼓励学生动手实践，通过具体的练习和实例，培养学生的运算能力和分析能力。

可以通过讨论和合作的方式，促进学生之间的思维碰撞，增进对极限运算的理解和掌握。

教学中注重培养学生的应用能力，让学生了解极限运算在现实生活中的重要性，并且能够在实际问题中灵活运用极限运算的方法进行求解。

在高职高专教育中，极限运算的教学需要注重培养学生的实际能力。

学生通过实际案例的分析、计算和解答，可以更好地理解并掌握极限运算的方法和技巧。

而对于教师来说，也需要注重实践教学，让学生将理论知识转化为实际的能力。

通过课堂教学、实验实践等方式，让学生在实际操作中不断提高极限运算的能力，从而更好地适应未来的学习和工作。

例谈高职数学中极限求法的教学

Ｅ－ｍａｉｌ：ｌｉｚｉｙ５５＠１６３．ＣＯｌＴｌ
第３２卷第８期
２０１３年８月
数学教学研究
Ｚ。
５７
尢ｌｉｍｇ（ｘ）］，也就是说极限号ｌｉｍ可以与符
号，互换顺序．
１．
丽
—
一
总的来说极限可分为两大类：确定型和未定型．确定型指可直接利用极限的运算法则或函数的连续性得到极限，这类题目比较容易，故没有太大的难度，较易理解和掌握．未定型极限是求极限教学的难点，不同类型
的极限，其求解方法是不同的，因此在求极限时，要让学生养成先判断其类型特点，然后 “ 对症下药” 确定采用的技巧，最终求出极限值的良好习惯．４．１利用两个重要极限
ｌｉａ厂ｒ（ ’ ）＝ｌｉａ．ｒ厂（ｚ）一１，
．
十
ｊ－・０一
ｌｉｍ厂（）＝１－
。
２利用函数的连续性求极限初等函数是经过基本初等函数有限次四则运算或有限次复合运算得到的较为复杂的函数，而初等函数在其定义域内是连续的．利用连续性的概念，初等函数当 —ｊｃｏ时的极限，若Ｘｏ有定义，只要把ＸＯ代替函数中的ｚ即得极限．还可推广求如下复合函数的极限：如果ｌｉｍｕ（ｘ）一ｔｌｏ，而＝厂（）在点ｕｏ连续，
５６
数学教学研究
第３２卷第８期
２ｏ１３年８月
例谈高职数学中极限求法的教学

浅谈高职高专高等数学中几种求极限的方法

浅谈高职高专高等数学中几种求极限的方法[摘要] 求极限是高等数学中一种最基本、最重要的运算。

针对高职高专高等数学的教学原则，本文给出了高职高专高等数学中求极限运算所适用的七种方法：使用初等函数的连续性；使用函数极限的定义；使用函数极限的四则运算法则；使用无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小；使用无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，无穷小的倒数是无穷大，无穷大的倒数是无穷小；使用两个重要极限；使用洛必达法则。

[关键词] 高职高专高等数学极限运算极限理论在高等数学中占有重要的地位，它是建立许多数学概念（比如函数的连续性、导数、定积分等）必不可少的工具，因此，求极限的运算就是高等数学中一种最基本、最重要的运算。

针对高职高专高等数学的教学原则：“以应用为目的，以必需、够用为度”和少而精，在保证科学性的原则上，注意讲清概念，减少数理论证，注重学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，重视理论联系实际，内容通俗易懂，既便于教师教，又便于学生学，笔者对该课程中极限运算可以使用的方法进行了探索。

进行极限运算时，首先考虑初等函数的连续性：初等函数在它们的定义域内是连续函数。

利用初等函数的连续性，求初等函数在定义域内某点处的极限值，就等于计算该点处的函数值，即有.若不能使用初等函数的连续性，则可以考虑通过以下几种方法来求函数的极限：（1）函数极限的定义；（2）函数极限的四则运算法则；（3）无穷小的性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小；（4）无穷小与无穷大的关系：在自变量x的同一变化过程中，无穷小的倒数是无穷大，无穷大的倒数是无穷小；（5）两个重要极限：或与或（此极限适用于求幂指函数()的极限问题）；（6）洛必达法则（此方法适用于所求极限为型或型的未定式）。

下面通过例题来介绍以上方法的应用。

一、使用初等函数的连续性例1．求分析：此极限可以使用初等函数的连续性，结果为。

解：.例2．求分析：求此极限不可以直接使用初等函数的连续性，但是把函数约分后，可使用初等函数的连续性。

高等数学中函数极限的求法技巧解析

高等数学中函数极限的求法技巧解析
函数极限是高等数学中的重要概念，也是其他数学领域的基础。

在计算函数极限时，有一些常用的技巧和方法，可以帮助我们更快地求解极限问题。

下面是一些常用的函数极限求法技巧。

1. 代入法：当函数极限中存在形如"0/0"或"无穷大/无穷大"的不定型时，可以尝试使用代入法求解。

即将函数中的变量逐渐靠近极限值进行代入，计算出函数在极限点附近的取值，进而得到极限结果。

2. 无穷小代换法：当函数极限中含有无穷大或无穷小的项时，可以使用无穷小代换法进行求解。

即将无穷大或无穷小项替换为相应的无穷小量，对含有无穷大或无穷小的函数进行化简，再进行极限计算。

3. 分子分母除以最高幂次法：当函数极限中含有多项式的幂次较高时，可以尝试使用分子分母除以最高幂次的方法进行化简。

将函数中的每一项均除以该最高幂次，使得函数的分子和分母变为相对较小的多项式，从而更便于求解极限。

4. 辅助函数法：当函数极限较复杂时，可以尝试构造一个辅助函数来辅助求解。

通过适当选择辅助函数，将原函数转化为一个更简单的形式，再求解极限。

5. 夹逼定理：夹逼定理是函数极限求解的重要工具，适用于求解某些特殊的函数极限。

当函数的上下界均存在且极限相等时，可以通过夹逼定理求出函数的极限。

6. 泰勒级数展开法：当函数极限中含有三角函数、指数函数等特殊函数时，可以尝试使用泰勒级数展开法进行求解。

通过将特殊函数展开为无穷级数的形式，可以将原函数转化为一个容易求解的形式，再进行极限计算。

高等数学中求极限问题的探究

一
已知
１１－
有赤－（盎＋
般情况下，限的猜测值ａ先知道，数列｛｝常可以直接极，要而ａ通ｎ
、ｎ＋／ “ （）调有界定理：数列｛ｎ递增（减）上界（界）则数２单若ａ｝递有下，
ｃ＞ｎ —
、ｎ＋／２
‘ 。
１
前言
赤
： — 一
函数极限是高等数学中的一个非常重要的内容，它始终贯穿于整个高等数学之中．些函数的极限可以利用 ” 限四则运算法有极则 ” 进行求解，些函数极限，需要通过其它特殊的方法来进来有则行解决。下面我们介绍几种常用的求极限的方法
ｉ、赤＋＋赤＋ａｎｎ＿ｎｒ／１Ｖ２．／ｎｃ＋赤叶、
＋ — ＝一＝＝＋ …＋有，
总结，通过一些典型的实例对函数极限的求法进存锄步的探讨。
【关键词】极限高等数学单调性定积分
解：ｃ： — —一设
、ｎ＋／１
１用极限定义证明极限利
一
＜
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＋—
＋．．．— ．
、ｎ＋ｖ１／
于是一
、ｎ＋／２
、ｎ＋／‘ １
、ｎ＋、ｎ＋／‘１／１
＜ｃ＜一ｎ — 一
－ａ
、ｎ＋／ｎ
般来说，定义求数列极限局限性很大，并不是求极限的用它

高职数学中求函数极限的方法探究

高职数学中求函数极限的方法探究摘要：作为教育体系中的重要组成部分，高职教育的重要性是不可忽视的，因此对高职教育的组织开展进行研究与讨论便具有了必要性。

数学是高职教育中普遍设置的一门学科，对数学教学的内容进行分析，并培训学生，使其掌握问题解决的方法，这是数学教学中的重要任务之一。

对目前的高职数学教学做分析可知，函数极限的求解方法是学生必须要掌握的内容之一，所以对相应的内容进行分析与讨论意义显著。

文章对高职数学中的函数极限求解方法进行总结与分析，旨在为当前教学实践提供指导。

关键词：高职；数学；函数极限；方法数学是现阶段问题解决中应用比较广泛的一门工具性学科，强调数学的教学对培养学生问题解决能力、逻辑思维能力等有显著的价值。

对高职数学进行分析可知其属于高等数学的范畴，而高等数学和初等数学相比，二者的巨大差异在于前者引入了极限概念。

对高等数学当中的概念进行分析可知几乎所有的概念都离不开极限，所以学生在高等数学学习的过程中必须要深入的理解极限概念，同时要掌握函数的极限求解方法。

总的来讲，立足于学生的学习实践总结学生能够掌握的函数极限求解方法，这对于学生的数学问题解决能力提升有突出的现实意义。

一、函数极限在高职数学教学实践这能够要让学生掌握函数极限的求解方法，首先需要让学生对函数极限这个概念有全面、深入的认知[1]。

首先，在高等数学的学习中，函数极限是一个非常基础的概念，其他的导数等概念均是在函数极限的定义上完成的。

就函数极限的具体分析来看，对其的性质做合理的运用可以解决不少问题，在目前的实际问题解决中，函数极限的性质应用包括了函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等。

总的来讲，函数极限在目前的高职数学教学中既是一个非常基础的概念，同时也是一个具有重要应用价值的概念，所以需要对这个概念做全面的分析与解读。

二、求函数极限的方法对现阶段的高职数学教学做分析可知函数极限作为非常重要的概念，其在其他内容的学习中也发挥着重要的作用，所以必须要对函数极限内容做综合掌握。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算高职高专极限运算是数学中的一个重要概念，在微积分、数学分析、微分方程等学科中都有广泛的应用。

本文将从高职高专极限的定义、性质、计算方法和实际应用等方面进行浅谈。

高职高专极限，是指一个函数在一个点附近的极限值。

可以用数列逼近或函数逼近的方法来求解高职高专极限。

数列逼近可以通过构造一列逐渐接近极限点的数列，利用数列的性质来求出极限值。

函数逼近则是通过构造一个趋近于极限点的函数表达式，利用函数的性质来求出极限值。

高职高专极限有一些基本性质。

对于一个常数函数，其高职高专极限就是该常数值。

对于一个多项式函数，其高职高专极限可以通过求每个项的高职高专极限再相加得到。

对于一些特殊函数，如指数函数、对数函数、三角函数等，它们在一些特定点的高职高专极限也有特殊的结果。

计算高职高专极限有一些常用的方法。

常见的方法包括直接替换法、夹逼定理法、等价无穷小代换法和洛必达法则等。

直接替换法是指将极限点代入函数表达式中计算，当函数表达式在该点连续时，可以直接得到极限值。

夹逼定理法是通过构造两个函数，使得其中一个大于待求函数，另一个小于待求函数，并且两个函数的高职高专极限相等。

等价无穷小代换法是指将一个无穷小量与一个等价无穷小量进行代换。

洛必达法则是一种常用的求解极限的方法，适用于部分不定型的高职高专极限。

高职高专极限在实际应用中有着广泛的应用。

在物理学中，高职高专极限可以用来描述物体在一点附近的速度、加速度等性质。

在工程学中，高职高专极限可以用来描述信号处理、图像处理、控制系统等。

在经济学中，高职高专极限可以用来描述利润、成本、供求关系等。

高职高专极限是数学中一个重要的概念，通过数列逼近和函数逼近的方式来求解。

它具有一些基本的性质和常用的计算方法。

在实际应用中，高职高专极限可以应用于物理学、工程学、经济学等学科中。

通过学习和掌握高职高专极限的基本知识和方法，我们可以更好地理解和应用数学知识。

基于高职教育的极限运算方法探析

基于高职教育的极限运算方法探析基于高职教育的极限运算方法是指通过对高职教育中的数学知识进行分析和探究，来掌握极限运算的方法和技巧。

极限运算是数学中一种重要的运算方法，常用于研究函数的性质和求解数学问题。

极限运算包括求极限、无穷小运算、无穷大运算等。

在高职教育中，极限运算方法是数学课程的重要组成部分，学生在学习极限运算方法时，需要通过练习和探究
继续讲基于高职教育的极限运算方法探析：
在高职教育中，学习极限运算方法的目的是帮助学生掌握极限运算的基本概念和方法，并能在实际应用中熟练运用极限运算方法。

为了帮助学生更好地掌握极限运算方法，教师可以通过以下方式进行辅导：
1.提供丰富的例题和练习题：通过大量的例题和练习题，
帮助学生掌握极限运算方法的基本概念和操作。

2.讲解极限运算方法的原理和应用：通过讲解极限运算方
法的原理和应用，帮助学生理解极限运算方法的基本原理和
实际应用。

3.辅导学生解决实际问题：通过帮助学生解决实际问题，
帮助学生熟练运用极限运算方法，并培养学生的独立思考能
力。

通过以上方式，教师可以帮助学生更好地掌握极限运算方法，并在实际应用中运用极限运算方法解决问题。

高等数学中几种求极限的方法

高等数学中几种求极限的方法代入法是最常见的求极限方法之一、它的原理是当极限存在时，我们可以通过将自变量等于极限值，将极限变成一个已知的函数值，从而求解极限。

例如，求解lim(x→2)(x^2 - 4) / (x - 2)时，我们可以将x的值代入函数中，得到(2^2 - 4) / (2 - 2) = 0/0。

这是一个不定型，无法直接计算。

但通过分子分母同时除以(x-2)，得到lim(x→2)(x+2) = 4夹逼法是另一种常用的求极限方法。

它的原理是通过利用一个与待求的极限相夹的两个函数，确定待求极限的值。

如果两个函数当自变量趋于同一个值时，极限存在且相等，那么待求极限的值也等于这个极限值。

例如，求解lim(x→0)xsin(1/x)时，我们可以利用-，x，≤xsin(1/x)≤，x，得到-，x，≤ xsin(1/x) ≤ ，x。

当x趋于0时，我们可以发现两边函数的极限均为0，因此待求极限的值也为0。

单调有界准则是利用函数的单调性和有界性来判断极限是否存在的一种方法。

如果待求极限的函数在一些区间内单调递增且有上界（或单调递减且有下界），那么极限必然存在。

例如，如果函数f(x)递增且有上界，我们可以通过f(x)递增性质来证明lim(x→∞)f(x)存在。

柯西收敛准则是另一种常用的判断极限是否存在的准则。

如果一个数列满足柯西准则，即对于任意正数ε，存在正整数N，使得当n,m>N时，a_n-a_m，<ε，那么该数列的极限存在。

例如，对于数列a_n=1/n，我们可以证明该数列满足柯西准则，因此极限lim(n→∞)1/n=0存在。

函数性质和展开式是求解复杂极限时的重要方法。

通过利用函数的特殊性质或将函数展开成幂级数，可以简化极限的计算。

例如，通过使用欧拉公式e^ix=cos(x)+isin(x)，我们可以求解lim(x→0)(1+ix)^n这样复杂的极限。

洛必达法则是高等数学中非常常用的一种求解极限的方法。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算1. 引言1.1 高职高专极限运算的定义高职高专极限运算，是指在高职高专教育领域中进行极限运算的过程。

极限运算是数学分析中的一个重要概念，通过逐渐取自变量趋近于某一值的方法，来求出函数在该值处的极限值。

在高职高专领域中，极限运算被广泛运用于各种数学、物理、化学等相关学科中，具有重要的理论和实际意义。

高职高专极限运算的定义可以简单描述为：给定一个函数，在某一点处的极限，是指当自变量趋近于该点时，函数的取值逐渐接近于一个确定的值或不存在的情况。

通过极限运算，我们可以更准确地描述函数在某一点的变化规律，从而揭示出函数的性质和特点。

高职高专极限运算的定义不仅仅是数学上的一个概念，更是在实际问题中解决各种困难和挑战的重要工具。

只有深入理解和掌握极限运算的定义，才能更好地应用于实际问题的求解和分析中。

高职高专极限运算的定义对于学生学习和应用极限运算具有重要的指导意义。

1.2 高职高专极限运算的重要性高职高专极限运算在现代科学技术领域中具有重要意义。

高职高专极限运算是数学分析中的重要概念，对于研究函数的极限性质、函数的连续性和微分性等起着关键作用。

高职高专极限运算在工程技术和自然科学研究中有着广泛的应用。

例如在电路设计、信号处理、物理学中的运动学和动力学分析等领域，都需要运用高职高专极限运算来进行模型建立和计算分析。

高职高专极限运算的发展也推动了计算机模拟和数据处理技术的进步，为人工智能、大数据分析等领域的发展提供了重要支持。

高职高专极限运算的重要性不容忽视，它为现代科学技术的创新和发展提供了坚实的数学基础和理论支持。

2. 正文2.1 高职高专极限运算的基本概念高职高专极限运算的基本概念是指在高职高专教育领域中，根据不同的学科特点和教学目标，以培养学生的专业技能和实践能力为重点，通过教学设计和实践活动，在有限的时间和资源条件下，实现最大化的学习效果和教学成果。

其核心思想是通过科学的教学方法和有效的教学手段，引导学生逐步深入理解和掌握所学知识和技能，提升其专业水平和综合能力。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算高职高专极限的运算是数学中的一种基本运算，它是求一个函数在某一点的极限值。

这个概念是在微积分中引入的，并且在学习微积分的过程中，我们经常会遇到极限的运算。

我们来了解下什么是极限。

极限是数列或函数“无限逼近”的概念，通俗来说，就是当自变量趋向于某个特定的值时，函数的值也会趋向于一个特定的值。

在数学表达中，可以用极限符号表示。

当x趋于a时，函数f(x)的极限可以表示为lim[f(x)] = L。

a表示自变量趋于的特定值，f(x)表示函数，L表示函数f(x)的极限值。

那么，如何进行高职高专极限的运算呢？在这里，我们介绍一些常见的高职高专极限的运算方法。

首先是直接代入法。

直接代入法就是将自变量直接代入函数中，求得极限值。

求函数f(x) = x^2在x = 2时的极限值。

我们可以直接将x代入函数中，计算得到f(2) = 4。

f(x)在x = 2时的极限值就是4。

其次是因数分解法。

当函数无法直接代入时，我们可以对函数进行因数分解，再求极限值。

求函数f(x) = (x + 2)(x - 1)/(x - 1)在x = 1时的极限值。

我们可以对函数进行因数分解，得到f(x) = x + 2。

所以，f(x)在x = 1时的极限值就是1 + 2 = 3。

接下来是乘积法则。

乘积法则是极限运算中的一种基本法则，它用于求两个函数的乘积的极限值。

按照乘积法则，我们可以将两个函数的极限分别求得，然后再相乘。

求函数f(x) = x * g(x)在x = a时的极限值。

我们先求函数f(x)和g(x)在x = a时的极限值分别为L1和L2，然后再将它们相乘得到f(x) * g(x)在x = a时的极限值为L1 * L2。

高职高专极限的运算是数学中的一种基本运算。

在进行高职高专极限的运算时，我们可以根据具体情况选择不同的方法，其中包括直接代入法、因数分解法、乘积法则和复合函数法则等。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算高职高专极限的运算是高等职业学校和高等专科学校数学课程中的重要内容之一。

极限是数学分析的核心概念，也是求解复杂问题的基础工具。

掌握极限运算可以帮助我们理解函数的性质和变化规律，为进一步研究和应用数学知识打下坚实的基础。

高职高专极限的运算主要包括以下几个方面：1. 极限的定义：极限的定义是极限运算的基础，也是理解极限概念的关键。

在数列极限的定义中，我们通过数列逐渐趋近于某个有限值或无穷大的特性来描述极限的概念。

在函数极限的定义中，我们通过函数在某点逐渐趋近于某个有限值或无穷大的特性来描述极限的概念。

2. 极限的性质：极限的性质是极限运算的重要规律，也是进行极限计算的基础。

常见的极限性质包括极限的唯一性、极限的有界性、极限的四则运算法则、复合函数的极限等。

3. 极限的计算方法：极限的计算方法是极限运算的具体步骤和技巧。

常见的极限计算方法包括直接代入法、夹逼法、洛必达法则、泰勒展开法等。

这些方法根据不同的函数类型和情况，选择合适的方法进行极限计算，从而得到准确的极限值。

4. 极限的应用：极限的应用是极限运算在实际问题中的具体应用。

极限在数学中有广泛的应用，例如在微积分中，极限的概念是导数和积分的基础。

在概率论中，极限可以用于描述随机事件的概率规律。

在物理学中，极限可以用于描述物体的速度、加速度等物理量的变化规律。

通过学习和掌握高职高专极限的运算，我们可以提高数学分析和应用的能力，培养解决实际问题的能力。

在实际工作和学习中，经常会遇到各种各样的问题，通过极限的运算和推导，我们可以更好地理解问题的本质和规律，以及找到问题的最优解。

极限运算也为我们进一步研究和应用数学知识提供了有效的工具和方法。

在高职高专数学课程中，极限的运算是一项重要的内容。

通过系统学习和掌握极限的定义、性质、计算方法和应用，我们可以提高数学分析和应用的能力，为解决实际问题提供强有力的支持。

高职数学极限求法论文

高职数学极限求法探讨一、利用极限的四则运算法则求极限极限的四则运算法则为：设lim x→x0f(x)=a,lim x→x0g(x)=b,a,b为有限常数，则（1）lim x→x0［f(x)±g(x)］=lim x→x0f(x)±lim x→x0g(x)=a±b.（2）lim x→x0［f(x)g(x)］=lim x→x0f(x)lim x→x0g(x)=ab.（3）lim x→x0f(x)[]g(x)=lim x→x0f(x)[]lim x→x0g(x)=a[]b,(b≠0).以上四则运算法则对自变量x的其他变化趋势也同样适用.使用极限四则运算法则时，我们应注意它们的条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则；当分式的分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则.为了使用极限的四则运算法则，我们往往需要对函数作代数或三角的恒等变形.例如：（1）当分子、分母的极限都是零时，有时可通过因式分解或有理化分子（或分母）消去分子、分母中极限为零的因式；（2）当分子、分母的极限都是无穷大时，分子、分母可同除以x（或n)的最高次幂；（3）作适当的变量代换；（4）利用三角公式变形，等等.下面通过典型例题加以说明.例1 求极限lim x→1x2+x+2[]x+1.解当x→1时，分子、分母的极限均存在，且分母的极限不为零，故满足极限四则运算的条件，直接使用极限的四则运算法则求极限.lim x→1x2+x+2[]x+1=lim x→1(x2+x+2)[]lim x→1(x+1)=lim x→1x2+lim x→1x+lim x→12lim x→1x+lim x→11=1+1+2[]1+1=2.例2 求极限lim x→1x2+1-x2+x[]2x+1-3.解由于lim x→1(2x+1-3)=0，故不能直接使用商的极限运算法则，需要把分子、分母分别有理化，得lim x→1x2+1-x2+x[]2x+1-3=limx→1(x2+1-x2+x)(x2+1+x2+x)[](2x+1-3)(2x+1+3)·2x+1+3[]x2+1+x2+x =lim x→11-x[]2(x-1)lim x→12x+1+3[]x2+1+x2+x=-1[]2×23[]22=-6[]4.总结使用极限的四则运算法则时，应注意它们的使用条件，即当每个函数的极限都存在时，才可使用和、差、积的极限法则.当分子、分母的极限都存在，且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则.为了简化极限的运算，往往需要对函数作代数或三角的恒等变形.二、利用无穷小的性质求极限定理无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.例3 求极限lim x→0x sin1[]x.解当x→0时,sin1[]x的极限是不存在的，故不能使用极限运算法则求极限，必须用无穷小量的性质求之.因为lim x→0x=0,sin1[]x≤1，根据无穷小量的性质知：lim x→0x sin1[]x=0.总结在求两个变量的乘积的极限时，如果其中之一为无穷小量，另一个为有界变量，则用性质：无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量得出结论.三、利用无穷小与无穷大的关系求极限定理在自变量的同一变化趋势中，若x为无穷大，则其倒数1[]x 为无穷小；反之，在自变量的同一变化趋势中，若x为无穷小（x ≠0），则其倒数1[]x为无穷大.例4 求极限：lim x→43x+4[]x2-16.解因为lim x→4(x2-16)=0,lim x→4(3x+4)≠0,故必须利用无穷小与无穷大的关系求该极限.∵lim x→4x2-16[]3x+4=0,∴lim x→43x+4[]x2-16=∞.例5 求极限lim x→∞1[]x-3.解∵lim x→∞(x-3)=∞,∴lim x→∞1[]x-3=0.总结当求分式的极限时，若分母极限为零，而分子的极限存在且不为零；或者分母的极限为无穷大，而分子的极限存在且不为零时，则利用无穷小与无穷大的关系求极限.四、利用两个准则求极限准则一夹逼准则，即在变量的同一变化趋势中，若（1）a≤b ≤c,(2)a与c的极限均存在假设为m,则b的极限也为m.例6 求极限：lim n→∞1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n.解令b=1[]n2+1+1[]n2+2+…+1[]n2+n,a=1[]n2+n+1[]n2+n+…+1[]n2+n=n[]n2+n,c=1[]n2+1+1[]n2+1+…+1[]n2+1=n[]n2+1.则a≤b≤c，且lim n→∞a=lim n→∞n[]n 2+n=1，lim n→∞c=lim n→∞n[]n2+1=1.故由夹逼准则知：lim n→∞b=lim n→∞1[]n2+1+1[]n2+2++1[]n2+n=1.准则二单调有界收敛准则，即单调有界数列必有极限准则.其求解步骤为：（1）判定数列{x n}的单调性、有界性.若{x n}单调且有界，则极限lim n→∞x n存在.（2）令lim n→∞x n=a,代入通项公式得到待定极限a的方程.（3）解方程得出a.例7 已知x1=a，x2=a+a，…,x n=a+a+…+a,a>0,求lim n→∞x n.解因为x2=a+x1>x1，设当n=k时，x k>x k-1 ,则有a+x k>a+x k-1,从而a+x k>a+x k-1{x n}为单调递增数列.因为x1=a根据单调有界收敛准则知：极限lim n→∞x n存在.设lim n→∞x n=a,则lim n→∞x n= lim n→∞a+x n-1,即a=a+a,解得a=1[]2(1+1+4a).故lim n→∞x n=1[]2(1+1+4a).总结在利用两个准则求极限时，必须按准则所需要满足的条件按步骤进行.五、利用等价无穷小替换求极限原理在自变量的同一变化趋势中,若x~x1,y~y1,若lim x1[]y1存在或为∞，则lim x[]y=lim x1[]y 1.由此可见，等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用.常用的等价无穷小有：当x→0时，sin x~x,tan x~x, arcsin x~x,arctan x~x,1-cos x~1[]2x2,e x-1~x,ln(1+x)~x,(1+x)a-1~ax.例8 求极限：lim x→0x sin2x[]tan x 2.解因为当x→0时，sin2x~2x,tan x2~x2，故根据等价无穷小的替换原理得：lim x→0x sin2x[]tan x2=lim x→0x·2x[]x2=lim x→02x2[]x2=2.例9 求极限:lim x→0tan x-sin x[]xsin x 2.解 [ht]lim x→0tan x-sin x[]x sinx2=lim x→0sin x[]cos x-sin x[]x sin x2=lim x→0sin x1[]cos x-1[]x·x 2=lim x→0x(1-cos x)[]x3=lim x →0x·1[]2x2[]x3=1[]2.在使用等价无穷小替换原理求极限时，替换的只能是因子，而不是因子的部分，否则容易出错.六、利用洛必达法则求极限洛必达法则设f(x),g(x)满足以下条件：（1）lim x→x0f(x)=0(∞),lim x→x0g(x)=0(∞)；（2）f(x),g(x)在x0的邻域内可导（在x0处可除外），且g′(x)≠0;(3)lim x→x0f′(x)[]g′(x)存在（或∞)，则lim x→x0f(x)[]g(x)=lim x→x0f′(x)[]g′(x).（当x→∞时，也有类似的条件与结论)例10 求极限：lim x→0e x-sin x-1[]sin x arcsin x.解因为当x→0时，sin x~x,arcsin x~x,所以lim x→0e x-sin x-1[]sin x arcsin x=lim x→0e x-sin x-1[]x·x=lim x→0e x-sin x-1[]x20[]0型=lim x→0e x-cos x[]2x=lim x→0e x+sin x[]2=1[]2.例11 求极限：lim x→0x4sin1[]x[]tanx(arcsin x) 2.解虽然是0[]0型，但不能使用洛必达法则，因为当x→0时sin1[]x的极限不存在，因为x→0时tan x~x，arcsin x~x，所以lim x→0x4sin1[]x[]tan x(arcsin x)2=lim x→0x4sin1[]x[]x·x2=lim x→0x4sin1[]x[]x3=lim x→0x sin1[]x=0.总结在使用洛必达法则求极限时，必须验证是否是0[]0型或∞[]∞型.使用洛必达法则求极限必须注意以下事项：（1）只有0[]0或∞[]∞的未定式，才可能使用该法则，只要是0[]0或∞[]∞，则可一直用下去；（2）每用完一次法则，要将式子整理化简；(3)为简化运算经常将法则与等价无穷小替换结合使用；（4）lim x→x0f′(x)[]g′(x)不存在（也不为∞）推导不出lim x→x0f(x)[]g(x)不存在；（5）当x→∞时，极限式中含有sin x,cos x，不能使用该法则;当x→0时,极限式中含有sin1[]x,cos1[]x,不能使用该法则.七、利用重要极限公式求极限重要公式一：lim x→0sin x[]x=1.其演变形式：lim x→0x[]sin x=1,lim a(x)→0sin(ax)[](ax)=1，lim a(x)→0(ax)[]sin(ax)=1.重要公式二：lim x→∞1+1[]x x=e.其演变形式：lim x→0(1+x)1[]x=e,lim a(x)→0(1+a(x))1[]a(x)=e,lim a(x)→∞1+1[]a(x)a(x)=e.例12 求极限：lim x→01-cos x[]2(sinx) 2.分析因为当x→0时sin x~x，lim x→0sin x[]x=1，所以该题有多种解法：解法一lim x→01-cos x[]2(sin x)2=lim x→02sin2x[]2[]2x2=1[]4limx→0sin2x[]2[]x[]22=1[]4lim x→0 sin x[]2[]x[]22=1[]4.解法二lim x→01-cos x[]2(sin x)2=lim x→01[]2x2[]2x2=lim x→01[]4=1[]4.解法三lim x→01-cos x[]2(sin x)2=lim x→01-cos x[]2x2=lim x→0sinx[]4x=1[]4lim x→0sin x[]x=1[]4.例13 求极限：lim x→∞x+1[]x-1x.解lim x→∞x+1[]x-1x=lim x→∞x-1+2[]x-1x=lim x→∞1+2[]x-1x=limx→∞1+2[]x-1x-1[]22x[]x-1=e 2.总结利用重要极限公式求极限，关键在于把要求的极限化成重要极限公式的标准形式或它们的变形式，从而求出所求的极限.八、利用导数的定义求极限例14 已知(sin x)′=cos x,利用导数定义求极限：lim x→0sinπ[]2+x-1[]x.解因为sinπ[]2=1，x=π[]2+x-π[]2, lim x→0sinπ[]2+x-1[]x=lim x →0sinπ[]2+x-sinπ[]2[]π[]2+x-π[]2=(sin x)′|x=π[]2=(cos x)|x=π[]2=cosπ[]2=0.总结利用导数的概念求极限，关键在于理解导数的本质是函数增量与自变量增量比值的极限，即f′(x0)=limδx→0δy[]δx=limδx→0f(x0+δx)-f(x0)[]δx.九、利用换元法求极限例15 求极限：lim x→1x x-1[]x ln x.解令t=x x-1,则x ln x=ln(t+1)，x→1时，t→0,故lim x→1x x-1[]x ln x= lim t→0t[]ln(t+1)=lim t→0t[]t=1，(t→0时，ln(1+t)~t)总结当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，从而达到简化的目的，求出结果.十、利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件：若级数[]n=0u n收敛，则当n→∞时，通项u n→0.运用该方法求极限，首先判定级数[]n=0u n收敛，从而求出lim n→∞un=0.例16 求极限：lim n→∞n n[](n!) 2.解令u n=n n[](n!)2，则lim n→∞u n+1 []u n=lim n→∞1[]n+1·1+1[]n n=00,求lim x→0f(x).解因为f(0-)=lim x→0-f(x)=lim x →0-(e x+1)=2，f(0+)=lim x→0+f(x)=lim x→0+(2x+3)=3，f(0-)≠f(0+)，所以lim x→0f(x)不存在.总结常用在x0点极限存在的充要条件是f(x-0)=f(x+0).十二、利用定积分定义求和式的极限定积分是某一和式的极限，即b a f(x)d x= limλn[]i=1f(ξi)δx i，因此，如果关于n的某一和式可以表示成某一积分和形式时，则可根据定积分定义，求出这个和式的极限.例18 求极限：lim n→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n.解lim n→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n=limn→∞1[]1+1[]n+1[]1+2[]n+…+1[]1+n[]n·1[]n=lim n →∞n[]i=11[]1+i[]n·1[]n.令f(x)=1[]1+x，且把［0，1］等分为n等份，则每一小区间的长度δx=1[]n,取ξi为每一小区间的右端点时，有：lim n→∞1[]n+1+1[]n+2+…+1[]2n=lim n →∞n[]i=11[]1+i[]n·1[]n=101[]1+x dx=ln(1+x)|10=ln2.例19 求极限：lim n→∞1p+2p+…+n p[]np+1p>1，且p为常数.解lim n→∞1p+2p+…+n p[]n p+1= lim n→∞1p+2p+…+n p[]n p·1[]n=limn→∞1[]n p+2[]n p+…+n[]n p·1[]n=limn→∞n[]i=1i[]n p·1[]n=10x p dx=1[]p+1x p+1|10=1[]p+1.总结利用定积分定义求极限，其关键在于将极限和式转化成某一函数的定积分形式.十三、利用函数的连续性求极限原理一切初等函数在其定义域内都是连续的.即若函数f(x)为初等函数，其定义域为d，x0点是d内任意一点，则lim x→x0f(x)=f(x0).例20 求极限：lim x→π[]2［ln(sin x)］.解因为函数f(x)=ln(sin x)的定义域为(2kπ,2kπ+π)(k∈z)，π[]2∈(2kπ,2kπ+π),(k∈z),故函数f(x)=ln(sin x)在x=π[]2处连续，所以lim x→π[]2［ln(sin x)］=ln sinπ[]2=ln1=0.总结若函数f(x)为初等函数，其定义域为d，x0点是d内任意一点,则lim x→x0f(x)=f(x0).十四、利用泰勒展开式求极限泰勒展开式若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数，则f(x)=f(0)+f′(0)x+f″(x)[]2!x2+…+f(n)(x)[]n!x n+r n(x),r n(x)=f(n+1)(ζ)[](n+1)!x n+1ζ在0与1之间）.例21 求极限：lim x→0cos x-e-x2[]2[]x 4.解因为cos x=1-x2[]2!+x4[]4!+0(x4),e-x2[]2=1+-x2[]2+-x2[]22[]2!+0(x4)，所以cos x-e-x2[]2=-x4[]12+0(x4).故lim x→0cos x-e-x2[]2[]x4=lim x→0-x4[]12+0(x4)[]x4=-1[]12.总结利用泰勒展开式求极限其关键在于常见函数的泰勒展开式，如：（1）1[]1-x=1+x+x2+x3+…+x n+0(x n),x∈(-1,1).（2）1[]1+x=1-x+x2-x3+…+(-1)nx n,x∈(-1,1).（3）e x=1+x+x2[]2!+x3[]3!+…+x n[]n!+0(xn),x∈(-∞,+∞).（4）sin x=x-x3[]3!+…+（-1）n1[](2n+1)!x2n+1+0(x2n+1)，x∈(-∞,+∞).（5）cos x=1-x2[]2!+x4[]4!-…+(-1)n1[](2n)!x2n+0(x2n x∈(-∞,+∞).（6）ln(1+x)=x-x2[]2+x3[]3-…+（-1）nxn+1[]n+1+0(x n+1),x∈(-1,1］.（7）(1+x)a=1+ax+a(a-1)[]2!x2+…+a(a-1)(a-2)·…·(a-n+1)[]n!x n+0(x n)，其中x∈(-1,1).。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算高职高专极限的运算是高职高专数学课程中的重要内容之一，也是学生们认识和掌握数学极限概念的基础。

在学习和掌握高职高专极限的运算时，我们需要从以下几个方面进行思考和实践。

我们需要了解高职高专极限概念的定义和基本性质。

极限是数学分析中的一个基本概念，描述了函数在某一点附近的特性。

我们可以通过数学上的定义，来理解极限的含义和性质。

对于给定的函数，当自变量趋近于某个值时，函数的极限表示函数在这个值附近的取值趋于的一个确定的值，这个确定的值就是函数的极限。

极限有唯一性和保号性等基本性质。

我们需要了解高职高专极限运算的基本规则。

在进行高职高专极限运算时，我们需要掌握极限的四则运算法则。

根据极限的定义和性质，我们可以得到加法、减法、乘法、除法的极限运算法则。

在进行极限运算时，我们需要注意函数是否有界和是否连续，特别是在进行除法运算时，需要避免除数趋于零的情况。

我们需要掌握高职高专极限运算的应用。

高职高专极限的运算并不是一个孤立的技巧，而是应用于解决实际问题的工具。

在高职高专数学课程中，我们会遇到很多涉及极限的实际问题，如函数的极值、曲线的渐近线和泰勒级数展开等。

通过掌握极限的运算方法和技巧，我们可以更好地解决这些实际问题。

我们需要进行高职高专极限运算的练习和实践。

在学习高职高专极限的运算时，我们需要进行大量的练习和实践，通过不断地做题，来提高自己的运算能力和解题技巧。

我们还可以参加一些数学竞赛和讲座，加强与他人的交流和学习，提高自己对高职高专极限运算的理解和应用能力。

高等数学中极限的教学探析

714289877@职成教苑高等数学中极限的教学探析ʏ㊀武昌工学院㊀张志会㊀㊀摘要:本文主要介绍了高等数学这门课程中计算函数极限的三种方法,同时论述了极限思想在微积分中的应用㊂关键词:高等数学;函数极限;极限思想;微积分1㊀计算函数极限的方法计算函数的极限,学生在高中就接触过,但是接触和学习极限都不够深入㊂本文介绍三种高等数学中的方法㊂第一种方法:函数的四则运算法则㊂高等数学这门课程中计算函数极限的方法很多,其中,函数的四则运算法则这种方法,学生在高中就接触学习过,很多学生对法则内容很熟悉㊂然而,很多函数的极限不能够直接利用函数的四则运算法则来计算,需要先把函数进行变形,本文通过归纳总结,把函数极限分成四个类型,分别为00型,ɕɕ型,0㊃ɕ型,ɕ-ɕ型等㊂00型即分子分母的极限同时等于0;ɕɕ型即分子分母同时无限趋于ɕ;0㊃ɕ型即函数的两个因式的极限分别是0和ɕ;ɕ-ɕ型即在自变量的同一变化过程中,函数的被减数与减数同时无限趋于ɕ㊂这四种类型很好区分,学生能够正确快速地判断函数的极限属于哪种类型的极限㊂接下来,我们分别对这四种类型通过举例进行方法说明㊂关于00型,例如lim xң1x2-3x+2x-1,只需要消除分母中的零因子x-1就可以计算出来㊂但是很多时候,不能直接去掉分母中的零因子,那么只能利用其他方法把函数进行变形之后才能合理消除掉零因子㊂上例对分子进行因式分解即x2-3x+2=(x-1)(x-2)后,才可以进行计算㊂关于ɕɕ型,需要分子除以分母中自变量的次数最高项,同时分母也除以分母中自变量的次数最高项㊂例如limxңɕx2+2x+1x4-3x+1,分母中自变量x的次数最高项是x4,因此只要让分子除以x4,同时分母也除以x4,这样就可以解出正确答案即limxңɕx2+2x+1x4-3x+1=lim xңɕ1x2+2x3+1x41-3x3+1x4=01=0㊂而对于0㊃ɕ型和ɕ-ɕ型的极限问题,都可以想办法把它们变形成能够利用00型或ɕɕ型方法的函数极限,例如lim xң0x2㊃x+2x3+x属于0㊃ɕ型,可以把它变形成00型再计算,即limxң0x2㊃x+2x3+x=lim xң0x2+2x x2+1=0,再如lim xң111-x-31-x3()属于ɕ-ɕ型,不能够直接利用四则运算法则计算,但是我们可以对它进行通分,先把它变形成00型即lim xң111-x-31-x3()=lim xң1-(1-x)(x+2)(1-x)(1+x+x2),然后消除掉分母中的零因子1-x就解决问题了即limxң111-x-31-x3()=lim xң1-(1-x)(x+2)(1-x)(1+x+x2)=-1㊂因此可以说,0型和ɕɕ型的极限方法是最基础的,教师要让学生认识到这个问题,学生要把这个基础方法掌握好㊂第二种方法:两个重要极限学生在中学大多没有接触过,那就是两个重要极限,即limxң0sin xx=1与lim xңɕ1+1x()x=e,关于这两个重要极限,教师要引导学生深刻理解和掌握这两个重要极限的结构:第一个重要极限limxң0sin xx=1,在自变量x无限趋于点x=0时,分子与分母的极限必须同时无限趋近于零,并且分子上正弦函数sin x里的函数x必须和分母里的函数x保持一致,如果同时满足上述两个特点,我们可以把第一种重要极限推广成lim sin u(x)u(x)=1(其中u(x)是自变量变化过程中的无穷小量,也就是说,函数u(x)的极限等于0);第二个重要极限limxңɕ1+1x()x= e,位于底数位置的第二个加数1x的极限必须等于零,职成教苑714289877@而位于指数位置的函数x 的极限必须等于ɕ,并且位于底数位置的第二个加数1x和位于指数位置的函数x必须互为倒数,若同时满足这两个特点,我们可以把第二种重要极限推广成公式lim 1+1u (x )()u (x )=e (其中u (x )是自变量变化过程中的无穷大量),或者推广成公式lim 1+u (x )[]1u (x )=e(其中u (x )是自变量变化过程中的无穷小量,即u (x )的极限等于0)㊂教师要用由简到难的方法教授,这样讲授可以让学生更容易接受新知识㊂先指导学生做一些经典的简单的练习题㊂学生基本掌握这两种重要极限的方法之后,再让学生练习一些难度较大的题目㊂第三种方法:洛必达法则㊂我们还会接触学习一种跟导数有关的求函数极限的方法,即洛必达法则㊂利用洛必达法则解决函数极限的问题,最基础的计算极限的类型有两种,分别为型与ɕɕ型㊂00型是指同一自变量无限趋于一点时,分子分母的极限同时等于零;而ɕɕ型是指分子分母的极限同时等于ɕ㊂对于00型与ɕɕ型,利用洛必达法则求极限,方法是一样的,就是对分子进行求导,同时再对分母进行求导,例如lim x ң0sin5x x 是0型,对分子分母同时求导得到lim x ң05cos5x 1=5,再例如lim x ң+ɕln x x 属于ɕɕ型,然后同时对分子分母求导limx ң+ɕln x x =lim x ң+ɕ1/x 1=lim x ң+ɕ1x=0㊂利用洛必达法则还可以计算很多类型函数的极限,例如lim x ң0+sin x ln x 属于0㊃ɕ型,需要先把它变形成ɕɕ型,即lim x ң0+sin x ln x =lim x ң0+ln xcsc x ,再同时对分子分母求导即lim x ң0+sin x ln x =lim x ң0+ln x csc x =lim x ң0+1/x -csc x㊃cot x =lim x ң0+-sin x x ㊃tan x =0㊂2㊀极限思想在微积分中的应用在高等数学的微积分理论中,人们把极限思想的应用体现得淋漓尽致,可以说,微积分的形成就是人们深刻理解极限思想下的产物㊂微积分中的导数理论是很重要的一部分知识内容,而导数的概念就是由极限思想得来的㊂实际生活中,很多实际问题总可以转化为求极限lim Δx ң0ΔyΔx即在一个点x =x 0处,函数y =f (x )的增量Δy 除以自变量x 的改变量Δx 所得到的商的极限㊂这种结构的极限就定义为导数㊂微积分里面的导数与积分互为逆运算,积分是微积分中的一个重要部分,极限思想在定积分的形成中有着不可替代的作用㊂因为定积分的概念就是从极限思想产生的㊂生活中,很多问题都可以转化为求这种和式ðn i =1f (ξi )Δxi的极限,即lim λң0ðni =1f (ξi )Δx i ,此极限就定义为定积分㊂无论微积分中的导数理论,还是定积分理论,都是人们在极限思想下的产物,是人类智慧的结晶㊂高等数学中还有一个重要的知识点,那就是学生必须要好好学习的另一个内容,即无穷级数㊂极限思想在无穷级数的研究中发挥了很重要的作用,如果不利用极限思想,那么就不能够更好地分析研究无穷级数,也就不能够更好地了解分析函数的性质㊂我们学习和研究无穷级数的敛散性对进一步研究函数的特性有着至关重要的作用㊂我们往往感兴趣的就是函数具有什么样的性质,一个无穷级数是否收敛,意味着这个级数能否表示一个函数㊂假设一个无穷级数的前n 项部分和为s (n ),那么若lim n ң0s (n )存在,则定义级数收敛,若lim n ң0s (n )不存在,则定义级数发散㊂由此我们可以看出,级数收敛与发散的这两个概念是由极限思想产生的㊂极限思想在无穷级数这部分内容中的作用是不可或缺的,人们如果想要用无穷级数的性质研究函数的特性,需要充分理解和应用极限思想㊂3㊀结语高等数学是学生学习专业课之前必须要学习的课程,它是基础课㊂计算函数极限有很多种方法,只有能够混合灵活应用各种方法,才能够快速地把函数极限解答出来㊂极限思想在高等数学里的作用是显而易见的,是很重要的㊂学生在面对这门数学课时,要做好深刻理解极限思想的准备,只有极限思想理解的足够清晰透彻,那么极限思想在高等数学里的应用就很容易理解和掌握了㊂学生只要理解了极限思想,就能够更好㊁更深入地学好高等数学这门课㊂参考文献[1]黄立宏主编.高等数学上册[M ].上海:复旦大学出版社,2010.[2]卢玉峰.关于数学基础课程学的一点思考[J ].高等数学研究,2003,6(03):5-7.[3]经玲.试论数学思想方法的教学[J ].中国科技信息,2005,(21):68-70.[4]论极限的思想方法[J ].广州大学学报,2003,(10):410-412.[5]徐利治.数学分析的方法及例题选讲[M ].大连:大连理工大学出版社,2008.责任编辑㊀孙晓东。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算我们先来了解一下极限的概念。

在数学中，极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。

即：当x无限接近a时，如果函数f(x)的取值无限接近于A，那么A就是函数f(x)当x趋于a时的极限，通常用Lim表示。

极限是一种重要的数学工具，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。

在高职高专教育中，学生通常会学习一元函数的极限运算。

一元函数就是指只有一个自变量的函数，如y=f(x)。

在进行一元函数的极限运算时，我们需要掌握一些基本的运算规则，比如极限的四则运算法则、极限的复合运算法则等。

首先是极限的四则运算法则。

在一元函数的极限运算中，我们经常会遇到加法、减法、乘法、除法等四则运算。

针对这些情况，我们需要掌握相应的四则运算法则。

比如对于极限的加法法则，当Lim(x->a)f(x)=A,Lim(x->a)g(x)=B时，有Lim(x->a)(f(x)+g(x))=A+B。

这是极限的四则运算法则之一，通过这些法则，我们可以将复杂的极限运算化简成简单的加法、减法、乘法、除法等运算，从而更容易求得极限的值。

在一元函数的极限运算中，我们还需要掌握一些基本的极限公式，比如常见的极限值表、三角函数的极限公式、幂函数的极限公式等，通过掌握这些基本的极限公式，可以更好地理解和运用极限的概念。

除了以上提到的内容，高职高专极限的运算还涉及到一些特殊类型的极限，比如无穷小量极限、无穷大量极限、洛必达法则、泰勒公式等。

这些内容在高职高专数学课程中也是非常重要的一部分，对于学生来说，需要认真对待。

我们还需要强调在进行极限运算时，要注意一些常见的错误。

比如在使用极限的四则运算法则时，需要注意被除函数为零的情况，要避免出现除零错误。

在使用极限的复合运算法则时，也需要注意复合函数的定义域，要确保函数的定义域合法，避免出现无定义错误。

在使用某些特殊类型的极限时，要注意相关的条件和假设，确保极限的运算过程合理有效。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算高职高专极限的运算是微积分中非常重要的一个概念，在数学、物理等领域中有着广泛的应用。

极限的概念是关于函数的，它反映的是函数在某个点上的局部行为，也就是说，当自变量趋近于某个值时，函数在该点附近的取值趋近于一个确定的数。

下面我们来详细了解高职高专极限的运算。

一、极限的定义高职高专极限的概念包含两个要素：自变量的趋近方向和函数值的趋近情况。

当自变量趋近于某个值x0 时，函数f(x)在该点附近的取值趋近于一个确定的数L，即：lim f(x) = L，x→x0其中，x→x0表示自变量x趋近于x0的过程。

二、极限的运算规律1. 极限的唯一性如果f(x)在x0的任意一个邻域内都有定义，并且当x趋近于x0时，f(x)的极限存在并且唯一，那么这个极限就是f(x)在x0处的极限，记作：如果f(x)在x0的任意一个邻域内都有定义，并且：（1）当x趋近于x0时，f(x)趋近于L，（2）当x趋近于x0时，g(x)趋近于M，那么有：3. 两个基本极限（1）常数函数对于常数函数f(x)=C（C为常数），不论x趋近于哪个值，函数f(x)的极限都等于常数C，即：（2）一次函数三、极限运算的例题分析1. 已知极限limf(x)=3，求极限lim（f(x)+1）。

根据极限运算的趋近性可以得到：lim [f(x) + 1] = lim f(x) + lim 1 = 3 + 1 = 4。

x→x0 x→x0 x→x0因为g(x)是常数函数，所以有lim g(x)=g(x)。

故：四、总结通过以上例题的分析和运算规律的归纳，可以看出高职高专极限的运算是一项比较基础的数学运算，但却是微积分中非常重要的一环。

通过熟练掌握极限的定义和运算规律，可以更好地理解和应用微积分的概念和方法，从而在数学、物理等领域中发挥出更大的作用。

浅谈高职高专极限的运算

浅谈高职高专极限的运算随着计算机的不断普及和发展，计算机编程语言也不断更新和完善。

高职高专极限的运算是一种算法，能够在计算机程序中进行高效的数值计算，并且可以处理大量的数据。

在本文中，我将简要介绍高职高专极限的运算。

高职高专极限的运算是数学中的一个重要概念，是得到一些函数的极限值的方法。

极限是指在函数定义域内某一点的表现，这些点可以趋近于某个特定的值。

对于一个函数而言，它的极限值可以用来描述这个函数在无穷大或无穷小的情况下的行为。

因为高职高专极限的运算基于极限概念，所以我们需要先了解极限。

极限的定义可以使用化简的形式表示为：如果对于任何给定的正数ε，可以找到一个正数δ，使得当 |x-a|<δ 时，|f(x)-L|<ε。

这个定义可以表示：当函数f(x)的接近 a 时，函数值趋近于 L。

其中，L被称为函数f(x)的极限。

在高职高专极限的运算中，我们需要注意以下几点：1. 极限运算时需要非常小心。

如果计算过程中出现了错误，就会得到错误的答案。

2. 小数位数不要超过最佳的位数，因为这样可能会导致舍入误差。

3. 对于无穷大或无穷小的极限，当函数在接近某个极限时，不能超过函数定义域的范围。

4. 在进行计算时，应该始终保持精度，并尽可能减少舍入误差和截断误差。

高职高专极限的运算可以帮助我们更好地处理多变量函数和复合函数，以便实现更快的计算。

同时，这种计算方法也可以优化代码的执行速度，提高运算效率。

在实际的编写程序中，我们可以使用高职高专极限的运算来计算复杂的函数。

在一些工程计算和科学计算中，高职高专极限的运算被广泛应用。

例如，在处理大规模数据量的机器学习和人工智能算法时，使用高职高专极限的运算能够大大提高计算速度和精度，从而实现更准确的计算结果。

此外，在现代金融领域中也广泛应用高职高专极限的运算。

因此，学习高职高专极限的运算是非常有意义和重要的。

不仅可以帮助我们更好地处理数学问题，同时也可以提高我们的计算机科学技能。

高职教学中求函数极限常用方法及错误分析

解：原式＝】一（２）＋
＝
分析：没注意ｓｉｎ后面函数部分与分母注意：（１）强调此极限属于１型；（２）指数部分完全一致。部分与括号内第二项互为倒数。正解：原式：ｌｉｍｓｉｎ３ｘ例７ｌｉａｒ
错解：原式本
詈
１．２代入法
利用函数极限四则运算法则和初等
函数连续性，若
ｉｍ，义，则１（
．．，
在其定义域内有意
（２）ｆｌ＋ｘ＝ｅ，（１＋）：，将其
ｌｉｍ２＝０
解
。 …
：
ｌｉｍ＝０
ｌｉｍ２＝＋∞
：
原式Ｌ＿『
－ —
（丽＋３）（ √ 丽一３）
注：使用洛必达法则要谨慎，每用一次
要验证是否满足洛必达法条件。除此外，还有无穷小量分出法、利用无
３１ｉｓｉｎ３ｘｌｉ
—
例１２ｌｉｍ（１ — ３１
： ×５一２ｘ５＋１：－－４５
பைடு நூலகம்
… ｓｉｎ４ｘ一４
例４１：一＋２Ｉｎ（ｘ－Ｉ） …
错解：原式Ｉ（１ — ３）ｌ
ｒＩｑ－
一
、力Ｊ＿
—
（１）ｌｉａｒｓｌ２ｘ＝ｌ将其推广为：
１