几何观点下的多元函数条件极值求法
第八节多元函数的极值及其求法
f (x, y)在点( 3, 0 )没有极值
在点( 3 , 2 )处， A fxx( 3 , 2 ) 12
B fxy ( 3 , 2 ) 0 C f yy (3,2 ) 6
(12) (6) 02 = 72 > 0 又 A 0
f (x, y)在点( 3 , 2 )有极大值 f (3 , 2 ) 31
(极小值) 的某个去心邻域内必有：
f(x,y)<f(x0,y0) 所以，在点(x0 ,y0)的某个邻域内，点(x0 ,y0 , f(x0 ,y0)) 为曲面的最高点.
(最低点)
定理1 (必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x0 ,y0)处具 有偏导数，且在点(x0 ,y0)有极值，则有：
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0
fx (x0, y0) = [ f (x, y0) ]'|xx0 = 0
同理可证: f y (x0, y0) 0
说明
(1) 几何上,定理1意味着: 在曲面 z f (x, y) 上, 极值点 (x0, y0)所对应的点 (x0, y0, f (x0, y0)) 处的
切平面平行于 xoy 坐标平面.
(2) 定理1的逆命题不成立. 反例: f (x, y) xy, 经计算得: fx (0,0) 0, f y (0,0) 0 但 点 (0,0)不是 f (x, y) 的极值点.
(3) 使 fx (x, y) 0, f y (x, y) 0 同时成立的点
(x0, y0) 称为函数 z f (x, y) 的驻点.
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
多元函数条件极值的几种求解方法
多元函数条件极值的几种求解方法摘要本文主要讨论了多元函数条件极值的求解问题，其中包括无条件极值、条件极值的概念介绍，对多元函数条件极限值的几种求解方法的概括，其中包括了直接代入法，拉格朗日乘数法，柯西不等式等方法，其中拉格朗日乘数法还着重介绍了全微分和二阶偏导数即Hesse矩阵法等。
介绍关于求解多元函数条件极值的几种方法目的是在解决相应的问题中时能得以借鉴，找到合适的解决问题的途径。
关键词极值；拉格朗日乘数法；柯西不等式1前言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的。
函数极值的求解与发展极大的推动了微积分学科的发展，为其做出了重大贡献。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
同样在很多工程实际中，我们经常需要做一些优化。
举个简单的例子，就拿天气预报来说吧，通过实验测得很多气象数据，那么我们怎么处理这些数据，或者说用什么方法处理这些数据，才能达到预测结果最为准确呢，这其实也是一个广义上的极值问题。
还有就是经济学的投资问题，我们知道现在国家搞什么高铁、高速公路的，都是浩大的工程，动不动就几百亿的，如何合理布局才能让这些公共基础建设的利远大于弊。
一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益。
多元函数的极值与条件极值的求解方法
多元函数的极值与条件极值的求解方法一、引言多元函数在数学和应用领域中扮演着重要的角色。
求解多元函数的极值是一个常见的数学问题，而条件极值则进一步考虑了多个约束条件下的最优解。
本文将介绍多元函数极值和条件极值的求解方法。
二、多元函数极值的求解方法要求解多元函数的极值，需要判断函数在特定点的局部极值，并进一步确定全局极值。
常用的方法包括二阶条件、梯度以及拉格朗日乘子法。
1. 二阶条件法对于一个二次可导函数，可以通过计算其二阶偏导数来确定函数的极值。
具体步骤如下：a. 计算函数的一阶偏导数，并令其等于零，得到临界点；b. 计算函数的二阶偏导数，并检查其正负性；c. 若二阶偏导数为正，则临界点是局部极小值；若二阶偏导数为负，则临界点是局部极大值。
2. 梯度法梯度法可以用于求解多元函数的极值，其思想是在梯度的指引下，逐步迭代寻找函数的最优解。
具体步骤如下：a. 计算函数的梯度向量，并初始化变量值；b. 根据梯度向量的反方向更新变量的取值；c. 重复步骤b，直到满足收敛条件。
3. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法用于求解多元函数在一组约束条件下的极值。
通过构建拉格朗日函数，并利用约束条件和拉格朗日乘子进行求解，得到函数的条件极值。
三、条件极值的求解方法在现实问题中，多元函数的极值求解往往伴随着条件限制。
求解条件极值需要考虑约束条件，并结合优化理论中的拉格朗日乘子法。
1. 求解过程a. 构建拉格朗日函数，将约束条件引入目标函数中，得到增广拉格朗日函数；b. 求解增广拉格朗日函数的临界点，即通过求解方程组来确定目标函数的条件极值点。
c. 验证求得的临界点是否满足约束条件，并通过比较确定全局的条件极值。
2. 案例分析假设有一个三角形，其面积为目标函数，而周长为约束条件。
通过使用拉格朗日乘子法，可以求解出在给定周长下，使得三角形面积最大的顶点。
四、总结本文介绍了多元函数极值和条件极值的求解方法。
对于多元函数极值的求解，可以使用二阶条件法、梯度法和拉格朗日乘子法来确定函数的极值点。
第五节多元函数的极值及其求法
第五节多元函数的极值及其求法的图形观察二元函数22y x e xyz +-=播放播放设函数),(y x f z =在点),(00y x 的及其附近有定义，对于点),(00y x 附近的任一点),(y x 都有),(),(00y x f y x f <，则称函数在),(00y x 有极大值；若有),(),(00y x f y x f >，则称函数在),(00y x 有极小值.一、多元函数的极值及最值极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.(1)(2)(3)例1处有极小值．在函数)0,0(4322yx z +=例２处有极大值．在函数)0,0(22yx z +-=例３处无极值．在函数)0,0(xyz =设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：0),(00=y x f x ， 0),(00=y x f y .多元函数取得极值的条件（称驻点）例如, 点)0,0(是函数xy z =的驻点，但不是极值点.驻点极值点注意：定理1（必要条件）问题：如何判定一个驻点是否为极值点？设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，设 0),(00=y x f x , 0),(00=y x f y ，定理2（充分条件）则),(y x f 在点),(00y x 处是否取得极值的条件如下：令 A y x f xx =),(00，B y x f xy =),(00，C y x f yy =),(00， （1）02>-B AC 时具有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值；（2）02<-B AC 时没有极值；（3）02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值，还需另作讨论．设3322(,)339f x y x y x y x =-++-,求极值. 求得驻点：)2,1(),2,3(),0,1(),0,3(--,二阶偏导数为：66,0,66+-=''=''+=''y f f x f yy xy xx ,C B A 2B AC - （-3,0）-12 0 6 - 不是极值 （1,0）12 0 6 + 极小值-5 （-3,2）-12 0 -6 + 极大值31 （1,2） 12 0 6- 不是极值 例4解，令⎪⎩⎪⎨⎧=+-='=-+='063096322y y f x x f y x多元函数的最值求最值的一般方法：将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.求二元函数)4(),(2y x y x y x f z --==在直线6=+y x ，x 轴和y 轴所围成的闭区域D 上的最大值与最小值. 解x y o 6=+y x D 例5先求函数在D 内的驻点，⎩⎨⎧=---='=---='0)4(),(0)4(2),(222y x y x x y x f y x y x xy y x f y x 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,再求),(y x f 在D 边界上的最值，解方程组 在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,在边界6=+y x 上，即x y -=6，得 4,021==x x ，,2|64=-=⇒=x x y ,64)2,4(-=f 比较后可知4)1,2(=f 为最大值, 64)2,4(-=f 为最小值.,)6(223x x -=)2)(6(2--=x x z )60(≤≤x ,0)4(6=-='x x z 得区域D 内唯一驻点)1,2(,且4)1,2(=f ,在边界0=x 和0=y 上0),(=y x f ,要做一个容积为323cm 的无盖长方体箱子，问长、宽、高各为多少时，才能使所用材料最省？ 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有唯一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.例6解6464(0.0)S xy x y x y =++>>设长方体的长为x ，高为y ，则宽为32.xy 则箱子所用材料的面积为令由实际问题意义知,S 必有最小值,且内部唯一驻点,故当4x y ==时,S 有最小值.即当长、宽均为4cm 时，所用材料最省.22640640x y S y x S x y ⎧'=-=⎪⎪⎨⎪'=-=⎪⎩解得唯一驻点 4.x y ==用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？二、条件极值拉格朗日乘数法设水箱的长、宽、高分别为z y x ,,,则目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =, 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.例7解即表面积最小.，xyV z =⇒ 代入目标函数,化为无条件极值问题：x yz令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-='=-='0)(20)(222y V x S x V y S y x ,求得唯一驻点3V y x ==,从而3V z =, 内部唯一驻点,且由实际问题S 有最大值,故做成立方体表面积最小.这种做法的缺点：1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；2.有时解出隐函数困难甚至不可能.目标函数化为：)(2yV x V xy S ++=, 0,0>>y x要找函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，解出λ,,y x ，其中y x ,就是可能的极值点的坐标.拉格朗日乘数法令,0),(0),(),(0),(),(⎪⎩⎪⎨⎧=='+'='+'y x y x y x f y x y x f y y x x ϕϕλϕλ其中λ为参数，引入拉格朗日函数),(),();,(y x y x f y x F λϕλ+=如果目标函数是三元函数),,(z y x f ,且约束条件有两个,0),,(=z y x g ,0),,(=z y x h ,则构造拉格朗日函数为.),,(),,(),,(),;,,(z y x h z y x g z y x f z y x L μλμλ++=令,0),,(0),,(),,(),,(),,(0),,(),,(),,(0),,(),,(),,(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=='+'+'='+'+'='+'+'z y x h z y x g z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z y x h z y x g z y x f z z z y y y x x x μλμλμλ解出z y x ,,，就是可能的极值点的坐标.用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V ,问怎么做用料最省？例7目标函数：)(2zx yz xy S ++=,约束条件：xyz V =,解构作拉格朗日函数 )()(2V xyz zx yz xy L -+++=λ,令 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++='=++='=++='Vxyz xy y x L xz z x L yz z y L z y x 0)(20)(20)(2λλλ, 解得唯一驻点,3V z y x ===,由实际问题,即为最小值点.。
多元函数条件极值
多元函数条件极值多元函数条件极值是数学中一个重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。
在数学中，多元函数是指具有多个自变量的函数，而条件极值则是指在一定条件下使得函数取得最大值或最小值的点。
多元函数条件极值的求解是数学中的一个重要问题，它涉及到微积分、线性代数等多个数学领域的知识。
在求解多元函数条件极值时，通常需要利用拉格朗日乘数法。
这种方法是通过引入拉格朗日乘子，将原问题转化为一个无约束条件下的极值问题。
具体而言，对于一个多元函数在一定条件下求取极值，首先需要建立等式约束条件，然后构造拉格朗日函数，并通过求解该函数的梯度为零的方程组来找到极值点。
举个简单的例子来说明多元函数条件极值的求解过程。
假设有一个二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2，在条件 x + y = 1 下求取极值点。
首先建立等式约束条件 x + y = 1，然后构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = x^2 + y^2 + λ(x + y - 1)，其中λ 为拉格朗日乘子。
接着求解 L 的梯度为零的方程组，即∇L = 0，最终可以得到函数 f 在条件 x + y = 1 下的极值点。
多元函数条件极值的求解过程相对复杂，需要熟练掌握相关的数学知识和技巧。
在实际问题中，多元函数条件极值常常用于优化领域，如在经济学中的效用最大化、生产成本最小化等问题中都可以应用这一方法。
除了拉格朗日乘数法之外，还有其他方法可以求解多元函数条件极值，如KKT条件、最大值最小值定理等。
不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
总的来说，多元函数条件极值是数学中一个重要而复杂的问题，它在实际问题中有着广泛的应用。
通过掌握相关的数学知识和方法，我们可以更好地解决实际问题，并且提高问题求解的效率和准确性。
希望通过本文的介绍，读者对多元函数条件极值有了更深入的了解，同时也能够在实际问题中灵活运用这一方法。
几何观点下的多元函数条件极值求法
解：因为
，，
，
下的极大值。
作者简介：吴亚娟（1973-）,女,江苏南京人,讲师.
第5期
吴 亚 娟：几何观点下的多元函数条件极值求法
77
所以 又
即 ，
解得
为
，从而
。
由题意知
的极大值为 。
例 2、抛物面
被平面
解：因为
所以设目标函数为
限制条件为
由
知即求
在限制条件
因为
截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 下的极值
（１）满足条件
时的极值点
因为
，
，
，
，
由得
（3）
由（2）（3）解得
则由
由
78
泰州职业技术学院学报
第5期
解得
时， 最大，
此时长方体在第一卦限的顶点坐标为
。
用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法，可避免利用拉格朗日乘数法过程中繁琐的 计算，同时对工科学生而言也比较容易理解。
参考文献：
[1] 王惠珍,等.二元函数极值的一种新判断方法[J].高等数学研究:2000(1):18-19. [2] Chen Fulai, Liao Jiawu. Existence of Positive Periodic Solution to a Class of Neutral Delay Competition Model [ J ]. Ann of
（责任编辑 李冠楠）
（上接第 66 页）
参考文献：
[1]Robert Lai Jason Lefebvre,张俊等译 开发人员手册[M].北京：电子工业出版社，2002. [2]Akmal B. C haudhri,邢春晓等译.XML 数据管理纯 XML 和支持 XML 的数据库系统[Ｍ]，北京：清华大学出版社，2006 [3]李思齐.服务器配置全攻略[M].北京：清华大学出版社,2006. [4]魏峥 程序设计教程与实验[M].北京：清华大学出版社，2007.
多元函数条件极值的求解方法
多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束，通过构造拉格朗日函数来求解极值点。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将目标函数和约束条件相乘，并引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。
对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数，令其等于0，得到一组方程。
解方程组，得到拉格朗日乘子λ和变量的值。
4.检查结果。
将求得的解代入目标函数中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第3步，重新求解。
二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法，该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。
具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。
假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。
2.构造拉格朗日函数。
将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0，其中z是一个待定参数。
3. 利用隐函数定理。
对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导，得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z，dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。
求得dz/dx 和 dz/dy 后，得到 z(x, y) 的形式。
4.代入目标函数。
将x和y分别用z表示，得到函数f(z)。
对f(z)求导，令其等于0，解方程求得z(x,y)的极值点。
5.检查结果。
将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中，计算函数值，检查是否为极值点。
若不是，返回第4步，重新求解。
总结：拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下，且求解过程相对简单。
多元函数的极值问题
最优路径规划
在地图导航、物流配送等领域， 需要寻找从起点到终点的最优路 径，这也可以通过求解多元函数 的极值来找到最优解。
资源分配问题
在资源有限的情况下，如何将资 源合理分配以最大化效益，可以 通过求解多元函数的极值来找到 最优解。
在经济模型中的应用
供需平衡问题
在市场经济中，供需关系影响着商品的价格，如何找到供需平衡点， 可以通过求解多元函数的极值来找到。
03
多元函数极值的存在性定理
极值存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的二阶导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在极 值点。
证明过程
利用二阶导数的性质，通过构建辅助 函数和运用中值定理，证明极值点的 存在性。
稳定点存在定理
定理描述
如果函数在某区域内的所有偏导数存在 且连续，则函数在该区域内必存在稳定 点。
投资组合优化
投资者需要根据市场情况选择不同的投资组合，以最大化收益或最 小化风险，这可以通过求解多元函数的极值来实现。
劳动力市场分析
在劳动力市场中，如何找到最佳的工资和就业率，可以通过求解多 元函数的极值来找到。
在机器学习中的应用
神经网络训练
在机器学习中，神经网络是一种重要 的模型，其训练过程实际上就是求解 多元函数的极值过程，以找到最佳的 权重和偏置。
多元函数的极值问题在数学建模中具有广泛 的应用，如最优化问题、曲线拟合、插值等 。
实际问题解决
在经济学、物理学、工程学等领域，多元函数的极 值问题常常用于解决实际问题，如成本最小化、效 益最大化等。
算法设计与分析
多元函数的极值问题也是算法设计与分析的 重要基础，如梯度下降法、牛顿法等优化算 法的设计与改进。
多元函数的极值问
多元函数的极值与条件极值
多元函数的极值与条件极值在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
研究多元函数的极值和条件极值可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，在各种实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍多元函数的极值和条件极值的概念、判别法以及求解方法，以深入探讨这一重要数学概念。
一、多元函数的极值多元函数的极值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
对于具有两个自变量的函数，通常使用偏导数的概念来进行讨论。
偏导数是指将函数对于某一个自变量求导时，将其他自变量看作常数，得到的导数。
考虑一个具有两个自变量的多元函数 f(x, y)，其中 x 和 y 是定义域内的变量。
函数 f(x, y) 的极值点可以通过以下步骤确定：1. 求出函数 f(x, y) 的偏导数，即 f 对于 x 的偏导数∂f/∂x 和 f 对于 y 的偏导数∂f/∂y；2. 解方程组∂f/∂x = 0 和∂f/∂y = 0，得到可能的极值点；3. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
当二阶偏导数的行列式D = ∂²f/∂x² * ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² 大于 0 时，判断该点为极值点，否则不是。
二、多元函数的条件极值条件极值是指多元函数在满足一定条件下取得的极值。
通常在实际问题中，函数的自变量受到一定的限制条件约束。
此时，我们需要使用拉格朗日乘子法来求解条件极值。
假设有一个多元函数 f(x, y) 和一个条件方程 g(x, y) = 0。
使用拉格朗日乘子法求解条件极值的步骤如下：1. 构造拉格朗日函数L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y)，其中λ 是拉格朗日乘子；2. 求出 L 对于 x、y 和λ 的偏导数∂L/∂x，∂L/∂y 和∂L/∂λ；3. 解方程组∂L/∂x = 0，∂L/∂y = 0 和∂L/∂λ = 0，得到可能的条件极值点；4. 使用二阶偏导数的判别法判断极值的类型。
多元函数条件极值在几何上的应用
多元函数条件极值在几何上的应用1 多元函数条件极值多元函数条件极值是一种极值问题，即若将约束条件视为函数，则在凸约束域内求函数极小值或极大值的问题就称为多元函数条件极值问题。
多元函数条件极值可以通过Langrange 乘子法，Kuhn-Takker-Kuhn ( KTK) 法等方法处理。
2 在几何上的应用多元函数条件极值在几何上的应用主要是应用在形状优化问题和非线性约束优化问题上。
例如，当向量b的长度受到特定的约束时，可能要确定向量b的最小值。
这就是一个多元函数条件极值问题。
在几何中，如果求曲线C上点P(x, y)的最大曲率，则这也是一个多变量函数条件极值问题，计算最大曲率{m=(x^2+y^2)^3/2*(2x^2y+2x^2-3y^2)}时，由于曲率的约束条件即可得到最大曲率的值。
3 非线性函数的极值非线性函数是非常重要的在几何上的应用，为求非线性函数极值，多元函数条件极值也同样可以应用，只需要将多元函数中约束条件看做非线性函数，即可求得对应的极值。
例如，平面上给定若干非线性约束，求目标函数最大极值就可以使用多元函数条件极值。
4 应用实例在工程中，可以使用多元函数条件极值来进行函数优化计算，并解决不同的实际问题，例如：在空间结构的拓扑优化设计中，多元函数条件极值法实现了对截面积和质量的优化设计；在空气动力学设计中，利用多元函数条件极值法可以实现推力和抗力的优化设计；在航空发动机设计中，多元函数条件极值法也可以实现发动机指标的优化设计等。
从上面的实例可以看出，多元函数条件极值结合几何在工程中可以起到重要的作用，能够为求解复杂问题提供有效解决方案。
简述多元函数条件极值的求法
2021.16科学技术创新作者简介:辛小青(1980-),女,籍贯:内蒙古呼和浩特,理学硕士,职称:讲师,主要研究方向:图论、数学教育。
简述多元函数条件极值的求法辛小青(内蒙古科技大学包头师范学院数学科学学院,内蒙古包头014030)在实际生活中,我们会遇到附加条件的多元函数的最值问题,即函数的自变量除了要满足在定义域内的条件还需满足相应的某一条件,例如:容积一定的长方体箱子材料最省的问题,设长方体的长、宽、高分别为x ,y ,h ,容积V =abh 一定,确定长方体的长、宽、高,使得在体积V =abh 一定的情况下表面积S=2xy+2xh+2yh 材料最省,这种另加条件的极值就叫做条件极值。
下面给出条件极值的两种基本求法:方法(一):是利用在数学分析中学到的知识想办法将条件极值转化为无条件极值进行求解,即先由条件φ(x ,y )=0求出y=ψ(x ),然后将其带入到z =f (x ,y )中得到z =f [x ,ψ(x )],再去求无条件极值。
方法(二):是利用拉格朗日乘数法求条件极值的问题,即把条件极值问题,归结为对于拉格朗日函数L (x ,y )=f (x ,y )+λφ(x ,y )求无条件极值的问题(拉格朗日乘数法求极值在下文中会进行详细论述)。
特别注意:由于拉格朗日乘数法是条件极值存在的必要条件,因此我们求到的点是可能存在极值的点,然后我们要继续依据定义或实际意义来判断所求得的点是不是条件极值点。
1代入消元法我们可以用一个量替换另一个量来达到降元的效果,这种替换变量的方法在数学领域内称之为代入消元法,例如上面提出的问题就可以用消元法来解答。
代入消元法能够实现降元的目的,而且我们能够把条件极值变成求解无条件极值,这样相对来说就能够让解题更为顺畅和简便。
不过这种办法也是有局限性的,我们应该看到这种方法更合适那些简单的约束函数,而且要求能够进行替代,但很多时候是不能够替代的。
例1求函数f (x ,y ,z )=xyz 在x-y+z =0条件下的一切驻点和驻点处的函数值,如果有极值,然后继续判断是哪种极值。
多元函数的极值与最值求解
多元函数的极值与最值求解在数学中，多元函数是指有多个自变量的函数。
对于多元函数，我们常常需要求解它的极值与最值，以便确定函数的特征与性质。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法。
一、极值的定义与求解方法在多元函数中，极值是指函数在某个局部区域内取得的最大值或最小值。
极值的求解可以通过以下方法进行：1. 边界法：如果多元函数在一个有限的闭区域内定义且连续，在区域内的边界上取到的值必然是极值。
因此，我们可以通过计算多元函数在边界上的值来确定极值。
需要注意的是，在使用边界法时，我们应当首先确定区域的边界。
2. 梯度法：多元函数的梯度表示函数在某个点处的变化率和方向。
对于一个局部极值点，函数在该点处的梯度应当为零。
因此，我们可以通过求解多元函数的梯度并令其为零来确定极值点。
3. Lagrange乘数法：Lagrange乘数法适用于求解多元函数在约束条件下的极值问题。
通过引入一个或多个约束条件，我们可以将多元函数的极值问题转化为无约束条件下的极值问题。
随后，可以使用梯度法或其他方法求解。
二、最值的定义与求解方法在多元函数中，最值指的是函数在某个区域内取得的最大值或最小值。
最值的求解可以通过以下方法进行：1. 整体法：整体法是指先求出函数在整个定义域上的取值，然后从中选取最大值或最小值作为最值。
该方法适用于函数在整个区域内单调递增或单调递减的情况。
2. 极值法：可以通过先求解函数的极值点，然后在这些点处比较函数的取值来确定最值。
需要注意的是，函数的最值可能存在于极值点处，也可能存在于边界上。
3. 梯度法：与求解极值类似，可以通过计算多元函数的梯度，并在梯度为零的点处比较函数的取值来确定最值。
三、示例为了更好地理解多元函数的极值与最值的求解方法，我们来看一个具体的示例。
假设有一个二元函数 f(x,y) = x^2 + y^2，我们需要求解这个函数的极值与最值。
首先，我们计算函数的梯度∇f = (2x, 2y)。
多元函数求极值的方法总结
多元函数求极值的方法总结
（1）多元函数取极值的必要条件：
（2）多元函数取极值的充分条件：
（3）求条件极值的方法：
解决此类问题的一般方法是拉格朗日乘数法：
题型一：求多元函数的极值
例1：（2012年真题)求函数f(x,y)=x*e^(-(x^2+y^2)/2)的极值。
分析：解决本题的方法主要利用多元函数取极值的充分条件。
解：
题型二：多元函数条件极值的求法
求条件极值常用的有两种方法，以求函数f(x,y)在条件
g(x,y)=0下的极值为例：
（1）化为无条件极值
若从条件g(x,y)=0中可解出y=y(x)，再带入z=f(x,y)，则可化为无条件极值。
（2）拉格朗日乘数法
例2：求函数u=x^2+y^2+z^2在约束条件z=x^2+y^2和x+y+z=4下的最大值和最小值。
解题思路：先用拉格朗日乘数法求出可能取得极值的点，然后比较这些可能取得极值的点上的函数值。
解：构造拉格朗日函数:
总结：本题给出了求解条件最值问题的一般方法。
多元函数极值与条件极值
多元函数极值与条件极值一、简介在数学中，多元函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
与一元函数类似，多元函数的极值求解也是一项重要的研究内容。
本文将介绍多元函数极值求解的方法以及条件极值的概念。
二、多元函数极值求解方法1. 梯度法梯度法是一种常用的寻找多元函数极值的方法。
其基本思想是通过计算函数的梯度来确定极值点的位置。
具体步骤如下：a. 计算函数的梯度向量；b. 找到梯度向量为零的点，即梯度为零的点是极值点的候选；c. 对候选点进行二阶偏导数判定，确定是否为真正的极值点。
2. 条件极值法条件极值是指在给定的条件下，函数取得的最大值或最小值。
求解条件极值的方法主要有以下步骤：a. 根据给定的条件，建立约束方程；b. 将约束方程带入函数，得到一元函数；c. 对一元函数求导，找到其极值点；d. 将极值点带入约束方程，得到条件极值。
三、实例分析下面通过一个实例来说明多元函数极值与条件极值的求解过程。
例：求函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 在约束条件 g(x, y) = x +y - 5 = 0 下的条件极值点。
解：首先，计算函数 f 的梯度向量为∇f = (2x - 2, 2y - 4)。
令梯度向量为零，可得极值点候选为 (1, 2)。
接下来，对候选点进行二阶偏导数判定。
计算二阶偏导数矩阵 H = [[2, 0], [0, 2]]，判断其是否为正定矩阵。
由于二阶偏导数矩阵的行列式为 4 > 0，且主对角线上的元素全为正数，说明该矩阵是正定矩阵。
因此，候选点 (1, 2) 为真正的极小值点。
接下来，求解条件极值。
将约束方程 g 带入函数 f，得到 f(x) = x^2 - 2x + (5 - x)^2 - 2(5 - x) + 3。
对一元函数 f(x) = x^2 - 7x + 13 求导得 f'(x) = 2x - 7。
令导数为零，得到极值点 x = 3.5。
多元函数的极值及其求法
解 fx(x, y) 3x2 3 y, f y(x, y) 3 y2 3x.
求解方程组：
3 3
x2 y2
3 3
y x
0, 0.
x2
y
2
y, x.
得驻点 (0, 0), (1, 1).
f xx ( x, y) 6x, f xy ( x, y) 3, f yy ( x, y) 6 y. 在 (0, 0) 处, A f xx (0,0) 0, B f xy (0,0) 3,
22
22
因为
lim
x
x2
x y y2 1
0
y
即边界上的值为零.
因为
Hale Waihona Puke limx x2
x y y2 1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外， 并无其他条件.
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0, y0 )具有偏导数，且在 点( x0, y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0.
f
y
(
x,
y)
多元函数的极值与最值的求法
所以设目标函数为 (1)
限制条件为 (2)
(3)
由(1)(2)(3)知即求
在限制条件 下的极值
因为
所以 即 (4)
由(1)(2)(3)解得
由题意知最长距离为 ，最短距离为 .
1.3.2 在满足条件 下的最值
基本过程（1） 在满足条件 下的可能极值点。
（2）求一元函数 的最值。
例1.3.3求内接于椭球 的体积最大的长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面.
To get the extreme of multivariable function, the thesis adopts the following ways: (1)Using the partial derivative of duality function to get the extreme; (2)Lagrangian multipliermethod to calculate the extremum; (3)Geometric modeling method for solving extremum; (4) Using Jacobi matrix to get the conditional extremum; (5) Using parameter equation to calculate the extremum;(6)Using directional derivative to identify the extremumof multivariable function; (7) Using gradient method to get the extremum.
1.4通过雅可比(Jacobi)矩阵求条件极值
1.4.1问题的提出
第八节多元函数的极值及其求法
z a2 2xy 2(x y)
代入V 的表达式，得
V xy a2 2xy 2(x y)
再求它的无条件极值就行了.
这是一种间接求条件极值的方法. 但是，在很多情形，条件极值问题不能或很难化为
无条件极值问题，(比如，从附加条件不能将其中一个 变量由其余变量表示出来)，这时， 上述方法就行不 通了. 可是， 实际中又有大量这类问题需要解决， 为此， 下面给大家介绍一种直接求条件极值的方法，
对该邻域内的异于 (x0, y0) 的任意点 (x, y), 都有 f (x, y) f (x0, y0) .
取定 y y0,当0 | x x0 | 时, 点(x, y0) U (P0, ) , 且(x, y0) (x0, y0), 因而应有
f (x, y0) f (x0, y0)
即 当0 | x x0 | 时, 有
第三步 根据极值的充分条件， 对驻点 (x0, y0) 是否为极值点，以及是极大值点还是极小值点
作出判断。
例1 求函数 f (x, y) x3 y3 3x2 3y2 9x 的极值.
解 定义域: 整个平面
fx 3x2 6x 9 0
fy
3y2 6y
0
解得: x 1 x 1 x 3
求 V xyz (x 0, y 0, z 0)
在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值.
条件极值问题
怎样求条件极值？ 有些可以化为无条件极值问题来求。
例如上面的问题：
求 V xyz (x 0, y 0, z 0) 在附加条件 2xy 2yz 2zx a2
下的最大值. 由附加条件解得
f (x, y) f (x0, y0)
( )
则称函数 f (x,y) 在点 (x0 ,y0) 有极大值 f(x0 ,y0)， (极小值)
高等数学第九章第八节 多元函数的极值及其求法
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
例 3 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值。
练习题答案
一、1、(3,2),大,36； 二、(8 , 16).
55
2、大, 1； 4
练习题
一、
填空题:
1、
函数 f ( x, y) (6x x 2 )(4 y y 2 ) 在
_______点取得极_________值为___________.
2、
函数 z xy 在附加条件 x y 1下
的极______值为_____________.
二、 在 平 面 xOy 上 求 一 点 , 使 它 到 x 0, y 0 及 x 2 y 16 0三平面的距离平方之和为最小.
求函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的极值。
(2)拉格朗日乘数法
要找函数z f ( x, y)在条件 ( x, y) 0下的
可能极值点，
先构造函数F ( x, y) f ( x, y) ( x, y)，
其中 为某一常数，可由
f f
x y
( (
x, x,
y y
) )
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1） AC B2 0时具有极值，
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值； （3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
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Research on the Geometric Solution about the Extreme Value Problem of the Many Variables Function WU Ｙa－juan
（１）满足条件
时的极值点
因为
，
，
，
，
由得
（3）
由（2）（3）解得
则由
由
78
泰州职业技术学院学报
第5期
解得
时， 最大，
此时长方体在第一卦限的顶点坐标为
。
用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法，可避免利用拉格朗日乘数法过程中繁琐的 计算，同时对工科学生而言也比较容易理解。
参考文献：
[1] 王惠珍,等.二元函数极值的一种新判断方法[J].高等数学研究:2000(1):18-19. [2] Chen Fulai, Liao Jiawu. Existence of Positive Periodic Solution to a Class of Neutral Delay Competition Model [ J ]. Ann of
关键词: 多元函数; 极值; 几何观点 中图分类号：Ｏ174 文献标识码：Ａ 文章编号：1671-0142(2008)0５-0076-03
多元函数的极值及其求法是学生学习过程中的一大难点,主要原因有：（1）对拉格朗日乘数法中参 数的困惑；（2）求可能极值点过程中繁琐的计算；（3）对极值存在的必要条件及其充分条件的理解。各类 文献大致提供了下列几种求法：（1）利用二元函数的偏导数求二元函数极值[1]（; ２）通过 Ｊacobi 矩阵求条 件极值[2]；（３）用梯度法求极值[3]；（４）用几位模型法求解极值[4]（; ５）用代换法求条极值[5]；（６）利用参数方程 求解条件极值[6]。本文则利用多元函数微分法在几何上的应用得到了求解多元函数条件极值的方法。
(Nanjing University Of Information Science And Technology, Nanjing Jiangsu 210044)
Abstract: In the paper, it provides the geometrical solution to extreme value of many variables function by geometric properties of objective function or constraint condition. Key words: many variables function; extreme value; geometrical solution
１ z=f(x,y)在满足条件
下的极值
!Φ（x,y,z）=0
引理：设空间曲线的方程以
的形式给出，Ｍ（x,y,z）是曲线 Г 上的一个点，则曲线 Г 在点
Ψ（x,y,z）=0
M 处的切线方程为
由空间解析几何知方程组
（1）表示一条空间曲线 Г，
在满足条件
下的极值即为曲线 Г：
上点 Ｐ 的坐标的极大值与极小值。
第 8 卷第 5 期 2008 年 10 月
泰州职业技术学院学报 Journal of Taizhou Polytechnical College
几何观点下的多元函数条件极值求法
Vol.8 No.5 Oct.2008
吴亚娟
（南京信息工程大学，江苏 南京 210044）
摘 要: 讨论了多元函数的条件极值问题, 从几何的角度给出了二元函数条件极值的一个必要条件，并 举例说明其应用。
所以
即
由
解得
由题意知最长距离为
，最短距离为
２
在满足条件
下的最值
基本过程（1）
在满足条件
下的可能极值点。
（2）求一元函数
的最值。
例 3、求内接于椭球
的体积最大的长方体的体积，长方体的各个面平行于坐标面。
解：设内接于椭球且各个面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点坐标为 且
则长方体的体积为
任意固定
首先求
Restoring Teams [ J ]. Ann of Diff Eqs, 2006, 22 (1) : 62-68. [4] 刘炳文,黄立宏. 一类 n 阶非线性常微分方程周期解的存在性[J].数学学报,2004 (6) : 1133－1140. [5] Lu Shiping. On the Existence of Positive Periodic Solutions for Neutral Functional Differential Equation with Multiple
Abstract: At present, has been widely used in developing E-commerce project，as part of Microsoft .NET framework, which is a popular development tools. The property of in developing E-commerce project in mainly studied in this thesis, details and key technique of E-Commerce in application program and implementing tactics also are studied . Key words: e-commerce website; key technique; ; XML
（责任编辑 李冠楠）
解：因为
，，
，
下的极大值。
作者简介：吴亚娟（1973-）,女,江苏条件极值求法
77
所以 又
即 ，
解得
为
，从而
。
由题意知
的极大值为 。
例 2、抛物面
被平面
解：因为
所以设目标函数为
限制条件为
由
知即求
在限制条件
因为
截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。 下的极值
（责任编辑 李冠楠）
（上接第 66 页）
参考文献：
[1]Robert Lai Jason Lefebvre,张俊等译 开发人员手册[M].北京：电子工业出版社，2002. [2]Akmal B. C haudhri,邢春晓等译.XML 数据管理纯 XML 和支持 XML 的数据库系统[Ｍ]，北京：清华大学出版社，2006 [3]李思齐.服务器配置全攻略[M].北京：清华大学出版社,2006. [4]魏峥 程序设计教程与实验[M].北京：清华大学出版社，2007.
Ｋey Ｔechnique and Ａpplication of E-Commerce Ｗebsite Ｄevelopment ZＨＯＮＧ Ｗei－xi1，ＬＩ Ｃhun－fang2
(1.Taizhou Polytechnic Ｃollege; 2.Chunlan Academy, Taizhou Ｊiangsu 225300， China)
如果曲线 Г 上处处都有切线，则 z 坐标取极大值与极小值的点 p 处的切平面必平行于 xoy 坐标面， 亦即垂直于 z 轴。
由（1）知的方程为
，设其切向量为 ，
则有 ＝
，又
＝0
定理：设函数 列式
，在的某一邻域内均有连续的一阶偏导数且雅克比行
在满足条件
下的极值点的必要条件为
。
例 1、求函数
在适合附加条件
Diff Eqs, 2006, 22 (1) : 13－20. [3] Wang Haiqing. Periodic Solutions for Higher Order Delay Functional Differential Equation of Neutral Type with Linear