2016版步步高考前三个月复习数学理科(全国通用) 第三篇回扣10

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【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题1 第2练用好逻辑用语、突破充要条件理

第2练用好逻辑用语、突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主．在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用．这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．常考题型精析题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例1 (1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面(2)(2014·湖南)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④答案(1)D (2)C解析(1)对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．(2)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.点评利用等价命题判断命题的真假，是判断命题真假快捷有效的方法．在解答时要有意识地去练习．变式训练1 (2014·重庆)已知命题：p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧q D ．p ∧(綈q )答案 D解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x ∈R ，y ＝2x>0恒成立，故p 为真命题；因为当x >1时，x >2不一定成立，反之当x >2时，一定有x >1成立，故“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，故q 为假命题，则p ∧q 、綈p 为假命题，綈q 为真命题，(綈p )∧(綈q )、(綈p )∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故选D.题型二充分条件与必要条件例2 (1)(2015·北京)设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.则“m ∥β”是“α∥β”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 m ⊂α，m ∥β⇒/ α∥β，但m ⊂α，α∥β⇒m ∥β，所以m ∥β是α∥β的必要而不充分条件． (2)给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a∥b ； ③在△ABC 中，sin A >sin B 的充要条件为A >B ；④在△ABC 中，设命题p ：△ABC 是等边三角形，命题q ：a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，那么命题p 是命题q 的充分不必要条件．其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上) 答案 ①③解析 ①正确．因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，因此AB →＝DC →.②不正确．当a∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．③正确．由正弦定理知sin A ＝a 2R ，sin B ＝b2R ，当sin A >sin B 成立时，得a >b ，则A >B ；当A >B 时，则有a >b ，则sin A >sin B ，故命题正确．④不正确．若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，sin B ＝sin C ＝sin A ，即命题p 是命题q 的充分条件；若a ∶b ∶c ＝sin B ∶sin C ∶sin A ，则sin C sin A ＝b c ，又由正弦定理得a sin A ＝csin C ，即sin C sin A ＝c a ，所以c a ＝b c ，即c 2＝ab ，同理得a 2＝bc ，b 2＝ac ，所以c ＝a ＝b ，所以△ABC 是等边三角形．因此命题p 是命题q 的充要条件．综上所述，正确命题的序号是①③. 点评判断充分、必要条件时应注意的问题(1)先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)准确转化：若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；若綈p 是綈q 的充要条件，那么p 是q 的充要条件．变式训练2 (2015·湖北)设a 1，a 2，…，a n ∈R ，n ≥3.若p ：a 1，a 2，…，a n 成等比数列；q ：(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)·(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2，则( ) A ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件答案 B解析若p 成立，设a 1，a 2，…，a n 的公比为q ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n －1)(a 22＋a 23＋…＋a 2n )＝a 21(1＋q 2＋…＋q2n －4)·a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)＝a 21a 22(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，(a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n －1a n )2＝(a 1a 2)2(1＋q 2＋…＋q2n －4)2，故q 成立，故p 是q 的充分条件．取a 1＝a 2＝…＝a n ＝0，则q成立，而p 不成立，故p 不是q 的必要条件，故选B. 题型三与命题有关的综合问题例3 下列叙述正确的是( )A ．命题：∃x ∈R ，使x 3＋sin x ＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2<0 B ．命题：“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的逆否命题为：若x ≠1或x ≠－1，则x 2≠1C ．已知n ∈N ，则幂函数y ＝x 3n －7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1D ．函数y ＝log 2x ＋m3－x的图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝±1答案 C解析 A ：命题：∃x ∈R ，使x 3＋sin x ＋2<0的否定为：∀x ∈R ，均有x 3＋sin x ＋2≥0，故A 错误；B ：命题：若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1的逆否命题为：若x ≠1且x ≠－1，则x 2≠1，故B 错误；C ：因为幂函数y ＝x3n －7在x ∈(0，＋∞)上单调递减，所以3n －7<0，解得n <73，又n ∈N ，所以n ＝0,1或2；又y ＝x3n －7为偶函数，所以，n ＝1，即幂函数y ＝x3n －7为偶函数，且在x ∈(0，＋∞)上单调递减的充分必要条件为n ＝1，C 正确；D ：令y ＝f (x )＝log 2x ＋m3－x ，由其图象关于点(1,0)中心对称，得f (x )＋f (2－x )＝0，即log 2x ＋m 3－x ＋log 2 2－x ＋m 3－ 2－x＝log 2 x ＋m 2＋m －x 3－x 1＋x ＝0，x ＋m 2＋m －x3－x 1＋x＝1.整理得：m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3，当m ＝－3时，x ＋m 3－x ＝－1<0，y ＝log 2x ＋m3－x无意义，故m ＝1.所以，函数y ＝log 2x ＋m3－x图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为m ＝1，D 错误．点评解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断，需要有扎实的基础知识，这是破解此类问题的前提条件．若需证明某命题为真，需要根据有关知识作出逻辑证明，但若需要证明某命题为假，只要举出一个反例即可，因此，“找反例”是破解此类问题的重要方法之一．变式训练3 (2014·江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0” B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2≥cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β答案 D解析由于“若b2－4ac≤0，则ax2＋bx＋c≥0”是假命题，所以“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件不是“b2－4ac≤0”，A错；∵ab2>cb2，且b2>0，∴a>c.而a>c时，若b2＝0，则ab2>cb2不成立，由此知“ab2>cb2”是“a>c”的充分不必要条件，B错；“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2<0”，C错；由l⊥α，l⊥β，可得α∥β，理由是：垂直于同一条直线的两个平面平行，D正确．高考题型精练1．(2015·课标全国Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则綈p为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案 C解析将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2>2n”改为“n2≤2n”．2．(2014·课标全国Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q是充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件答案 C解析当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．3．下列命题中，真命题是( )A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－1<sin x<1C．∃x0∈R,2x0<0 D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 D解析∀x∈R，x2≥0，故A错；∀x∈R，－1≤sin x≤1，故B错；由y＝2x的图象可知∀x∈R,2x>0，故C错，D正确．4．(2014·陕西)原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真，真，真 B ．假，假，真 C ．真，真，假 D ．假，假，假答案 A 解析a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A. 5．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 D解析因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；因为函数y ＝x －1x的单调递增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．所以p ∧q 为假命题，p ∨q为真命题，綈p 为假命题，綈q 为真命题，故选D.6．已知命题p ：∀x ∈R ，x 3<x 4；命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0－cos x 0＝－ 2.则下列命题中为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧q C ．p ∧(綈q ) D ．(綈p )∧(綈q )答案 B解析若x 3<x 4，则x <0或x >1， ∴命题p 为假命题；若sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝－2，则x －π4＝3π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝7π4＋2k π(k ∈Z )，∴命题q 为真命题，∴綈p ∧q 为真命题．7．(2015·山东)若m ∈R, 命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0 答案 D解析原命题为“若p ，则q ”，则其逆否命题为“若綈q ，则綈p ”．∴所求命题为“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”． 8．下列5个命题中正确命题的个数是( )①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件；③已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4； ⑤曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是S ＝ʃ10(x －x 2)d x . A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4；⑤正确，由定积分的几何意义可知．9．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am (a >0)，命题q ：实数m 满足方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38 解析由a >0，m 2－7am ＋12a 2<0，得3a <m <4a ，即命题p ：3a <m <4a ，a >0. 由x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m >m －1>0，解得1<m <32，即命题q ：1<m <32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a >1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a <32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，38. 10．已知函数f (x )＝4|a |x －2a ＋1.若命题：“∃x 0∈(0,1)，使f (x 0)＝0”是真命题，则实数a 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析由于f (x )是单调函数，在(0,1)上存在零点，应有f (0)·f (1)<0，解不等式求出实数a 的取值范围．由f (0)·f (1)<0⇒(1－2a )(4|a |－2a ＋1)<0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0， 2a ＋1 2a －1 >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0， 6a －1 2a －1 <0⇒a >12.11．已知下列命题：①命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1<x ＋1”；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是__________．答案 ②解析命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>x 0＋1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤x ＋1”，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2D ⇒/a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．12．下面有四个关于充要条件的命题：①“向量b 与非零向量a 共线”的充要条件是“有且只有一个实数λ使得b ＝λa ”；②“函数y ＝x 2＋bx ＋c 为偶函数”的充要条件是“b ＝0”；③“两个事件为互斥事件”是“这两个事件为对立事件”的充要条件；④设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．答案 ①②④解析由共线向量定理，知命题①为真．当b ＝0时，y ＝x 2＋bx ＋c ＝x 2＋c 显然为偶函数，反之，y ＝x 2＋bx ＋c 是偶函数，则(－x )2＋b (－x )＋c ＝x 2＋bx ＋c 恒成立，就有bx ＝0恒成立，得b ＝0，因此②为真．对立事件是互斥事件的特殊情形，所以③为假．在④中，若φ＝0，则f (x )＝cos x 是偶函数．但是若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )是偶函数，则φ＝π也成立，故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．。

【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺压轴大题突破练1 直线与圆锥曲线(一 )理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月压轴大题突破练1 直线与圆锥曲线（一）理1.已知圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16及点F 2(1,0)，在圆F 1任取一点M ，连接MF 2并延长交圆F 1于点N ，连接F 1N ，过F 2作F 2P ∥MF 1交NF 1于P ，如图所示.(1)求点P 的轨迹方程；(2)从F 2点引一条直线l 交轨迹P 于A ，B 两点，变化直线l ，试探究1|F 2A |＋1|F 2B |是否为定值.2.已知以C 为圆心的动圆过定点A (－3,0)，且与圆B ：(x －3)2＋y 2＝64(B 为圆心)相切，点C 轨迹为曲线T .设Q 为曲线T 上(不在x 轴上)的动点，过点A 作OQ (O 为坐标原点)的平行线交曲线T 于M ，N 两个点.(1)求曲线T 的方程；(2)是否存在常数λ，使AM →·AN →＝λOQ →2总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由.3.已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F (7，0)，A ，B 是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：当点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动时，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围.4.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，点A ，B 在抛物线C 上.(1)若直线AB 过点(2p,0)，且|AB |＝4p ，求过A ，B ，O (O 为坐标原点)三点的圆的方程；(2)设直线OA ，OB 的倾斜角分别为α，β，且α＋β＝π4，问直线AB 是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标；若不是，请说明理由.答案精析压轴大题突破练11.解 (1)∵F 2P ∥MF 1，∴PF 2MF 1＝PNF 1N ⇒PF 24＝4－PF 14⇒PF 1＋PF 2＝4>F 1F 2＝2， ∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，长轴长2a ＝4的椭圆，其轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)①若l AB 的斜率存在时，设l AB 为：y ＝k (x －1)，联立x 24＋y 23＝1，可得：(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2) (x 2<1<x 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，∴1|F 2A |＋1|F 2B |＝11＋k 2|x 1－1|＋11＋k 2|x 2－1|＝11＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋11－x 2＝11＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－x 2＋x 1－1 x 1－1 1－x 2＝11＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1－x 2 x 1＋x 2 －x 1·x 2－1＝11＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2 2－4x 1·x 2 x 1＋x 2 －x 1·x 2－1＝11＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫8k23＋4k 22－4×4k 2－123＋4k 28k 23＋4k 2－4k 2－123＋4k 2－1＝11＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫121＋k 23＋4k 293＋4k 2＝129＝43. ②若l AB 的斜率不存在时，此时l AB ：x ＝1，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时1|F 2A |＋1|F 2B |＝23＋23＝43.综上可知，变化直线l ，则1|F 2A |＋1|F 2B |为定值43.2.解 (1)∵A (－3,0)在圆B 的内部，∴两圆相内切，∴|BC |＝8－|AC |，即|BC |＋|AC |＝8>|AB |.∴C 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，且长轴长2a ＝8，a ＝4，c ＝3.∴b 2＝16－9＝7，∴曲线T 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)当直线MN 斜率不存在时，|AN →|＝|AM →|＝74，OQ →2＝7.∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|·cos π＝7λ，则λ＝－716；当直线MN 斜率存在时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN ：y ＝k (x ＋3)，则OQ ：y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧ 7x 2＋16y 2＝112，y ＝k x ＋3 ，得(7＋16k 2)x 2＋96k 2x ＋144k 2－112＝0，则x 1＋x 2＝－96k 27＋16k 2，x 1·x 2＝144k 2－1127＋16k 2，∴y 1y 2＝k 2[(x 1＋3)(x 2＋3)]＝k 2[x 1x 2＋3(x 1＋x 2)＋9]＝－49k27＋16k 2.AM →·AN →＝(x 1＋3)(x 2＋3)＋y 1y 2＝－49 k 2＋17＋16k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ 7x 2＋16y 2＝112，y ＝kx ，得7x 2＋16k2x 2＝112，则x 2＝1127＋16k 2，∴OQ →2＝x 2＋y 2＝(1＋k 2)x 2＝112 1＋k 27＋16k 2，由AM →·AN →＝λOQ →2，可解得λ＝－716.综上，存在常数λ＝－716，使AM →·AN →＝λOQ →2总成立.3.解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0).由已知可得(S △ADB )max ＝12·2a ·b ＝ab ＝12.①∴F (7，0)为椭圆右焦点，∴a 2＝b 2＋7.②由①②可得a ＝4，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 29＝1. (2)∵P (x 0，y 0)是椭圆上的动点，∴x 2016＋y 209＝1，∴y 20＝9－9x 2016. ∴圆心O 到直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2的距离d ＝2x 20＋y 20＝2x 20＋9－916x 20 ＝2716x 20＋9<1 (0≤x 20≤16). ∴直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点.L ＝2r 2－d 2＝21－4716x 20＋9∵0≤x 20≤16，∴9≤716x 20＋9≤16， ∴253≤L ≤ 3. 4.解 (1)易知直线x ＝2p 与抛物线y 2＝2px 的两个交点的坐标分别是M (2p,2p )，N (2p ，－2p )，弦长|MN |＝4p (p >0).又|AB |＝4p ，且直线AB 过点(2p,0)，所以△AOB 是直角三角形，所以过A ，B ，O 三点的圆的方程是(x －2p )2＋y 2＝4p 2. (2)设点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222p ，y 2，直线AB 的方程为x ＝my ＋b ，设直线与抛物线相交.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋b ，y 2＝2px ，消去x ，得y 2－2mpy －2pb ＝0，所以y 1＋y 2＝2mp ，y 1y 2＝－2pb .故tan π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝y 1x 1＋y 2x 21－y 1y 2x 1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2x 1x 2－y 1y 2＝2p y 1＋y 2 y 1y 2－4p 2，即1＝2p ·2mp －2pb －4p 2＝－2mp b ＋2p，所以b＝－2p－2mp，所以直线AB的方程为x＝my－2p－2mp，即x＋2p＝m(y－2p)，所以直线AB过定点(－2p,2p).。

【步步高】(全国通用)2016版高考数学-考前三个月复习总结冲刺-小题精练6-理

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习考前三个月小题精练6 理一、选择题1．已知集合A ＝{0,1，m }，B ＝{x |x (3－x )≥0}，若A ∩B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,3)D ．(0,1)∪(1,3]2．下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 3．(2015·广州模拟)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝21－x在同一直角坐标系的图象大致是( )4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)(A >0，ω>0)在区间[－3π2，－3π4]上单调递增，则ω的最大值是( ) A.12 B.34C ．1D ．2 5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得线性回归方程y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min)62758189现发现表中有一个数据模糊不清，则推断出该数据的值为( )A ．68B ．75C ．79D ．无法确定6.如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．若△ABF 1为等边三角形，则双曲线的离心率为( ) A.13 B.7 C. 5 D. 27．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB →等于( ) A.32B. 3 C ．3 D ．2 3 8．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( ) A ．n (n －43)B ．n (n －34)C ．n (n －23)D ．n (n －12)9．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列条件中，能成为l ⊥m 的充分条件的是( )A ．α∩β＝l ，m 与α、β所成角相等B ．l ，m 在α内的射影分别为l ′，m ′，且l ′⊥m ′C ．α∩β＝l ，m ⊂β，m ⊥αD ．α⊥β，l ⊥α，m ∥β10．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为( )A.35B.310C.12D.62511．已知O 是坐标原点，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1≤0，x ＋y －3≤0，x ≥1，且点A ，B 的坐标分别为(1，y )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1x ，则z ＝OA →·OB →的取值范围为( )A ．[1,2]B ．(1,2)C ．[3,4]D ．(3,4)12．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋4，若存在实数t ，当x ∈[1，t ]时，f (x ＋a )≤4x 恒成立，则实数t 的最大值是( )A ．4B ．7C ．8D ．9 二、填空题13．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．14．(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为________．15．设A ，B 为双曲线x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)同一条渐近线上的两个不同的点，已知向量m ＝(1,0)，|AB →|＝6，AB →·m |m |＝3，则双曲线的离心率为_________________________．16．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x2－y，若关于x 的不等式x ⊗(x ＋1－a )>0的解集是{x |－2≤x ≤2，x ∈R }的子集，则实数a 的取值范围是________.答案精析小题精练6 1．D 2.D 3.C4．C [函数f (x )＝A sin(ωx ＋ωπ)的图象向右平移π个单位得函数f (x )＝A sin ωx 的图象，问题等价于函数f (x )＝A sin ωx 在区间[－π2，π4]上单调递增，故只要2πω≥2π，即ω≤1.] 5．A6．B [由题意，可得 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |，解得|AB |＝4a ，|AF 2|＝2a ，所以|BF 2|＝6a ，在△BF 1F 2中，由余弦定理可得a2＋a 2－c22×4a ×6a＝cos 60°，化简得136－c26a2＝1，所以e ＝7，故选B.]7．C [由2OA →＋AB →＋AC →＝0，得(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝0，即OB →＋OC →＝0，所以点O 为BC 的中点，且O 为△ABC 外接圆的圆心，因此BC 为△ABC 外接圆的直径，∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB ，如图所示．又OA ＝AB ，则△OAB 为等边三角形，∠ABC ＝60°，得AC ＝3，故CA →·CB →＝|CA →|2＝(3)2＝3.故选C.]8．A [∵P n P n ＋1＝OP n ＋1－OP n →＝(n ＋1，a n ＋1)－(n ，a n )＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)， ∴a n ＋1－a n ＝2.∴{a n }是公差为2的等差数列．由a 1＋2a 2＝3，得a 1＝－13，∴S n ＝－n 3＋12n (n －1)×2＝n (n －43)．]9．C [由α∩β＝l ，知l ⊂α，若m ⊂β，m ⊥α，必有l ⊥m ，显然选C.]10．B [设3个白球分别为a 1，a 2，a 3,2个黑球分别为b 1，b 2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，(a 2，a 1)，(a 3，a 1)，(b 1，a 1)，(b 2，a 1)，(a 3，a 2)，(b 1，a 2)，(b 2，a 2)，(b 1，a 3)，(b 2，a 3)，(b 2，b 1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，共6种，故所求概率为620＝310.]11．C12．D [根据不等式与方程之间的对应关系，可知1，t 是方程f (x ＋a )＝4x 的两个根．整理方程得(x ＋a )2＋4(x ＋a )＋4＝4x ，即x 2＋2ax ＋a 2＋4a ＋4＝0. 根据根与系数之间的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧1＋t ＝－2a ，①1×t ＝a 2＋4a ＋4，②由②得t ＝a 2＋4a ＋4，代入①中得1＋a 2＋4a ＋4＝－2a ，即a 2＋6a ＋5＝0，解得a ＝－1或a ＝－5.当a ＝－1时，t ＝－2a －1＝1，而由x ∈[1，t ]可知t >1，所以不满足题意；当a ＝－5时，t ＝－2a －1＝9. 所以实数t 的最大值为9.故选D.] 13．9解析易知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .因为函数f (x )在x ＝1处有极值，所以f ′(1)＝12－2a －2b ＝0，即a ＋b ＝6，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．14．－5解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝(－1)k C k 6x6－2k，由6－2k ＝0，得k ＝3,由6－2k ＝－1得k ＝72，故不存在含x －1的项，由6－2k ＝－2得k ＝4，∴T 4＝(－1)3C 36x 0＝－20，T 5＝(－1)4C 46x －2＝15x －2，∴(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 6的展开式中的常数项为1×(－20)＋x 2×(15x －2)＝－20＋15＝－5. 15．2或233解析设AB →与m 的夹角为θ，则AB →·m |m |＝6cos θ＝3，所以cos θ＝12.所以双曲线的渐近线与x 轴成60°角，可得ba＝ 3. 当λ>0时，e ＝c a ＝ 1＋b a 2＝2；当λ<0时，e ＝c b＝ 1＋a b2＝233.16．[－3,1]解析 x ⊗(x ＋1－a )>0⇒x2－x ＋1－a>0⇒xa ＋1－x>0⇒x x －a ＋<0，设A 为关于x 的不等式x ⊗(x ＋1－a )>0的解集，当A 为∅时，则a ＋1＝0即a ＝－1；当a ＋1>0即a >－1时，A ＝(0，a ＋1)⊆[－2,2]，则a ＋1≤2即a ≤1，所以－1<a ≤1；当a ＋1<0即a <－1时，A ＝(a ＋1,0)⊆[－2,2]，则a ＋1≥－2即a ≥－3，所以－3≤a <－1；综上可知－3≤a ≤1.。

【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题10 第47练转化与化归思想课件理

规律.
(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.
常
题型一正难则反的转化
题型二函数、方程、不等式之间的转化题型三主与次的转化
题型四以换元为手段的转化与化归
题型一正难则反的转化
例1 已知集合 A ＝ {x∈R|x2 － 4mx ＋ 2m ＋ 6 ＝ 0} ， B ＝
∴f(x)在(－∞，－ 2)和( 2，＋∞)上单调递减，在(－ 2， 2) 上单调递增.
∴f(－ 2)是极小值，f( 2)是极大值，②正确；易知③也正确.
答案 A
高考题型精练
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
3.(2014· 湖南)若0<x1<x2<1，则(
)
A.e x2 e x1 ln x2 ln x1 B.e x1 e x2 ln C. x2e x1e
2 a 2 2 当5<a<1 时，必有 2×6(2－a) >3a，
2 2 结合 <a<1 可解得 <a<2－ 2. 5 5
2 综上，知所求实数 a 的取值范围是 1－ 2 <a<2－ 2.
点评
解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数
的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、
不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不

2 1 a 2 因为当 0<a≤5时，3－6≥3a；
2 2 1 a 当 <a<1 时， a> －， 5 3 3 6
由对任意x1，x2，x3∈[1,2]，都有f(x1)＋f(x2)>f(x3)恒成立，

【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题3 第13练必考题型-导数与单调性课件理

－3x2＋6－ax＋a ＝， ex
因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.
－3x2＋6x 3x2 当 a＝0 时，f(x)＝ ex ，f′(x)＝， ex
3 3 故 f(1)＝，f′(1)＝， e e
3 3 从而 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－ e＝e(x－1)，化简得 3x－ey＝0.
常考题型精析
题型一利用导数求函数单调区间
题型二已知函数在某区间上的单调性求参数的值或取值范围
题型三与函数导数、单调性有关的图象问题
题型一利用导数求函数单调区间
求函数的单调区间的“两个”方法 (1)①确定函数y＝f(x)的定义域； ②求导数y′＝f′(x)； ③解不等式 f′(x)>0 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式 f′(x)<0 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
D.af(b)<bf(a)
高考题型精练
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解析令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由xf′(x)>－f(x)，得xf′(x)＋f(x)>0，即F′(x)>0，所以F(x)在R上为递增函数.
因为a>b，所以af(a)>bf(b).
答案 B
解析 x>0
fx 时 x ′<0，
D.(－∞，－2)∪(0,2)
fx ∴φ(x)＝ x 为减函数，
高考题型精练
又φ(2)＝0，
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【步步高通用理】届高三《考前三个月》专题复习篇【配套Word版文档】专题五第三讲

第三讲空间向量与立体几何1. 直线与平面､平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)(以下相同).(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.2. 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a,b所成的角).(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=|e·n| |e||n|.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,<m,n>即为所求二面角的平面角.②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示,二面角α-l-β,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,<n1,n2>=θ,则二面角α-l -β的大小为θ或π-θ.1. (2012·陕西)如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA =CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55 B.53 C.255D.35 答案 A解析不妨令CB =1,则CA =CC 1=2.可得O (0,0,0),B (0,0,1),C 1(0,2,0),A (2,0,0),B 1(0,2,1), ∴BC →1=(0,2,-1),AB →1=(-2,2,1),∴cos<BC →1,AB →1>=BC →1·AB →1|BC →1||AB →1|=4－15×9=15=55>0.∴BC →1与AB →1的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角,∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.2. (2013·辽宁)如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(1)求证:平面P AC ⊥平面PBC ;(2)若AB =2,AC =1,P A =1,求二面角C -PB -A 的余弦值. (1)证明由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC , 由P A ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得P A ⊥BC . 又P A ∩AC =A ,P A ⊂平面P AC ,AC ⊂平面P AC , 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)解方法一过C 作CM ∥AP ,则CM ⊥平面ABC .如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB ､CA ､CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.在Rt △ABC 中,因为AB =2,AC =1,所以BC = 3. 因为P A =1,所以A (0,1,0),B (3,0,0),P (0,1,1). 故C B →=(3,0,0),C P →=(0,1,1). 设平面BCP 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧C B →·n 1＝0，C P →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1=1,则n 1=(0,1,-1). 因为A P →=(0,0,1),A B →=(3,-1,0), 设平面ABP 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则⎩⎪⎨⎪⎧A P →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2=1,则n 2=(1,3,0).于是cos<n 1,n 2>=322=64.所以由题意可知二面角C -PB -A 的余弦值为64. 方法二过C 作CM ⊥AB 于M ,因为P A ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以P A ⊥CM ,又P A ∩AB =A ,故CM ⊥平面P AB .所以CM ⊥PB . 过M 作MN ⊥PB 于N ,连接NC , 所以PB ⊥面MNC ,所以CN ⊥PB , 所以∠CNM 为二面角C -PB -A 的平面角. 在Rt △ABC 中,由AB =2,AC =1,得BC =3,CM =32,BM =32,在Rt △P AB 中,由AB =2,P A =1,得PB = 5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP , 所以MN 1= 32 5,故MN =3510.又在Rt △CNM 中,CN =305, 故cos ∠CNM =64.所以二面角C -PB -A 的余弦值为64.题型一利用空间向量证明平行与垂直例1 如图所示,平面P AC ⊥平面ABC ,△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,E ､F ､O 分别为P A ､PB ､AC 的中点,AC =16,P A =PC =10.(1)设G 是OC 的中点,证明:FG ∥平面BOE ; (2)证明:在△ABO 内存在一点M ,使FM ⊥平面BOE .审题破题以O 点为原点,OB ､OC ､OP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法可求解.(1)证明如图所示,连接OP ,以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O —xyz ,则O (0,0,0),A (0,-8,0),B (8,0,0),C (0,8,0),P (0,0,6),E (0,-4,3),F (4,0,3),由题意得,G (0,4,0),因OB →=(8,0,0),OE →=(0,-4,3),因此平面BOE 的一个法向量n =(0,3,4),FG →=(-4,4,-3),得n ·FG →=0,又直线FG 不在平面BOE 内,因此有FG ∥平面BOE . (2)设点M 的坐标为(x 0,y 0,0), 则FM →=(x 0-4,y 0,-3),因为FM ⊥平面BOE ,所以有FM →∥n ,因此有x 0=4,y 0=-94,即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，－94，0, 在平面直角坐标系xOy 中,△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0y <0x －y <8,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以,在△ABO 内存在一点M ,使FM ⊥平面BOE .反思归纳 (1)空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路:一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用空间向量法来论证.(2)用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证,直接计算就行了,把几何问题代数化.尤其是在正方体､长方体､直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷,但是向量法要求计算必须准确无误.变式训练1 如图,在直三棱柱ADE —BCF 中,面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直,M 为AB 的中点,O 为DF 的中点.运用向量方法证明:(1)OM ∥平面BCF ; (2)平面MDF ⊥平面EFCD .证明 (1)由题意,AB ,AD ,AE 两两垂直,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),F (1,0,1),M ⎝⎛⎭⎫12，0，0,O ⎝⎛⎭⎫12，12，12.(1)OM →=⎝⎛⎭⎫0，－12，－12,BA →=(-1,0,0), ∴OM →·BA →=0, ∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱,∴AB ⊥平面BCF ,∴BA →是平面BCF 的一个法向量, 且OM ⊄平面BCF ,∴OM ∥平面BCF .(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2). ∵DF →=(1,-1,1),DM →=⎝⎛⎭⎫12，－1，0,DC →=(1,0,0), 由n 1·DF →=n 1·DM →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，令x 1=1,则n 1=⎝⎛⎭⎫1，12，－12. 同理可得n 2=(0,1,1).∵n 1·n 2=0,∴平面MDF ⊥平面EFCD . 题型二利用向量求空间角例2 如图,三棱锥P -ABC 中,PB ⊥平面ABC .PB =BC =CA =4,∠BCA =90°,E 为PC 的中点.(1)求证:BE ⊥平面P AC ;(2)求二面角E -AB -C 的余弦值.审题破题本题的关键是在平面ABC 内找到两条互相垂直的直线,可以过点B 作BC 的垂线BT ,分别以BC ,BT ,BP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. (1)证明⎭⎪⎬⎪⎫PB ⊥面ABC ⇒PB ⊥AC BC ⊥AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥面PBC ⇒AC ⊥BE PB ＝BC ，E 为中点⇒BE ⊥PC⇒BE ⊥面P AC .(2)解如图,在平面ABC 内过点B 作BT ⊥BC ,分别以BC ,BT ,BP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (4,0,0),A (4,4,0),P (0,0,4),E (2,0,2),则BA →=(4,4,0),BE →=(2,0,2),平面ABC 的法向量为n 1=(0,0,1),设平面ABE 的法向量为n 2=(x ,y ,z ).则BA →·n 2=0,BE →·n 2=0,即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝02x ＋2z ＝0.令z =1,得x =-1,y =1,即n 2=(-1,1,1).设二面角E -AB -C 为θ,则cos θ=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=33.反思归纳利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:(1)建立恰当的空间直角坐标系.(2)求出相关点的坐标.(3)写出向量坐标.(4)结合公式进行论证､计算.(5)转化为几何结论.变式训练 2 (2012·课标全国)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =12AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD .(1)证明:DC 1⊥BC ;(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小.(1)证明由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC =DC 1.又AC =12AA 1,可得DC 21+DC 2=CC 21,所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ,CD ∩BD =D ,所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ,所以DC 1⊥BC .(2)解由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1,则BC ⊥平面ACC 1A 1,所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,CA →的方向为x 轴的正方向,|CA →|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz . 由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2). 则A 1D →=(0,0,-1),BD →=(1,-1,1),DC 1→=(-1,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n =(1,1,0).同理,设m =(x ,y ,z )是平面C 1BD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m =(1,2,1).从而cos <n ,m >=n ·m |n |·|m |=32.故二面角A 1-BD -C 1的大小为30°. 题型三利用向量求空间距离例3 如图所示,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,BA =BC =2,BA →·BC →=0,异面直线A 1B 与AC 成60°的角,点O ､E 分别是棱AC 和BB 1的中点,点F 是棱B 1C 1上的动点.(1)求证:A 1E ⊥OF ;(2)求点E 到面AB 1C 的距离; (3)求二面角B 1—A 1C —C 1的大小.审题破题在已知三棱柱中,直线BA ,BC ,BB 1两两垂直,已有空间直角坐标系的框架.(1)证明设棱柱的高为h ,以B 为坐标原点,以BA ､BC ､BB 1所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),O (1,1,0),A 1(2,0,h ),∴BA 1→=(2,0,h ),CA →=(2,-2,0),∴cos<BA 1→,CA →>=BA 1→·CA →|BA 1→||CA →|=422×4＋h 2,即cos 60°=12=422×4＋h 2,解得h =2.∴E (0,0,1),A 1(2,0,2),∴A 1E →=(-2,0,-1).∵F 是B 1C 1上的动点,∴设F (0,y,2),∴OF →=(-1,y -1,2), ∴A 1E →·OF →=(-2,0,-1)·(-1,y -1,2)=0, ∴A 1E →⊥OF →, 即A 1E ⊥OF .(2)解易求面AB 1C 的法向量为n =(1,1,1), EA →=(2,0,-1),所以E 到面AB 1C 的距离为d =|n ·EA →||n |=13=33.(3)解 ∵平面A 1CC 1的一个法向量是BO →=(1,1,0). 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ),A 1C →=(-2,2,-2),A 1B 1→=(-2,0,0),则n ·A 1C →=(x ,y ,z )·(-2,2,-2) =-2x +2y -2z =0, ①n ·A 1B 1→=(x ,y ,z )·(-2,0,0)=-2x =0,∴x =0.②代入①并令z =1得y =1,∴n =(0,1,1),∴cos<n ,BO →>=n ·BO →|n |·|BO →|=12×2=12,∴<n ,BO →>=60°,即二面角B 1—A 1C —C 1的大小为60°.反思归纳求点面距的常用方法:①直接法:即寻找或作出与该距离相对应的垂线段,此法的关键是确定垂足的位置,然后借助于直角三角形求解;②等体积法:把所求的距离转化为三棱锥的高,再通过变换三棱锥的顶点,由同一棱锥的体积是不变的,求出相应的距离. 变式训练3 如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,平面PBC ⊥底面ABCD ,且PB =PC = 5.(1)求证:AB ⊥CP ;(2)求点B 到平面P AD 的距离;(3)设面P AD 与面PBC 的交线为l ,求二面角A -l -B 的大小.(1)证明以BC 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (1,0,0),A (1,-2,0),C (-1,0,0),P (0,0,2),D (-1,-2,0). AB →=(0,2,0),CP →=(1,0,2),则有AB →·CP →=0,∴AB →⊥CP →. 即AB ⊥CP .(2)解设平面P AD 的法向量为n =(x ,y ,z ), PD →=(-1,-2,-2),AD →=(-2,0,0),则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·AD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y －2z ＝0，－2x ＝0.则x =0,令z =1=-y ,得n =(0,-1,1),又BP →=(-1,0,2),∴点B 到平面P AD 的距离d =|BP →·n ||n |=|0＋0＋2|2= 2.(3)解由(2)知平面P AD 的法向量n =(0,-1,1), 而平面PBC ⊥平面ABCD ,∴平面PBC 的法向量m =(0,1,0). ∴二面角A -l -B 的余弦值为|m ·n ||m ||n |=22.由图形知二面角A -l -B 为锐二面角, ∴二面角A -l -B 的大小为45°.典例 (12分)如图,在三棱锥P —ABC 中,AC =BC =2,∠ACB =90°,AP =BP =AB ,PC ⊥AC ,点D 为BC 的中点.(1)求二面角A —PD —B 的余弦值;(2)在直线AB 上是否存在点M ,使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为16,若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 规范解答解 (1)∵AC =BC ,P A =PB ,PC =PC ,∴△PCA ≌△PCB , ∴∠PCA =∠PCB , ∵PC ⊥AC ,∴PC ⊥CB , 又AC ∩CB =C ,∴PC ⊥平面ACB ,且PC ,CA ,CB 两两垂直,[2分]故以C 为坐标原点,分别以CB ,CA ,CP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (0,2,0),D (1,0,0),P (0,0,2),∴AD →=(1,-2,0),PD →=(1,0,-2),[3分]设平面P AD 的一个法向量n =(x ,y ,z ),∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0n ·PD →＝0,即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2z ＝0,∴取n =(2,1,1),平面PDB 的一个法向量为CA →=(0,2,0),[5分]∴cos<n ,CA →>=66,设二面角A —PD —B 的平面角为θ,且θ为钝角,∴cos θ=-66,∴二面角A —PD —B 的余弦值为-66.[6分] (2)方法一存在,M 是AB 的中点或A 是MB 的中点.[7分]设M (x,2-x,0) (x ∈R ),∴PM →=(x,2-x ,-2),[8分]∴|cos<PM →,n >|=|x |x 2＋(2－x )2＋4·6=16,解得x =1或x =-2,∴M (1,1,0)或M (-2,4,0),[10分]∴在直线AB 上存在点M ,且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点,使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为16. [12分]方法二存在,M 是AB 的中点或A 是MB 的中点.[7分]设AM →=λAB →, 则AM →=λ(2,-2,0)=(2λ,-2λ,0) (λ∈R ), ∴PM →=P A →+AM →=(2λ,2-2λ,-2),[8分]∴|cos<PM →,n >|=|2λ|(2λ)2＋(2－2λ)2＋4·6=16.解得λ=12或λ=-1.[10分]∴M 是AB 的中点或A 是MB 的中点.∴在直线AB 上存在点M ,且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点,使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为16. [12分]评分细则 (1)没有指明CA ､CB ､CD 两两垂直,直接建系的扣1分;(2)求出平面的法向量给1分;法向量写成其他形式不扣分;(3)二面角余弦值写成66的扣1分;(4)第(2)问最后不写结论的扣1分.阅卷老师提醒 (1)利用空间向量求二面角的平面角时,应注意观察二面角是锐角还是钝角.如果两个平面的法向量分别是m ,n ,两个平面所成的锐二面角的大小为θ,则cosθ=|cos<m ,n >|=|m ·n ||m ||n |.在一般的二面角大小计算中要根据这个二面角的实际大小,确定其余弦值的正､负号的选取. (2)探索性问题一定要写出结论.1. 在空间中,已知AB →=(2,4,0),DC →=(-1,3,0),则异面直线AB 与DC 所成角θ的大小为( )A.45°B.90°C.120°D.135°答案 A解析 ∵AB →=(2,4,0),DC →=(-1,3,0),cos<AB →,DC →>=AB →·DC →|AB →||DC →|=12－225·10=22.∵<AB →,DC →>∈(0°,90°],∴<AB →,DC →>=45°. 故选A.2. 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB =AA 1,则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A.22B.155C.64D.63答案 C解析建立如图所示的空间直角坐标系,设AB =2,则C 1(3,1,0),A (0,0,2),AC 1→=(3,1,-2),平面BB 1C 1C 的一个法向量为n =(1,0,0),所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为|AC 1→·n ||AC 1→||n |=38=64.故选C. 3.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,M ､N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =23a ,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定答案 B解析分别以C1B 1､C 1D 1､C 1C 所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.∵A 1M =AN =23a ,∴M ⎝⎛⎭⎫a ，23a ，a 3, N ⎝⎛⎭⎫23a ，23a ，a ,∴MN →=⎝⎛⎭⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0,0,0),D 1(0,a,0),∴C 1D 1→=(0,a,0), ∴MN →·C 1D 1→=0,∴MN →⊥C 1D 1→.∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量,且MN ⊄平面BB 1C 1C ,∴MN ∥平面BB 1C 1C .4. 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C解析取BC 中点E ,连接AE ,则AE ⊥平面BCC 1B 1,故∠ADE 为直线AD与平面BB 1C 1C 所成的角.设各棱长为a ,则AE =32a ,DE =12a .∴tan ∠ADE = 3. ∴∠ADE =60°.5. 在一直角坐标系中已知A (-1,6),B (3,-8),现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角,则折叠后A ､B 两点间的距离为________. 答案 217解析如图为折叠后的图形,其中作AC ⊥CD ,BD ⊥CD , 则AC =6,BD =8,CD =4,两异面直线AC ､BD 所成的角为60°,故由AB →=AC →+CD →+DB →, 得|AB →|2=|AC →+CD →+DB →|2=68, ∴|AB →|=217.6. 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为C 1D 1的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________.答案 23解析在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC ,所以AE 与BC 所成的角即为AD 与AE 所成的角,即是∠EAD .连接DE ,在Rt △ADE 中,设AD =a ,则DE =52a ,tan ∠EAD =DEAD=52,cos ∠EAD =23,所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23. 专题限时规范训练一､选择题1. 已知点G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若OA →+OB →+OC →=λOG →,则λ的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 OA →+OB →+OC →=λOG →⇔OG →=1λOA →+1λOB →+1λOC →,具体表示出向量OG →后,比较即可.如图所示.OG →=OA →+AG →=OA →+23AE →=OA →+13(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →-OA →)+(OC →-OA →)]=OA →+13OB →+13OC →-23OA →=13OB →+13OC →+13OA → =1λOA →+1λOB →+1λOC →, 所以λ=3.2. 若不同直线l 1,l 2的方向向量分别为μ,ν,则下列直线l 1,l 2中既不平行也不垂直的是( )A.μ=(1,2,-1),ν=(0,2,4)B.μ=(3,0,-1),ν=(0,0,2)C.μ=(0,2,-3),ν=(0,-2,3)D.μ=(1,6,0),ν=(0,0,-4) 答案 B解析 A 项中μ·ν=0+4-4=0,∴l 1⊥l 2; C 项中μ=-ν,∴μ,ν共线,故l 1∥l 2; D 项中,μ·ν=0+0+0=0,∴l 1⊥l 2,故选B.3. 在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥平面ABCD ,AB =PD =a .点E 为侧棱PC 的中点,又作DF ⊥PB 交PB 于点F .则PB 与平面EFD 所成角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 D解析建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ,D 为坐标原点.则P (0,0,a ),B (a ,a,0),PB →=(a ,a ,-a ),又DE →=⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2,PB →·DE →=0+a 22-a 22=0,所以PB ⊥DE ,由已知DF ⊥PB ,且DF ∩DE =D ,所以PB ⊥平面EFD ,所以PB 与平面EFD 所成角为90°.4. 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,AA 1=2,AC =BC =1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是( )A.63B.66C.33D.22答案 B解析以C 为坐标原点,CA ､CB ､CC 1所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系,A 1(1,0,2),B (0,1,0),A (1,0,0),C (0,0,0), 则A 1B →=(-1,1,-2), AC →=(-1,0,0),cos<A 1B →,AC →>=A 1B →·AC →|A 1B →||AC →|=11＋1＋4=66. 5. 已知a =(1,1,0),b =(-1,0,3),且k a +b 与2a -b 垂直,则k 的值为( )A.125B.1C.75D.2 答案 A解析 k a +b =(k -1,k,3),2a -b =(3,2,-3),依题意,得:(k -1)×3+k ×2+3×(-3)=0,解得k =125.6. 如图,过正方形ABCD 的顶点A ,引P A ⊥平面ABCD .若P A =BA ,则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 B解析建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1=(0,1,0),n 2=(0,1,1),故平面ABP 与平面CDP 所成二面角(锐角)的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|=22,故所求的二面角的大小是45°.7. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC 1上且AM →=12MC 1→,N 为B 1B 的中点,则|MN →|为 ( )A.216aB.66aC.156aD.153a答案 A解析以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则A (a,0,0),C 1(0,a ,a ),N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a 2. 设M (x ,y ,z ).∵点M 在AC 1上且AM →=12MC 1→,∴(x -a ,y ,z )=12(-x ,a -y ,a -z )∴x =23a ,y =a 3,z =a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3, ∴|MN →|= ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32=216a . 8. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,则下面结论错误的为 ( )A.AC ⊥BDB.△ACD 是等边三角形C.AB 与平面BCD 所成的角为60°D.AB 与CD 所成的角为60° 答案 C解析取BD 中点O ,连接AO ､CO ,则AO ⊥BD ,CO ⊥BD , ∴BD ⊥平面AOC ,∴AC ⊥BD ,又AC =2AO =AD =CD , ∴△ACD 是等边三角形,而∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角,应为45°. 又AC →=AB →+BD →+DC →(设AB =a ),则a 2=a 2+2a 2+a 2+2·a ·2a ·(-22)+2a ·2a ·(-22)+2a 2cos<AB →,DC →>,∴cos<AB →,DC →>=12,∴AB 与CD 所成的角为60°.二､填空题9. 到正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ､CC 1､A 1D 1所在直线的距离相等的点:①有且只有1个;②有且只有2个;③有且只有3个;④有无数个.其中正确答案的序号是________. 答案 ④解析注意到正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 上的每一点到直线AB ,CC 1,A 1D 1的距离都相等,因此到ABCD -A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ,CC 1,A 1D 1所在直线距离相等的点有无数个,其中正确答案的序号是④.10.如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E ､F 分别是棱AB ､BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是________.答案 60°解析以BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB 1为z 轴,建立空间直角坐标系. 设AB =BC =AA 1=2,则C 1(2,0,2),E (0,1,0),F (0,0,1),则EF →=(0,-1,1),BC 1→=(2,0,2), ∴EF →·BC 1→=2,∴cos<EF →,BC 1→>=22×22=12,∴EF 和BC 1所成的角为60°.11.在四面体P -ABC 中,P A ,PB ,PC 两两垂直,设P A =PB =PC =a ,则点P 到平面ABC 的距离为________.答案 33a解析根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P —xyz , 则P (0,0,0),A (a,0,0),B (0,a,0),C (0,0,a ).过点P 作PH ⊥平面ABC ,交平面ABC 于点H ,则PH 的长即为点 P 到平面ABC 的距离.∵P A =PB =PC ,∴H 为△ABC 的外心.又∵△ABC 为正三角形,∴H 为△ABC 的重心,可得H 点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，a 3. ∴PH =⎝⎛⎭⎫0－a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32=33a .12.底面是正方形的四棱锥A -BCDE 中,AE ⊥底面BCDE ,且AE =CD =a ,G ､H 分别是BE ､ED 的中点,则GH 到平面ABD 的距离是________.答案 3a6解析建立如图所示的坐标系,则有A (0,0,a ),B (a,0,0),G ⎝⎛⎭⎫a2，0，0,D (0,a,0). 设平面ABD 的法向量为n =(x ,y ,z ). 由题意知,GH ∥BD ,则有GH ∥平面ABD ,∴GH 到平面ABD 的距离等于G 点到平面ABD 的距离,设为d . ∵AB →=(a,0,-a ),BD →=(-a ,a,0),GB →=⎝⎛⎭⎫a2，0，0, 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0，∴n =(1,1,1).∴d =|GB →·n ||n |=⎪⎪⎪⎪a 23=a 23=3a 6.三､解答题13.如图所示,已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D ､E ､F 分别为B 1A ､C 1C ､BC 的中点.求证:(1)DE ∥平面ABC ; (2)B 1F ⊥平面AEF .证明如图建立空间直角坐标系A —xyz ,令AB =AA 1=4,则A (0,0,0),E (0,4,2),F (2,2,0),B (4,0,0),B 1(4,0,4). (1)取AB 中点为N ,连接CN , 则N (2,0,0),C (0,4,0),D (2,0,2), ∴DE →=(-2,4,0), NC →=(-2,4,0), ∴DE →=NC →,∴DE ∥NC ,又∵NC ⊂平面ABC , DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC . (2)B 1F →=(-2,2,-4),EF →=(2,-2,-2),AF →=(2,2,0). B 1F →·EF →=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B 1F →·AF →=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ∴B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →,即B 1F ⊥EF ,B 1F ⊥AF , 又∵AF ∩EF =F ,∴B 1F ⊥平面AEF .14.(2013·重庆)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,BC =CD =2,AC =4,∠ACB =∠ACD =π3,F为PC 的中点,AF ⊥PB .(1)求P A 的长;(2)求二面角B -AF -D 的正弦值. 解 (1)如图,连接BD 交AC 于点O ,因为BC =CD ,即△BCD 为等腰三角形,又AC 平分∠BCD ,故AC ⊥BD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,AP →的方向分别为x 轴,y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O -xyz ,则OC =CD cos π3=1,而AC =4,得AO =AC -OC =3,又OD =CD sin π3= 3.故A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0). 因为P A ⊥底面ABCD ,可设P (0,-3,z ), 因为F 为PC 的中点,所以F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z2. 又AF →=⎝⎛⎭⎫0，2，z 2,PB →=(3,3,-z ), 因为AF ⊥PB ,故AF →·PB →=0,即6-z22=0,z =23(舍去-23),所以|P A →|=23,所以P A 的长为2 3.(2)由(1)知,AD →=(-3,3,0),AB →=(3,3,0),AF →=(0,2,3).设平面F AD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),平面F AB 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2).由n 1·AD →=0,n 1·AF →=0得⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1=(3,3,-2). 由n 2·AB →=0,n 2·AF →=0得⎩⎨⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2=(3,-3,2). 从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=18.故二面角B -AF -D 的正弦值为378.。

高考数学(理)自由复习步步高系列10.docx

高中数学学习材料唐玲出品有人曾做过摸底调查，对20个因素在高考成功中的作用进行排名，结果考场心态、考前心态、考试策略技巧、临场发挥，分别排在第一、第二、第五、第七位．确实，高考成功主要靠二个因素：一靠高考硬件，平时掌握知识的程度，学习能力；二靠高考软件，考前的心态，考中的心态．实力是基础，发挥是关键，它是高考成功最关键、最主要、最基础的因素．一个考生的失利可能失在知识的掌握上，也可能失在答卷的策略和技巧上，还可能失在心态上，这其中的任何环节都是成功的必要保证，不可忽视．一、心态策略（一）考前心态高考成功与否，确实关系到今后的路将如何走．但它并不能决定考生一生的前途和幸福，人一生中奋进的机会很多，高考只不过是其中之一，俗话说得好：条条道路通罗马．即使一时落榜，也可另走他路成才，要做到一颗红心，多种准备，千万不要将生命的赌注全部押在高考这一颗法码上，致使心理压力过大．唯有轻装上阵，才能发挥水平．在临考的前几天，考生往往随着较大的心理压力，表现出心神不宁、忐忑不安等种种焦躁情绪．更有的考生会因为恐惧，抓住最后几天死拼，搞得疲惫不堪．殊不知这些都是临考大忌．心理学的研究表明，一个人的考试焦虑水平和其思维效率成倒“U”形．因此，考生应利用临考前的一段时间调整出情绪稳定、精力充沛、充满自信的身心状态．具体地说，临考前，考生应把自己从繁重的学习中解放出来，采取各种方法放松身心，如增加轻度的体育锻炼，拣起自己喜欢的、不耗时间的爱好，吃好、睡好，使自己的精神像“洗”过一样崭新，以便从容地走进考场．这期间，考生可以根据自己的实际情况进行一些自信训练、放松训练，下面就介绍一种排除考试焦虑的常用方法——系统脱敏训练．训练程序如下：考生在睡觉前放松的时候，在大脑中想象自己在考试中的全过程，以及考场上可能出现的突发情况，如想象自己进考场时十分紧张，还遇到了不会做的难题，而且考试时间也不够用．注意，将考场上的惊慌想象得越细致越具体越好．临考前如能每天坚持这种训练，你就会发现自己并不那么恐惧考试了，而且考试应变能力也会有所提高．越是临近高考，心态的调节越重要，因此可以说，调节好心态是高考成功的一半．如何调整好心态，概括为16个字：强化信心，优化情绪，进入状态，充分发挥．（二）考中心态高考是紧张、激烈的脑力劳动，需要考生全身心投入，且处于最佳状态，以保证每分钟都能积极思维．考试开始前，考生应像运动员比赛前先做准备活动一样，摒弃与高考无关的一切杂念，排除种种可能在考场中分散注意力的因素，适当热身，提前进入“角色”．考试中要克服六种不良心态．1、偏急心态．考试时，有些考生为了抢时间，刚拿到试题，情绪急躁，没有审清题设条件，慌忙答题，这种心态称作偏急心态．正确的做法是：拿到试题，先大致浏览一下，做到心中有数．每做一题，不要急于动手，先看清题设条件，挖掘隐晦信息．根据条件，设计出先求什么，后求什么，再求什么，使解题有顺序地进行．2、犹豫心态．一接触到试题，好象有不少思路，但对每一种思路又感到模糊朦胧，不知如何是好，犹豫不定，迟迟不下笔，此谓犹豫心态．正确做法：仔细分析题目，选取自己感到比较适合的思路，进行解答操作．3、烦躁心态．经过几次的尝试，仍不得其解，心情烦躁不安，再尝试，再失败，烦躁更甚．这种烦躁心态，堵塞了思路，失去了灵感，妨碍了能力及水平的发挥．正确做法：静下心，不急躁，将这个题目打上记号暂时放一下，继续做下面的题目．4、固执心态．考试时，久攻不下的试题，又不愿意放弃，又不愿意转换思考角度，苦思冥想，徒然浪心态．正确做法：告诫自己必须冷静，不要被胜利冲昏头脑．（三）考后心态——糊涂孤独出考场每考完一科，大家都会叽叽喳喳议论答案，当发现自己做得不对时就很沮丧、很难过，根本没有心情复习下一门．和同学对答案是考试结束后的大忌，是一种破坏性的行为，只会造成更加的慌乱、怀疑、沮丧．因此，考生走出考场后应做到两点：一是越糊涂越好．不要去回想考试内容，不要回忆自己的答案，更不要翻书去验证．只要出了考场，就要坚决“忘掉一切”．二是尽量避免与同学同行．因为同学在一起，总免不了要议论考试内容，这势必引起自己对考试的回想和怀疑，从而引起情绪波动．总之，出了考场，考生就应把全部注意力迅速转移到下一个科目，为下一场考试思维高潮的出现打好基础．二、答题策略（一）评卷情况评卷坚持三个原则：1．阅卷力求公平；2．标准把握基本到位；3．给分相对宽松几种情况：1．如果一个大题由几个小题组成，即使前面小题错了或未做，后面小题做对，后边分数全给；2．前面的错引起后面结果出错，但方法用对，则后边给一半分；3．一题中给分点不平衡；4．有能力者分数不会低．（不追求综合题解题的格式规范与严谨）特别忠告：1．写新再删旧；2．有比留空好；3．用好草稿纸；4．得分用时率（二）时间安排走进考场，大多数考生都会紧张的，这时要注意平衡心绪，首先，做一次深呼吸，然后告诫自己：“欲速则不达”，“不要着急，按时交卷就行了”；然后通过浏览全卷，大致了解试题的类型、数量、分值和试题的难易，进而确定题目相应的作答时间．分配时间要服从于考试成功的目的，基本原则就是保证在能够得分的地方不丢分，不容易得分的地方争取尽可能多得分．在具体操作上，要求考生做到“量菜吃饭”，按“分数时间比”实用原则，分值大的题目多花些时间，分值小的题目少花一些时间；一看就会做的题目先花时间，需要考虑一下才能解答的题目放在第二梯队完成；难度最大的或从来没有见到过的题目，放在最后攻关．记住：考场上的时间是“一寸光阴一寸金”，你必须精打细算，其核心是让时间为你高考得分最大值这一目的服务．时间安排大致可以是这样的：Ⅰ卷30分钟左右，最多不要超过40分．（三）小题战术：小题指的是选择题与填空题，先谈选择题的处理．解选择题的基本原则：小题不要大做．解选择题的的基本策略：1.能定性判断的不要定量计算．2.能用间接法的不要用直接法．3.能用特殊方法的不要用常规方法．4.能归筛选排除的用筛选排除．高考数学应试答题技巧一、考前准备1．调适心理，增强信心（1）合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考；（2）合理安排饮食，提高睡眠质量；（3）保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示；（4）静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试。

【步步高】(全国通用)2016版高考数学考前三个月复习冲刺专题2 第3练“三个二次”的转化与应用课件理

答案 D
题型三方程与不等式的转化
例3 已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间 (1,2)内，求m的取值范围；解由条件，抛物线f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，
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3 3 9 2 解析 m＝x － x＝x－－， 2 4 16 x∈[－1,1]. 5 当 x＝－1 时，m 取最大值为， 2 3 9 当 x＝时，m 取最小值为－， 4 16 9 5 ∴－ ≤m≤ . 答案 D 16 2
调递增，则f(2－x)>0的解集为(
A.{x|x>2或x<－2}
)
B.{x|－2<x<2}
C.{x|x<0或x>4}
∵f(x)是偶函数， ∴b－2a＝0，即b＝2a.
D.{x|0<x<4}
解析 f(x)＝ax2＋(b－2a)x－2b.
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∴f(x)＝ax2－4a，又f(2)＝0，x∈(0，＋∞)时，f(x)为增函数.
方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a≠1.
1 6 2 13 (2)当 f(3)＝0 时，a＝－，此时 f(x)＝x － x－ . 5 5 5 6 2 2 13 令 f(x)＝0，即 x － x－＝0，解得 x＝－或 x＝3. 5 5 5
1 方程在[ －1,3] 上有两个实数根，不合题意，故 a≠－ . 5 1 综上所述，a<－或 a>1. 5

2016版步步高考前三个月复习数学理科(全国通用) 第三篇 回扣10

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 专题1 第2练 用好逻辑用语、突破充要条件 理

【步步高】(全国通用)2016版高考数学 考前三个月复习冲刺 压轴大题突破练1 直线与圆锥曲线(一 )理