离散数学课件1.8

∀ xA( x) ∴ A( y )
应用US规则的条件是: A(x)对于y必须是自由的。 设 A( x) = ∃y( x > y) 则 ∀xA( x) = ∀x∃y( x > y) , x,y的 的 个体域为R， 是一真命题. 个体域为 ， 是一真命题 若应用US得 则是错误的。 若应用 得 ∃y( y > y) ，则是错误的。 正确的做法是换成 ∃y( z > y) ( z ∈ R)
用变元x取代 ， 则要求在 原公式中y不 用变元 取代y， 则要求 在 原公式中 不 取代 能出现在量词(∀ 或 ∃ 的辖域之内 的辖域之内。 能出现在量词 ∀x)或(∃x)的辖域之内。
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第一章 数理逻辑
推理规则的正确使用（4）
推导4： （1）G(x, c) （2）(∃x)G(x, x) P EG,(2)
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第一章 数理逻辑 1.8.3 推理举例 例1 根据前提集合：同事之间总是有工作矛盾的，张平和李 明没有工作矛盾, 能得出什么结论? ; 解 设P(x, y): x和y是同事关系, Q(x, y): a: 张平, x和y有工作矛盾, b: 李明,
则前提是:∀x∀y(P(x,y) → Q(x,y)) ， ┐Q(a,b) ∀ ∀
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第一章 数理逻辑 这一规则也可写为:
∀ xA( x)推得A( x) 或
它的意义是, 全称量词可以删除。
∀ xA( x) ⇒ A( x).
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第一章 数理逻辑 (2) 存在指定规则 存在特定规则 存在量词消去规则 ) 存在指定规则(存在特定规则 存在特定规则/存在量词消去规则 (Existential Specification)简记为ES。
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第一章 数理逻辑
推理规则的正确使用（3）
推导3： （1）(∃y)G(z, y) （2）(∀y)(∃y)G(y, y) P UG,(1)
分析：推导3是错误的。正确的推导如下： 是错误的。 分析：推导 是错误的 正确的推导如下： P （1）(∃y)G(z, y) ） ∃ 注意：使用 ∃ 规则来添加量词时， 规则来 注意：∀ UG,(1) （2）(∀z)(∃y)G(z, y) 量词时，若选 ） 使用UG规则 添加量词时
而这一式前面已指明它是不成立的 不成立的。 不成立的
特别要注意 使用ES而产生的自由变元不能保留在结 注意, 注意 论中,因它是暂时的假设, 在推导结束之前必须使用EG 使之成为约束变元。
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第一章 数理逻辑
推理规则的正确使用(1) 推理规则的正确使用
例设实数集中，语句“不存在最大的实数”可符号化为： 设实数集中，语句“不存在最大的实数”可符号化为： (∀x)(∃y)G(x, y)。 其中：G(x, y)：y>x。 ∀ ∃ 。 其中： 谓词演算的推理规则
1.8.1 A(x)对y是自由的 对 是自由的 1.8.2 谓词演算中的推理规则 1.8.3 推理举例
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第一章 数理逻辑 1.8.1 术语“A(x)对y是自由的”的意义 术语“ 是自由的” 对 是自由的 考察以下谓词公式: 考察以下谓词公式 可以这样吧 x替换为y 吗？ ∀yP(y)∨Q(y)∨R(x) ∨ ∨ ∃yP(y,y)∨Q(y,y) ∃ ∨ ∀yP(y)∨Q(y,y) ∨
分析：推导4是错误的。正确的推导如下： （1）G(x, c) P 注意：使用EG规则来添加量词时，若选用 注意：使用 规则来添加量词时， 规则 量词时 （2）(∃y)G(x, y) 在原公式中c不能出现 EG,(2) 不能出现 变元x取代 ，则要求在原公式中 变元 取代c，则要求
变元 取代 ，则要求在原公式中 不能出现 在量词(∀ 或 ∃ 的辖域之内 原公式中中 的辖域之内且 在量词 ∀x)或(∃x)的辖域之内且原公式中中 无自由变量x 无自由变量x。
∀yP(y)∨Q(x)∨R(x) ∨ ∨ ∃yP(x,y)∨Q(x,y) ∃ ∨ ∀yP(y)∨Q(x,y) ∨
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第一章 数理逻辑 术 语 “ A(x) 对 y 是 自 由 的”: 如果公式A(x)中, x不出现在量词∀y或∃y的辖域之内, 则称A(x)对y ∀ 对 是自由的。 是自由的。 上面的例子中，第二个式子中的x是对 不自由的。 是对y不自由的 上面的例子中，第二个式子中的 是对 不自由的。 不自由变量，不能进行代入。 不自由变量，不能进行代入。
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第一章 数理逻辑
(b) 设P(x): x是松树, Q(x): x是针叶树, R(x): x是冬季落叶的树
这个论证是:
∀ x ( P ( x ) → Q ( x )), ∀ x ( R ( x ) → ∴ ∀ x( R( x) → P ( x ))
这个论证是有效的, 证明如下:
Q ( x ))
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∀ x (T ( x ) → N ( x )) ∧ ∃ x ( N ( x ) ∧ H ( x )) → ∃ x (T ( x ) ∧ H ( x ))
非永真即可。
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第一章 数理逻辑 现取论述域为整数, T(x): x=1, N(x): x是奇数, H(x): x是质数。 则 ∀x(T(x)→N(x))是真, ∃x(N(x)∧H(x))是真, 但 ∃x(T(x)∧H(x))是假, 故非永真式。
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第一章 数理逻辑 解 (a) 设T(x): x是大学教师, N(x): x是知识分子, H(x): x有怪脾气。 这个论证是：
∀ x (T ( x ) → N ( x )), ∃ x ( N ( x ) ∧ H ( x )) ∴ ∃ x (T ( x ) ∧ H ( x ))
这个论证是无效的, 要证明无效, 只需找出一种解释说明上式, 即
（1）无论A(y)中自由出现的个体变项y取何值，A(y)应该均为真。 (1) y在A(y)中自由出现，且y取任何值时 均为真。 中自由出现， 取任何值时A均为真 在 中自由出现 取任何值时 均为真。
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第一章 数理逻辑 观察下述推理过程: 观察下述推理过程 (1) ∀x ∃ yP(x,y) (2) ∃yP(c,y) (3) P(c,d) (4) ∀ ∀xP(x,d) (5) ∃y∀x P(x,y) P,前提 T,(1),US T,(2),ES T,(3),UG T,(4),EG
A( y ) ⇒ ∃ xA( x)
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第一章 数理逻辑 (4) 全称推广规则（全称一般化规则 全称量词引入规则 ） 全称推广规则（全称一般化规则/全称量词引入规则 (Universal Generalization)简记为UG。
A( y) ∴ ∀xA( x)
（2）y不能是居先推导步骤中使用ES引入的。 (2) x不在 不在A(y)中约束出现 不在 中约束出现 （3）取代自由出现的y的x也不能在A(y)中约束出现。
第(4)步是错误的： (4)步是错误的： 步是错误的 - P(c, d)无论c取何值，P(c, d)都为真？不是均为真! 都为真？不是均为真! - P(c, d)中的d是使用ES引入的新变元，且自由出现! 是使用ES引入的新变元，且自由出现! ES引入的新变元
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第一章 数理逻辑
∀ x∃ yP( x, y ) ⇒ ∃ y∀ xP( x, y )
所以, 除前提本身外, 能得出: 张平和李明不是同事关系的结论。
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第一章 数理逻辑 例2 (a) 每个大学教师都是知识分子, 有些 有些知识分子有怪脾气, 所以有些大学教师有怪脾气。 (b) 每一松树都是针叶树, 每一 每一冬季落叶的树都非针叶树, 所以, 每一冬季落叶的树都非松树。 证明或否定以上论证。
∃xA(x) ∴ A(y)
含义: 如果已证明 ∃xA(x), 那么我们可以假设 某一确定的个体y使A(y)是真, 这里y只是一个表 面的自由变元。
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第一章 数理逻辑
应用ES规则的条件
应用ES规则的条件 应用 规则的条件: 规则的条件 (1) y(说c更好些)是使A为真的特定的个体常项 个体常项。 个体常项 (2) y不在A(x)中出现。 （3）y不是前提和居先推导步骤中的（表面）自由变元 (3) 若A(x)中还有其它自由出现的个体变项， 此规则不能使用。
P T , (1), US T , (2), E24 P T , (4), US T , (3), (5), I 6 T , (6), UG
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第一章 数理逻辑 例 3 证明 ∃xM(x)是∀x(H(x)→M(x))和∃ xH(x)的有效结论。 ∃ 解 (1) ∃xH(x) (2) H(y) (3) ∀x(H(x)→M(x)) ∀ (4) H(y)→M(y) (5) M(y) (6) ∃xM(x) P,前提 T,(1),ES P T,(3),US T,(2,4), I3 T,(5), EG
第一章 数理逻辑
(1) ∀ x( P( x) → Q( x)) (2) P( y ) → Q( y ) (3) ┐ Q( y ) → ┐P ( y ) (4) ∀ x( R( x) → ┐ Q( x)) (5) R( y ) → ┐Q( y ) (6) R( y ) → ┐ P( y ) (7) ∀ x( R( x) → ┐ P( x))
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第一章 数理逻辑 (3) 存在推广规则（存在一般化规则 存在量词引入规则 ） 存在推广规则（存在一般化规则/存在量词引入规则 (Existential Generalization)简记为EG。
A( y ) ∴ ∃ xA( x)
应用这一规则的条件是: A(y)对x是自由的 （ x 最好在A(y) 中没有出现过）。 这一规则可写成:
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第一章 数理逻辑
推理规则的正确使用（ ） 推理规则的正确使用（2）
推导2： 推导 ： （1）(∀x)(∃y)G(x, y) ） ∀ ∃ （2）(∃y)G(z, y) ） ∃ （3）G(z, c) ） P US,(1) ES,(2)
分析：推导 是错误的 正确的推导如下： 是错误的。 分析：推导2是错误的。正确的推导如下： 注意：使用ES规则来消去量词时 ES规则 量词时， 注意：使用ES规则来消去量词时， 若还 P （1）(∀x) (∃y)G(x, y) ） ∀ ∃ 有其它自由变 自由变元 有其它自由变元时，则必须用关于自由 (∃y)G(z, y) US,(1) （2）函数符号来取代常量符号. ）函数符号来取代常量符号 ∃ 变元的函数符号来取代常量符号. 变元的 ES,(2) （3）G(z, f(z)) ）