辽宁省辽南协作校2017届高三一模拟考试数学(理)试题(原卷版)附答案可编辑精品)-物理小金刚系列

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2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷(理科)

2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅ D．M⊈N且N⊈M2．（5分）若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣ D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+πC．4+πD．4+π+π4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x34 5 6y 2.5t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．2606．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．1349．（5分）已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B．C．D．11．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为．14．（5分）设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则=．15．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=0.6826，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=0.9544，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=0.9974．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C 的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2017•锦州一模）集合M={x|x=3n，n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N=∅ D．M⊈N且N⊈M【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．（5分）（2017•锦州一模）若复数z满足i•z=（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣ D．【解答】解：由i•z=（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．（5分）（2017•锦州一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2 B．4+πC．4+πD．4+π+π【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S=2××2×2+×π×2×=4+π，故选：C．4．（5分）（2017•锦州一模）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x34 5 6y 2.5t 4 4.5 A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【解答】解：=（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C5．（5分）（2017•锦州一模）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11=20，则S13=（）A．60 B．130 C．160 D．260【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3=a3，即a3=0又∵a11=20，∴d=S13=•（a1+a13）=•（a3+a11）=•20=130故选B．6．（5分）（2016•四川）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A7．（5分）（2017•锦州一模）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，否；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i＞2017，否；i=4，A=1﹣=，…；i=2017=3×672+1，A=1﹣=，i＞2017，否；i=2018=3×672+2，A=1﹣2=﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A=﹣1．故选：C．8．（5分）（2017•锦州一模）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866 B．500 C．300 D．134【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．（5分）（2017•锦州一模）已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（）A．4 B．3 C．2 D．【解答】解：∵f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣=sin（2x+）﹣，把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]﹣=sin2x ﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g（x）=sin2x﹣+2=sin2x+的图象．若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=α对称，∴2α=kπ+，求得α=+，k∈z，故可取α=，∴g（α+）+g（）=sin（+）++sin+=4，故选：A．10．（5分）（2017•锦州一模）设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（）A．6 B．C．D．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b=3，∴a+b﹣2=1，∴=（）（a+b﹣2）=2+1++≥3+2，当且仅当a=（b ﹣2）时取等号，即b=1+，a=2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D11．（5分）（2017•锦州一模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y=x，渐近线为l2方程y=﹣x，则设P点坐标（x，x），则直线PF1的斜率k==，直线PF2的斜率k==，由l2⊥PF1，则×（﹣）=﹣1，=1，①l2∥PF2，则=﹣，解得：x=，②由①②整理得：=3，由双曲线的离心率e===2，∴双曲线的离心率2，故选A．12．（5分）（2017•锦州一模）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m ﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）=x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）=0，令g（x）=f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2017•锦州一模）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为﹣12．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3表示3个因式（x2﹣x﹣2）的积，故其中一个因式选﹣x，其余的2个因式都取﹣2，即可得到含x的项，故含x项的系数为C31•（﹣2）×（﹣2）=﹣12．故答案为：﹣12．14．（5分）（2017•锦州一模）设抛物线x2=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则=7．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y=﹣0，5，过A、B、P 作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|=2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|3﹣（﹣0.5）|=7，故答案为：715．（5分）（2017•锦州一模）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r=，所以点O到平面ABC的距离d=，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d=2，此棱锥的体积为V==，故答案为：．16．（5分）（2017•锦州一模）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）=0；当n为奇数时，f（3n）=﹣=2×，∴S100=2（30+31+…+349）==350﹣1．故答案为：350﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2017•锦州一模）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．【解答】解：（1）由图象知A=1，，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，根据正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA．∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=，即B=∴A+C=，即那么：，故得．18．（12分）（2017•锦州一模）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，ς2），则P（μ﹣ς＜X＜μ+ς）=0.6826，P（μ﹣2ς＜X＜μ+2ς）=0.9544，P（μ﹣3ς＜X＜μ+3ς）=0.9974．【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4=168.72，∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4=10．（2）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）=0.9974，∴P（ξ≥180）=（1﹣0.9974）=0.0013，∵0.0013×100 000=130．∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴E（ξ）=0×+1×+2×=．19．（12分）（2017•锦州一模）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB=2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面PAB的法向量为，则，，得，，取x=1，得y=﹣1，z=1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s=0，，取r=1，则t=1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．（12分）（2017•锦州一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ=4，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y=c时，|MN|=|x1﹣x2|=，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|=c|MN|=，又∵，解得b2=1，a2=4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m=0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m=0时，存在实数λ，使得+λ=4，当m≠0时，由+λ=4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ=4，⇒λ=3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4=0，由已知得△=4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2=，x1x2=．由得x1=﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2=0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4=0显然m2=1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．（12分）（2017•锦州一模）已知m＞0，设函数f（x）=e mx﹣lnx﹣2．（1）若m=1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）=0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【解答】证明：（1）当m=1时，f（x）=e x﹣lnx﹣2，f′（x）=e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）=0；（2）f′（x）=me mx﹣，f″（x）=＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）=m（），由（1）得，存在唯一实数mx0=t∈（），使得f（x0）=0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）=e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t=﹣lnt，∴f（x0）=．设h（t）=，当t∈（）时，h′（t）=＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）=h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•锦州一模）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2=3，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2=0，由ρ＞0解得ρ=2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ=6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|=|ρB﹣ρA|=4．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•锦州一模）已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）=9，可得x=﹣5或x=4，如图所示，函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为=28．参与本试卷答题和审题的老师有：炫晨；sxs123；豫汝王世崇；maths；742048；caoqz；whgcn；铭灏2016；陈高数；沂蒙松；左杰；zhczcb；qiss；zlzhan；lcb001（排名不分先后）菁优网2017年7月5日。

辽宁省葫芦岛市普通协作体2017届高三12月月考理数试卷含答案

2016—2017学年度上学期高三12月联考试题高三数学（理科）试题时间:120分钟满分:150分一．选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{|(3)0}A x Z x x =∈-≤，{|ln 1}B x x =<,则AB =（）A ．{0,1,2}B ．{1,2,3}C ．{1,2}D ．{2,3}2. 设i 是虚数单位，复数z 满足()(12)|34|z i i i +-=+，则在复平面内,z 的共轭复数z 所对应的点的坐标为（）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-- 3. 已知向量(1,)(3,2)a m b =-，=，且|||2|a b a =+，则m = （ )A.8- B 。

6- C 。

6 D 。

84. 双曲线22212x y -=的渐近线与圆222210x y ay a +++-=相切，则正实数a 的值为（）A 52B 。

5 C.174D.175. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入。

若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是( ) (参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=,lg 20.30=）A ．2018年B ．2019年 C. 2020年 D ．2021年6。

若将函数y =2sin 2x 的图象向右平移π12个单位长度，则平移后图象的对称中心为（）A.))(0,62(Z k k ∈-ππ B. ))(0,62(Z k k ∈+ππC 。

))(0,122(Z k k ∈-ππ D.))(0,122(Z k k ∈+ππ 7. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积是（）正视图侧视图俯视图 A 。

624+ B.64+C.224+D.24+8。

辽宁省2017届高三上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案

2017届辽宁省重点高中校高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．设为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，所以的共轭复数为，故选B.2．1. 设集合，则的元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，，∴，∴的元素的个数为个，故选D.3．1. 设向量满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,∴，故选A.4．1. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A. 2015年前三个季度中国累计比较2014年同期增速有上升的趋势B. 相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对的贡献率明显增加C. 相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对的贡献率明显增加D. 相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对的贡献率明显增加【答案】B【解析】通过图形可以看出，最后三个条形中，白色条形所占的比重明显比前四个条形所占比重要大，即相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对的贡献率明显增加，故选B.5．1. 的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】展开式的通项为，令，则，∴的展开式中常数项为，故选A.6．1. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积，高，故体积，故选C.7．1. 抛物线上有两点到焦点的距离之和为，则到轴的距离之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点，准线方程，设，∴∴，∴到轴的距离之和为，故选D.点睛：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，注重对基础的考查，属于中档题；根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出到轴的距离之和.8．1. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得；，不满足条件“” ，，满足条件“”，不满足条件“”，，不满足条件“”，，满足条件“”，满足条件“”，退出循环，输出的值为，故选C.点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题；由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.9．1. 设满足约束条件，若仅在点处取得最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，作出满足约束条件，平面区域如下图：目标函数（其中）可化为，则由目标函数（其中）仅在点处取得最大值，得：，即．故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10．1. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，,则当时,的表达式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得：，即，则，，函数为定义在上的奇函数，可得，∴设时，可得，∴∴，故选A.11．1. 飞机的航线和山頂在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为,飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图,，，，∴在中，∵，∴，山顶的海拔高度为．故选D.12．1. 已知函数的图象上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，的导数为；当时，的导数为，设，为该函数图象上的两点，且，当，或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．两直线重合的充要条件是①，②，由①及得，由①②得，令，则，且，则，结合三次函数的性质可知，在时恒成立，故单调递增，即，即，可得函数的图象在点、处的切线重合，的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法；先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，即可得出的取值范围.二、填空题13．1. 函数的最小正周期为__________．【答案】1【解析】对于，，函数是函数,轴上方的图象不动将轴下方的图象向上对折得到的，故，故答案为.14．1. 球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到的距离为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】平面所截得的截面圆的面积为，即小圆的面积为，小圆的半径是，则大圆的半径，球的表面积为，故答案为.点睛：本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径即，进而求出球的表面积.15．1. 函数的最大值为__________．【答案】【解析】由于，的最大值为，故的最大值为，故答案为.16．1. 直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，故答案为.三、解答题17．1. 已知数列为等比数列，，且.（1）求；（2）若数列满足，，求.【答案】 (1).(2).【解析】试题分析：（1）根据等比数列的定义将和表示成首项和公比的形式，进而解出，得到；（2）将转化为，利用累加法即可求出.试题解析：（1）设的公比为，则，或，当时，；当时，.（2）.，.18．1. 已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第—道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售.（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有部智能手机进人审核，记这部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望.【答案】 (1) (2)详见解析【解析】试题分析：（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果；（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为，的次数的取值是，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.试题解析：（1）设“审核过程中只通过两道程序” 为事件，则.（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为.由题意可得可取，则有,.所以的分布列为:故(或).19．1. 在如图所示的四棱锥中，四边形为正方形，平面，且分别为的中点，.（1）证眀: 平面；（2）若,，求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)【解析】试题分析：（1）连结，分别交于点，连结，推导出，，，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明: 连结,分别的交于点，连结为中点，为中点，.又为中点，又为的中点，平面平面平面.（2）平面,又平面.如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴轴建立空间直角坐标系，则,则平面,平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,即,令,则,由图可知，二面角为饨角，二面角的余弦值.点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；证明线面平行常用的方式有：（1）、利用三角形中位线；（2）、构造平行四边形；（3）、利用面面平行；在该题中利用的是（1）.利用向量法求二面角先求出每个面的法向量，将二面角的平面角转化为法向量夹角或其补角（根据图形观察确定）.20．1. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到椭圆右焦点的最小距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等差数列，求直线的方程.【答案】(1)椭圆的方程为. (2).【解析】试题分析：（1）由题意列关于的方程组，求解方程组可得的值，则椭圆的方程可求；（2）由（1）知，，设：．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求.试题解析：（1）点的坐标为,由题意可得:得∴椭圆的方程为.（2）设点,又,故直线的方程可设为,由,得,.又成等差数列，,即，故直线的方程为，即.21．1. 已知函数且.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】(1)函数的单调递减区间是，函数的极小值为无极大值.(2)详见解析【解析】试题分析：（1）把代入，先求定义域，在求导数，令，，求解函数的单调区间及极值；（2）先求导数，研究函数的极值点、端点的函数值，比较极小值与端点函数值的大小，进而求出最小值.试题解析：（1）当时，,由，解得,所以函数的单调递增区间是.由,解得,所以函数的单调递减区间是.所以函数的极小值为无极大值.（2）当时,,设,当时，,此时恒成立，所以在上单调递增，所以.当时，,令,即,解得或；令,即,解得.①当时，即当时, 对恒成立，则在区间单调递减, 所以.②当时，即当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以.③当，即时,对恒成立，则在区间单调递增，所以.综上所述，当时，,当时，；当或时,.22．1. 选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，求的最大值.【答案】解：(1)曲线的参数方程为为参数).(2)【解析】试题分析：（1）等式两边同时乘以，利用，先将其转化为直角坐标方程，再利用将其化为参数方程；（2）根据（1）将点的参数形式代入，利用辅助角公式将其化简，得其最值. 试题解析：（1）由得,即,故曲线的参数方程为为参数).（2）由（1）可设点的坐标为，.点睛：本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程，以及三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；极坐标方程与直角坐标方程互化主要是通过，圆的直角坐标方程与参数方程互化主要是根据，同时辅助角公式在三角函数式化简中的应用频率也是相当高的.23．1. 选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】解：（1）（2）.【解析】试题分析：（1）将绝对值不等式两边同时平方，将其转化为一元一次不等式，再根据不等式解集的端点值即为相对应方程的解可得；（2）将代入将原题转化为对恒成立，令求出其值域即可得的取值范围.试题解析：（1）由得,即,而不等式的解集为,则是方程的解，解得舍去).（2）不等式对恒成立等价于，不等式对恒成立，设，则。

辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案

大连市2017年高三第一次模拟考试
数学（理科）能力测试
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有- 项是符合题目要求的•
1•已知复数z =1 2i，则Zz=（）
A. 5
B. 5 4i
C. -3
D. 3 - 4i
1 x
2•已知集合A={X|X2-2x-3 ：：0} , B ={x| 0}，则A B=（）
x
A. {x |1 ：：x ：：3}
B. {x | —1 ：：x ：：3}
C. {x | —1 ：：x ：：0或0 x 3} D . {x|「1 ：：x 0或1 ：：x 3}
3•设a,b均为实数，则“ a・|b|”是“ a3 b3”的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件 D .既不充分也不必要条件
2 1
4•若点P为抛物线C:x y上的动点，F为抛物线C的焦点，则| PF |的最小值为
2
( )
1 1 1
A . 2
B .— c.— D .-
2 4 8
5•已知数列{a n}满足a n 1 - a n =2, a i =-5，则|a | 伦| …$ |二()
A . 9 B15 .C・18 D . 30
x y -3 _0
I『
6•在平面内的动点（x,y）满足不等式x-y，1—0，贝V z=2x，y的最大值是（
）
［八0
C. 2
7•某几何体的三视图如图所示，则其体积为（。

2017年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷(理科) 有答案

2017年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2}2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1474．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50π C．100πD．π6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．118．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.29．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．10．设f（x）=，直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，在区域M内任取一个点P，则点P在区域N内概率为（）A．B．C． D．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．412．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m=．14．n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为（用数字作答）．15．已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3…S10=．16．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；（2）是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．19．（12分）北京时间3月10日，CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2﹣3﹣2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场），以下是总决赛赛程：（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为，客场取胜的概率均为，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1，F2，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|=3；（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若•=0，=；①求证：直线l过定点；并求出定点坐标；②求直线AT的斜率的取值范围．21．（12分）已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）e x．（1）当a=﹣时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当﹣＜a＜﹣时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m （1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．2017年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则A∩B={﹣2，0}，∴∁U（A∩B）={﹣1，1，2}．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．【解答】解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数在复平面对应的点在第二象限．故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘法运算，考查复数在复平面上对应的点的坐标，本题是一个基础题，这种题目若出现一定是一个必得分题目．3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．【点评】本题考查等差数列的性质、前n项和公式的灵活应用，属于基础题．4．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．【点评】本题主要考查了空间线面平行和垂直的位置关系，线面平行的判定和性质，面面垂直的性质和判定，空间想象能力，属基础题．5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50π C．100πD．π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．【点评】本题考查三视图，几何体的外接球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1；输出c=7．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．8．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（）=﹣f（0），代入f（x）建立关系，0＜φ＜，可得，﹣＜﹣φ＜0，那么令π≤ω+φ，即可求解ω范围．可得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），∵f（）=﹣f（0），即sin（﹣φ）=sin（ω×+φ），∵0＜φ＜，∴﹣＜﹣φ＜0，那么令π＜ω×+φ，可得：φ．令，解得：ω=．故选：A．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数特性，相邻的两个单调相反的区间存在值相等，属于中档题．10．设f（x）=，直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，在区域M内任取一个点P，则点P在区域N内概率为（）A．B．C． D．【考点】几何概型．【分析】首先分别求出两个区域的面积，利用几何概型的公式得到所求．【解答】解：由题意，区域M为长为e，宽为1的矩形，面积为e，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，面积为e﹣，其中，设t=lnx，则=1；所以曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，面积为e﹣=e﹣﹣1=e﹣，由几何概型的公式得到；故选A．【点评】本题考查了几何概型的概率求法；关键是利用定积分求出曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．【点评】本题考查双曲线的离心率，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．12．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等式比较大小．【分析】①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用中间量即可判断，④两边取对数即可判断．【解答】解：①要证e＞2，只要证＞ln2，即2＞eln2，设f（x）=elnx﹣x，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0，∴f（2）=eln2﹣2＜0，即2＞eln2，∴e＞2，因此正确②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴ln2＞，因此正确，③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正确，④∵2π＜π2，∴＜，④正确；正确的命题的个数为4个，故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）•=0，展开后得答案．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）•=，解得m=1．故答案为：1．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，是中档题．14．（x﹣）n的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x3的系数为126（用数字作答）．【考点】二项式定理的应用．【分析】先由条件求得n=9，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中x3的系数．=•（﹣1）r•，【解答】解：由题意2n=512，则n=9，通项公式为T r+1令9﹣r=3，求得r=4，可得该展开式中x3的系数=126，故答案为：126．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），数列{}的前n项和为S n，则S1•S2•S3…S10=．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】根据2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，求出a n=，再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=﹣，裂项求和得到S n，代值计算即可．【解答】解：∵2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n，=n﹣1，∴2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1a n﹣1∴2n a n=1，∴a n=，∴===﹣，∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，∴S 1•S2•S3…S10=×××…××=，故答案为：【点评】本题考查了数列的通项公式的求法和裂项求和，属于中档题．16．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是[，﹣1）∪（﹣1，0] ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由==．令k=，则=．由图求出k的范围，再由基本不等式求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，==．令k=，则=．由图可知，k≤﹣1或k≥1．当k≥1时，k+≥2，∈（﹣1，0]；当k≤﹣1时，﹣k≥2，∈[，﹣1）．∴的取值范围是[，﹣1）∪（﹣1，0]．故答案为：[，﹣1）∪（﹣1，0]．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是难题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）（2017•葫芦岛一模）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得sin（2A+）的值，从而求得2A+的值，可得A的值．（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sinA的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：=3+sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+），∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．（2）由余弦定理可得：，即4=b2+c2﹣bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，∴，故△ABC面积的最大值是．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦定理，基本不等式的应用，属于中档题．18．（12分）（2017•葫芦岛一模）如图，四棱锥S ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，BC ⊥CD ，平面SCD ⊥平面ABCD ，SC=SD=CD=AD=2AB ，M ，N 分别为SA ，SB 的中点，E 为CD 中点，过M ，N 作平面MNPQ 分别与BC ，AD 交于点P ，Q ，若=t．（1）当t=时，求证：平面SAE ⊥平面MNPQ ；（2）是否存在实数t ，使得二面角M ﹣PQ ﹣A 的平面角的余弦值为？若存在，求出实数t 的值；若不存在，说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出AE ⊥CD ，PQ ⊥AE ，从而SE ⊥面ABCD ，由此能证明面MNPQ ⊥面SAE ．（2）以E 为原点，ED ，EA ，ES 直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出t 的值．【解答】（本小题满分12分）证明：（1）E 为CD 中点，∴四边形ABCE 为矩形， ∴AE ⊥CD ，当t=时，Q 为AD 中点，PQ ∥CD ，所以PQ ⊥AE ， ∵平面SCD ⊥平面ABCD ，SE ⊥CD ，∴SE ⊥面ABCD ， ∵PQ ⊂面ABCD ，∴PQ ⊥SE ，∴PQ ⊥面SAE ，所以面MNPQ ⊥面SAE ．（2）如图，以E 为原点，ED ，EA ，ES 直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示坐标系；设ED=a ，则M （（1﹣t ）a ，（﹣）a ， a ），E （0，0，0），A （0，，0），Q （（1﹣t ）a ，，0），=（0，，），面ABCD 一个方向向量为=（1，0，0），设平面MPQ 的法向量=（x ，y ，z ），则，取z=2，得=（0，，2），平面ABCD的法向量为=（0，0，1）∵二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为，∴由题意：cosθ===，解得t=或t=，由图形知，当t=时，二面角M﹣PQ﹣A为钝二面角，不合题意，舍去综上：t=．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）（2017•葫芦岛一模）北京时间3月10日，CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2﹣3﹣2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场），以下是总决赛赛程：（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为，客场取胜的概率均为，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；（2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知：P（A1）=P（A2）=，P（A3）=P（A4）=P（A5）=．利用P（A）=P（A2A3A4A5）+P（A3A4A5）A2A4A5）+P（A1A2A3A5）即可得出．+P（A（2）X的所有可能取值为200，250，300，350．设“辽宁队以4：0取胜”为事件A4，“四川队以4：0取胜”为事件B4；“辽宁队以4：1取胜”为事件A5，“四川队以4：1取胜”为事件B5；“辽宁队以4：2取胜”为事件A6，“四队以4：2取胜”为事件B6；“辽宁队以4：3取胜”为事件A7，“四川队以4：3取胜”为事件B7；可得P（X=i）=P（A i）+P（B i）即可得出．【解答】解：（1）设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai，由赛程表可知：P（A1）=P（A2）=，P（A3）=P（A4）=P（A5）=．A3A4A5）+P（A3A4A5）+P（A1A2A4A5）+P（A1A2A3A5）则P（A）=P（A=+++=…（2）X的所有可能取值为200，250，300，350设“辽宁队以4：0取胜”为事件A4，“四川队以4：0取胜”为事件B4；“辽宁队以4：1取胜”为事件A5，“四川队以4：1取胜”为事件B5；“辽宁队以4：2取胜”为事件A6，“四川队以4：2取胜”为事件B6；“辽宁队以4：3取胜”为事件A7，“四川队以4：3取胜”为事件B7；则P（X=4）=P（A4）+P（B4）==．P（X=5）=P（A5）+P（B5）==．P（X=6）=P（A6）+P（B6）==．P（X=7）=P（A7）+P（B7）=××=．∴X的分布列为：E（X）=200×+250×+300×+350×=290.625．…（12分）【点评】本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）（2017•葫芦岛一模）已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1，F2，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|=3；（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若•=0，=；①求证：直线l过定点；并求出定点坐标；②求直线AT的斜率的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由a=2，则椭圆的通径丨PQ丨=，代入即可求得b的值，即可取得椭圆的方程；（2）当直线MN斜率不存在时，将x=m代入椭圆方程，则=2﹣m，即可求得m的值，即可求得直线恒过定点；当斜率存在，设直线方程y=kx+b，代入椭圆方程，由韦达定理，向量的坐标运算，即可求得b=﹣k，或b=﹣2k，即可求得直线方程，则直线过定点（，0）；（3）利用中点坐标公式求得T坐标，利用直线的斜率公式，k AT==，分类当k=0，k AT=0，当k≠0时，利用基本不等式的性质，即可求得直线AT的斜率的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：a=2，令x=c，代入椭圆方程，解得：y=，则丨PQ丨==3，则b=，∴椭圆的标准方程为：；…（4分）（2）当直线MN斜率不存在时，设l MN：x=m，则，解得：y=，则丨MN丨=2，设直线MN与x轴交于点B，丨丨MB=丨AM丨即=2﹣m，∴m=或m=2（舍），∴直线l MN过定点（，0）；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，设M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MN：y=kx+b，与椭圆方程，联立，消取y整理得（4k2+3）x2+8kbx+4k2﹣12=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，△＞0，k∈R，•=0，（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）=0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=，∴7b2+4k2+16kb=0，则b=﹣k，或b=﹣2k，∴l MN：y=k（x﹣）或y=k（x﹣2），∴直线l MN过定点（，0）或（2，0）；综合知，直线过定点（，0）；…（8分）（3）T为MN中点，T（，），则T（﹣，），∴k AT==，由b=﹣，则k AT=，当k=0时，k AT=0，当k≠0时，k∈R，k AT==，由8k+≥2=2，或8k+≤﹣2=﹣2，∴k AT∈[﹣，]，直线AT的斜率的取值范围为[﹣，]．…（12分）【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量坐标运算，中点坐标公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•葫芦岛一模）已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）e x．（1）当a=﹣时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当﹣＜a＜﹣时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=时，求出f′（x）=﹣（e+1）x+xe x，利用导数的几何意义能出f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程．（2）f′（x）=2ax+xe x=x（e x+2a），由此根据a≥0，﹣＜a＜0，a=﹣，a＜﹣，利用导数性质能讨论f（x）的单调性．（3）推导出x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1）﹣1，由此利用导性质能求出所有极值的和的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）当a=时，f（x）=x2+（x﹣1）e x，∴f（1）=，f′（x）=﹣（e+1）x+xe x，∴f′（1）=﹣1切线方程为：y+=﹣（x﹣1），即：2x+2y+e﹣1=0．…（4分）（2）f′（x）=2ax+xe x=x（e x+2a）①当2a≥0即a≥0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；②当﹣＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；③当a=﹣时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；④当a＜﹣时，f（x）在（﹣∞，0））上单调递增，在（0，ln（﹣2a））上单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增．…（8分）（3）由（2）知，当﹣＜a＜﹣＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1）﹣1∵x1=ln（﹣2a），∴a=﹣，∴f（x1）+f（x2）=﹣x12+（x1﹣1）﹣1=（﹣x12+x1﹣1）﹣1∵﹣＜a＜﹣，∴＜﹣2a＜1，∴﹣1＜x1=ln（﹣2a）＜0，令ϕ（x）=e x（﹣x2+x﹣1）﹣1（﹣1＜x＜0）∴ϕ′（x）=e x（﹣x2）＜0∴ϕ（x）在（﹣1，0）单调递减∴ϕ（0）＜ϕ（x）＜ϕ（﹣1）即﹣2＜ϕ（x）＜﹣﹣1∴所有极值的和的取值范围为（﹣2，﹣）．…（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、切线方程，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．四、请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•葫芦岛一模）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），曲线C2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）利用参数方法，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d==，…（8分）当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…（10分）【点评】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m（1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）讨论x的范围：x≤﹣，﹣＜x≤1，x≥1，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象；（2）通过图象可得最大值m，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，由分段函数的图象画法可得图象如右；（2）由（1）知，当x=﹣时，f（x）的最大值为，即m=；∴a2+b2+2c2=，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，即8（1﹣t）=16t 得：t=，∴a2+b2+2c2=a2+b2+b2+2c2≥2•ab+4•bc=（ab+2bc）∴ab+2bc≤（a2+b2+2c2）=（当且仅当a2=c2=，b2=时取“=”号）．【点评】本题考查分段函数的图象和性质，考查最值的求法，注意运用图象和基本不等式，考查变形和化简整理的运算能力，属于中档题．。

辽宁省辽南协作校高三数学下学期第一次模拟试题理(扫描(2021年整理)

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辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案

大连市 2017 年高三第一次模拟考试数学（理科）能力测试第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知复数 z 1 2i ，则 z z（）A ． 5B ． 5 4iC ． -3D ． 3 4i2.已知会合 A{ x | x22x 3 0}， B{ x |1x 0}，则 AB （）xA ． { x |1 x 3}B ． { x | 1 x 3}C ． { x | 1 x 0或 0x 3} D ． { x | 1 x 0或1 x 3}3.设 a, b 均为实数，则“ a | b |”是“ a 3b 3 ”的（）A ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件4.若点 P 为抛物线 C : x21y 上的动点， F 为抛物线 C 的焦点，则 | PF |的最小值为2（）A ． 2 1C.1D ．1B ．4825.已知数列 { a n } 知足 a n 1a n 2 ， a 15 ，则 | a 1 | | a 2 || a 6 | （）A ． 9B15 ．C.18D ． 30x y 3 06.在平面内的动点 ( x, y) 知足不等式x y 1 0 ，则 z 2 xy 的最大值是（）y 0A ． 6B ． 4C. 2D ． 07.某几何体的三视图以下图，则其体积为（）A ． 47 4 8B ．C.D ．33315，则 n 的最小值8.将一枚硬币连续投掷n 次，若使得起码有一次正面向上的概率不小于16为（）A ． 4B ． 5C. 6 D ． 79.运转以下图的程序框图，则输出结果为（）115 C.323A ．B ．2D ．841610.若方程 2sin(2 x)m 在 x [0, ] 上有两个不相等的实数解 x 1 , x 2 ，则 x 1 x 26 2（）A ．B ． C.23D ．24311.已知向量 OA (3,1) ， OB ( 1,3) ， OC mOA nOB (m 0, n 0) ，若m n[1,2] ，则 |OC | 的取值范围是（）A ． [5,2 5] B ． [ 5,2 10) C. (5, 10)D ． [ 5,2 10]12.已知定义在 R 上的函数 f ( x)e x mx 2 m(m 0) ，当 x 1 x 2 1 时，不等式f ( x1 ) f (0) f ( x2 ) f (1) 恒成立，则实数x1的取值范围是（）A ．( ,0) B．(0,1) C. (1,1) D．(1, ) 2 2第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不一样的分法（用数字作答）．14.函数f ( x) e x sin x 的图象在点(0, f (0))处的切线方程是．15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”假如此物数目在100 至 200 之间，那么这个数是．x2 y21(a 0, b 0) 的焦点 F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线16.过双曲线b2a2订交于 A, B 两点，若 BF 2FA ，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知点P( 3,1) ，Q(cos x,sin x)，O为坐标原点，函数 f ( x) OP QP.（1）求函数f (x)的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC 的内角， f ( A) 4，BC 3，求ABC 的周长的最大值.18.某手机厂商推出一次智好手机，现对 500 名该手机使用者（ 200 名女性， 300 名男性）进行检查，敌手机进行打分，打分的频数散布表以下：（1）达成以下频次散布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算详细值，给出结论即可）；（2）依据评分的不一样，运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，在这20 名用户中，从评分不低于80 分的用户中随意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于90 分的人数的散布列和期望.19. 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面ABCD，AD AP ，E为棱 PD中点.（1）求证：PD 平面 ABE ；（2）若F为AB中点，PM PC(0 1)，试确立的值，使二面角 P FM B 的余弦值为3. 320. 已知点P是长轴长为2 2x2 y21(a b 0) 上异于极点的一个动点，的椭圆 Q：b2a2O 为坐标原点， A 为椭圆的右极点，点M 为线段 PA 的中点，且直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为1 . 2（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C , D两点，线段CD的垂直均分线与 x 轴交于点G，点G横坐标的取值范围是[ 1,0) ，求 | CD |的最小值. 421. 已知函数f ( x) (x 2)e x a( x 2)2 (x 0) .（1）若f ( x)是(0,)的单一递加函数，务实数 a 的取值范围；（2）当a1) 时，求证：函数 f (x) 有最小值，并求函数 f ( x) 最小值的取值范围. (0,4请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，成立极坐标x2 5t 15系，曲线 C1的极坐标方程为4cos ，直线 l 的参数方程为（ t 为参数）.5 ty 15（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l 的一般方程；（2）若曲线C2的参数方程为x 2cos，Q 为y sin（为参数），曲线 C1上点P的极角为4曲线 C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲已知 a 0, b 0 ，函数 f ( x) | x a | | 2x b | 的最小值为 1. （1）求证：2a b 2 ；（2）若a 2b tab 恒成立，务实数t的最大值.2017 年大连市高三一模测试数学（理科）参照答案与评分标准一．选择题（1）A ；（ 2）D ；（ 3）A ；（ 4）D；（ 5）C；（ 6）A ；（ 7）D ；（ 8）A ；（9）B ；（ 10） C；（ 11）B；（ 12）D ．二.填空题（13） 48；（ 14）y x ；（15） 128 ；（16）23 ．3三.解答题（17）解：（ I ）∵OP ( 3,1),QP ( 3 cos x,1 sin x) ，∴ f (x) 3 3 cos x 1 sin x 4 2sin( x ) ，3∴当 x62k (k Z ) 时， f (x) 获得最小值2．(2) ∵f ( A)=4，∴A 2，32又∵ BC 3，∴ a2 b2 c2 2bc cos ，∴ 9 (b c)2 bc．3(b c)2 3(b c) 29 ，．bc4 ，∴ 4∴ b c 2 3 ，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为 3 23.(18)解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频次散布直方图分别以下左、右图：由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大.（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，此中评分小于90 分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ，P( XC 41C 22 1 2)C 42 C 21 3 C 43C 22 11)； P(XC 63； P(X 3)C 63.C 63555因此 X 的散布列为X123P131555EX43 2或EX1 6 32.65 5 5(19)解： (I) 证明：∵ PA 底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ，∴ PA AB ，又∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB AD ，PAAD A ， PA平面 PAD ， AD 平面PAD ，∴ AB 平面 PAD ，又 PD 平面 PAD ，∴ AB PD ，AD AP ，E 为PD 中点，∴ AEPD ，AE ABA ，AE 平面 ABE ， AB 平面 ABE ，∴ PD平面 ABE .(II) 以 A 为原点，以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴正方向，成立空间直角坐标系 ABDP ，令|AB| 2 ，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C (2,2,0) ， E(0,1,1)， F (1,0,0) ， PF(1,0, 2) ，PC (2,2, 2)，PM (2 ,2 , 2 )，M(2 ,2 ,2 2 )设平面 PFM 的法向量 m ( x1 , y1, z1 ) ，m PF =0 x 2z 0，即2 x 2，m PM =0 y 2 z 0m (2, 1,1)设平面 BFM 的法向量n ( x2 , y2 , z2 ) ，n BF =0，n FM =0x 0， n (0, 1, )即1 x2 y 22 2 z 0m n 1 3 1| cos m,n |2 2，解得.| m || n |6 1 3 2 (20)解：（Ⅰ）∵椭圆 Q 的长轴长为 2 2 ，∴ a 2 ．设 P( x0 , y0 ) ，y0∵直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为 1 ，∴ 2 y0 1 ，2 x0 2 x0 222∴x02 2，∴ b 1，y02 1故椭圆的方程为x2 y 2 1.2(Ⅱ ) 设直线 l 方程为y (k x1 ) (k ，代入x2 y2 1 有2(1 2k 2 ) x2 4k 2 x 2k2 2 0 ，设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，AB中点 N ( x0 , y0 ) ，∴ (x14k22, x1x22k 2 2 x2 )2k 1 2k2.1∴ x0 1 2k 2, y0 k ( x0 1)k ( x1 x2 )1 2k22k2 2 1∴ CD 的垂直均分线方程为y y0 1( x x0 ) ，k令 y 0 ，得 x G x0 ky0 1 12 4k 2 2∵ x G [ 1,0) ，∴ 1 1 1 ，∴ 0 k 2 1 ．4 4 2 4k2 2 2|CD| 1 k2 | x2 x1 | 1 k 2 16k 4 4(2k2 1)(2k 2 2)2k 2 12 2[1+ 1 ] 3 2 ，2 2(2k 2 1) 2| CD |min 3 2．2(21)解：（Ⅰ） f x e x (x 2)e x 2ax 4a∵函数（f （ 0，+ ）x) 在区间上单一递加，f x 0在（ 0，+ ）上恒成立 . ∴e x (x 2)e x 2ax 4a 0 ，∴ a (1 x) e x ，2x 4令 g( x) (1 x)e x ， g ( x) [(1 x)e x e x ](2 x 4) 2(1 x) e x e x ( 2x2 2x 2) 0 ，2x 4 (2 x 4)2 (2 x 4) 2∴g( x) g(0) 1，∴ a 1 .4 4（Ⅱ） f x x e x 2a 0 ∴ y=f x 在（0，+ ）上单一递加又 f 0 =4 a 1 0 f 1 =6 a 0 ∴存在 t （ 0,1 ）使 f t =0∴ x （0，t）时， f x 0， x （ t，+ ）时， f x 0当 x=t时， f min x =f t = （t -2）e t +a(t 2)2且有 f t =e t（t-1）+2a(t 2) 0 ，∴a= e t (1 t ) ．2(t 2)由（Ⅰ）知 a=g(t)= et(1t) 在t (0, ) 上单一递减，2(t 2)g(0)= 1, g(1)=0 ，且 0 a1，∴ t (0,1) ．4 4∴ f min x =f t=（t-2）e t+ e t (1 t)(t 2) 2et ( t2t 2) ，2(t 2) 2f t = e t( t 2t 1) 0 ，2∴ f (1) f (t ) f (0) ， ef (t) 1 ,∴ f (x) 的最小值的取值范围是 ( e, 1) ．(22)解：（Ⅰ）由 C : x 2y 2 4x 0, l : x 2y 30 .1（Ⅱ） P(22, ), 直角坐标为 (2, 2) ，4 1Q(2cos ,sin ),M(1 cos ,1 ) ， l : x2 y3 0 ．sin2M 到 l 的距离 d|1 cos2 sin3|10| sin(4 ) |，55进而最大值为 10.5(23)解：（Ⅰ）法一： f ( x) | x a || 2x b | = | x a | | x b | | x b|，b | | ( x a) (xb) | a b 且 | x b | 2 2 ∵ | x a | | x0，b2b 2 22b∴ f (x)af ( x) 的最小值为 a，当 x时取等号，即，222b1， 2a b 2 .∴ a2b法二：∵ a，23x a b, x a∴ f (x)| x a | | 2x b | = x a b, a x b ，b23x a b, x2明显 f (x) 在 (, b ] 上单一递减， f ( x) 在 [ b,) 上单一递加，2 2∴ f (x) 的最小值为 f ( b) ab ，2 2∴ ab 1， 2a b 2 .2（Ⅱ）∵ a 2b tab 恒成立，∴a2b t 恒成立，aba 2b 1 2 ( 1 2)(2 a b) 11(1 4 2a2b ) 1 (1 4 2 2a 2b ) 9ab b a b a2 2 ba2b a 2 当 a b 2 时，a 2b获得最小值 9 ，∴93 ab92t ，即实数 t 的最大值为 .222017 年大连市高三一模测试数学（理科）参照答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）A ；（ 2）D ；（ 3）A ；（ 4）D；（ 5）C；（ 6）A ；（ 7）D ；（ 8）A ；（9）B ；（ 10） C；（ 11）B；（ 12）D ．二.填空题（13） 48；（ 14）y x ；（15） 128 ；（16）2 3．3三.解答题（17） (本小题满分12 分)解：（ I ）∵OP ( 3,1),QP ( 3 cos x,1 sin x) ， 3 分∴ f ( x) 3 3 cos x 1 sin x 4 2sin( x ) ， 5 分3∴当 x62k (k Z ) 时， f (x) 获得最小值2． 6 分2，7 分(2) ∵f ( A)=4，∴A32bc cos 2又∵ BC 3，∴ a2 b2 c2 ，∴ 9 (b c)2 bc．9 分3(b c) 2 3(b c)29 ，．10 分bc ，∴4 4∴ b c 2 3 ，当且仅当 b=c 取等号，∴三角形周长最大值为 3 2 3 . 12 分(18)( 本小题满分12 分 )解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频次散布直方图分别以下左、右图：频次频次组距组距O 50 60 70 80 90 100 评分O 50 60 70 80 90 100 评分12 分,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大. ,,,,,,,,,,,,,, 6 分（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于80 分有 6 人，此中评分小于90分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ，C41C22 1 C42 C21 3 C43C22 1P(X 1) ； P(X 2)C63 ； P(X 3)C63. 9分C63 5 5 5因此 X 的散布列为X 1 2 3P 1 3 15 5 5EX 4 3 2或 EX 1 6 3 2.12分6 5 5 5(19)( 本小题满分12 分)解： (I) 证明：∵ PA⊥底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ，∴ PA⊥AB ，又∵底面ABCD 为矩形，∴ AB⊥ AD， PA∩AD =A， PA 平面 PAD ， AD 平面 PAD，∴ AB ⊥平面 PAD，又 PD 平面 PAD ，∴ AB⊥PD ， AD=AP ， E 为 PD 中点，∴ AE⊥ PD ， AE∩AB =A，AE 平面 ABE， AB平面ABE，∴ PD⊥平面ABE. 6 分(II) 以A为原点，以AB, AD, AP为x, y, z轴正方向，成立空间直角坐标系 A BDP ，令|AB| 2，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C (2,2,0) ， E(0,1,1) ， F (1,0,0) ， PF (1,0, 2) ，PC (2,2, 2)， PM (2 ,2 , 2 )，M(2 ,2 ,2 2 )设平面 PFM 的法向量mm PF =0 x 2z 0( x1 , y1, z1 ) ，，即x 2 y 2 z，m PM =0 2 0m (2, 1,1)设平面BFM 的法向量n ( x2 , y2, z2 ) ，n BF =0，即n FM =0x 0， n (0, 1, ) 2 x1 2y 2 z2 0| cosm n 1 3 1 m,n |2 2，解得.| m || n | 6 3 21(20) （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵椭圆 Q 的长轴长为 2 2 ，∴ a 2 ．P(x0 , y0 ) ，∵PA 与OM 的1设直线斜率之积恒为，2y0∴ 2 y0 1，,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分x0 2 x0 2 22∴ x02 y02 1，∴ b 1，2故椭圆的方程为x2y 2 1.,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分2(Ⅱ ) 设直线l 方程为 y (k x1 ) (k ，代入x2 y2 1 有2(1 2k 2 ) x2 4k2 x 2k 2 2 0 ，,,,,,,,,,,,, 5 分设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，AB中点 N ( x0 , y0 ) ，∴ ( x1 x2 )4k22, x1 x22k 2 2.,,,,,,,,,,,,, 6 分1 2k 1 2k 2∴ x0 1( x1 x2 )12k 2 2 , y0 k( x0 1) k 2 ,,,,,,,, 7 分2 2k 1 2k∴ CD 的垂直均分线方程为y y0 1(x x0 ) ，k令 y 0 ，得 x G x0 ky0 1 1,,,,,,,,,,,, 9 分2 4k2 2∵ x G [ 1 ,0) ，∴ 1 1 1 ，∴ 0 k2 1 ． ,,,,,, 10 分4 4 2 4k2 2 2|CD | 1 k 2 | x2 x1 | 1 k 2 16k 4 4(2k2 1)(2k 2 2)2k 2 12 2[1+ 1 ] 3 2 ，2 2(2k 2 1) 2|CD |min 3 2． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分2(21)（本小题满分12 分）解：（Ⅰ） f x e x(x 2)e x2ax 4a 1 分函数（fx)在区间（ 0，+ ）上单一递加， f x 0在（ 0，+ ）上恒成立. ∴ e x (x 2)e x 2ax 4a 0 ，∴ a (1 x)e x ， 2 分2 x 4令 g( x) (1 x)e x ， g ( x) [(1 x)e x e x ](2 x 4) 2(1 x) e x e x ( 2x2 2x 2) 0 ，2x 4 (2 x 4)2 (2 x 4) 2∴g( x) g(0) 1，∴ a 1 . 4 分4 4（Ⅱ） f x x e x 2a 0 ∴ y=f x 在（0，+ ）上单一递加又 f 0 =4 a 1 0 f 1 =6 a 0 ∴存在 t （ 0,1 ）使 f t =0∴ x （0，t）时， f x 0， x （ t，+ ）时， f x 0当 x=t时， f min x =f t = （t -2）e t +a(t 2)2 ,,,,,,,,,, 6 分且有 f t =e t（t-1）+2a(t 2) 0 ，∴a= e t (1 t )．,,,,,,,, 6 分2(t 2)由（Ⅰ）知 a=g(t)= et(1t) 在t (0, ) 上单一递减，2(t 2)g(0)= 1, g(1)=0 ，且 0 a1，∴ t (0,1) ． , , , , , , ,,,, , , , , 8 分4 4∴ f min x =f t =（t-2）e t + et(1t) (t 2) 2 e t ( t2 t2)，,,,,,,, 10 分2(t 2) 2f t = e t ( t2 t 1) 0 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 11 分2∴ f (1) f (t ) f (0) ， e f (t) 1 ,∴ f (x) 的最小值的取值范围是( e, 1) ．,,,,,,,,,,,,,,, 12 分．(22)（本小题满分 10 分）解：（Ⅰ）由C1: x2 y2 4x 0, ,,,,,,,,,,,,,,, 2 分l : x 2 y 3 0 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分（Ⅱ） P(2 2, ),直角坐标为(2,2，), , , , , , , , , , ,,,6分4 1sin ) ， l : xQ (2cos ,sin ),M(1 cos ,1 2 y 3 0．,, 8 分2M 到 l 的距离 d |1 cos 2 sin3|10| sin()|，,9 分554进而最大值为10 ,,,,,,,,,,,,,,,10.5分(23) （本小题满分 10 分）解：（Ⅰ）法一：f ( x )||| 2| = | a| |b| b| ， |2 分x ax bxxx, ,22∵ | x a | | xb| |( x a) ( xb) | a b且 | x b| 0 ，2 2 2 2∴ f (x)ab b时取等号，即 f ( x) 的最小值为 ab， , ,4 分2 ，当 x 22b 1， 2a b2 .,,,,5 分∴ a2b法二：∵a，23x a b, x a∴ f ( x)| x a | | 2x b | = x a b, a xb，,,,,,3 分b23x a b, x2明显 f ( x) 在 (, b] 上单一递减， f ( x) 在 [ b,) 上单一递加，22∴ f ( x) 的最小值为 f ( b)a b ，, ,,,,4 分b22∴ a1， 2a b 2 .,,,,,,,,,5 分2tab 恒成立， ∴a 2b（ Ⅱ ） ∵ a2b t 恒成立，, ,, , , 7 分aba 2b 12 (1 2)(2 a b) 1 1(1 4 2a 2b )ab ba b a2 2 b a1(142 2a 2b9 , , , ,, , , ,,,,,, ,, , 9 分当2 b a ) 2a b 2 时， a2b获得最小值 9 ，∴93 ab92t ，即实数 t 的最大值为 .,,,,,,,,,,,,,,,5 分22。

辽宁省辽南协作校高2020届高2017级高三第二次模拟理科数学试题及参考答案解析

2019—2020学年度下学期高三第二次模拟考试试试题理科数学试题第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知{}(1)0A x x x =->,{}|1B x x =<,则A B =( )A.(0,1)B.RC.(,1)-∞D.(,1)(1,)-∞⋃+∞【参考答案】：C先求出集合A ,再求并集即可.【详细解答】{}{}(1)001A x x x x x =->=<<,故(,1)A B ⋃=-∞. 故选：C.本题考查并集的求法,属于基础题. 2.已知复数2020z i i =+.则||z =( ) 2B.1C.0D.2【参考答案】：A易得20201i =,所以1z i =+,进而根据模长公式计算即可.. 【详细解答】因为2101010102020()(1)1i i ==-=,所以1z i =+,所以|2|z =故选：A .本题考查复数的运算,考查计算能力,属于基础题.3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A.100,40B.100,20C.200,40D.200,20【参考答案】：D首先根据扇形统计图中的数据求出学生总数,接下来结合已知求出样本容量,根据上述所求进一步求出抽取的高中学生人数,然后结合图乙进行解答即可.【详细解答】由图甲可知,学生总数为45003500200010000++=(人), 故抽取的样本容量为100002%200⨯=(人), 其中抽取的高中学生有20002004010000⨯=(人)；由图乙可知,高中生近视率为50%,∴抽取的高中生近视人数为4050%20⨯=(人). 故选：D ..本题主要考查的是统计图及分层抽样的应用,解答本题的关键是能从图中获取关键信息,接下来结合已知中的数据进行解答即可,属于常考题. 4.设l 是直线,α,β是两个不同的平面( ) A.若//l α,l β//,则//αβ B.若//l α,l β⊥,则αβ⊥ C.若αβ⊥,l α⊥,则l β⊥ D.若αβ⊥,//l α,则l β⊥【参考答案】：B根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详细解答】由l 是直线,α,β是两个不同的平面,可知： A 选项中,若//l α,l β//,则α,β可能平行也可能相交,错误；B 选项中,若//l α,l β⊥,由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥,正确；C 选项中,若αβ⊥,l α⊥,由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂,错误；D 选项中,若αβ⊥,//l α,则l ,β可能平行也可能相交,错误. 故选：B.本题考查了线面、面面间的位置关系的判断,考查了空间思维能力,属于基础题. 5.已知a b >,则条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的( )条件. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C .充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【参考答案】：B根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详细解答】先判断充分性：若0c ≤,又a b >,当0c时,ac bc <不成立,故充分性不成立；再判断必要性：若ac bc <,又a b >,所以0c <,可得0c ≤,故必要性成立, 所以条件“0c ≤”是条件“ac bc <”的必要不充分条件条件. 故选：B.本题主要充分条件和必要条件的判定,同时考查不等式的性质,属于基础题.6.如图所示算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”,执行该算法框图,若输入的a b 、分别为12、30,则输出的a =( )A.2B.4C.6D.18【参考答案】：C模拟程序运行,观察变量值的变化,判断循环条件可得结论.【详细解答】程序运行时变量值变化如下：12,30a b ==；满足a b ,不满足a b >,301218b =-=；满足a b ,不满足a b >,18126b =-=；满足a b ,满足a b >,1266a =-=；不满足ab ,输出6a =.故选：C.本题考查算法案例,解题时只要模拟程序运行,判断变量值变化,判断循环条件,得出结论. 7.某个家庭有三个孩子,已知其中一个孩子是女孩,则至少有两个孩子是女孩的概率是( ) A.34B.38C.47D.12【参考答案】：C利用列举法确定基本事件的总数,再得出至少有两个孩子是女孩所包含的基本事件,最后利用古典概型的概率计算公式,即可求解.【详细解答】由题意,某家庭有三个孩子,已知其中一个孩子是女孩,基本事件有：(男男女),(男女男),(女男男),(男女女),(女男女),(女女男),(女女女),共有7个,其中至少有两个孩子是女孩包含的基本事件有： (男女女),(女男女),(女女男),(女女女),共有4个, 则至少有两个孩子是女孩的概率是47P =. 故选：C .本题主要考查了概率的求法,以及古典概型及概率的计算,其中解答中列用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了运算能力. 8.已知半径为r 的圆M 与x 轴交于,E F 两点,圆心M 到y 轴的距离为d .若d EF =,并规定当圆M 与x 轴相切时0EF =,则圆心M 的轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线【参考答案】：C设圆心(,)M x y ,利用圆的弦长公式,得出222x r y =-,即可得到圆心M 的轨迹,得到答案.【详细解答】如图所示,设圆心(,)M x y ,则圆心M 到y 轴的距离为d x =, 由圆的弦长公式,可得222222EF r d r y =-=-,因为d EF =,即222x r y =-,整理得22244x y r +=,即222214x y r r+=,即圆心M 的轨迹为椭圆. 故选：C .本题主要考查了轨迹的判定与求解,其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系,合理利用圆的弦长公式列出方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.9.已知周期为π的函数()3)cos()(0,0)f x x x πωϕωϕωϕ=+-+><<是奇函数,把()f x 的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象,则()g x 的一个单调增区间为( ) A.,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D.,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【参考答案】：B利用三角函数的恒等变换,化简得到函数()f x 的解析式,再结合三角函数的图象变换,求得()g x 的解析式,结合三角函数的性质,即可求解.【详细解答】由函数())cos()2sin()6f x x x wx πωϕωϕϕ=+-+=+-因为函数()f x 周期为π,且函数()f x 是奇函数, 可得22w ππ==,且06πϕ-=,解得6π=ϕ,即()2sin(2)f x x =, 把()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin(2)3g x x π=-的图象, 令222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈,解得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈, 令0k =,可得函数()f x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：B .本题主要考查了三角恒等变换,以及三角函数的图象变换和正弦型函数的图象与性质的综合应用,其中解答中熟记三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.10.已知数列{}n a 满足12,n n a a n n N +-=∈.则211ni i a a ==-∑( ) A.111n n-- B.1n n - C.(1)n n -D.12n【参考答案】：B首先利用累加法求出()11n a a n n -=-,再利用裂项相消法求和即可；【详细解答】解：因为12,n n a a n n N +-=∈,所以2121a a -=⨯,3222a a -=⨯,4323a a -=⨯,……,()121n n a a n --=⨯- 所以()()()()()213212122211n n a a a a a a n n n --+-++-=⨯+⨯++⨯-=-所以()11n a a n n -=-所以()21111111223341ni i a a n n==++++-⨯⨯⨯-⨯∑11111111223341n n=-+-+-++-- 11n =-1n n-=故选：B本题考查累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求和,属于中档题.11.在直角坐标系xOy 中,F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,,A B 分别为左、右顶点,过点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P ,Q 两点,连接PB 交y 轴于点E ,连接AE 交PQ 于点M ,若M 是线段PF 的中点,则椭圆C 的离心率为( ) A .2B.12C.13D.14【参考答案】：C由题意结合几何性质找到a ,c 的关系即可确定椭圆的离心率.【详细解答】如图,连接BQ ,则由椭圆的对称性易得∠PBF =∠QBF ,∠EAB =∠EBA ,所以∠EAB =∠QBF ,所以ME //BQ . 因为△PME ∽△PQB ,所以PE PM EB MQ =,因为△PBF ∽△EBO ,所以OF EP OBEB=,从而有PM OF MQOB=,又因为M 是线段PF 的中点,所以13OFPM c e a OB MQ ====. 本题选择C 选项.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法：①求出a ,c ,代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2＝a 2－c 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).12.已知函数()f x 满足21()2()1ln ,()x f x xf x x f e e+=+='.当0x >时,下列说法：①1f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②()f x 只有一个零点；③()f x 有两个零点；④()f x 有一个极大值.其中正确的是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【参考答案】：D令2()()g x x f x =,求导后结合已知可得()g x x lnx c =+,得到2()x lnx cf x x +=,再由()1f e e=求得0c .可得()lnx f x x=,求出1()f e 的值判断①；再由导数求得极值判断④；由极大值大于0,且当0x +→时,()f x →-∞,当x →+∞时,()0f x →判断函数零点个数,可得②正确；③错误.【详细解答】解：令2()()g x x f x =, 则2()()2()1g x x f x xf x lnx '='+=+, ()g x x lnx c ∴=+, 2()x lnx cf x x +∴=,()21e cf e e e +==,0c ∴=. 2()x lnx lnxf x x x∴==, 则11()1lne f e ee==-,故①错误；21()lnxf x x -∴'=, 当(0,)x e ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数, 当(,)x e ∈+∞时,()0f x '<,()f x 为减函数,()f x ∴的极大值为()10lne f e e e==>,故④正确；而当0x +→时,()f x →-∞,当x →+∞时,()0f x →,()f x ∴只有一个零点,故②正确；③错误. ∴其中正确的是②④.故选：D.本题考查命题的真假判断与应用,考查利用导数研究函数的单调性,训练了利用导数求函数的最值,属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数()4log (23)a f x x =+-(0a >且1a ≠)的图象恒过定点P ,且点P 在函数()g x x α=的图象上,则α=______. 【参考答案】：2令对数的真数等于1,求得x 、y 的值,即为定点P 的坐标,再代入函数()g x 的解析式即可求出α的值.【详细解答】解：令231x -=得：2x =,此时()24f =,∴函数()4log (23)(0a f x x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点(2,4),即(2,4)P ,又点P 在函数()g x x α=的图象上,24α∴=,2α∴=,故答案为：2.本题主要考查对数函数的图象经过定点问题,属于基础题.14.已知数列{}n a 为等差数列,125,,?a a a 成公比不为1的等比数列,且94a =,则公差d =_____.【参考答案】：817由等比数列的定义和中项性质,可得公差d 不为0,结合等差数列的通项公式,解方程可得所求d .【详细解答】解：由数列{}n a 为等差数列,1a ,2a ,5a 成公比不为1的等比数列,可得2125a a a =,即2111(4)()a a d a d +=+,且0d ≠,化为12a d =,由94a =,可得184a d +=, 解方程可得1417a =,817d =, 故答案为：817. 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.15.已知平面向量a 与b 的夹角60︒,且||2,||1a b ==.若平面向量m 满足22m a m b ⋅=⋅=,则||m =______.【参考答案】考虑到平面向量a 与b 的夹角和模长都属于特殊值,不妨采用坐标的方式进行运算,设平面向量(,)m x y =,向量(1,0)b =,则(1,3)a =,然后将其代入等式中,并结合数量积的坐标运算法则,可建立关于x 和y 的方程组,解之可得向量m ,进而可求得其模长. 【详细解答】解：设平面向量(,)m x y =,向量(1,0)b =,则(1,3)a =, 22m a m b ==,∴22x x +==,解得1,x y =,∴2m x =.故答案为：3. 本题考查平面向量数量积运算,采用坐标的方式进行运算可达到事半功倍的效果,考查学生的分析能力和运算能力,属于基础题.16.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,ABC 是边长为2的正三角形,E 为PA 中点,BE PB =,则球O 的体积为_______.【参考答案】由题意画出图形,证明三棱锥P ABC -为正三棱锥,且三条侧棱两两互相垂直,再由补形法求外接球球O 的体积.【详细解答】解：如图,由PA PB PC ==,ABC ∆是边长为2的正三角形,可知三棱锥P ABC -为正三棱锥,则顶点P 在底面的射影O 为底面三角形的中心,取AB 的中点F ,连接BO 并延长,交AC 于G ,则AC BG ⊥,又PO AC ⊥,PO BG O =,BG ⊂平面PBG ,PO ⊂平面PBG ,可得AC ⊥平面PBG ,则PB AC ⊥,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,//EF PB ∴,又5BE PB =,所以222PB PE BE +=即PB PA ⊥,ACPA A =,PA ⊂平面PAC ,AC ⊂平面PAC ,所以PB ⊥平面PAC ,∴正三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直,把三棱锥补形为正方体,则正方体外接球即为三棱锥的外接球, 其直径,22226R PA PB PC =++=,所以62R =,则球O 的体积为33446633V R πππ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案为：6π.本题考查多面体外接球体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查计算能力,属于中档题. 三、解答题17.已知ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,且cos cos 12B CA ++=. (1)求角A 的值. (2)若ABC 面积为33且7()b c b c +=>,求a 及sinB 的值.【参考答案】：(1)3π；(2)13a =,3913.(1)利用三角恒等变换与三角形的内角和公式,即可求得A 的值； (2)由三角形的面积公式和余弦、正弦定理,即可求得a 与sin B 的值. 【详细解答】解：(1)ABC ∆中,coscos 12B CA ++=,所以cos()1cos 22AA π-=-,所以2sin 2sin 22A A = 因为sin02A ≠,所以1sin 22A =因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3A π=(2)由ABC面积为11sin 22S bc A bc ===解得12bc =；又7()b c b c +=>, 所以4b =,3c =；由余弦定理得,22212cos 169243132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=,所以a =；由正弦定理得,sin sin a b A B=,解得4sin sin b AB a===.本题考查了三角函数求值运算问题,也考查了解三角形的应用问题,属于中档题.18.数据的收集和整理在当今社会起到了举足轻重的作用,它用统计的方法来帮助人们分析以往的行为习惯,进而指导人们接下来的行动.某支足球队的主教练打算从预备球员甲、乙两人中选一人为正式球员,他收集到了甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数,如下表：(1)根据这两名球员近期5场比赛的传球成功次数,完成茎叶图(茎表示十位,叶表示个位)；分别在平面直角坐标系中画出两名球员的传球成功次数的散点图； (2)求出甲、乙两名球员近期5场比赛的传球成功次数的平均值和方差；(3)主教练根据球员每场比赛的传球成功次数分析出球员在场上的积极程度和技术水平,同时根据多场比赛的数据也可以分析出球员的状态和潜力.你认为主教练应选哪位球员?并说明理由.【参考答案】：(1见解析；(2)36,37x x ==甲乙,231.6s =甲,219.2s =乙；(3)见解析.(1)根据两名球员近期5场比赛的传球成功次数,将样本数据有条理地列出来即可完成茎叶图,进而画出散点图.(2)利用平均数公式,方差公式即可求解.(3)由(2)可知,x x <甲乙,且22x x >乙甲,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲,且比较稳定,可知选择乙比较好.【详细解答】解：(1)茎叶图如图散点图如图：(2)2833363845365x ++++==甲,3931433933375x ++++==乙,222222(2836)(3336)(3636)(3836)(4536)649048115831.6555s -+-+-+-+-++++====甲222222(3937)(3137)(4337)(3937)(3337)436364169619.2555s -+-+-+-+-++++====乙(3)选乙比较好,理由如下：由(2)可知,x x <甲乙,且22s s >甲乙,说明乙在场上的积极程度和技术水平高于甲,且比较稳定,所以选择乙比较好.本题考查了茎叶图,平均数,方差,考查了学生的计算能力和数形结合思想,属于基础题. 19.已知矩形,2ABCD AB BC =,E 为DC 中点,将BCD 至BD 折起,连结AC AE BE 、、.(1)当AE BC ⊥时,求证：AD AC ⊥；(2)当12AE BE ⋅=-时,求二面角C BD A --的余弦值. 【参考答案】：(1)证明见解析；(2)14.(1)由线面垂直的判定定理可证BC ⊥平面ADC ,再由线面垂直的性质定理可知BC AD ⊥,进而由线面垂直的判定定理可证AD ⊥平面ABC ,最后由线面垂直的性质定理可证AD AC ⊥；(2)过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ,以点A 为原点,分别以AB AD Az 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设1AD =,E 的坐标为(,,)a b c ,由已知关系构建三元一次方程组求得,,a b c ,再分别计算平面BDC 和平面ABD 的法向量,最后由数量积公式求夹角的余弦值即可.【详细解答】(1)证明：由题意可知,,,BC CD AE BC AE CD E ⊥⊥⋂=,AE ⊂平面ADC ,DC ⊂平面ADC ,所以BC ⊥平面ADC ,又AD ⊂平面ADC ,所以BC AD ⊥, 因为AD AB ⊥,AB平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,AB BC B ⋂=所以AD ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC .所以AD AC ⊥.(2)过点A 作直线AZ ⊥平面ABD ,以点A 为原点,分别以AB AD Az 、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系,设1AD =,则(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0)A D B ,设点E 的坐标为(,,)a b c ,则C 的坐标为(2,21,2)a b c -,(,,),(2,,)AE B a b c E a b c ==-221(2)2a abc AE BE ⋅=-++=- ①又2222||(1)1D a c E b =+-+= ②,2222||(22)(21)(2)1a b c BC =-+-+= ③解由①②③构成的方程组可得3412a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,即点E的坐标31,,424⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 进而313,,,(2,1,0)424DE BD ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭设平面BDC 的一个法向量为(,,)n x y z =,可得00n DE n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以31304220x y z x y ⎧-+=⎪⎨⎪-+=⎩,令1x =,解得32,3y z ==,即31,2,n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 易知,平面ABD 的一个法向量(0.0,1)m =,313cos ,411143n m n m n m===⨯++⋅, 由图可知,二面角C BD A --的大小为锐角,二面角C BD A --的余弦值为14.本题考查空间中线线垂直的证明,还考查了利用空间向量求二面角的余弦值,属于中档题. 20.已知函数()ln xf x e x a =--.(1)若3a =.证明函数()f x 有且仅有两个零点； (2)若函数()f x 存两个零点12,x x ,证明：121222x x x x e e e a >++-.【参考答案】：(1)证明见解析；(2)证明见解析.(1)当3a =时,函数()ln 3xf x e x =--,定义域为(0,)+∞,利用导数分析其单调性01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭,使()f x 在()00,x 单调递减,在()0,x +∞单调递增,进而分别计算并判断()0f x ,31f e ⎛⎫⎪⎝⎭,()f e 与零的大小比较,最后由零点的存在性定理即可确定零点的个数；(2)由12,x x 是函数()f x 的两个零点,知1212ln ,ln x xe x a e x a =+=+,进而表示1212ln 2x x e e x x a +=+,再由分析法逐步反推不等式,最后令12(0,)x x t =∈+∞,构造函数()ln 2t f t e t =--,由(1)的单调性分析,表示最小值并由双勾函数证得ln 20t e t -->,即可得证.【详细解答】(1)由题可知,定义域(0,)+∞当3a =时,函数()ln 3xf x e x =--,则1()xf x e x'=-,21()0xf x e x +'=>'(()f x ''为()f x '的导函数)()f x '∴单调递增12120,(1)102f e f e ⎛⎫=-<=-> ''⎪⎝⎭, 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使0000011()0,x x f x e e x x '=-==. ()00,x x ∴∈时,()0,()f x f x '<单调递减；()0,x x ∈+∞时,()0,()f x f x '>单调递增所以()0min 00001()ln 33xf x f x e x x x ==--=+- 由双勾函数性质可知,()0f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭递减,()0111230222f x f ⎛⎫<=+-=-< ⎪⎝⎭,33113311ln 30e e f e e e e ⎛⎫=--=> ⎪⎝⎭,且3112e <, ∴在()00,x 上有且只有一个零点又2()ln 34240e e f e e e e =--=->-=,且1e > 所以在()0,x +∞上有且只有一个零点综上,函数()f x 有且仅有两个零点(2)由12,x x 是函数()f x 的两个零点,知1212ln ,ln x xe x a e x a =+=+121212ln ln 2ln 2x x e e x x a x x a ∴+=++=+要证121222x x x x e e e a >++-需证121212ln 222ln 2x x ex x a a x x >++-=+令12(0,)x x t =∈+∞ 需证ln 20t e t --> 令()ln 2tf t e t =--与(1)同理得0min 000011()ln 22220,,12tf t e t t t t ⎛⎫=--=+->-=∈ ⎪⎝⎭所以ln 20t e t --> 故121222x x x x e e a +>+-本题考查利用导数与零点的存在性定理研究函数的零点,还考查了利用分析法证明不等式,属于难题.21.已知点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点,点P 是抛物线1C 上的动点,点A 、B 在y 轴上,APB △的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=,且23MC OM =,其中O 为坐标原点.(1)求抛物线1C 的标准方程； (2)求APB △面积的最小值. 【参考答案】：(1)22y x =；(2)8.(1)由()22,0,1,0,32p M C MC OM ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,求出1p =,可得抛物线1C 的标准方程； (2)设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ,写出直线,PA PB 的方程,根据圆2C 与直线,PA PB 相切,得到,b c 的关系,写出APB △的面积,结合基本不等式,即可得到最小值. 【详细解答】(1)点M 是抛物线1C ：()220y px p =>的准线与x 轴的交点,,02p M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭,又()221,0,3C MC OM =,13122p p p ∴+=⨯∴=，. ∴抛物线1C 的标准方程为22y x =.(2)设()()()00,,0,,0,P x y A b B c ,则0bc <,直线PA 的方程为()0000y b x x y bx --+=,直线PB 的方程为()0000y c x x y cx --+=.APB 的内切圆为圆2C ：()2211x y -+=,1==,整理得()()22000000220,220x b y b x x c y c x -+-=-+-=.,b c ∴是方程()2000220x x y x x -+-=的两根,00002,22y xb c bc x x ∴+=-=---. 000,0,2bc x x <>∴>,()()()22222000002000244844222y x x y x b c b c bc x x x ⎛⎫⎛⎫+-∴-=+-=---== ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭. ()()2220002042,2x y x b c x =∴-=-,00002222x x b c x x ∴-==--.所以APB △的面积2000122x S b c x x =-=-.令002,2,0t x x t t =-∴=+>,()224448t S t tt +∴==++≥=,当且仅当4,2t t t ==时,等号成立,此时04x =.所以APB △面积的最小值为8.本题考查抛物线的标准方程和与抛物线有关的最值问题,考查基本不等式和学生的运算化简的能力,属于较难的题目.请考生在22—23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写(涂)清题号.选修4—4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为2431x t a y t ⎧=+⎨=-⎩(t 为参数),圆C 的参数方程为21cos 2sin x a y a θθ⎧=+⎨=-+⎩(θ为参数). (1)求l 和C 的普通方程；(2)将l 向左平移(0)m m >后,得到直线l ',若圆C 上只有一个点到l '的距离为1,求m .【参考答案】：(1)3470x y --=,22(1)(2)1x y -++=；(2)2m =.(1)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用点到直线的距离公式的应用和关系式的平移变换的性质的应用求出结果.【详细解答】(1)由题意可得||1a =, 故l 的参数方程为4131x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数), 圆C 的参数方程为1cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数), 消去参数t ,得l 的普通方程为3470x y --=,消去参数θ,得C 的普通方程为22(1)(2)1x y -++=.(2)l '的方程为37()44y x m =+-,即34370x y m -+-=, 因为圆C 上只有一个点到l '的距离为1,圆C 的半径为1,所以(1,2)C -到l '的距离为2, 即|3837|25m ++-=,解得2m =(1403m =-<舍去). 本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,点到直线的距离公式的应用,函数的关系式的平移变换,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.选修4—5：不等式选讲23.设函数()()40f x x a x a =-+-≠.(1)当1a =时,求不等式()f x x <的解集；(2)若()41f x a≥-恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】：(1)()3,5；(2)()[),01,-∞+∞.(1)把1a =代入,利用零点分段讨论法去掉绝对值可求；(2)利用绝对值的三角不等式求出()f x 的最小值,然后求解关于a 的不等式即可.【详细解答】(1)当1a =时,()52,1143,1425,4x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩,当1x ≤时,()f x x <,无解；当14x <<时,()f x x <可得34x <<；当4x ≥时,()f x x <可得45x ≤<；故不等式()f x x <的解集为()3,5.(2)()()()444f x x a x x a x a =-+-≥---=-,4441a a a a-∴-≥-=. 当0a <或4a ≥时,不等式显然成立；当04a <<时,11a ≤,则14a ≤<. 故a 的取值范围为()[),01,-∞+∞.本题主要考查含有绝对值不等式的解法及恒成立问题,零点分段讨论法是常用解此类不等式的方法.。

辽宁省抚顺市省重点高中协作校2017届高三上学期第一次模拟考试理数试题 Word版含答案

理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}10{，=A ，},2|{A x x y y B ∈==，则=B A C R ）（（） A ．}0{ B ．}2{ C ．}42{， D ．}21,0{，2.在等差数列}{n a 中，1163=+a a ，3985=+a a ，则公差d 为（） A ．14- B ．7- C ．7 D ．143.若函数)141)(4cos(3)(<<-=ωπωx x f 的图象关于12π=x 对称，则ω等于（）A ．2B ．3C ．6D ．94.函数3||)(+--=x x x f 的零点所在区间为（） A ．)1,0( B ．)2,1( C ．)3,2( D ．)4,3(5.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若2cos cos c B a A b =+，2==b a ，则ABC ∆的周长为（）A ．5B ．6C ．7D ．7.56.设向量)tan ,tan 2(βα=，向量)3,4(-=，且0=+，则)tan(βα+等于（） A ．71 B ．51- C ．51 D ．71- 7.当双曲线M ：)02(162222<≤-=+-m m y m x 的焦距取得最小值时，双曲线M 的渐近线方程为（）A ．x y 2±=B ．x y 22±= C ．x y 2±= D ．x y 21±= 8.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（）A ．126+πB ．246+πC ．1212+πD ．1224+π 9.设正数y x ,满足21<-<-y x ，则y x z 2-=的取值范围为（） A ．(0,2) B ．)2,(-∞ C ．)2,2(- D ．)(2,+∞ 10.将函数)62sin(2)(π+=x x f 的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到)(x g 的图象.若9)()(21=x g x g ，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则212x x -的最大值为（）A ．625π B ．635π C ．1249π D ．417π11.在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（） A ．1200 B ．2400 C ．3000 D ．360012.已知函数52)(-=xx f ，24)(x x x g -=，给出下列3个命题：1p ：若R x ∈，则)()(x f x f -的最大值为16.2p ：不等式)()(x g x f <的解集为集合}31|{<<-x x 的真子集.3p ：当0>a 时，若]2,[,21+∈∀a a x x ，)()(21x g x f ≥恒成立，则3≥a .那么，这3个命题中所有的真命题是（）A ．1pB ．1p 、2pC ．2p 、3pD ．1p 、2p 、3p二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.=+ 108cos 63cos 18cos 63sin .14.设函数⎩⎨⎧<≥+=4),(4,log 1)(26x x f x x x f ，则=+)4()3(f f . 15.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为 .16. 在AOB Rt ∆中， 0=⋅，5||=，52||=，AB 边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若43=⋅，则向量在向量OD 上的投影为 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数a xx x f ++=1)(为定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数. （1）求实数a 的值；（2）判断函数)(x f 在区间),1(+∞+a 上的单调性，并用定义法证明.18. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，C 为锐角且C B b A a sin sin sin =，a b 2=.（1）求C 的大小；（2）求22ac 的值.19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种植经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足a P 2480+=，12041+=a Q .设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收益为)(x f （单位：万元）. （1）求)50(f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益)(x f 最大？20.已知数列}{n a 的前n 项和12-+=n n a n S ，且41a a ，是等比数列}{n b 的前两项，记n b 与1+n b 之间包含的数列}{n a 的项数为n c ，如1b 与2b 之间的项为32a a ，，则21=c . （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n n c a 的前n 项和.21.已知函数xe a kx xf )()(+=的极值点为1--a ，其中R a k ∈,，且0≠a .（1）若曲线)(x f y =在点),0(a A 处的切线l 与直线x a y |22|-=平行，求l 的方程；（2）若]2,1[∈∀a ，函数)(x f 在)2,(ae b -上为增函数，求证：232+<≤-a e b e .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧==at y t x （t 为参数），曲线1C 的方程为12)sin 4(=-θρρ，定点)0,6(A ，点P 是曲线1C 上的动点，Q 为AP 的中点.（1）求点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程；（2）直线l 与曲线2C 相交于C B ,两点，若32||≥BC ，求实数a 的取值范围. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数R x x x x f ∈-+-=|,32||12|)(. （1）解不等式5)(≤x f ；（2）若不等式)(2x f m m <-对任意R x ∈都成立，求实数m 的取值范围.理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．22； 14．4； 15．3135； 16．21或23三、解答题：本大题共6个题，共70分． 17．解：（1）∵a xx x f ++=1)(为定义在),0()0,(+∞-∞ 上的奇函数，∴)()(x f x f -=-， ∴)1(1a xx a x x ++-=+--，∴0=a . （2）函数)(x f 在区间),1(+∞上是增函数. 证明：设211x x <<，则2121212121212121211)(11)()(x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f --=---=-+-=-. ∵211x x <<，∴021<-x x ，012121>-x x x x ， ∴0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <. ∴函数)(x f 在区间),1(+∞上是增函数.∴6322-=ac . 19．解：(1)∵甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元， ∴277.512015041502480)50(=+⨯+⨯+=f (2) 2502441120)200(412480)(++-=+-⨯++=x x x x x f ，依题得⎩⎨⎧≥-≥2020020x x ，即18020≤≤x ，故)18020(2502441)(≤≤++-=x x x x f . 令]56,52[∈=x t ，则282)28(412502441)(22+--=++-=t t t x f ，当28=t 时，即128=x 时，282)(max =x f ，∴甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元. 20．解：(1)由题意知，12-+=n n a n S ，)2(1)1(121-≥-+-=-n a n S n n ，两式作差得112--+-=n n n a a n a ，即)2(121-≥-=n n a n ， ∴12+=n a n ，则31=a ，94=a ，∴31=b ，92=b ，312==b b q ， ∴n n n q b b 311==-.(2) n n b 3=，113++=n n b ，∵数列}{n a 是由连续的奇数组成的数列，而n b 和1+n b 都是奇数，∴n b 与1+n b 之间包含的奇数个数为1312331-=--+n nn ，∴13-=n n c ，)12(3)12()13)(12(+-+=-+=n n n c a n n n n . 设}3)12{(nn +的前n 项和为n T ，n n n T 3)12(353321+++⨯+⨯= ，① 13213)12(3533+++++⨯+⨯=n n n T ，②①-②得，111323)12(3139292+++⋅-=+---+=-n n n n n n T ，则13+⋅=n n n T∴数列}{n n c a 的前n 项和为n n n S T n n n 2321--⋅=-+. 21．解：(1) 当0=k 时，)(x f 无极值，故0≠k . 由0)()('=++=xe k a kx xf 得1--=+-=a kka x ，∴k ak k a +=+. ∵0≠a ，∴1=k .∵|22|1)0('-=+=a a f ，∴3=a 或31=a . 当3=a 时，xe x xf )3()(+=，3)0(=f ，∴l 的方程为34+=x y . 当31=a 时，x e x x f )31()(+=，31)0(=f ，∴l 的方程为3134+=x y . (2)证明：由题可知0)1()('≥++=xe a x xf 对)2,(ae b x -∈恒成立， ∵0>x e ，∴01≥++a x ，即1--≥a x 对)2,(ae b x -∈恒成立， ∴a e b a -≤--1，即1--≥a e b a 对]2,1[∈a 恒成立.设1)(--=a e a g a ，]2,1[∈a ，则01)('>-=a e a g ，∴)(a g 在]2,1[上递增，∴3)2()(2max -==e g a g ，∴32-≥e b . 又2(<-a e b ，∴232+<≤-a e b e .22．解：(1)由题意知，曲线1C 的直角坐标方程为12422=-+y y x . 设点)','(y x P ，),(y x Q . 由中点坐标公式得⎩⎨⎧=-=y y x x 2'62'，代入12422=-+y y x 中，得点Q 的轨迹2C 的直角坐标方程为4)1()3(22=-+-y x . (2) 直线l 的普通方程为ax y =，由题意可得222)3(21|13|-=+-a a ，解得430≤≤a ，即实数a 的取值范围是]43,0[. 23．解：(1)原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤-<54421x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤522321x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤->54423x x ，得2141<≤-x 或2321≤≤x 或4923≤<x ， ∴不等式5)(≤x f 的解集为]4941[，-． (2) ∵2|)32(12||32||12|)(=---≥-+-=x x x x x f ， ∴21022)]([2min 2<<-⇒<--⇒=<-m m m x f m m .。

2017年辽宁省锦州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝∅D．M⊈N且N⊈M 2．（5分）若复数z满足i•z＝（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2B．4+πC．4+πD．4+π+π4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11＝20，则S13＝（）A．60B．130C．160D．2606．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．28．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866B．500C．300D．1349．（5分）已知f（x）＝sin x cos x﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y＝g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（α+）+g（）＝（）A．4B．3C．2D．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是（）A．6B．C．D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为．14．（5分）设抛物线x2＝2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则＝．15．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC＝4，则此三棱锥的体积V＝．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f （n）＝q﹣p，例如f（12）＝4﹣3＝1．数列{f（3n）}的前100项和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C，求的取值范围．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△P AB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ＝4，求m的取值范围．21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）＝e mx﹣lnx﹣2．（1）若m＝1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）＝0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形的面积．2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合M＝{x|x＝3n，n∈N}，集合N＝{x|x＝3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）A．M⊆N B．N⊆M C．M∩N＝∅D．M⊈N且N⊈M 【解答】解：∵1∈M，1∉N；0∈N，0∉M；∴M⊈N且N⊈M．故选：D．2．（5分）若复数z满足i•z＝（1+i），则z的虚部是（）A．﹣i B．i C．﹣D．【解答】解：由i•z＝（1+i），得，∴z的虚部为．故选：C．3．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A．2B．4+πC．4+πD．4+π+π【解答】解：由已知可得该几何体为以俯视图为底面的锥体，其侧面积由两个腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，和一个高为2，底面半径为2的圆锥的四分之一侧面积组成，故S＝2××2×2+×π×2×＝4+π，故选：C．4．（5分）如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【解答】解：＝（3+4+5+6）＝＝4.5，则＝0.7×4.5+0.35＝3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确，∵＝（2.5+t+4+4.5）＝3.5，得t＝3，故C错误，A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D正确故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和S n，其中且a11＝20，则S13＝（）A．60B．130C．160D．260【解答】解：∵数列{a n}为等差数列，∴2a3＝a3，即a3＝0又∵a11＝20，∴d＝S13＝•（a1+a13）＝•（a3+a11）＝•20＝130故选：B．6．（5分）设p：实数x，y满足（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2，q：实数x，y满足，则p是q的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：（x﹣1）2+（y﹣1）2≤2表示以（1，1）为圆心，以为半径的圆内区域（包括边界）；满足的可行域如图有阴影部分所示，故p是q的必要不充分条件，故选：A．7．（5分）阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2B．C．﹣1D．2【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i＝0，A＝2，i＝1，A＝1﹣＝，i＞2017，否；i＝2，A＝1﹣2＝﹣1，i＞2017，否；i＝3，A＝1﹣（﹣1）＝2，i＞2017，否；i＝4，A＝1﹣＝，…；i＝2017＝3×672+1，A＝1﹣＝，i＞2017，否；i＝2018＝3×672+2，A＝1﹣2＝﹣1，i＞2017，是，终止循环，输出A＝﹣1．故选：C．8．（5分）三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）2＝4×朱实+黄实＝弦实，化简，得勾2+股2＝弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A．866B．500C．300D．134【解答】解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为＝（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．9．（5分）已知f（x）＝sin x cos x﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y＝g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（α+）+g（）＝（）A．4B．3C．2D．【解答】解：∵f（x）＝sin x cos x﹣sin2x＝sin2x﹣＝sin（2x+）﹣，把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin[2（x﹣）+]﹣＝sin2x ﹣的图象；再把所得图象向上平移2个单位，得到y＝g（x）＝sin2x﹣+2＝sin2x+的图象．若对任意实数x，都有g（α﹣x）＝g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x ＝α对称，∴2α＝kπ+，求得α＝+，k∈z，故可取α＝，∴g（α+）+g（）＝sin（+）++sin+＝4，故选：A．10．（5分）设a＞0，b＞2，且a+b＝3，则的最小值是（）A．6B．C．D．【解答】解：∵a＞0，b＞2，且a+b＝3，∴a+b﹣2＝1，∴＝（）（a+b﹣2）＝2+1++≥3+2，当且仅当a＝（b﹣2）时取等号，即b＝1+，a＝2﹣时取等号，则的最小值是3+2，故选：D．11．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F1，F2，渐近线为l1，l2，P位于l1在第一象限内的部分，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．【解答】解：设双曲线渐近线为l1的方程y＝x，渐近线为l2方程y＝﹣x，则设P点坐标（x，x），则直线PF1的斜率k＝＝，直线PF2的斜率k＝＝，由l2⊥PF1，则×（﹣）＝﹣1，＝1，①l2∥PF2，则＝﹣，解得：x＝，②由①②整理得：＝3，由双曲线的离心率e＝＝＝2，∴双曲线的离心率2，故选：A．12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[1，+∞）C．[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝x2，∴f（x）﹣x2+f（﹣x）＝0，令g（x）＝f（x）﹣x2，则g（﹣x）+g（x）＝f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2＝0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）＝f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）＝0，可得g（x）在R上是减函数．f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m2+2m﹣2≥0，则g（2﹣m）+（2﹣m）2+f（﹣m）﹣（﹣m）2﹣m2+2m﹣2≥0，即g（2﹣m）+g（﹣m）≥0，即g（2﹣m）﹣g（m）≥0，∴2﹣m≤m，解得m≥1故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（x2﹣x﹣2）3展开式中x项的系数为﹣12．【解答】解：（x2﹣x﹣2）3表示3个因式（x2﹣x﹣2）的积，故其中一个因式选﹣x，其余的2个因式都取﹣2，即可得到含x的项，故含x项的系数为C31•（﹣2）×（﹣2）＝﹣12．故答案为：﹣12．14．（5分）设抛物线x2＝2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则＝7．【解答】解：抛物线x2＝2y的焦点为F（0，0.5），准线方程为y＝﹣0，5，过A、B、P作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|＝2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|＝|AM|+|BN|＝2|PR|＝2|3﹣（﹣0.5）|＝7，故答案为：715．（5分）三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC＝4，则此三棱锥的体积V＝．【解答】解：因为△ABC是边长为3的正三角形，所以△ABC外接圆的半径r ＝，所以点O到平面ABC的距离d＝，SC为球O的直径，点S到平面ABC的距离为2d＝2，此棱锥的体积为V＝＝，故答案为：．16．（5分）将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N*，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f （n）＝q﹣p，例如f（12）＝4﹣3＝1．数列{f（3n）}的前100项和为350﹣1．【解答】解：当n为偶数时，f（3n）＝0；当n为奇数时，f（3n）＝﹣＝2×，∴S100＝2（30+31+…+349）＝＝350﹣1．故答案为：350﹣1．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知函数f（x）＝M sin（ωx+φ）（M＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cos B＝b cos C，求的取值范围．【解答】解：（1）由图象知A＝1，，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cos B＝b cos C，根据正弦定理，得：（2sin A﹣sin C）cos B＝sin B cos C∴2sin A cos B＝sin（B+C），∴2sin A cos B＝sin A．∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴cos B＝，即B＝∴A+C＝，即那么：，故得．18．（12分）《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；（2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若η～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．【解答】解：（1）该社区50名市民的平均成绩为162×0.05×4+166×0.07×4+170×0.08×4+174×0.02×4+178×0.02×4+182×0.01×4＝168.72，∴该社区被测试的50名市民的成绩略高于全市市民的平均成绩．50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人数为50×（0.02+0.02+0.01）×4＝10．（2）∵P（168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）＝0.9974，∴P（ξ≥180）＝（1﹣0.9974）＝0.0013，∵0.0013×100 000＝130．∴全市前130名的成绩在180个以上（含180个），这50人中成绩在180 个以上（含180个）的有2人．∴随机变量ξ的可能取值为0，1，2，∴P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴E（ξ）＝0×+1×+2×＝．19．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，，，△P AB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）证明：∵△P AB和△PBD都是等边三角形，∴P A＝PB＝PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA＝OB＝OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD＝BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB＝2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面P AB的法向量为，则，，得，，取x＝1，得y＝﹣1，z＝1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s＝0，，取r＝1，则t＝1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F1，F2，过点F1与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF2的面积为，椭圆C的离心率为（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y＝kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得+λ＝4，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据已知设椭圆的焦距2c，当y＝c时，|MN|＝|x1﹣x2|＝，由题意得，△MNF2的面积为|MN|×|F1F2|＝c|MN|＝，又∵，解得b2＝1，a2＝4，椭圆C的标准方程为：x2+．（Ⅱ）当m＝0时，则P（0，0），由椭圆的对称性得，∴m＝0时，存在实数λ，使得+λ＝4，当m≠0时，由+λ＝4，得，∵A、B、p三点共线，∴1+λ＝4，⇒λ＝3⇒设A（x1，y1），B（x2，y2）由，得（k2+4）x2+2mkx+m2﹣4＝0，由已知得△＝4m2k2﹣4（k2+4）（m2﹣4）＞0，即k2﹣m2+4＞0且x1+x2＝，x1x2＝．由得x1＝﹣3x23（x1+x2）2+4x1x2＝0，∴，⇒m2k2+m2﹣k2﹣4＝0显然m2＝1不成立，∴∵k2﹣m2+4＞0，∴，即．解得﹣2＜m＜﹣1或1＜m＜2．综上所述，m的取值范围为（﹣2，﹣1）∪（1，2）∪{0}21．（12分）已知m＞0，设函数f（x）＝e mx﹣lnx﹣2．（1）若m＝1，证明：存在唯一实数，使得f′（t）＝0；（2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明：．【解答】证明：（1）当m＝1时，f（x）＝e x﹣lnx﹣2，f′（x）＝e x﹣，x＞0．f′（x）在（0，+∞）上单调递增，又f′（）＜0，f′（1）＞0，故存在唯一实数t∈（，1），使得f′（t）＝0；（2）f′（x）＝me mx﹣，f″（x）＝＞0，∴f′（x）在（0，+∞）上为增函数，而f′（x）＝m（），由（1）得，存在唯一实数mx0＝t∈（），使得f（x0）＝0．当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．故f（x）有最小值f（x0）＝e t﹣lnt+lnm﹣2．由（1）得，t＝﹣lnt，∴f（x0）＝．设h（t）＝，当t∈（）时，h′（t）＝＜0．h（t）在（）上单调递减，∴f（x0）＝h（t）∈（lnm，lnm+）．∵f（x）＞0恒成立，∴lnm+＞0成立，故m＞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线OT：与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．【解答】解：（1）因为曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数t得曲线C的普通方程为（x﹣1）2+y2＝3，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣2＝0．（2）联立，得ρ2﹣ρ﹣2＝0，由ρ＞0解得ρ＝2，∴射线OT与曲线C的交点A的极坐标为（2，），联立，得ρ＝6，故射线OT与直线l的交点B的极坐标为（6，），∴|AB|＝|ρB﹣ρA|＝4．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+|x﹣2|（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a2恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|≥6a﹣a2在R恒成立，因为|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5，所以6a﹣a2≤5，解得a≤1或a≥5．（Ⅱ）f（x）＝9，可得x＝﹣5或x＝4，如图所示，函数y＝f（x）的图象与直线y＝9围成的封闭图形是等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，面积为＝28．。

辽宁省葫芦岛市普通高中联合体2017届高三上学期第一次考试数学(理)试题 Word版含答案

12.已知函数 y f x 是定义在实数集 R 上的奇函数，且当 x ,0 时，，若 xf x f x （其中 f x 是 f x 的导函数）
a 3f
3 , b lg 3 , c log
3
B． f x 2 2
C． f x lg 1 x lg 1 x
7.下列函数与 y x 有相同图象的一个函数是（ A． y
）

x
2
B． y
x2 x
2
C． y a
log a x
（ a 0 且 a 1 ） D． y loga a x ）
2015 2014 2013 2 1 f f f f f 2016 2016 2016 2016 2016
两式相加，由（1）得，2S=2015，S=
2015 .（6 分） 2
2 2
考点：1、函数的解析式；2、 “倒序相加法”求和的应用. 21．（1）f（x）=x +2x
B． x | 0 x 1
C． x | 1 x 1 ）
D． x | 2 x 1
2.下列函数中，在区间 1, 上为减函数的是（ A． y
1 x 1
B． y 2
x 1
C． y
x 1
D． y ln x 1 ）
3.已知函数 f x A．-1 B．0
数学（理科）试题一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
2 1.已知集合 A x | 2 x 1 , B x | x 2 x 0 ，则 A B （

辽宁省辽南协作校2017届高三一模拟考试数学(理)试题

即：原数据都加同一个常数，变化后数据的均值也加这个常数，而方差不变。

则可得；本题的均值和方差为：1+a，4考点：均值和方差的定义及性质.4. 公差不为零的等差数列{a n}的前n项为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )A. 18B. 24C. 60D. 90【答案】C【解析】本题考查等差中项的概念、等差数列的通项公式。

求和公式及基本运算.设公差为则，即解得则故选C5. 设F1和F2为双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±x【答案】B【解析】若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点，设F1(−c,0),F2(c,0),则，∵F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，∴，∴c2+4(c2−a2)=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，，∴双曲线的渐近线方程为，即为.本题选择B选项.6. 设a=log23,b=,c=log34，则a,b，c的大小关系为（）A. b<a<cB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a【答案】D【解析】∵，，∴a，b，c的大小关系为c<b<a.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（）A. 18B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】圆的方程即：，圆心到直线的距离为：，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为，综上可得：圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是.本题选择C选项.点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B考点：空间几何体的三视图.9. (x +y +z)4的展开式共（）项A. 10B. 15C. 20D. 21【答案】B【解析】因为所以再运用二项式定理展开共有项，应选答案B。

辽宁省辽南协作校2017-2018学年高三下学期第一次模拟考试数学试题(理科) Word版含解析

2017-2018学年度下学期高三第一次模拟考试试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数，则( )A. 3B.C.D. 5【答案】D【解析】∵复数∴故选D.2. 设集合，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由解得，所以，故，因此选C.3. 若是两条不同的直线，是三个不同的平面，①②③④若，则则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】对于①正确，对于②，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误，③正确，④若，则错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交.故选B.4. 某地区一模考试数学成绩服从正态分布，且.从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩，数学成绩在的人数记作随机变量.则的方差为( )A. 2B. 2.1C. 2.4D. 3【答案】C【解析】由正态分布知，每个人数学成绩在的概率为，所以10个学生数学成绩在的人数服从二项分布B（10,0.6），所以方差为，故选C.点睛：正态分布问题可根据正态曲线的对称性来求落在某区域的概率，其对称轴为，所以落在对称轴两侧的概率分别为，从而知道的概率，进而解决问题.5. 已知知,给出下列四个命题：；；；；其中真命题的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】不等式组的可行域如图所示：对于，点，，故为真命题；对于，点，，故为假命题；对于，表示的意义为点与点连线的斜率，由图可得，的取值范围为，故为真命题；对于，表示的意义为点到原点的距离的平方，由图可得，故为假命题.故选B.6. 公元263年左右,我国数学家刘徽发现,当圆内正接多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,由此创立了割圆术,利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14,这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图,则输出的值为(参考数据:，)( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】第一次执行程序后，，，第二次执行程序后，，，第三次执行程序后，，，第四次执行程序后，，跳出循环，输出，故选B.点睛：处理此类问题时，一般模拟程序的运行，经过几次运算即可跳出循环结束程序，注意每次循环后变量的变化情况，寻找规律即可顺利解决，对于运行次数比较多的循环结构，一般能够找到周期或规律，利用规律或周期确定和时跳出循环结构，得到问题的结果.7. 若双曲线的焦距为4，则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】∵双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为∵双曲线的焦距为4∴，即∴双曲线的标准方程为∴双曲线的渐近线的方程为故选D.8. 函数的部分图像如图所示，则关于函数的下列说法正确的是( )A. 图像关于点中心对称B. 图像关于直线对称C. 图像可由的图像向左平移个单位长度得到D. 在区间上单调递减【答案】D【解析】由图象可知故，又过点，所以，且，所以，因此函数为，，显然当时，，所以函数是增函数，故选D.9. 已知函数，若且则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，且，所以，故，所以，因为时，是减函数，所以，故选A.点睛：涉及以类型的函数，且时，关键是注意到，从而得到真数之间的倒数关系，进而才能解决相关的问题.10. 某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是，如图(2)所示，其中，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由图(2)可知该几何体的俯视图是一个底面边长为4，高为的等腰三角形，即该三角形为等边三角形，在如图所示的长方体中，长宽高分别为，三视图换元为几何体是图中的三棱锥,且：，，△PAB是腰长为，底面边长为的等腰三角形，，综上可得，该几何体的表面积为.本题选择C选项.点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．11. 函数，则( )A. B.C. D.【答案】B【解析】函数是偶函数，当时，，当时，是增函数，又，所以，故选B.点睛：凡涉及函数的奇偶性和单调性，比较几个函数值大小的问题，一般转化为离对称轴y 轴远近的问题，从而转化为比较自变量绝对值的大小问题，进而比较容易的解决问题. 12. 已知是定义在上的偶函数，对任意,都有有,且当时，,若在上有5个根，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】∵对任意，都有∴，即函数是周期为4的函数∵是定义在上的偶函数∴，则函数关于对称又∵当时，∴作出函数在上的图象如图所示∵在上有5个根∴结合函数图象可得或∴∴∵∴，即的取值范围是.故选B.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，且的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________．【答案】且【解析】因为的夹角为锐角，所以解得，又当时，不符合题意，所以且.14. 二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则无理项都互不相邻的排列总数为__________．（用数字作答）【答案】72【解析】因为二项式的展开式中只有第3项的二项式系数最大，所以展开式共5项，，其通项为，当时项为有理项，所以无理项有2个，先把有理项排好有种，从4个空中取两个排上无理项有种排法，所以共有种排法.15. 设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．【答案】【解析】由+得,所以，即，再由余弦定理得，即，解得，又，所以的范围是.点睛：在解三角形问题中，一般需要利用余弦定理结合均值不等式，来求两边和的取值范围或者是三角形的面积的最值，只需运用余弦定理，并变形为两边和与两边积的等式，在利用均值不等式转化为关于两边和或两边积的不等式，解不等式即可求出范围.16. 已知抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若，且,则__________．【答案】【解析】由题意可设过抛物线的焦点的直线方程为.联立，得.设，，则.∵∴，即.∴，则.∴∵∴，∴故答案为.点睛：本题考查了直线与抛物线的位置关系，根据题中所给条件，设出直线方程为，联立直线方程与抛物线方程，依据条件，得出交点横坐标之间的数量关系，然后再根据韦达定理，求出交点横坐标，从而求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列满足数列满是.(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和,求使得对任意正整数都成立的实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2).【解析】试题分析：（1）由，即可得数列是首项是1，公比为的等比数列，可得数列的通项公式，由，即可得数列的通项公式；（2）由数列可得，对任意正整数都成立等价于任意正整数都成立，即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）由，∴为首项是1，公比为的等比数列∴∴（2）∴任意正整数都成立∵∴当或2时，的最大值为4，∴.18. 2017年被称为”新高考元年”,随着上海、浙江两地顺利实施“语数外+3”新高考方案,新一轮的高考改革还将继续在全国推进.辽宁地区也将于2020年开启新高考模式,今年秋季入学的高一新生将面临从物理、化学、生物、政治、历史、地理等6科中任选三科(共20种选法)作为自已将来高考“语数外+3”新高考方案中的“3”.某地区为了顺利迎接新高考改革,在某学校理科班的200名学生中进行了“学生模找拟选科数据”调查,每个学生只能从表格中的20种课程组合选择一种学习.模拟选课数据统计如下表：为了解学生成绩与学生模拟选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析.(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2天要学习生物的概率；(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人,记这3人中要学习生物的人数为,要学习政治的人数为,设随机变量,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）分别计算2人选生物和三人选生物的选法，由加法原理可得共34种，从而计算出其概率；（2）物化生组合有4人,的可能取值为0,1,2,3,物化政组合1人,的可能取值为0，1，的可能取值为-1，0，1,2，3.根据古典概型，分别求其概率即可得出分布列及期望.试题解析：(1)选择学习物理且学习化学的学生有9人,其中学习生物的有4人从9人中选3人共有种选法,有2人选择生物的选法共有种,有3人选择生物的选法有种，所以至少有2人选择生物的概率为.(2)物化生组合有4人,的可能取值为0,1,2,3,物化政组合1人,的可能取值为0，1，的可能取值为-1，0，1,2，3.；；；；，的分布列.19. 在如图所示的六面体中,面是边长为2的正方形,面是直角梯形,，.(1)求证:平面；(2)若二面角为60°,求直线和平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）连接相交于点,取的中点为,连接，易证四边形是平行四边形，从而可得结论；（2）以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,计算法向量，根据公式即可求出......................试题解析：(1):连接相交于点,取的中点为,连接.是正方形,是的中点,,又因为,所以且,所以四边形是平行四边形,,又因为平面平面平面(2)是正方形,是直角梯形,,,平面,同理可得平面.又平面,所以平面平面,又因为二面角为60°，所以,由余弦定理得, 所以，因为半面，,所以平面,以为坐标原点,为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系. 则,所以,设平面的一个法向量为,则即令，则，所以设直线和平面所成角为，则20. 已知椭圆的离心率,顶点到直线的距离为，椭圆内接四边形（点在椭圆上）的对角线相交于点，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率及顶点到直线的距离建立a,b,c的方程，即可求出椭圆标准方程；（2）可先求出直线的方程为，再求出弦长，再求出点C到直线AB的距离即可写出三角形面积.试题解析：(1)解：由题意知，解得,所以椭圆的标准方程为(2)设点，有①因为，且所以点的坐标为因为点在椭圆上，所以将点坐标代入种得②由①、②得设点，同理可得因为都满足方程所以直线的方程为设点,解得代入得同理点也满足方程所以直线的方程为因为可得到直线的距离为所以的面积等于.点睛：求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．21. 函数.(1)若函数在点处的切线与直线平行,求实数的值；(2)若函数在上单调递增,求实数的取值范围；(3)在(1)的条件下,求的最小值.【答案】(1)；(2)；(3)1.【解析】试题分析：（1）对函数求导，由函数在点处的切线与直线平行，可得，即可得出实数的值；（2）函数在上单调递增等价于在恒成立，即在恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，即可求出，从而可得实数的取值范围；（3）根据（1）的条件，利用导数研究函数的单调性，可推出恒成立，从而在上递增，结合零点存在性定理，即可求得的最小值.试题解析：（1）∵函数∴∵函数在点处的切线与直线平行∴∴（2）由题意，需在恒成立，即在恒成立. 令，则.∴在递增∴∴（3）当时，，则，. ∴在上递增又∵∴使得，此时∴时递减，时递增∴点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 直线的极坐标方程为,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数).(1)将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍,得到曲线,写出的极坐标方程；(2)射线与交点为，射线与交点为，求四边形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍得，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可.试题解析：(1)所以极坐标方程为：(2)将代入直线的极坐标方程得到，由与得23. 已知函数.(1)当时，解不等式的解集；(2)当时，有成立，求的取值范围.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）当时，不等式等价于，即可求解；（2）根据绝对值三角不等式即可得解.试题解析：(1)原不等式等价于解得：(2)由题意可得恒成立.∵∴∴解得。

辽宁省辽南协作体届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题(解析版)

辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数z=1−i|i|，下列说法正确的是()A. z的虚部为−iB. z对应的点在第一象限C. z的实部为−1D. z的共复数为1+i【答案】D【解析】解：∵z=1−i|i|=1−i，∴z的虚部为−1；z对应的点的坐标为(1,−1)，在第四象限；z的实部为1；z的共复数为1+i．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.若集合A={x|1≤x<2}，B={x|x>b}，且A∩B=A.则实数b的范围是()A. b≥2B. 1<b≤2C. b≤2D. b<1【答案】D【解析】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∴b<1．故选：D．根据A∩B=A即可得出A⊆B，从而得出b<1．考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义．3.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则异面直线A1D与B1D1所成角为()A. π6B. π4C. π3D. π2【答案】C第1页，共14页【解析】解：连接BD ，BA 1，因为B 1D 1//DB ，故∠A 1DB(或其补角)为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角，在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =√2，DB =√2，A 1B =√2即∠A 1DB =π3，故选：C ．由异面直线角的作法得：连接BD ，BA 1，因为B 1D 1//DB ，故∠A 1DB(或其补角)为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角，由解三角形得：在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =√2，DB =√2，A 1B =√2即∠A 1DB =π3，得解．本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题．4. 下列判断错误的是( )A. “|a|<|b|”是”|am|<|bm|”的充分不必要条件B. 若￢(p ∨q)为真命题，则p ，q 均为假命题C. 命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b >0“D. 若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72，则P(ξ≤−1)═0.28 【答案】A【解析】解：A.当m =0时，若“|a|<|b|”，则”|am|<|bm|”不成立，即充分性不成立，故A 错误，B.若￢(p ∨q)为真命题，则p ∨q 为假命题，则p ，q 都是假命题，故B 正确，C.命题“∀x ∈R ，ax +b ≤0”的否定是“∃x ∈R ，ax +b >0“正确，故C 正确，D.若随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2)，P(ξ≤3)=0.72=P(ξ>−1)，则P(ξ≤−1)═1−P(ξ>−1)=1−0.72=0.28，故D 正确，故错误的是A ，故选：A ．A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断B.根据复合命题真假关系进行判断C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断D.根据正态分布的性质进行判断本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大．5. 已知cosα=35，α∈(−π2,0)，则sin2α1−cos2α的值为( )A. −43B. 43C. −34D. 34【答案】C【解析】解：由cosα=35，α∈(−π2,0)，得sinα=−√1−cos 2α=−45， ∴sin2α1−cos2α=2sinαcosα2sin 2α=cosαsinα=35−45=−34．故选：C ．第3页，共14页由已知求得sinα，再由倍角公式求解sin2α1−cos2α的值．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题．6. 将函数f(x)=sin(2x −π6)图象上的所有点向左平移t(t >0)个单位长度，到的函数g(x)是奇函数.则下列结论正确的是( )A. t 的最小值是π6，g(x)的对称中心为是(kπ2+π12,0)，k ∈Z B. t 的最小值为π6，g(x)的对称轴为x =kπ2+π3，k ∈ZC. t 的最小值为π12，g(x)的单调增区间为(kπ−π4,kπ+π4)，k ∈Z D. t 的最小值为π12，g(x)的周期为π【答案】D【解析】解：函数f(x)=sin(2x −π6)图象上的所有点向左平移t(t >0)个单位长度，得到 g(x)=sin(2x +2t −π6)，由于函数g(x)是奇函数．所以：2t −π6=kπ(k ∈Z)，解得：t =kπ2+π12，由于t >0，所以：当k =0时，t 的最小值为π12，且函数的最小正周期为π．故选：D ．首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t 的最小值，进一步求出函数的最小正周期．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是( )A. n ≤6？ B. n >6？ C. n ≤5？ D. n >5？【答案】D【解析】解：第一次，s =2，a =4，不满足条件.n =2，第二次，s =2+4=6，a =6，不满足条件.n =3，第三次，s =6+6=12，a =8，不满足条件.n =4，第四次，s =12+8=20，a =10，不满足条件.n =5，第五次，s =20+10=30，a =12，不满足条件.n =6，第六次，s =30+12=42，a =14，满足条件．输出S =42，即n =6满足条件.，n =5不满足条件．则条件应该为n >5？，故选：D ．根据程序框图进行模拟运算即可得到结论．本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键．8. 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(s >0,b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|+|PF 2|=4a ，且△PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，则C 的离心率为( )A. 2B. 3C. √2D. √3【答案】C【解析】解：因为F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 是双曲线上一点，且满足|PF 1|+|PF 2|=4a ，不妨设P 是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF 1|−|PF 2|=2a ，所以|F 1F 2|=2c ，|PF 1|=3a ，|PF 2|=a ， △PF 1F 2的最小内角的正弦值为13，其余弦值为2√23，由余弦定理，可得|PF 2|2=|F 1F 2|2+|PF 1|2−2|F 1F 2||PF 1|cos∠PF 1F 2，即a 2=4c 2+9a 2−2×2c ×3a ×2√23，第5页，共14页c 2−2√2ca +2a 2=0，即c =√2a ，所以e =ca =√2．故选：C ．利用双曲线的定义求出|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|，然后利用最小内角的正弦值为13，其余弦值为2√23，结合余弦定理，求出双曲线的离心率．本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题．9. 函数f(x)=e |x|−2|x|−1的图象大致为( )A.B.C.D.【答案】C【解析】解：函数f(x)=e |x|−2|x|−1是偶函数，排除选项B ，当x >0时，函数f(x)=e x −2x −1，可得f′(x)=e x −2，当x ∈(0,ln2)时，f′(x)<0，函数是减函数，当x >ln2时，函数是增函数，排除选项A ，D ，故选：C ．判断函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，然后判断函数的图象即可．本题考查函数的导数的应用，函数的图象的判断，是中档题．10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多银有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：第一步，请n 名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对(x,y)；第二步，统计两数能与1构成纯角三角形边的数对(x,y)的个数m ；第三步，估计π的值.若n =100，m =31，则估计π的值( )A.10031B. 8125C. 7825D. 3125【答案】B【解析】解：由题意，100对都小于1的正实数对(x,y)满足{0<y <10<x<1，其表示图形的面积为1．两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x 2+y 2−1<0，且{0<y <10<x<1，x +y >1，则不等式组表示图形的面积为π4−12．则：π4−12≈31100.解得π=8125．故选：B ．两个数能与1构成钝角三角形的数对(x,y)满足x 2+y 2−1<0，且{0<y <10<x<1，x +y >1，从而不等式组表示图形的面积为π4−12.由此能估计π的值．本题考查几何概型，古典概型等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．11. 若两个非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |，则向量b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6【答案】D【解析】解：∵|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |； ∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ 2=a ⃗ 2；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−12a ⃗ 2；∴(a ⃗ −b ⃗ )2=a ⃗ 2+a ⃗ 2+a ⃗ 2=3a ⃗ 2；∴|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ |，且b ⃗⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−12a ⃗ 2−a ⃗ 2=−32a ⃗ 2； ∴cos <b ⃗ ,a ⃗ −b⃗ >=b ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )|b ⃗ ||a ⃗ −b⃗ |=−32a ⃗ 2√3a⃗ 2=−√32；又0≤<b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ >≤π； ∴b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角是：5π6．故选：D ．根据|a ⃗ +b ⃗ |=|a ⃗ |=|b ⃗ |即可得出a ⃗ ⋅b ⃗ =−12a ⃗ 2，从而得出|a ⃗ −b ⃗ |=√3|a ⃗ |，b ⃗ ⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ 2，从而可求出cos <b ⃗ ,a ⃗ −b ⃗ >=−√32，根据向量夹角的范围即可求出b ⃗ 与a ⃗ −b⃗ 的夹角．考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．12. 斜率为43且过抛物线C ：y 2=4x 焦点的直线交抛物线C 于A 、B 两点，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，则实数λ为( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【答案】C【解析】解：抛物线C ：y 2=4x 焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，y 1>0，B(x 2,y 2). 直线方程为：y =43(x −1)，联立{y =43(x −1)y 2=4x，化为：y 2−3y −4=0，解得y 1=4，y 2=−1．第7页，共14页∵AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，∴4=−λ×(−1)，解得λ=4．故选：C ．抛物线C ：y 2=4x 焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，y 1>0，B(x 2,y 2).直线方程为：y =43(x −1)，与抛物线方程联立解出坐标，再根据AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>1)，利用向量坐标相等得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知(x −1)(ax +1)6展开式中x 2的系数为0，则正实数a 的值是______．【答案】25【解析】解：(x −1)(ax +1)6中，(ax +1)6中x 2的系数为：C 64a 2，x 项的系数为：C 65a ，(x −1)(ax +1)6展开式中含x 2项的系数为0，可得：−C 64a 2+C 65a =0，则15a =6，所以a =25，故答案为：25．求出(ax +1)6展开式中含x 2项的系数以及x 项的系数，然后利用已知条件，列出方程求得a 的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．14. 正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径为______．【答案】√32【解析】解：正方体的棱长为1，则该正方体外接球的半径：12×√12+12+12=√32．故答案为：√32．利用已知条件，直接求出正方体的外接球的半径即可．本题考查正方体的棱长与外接球的半径的关系，是基本知识的考查．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为b 23sinB，若6cosA ⋅cosC =1，b =3，则∠ABC =______．【答案】π3【解析】解：∵△ABC 的面积为b 23sinB =12acsinB ，b 2=32acsin 2B ， ∴由正弦定理可得：sin 2B =32sinAsinCsin 2B ， ∴可得：sinAsinC =23，∵6cosA ⋅cosC =1，可得：cosAcosC =16，∴cos∠ABC =cos[π−(A +C)]=−cos(A +C)=sinAsinC −cosAcosC =23−16=12，∵∠ABC ∈(0,π)， ∴∠ABC =π3．故答案为：π3．由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求sinAsinC =23，又由6cosA ⋅cosC =1，可得cosAcosC =16，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求cos∠ABC 的值，结合范围∠ABC ∈(0,π)，即可得解∠ABC =π3．本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16. 若直线y =x +1是曲线f(x)=x +1x −alnx(a ∈R)的切线，则a 的值是______．【答案】−1【解析】解：设切点的横坐标为x 0，f′(x)=1−1x2−ax=x 2−ax−1x 2=1⇒x 0=−1a⇒−a =1x 0，则有：f(x 0)=x 0+1x 0−alnx 0=x 0+1⇒lnx 0−x 0+1=0，令ℎ(x)=lnx −x +1⇒ℎ′(x)=1x −1=0⇒x =1，则ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，又因为ℎ(1)=0，所以x 0=1⇒a =−1；故答案为：−1．设切点的横坐标为x 0，求出导函数，利用直线y =x +1与曲线y =f(x)相切，转化求解切点横坐标以及a 的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法.考查转化思想以及计算能力．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =(12)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【答案】解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =n 2．当n =1时，a 1=S 1=1，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=n 2−(n −1)2=2n −1(首项符合通项)，故：a n =2n −1． (2)由于a n =2n −1，所以：b n =(12)a n =(12)2n−1，则：b n+1b n=(12)2n+1(12)2n−1=14，第9页，共14页所以：数列{b n }是以首项为12，公比为14的等比数列．故：T n =12(1−14n )1−14=23(1−14n )．【解析】(1)首先求出数列的通项公式，(2)利用(1)的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18. 从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计(两眼视力不同，取较低者统计)，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在[4.1,4.3)的概率为110．(1)求a ，b 的值；(2)若高校A 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于4.9，高校B 专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于5.0，已知在[4.9,5.1)中有13的学生裸眼视力不低于5.0．现用分层抽样的方法从[4.9,5.1)和[5.1,5.3)中抽取4名同学，4人中有资格(仅考虑视力)考B 专业的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：(1)由频率分布直方图的性质得： {b ×0.2=110(b +0.75+1.75+a +0.75+0.25)×0.2=1，解得b =0.5，a =1．(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4， P(ξ=1)=C 103C 50C 153=2491， P(ξ=2)=C 102C 51C 153=4591， P(ξ=3)=C 104C 52C 153=2091，P(ξ=4)=C 100C 53C 153=291，E(ξ)=1×2491+2×4591+3×2091+4×291=2．【解析】(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a ，b ．(2)在[4.9,5.1)中，共有15人，其中5人不低于5.0，在这15人中，抽取3人，在[5.1,5.3]中共有5人，抽取1人，随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E(ξ)．本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，点P(2√63,√33)满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线1经过椭圆C 的右焦点与椭圆相交于M ，N 两点，设O 为坐标原点，直线OM ，直线l ，直线ON 的斜分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列，求k 1⋅k 2的值．【答案】解：(1)依题意F 1(−c,0)，∴PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c 2+3=0，即c =√3 ∵e =ca =√32， ∴a =2，∴b 2=a 2−c 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1，(2)设直线l 的方程为y =k(x −√3)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，由{x 24+y 2=1y =k(x −√3)，得(1+4k 2)x 2+8√3k 2x +4(3k 2−1)=0，则x 1+x 2=8√3k 21+4k2，x 1x 2=12k 2−41+4k 2，∵k 1，k ，k 2成等比数列， ∴k 1⋅k 2=k 2=y 1y 2x 1x 2=k 2(x 1−√3)(x 2−√3)x 1x 2，则√3(x 1+x 2)=3，即8√3k 21+4k 2=√3，解得k 2=14 故k 1⋅k 2=14．【解析】(1)依题意F 1(−c,0)，由PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−c 2+3=0，即c =√3，根据离心率求出a ，即可求出b ，可得椭圆方程(2)设直线l 的方程为y =k(x −√3)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可．本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题．20. 已知在四棱P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD =2，AB =1，PA ⊥平面ABCD ，F 是线段BC 的中点．(1)求证：PF ⊥FD ；(2)若直线PB 与平面ABCD 所成的角为45∘，求二面角A −PD −F 的余弦值；(3)画出平面PAB 与平面PDF 的交线l.(不写画法)【答案】(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设|PA|=ℎ，∴P(0,0，ℎ)，B(1,0，0)，D(0,2，0)，C(1,2，0)，F(1,1，0)，E(12,0，0)，∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−ℎ)，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， ∴PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF ⊥FD ； (2)解：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PB 在底面ABCD 的投影为BA ，∴∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成角，即∠PBA =45∘，∴△PBA 为等腰直角三角形，则|AP|=|AB|=1，即ℎ=1． ∴平面PFD 的法向量为n ⃗ =(1,1,2)，平面APD 为yOz 平面， ∴平面APD 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,0)，设二面角A −PD −F 的平面角为θ，可知θ为锐角， ∴cosθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=√6=√66； (3)解：如图，延长DF ，AB 交于G ，连接PG ，则PG 即为所求直线l ．【解析】(1)以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设|PA|=ℎ，分别求出P ，B ，D ，C ，F ，E 的坐标，然后证明PF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则PF ⊥FD ；(2)由PA ⊥底面ABCD ，可得PB 在底面ABCD 的投影为BA ，得到∠PBA 为PB 与平面ABCD 所成角，由此求得平面PFD 的法向量为n ⃗ =(1,1,2)，平面APD 为yOz 平面，可得平面APD 的法向量为m⃗⃗⃗ =(0,1,0)，由两法向量所成角的余弦值可得而面角A −PD −F 的余弦值；(3)延长DF ，AB 交于G ，连接PG ，则PG 即为所求直线l ．本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．21.已知函数f(x)=lnx−ax+1x．(1)若1是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值；(2)讨论函数f(x)的单调性；(3)在(1)的条件下证明：f(x)≤xe x−x+1x−1．【答案】解：(1)f′(x)=1x −a−1x2，(x>0)，f′(1)=1−a−1=0，故a=0，(2)f′(x)=−ax2+x−1x2，方程−ax2+x−1=0的判别式△=1−4a，①当a≥14时，△≤0，f′(x)≤0，f(x)在(0,+∞)递减，②当0<a<14时，方程−ax2+x−1=0的根为x=1±√1−4a2a，且x1=1−√1−4a2a >0，x2=1+√1−4a2a>0，故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,x2)递增，在(x2,+∞)递减，③当a=0时，f′(x)=x−1x2，f(x)在(0,1)递减，在(1,+∞)递增，④当a<0时，方程−ax2+x−1=0的根为x=1±√1−4a2a，且x1=1−√1−4a2a >0，x2=1+√1−4a2a<0，故f(x)在(0,x1)递减，在(x1,+∞)递增；(3)在(1)的条件下f(x)≤xe x−x+1x−1，xe x−lnx−x−1≥0，g′(x)=(x+1)e x−1x−1，令ℎ(x)=(x+1)e x−1x−1，ℎ′(x)=(x+2)e x+1x2>0，(x>0)，故ℎ(x)在(0,+∞)递增，又ℎ(12)<0，ℎ(e)>0，故∃x0∈(12,e)，使得ℎ(x0)=0，即x0e x0=1，g(x)在(0,x0)递减，在(x0,+∞)递增，故g(x)min =g(x 0)=x 0e x 0−ln 1e x 0−x 0−1=0，故f(x))≤xe x −x +1x −1．【解析】(1)求出函数的导数，计算f′(1)=0，得到关于a 的方程，解出即可； (2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；(3)求出函数的导数，令ℎ(x)=(x +1)e x −1x −1，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22. 在平面直角坐标系中，直线l 过原点且倾斜角为π4；曲线C 1的参数方程{x =√33cosαy =sinα(α为参数)；曲线C 2的参数方程为{x =3+√13cosαy =2+√13sinα(α为参数)．(1)求直线1的极坐标方程，曲线C 1和曲线C 2的普通方程；(2)若直线1与曲线C 1和曲线C 2在第一象限的交点分别为M 、N ，求M 、N 之间的距离．【答案】解：(1)直线l 的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)；曲线C 1 的普通方程为x 213+y 2=1；曲线C 2的普通方程为(x −3)2+(y −2)2=13． (2)曲线C 1的极坐标方程为ρ2=11+2cos 2θ，曲线C 2的极坐标方程为：ρ=6cosθ+4sinθ， ∴|OM|=6cos π4+4sin π4=5√2，|ON|=√1+2×(√22)=√22，可得|MN|=|ON|−|OM|=5√2−√22=9√22．【解析】(1)直线l 的极坐标方程为θ=π4，(ρ∈R)；利用sin 2α+cos 2α=1可得C 1和C 2的普通方程；(2)将C 1，C 2化成极坐标方程后将θ=π4代入可求得|OM|，|ON|，再相加．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23. 设函数f =|x +1|−|2x −4|．(1)求不等式f(x)>2的解集；(2)若关于x 的不等式f(x)>t 2+2t 解集非空，求实数t 的取值范围．【答案】解：(1)|x +1|−|2x −4|>2，等价为{x −5>2x<−1或{−1≤x ≤23x−3>2或{−x +5>2x>2，可得x ∈⌀或53<x ≤2或2<x <3，即为53<x<3，则原不等式的解集为(53,3)；(2)关于x的不等式f(x)>t2+2t解集非空，可得t2+2t<f(x)max，由f(x)=|x+1|−|x−2|−|x−2|≤|x+1−x+2|−0=3，当且仅当x=2时取得最大值2，可得t2+2t<3，解得−3<t<1．【解析】(1)运用分类讨论解不等式即可得到所求解集；(2)由题意可得t2+2t<f(x)max，由绝对值不等式的性质可得f(x)的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查不等式的解法和不等式有解的运用，考查运算能力，属于基础题．。