第五章 学案21 功 功率

第五章 机械能守恒定律学案21 功 功率一、概念规律题组1．关于作用力与反作用力做功的关系，下列说法正确的是( ) A ．当作用力做正功时，反作用力一定做负功 B ．当作用力不做功时，反作用力也不做功C ．作用力与反作用力所做的功一定是大小相等、方向相反D ．作用力做正功时，反作用力也可能做正功2．关于摩擦力对物体做功，以下说法中正确的是( ) A ．滑动摩擦力总是做负功B ．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功C ．静摩擦力对物体一定做负功D ．静摩擦力对物体总是做正功3．水平恒力F 作用在一个物体上，使该物体沿光滑水平面在力的方向上移动距离l ，恒力F 做的功为W 1，功率为P 1；再用同样的水平力F 作用在该物体上，使该物体在粗糙的水平面上在力的方向上移动距离l ，恒力F 做的功为W 2，功率为P 2，下面选项正确的是( )A ．W 1<W 2，P 1>P 2B ．W 1>W 2，P 1<P 2C ．W 1＝W 2，P 1>P 2D ．W 1＝W 2，P 1<P 24．质量为m 的木块放在光滑水平面上，在水平力F 作用下从静止开始运动，则运动时间t 时F 的功率是( ) A .F 2t 2m B .F 2t 22m C .F 2t m D .F 2t 2m 二、思想方法题组5．汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P.快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶．下面四个图象中正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系的是( )6．用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进d ，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是( )A ．(3－1)dB ．(2－1)dC .(5－1)d 2D .22d一、正负功的判断1．从做功的两个必要因素判断力对物体是否做功，即物体是否受到力的作用；物体在力的方向上有无位移．2．根据功和能的关系判断力对物体是否做功．即物体的能量是否发生变化：若能量增加，则力对物体做正功；若能量减少，则力对物体做负功．3．判断正负功的方法(1)从力和位移的夹角大小判断：0≤α<90°，做正功；90°<α≤180°，做负功；α＝90°，不做功．(2)从力和速度的夹角大小判断：0≤θ<90°，做正功；90°<θ≤180°，做负功；θ＝90°，不做功．(3)根据功能关系判断：物体的能量增加，外力做正功；物体的能量减少，外力做负功．【例1】(广东高考)一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是()A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功B．加速时做正功，匀速和减速时做负功C．加速和匀速时做正功，减速时做负功D．始终做正功[规范思维]【例2】如图图11所示，两个质量相同的小球A、B固定在一轻杆的两端，绕一固定转轴O从水平位置由静止释放，当杆到达竖直位置时，设杆对A做功为W1，杆对B做功为W2，则() A．W1＝0，W2＝0 B．W1>0，W2>0C．W1>0，W2<0 D．W1<0，W2>0[规范思维]二、功的计算方法1．恒力做功的计算公式W＝F lcosα.2．变力做功的计算(1)用动能定理W＝ΔE k或功能关系W＝ΔE计算(2)变力做功的功率一定时，用功率和时间计算：W＝Pt.(3)将变力做功转化为恒力做功．3．总功的计算：(1)先求物体所受的合外力，再求合外力的功；(2)先求每个力做的功，再求各功的代数和．【例3】(宁夏理综高考.18)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s.从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F和滑块的速度v随时间的变化规律分别如图2(a)和图(b)所示．设在第1秒内、第2秒内、第3秒内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系式正确的是()图2A ．W 1＝W 2＝W 3B ．W 1<W 2<W 3C ．W 1<W 3<W 2D ．W 1＝W 2<W 3 [规范思维]【例4】 人图3在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m ＝50 kg 的物体，如图3所示，开始绳与水平方向夹角为60°，人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动2 m 到达B 点，此时绳与水平方向成30°角，求人对绳的拉力做了多少功？(g 取10 m /s 2)[规范思维]三、平均功率和瞬时功率的计算1．在计算中，P ＝Wt只能计算平均值，而P ＝Fv 能计算平均值和瞬时值．(1)若v 是瞬时值，则计算出的功率是瞬时值．(2)若v 是平均值，则计算出的功率是平均值． 2．应用公式P ＝Fv 时需注意(1)F 与v 方向在同一直线上时：P ＝Fv. (2)F 与v 方向有一夹角α时：P ＝Fv cos α. 【例5】 (江苏高考.9)图4如图4所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，质量为3m 的a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释放，当a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度为θ.下列结论正确的是( ) A ．θ＝60° B ．θ＝45°C ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小D ．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大 [规范思维]【例6】 (2009·宁夏·17改编)图5质量为m 的物体静止在光滑水平面上，从t ＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F 与时间t 的关系如图5所示，力的方向保持不变，则( )A.3t 0时刻的瞬时功率为5F 20t 02mB.3t 0时刻的瞬时功率为15F 20t 0mC.在t ＝0到3t 0这段时间内，水平力的平均功率为23F 20t 04mD.在t ＝0到3t 0这段时间内，水平力的平均功率为25F 20t 06m[规范思维]四、机车的两种启动方式1．机车的功率表达式P ＝Fv 中，P 是发动机的实际功率，F 是牵引力．若功率P 不变，则F 与v 成反比，即v 增大，F 减小；v 减小，F 增大． 2．分析机车启动问题的基本公式是： F －F 阻＝ma P ＝Fv其中F 阻为机车在运动过程中所受的阻力．在不同的运动情景中虽然F 阻来源不同，但分析方法和思路是相同的．驶时，轨道对列车的阻力F f 是车重的0.01倍，求： (1)火车在水平轨道上行驶的最大速度； (2)在水平轨道上，发动机以额定功率P 工作，当行驶速度为v 1＝1 m /s 和v 2＝10 m /s 时，列车的瞬时加速度a 1、a 2各是多少；(3)在水平轨道上以36 km /h 速度匀速行驶时，发动机的实际功率P ′； (4)若火车从静止开始，保持0.5 m /s 2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．【基础演练】图61．如图6所示，用恒力F 拉着质量为m 的物体沿水平面从A 移到B 的过程中，下列说法正确的是( )A ．有摩擦力时比无摩擦力时F 做的功多B ．有摩擦力时比无摩擦力时F 做的功少C ．物体加速运动时F 做的功比减速运动时F 做的功多D ．物体无论是加速、减速还是匀速，力F 做的功一样多图72．(2009·广东高考)物体在合外力作用下做直线运动的v －t 图象如图7所示．下列表述中正确的是( )A ．在0～1 s 内，合外力做正功B ．在0～2 s 内，合外力总是做负功C ．在1 s ～2 s 内，合外力不做功D ．在0～3 s 内，合外力总是做正功 3．(2011·南京模拟)如图8所示是图8 一汽车在平直路面上启动的速度—时间图象，从t 1时刻起汽车的功率保持不变，由图象可知( )A ．0～t 1时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率不变B ．0～t 1时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率增大C ．t 1～t 2时间内，汽车的牵引力减小，加速度不变D ．t 1～t 2时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变 4．(2011·山东潍坊质检)一质量为m 的物体，同时受几个力的作用而处于静止状态．某时刻其中一个力F 突然变为F3，则经过t 时刻，合力的功率的大小是( )A .2F 2t 9mB .4F 2t 9mC .2F 2t 3mD .4F 2t 3m图9 5．(2010·广州二测)如图9所示，质量为m 的木块放在倾角为α的斜面上与斜面一起水平向左匀速运动，木块( ) A ．对斜面的压力大小为mg sin α B ．所受的支持力对木块不做功 C ．所受的摩擦力对木块做负功D ．所受的摩擦力方向可能沿斜面向下 6．(2011·龙岩调研)如图10所示，图10在雄壮的《中国人民解放军进行曲》中，胡锦涛主席乘国产红旗牌检阅车，穿过天安门城楼，经过金水桥，驶上长安街，检阅了44个精神抖擞、装备精良的地面方队．若胡锦涛主席乘坐的国产红旗牌检阅车的额定功率为P ，检阅车匀速行进时所受阻力为F f ，在时间t 内匀速通过总长为L 的地面方队，由此可知( ) A ．在时间t 内检阅车的发动机实际做功为PtB ．检阅车匀速行进的速度为PF fC ．检阅车匀速行进时地面对车轮的摩擦力为滑动摩擦力D ．检阅车的实际功率为F f Lt7.图11用水平力拉一物体在水平地面上从静止开始做匀加速运动，到t 1秒末撤去拉力F ，物体做匀减速运动，到t 2秒末静止．其速度图象如图11所示，且α<β.若拉力F 做的功为W ，平均功率为P ；物体在加速和减速过程中克服摩擦阻力做的功分别为W 1和W 2，它们的平均功率分别为P 1和P 2，则下列选项中正确的是( ) A ．W ＝W 1＋W 2 B ．W 1＝W 2 C ．P ＝P 1＋P 2 D ．P 1>P 2 8.图12(2011·昆明一中月考)如图12所示，两个完全相同的小球A 、B ，在同一高度处以相同大小的初速度v 0分别水平抛出和竖直向上抛出，忽略空气阻力，下列说法正确的是( )A ．两小球落地时的速度相同B ．两小球落地时，重力的瞬时功率相同C ．从开始运动至落地，重力对两小球做功相同D ．从开始运动至落地，重力对两小球做功的平均功率相同 【能力提升】图139．(上海高考)物体沿直线运动的v －t 关系如图13所示，已知在第1秒内合外力对物体做的功为W ，则( )A ．从第1秒末到第3秒末合外力做功为4WB ．从第3秒末到第5秒末合外力做功为－2WC ．从第5秒末到第7秒末合外力做功为WD ．从第310.图14汽车发动机的功率为60 kW ，汽车的质量为4 t ，当它行驶在坡度为α(sin α＝0.02)的长直公路上时，如图14所示，所受摩擦阻力为车重的0.1倍(g 取10 m /s 2)，求： (1)汽车所能达到的最大速度v m ；(2)若汽车从静止开始以0.6 m /s 2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时间？(3)当汽车以0.6 m /s 2的加速度匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车做功多少．11．(2011·广东省广州市高三联考)在一次抗洪抢险活动中，解放军某部利用直升机抢救一重要落水物体，静止在空中的直升机上的电动机通过悬绳将物体从离飞机90 m 处的洪水中吊到机舱里．已知物体的质量为80 kg ，吊绳的拉力不能超过1 200 N ，电动机的最大输出功率为12 kW .为尽快把物体安全救起，操作人员采取的办法是：先让吊绳以最大的拉力工作一段时间，达到最大功率后电动机就以最大功率工作，当物体到达机舱时恰好达到最大速度．(g 取10 m /s 2)求： (1)落水物体刚到达机舱时的速度； (2)这一过程所用的时间．学案21 功 功率【课前双基回扣】 1．D 2.B3．C [由W ＝Fl 和P ＝Wt分析．]4．C [a ＝F m ，v ＝at ＝Ft m ，则P ＝F v ＝F 2tm.]5．C [开始匀速，说明牵引力和阻力大小相等；当功率减小时，速度和牵引力都要减小，故汽车做加速度减小的变减速运动，由初始和最终时的功率关系得最终速度为初始时的一半．]6．B [钉子钉入木板过程中随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理．据题意可得：W ＝F 1d ＝kd2d ①W ＝F 2d ′＝kd ＋k (d ＋d ′)2d ′②联立①②式解得d ′＝(2－1)d .] 思维提升1．作用力和反作用力做功没有一定的关系，因为根据做功的两个因素，虽然作用力和反作用力大小相等，但这两个力分别作用在发生相互作用的两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的情况是由这两个物体所受的合力、物体的质量以及物体的初始条件这三个因素共同决定的，所以两个物体在相互作用力方向上的位移并没有必然联系，因此作用力和反作用力所做功的数值也没有一定的联系．2．静摩擦力和滑动摩擦力可以做正功、负功或不做功．一对相互作用的静摩擦力做功之和恒为零，而一对相互作用的滑动摩擦力做功之和恒为负值．3．注意区分瞬时功率与平均功率．利用P ＝Wt只能求平均功率；而利用P ＝F v cos θ既可求平均功率，也可求瞬时功率，需注意的是，只有F 与v 方向相同时，才有P ＝F v . 4．公式W ＝Fl cos θ只能用来求恒力的功，不能直接用来求变力的功．变力做功的求法有：①微元法；②平均力法；③图象法；④动能定理法；⑤功率法． 【核心考点突破】例1 D [力对物体做功的表达式为W ＝Fl cos α，0°≤α<90°时，F 做正功；α＝90°时，F 不做功；90°<α≤180°时，F 做负功．电梯支持力始终竖直向上，与位移同向，α＝0°，故支持力始终做正功，D 正确．][规范思维] 在本题的三种运动情形中，支持力的方向均与速度方向同向，故都做正功．功的正负与运动状态无关．例2 C [A 球向上运动的过程中，动能和重力势能都增大，即机械能增大，则杆必对A 做正功，W 1>0.对于B 球，由于动能增大，重力势能减小，机械能的变化不好判断，但从A 的能量变化容易判断知A 的机械能增大，而A 、B 组成的系统机械能不变，则B 的机械能减小，故杆对B 球做负功，W 2<0.][规范思维] 本题判断功的正负的方法：物体的能量增加，外力做正功；物体的能量减小，外力做负功．例3 B [由v －t 图象可知第1秒内、第2秒内、第3秒内的力和位移均为正方向，设滑块的初速度为v 0，则x 1＝v 02t ＝12 m ，x 2＝v 02t ＝12 m ，x 3＝v 0t ＝1 m ，F 1＝1 N ，F 2＝3 N ，F 3＝2 N ，有W 1＝F 1x 1＝12 J ，W 2＝F 2x 2＝32J ，W 3＝F 3x 3＝2 J ，所以得W 1<W 2<W 3，故选B.][规范思维] 本题全过程力是变力，但各个子过程中力是恒力，可在各个过程中分别计算功，然后求总功． 例4 732 J 解析 经分析，人对绳的拉力做的功与绳对物体的拉力做的功是相同的，又因为人匀速提升物体，故物体处于平衡状态，可知绳上拉力F ＝mg 且重物上升的高度h 等于右侧绳子的伸长量Δl 由几何关系易求Δl ＝2(3－1) m 所以，人对绳子的拉力做的功W ＝F Δl ＝mgh ＝500×2(3－1) J ＝732 J[规范思维] (1)应用功的计算公式W ＝Fl cos α求功时，F 必须是恒力，即大小、方向均不变，l 是对地位移(力的作用点的对地位移)，而力的作用点的位移跟物体的位移在很多问题中往往不同．(2)灵活的选择研究对象可以使问题的矛盾转化，大大简化解题过程．例5 AC [b 球下摆过程中，竖直方向的速度v ⊥先增大后减小，重力对小球做功的功率P ＝mg v ⊥先增大后减小．a 对地面的压力刚好为零，说明绳的拉力F T ＝3mg .对b 球，设绕行半径为r ，在最低点时，mgr ＝12m v 2F T ′－mg ＝m v 2r得F T ′＝F T ＝3mg所以b 在最低点时，a 球恰好对地面压力为零．][规范思维] 在利用功率公式P ＝F v cos α解题时，注意不要丢了“cos α”，“v cos α”可理解为力F 方向的速度．例6 BD [0～2t 0时间内物体做匀加速直线运动，可求得2t 0时刻物体的速度为F 0m2t 0.2t 0～3t 0时间内物体也做匀加速直线运动，可求得3t 0时刻物体的速度为F 0m 2t 0＋3F 0m t 0＝5mF 0t 0.所以3t 0时刻的瞬时功率为3F 05F 0t 0m ＝15F 20t 0m，故B 正确；0～2t 0时间内水平力做功为F 0F 0m 2t 022t 0＝2F 20t 20m ，2t 0～3t 0时间内水平力做功为3F 0F 0m 2t 0＋5F 0t 0m 2t 0＝21F 20t 202m ，所以总功为25F 20t 202m ，总功率为25F 20t 06m，所以D 正确．] [规范思维] 在进行功率的计算时，一定注意要求的是平均功率还是瞬时功率．如果是平均功率一般用P ＝Wt计算；如果是瞬时功率则要用P ＝F v cos α计算．例7 (1)12 m/s (2)1.1 m/s 2 0.02 m/s 2 (3)5×105 W (4)4 s解析 (1)列车以额定功率工作时，当牵引力等于阻力，即F ＝F f ＝kmg 时，列车的加速度为零，速度达最大值v m ，则：v m ＝P F ＝P F f ＝Pkmg＝12 m/s.(2)当v <v m 时，列车加速运动，当v ＝v 1＝1 m/s 时，F 1＝Pv 1＝6×105 N据牛顿第二定律得a 1＝F 1－F fm ＝1.1 m/s 2当v ＝v 2＝10 m/s 时，F 2＝Pv 2＝6×104 N据牛顿第二定律得a 2＝F 2－F fm＝0.02 m/s 2.(3)当v ＝36 km/h ＝10 m/s 时，列车匀速运动，则发动机的实际功率P ′＝F f v ＝5×105 W. (4)据牛顿第二定律得牵引力F ′＝F f ＋ma ＝3×105 N 在此过程中，速度增大，发动机功率增大．当功率为额定功率时速度大小为v m ′，即v m ′＝PF ′＝2 m/s 据v m ′＝at ，得t ＝v m ′a＝4 s.【课时效果检测】1．BD 2.A 3.BC 4.B 5.AC 6.D 7.A 8.C 9．CD10．(1)12.5 m/s (2)13.9 s (3)4.16×105 J解析 由P ＝F v 可知，汽车在额定功率下行驶，牵引力与速度成反比．当汽车的牵引力与阻力(包括爬坡时克服的下滑力)相等时，速度达最大．只有当汽车牵引力不变时，汽车才能匀加速行驶，当F v ＝P 额时，匀加速运动结束，可由W ＝Fx 求出这一阶段汽车做的功．(1)汽车在坡路上行驶，所受阻力由两部分构成，即 F 阻＝kmg ＋mg sin α＝4 000 N ＋800 N ＝4 800 N又因为F ＝F 阻时，P ＝F 阻v m ，所以v m ＝Pkmg ＋mg sin α＝60×1034 800 m/s ＝12.5 m/s(2)汽车从静止开始，以a ＝0.6 m/s 2匀加速行驶，由牛顿第二定律有F ′－F 阻＝ma所以F ′＝ma ＋kmg ＋mg sin α＝4×103×0.6 N ＋4 800 N ＝7.2×103 N保持这一牵引力，汽车可达到匀加速行驶的最大速度v m ′，有v m ′＝P F ′＝60×1037.2×103m /s≈8.33 m/s由运动学规律可以求出匀加速行驶的时间与位移t ＝v m ′a ＝8.330.6s ＝13.9 s x ＝v m ′22a ＝8.3322×0.6m ≈57.82 m. (3)由W ＝Fx 可求出汽车在匀加速阶段行驶时做功为W ＝Fx ＝7.2×103×57.82 J ≈4.16×105 J11．(1)15 m/s (2)7.75 s解析 (1)第一阶段绳以最大拉力拉着物体匀加速上升，当电动机达到最大功率时，功率保持不变，物体变加速上升，速度增大，拉力减小，当拉力与重力相等时，速度达到最大．由P m ＝F v m ，得v m ＝P m mg ＝12×10380×10m/s ＝15 m/s 此即物体刚到机舱时的速度．(2)匀加速上升的加速度为a 1＝F m －mg m ＝1 200－80×1080m/s 2＝5 m/s 2 匀加速阶段的末速度v 1＝P m F m ＝12 0001 200m/s ＝10 m/s 匀加速上升时间t 1＝v 1a 1＝105s ＝2 s 匀加速上升的高度h 1＝v 12t 1＝102×2 m ＝10 m 以最大功率上升过程由动能定理得P m t 2－mg (h －h 1)＝12m v 2m －12m v 21 解得t 2＝5.75 s 所以吊起落水物体所用总时间为t ＝t 1＋t 2＝(2＋5.75) s ＝7.75 s易错点评1．在应用公式W ＝Fl cos θ求恒力F 的功时，与物体是否受其它力以及物体的运动状态无关．功的大小只由力的大小、位移大小及二者方向的夹角决定．2．在应用公式P ＝F v 分析机车启动时，F 为机车的牵引力，只有机车匀速运动时，牵引力F 等于阻力f ，才有P ＝f v .3．在机车以恒定加速度启动中，要注意区分匀加速过程终止时的速度与最后的最大速度．。