第七节 泰勒公式

二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒( )
x 泰勒( aylor)中值定理 如果函数f (x) 在含有0 ) 泰勒(T ( ( 阶的导数, 的某个开区间 a, b)内具有直到 n + 1) 阶的导数 则 , 内时, 当x 在(a, b) 内时, f (x) 可以表示为( x − x0 ) 的一 之和: 个n次多项式与一个余项Rn (x)之和: f ′′( x0 ) f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 )2 2! f (n) ( x0 ) + ⋯+ ( x − x0 )n + Rn( x) n!
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f (ξ ) ( x − x0 )n+1 (ξ在x0 与x 之 ). 间) 其 Rn( x) = 中 间 (n + 1)!
( n+1)
f (k) ( x0 ) P ( x) = ∑ ( x − x0 )k n k! k=0
n
阶泰勒多项式. 称为 f ( x ) 在 x0处关于 ( x − x0 )的 n 阶泰勒多项式.
用; 1.Taylor 公 在 似 算 的 用 式 近 计 中 应 ;
y= x
y = sin x
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用; 1.Taylor 公 在 似 算 的 用 式 近 计 中 应 ;
y= x
y = sin x
用; 1.Taylor 公 在 似 算 的 用 式 近 计 中 应 ;
y= x
y = sin x
o
1 ( −1)n f ( x) = − xn+1 (0 < θ < 1) = 1 + x + x 2 + ⋯ xn + x −1 (θx − 1)n+ 2
常用函数的麦克劳林公式
课本1页 页 课本
x3 x5 x2n+1 sin x = x − + −⋯+ (−1)n + o( x2n+1 ) 3! 5! (2n + 1)!
f ′′(0) 2 f (n) (0) n f ( x) = f (0) + f ′(0)x + x +⋯+ x n! 2! + o( xn )
三、简单的应用
1、求函数的展开式 、 1) 直接展开法： 直接展开法：
π 例1 写出函数 f ( x) = cos x 在 x = 处的三阶泰勒公式.
3
阶麦克劳林公式. 例 2 求 f ( x) = e x 的 n 阶麦克劳林公式.
′( x) = f ′′( x) = ⋯= f (n) ( x) = e x , 解 ∵ f ′(0) = f ′′(0) = ⋯= f (n) (0) = 1 ∴ f (0) = f
注意到 f
x
( n+1)
(θx) = eθ
x
代入公式,得 代入公式 得
θx
n+1
x x e e = 1 + x + +⋯+ + x 2! n! (n + 1)!
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练习题
1 一、当 x 0 = −1 时，求函数 f ( x ) = 的n 阶泰勒公式 . x 二、求函数 f ( x ) = xe x 的n 阶麦格劳林公式 . 1 x2 x3 三、验证 0 < x ≤ 时，按公式 e x ≈ 1 + x + 计算 + 2 2 6 e x 的近似值，可产生的误差小于 0.01，并求 e 的 的近似值， 0.01， 近似值， 近似值，使误差小于 0.01 . 的近似值，并估计误差. 四、应用三阶泰勒公式求3 30 的近似值，并估计误差. 利用泰勒公式求极限： 五、利用泰勒公式求极限：
a(a − 1) 2 (1 + x) = 1 + ax + x +⋯ 2! a(a − 1)⋯(a − n + 1) n x + o( xn ) + n!
a
2) 间接展开法： 间接展开法： 例4 写出函数 f ( x) = 在 x0 = 1的n 阶泰勒公式. 例5 写出函数 f ( x) = xln(1 + x) 的n 阶麦克劳林公式.
y = sin x
o
x x y = x− + 3! 5!
3 5
x3 y = x− 3!
用; 1.Taylor 公 在 似 算 的 用 式 近 计 中 应 ;
x3 x5 x7 x9 x11 y = x− + − + − 3! 5! 7! 9! 11!
o
y = sin x
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思考题
e x sin x − x (1 + x ) 利用泰勒公式求极限 lim 3 x →∞ x
x2 x3 思 ∵ e x = 1 + x + + + o( x 3 ) 2! 3! 考 x3 3 题 sin x = x − + o( x ) 3! 解 e x sin x − x (1 + x ) = 答 ∴ lim 3 x →∞ x x2 x3 x3 3 3 + + o( x ) x − + o( x ) − x(1 + x ) 1 + x + 2! 3! 3! lim x →∞ x3 x3 x3 − + o( x 3 ) 1 = = lim 2! 3! 3 x →∞ x 6
x 2.设f (x)在 0 处可 ,则 导, 2.设 导 有
f ( x ) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 )
f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + o( x − x0 )
例如, | 很小时, 例如, 当 x |很小时, e x ≈ 1 + x , ln(1 + x) ≈ x
1 x
2、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可计算极限. 、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可计算极限.
e + 2cos x − 3 例 5 计算 lim . 4 x→0 x 1 4 x 2 解 ∵ e = 1 + x + x + o( x4 ) 2!
x2
2
x2 x4 cos x = 1 − + + o( x4 ) 2! 4!
或
2
n
(0 < θ < 1).
x2 xn x n+1 e =1+ x + +⋯+ + o(x ). 2! n!
1 例3 求 的n阶麦克劳林公式. 1-x
1 解 : 令f ( x ) = − x −1
1 ( n ) ( −1)n n! ∵( ) = x -1 ( x − 1)n+1
∴f
(n )
1 ( n ) ( −1) n! (x) = - ( ) = x -1 ( x − 1)n +1
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第七节 泰勒(Taylor)公式 )
一、问题的提出 二、泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor) 三、简单的应用
一、问题的提出
1.设 1.设 f (x)在x0处 续 则 连 , 有
f(x)在 x=x0 处的 在 一次近似式
f ( x) ≈ f ( x0 )
f ( x) = f ( x0 ) + α( x)
x y = x− 3!
3
用; 1.Taylor 公 在 似 算 的 用 式 近 计 中 应 ;
y= x
y = sin x
x3 y = x− 3!
o
x3 x5 y = x− + 3! 5!
用; 1.Taylor 公 在 似 算 的 用 式 近 计 中 应 ;
y= x
x3 x5 x7 y = x− + − 3! 5! 7!
1 1 4 ∴ e + 2cos x − 3 = ( + 2⋅ )x + o( x4 ) 2! 4! 7 4 x + o( x4 ) 7 原式= lim12 = 4 x→0 x 12
x2
四、小结
1、常用函数的麦克劳林公式 课本 页 、 课本131页 阶麦克劳林公式与泰勒公式. 能求出函数的 n 阶麦克劳林公式与泰勒公式 2、能利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式计算极限. 能利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式计算极限.