优选优化问题与LINGO软件

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优化模型与LINDOLINGO优化软件

前面是两个循环语句的用法，函数以 “@”开头，里面是循环变量以及界定循环变量的变化范围，后面是循环体。还有另外的两个循环函数：@min和@max，其用法相类似。
从一维数组派生二维数组在数学上是常用的，比如运输问题，由顶点集可以派生边，大家可以使用本方法产生标准的运输问题的Lingo程序。可以参考例子。
• Preprocess：预处理(生成割平面)； • Preferred Branch：优先的分枝方式：
“Default”（缺省方式）、 “Up”（向上取整优先）、 “Down”（向下取整优先）；
• IP Optimality Tol：IP最优值允许的误差上限（一个百分数，如5%即0.05）； • IP Objective Hurdle：IP目标函数的篱笆值，即只寻找比这个值更优最优解
2，Lingo程序的结构和语法
一个规划问题，包括下面的一些内容：变量、常量、目标、约束。还是以前面的例子，说明最基本的程序构成。 model: linear programming sets:
cargo/1..n/:c,x; rhs/1..m/:b; mat(rhs,cargo):a; endsets data c=2,3; b=2,1/2; A=1,1,1,-2; enddata max=@sum(cargo(i):c(i)*x(i)); @for(rhs(j):@sum(cargo(i):a(j,i)*x(i))<b(j));
1 )现有 2料场，位于 A (5 ,1 ),B (2 ,7 ), 记 (x j,y j),j= 1 ,2 , 日储量 e j各有 2 0吨。
目标：制定每天的供应计划，即从 A, B 两料场分别向
各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。

优化模型与LINGO优化软件

资源单位产品资源消耗量甲 A B C 单位产品利润 2 4 0 2 乙 2 0 5 3 12 16 15 资源拥有量
m ax z 2 x1 3 x 2 s .t . 2 x1 2 x 2 1 2 4x 16 1 5 x2 15 x1 , x 2 0
状态窗口说明（例1）
•Constraints(约束数量) •Nonzeros(非零系数数量) •内存使用量 •求解花费的时间
全局最优解求解步骤数
3、报告窗口说明（例1）
最优解变量的检验数松弛或剩余变量的值对偶价格的值
单纯形法计算步骤框图(目标函数求max)
至少存在一个元素ais>0
LINGO的窗口介绍
LINGO的主窗口 LINGO模型窗口 LINGO状态窗口 LINGO报告窗口

例1的运算结果：主窗口模型窗口报告窗口状态窗口
1、主窗口与模型窗口说明
定位某行
模型求解
模型图示
查找
匹配括号
显示解答
选项设置
2、状态窗口说明（例1）
③ LINGO中的语句顺序是不重要的,因为LINGO总是根据“Max=”或“Min=”语句寻找目标函数，其它语句都是约束条件. ④ LINGO 程序中不区分大小写字母 .( 实际上任何小写字符将被转换为大写字符) ⑤ LINGO中的变量必须以字母开头,且最多不能超过32个字符. ⑥ 在LINGO中,以@开头的都是函数的调用. ⑦ LINGO已假定所有变量非负, 可用限定变量取值范围的函数 @BIN 、 @GIN 、 @FREE 、 @BND 改变变量的非负假定.
•求解器状态框 •模型的类型 •解的状态 •Objective(解的目标函数值) •Infeasibility(约束不满足总量) •到目前为止的迭代次数 •扩展的求解器状态框

优化建模与LINGO第10章

它是一个典型的排队的例子, 关于排队的例子有很多, 例如：上下班坐公共汽车, 等待公共汽车的排队; 顾客到商店购物形成的排队; 病人到医院看病形成的排队; 售票处购票形成的排队等; 另一种排队是物的排队,例如文件等待打印或发送; 路口红灯下面的汽车、自行车通过十字路口等等.
排队现象是由两个方面构成,一方要求得到服务,另一方设法给予服务.我们把要求得到服务的人或物〔设备〕统称为顾客, 给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员或服务台.顾客与服务台就构成一个排队系统,或称为随机服务系统. 显然缺少顾客或服务台任何一方都不会形成排队系统.
10. 2 等待制排队模型
等待制排队模型中最常见的模型是
M/M/S/,
即顾客到达系统的相继到达时间间隔独立,且服从参数为λ的负指数分布<即输入过程为Poisson过程>, 服务台的服务时间也独立同分布, 且服从参数为μ的负指数分布,而且系统空间无限,允许永远排队.
1. 等待制排队模型的基本参数
服务机构用于服务顾客的时间 1 用于服务顾客的时间
工作强度服务设施总的服务时间
服务设施总的服务时间
与忙期对应的是系统的闲期,即系统连续保持空闲的时间长度.
5. Little〔利特尔〕公式
用 λ 表示单位时间内顾客到达的平均数,μ表示单位时间内被服务完毕离去的平均顾客数,因此1/ λ表示相邻两顾客到达的平均时间,1/ μ表示对每个顾客的平均服务时间. J. D. C. Little给出了如下公式：
1. 等待制排队模型的基本参数
(3) 顾客的平均逗留时间Ws、队长Ls和等待队长Lq (4) 这三个值可由Little公式直接得到
1
Ws Wq Wq T, Ls Ws R Ws , Lq Wq R Wq ,

(外校培训课件)优化模型与LINGO软件求解——LINGO学习集全资料文档

NLP: 非线性规划
(2)最优状态全局全优
(3)最优目标值: 10
约束条件情况最优解： (1)约束总个数X4=100,按方法4 (2)非线性个数X6=50, 按方法6
25
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ [模型-2]的求解结果：
最优目标函数值：90
x1=40, 按方法1截割 x2=20, 按方法2截割 x6=30. 按方法6截割
26
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ 求解结果分析：
在追求“余料最少”目标时，“≥”约束把条件放宽了。
修正方法：改为“=”约束
模型(1)的求解结果：最优目标(余料)=10m
(x4,x6)=(100,50) 耗用原料 = 150根
是否符合原问题要求?
不符合。 (1)问题出在哪里? (2)如何修正?
2
一、竞赛题中的优化模型总结
❖ 2.优化类竞赛题小结 ❖ 在全国数模竞赛中，优化问题是出现频率最
高的一类竞赛题。 ❖ 从1992-20××年全国大学生数模竞赛试题
的解题方法统计结果来看，优化模型共出现了17次以上，占到了50%。 ❖ 即每两道竞赛题中就有一道涉及到利用优化理论来建模和求解。
3
一、竞赛题中的优化模型总结
题
13
(三) 典型数学规划问题及求解
❖ 例1 下料(截割)问题及求解 ❖ 例2 运输问题及求解 ❖ 例3 非线性规划问题及求解 ❖ 例4 分派(选址)问题及求解 ❖ 例5 动态规划问题及求解
14
[例1] 下料(截割)问题及求解
1. 问题提出 2. 建立数学模型 3. 编写LINGO求解程序 4. 执行程序 5. 获得计算结果并分析 6. 修正模型，重新求解 7.课后作业 8.编程小结

优化模型与LINDOLINGO软件

结果解释
最优解下“资源”增加最优解下“资源” 1单位时“效益”的增单位时“ 单位时效益” 量
VARIABLE X1 X2
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3) 4) 0.000000 0.000000 40.000000 2 48.000000 2.000000 0.000000
利润材料工时人力
4
运输问题
网络图
S3 S2
1200 690 170 720
0
290
30
S7
20
S4
320 690 160 70
160 70 30 20
S6
110 88 462 62 420 500
A15 A14
202 1100 20 195 306 1150 600 450 80 2 3 104 301 750 606 10 194 5 10 31 680 201
S5
220
10
S1
12
70 42 10 210
A13 A12
480
A9
A10
300
A11
A8
A6
205
A7
S1~S7 钢管厂铁路火车站公路管道 450 里程（km）
5
A5
A4
A3
目标：运费达到最小
A2
A1
运输问题
某种原材料有M个产地，现在需要将原材料从产地运往N个工地，假定M个产地的产量为ai和N个工地的需求量为bj，单位产品的运费cij已知，那么如状何安排运输方案可以使总运费最低？
NO. ITERATIONS=
20桶牛奶生产 1, 30桶生产 2，利润桶牛奶生产A 桶生产A 利润3360元。桶牛奶生产桶生产元

LINGO软件在优化模型中的应用

羊羽lingo是linearinteractivegeneraloptimizer的缩写即交互式的线性和通用优化求解器由美国lindo系统公司推出的可以用于求解非线性规划也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等功能十分强大是求解优化模型的最佳选择
LINGO软件 ——在优化模型中的应用
腾讯微博：羊羽
LINGO软件在优化模型中的应用
LINGO软件在优化模型中的应用
解：设每天用x1 桶牛奶在甲车间生产，用x2 桶牛奶在乙车间生产，可获利z 元。
则该问题的数学模型为： max z=72x1+64x2 s.t x1+x2≤50 12x1+8x2≤480 3x1≤100 x1,x2≥0
LINGO软件在优化模型中的应用
结果：
这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为z=3360，即用20 桶牛奶在甲车间生产，30 桶牛奶在乙车间生产，可获最大利润3360 元。
优点
3）强大的求解器 LINGO拥有一整套快速的，内建的求解器用来求解线性、非线性、二次约束和整数优化问题。
LINGO软件在优化模型中的应用
优点
4）交互式模型在LINGO内可以直接创建和求解模型，也可以从自己编写的应用程序中直接调用 LINGO。对于开发交互式模型，LINGO提供了一整套建模环境，用来求解和分析构建的模型。
从该问题的求解我们可以看到用LINGO 软件求解线性规划是非常方便、快捷的，比单纯形法人工计算效率高很多。
LINGO软ห้องสมุดไป่ตู้在优化模型中的应用
附加问题：
1）若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？ 2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？ 3）由于市场需求变化，甲车间奶制品的获利增加到30元，应否改变生产计划？

优化建模与LINGO软件使用

获利16元/公斤
每天 50桶牛奶决策变量
目标函数
时间480小时至多加工100公斤A1 x2桶牛奶生产A2
x1桶牛奶生产A1
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 max z 72x1 64x2 每天获利原料供应劳动时间加工能力非负约束
x1 x2 50
12x1 8x2 480
目标函数系数允许变化范围
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000
利润时间 2 x 2 x 480 5 6 非负约束
x1 , , x6 0
结果解释
Objective Value: 3460.800 Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 1.680000 X2 168.000000 0.000000 X3 19.200001 0.000000 X4 0.000000 0.000000 X5 24.000000 0.000000 X6 0.000000 1.520000 Row Slack or Surplus Dual Prices 2 0.000000 37.920000 3 0.000000 3.260000 4 76.000000 0.000000 5 0.000000 44.000000 6 0.000000 32.000000
X2
ROW 2 3 4
64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE

优化建模与LINGO第07章教案

向图.
在无向图中, 每条至多有一条边的图称为简单图
(Simple Graph). 若每一对不同的顶点都有一条边相
连的简单图称为完全图(Complete Graph). 若一个图
中的顶点集可以分解为两个子集
和 V1
V2
,
使得任何一
条边都有一个端点在 V1 中, 另一个端点在 V2 中, 这种图
称为二部图或偶图(BipartVi1te Graph). 运输问题所构成
优化建模
解：从前面的分析来看，运输问题属于线性规划问题，因此，不论是LINDO软件或LINGO软件都可以对该问题求解.为了便于比较两种软件的优缺点，以及各自的特点，我们用两种软件分别求解该运输问题.
首先写出LINDO软件的模型（程序），程序名： exam0702.ltx.
! 3 Warehouse, 4 Customer Transportation Problem ! The objective min 6x11 + 2x12 + 6x13 + 7x14 + 4x21 + 9x22 + 5x23 + 3x24 + 8x31 + 8x32 + x33 + 5x34 subject to
§7.1.2 指派问题
优化建模
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例7.3（指派问题）设有n个人, 计划作n项工作, 其中 cij 表示第i个人做第j项工作的收益, 现求一种指派方式，使得每个人完成一项工作，使总收益最大.
例7.3就是指派问题(Assignment Problem).指派问题也是图论中的重要问题，有相应的求解方法，如匈牙利算法.从问题的形式来看，指派问题是运输问题的特例，也可以看成0-1规划问题.

优化建模与LINGO简介

x 1, x 2 0
线性规划模型 (LP)
模型求解
x x 50 1 2
优化建模
图解法
约 12 x 8 x 480 x 8 x 480 l 2: 1 2 1 2 束 12 l4 条 3 l3 :3 x 100 x 1 1 100 件 c l : x 0 , l : x 0 x , x 0 4 1 5 2 1 2 目标函数
优化建模
局部最优解与整体最优解
f (x)
x1
* o x2
x
• 局部最优解 (Local Optimal Solution, 如 x1 ) • 整体最优解 (Global Optimal Solution, 如 x2 )
优化建模
优化模型的简单分类
数学规划连续优化离散优化
min s.t .
产量 x1 x2
成本价格 q1 p1 q2 p2
p随x (两种牌号)增加而减小，呈线性关系
p b a x a x , b , a , a 0 , a a 1 1 11 1 12 2 1 11 12 11 12
p b a x a x , b , a , a 0 , a a 2 2 21 1 22 2 2 21 22 22 2
f ( x) hi ( x ) 0 , i 1,..., m g j ( x ) 0 , j 1,...,l x D
n
• 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 • 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 • 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) 一般整数规划，0-1（整数）规划

LINGO软件求解优化问题

x 2 y 2 z 30
3 x y 2 z 20
40
2x
y
10
z
50
x , y , z 0
• 2、求解非线性规划
m inf(x24y)2(12x)2
三、Lingo运算符和函数
1、运算符及其优先级
算术运算符 +-*/^
关系运算符 <(=) = >(=)
三、Lingo基本语法
1、定义了目标函数为MIN=.. MAX=.. 2、以一个分号“；”结尾
——除SETS, ENDSETS, DATA , ENDDATA, END之外 3、可以放在约束条件的右端，同时数字也可放在约束条件的左端。 4、假定各变量非负。 5、注释：“！”
6、<、>为≤、≥
例1:加工奶制品的生产计划
使用绝对值、符号函数、多个变量求最大/最小值、四舍五入、取整函数等 • 尽量使用线性模型，减少非线性约束和非线性变量的个数如x/y <5 改为x<5y • 合理设定变量上下界，尽可能给出变量初始值 • 模型中使用的参数数量级要适当
– 如小于103
练习
• 1、求解线性规划
min( 2 x 3 y 5 z )
SAS软件优化功能其他
连续优化
离散：整数规划 IP： ILP PIP 0-1
线性规划 LP
二次规划 QP
非线性规划 NLP
LINDO
LINGO
优势：模型表述简单求解引擎强大
数学规划模型
• 决策变量 x =(x1, x2, …, xn ) • 目标函数 Min Z = f (x)
• 约束条件 s.t x A ( Rn )
5、Options 7个选项卡

优化建模与LINDOLINGO软件介绍59页

13
运行结果如下:
演示
Local optimal solution found at iteration:
73
Objective value:
-1.000000
Variable
Value
X1 0.9999995
X2 0.9999992
Reduced Cost 0.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
DEMO 8
运行结果如下:
演示
Global optimal solution found at iteration:
2
Objective value:
18.33333
Variable X1 X2 X3 X4
Value 8.333333 0.000000 0.000000 1.666667
Reduced Cost 0.000000 0.6666667 4.333333 0.000000
x — 决策变量
f(x) — 目标函数 gi(x) ,hj(x) — 约束条件
2
优化模型分类
线性规划（LP）
非线性规划（NLP）
二次规划（QP）
连续规划离散规划
0-1 整数规划（ZOP）纯整数规划（PIP）
混合整数规划（MIP）
当然还有其它规划,如: 随机规划,模糊规划 ,不确定规划, 半定规划等等!
11
运行结果如下:
Global optimal solution found at iteration:
Objective value:
11.00000
演示 0
Variable
Value

LINGO软件求解优化问题(2)作业

b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 d1 , d 2 , d 3 , d 4 , d 5 , d 6 x1 , x2 , y1 , y 2 , e1 , e2 c11 , c12 , c21 , c22 , c31 , c32
基本集合派生集合
计算机学院张亚玲
data: c41 , c42 , c51 , c52 , c61 , c62 a=1.25,8.75,0.5,5.75,3,7.25; b=1.25,0.75,4.75,5,6.5,7.75; 需求点的位置 d=3,5,4,7,6,11; e=20,20; 供需量 x,y=5,1,2,7; enddata
西安科技大学
例3 选址问题
目标：吨公里
min=@sum(link(i,j):c(i,j)*((x(j)-a(i))^2+(y(j)-b(i))^2)^(1/2));
min
2 2 1/ 2 c [( x a ) ( y b ) ] ij j i j i j 1 i 1
2
6
sets: demand/1..6/:a,b,d; supply/1..2/:x,y,e; link(demand,supply):c; endsets
段
计算机学院张亚玲
结果：总吨公里数为136.2
西安科技大学
作业练习
例1 选址问题——进一步讨论
（2）改建两个新料场
需要确定新料场位置(xj,yj)和运量cij ，使总吨公里数最小。
计算机学院张亚玲
西安科技大学
作业练习
2、使用集合循环函数求解
max aij ( xi y j )
i 1 j 1 10 5
计算机学院张亚玲

Lingo软件在求解数学优化问题的使用技巧

3*x2+2*y2+z2<=800;
3*x3+2*y3+z3<=375;
END
得到的解如下：
X1=200,Y1=0,Z1=0;
X2=58.33333, Y2=312.5,Z2=0;
X3=0,Y3=187.5,Z3=0;
最大总净收益为253333.3元。
3．公司在各地有4项业务，选定了4位业务员去处理。由于业务能力、经验和其它情况不同，4业务员去处理4项业务的费用（单位：元）各不相同，见下表：
常见的集合函数如下：
@FOR(set_name：constraint_expressions)对集合(set_name)的每个元素独立地生成约束，约束由约束表达式（constraint_expressions）描述。
@MAX（set_name：expression）返回集合上的表达式（expression）的最大值。
=
返回如下情形下的净现值：单位时段利率为，第个时段支付单位费用，即：
=
（5）概率函数
@PSN(X)标准正态分布的分布函数。
@PSL(X)单位正态线性损失函数（即返回的期望值，其中Z为标准正态随机变量）
@PPS(A，X)均值为A的Possion分布的分布函数（当X不是整数时，采用线性插值进行计算）。
（4）初始化部分（INIT）：这部分以“INIT：”开始，以“END INIT”结束。作用在于对集合的属性（数组）定义初值。格式为：attribute=value_list。由于非线性规划求解时，通常得到的是局部最优解，而局部最优解受输入的初值影响。通常可改变初值来得到不同的解，从而发现更好的解。
编写LINGO程序要注意的几点：
@PPL(X)Possion分布的线性损失函数（即返回的期望值，其中Z为Possion分布随机变量）

lindo和lingo简介

LINDO和LINGO是美国LINDO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包。

LINDO 用于求解线性规划和二次规划，LINGO除了具有LINDO的全部功能外，还可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解以及代数方程求根等。

LINDO和LINGO软件的最大特色在于可以允许优化模型中的决策变量是整数（即整数规划），而且执行速度很快。

LINGO实际上还是最优化问题的一种建模语言，包括许多常用的函数可供使用者建立优化模型时调用，并提供与其它数据文件（如文本文件、EXCEL电子表格文件、数据库文件等）的接口，易于方便地输入、求解和分析大规模最优化问题。

由于这些特点，LINDO和LINGO软件在教学、科研和工业、商业、服务等领域得到广泛应用。

１）目标函数及各约束条件之间一定要有“Subject to (ST) ”分开。

２）变量名不能超过８个字符。

３）变量与其系数间可以有空格，单不能有任何运算符号（如乘号“＊”等）。

４）要输入<=或>=约束，相应以<或>代替即可。

５）一般LINDO中不能接受括号“（）“和逗号“，“，例：400(X1+X2) 需写成400X1+400X2；10,000需写成10000。

６）表达式应当已经过简化。

不能出现 2 X1+3 X2-4 X1，而应写成-２X1+3 X2。

用LINDO求解施工中的线性规划（LP）问题1 引言线性规划是现代化管理的常用工具与方法，在施工过程中，很多实际问题，如配（下）料，运输（土石方调配），施工机具车辆调度，施工场地的合理设点，成品、半成品、原材料的合适库存量规划问题等等，都需要运用线性规划方法求得最优方案。

线性规划一般需要先确定要求的未知变量和目标函数，然后找出所有的约束条件，表示为线性方程或不等式，建立问题的数学模型，对于变量数目和约束条件较少的情况可用手工计算，较多的情况则需运用计算机来求解。

2 LINDO介绍LINDO是Linear INteractive and Discrete Optimizer字首的缩写形式，是由Linus Schrage 于1986年开发的优化计算软件包。

Lingo软件在最优化问题中的应用

• endsets
• 这里allowed定义为product,machine,week的派生集，其组成成员如下：
（A,M,1),(A,M,2),(A,N,1),(A,N,2)
(B,M,1),(B,M,2),(B,N,1),(B,N,2) 三、模型的数据部分；数据部分以关键字“data:”开始，以关键字"enddata"结束。在这里，可以指定集成员、集的属性。其语法如下：
在Lingo模型中使用集之前，必须事先定义。集以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束。
• 1、原始集的定义 • 用下面的语法定义一个原始集： • setname[/member_list][:attribute_list]; • （1）若要一列出集成员：则用显式罗列成员，中间用空格或逗号隔开，也可混合使用。如： • set: • students/Mike Peter,Rose,Carl/:sex,age;
• 2、派生集的定义 • 定义一个派生集，用如下语法： • setname(parent_set_list)[/member_list/][:attribute_list]; • 其中parent_set_list是已定义集的列表，多个时必须用逗号隔开。如： • set:
product/A B/; machine/M N/; • week/1..2/; • allowed(product,machine,week):x;
• X=1,2,3; • Y=4,5,6; • enddata
• 四、Lingo软件使用的注意事项。 • （1）LINGO中不区分大小写字母，变量（和行名）可以使用不超过32个字符表示，且必须以字母开头。 • （2）在命令方式下（Command Window中），必须先输入MODEL：表示开始输入模型。LINGO中模型以 “MODEL:”开始，以“END”结束。对简单的模型，这两个语句也可以省略。 •