小波理论介绍1

ω
t
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窗函数的数学定义 如果函数 w (t ) ∈ L1 (R ), 且 tw (t ) ∈ L 2 (R ) ,
则 w (t )被称为窗函数.它的中心和半径分别 定义为： +∞ 1 2 t0 = t w (t ) dt 中心： 2 ∫
w
2 ∞
半径：
+∞ 1 2 2 w = ∫ (t t 0 ) w(t ) dt w 2 ∞
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一维连续小波的例子：
1. Haar小波：
1, 0 ≤ t ≤ 1/2 ψ(t) = - 1, 1/2 < t < 1 0, others 0,
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一维连续小波的例子
2. Mexico草帽小波：
ψ(t) =
2 2 1 / 4 π (1 - t 2 ) e-t / 2 3
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(四) 多尺度分析
1. 多尺度分析的基本概念 2. 双尺度差分方程 3. 多尺度分析举例
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(五)一维正交小波变换 1. 正交小波与小波级数 2. 正交小波与多尺度分析的关系 3. 一维正交小波变换 4. 离散信号的一维正交小波变换 5. 正交小波变换的矩阵形式 6. 正交小波与二进小波的比较
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连续小波函数定义：
ψ ∈ L2 ∩ L1且ψ (0) = 0 ，则下面的函数族 { a,b } ψ 设
叫小波分析或连续小波，ψ 叫基本小波或 小波。若ψ 是窗函数，就叫为窗口小波 函数，一般我们恒假定ψ 为窗口小波函数。
t b ψ a,b (t ) = a ψ a
1 2
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令 Wb,ω (t ) = e iωt w(t b )，则短时FT为
+∞
Parseval 恒等式
1 ~ (Gb f )(ω) = ∫ f (t )Wb,ω (t )dt = f ,Wb,ω = f ,Wb,ω 2π ∞
可以证明 Wb,ω 和 Wb,ω都是窗函数，其确定 的矩形窗口为
1 2
该窗函数所确定的时间窗 [t 0 w , t 0 + w ]
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窗函数的定义实际上就是对函数衰 减性的控制，也就是说窗函数具有在坐 标轴上具有很好的衰减性，从而达到对 坐标轴进行局部化的目的。窗函数所确 定的窗口是对它的局部性的一次刻画， 它是可用来对信号进行时频局部化分析 的基本函数，而窗函数本身则可由窗口 的尺度来表征其局部性，若 w 越小，则 说明 w(t ) 在时域上的局部化程度越高。
b ∈ R, a ∈ R {0}
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连续小波函数的性质
1. 3.
ψ a ,b
2. ψ a ,b (ω ) = ae ibωψ (aω )
2
=ψ
2
如果 ψ 的中心及半径分别为 t 0、ψ ，则 ψ a,b 确定的时频窗口为：
ω0 ψ ω0 ψ [at0 + b aψ, at0 + b + aψ]× , + a a a a
2ω
ω0
t0
2 ω
窗口中心： (t 0 , ω 0 ) 窗口面积： 4 w w
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Heisenberg测不准原理
设 w(t ) 能确定一个矩形窗，则：
w w
1
1 ≥ 2
t2 exp 2 等号成立. 当且仅当 w(t ) = 14 12 (2π ) w 4 w
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实际中信号分析的要求： 信号高频部分对应时域中的快变成分，如 陡峭的前沿、后沿、尖脉冲等，分析时对 时域分辨率要求高，对频域分辨率要求低。 信号低频成分对应时域中的慢变成分，分 析对时域分辨率要求低，对频域分辨率要 求高。 因此，短时Fourier变换不能敏感地反映 信号的突变，不能很好地刻画信息。
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窗函数的举例
Gaussian 函数
α >1
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短时Fourier变换
若w(t ), w(ω ) 都是窗函数， 则短时Fourier变换定义为
~ (Gb f )(ω ) =
+∞
∞
∫
f (t )e iωt w(t b )dt
短时Fourier变换也叫窗口Fourier变换 短时FT是说明时频局部化分析思想的很好例子
1 2
该窗函数所确定的频域窗 [ω 0 w , ω 0 + w ]
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一个时域函数为窗函数，并不一定其 Fourier变换也为窗函数。只有当、同 时为窗函数时，才能在相空间确定一 个矩形窗口: [t 0 w , t 0 + w ]× [ω 0 w ,ω 0 + w ]
时间和频率是描述信号的两个最 重要的物理量。 信号的时域和频域之间具有紧密 的联系。
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Fourier变换（FT）: Fourierf (t )e
iω t
dt
离散Fourier变换: 离散Fourier变换: Fourier变换
(F {c k })(ω ) = ∑ c k e ikω
k = ∞
+∞
数字信号的离散Fourier变换就是以数字信号为系数的 变换就是以数字信号为系数的 数字信号的离散 Fourier级数 级数
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有限数字信号的 FT
正变换
X (m ) =
∑ x (n )e
n =0 =0
N 1
i
2πmn N
逆变换
1 x(n) = ∑ X (m)e N m=0
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(六)小波分析在单自由度 小波分析在单自由度 动力分析中的应用
1. 分析原理 2. 算例
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有待讨论和进一步学习的问题
正交小波构造的进一步讨论 正交小波包 双正交小波变换 小波分析的更广泛应用
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谢 谢 ！
2003. 6. 5
信号时频分析的重要性：
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一维连续小波的例子
2. Mexico草帽小波：
ψ(t) =
2 2 1 / 4 π (1 - t 2 ) e-t / 2 3
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一维连续小波的例子
2. Mexico草帽小波：
ψ(t) =
2 2 1 / 4 π (1 - t 2 ) e-t / 2 3
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Fourier变换 (一) Fourier变换 与信号时频局部化分析
1. 信号与Fourier变换 2. 时频局部化分析
相空间与窗函数 短时Fourier变换
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(二) 连续小波变换
1. 连续小波函数 2. 常见小波函数举例 3. 连续小波变换
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2
(三) 二进小波变换 1. 二进小波变换的定义 2. 二进小波的构造 3. 有限信号二进小波变换 的算法及应用
N 1
i
2πmn N
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FT在信号处理中的局限性 用傅立叶变换提取信号的频谱需要 利用信号的全部时域信息。 傅立叶变换没有反映出随着时间的 变化信号频率成分的变化情况。
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在不少实际问题中，我们关心的是信号在局部范 围中的特征, 例如： 在音乐信号中人们关心的是什么时刻演奏什么 样的音符； 对地震波的记录人们关心的是什么位置出现什 么样的反射波； 图像识别中的边缘检测关心的是信号突变部分 的位置，即纹理结构。 这些FT不能完成，需要引入时频局部化分析
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相空间是指以“时间”为横坐标， 相空间是指以“时间”为横坐标， 是指以 频域”为纵坐标的欧氏空间， “频域”为纵坐标的欧氏空间，而相空 间中的有限区域被称为窗口 窗口， 间中的有限区域被称为窗口，沿时间轴 的一段区间被称为时间窗 时间窗， 的一段区间被称为时间窗，沿频率轴的 频率窗。 一段区间被称为频率窗 一段区间被称为频率窗。
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窗口中心： 窗口中心：
(at0 + b,ω0 a)
ω
时间窗半径： 时间窗半径： aψ 频率窗半径： 频率窗半径：ψ a 窗口面积： 窗口面积： 4 ψ ψ
t
连续小波函数窗口的“变焦”特性:
当a变小时，时域观察范围变窄，但频率观察 的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动； 当a变大时，时域观察范围变宽，频域的观察 范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动.
[t0 + b w,t0 + b + w ]×[ω0 +ω w,ω0 +ω + w ]
短时FT同时给出了函数时域和频域的信息
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窗函数 Wb ,ω 的特点：
随着 b , ω 的变换，窗口在相空间不断平移； 短时Fourier变换就是通过这些移动的窗口 来提取被变换函数的信息； 函数族 确定的时频窗口只是随 发 b,ω Wb ,ω 生平移，窗口的大小和形状固定不变.
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w(ω ) ∈ L1 (R ), 且ωw(ω ) ∈ L2 (R ) , 如果函数
则 w(ω )被称为窗函数.它的中心和半径分别 定义为： +∞ 1 2 ω0 = ω w(ω ) dω 中心： 2 ∫
w
2 ∞
半径：
+∞ 1 2 2 w = ∫ (ω ω 0 ) w(ω ) dω w 2 ∞