高二数学 直线的方程
直线方程公式大全
直线方程公式大全
一、一般式方程
直线的一般式方程表示为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。直线方程大
全中的其他形式可以通过一般式方程推导得出。
二、斜截式方程
斜截式方程是直线方程的另一种常见形式。它表示为 y = mx + c，其中 m 为斜率，c 为截距。
三、截距式方程
截距式方程也是直线方程的一种常见形式，表示为 x/a + y/b = 1，其中 a、b 分别为 x 轴和 y 轴的截距。
四、两点式方程
两点式方程通过直线上的两个点来表示直线方程。设直线上的两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，则两点式方程表示为 (y - y1) = ((y2 - y1)/(x2 - x1))(x - x1)。
五、点斜式方程
点斜式方程利用直线上的一个已知点的坐标和该直线的斜率来表示方程。设已知点为 (x1, y1)，斜率为 m，则点斜式方程表示为 y - y1 = m(x - x1)。
六、垂直线方程
垂直线的特点是斜率不存在，所以其方程可以表示为 x = a，其中 a 为与 y 轴垂直的线在 x 轴上的截距。
七、水平线方程
水平线的特点是斜率为零，所以其方程可以表示为 y = a，其中 a 为与 x 轴平行的线在 y 轴上的截距。
八、点式方程
点式方程是直线方程中最简单的形式，利用直线上的一个已知点的坐标来表示直线方程。设已知点为 (x1, y1)，则点式方程表示为 (y - y1) = m(x - x1)，其中 m 为直线的斜率。
九、角平分线方程
角平分线是将一个角平分成两个相等的角的线段。设角的两边斜率分别为 m1 和 m2，角平分线的斜率可表示为 m = (m1 + m2)/2，将平分线上的一个点坐标 (x1, y1) 代入点斜式方程可得到角平分线方程。
高二数学直线方程试题答案及解析
高二数学直线方程试题答案及解析
1.直线和直线的交点为,则过两点,的直线方程为_____________.
【答案】
【解析】两直线和的交点为, 所以是直线上的点，将点的坐标代入直线方程，得到整理一下，则可看成而分别可由
代入因为,即为相异的两点.两点确定一条直线，所以可以认为为所求直线方程.
【考点】直线的方程.
2.已知直线l经过点P(-2,1)
（1）若直线l的方向向量为(-2,-1)，求直线l的方程；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l的方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或x+y+1=0
【解析】（1）已知直线的方向向量利用方向向量设方程时可设为：,然后根据直线过点P(-2,1)来得直线方程.（2）可先设直线的斜率，然后表示直线方程；根据直线方程来表示直线在两坐标轴上的截距，根据截距相等列出方程即可.
试题解析：（1）直线斜率为
得
（2）或x+y+1=0.
【考点】函数及其性质的应用.
3.已知直线经过点.
（1）若直线的方向向量为，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求此时直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】（1）由直线的方向向量可得直线的斜率，根据点斜式可得直线方程。（2）注意讨论截距是否为0，当截距均为0时，直线过原点，设直线方程为，将点代入即可求得，当截距不为0时可设直线为，同样将点代入即可求得。
（1）由的方向向量为，得斜率为，
所以直线的方程为：（6分）
（2）当直线在两坐标轴上的截距为0时，直线的方程为；（9分）
当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设为代入点得直线的方程为.【考点】1直线的方向向量；2直线方程的点斜式和截距式。
高二数学直线及方程知识点
高二数学直线及方程知识点直线及方程是高中数学中重要的知识点之一，对于理解几何形状和解决实际问题都具有重要的作用。本文将介绍高二数学中的直线及方程知识点，包括直线方程的表示形式、直线的性质与判定以及直线与曲线的关系等内容。希望通过本文的阅读，能够帮助同学们更好地理解和掌握直线及方程的知识。
1. 直线方程的表示形式
直线方程的表示形式通常有一般式、截距式和斜截式等。一般式的直线方程形式为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是实数且A和B不同时为0。截距式的直线方程形式为x/a + y/b = 1，其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。斜截式的直线方程形式为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2. 直线的性质与判定
直线具有很多重要的性质，包括平行、垂直、相交等。两条直线平行的判定条件是它们的斜率相等，两条直线垂直的判定条件是它们的斜率的乘积为-1。两条直线相交时，它们的交点可以通过联立两条直线的方程求解得到。此外，对于一条直线上的两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，其斜率可以通过Δy/Δx来计算。
3. 直线与曲线的关系
直线与曲线之间有时会有特殊的关系，比如切线和法线。曲
线在某一点的切线是曲线在该点处与切线相切，切线的斜率等于
曲线在该点的导数。曲线在某一点的法线是与切线垂直的直线，
其斜率等于切线的斜率的相反数。通过分析曲线的性质及其方程，我们可以画出曲线在不同点处的切线和法线。
4. 直线与线段的关系
直线和线段也有一些特殊的关系，比如线段的中垂线和角平
高二数学直线的方程练习题
高二数学直线的方程练
习题
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高二数学直线方程练习题1．直线x－2y＋1＝0与2x＋y－1＝0的位置关系是()
A．平行B．相交且垂直
C．相交但不垂直D．重合
【解析】∵≠且×(－2)＝－1，
∴两直线相交且垂直．
【答案】 B
解：
2．直线3x＋y＋6＝0的斜率为k，在y轴上的截距为b，则()
A．k＝3，b＝6B．k＝－3，b＝－6
C．k＝－3，b＝6 D．k＝3，b＝－6
解：
3．直线＋＝1化成一般式方程为()
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3)
C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
【解析】直线＋＝1化成一般式方程为4x＋3y－12＝0.
【答案】 C
解：
4．若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则()
A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
【解析】把直线ax＋by＋c＝0化成斜截式得
y＝－x－，
由题意可知
即ab<0且bc<0.
【答案】 D
解：
5．过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是
() A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
【解析】直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1,0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
【答案】 A
解：
6．求过两条直线2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交点，并且与直线2x＋3y＋5＝0垂直的直线方程．
高二数学选择性必修件直线的两点式方程
VS
性质探讨
参数方程可以方便地描述直线上的点的位 置和运动规律，特别适用于解决与直线相 关的轨迹、最值等问题。
极坐标表示方法介绍及性质探讨
极坐标表示方法
在极坐标系中，通过极径和极角两个参数确 定直线上的点的位置，从而得到直线的极坐 标方程。
性质探讨
极坐标方程可以直观地反映直线与极点的相 对位置关系，以及直线的倾斜程度和方向。 同时，极坐标方程在解决与圆、扇形等图ห้องสมุดไป่ตู้ 相关的问题时具有独特的优势。
斜率是直线倾斜程度的量度，它反映了直线相对于$x$轴的倾斜角。当斜率$k > 0$时，直线从左下方向右上方倾斜；当$k < 0$时，直线从左上向右下方倾斜； 当$k = 0$时，直线与$x$轴平行。
代入点斜式得到方程
点斜式方程
已知直线上一点$(x_1, y_1)$和斜率$k$，则该直线的方程可 以表示为$y - y_1 = k(x - x_1)$。
高二数学选择性必修件直线 的两点式方程
汇报人：XX
汇报时间：20XX-01-18
目录
• 直线方程基本概念与性质 • 两点式方程推导与理解 • 图形变换在两点式方程中应用
目录
• 典型例题解析与技巧总结 • 拓展延伸：参数化表示和极坐标表示 • 练习题与答案解析
01
直线方程基本概念与性质
直线方程定义及表达形式
高二数学 上学期直线的方程例题(三)
高二数学 上学期直线的方程例题〔三〕
［例1］一直线l 经过点P (－4,3),分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，且使AP ：PB =5：3,求直线l 的方程.
选题意图：考查直线的截距式方程.
解：设直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为点(a ,0)、点B (0,b )，那么直线l 的方程是
b
y a x +=1， ,∵P 点的坐标为(－4,3),且AP ：PB =5：3， ∴⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+-=+⨯+33513504351035b a 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=524332b a ∴直线l 的方程是5
24532y x +-=1, 整理化简得9x －20y +96=0,
说明：此题也可用点斜式求l 的方程.
［例2］一根弹簧，挂5公斤的物体时，长10cm ，挂8公斤的物体时长16cm ，弹簧长度l (cm)和所挂物体的重量W (公斤)的关系可以用直线方程来表示，用两点式表示这个方程，并且根据这个方程，求弹簧长为12cm 时所挂物体的重量.
选题意图：考查直线方程的应用.
解：以Ｗ为横坐标l 为纵坐标，那么由题知直线过(5，10)点和(8，16)点，由直线的两点式方程得所求直线方程为：585101610--=--W l 把l =12代入得58510161012--=--W ∴Ｗ＝6.
即弹簧长为12cm 时所挂物体的重量为6公斤.
说明：把应用问题“数学化〞是解决应用题的关键.
［例3］求通过点(－2,2)，且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线方程.
选题意图：考查直线截距式方程的应用. 解：设所求直线方程为1=+b
高二数学直线的一般式方程
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ①k= - 3，B=5； ①3x+y-5=0 ②x/4 －y/5 =1 ③x+2y=0
②k=5/4，b= -5 ； ③k= -1/2，b=0； ④k=7/6，b=2/3 ⑤k=0，b=7/2。
④7x－6y+4=0
⑤2y－7=0
令y=0，可得 x= -6即直线L在x轴上的截距是- 6
巩固训练（二）
设直线l的方程为Ax+By+c=0（A，B不同时为 零） 根据下列各位置特征，写出A，B，C应满足的 关系： C=0 直线l过原点:____________ A+B+C=0 直线l过点(1,1):___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于 轴:___________ A=0,B=0,C=0 直线l平行于轴:____________
2、若直线(m+2)x+(2-m)y=2m在x轴上的截 -6 距为3，则m的值是__________
例4：利用直线方程的一般式，求过点（0，3） 并且与坐标轴围 成三角形面积是6的直线方程。
解：设直线为Ax+By+C=0， ∵直线过点（0，3）代入直线方程 得3B= -C， B= －C/3 又直线与x，y轴的截距分别为x= -C/A ,y= -C/B 由三角形面积为6得
高二数学第10讲：直线的方程(学生版)
第10讲直线的方程
直线方程的五种形式
名称方程常数的几何意义不能表示的直线点斜式y- =k(x- ) (x1，y1)为直线上的一定点，k为直线
的斜率
x=x1
斜截式y=kx+b 为直线的斜率，为直线在y轴
上的截距
x=x1
两点式(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两点x=x1
y=y1
截距式a是直线在轴上的截距，b是直线
在轴上的截距
与x轴、y轴垂直的直
线和过原点的直线一般式Ax+by+c=0
(A2+B2 0)
A、B、C为系数无
两条直线的位置关系及到角、夹角公式
1. 平行
（1）l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，
斜率不存在很容易判断两条直线是否平行；
（2）l1：A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时，
2.垂直
（1）l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时，
（2）l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C=0时，
在具体问题中，可将与Ax+By+C=0平行的直线设为Ax+By+m=0，垂直的直线设为
Bx-Ay+m=0
3. 到角、夹角的概念与公式：
（1）到角：设l1、l2的斜率分别是k1、k2，l1到l2的角θ，则
注意：①到角的概念：l1按逆时针方向→l2，第一次重合(最小正角)
②θ的范围：0°<θ<180°；
（2）l1与l2的夹角θ：规定形成角中不大于90°的角叫两条直线的夹角。
注意：l1与l2相交不垂直时是锐角，0°<θ<90°，l1与l2相交垂直时：θ=90°；所以θ的范围；0°<θ≤90°；
夹角公式：
直线的一般式方程(课件)高二数学
√
)
2．在直角坐标系中，直线x＋ 3y－3＝0的倾斜角是( ) A．30° B．60° C．150° D．120°
解析：直线斜率k＝－ 33，所以倾斜角为150°，故选C. 答案：C
3．已知过点A(－5，m－2)和B(－2m,3)的直线与直线x＋3y－1 ＝0平行，则m的值为( )
A．4 B．－4 C．10 D．－10
方法二 由直线 l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得 a＝±1. 将 a＝±1 代入方程，均满足题意． 故当 a＝1 或 a＝－1 时，直线 l1⊥l2.
[方法技巧] 1．利用一般式解决直线平行与垂直问题的策略 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线 l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还 是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一
般式．
题型二 直线一般式下的平行与垂直问题 例 1 (1)已知直线 l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0 与直线 l2：mx＋3y －2＝0 平行，求 m 的值； (2)当 a 为何值时，直线 l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0 与直线 l2： (a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0 互相垂直？ 分析：注意考虑斜率不存在情况
解析：(1)方法一 ①若m＋1＝0，即m＝－1时，直线l1：x＋2 ＝0与直线l2：x－3y＋2＝0显然不平行．
高二数学直线方程知识点总结
高二数学直线方程知识点总结
一、直线方程的基本形式
直线方程的一般形式是Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不能同时为0。直线方程的一般形式可以表示所有直线。
二、直线的斜率和截距
1. 斜率的定义：直线的斜率是指直线上任意两点的纵坐标的差与横坐标的差的比值。如果直线的斜率存在且不为零，就表示直线不平行于y轴。
2. 斜率的计算：设直线上两点为P(x1, y1)和Q(x2, y2)，则直线的斜率k = (y2-y1)/(x2-x1)。
3. 直线的截距：直线与坐标轴相交的点称为截距。直线与y轴的交点称为纵截距，用b表示；直线与x轴的交点称为横截距，用a表示。
三、直线的一般式和斜截式
1. 一般式：直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C 为常数，A和B不能同时为0。
2. 斜截式：直线的斜截式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线的截距。
四、点斜式方程
1. 点斜式：直线过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线的点斜式方程为
y - y1 = k(x - x1)。
2. 根据点斜式方程可以求得直线的斜率和截距。
五、两点式方程
1. 两点式：直线过点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，则直线的两点式方程为(y - y1)/(x - x1) = (y2 - y1)/(x2 - x1)。
2. 根据两点式方程可以求得直线的斜率和截距。
六、平行和垂直直线的关系
1. 平行关系：两条直线的斜率相等时，它们平行。
2. 垂直关系：两条直线的斜率的乘积为-1时，它们垂直。
高二数学直线方程练习题
高二数学直线方程练习题
1. 启示飞机从一个机场起飞后，按照速度600 km/h直线飞行，1小时后发生故障，使得启示飞机的速度减少为400 km/h，于是飞机改变航向，并以恒定的速度在空中滑行，经过1小时20分钟后，飞机在距合围空港300 km的某地点坠毁。求该航班的飞行方向与正北方向之间的夹角。
2. 设直线L1:x=2t,y=-t+1,z=3t-1与直线L2:x=3s+2,y=1,z=2s-1，求直线L1与直线L2之间的夹角。
3. 试求过点A(-1,2,3)并且与直线L:x=t,y=1,z=1+2t平行的直线的方程。
4. 在直线L：x=3+2t, y=-3-5t, z=4+3t上求满足条件x-y+2z=1的点，并求此点到直线所在平面的距离。
5. 已知平面P：3x+5y-2z-7=0，平面P与直线L：x=2-t, y=t, z=3+t 相交于点A，求点A至直线L的距离。
6. 已知直线L1：x=y=z, 平面P：2x+y+z-6=0，求直线L1在平面P 上的投影。
7. 求过点A(2,-1,3)且与直线L：x=1-3t, y=4+2t, z=2t平行的平面方程。
8. 已知直线L1:x-1=y-2=z+5,直线L2:x-2=y+1=z-3，求直线L1与直线L2之间的夹角。
9. 求过直线L1:x-2=y-1=z-4的直线L2，并且直线L2与直线L1及坐标轴所围成的立体体积为72。
10. 已知三点A(2,3,1)、B(1,0,-2)和C(3,1,5)，求直线AB和直线BC 的夹角。
以上是高二数学直线方程练习题，希望能够帮助你更好地理解和掌握直线的相关知识。如果还有其他问题，欢迎随时提问。
高二数学直线的一般形式
作业：
1、设直线L的方程（m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6根据 下列条件，分别确定的m的值。
（1）L在x轴上的截距是-3
（2）L的斜率为1。
2、已知2m-3n=1，求证：直线mx+ny=5必过定点并求出 这个定点的坐标。
3、已知两条直线L1：a1x+b1y+1=0,和a2x+b2y+1=0都通 过点P（2，3）求经过两点A（a1,b1),B(a2,b2)的直线方程。 4、直线L经过点P（-4，3）与x轴，y轴交于A，B两点 且AP：PB=3：5，求直线L的方程。
例1、直线方程Ax+By+c=0的系数A、B、C满足什 么关系时这条直线有以下性质？
（1）与两标轴都相交。 答：AB≠0
（2）只与x轴相交。
A≠0 ，B =0 ；
（3）只与y轴相交。 （4）是x轴所在直线。 （5）是y轴所在直线。
B≠0 ，A = 0 ； B≠0 ，A = C= 0 ； A≠0 ，B = C = 0 .
（6）过原点且不是坐标轴。 AB≠0 ，C= 0 ；
例2、已知直线L经过点A（6，-4）斜率为 4 3
求直线 方程的点斜式、一般式、截距式。
例3、已知直线A x+By+6=0在x轴，y轴上截距分 别是-2,和3，求A，B。
高中高二数学教案范文：直线的方程
高中高二数学教案范文：直线的方程
教案标题：直线的方程
适用年级：高中高二
教学目标：
1.了解直线的定义和性质；
2.学习如何确定直线的方程；
3.掌握常见直线方程的求解方法；
4.能应用直线方程解决实际问题。
教学重点：
1.直线的斜率概念和计算方法；
2.直线的截距概念和计算方法；
3.应用直线的方程解决实际问题。
教学难点：
1.理解和运用直线斜率的概念和计算方法；
2.理解和运用直线截距的概念和计算方法。
教学准备：
1.教学投影仪或白板；
2.直线方程的相关练习册；
3.实际问题的例题。
教学过程：
Step 1：引入新知
1.引导学生回顾中学阶段学过的直线相关知识，例如直线的特征和方向等。
2.通过图片展示和实际例子引导学生了解直线的斜率和截距的概念。
Step 2：直线斜率的计算
1.引导学生回顾直线斜率的定义和计算方法。
2.通过具体的直线方程示例讲解斜率的计算步骤和方法。
3.提供一些练习题让学生独立计算直线斜率，并进行讲解和订正。
Step 3：直线截距的计算
1.引导学生回顾直线截距的定义和计算方法。
2.通过具体的直线方程示例讲解截距的计算步骤和方法。
3.提供一些练习题让学生独立计算直线截距，并进行讲解和订正。
Step 4：确定直线方程
1.综合斜率和截距的概念和计算方法，讲解如何确定直线方程。
2.通过具体例子展示直线方程的求解过程，并进行课堂讲解和操练。
Step 5：应用实例
1.提供一些实际问题，例如几何问题、物理问题等，让学生运用所学知识解决问题。
2.引导学生分析问题、列出方程、计算并给出解答。
3.讲解实例中的解题思路和方法，并与学生进行讨论和分享。
高二数学直线方程解答题及答案
解 答 题
1． 直线l 过点P （8，6），且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．
2．已知一直线过点)2,2(-，且被两坐标轴截得的线段长为5，求直线l 的方程．
3．已知直线l 在x 轴上截距为2-，倾斜角α满足
1113sin 3cos 5cos sin 2=+-αααα，求直线l 的 方程．
4．已知ABC ∆中，)3,1(A ，AB 、AC 边上的中线所在直线方程分别为2121+=x y 和 1=y ，求AB 所在的直线方程．
5．直线l 被两条直线064:1=++y x l 及0653:2=--y x l 所截得的线段中点恰为坐 标原点，求直线l 的方程．
6．已知直线x y 21=
和两个定点)1,1(A ，)2,2(B ，在此直线上取一点P ，使22PB PA + 最小，求P 坐标．
7．过点)4,1(P 引直线l ，使它在两坐标轴上的截距大于0，且截距和最小，求l 方程．
8．已知ABC ∆中，)3,1(A ，AB 、AC 边上中线方程012=+-y x 和01=-y ，求 ABC ∆各边所在的直线方程．
9．已知)1,2(A 、)2,2(-B 在直线l ：032=+-c y x 的两侧，求实数c 的取值范围．
10．已知)(1x f y =代表过点（0，－2）的一条直线，)(2x g y =代表过点（0，0）的 一条直线，又()[]()[]23-==x x g x f ．求这两条直线的一般方程．
11．求过点P （1，2）且在两坐标轴上截距和为0的直线的方程．
12．直线l 的斜率为4
高二数学直线的方程练习题
高二数学直线的方程练习题
在高二数学学习中，直线的方程是一个重要的知识点。掌握直线方
程的求解方法对于解决与直线相关的问题具有重要意义。本文将从不
同的角度出发，给出一些关于直线方程的练习题。
1. 直线的一般方程
1.1 给出直线过两个已知点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，求直线L的一般
方程。
解析：首先计算直线L的斜率k。根据斜率的定义，有 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
然后，代入直线的点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 中的点和斜率，化
简得到直线的一般方程 Ax + By + C = 0。
示例题：过点P(2, 3)和Q(4, 7)的直线L的一般方程为2x - y + 1 = 0。
2. 直线的截距式方程
2.1 给出直线与x轴和y轴的坐标交点分别为A(a, 0)和B(0, b)，求
直线L的截距式方程。
解析：直线与x轴的交点可以看作是y坐标为0的点，直线与y轴
的交点可以看作是x坐标为0的点。根据直线截距式的定义，直线的
截距式方程为 x/a + y/b = 1。
示例题：过点A(2, 0)和B(0, 3)的直线L的截距式方程为 x/2 + y/3 = 1。
3. 直线的点斜式方程
3.1 给出直线L的斜率k和过直线上一点P(x1, y1)，求直线的点斜
式方程。
解析：根据直线的斜率定义，可以写出直线L的点斜式方程为 y -
y1 = k(x - x1)。
示例题：直线L的斜率为2，过点P(3, 4)，则直线L的点斜式方程
为 y - 4 = 2(x - 3)。
4. 直线的两点式方程
高二数学直线的方程
高二数学：直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用
一、教学要求：
1、通过本内容的学习，充分理解直线的方程与方程的直线的关系，加深对几何问题坐标化的理解．
2、研究直线方程的五种形式及相关公式，注意直线方程的五种形式中除一般形式外，均有不能表示的直线，否则可能丢解．
3、理解直线方程的常数参数的几何意义．
4、两直线平行垂直的判定与应用
5、到角与夹角公式
二、重难点分析：
(一)直线方程五种形式及限制条件
名称不能表示的直线
点斜式y-y1=k(x-x1) (x1，y1)为直线上的一定点，k为直线的
斜率
x=x1
斜截式y=kx+b k为直线的斜率，b为直线在y轴上的
截距
x=x1
两点式(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两定点x=x1
y=y1
截距式a是直线在x轴上的截距，b是直线在y
轴上的截距
与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线
一般式Ax+by+c=0
(A2+B2≠0)
A、B、C为系数无
说明：
点斜式处于中枢位置，是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。对其它形式要牢记它的适用范围，有哪些不能表示的直线，并且能灵活地互化。
一般式是对各种具体形式的概括，所以理论上很重要。
(二)方程的推导
1.点斜式
注意：
(1)点斜式是最基本的形式，也是推导其它形式的基础。它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用，在推导过程中把握以下几点：[1]直线的定义：过定点且保持运动方向不变的点集。[2]通过斜率公式将结合条件坐标化：[3]由斜率公式的限制条件，导致对x≠x l和x=x1的分类讨论；[4]能合并的尽量合并。
(2)通过点斜式的推导，进一步熟悉求曲线方程的方法，加深对曲线的方程的理解，注意体会变形中如何保证等价性。
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典型例题一
例1 直线l 过点P （－1，3），倾斜角的正弦是
5
4
，求直线l 的方程． 分析：根据倾斜角的正弦求出倾斜角的正切，注意有两解． 解：因为倾斜角α的范围是：πα<≤0 又由题意：5
4sin =α， 所以：3
4tan ±
=α， 直线过点P （－1，3），由直线的点斜式方程得到：()13
4
3+±=-x y 即：01334=+-y x 或0534=-+y x ．
说明：此题是直接考查直线的点斜式方程，在计算中，要注意当不能判断倾斜角α的正切时，要保留斜率的两个值，从而满足条件的解有两个．
典型例题二
例2 求经过两点A （2，m ）和B （n ，3）的直线方程．
分析：本题有两种解法，一是利用直线的两点式；二是利用直线的点斜式．在解答中如果选用点斜式，只涉及到n 与2的分类；如果选用两点式，还要涉及m 与3的分类．
解：法一：利用直线的两点式方程
∵直线过两点A （2，m ）和B （n ，3） （1）当3=m 时，点A 的坐标是A （2，3），与点B （n ，3）的纵坐标相等，则直线
AB 的方程是3=y ；
（2）当2=n 时，点B 的坐标是B （2，3）,与点A （2，m ）的横坐标相等，则直线AB 的方程是2=x ；
（3）当3≠m ，2≠n 时，由直线的两点式方程
1
21
121x x x x y y y y --=--得：
2
2
3--=
--n x m m y 法二：利用直线的点斜式方程
（1）当2=n 时，点B A ,的横坐标相同，直线AB 垂直与x 轴，则直线AB 的2=x ； （2）当2≠n 时，过点B A ,的直线的斜率是2
3--=n m
k ， 又∵过点A （2，m ）
∴由直线的点斜式方程()11x x k y y -=-得过点B A ,的直线的方程是：
()22
3---=
-x n m
m y 说明：本题的目的在于使学生理解点斜式和两点式的限制条件，并体会分类讨论的思想方法．
典型例题三
例 3 把直线方程()00≠=++ABC c By Ax 化成斜截式______，化成截距式______． 分析：因为0≠ABC ，即0≠A ，0≠B ，0≠C ，按斜截式、截距式的形式要求变形即可．
解：斜截式为B
C x B A y --
=，截距式为A C x -+B
C Y
-＝1 说明：此题考查的是直线方程的两种特殊形式：斜截式和截距式．
典型例题四
例4 直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．
分析：将直线的方程化为斜截式，得出直线的斜率，再由斜率和倾斜角的关系，得出关
于θ的一个三角不等式即可．
解：已知直线的方程为323cos -
-=x y θ，其斜率3
cos θ
-=k ． 由3
13
cos ≤
=
θk ，得3
1tan ≤
α，
即3
3
tan 33≤
≤-
α． 由[)πα,0∈，得),65[6,
0πππα ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∈． 说明：解题易得出错误的结果⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈6,6ππα，其原因是没有注意到倾斜角的取值范围．
典型例题五
例5 直线l 经过点)2,3(，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．
分析：借助点斜式求解，或利用截距式求解． 解法一：由于直线l 在两轴上有截距，因此直线不与x 、y 轴垂直，斜率存在，且0≠k ． 设直线方程为)3(2-=-x k y ，
令0=x ，则23+-=k y ，令0=y ，则k
x 23-
=．
由题设可得k k 2323-
=+-，解得1-=k 或3
2=k ． 所以，l 的方程为)3(2--=-x y 或)3(3
2
2-=-x y ．
故直线l 的方程为05=-+y x 或032=-y x ．
解法二：由题设，设直线l 在x 、y 轴的截距均为a ． 若0=a ，则l 过点)0,0(，又过点)2,3(，
∴l 的方程为x y 3
2
=
，即l ：032=-y x ． 若0≠a ，则设l 为1=+a y
a x ．
由l 过点)2,3(，知12
3=+a
a ，故5=a ．
∴l 的方程05=-+y x ．
综上可知，直线l 的方程为032=-y x 或05=-+y x ．
说明：对本例，常见有以下两种误解：
误解一：如下图，由于直线l 的截距相等，故直线l 的斜率的值为1±．若1=k ，则直线方程为32-=-x y ；若1-=k ，则直线方程为)3(2--=-x y ．故直线方程为01=-+y x 或05=-+y x ．
误解二：由题意，直线在两轴上的截距相等，则可设直线方程为
1=+a
y
a x ．由直线过点)2,3(，得
12
3=+a
a ，即5=a ，也即方程为05=-+y x ． 在上述两种误解中，误解一忽视了截距的意义，截距不是距离，它可正可负，也可以为0．显见，当1=k 时，直线01=--y x 的两轴上的截距分别为1和－1，它们不相等．另外，这种解法还漏掉了直线在两轴上的截距均为0的这种特殊情形．误解二中，没有注意到截距式方程的适用范围，同样也产生了漏解．
典型例题六
例6 已知在第一象限的ABC ∆中，)1,1(A 、)1,5(B ，3
π
=
∠A ，4
π
=
∠B ，求：
(1)AB 边的方程；(2)AC 和BC 所在直线的方程． 分析：(1)当直线与x 轴平行时或垂直时，不能用两点式求直线的方程．(2)由图可知AC 、BC 的斜率，根据点斜式方程即可得出结果．
解：(1)如图，AB 的方程为1=y )51(≤≤x ．