1.2.1任意角的三角函数2(上课)

第二课时
一、复习回顾 1.任意角三角函数的定义
设 P(x,y)为角 终边上任意点
y sin α r
x cos r y tan
的终边
P(ｘ，ｙ) o
2 2
y x
r x y x 只要知道角的终边上任意一点的坐标就可以 求出这个角的三角函数值.
设角α的终边与单位圆交于P(x,y)，则
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan (k Z )
注意:利用公式一,可以把任意角的三角函数值转换为 0°到360°角的三角函数值.
二.巩固训练
1、角的终经过点P (2,3) ，则有(C、D) 2 13 13 A、sin B、 cos 13 2 3 13 3 C、 sin D、 tan 13 2 2、若角的终边在直线y 2 x上，则sin 等于( C ) 1 D、 2 3 3 3、的终边经过P (-b,4)，且 cos ，则b的值为_____ 5 1 A、 5 5 B、 5 2 5 C、 5
1 x
练习：如图所示，角 是第四象限角，试判断下列四 个有向线段的值.
y
OM=
x
；
MO=
MP=
-x y -y
；
；
M -1 O 1 x P(x,y) 的终边
PM=
.
的终边
P(x,y)
y
y
的终边
P(x,y)
-1
M O
1 x
-1
O
M
1 x
y
|MP|=| y |=|sin | MP=y=sin |OM|=| x |=|cos | OM=x=cos
2 4、已知角的终边在y x上，则sin cos _______
5、若 sin t an 0, 则的终边在( D ) A、第一象限 C、第二或第三象限 B、 第四象限 D、第一或第四象限
6、下列各三角函数值中 ，取负值的是( B )
0 A、 sin(-660 ) 0 C、cos(-740 )
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT
P
O M A x
例题选讲
例1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线
π （1） 3
（2） — 2π 3
3 例2 在0～ 2 内，求使 sin a > 成立的α 的取值 2 范围.
y
y =
3 2
P2
P P1
2 ( , ) 3 3
O M
x
例3求函数 f (a ) = 2cos a - 1 的定义域. y P2 P O M x P1
B、an1600 t D、 4200 ) cos5700 sin(
7、若 tan sin 0且 tan cos 0，则是（ B ）
A、 第 一 象 限 角 B、 第 二 象 限 角 C、 第 三 象 限 角 D、 第 四 象 限 角
8、若三角形ABC两内角A、B满足 sin A cos B 0, 则此三角形的形状是（ ） C
o
M
1
x
-1
y
P A x T
y
P T
M
O
O
M A x
y
y
T
M O P Ax
O
M A x P T
sin MP; cos OM; tan AT
思考1：设α 为锐角，你能根据正弦线 和余弦线说明sinα ＋cosα >1吗？
y
P
O
M
x
MP＋OM>OP=1
思考2：对于不等式 sin a < a < t an a （其中α 为锐角），你能用数形结合 思想证明吗？
A、 直 角 三 角 形 B、 锐 角 三 角 形 C、 钝 角 三 角 形 C、 不 能 确 定
9.若为第二象限角， 则 sin sin cos cos 的值为：
2
10. 求证：当且仅当下列不等式成立时， 角θ 为第三象限角． sinθ < 0
tanθ > 0
变式：若sinθ·tanθ<0 ，那么角 θ是第几象限的角?
3.三角函数的符号
y sin r y
+ +
x cos r y
+ + x x -o
y tan x y
+ o + - x
o
-
y
sin
tan cos
全为+ o x
记法： 一全正 二正弦
三正切 四余弦
心得:角定象限,象限定符号
4.终边相同的角的三角函数关系
由三角函数定义可得(诱导公式一)，终边相 同的角的三角函数的值相等.
三.新课 三角函数线
探究：设 是一个任意角，它的终边与单位圆的交
点为P(x，y)，若过点P作MP⊥ x轴于点M，试分析 线段MP和OM的长度与角的关系. y
|MP|=| y |=|sin | |OM|=| x |=|cos |
M -1 P(x,y) O 1 x
的终边
的终边
P(x,y)
1 x
y
M -1 P(x,y)
M
O
-1
O
1 x P(x,y) 的终边
的终边
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一
样的线段来表示tan 吗？ 例如，若角 表示第一象限角， 的终边 y 过点A(1，0)作单位圆的切线， 设它与 的终边交于点T， T y MP P(x,y) tan x OM A(1,0) MP AT AT -1 O M 1 x OM OA
(

3
2k ,

3
2k )
1 x = 2
小结 1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有 向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函 数图象的有效工具. 2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化，余 弦线和正切线的始点都是定点，分别是原点O和点A （1，0）. 3.利用三角函数线处理三角不等式问题，是一种重 要的方法和技巧，也是一种数形结合的数学思想.
sin α y
y
P ( x, y )
cos x
y tan x
α o x
只要知道 α的终边与单位圆交点的坐标 就可以求出 这个角的三角函数值
2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
R R
2
sin cos tan
{ | R且
k , k Z }
各三角函数的值域呢？
tan AT
样的线段来表示tan 吗？ 又如，若角 表示第二象限角， 仍过点A(1，0)作单位圆的切线， 设它与 终边的反向延长线交于点T，y
探究：借助单位圆，你能找到一条如OM、MP一
y MP tan x OM MP AT AT OM OA
tan AT
A(1,0)
-1
o
M
1
x
-1
这里MP叫正弦线，OM叫余弦线，AT叫正切线， 它们都是有向线段。
意义：三角函数线是三角函数的几何表示 注：1. 当角ɑ的终边落在x轴上时正 弦线，正切线变 成一 个 点 2. 当角ɑ的终边落在y轴上余弦 线变成一个点，正切线不存在.
-1
y P(x,y)
1
的终边
T
A(1,0)
的终边
P(x,y)
-1 M
O
A(1,0) 1 x
TT
如图，角 的终边与单位圆交于 点P，过点P作x轴的垂线，垂足 为M，过点A(1,0)作单位圆的切 线，设它与 的终边或其反向延 长线相交于点T，则：
y P(x,y)
1
的终边
T
sin MP cos OM tan AT
y
y
的终边
P(x,y)
-1
M O
1 x
-1
O
M
1 x
y
|MP|=| y |=|sin | |OM|=| x |=|cos |
y
M -1 P(x,y)
M
O
1 x
-1
O
1 x P(x,y) 的终边
的终边
有向线段：带有方向的线段 例：如右图所示，角 是第二象限角 有向线段OM表示以点O为 起点，点M为终点的线段， 的终边 y 即OM的方向与x轴的正方 P(x,y) 向相反的线段， 我们规定，方向与坐标轴的 正向相同的有向线段表示一 M O 个正值，反之即为负值， -1 故由|OM|=| x |可得 OM=x (<0) 同理可得，MP=y (>0)