中值定理及导数的应用习题课

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高等数学第三章中值定理与导数的应用习题课

(5) (1 + x )α = 1 + αx +
α (α − 1)
2!
x2 + L+
α (α − 1)L (α − n + 1)
n!
x n + o( x n )
Ⅲ 导数的应用
一、函数的极值与单调性
1．函数极值的定义． x ∈ U ( x0 , δ ), f ( x ) ≤ f ( x0 ), f ( x0 )为极大值. 为极大值.
0 ∞ 其它型：其它型： ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 0 , 1 , ∞ , 转化为 “ ”型或“ ” 型 0 型或“ 型或 0 ∞
0 ∞ 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式．
如果函数在含有一点的开区间内具有直到(n+1)阶导数阶导数如果函数在含有一点的开区间内具有直到 f ′′( x0 ) f ( n) ( x0 ) 2 f ( x) = f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) + ( x − x0 ) + L+ ( x − x0 )n + Rn ( x) 2! n! ( n +1) f (ξ ) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n+1 拉格朗日型余项 ( n + 1)!
x ∈ U ( x 0 , δ ), f ( x ) ≥ f ( x0 ), f ( x0 )为极小值 .
o
。
2．函数的驻点．
f ′( x 0 ) = 0 则 x 0为 f ( x ) 的驻点。的驻点。
3．函数的单调区间的判别．
函数在[a,b]上连续在(a,b)内可导上连续,在内可导. 函数在上连续内可导

微分中值定理与导数的应用习题

第四章微分中值定理与导数的应用习题§4.1 微分中值定理1．填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2．选择题（１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ．必要条件B ．充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . x e x f =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00 ,1sin )(x x x x x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ D ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明：令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='x x x f ，所以)(x f 为一常数．设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x << 3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ，使0)(1='ξf ．同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ．又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=，则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ，使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6．设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数．证明：存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明：由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ．同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=-证明：只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xx cos sin >．证明：设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此，当π<<x 0时，x xx cos sin >．（２）当 0>>b a 时，bb a b a a b a -<<-ln ．证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 b b a b a a b a -<<-ln ．。

辽宁工业大学高数习题课(3)

1 cos x ~
ln sin x 【例2】计算 lim 2 x ( 2 x )
2
分析当 x 0 分子分母均趋近于0, 为型, 用洛必达法则计算. 解：
ln sin x lim 2 x ( 2 x )
2
0 0
（ 0 型）
0
cos x lim x sin x [ 4( 2 x )]
1
【例4】计算 lim x 2 e x
x 0
2
分析当 x 0 时, 函数式为 0 型,
1
0 将其化为 0
或

型.
解：
lim x 2 e x ( 0 型)
2
x 0
1
ex l im x0 1 x2
1
2
(
型)
e lim
x 0
x2
2 3 1 x x2 lime . 2 x 0 3 x
拉格朗日型余项佩亚诺型余项
Rn ( x) 0[( x x0 )n ]
2．麦克劳林公式
f (0) f ( n ) ( 0) 2 f ( x ) f (0) f (0)( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!
所以
f (1) 8, f (1) 5, f ( 1) 0,
f ( 1) 6.
f ( ) ( x 1) 2 一阶泰勒公式为 f ( x ) f ( 1) f ( 1)( x 1) 2!
8 5( x 1) 3( 1)( x 1)
0 0
二、泰勒公式
1．泰勒公式
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ) 2! n!

习题课3

2t 2 1 1 cos 2t lim lim 2 2 t 0 t 0 6 t 6t 3
1 x2 所以 xlim ( x tan ) x 1 n2 1 故 lim ( n tan ) e 3 n n 1 2 lim 例7: 求极限 x [ x x ln(1 )]. x 1 1 2 2 1 lim lim 解: 由于 x [ x x ln(1 )] x x [ ln(1 )] x x x 1 作变量替换: t , 则 x 1 0 1 2 1 lim x [ ln(1 )] lim 2 [t ln(1 t )] ( ) x t 0 t x x 0 1 1 t 1 1 t lim lim t 0 2t (1 t ) t 0 2 2t
再将f (x)在x=1处展开为一阶Taylor 公式: f ( ) ( x 1)2 , f (x) = f(1) + f (1)(x –1) + 2! 令x=0得, f ( ) , f (0) = f(1) – f (1) + 2! 又由于f (x)>0, 则 f ( ) < f (1). f (1) – f(0) = f (1) – 2! 综合以上两式得证: f (1)> f(1)–f(0)> f (0). 另外用Lagrange中值定理和单调性证明: 由于f (x)在[0, 1]上满足Lagrange中值定理的条件, 故存在(0, 1)使得 f(1)–f(0)= f (). 在[0, 1]上f (x)>0, 则在[0, 1]上f (x)单调增加, 所以f (0)< f ()< f (1)
1 1 1 ② 当 f ( ) ln 1 0, a . a a e 1 方程仅有一个实根, 即 x . a 1 1 ③ 当 f ( ) ln 1 0 时, 方程无实根. a a

同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课

一点的个 , 果在点一邻 , 于邻内如存着 x0的个域对这域的任点 ,除点 0外 f (x) < f (x0 )均立就何 x 了 x , 成 , 称 f (x0)是数 (x)的个大 ; 函 f 一极值果在点一邻 , 于邻内如存着 x0的个域对这域的何 x 了 x , 任点 ,除点 0外 f (x) > f (x0 )均立就成 , 称 f (x0)是数 (x)的个小 . 函 f 一极值
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如果 x 取极值有f '(x) < 0， f (x)在 0处得大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如果 x 取极值有f '(x) > 0， f (x)在 0处得小 . 则 x (3)如当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符如果 , (x x 无值号同则f (x)在 0处极 . 相 ,则定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处有阶数 x 具二导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那末 f ''(x0 ) < 0时函 f (x)在 0 处得大 ; x 取极值 (1)当 , 数当 '' x 取极值 (2)当f (x0) > 0时函 f (x)在 0 处得小 . , 数当

3微分中值定理与导数的应用习题

第三章微分中值定理与导数的应用1 •函数y =x2 -1在L 1,1】上满足罗尔定理条件的匕=2、若f(x)=x3在1,2】上满足拉格朗日中值定理，则在(1,2 )内存在的匕=3. f(x)=x2+x-1在区间L1,1】上满足拉格朗日中值定理的中值匕=4•函数y = In(X +1诳区间0,1】上满足拉格朗日中值定理的匕=5•验证罗尔定理对函数y =1 n sin X在区间律—1上的正确性。

T 6」6.验证拉格朗日中值定理对函数y =4x' —5x2 +x-2在区间0,1】上的正确性。

7.对函数f(x) = sinx及F(x)=x+cosx在区间〔0,—1上验证柯西中值定理的正确性。

L 2」&试证明对函数y = px2 +qx + r应用拉格朗日中值定理时的求得的点总是位于区间的正中间。

9.证明下列不得等式: ⑴ arctanx -arctan y < x - y⑶当a汕＞«¥＜"¥10.用洛必达法则求下列极限:X _x⑵ lim e ~eT sin XIn R +丄］⑷ li%__¥—鈕 1arcta n —x⑸1x m1x1.1 -x1⑹ lim (cot X -一) T x(7)lim (cos X)⑻ ji m^x "(J x2+1 -X) ⑵当X A1时，e x；＞e .XIn (1 +x)⑴lim T X⑶ lim 沁—sina X T x-asin X — xcosx2~；x sinx11. 确定下列函数的单调区间。

⑷ y =1 n(x +J 1 + x 212. 求下列函数图形的拐点及凹凸区间:⑷ y = In(x 2+1 )13. 禾U 用函数的单调性证明下列不等式:(11)lim(1-x)ta n 便'(2丿(12)tanx⑽ lim — - x -^l x「1 2 、—2x~e-1丿⑴ y = 2x 3-6x 2-18x -7⑵ y = 2x +8(X A O )x=x 3 -5x 2+3x +5/ \ -x⑵ y = xe= (x +1y +e x⑴当1 ,_______ x>0 时，1+ —x》u1+x2⑵当x>0 时，1+xl n(x+j1+x2)> J1 +x2⑶当兀 1 3 0cx£ —时，tanx〉x + -x2 314.列表讨论下列函数的单调区间，凹性区间，极值点与拐点。

中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第3章课后习题详解

第3章中值定理与导数的应用内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。

（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。

知识点：罗尔中值定理。

思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。

解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。

令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。

（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴x x x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。

令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。

★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。

知识点：拉格朗日中值定理。

思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。

解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。

又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ±=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。

★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。

第03章微分中值定理与导数的应用习题详解

M 12丿」I 2丿第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。

可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。

—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。

可见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。

「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件，所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。

高等数学习题课(3)中值定理与导数的应用

高等数学习题课
（3）
中值定理与导数的应用
第二课中值定理与导数应用
I. 目的要求 ⒈ 理解罗尔定理、拉格朗日定理，了解柯西定理；会用中值定理解决诸如方程根的存在性、不等式证明等问题； ⒉ 了解泰勒定理的条件、结论及余项，掌握函数 ex , sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)α的麦克劳林公式； ⒊ 熟练掌握用洛必达法则求不定型极限的方法； ⒋ 熟练掌握求函数单调区间、极值、凹凸区间、拐点的方法，并会用其证明一些相关问题。
证：由条件易知F (x)在 [1,2]上满足罗尔定理条件，则 (1,2)，使 F(1) 0 又 F(x) 2(x 1) f (x) (x 1)2 f (x) 在 [1,1]上连续，在(1,1)内可导，且 F(1) F(1) 0 由罗尔定理， (1, 1) (1, 2) 使 F() 0 #
(a 0)有极值，试证：曲线y f (x) 在点(a, f (a))处的
切线经过坐标原点。证：曲线 y f (x) 在 (a, f (a)) 处的切线方程为
y f (a) f (a)(x a)
即 y f (a)x [ f (a) a f (a)]
由条件 (x) 在 x a 点有极值，且易知(x)在 x a 点可导
x
2
分析：只需证明 sin x x 0 3 cos x
证：令
f
(x)
sin x 3 cos x
x
sin
1
x cos 3
x
x
，显见
f
(0)
0；
f
(x)
cos
2 3
x
1 sin
2
x
4
cos 3
x

习题课(中值定理和导数的应用)

例10. 求
解法1 利用中值定理求极限
a a 原式 lim n ( ) 2 n n 1 n 1
2
1
a a ( 在与之间） n n 1
n2 a lim n n( n 1) 1 2
a
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解法2 利用罗必塔法则
原式 lim
arctan a arctan b x x
机动目录
x
f ( x)
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arctan x ( x 0) . 例8. 证明 ln(1 x) 1 x 证: 设 ( x) (1 x) ln(1 x) arctan x , 则 (0) 0 1 ( x) 1 ln(1 x) 0 ( x 0) 2 1 x 故 x 0 时, (x) 单调增加 , 从而 ( x) (0) 0 arctan x 即 ln(1 x) ( x 0) 1 x 1 x ln(1 x) (0 x 1) 时, 如何设辅助思考: 证明 1 x arcsin x 函数更好 ? 2 提示: ( x) (1 x) ln(1 x) 1 x arcsin x
二课堂练习
1. 判断是非（共7个） 3. 计算题（共5个）
1. 掌握四个微分中值定理
罗尔中值定理：
[ 若 f ( x ) : (1)在闭区间a , b]上连续； (2)在开区间 a , b)内可导； (
(3) f (a)= f (b) ;
则至少存在一点 (a , b)，使得
f ( ) 0 .
1 2
1 cos x 1 o 1 . 及时求出已定式的极限. 原式 lim 2 x 0 3 x 2 1 sin x lim 2 x 0 6 x 1 1 1 2 6 12

《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)

第四章微分中值定理和导数的应用[单选题]1、曲线的渐近线为（）。

A、仅有铅直渐近线B、仅有水平渐近线C、既有水平渐近线又有铅直渐近线D、无渐近线【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察渐近线计算.因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。

[单选题]2、在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（）A、4B、2C、3D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题]3、，则待定型的类型是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题]4、下列极限不能使用洛必达法则的是（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则.[单选题]5、在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）.A、1B、2C、eD、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题]6、如果在内，且在连续，则在上（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在上f(a)＜f(x)＜f(b).[单选题]7、的单调增加区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题]8、（）.A、-1B、0C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]9、设，则（）.A、是的最大值或最小值B、是的极值C、不是的极值D、可能是的极值【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】由，我们不能判断f（0）是极值点，所以选D. [单选题]10、的凹区间是（）.A、（0，+∞）B、（-1，+∞）C、（-∞，+∞）D、（1，+∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】若求凹区间则就是求的区间，即6x+6>0，即x>-1.[单选题]11、的水平渐近线是（）.A、x=1，x=-2B、x=-1C、y=2D、y=-1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】水平渐近线就是当x趋于无穷时，y的值就是水平渐近线，x趋于无穷时，y的值是2，所以y=2是水平渐近线；当y趋于无穷时，x的值就是垂直渐近线，本题中由于分母可以分解为（x+1）（x-1），所以当x趋于1或-1时y的值趋于无穷.即x=1，x=-1都是垂直渐近线.[单选题]12、设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为，则P=4时的边际需求为（）.A、-8B、7C、8D、-7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，当P=4时，Q=-8.[单选题]13、设某商品的需求函数为，其中表示商品的价格，Q为需求量，a，b为正常数，则需求量对价格的弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由弹性定义可知，[单选题]14、设函数在a处可导，，则（）.A、B、5C、2D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】因为f(x)可导，可用洛必达法则，用导数定义计算.所以[单选题]15、已知函数（其中a为常数）在点处取得极值，则a=（）.A、1B、2C、0D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在点处取得极值，[单选题]16、某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定位10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p定为多少时利润最大？（）.A、9.5B、9C、8.5D、7【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】设销量为Q，则Q=120+20(10-P)·2=520-40P利润此时即取得最大值.[单选题]17、若在（a,b）上，则函数y=f（x）在区间（a,b）上是（）A、增加且凹的B、减少且凹的C、增加且凸的D、减少且凸的【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]18、求极限=（）.A、2B、C、0D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]19、函数在区间上的极大值点=（）.A、0B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】令，当时，当时，当时，函数有极大值.[单选题]20、设某商品的供给函数为，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商品的供给价格弹性（）.A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题]21、某产品产量为q时总成本C(q)=1100+，则q=1200时的边际成本为() A、0B、C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】，q=1200时的边际成本为2.[单选题]22、已知函数f(x)=ax2-4x+1在x=2处取得极值，则常数a=()A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】，得到a=1.[单选题]23、极限=()A、-B、0C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】首先利用洛必达法则，分子分母分别求导，.[单选题]24、曲线y＝x3的拐点为（）．A、（0，0）B、（0，1）C、（1，0）D、（1，1）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】y＂＝6x，当y＂＝0时，x＝0，将x＝0代入原函数得y＝0，所以选择A．参见教材P108～109．（2015年4月真题）[单选题]25、曲线的水平渐近线为（）．A、y＝0B、y＝1C、y＝2D、y＝3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题因为，所以直线y＝1为曲线的水平渐近线．参见教材P110～111．（2015年4月真题）[单选题]26、函数y＝x3－3x＋5的单调减少区间为（）．A、（－∞，－1）B、（－1，1）C、（1，＋∞）D、（－∞，＋∞）【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】y＇＝3x2－3y＇＝0时，x＝±1．在（－∞，－1）上，y＇＞0，为增函数；在（－1，1）上，y＇＜0，为减函数；在（1，＋∞）上，y＇＞0，为增函数．因此选B．参见教材P100～101．（2015年4月真题）[单选题]27、已知函数（其中a为常数）在处取得极值，则a＝（）．A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】∵在处，取得极值点，∴参见教材P102～104。

高等数学习题课3-2

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习题课（二）习题课（
例2 证明当 x > − 1 时,
第三章中值定理与导数的应用
x2 x3 ln(1 + x ) ≤ x − . + 2 3 证当 x > − 1 时, 2 3 x x 1 x4 ln(1 + x ) = x − + − x 3 4(1 + ξ )4 其中 ξ 介于 0与x之间. 之间.
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习题课（二）习题课（
第三章中值定理与导数的应用
上连续，当例6 设函数 f ( x ) 在 [a ,+∞ ) 上连续， x > a 时， f ′( x ) > k > 0, 且 f (a ) < 0, 证明：证明：方程 f ( x ) = 0 在区间
[a ,+∞ ) 有且仅有一个根。有且仅有一个根。
第三章中值定理与导数的应用
x 的单调区间，极值，例12 求曲线 y = x + 2 的单调区间，极值，凹凸 x −1 区间，拐点。区间，拐点。
解
函数的定义域为( −∞ , −1) ∪ ( −1,1) ∪ (1, +∞ )
2 x ( x 2 + 3) y′′ = ( x 2 − 1)3
第三章中值定理与导数的应用
确定 a , b, c 使当 x → 0 时， x2 x 2 f ( x) = a − + e + x ln(1 + x ) + b sin x + c sin 2 x 2 的四阶无穷小。为关于 x 的四阶无穷小。 x2 x3 x4 ex = 1+ x + + + + o( x 4 ) 解 2 6 24 x3 x ln(1 + x 2 ) = x 3 + o( x 4 ) sin x = x − + o( x 4 ) 6 3 4x 4 sin 2 x = 2 x − + o( x ) 3 1 b 4c 3 1 4 f ( x ) = a + 1 + (1 + b + 2c ) x + ( + 1 − − ) x + x 24 6 6 3 + o( x 4 ) 11 8 a = −1 b = − , c = 所以 3 6-5 例4

高等数学（林伟初）习题详解习题详解-第4章微分中值定理与导数的应用

习题4-11．验证下列各题的正确性，并求满足结论的ξ的值：(1) 验证函数()cos 2f x x =在区间[,]44ππ-上满足罗尔定理；(2) 验证函数()f x =[4,9]上满足拉格朗日中值定理；(3) 验证函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上满足柯西中值定理. 解：(1) 显然()c o s 2f x x =在[,]44ππ-上连续，在(,)44ππ-内可导，且()()044f f ππ-==，又 ()2sin 2f x x '=-，可见在(,)44ππ-内，存在一点0ξ=使()00(2sin 2)0.f x ξ='==-=(2) ()f x =[4,9]上连续，()f x '=，即知()f x =(4,9)内可导，由(9)(4)1945f f -==-得254x =，即在(4,9)内存在254ξ=使拉格朗日中值公式成立.(3) 显然函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上连续，在开区间)2,1(内可导，且 .02)(≠='x x g 于是)(),(x g x f 满足柯西中值定理的条件.由于,3712)11()12()1()2()1()2(233=-+-+=--g g f f,23)()(x x g x f ='' 令,3723=x 得.914=x 取),2,1(914∈=ξ则等式)()()1()2()1()2(x g x f g g f f ''=--成立.这就验证了柯西中值定理对所给函数在所给区间上的正确性.2．不求导数函数()(1)(2)f x x x x =++的导数, 判断方程()0f x '=有几个实根，并指出这些根的范围.解因为(2)(1)(0)0,f f f -=-==所以)(x f 在闭区间[2,1]--和[1,0]-上均满足罗尔定理的三个条件，从而，在(2,1)--内至少存在一点,1ξ使,0)(1='ξf 即1ξ是)(x f '的一个零点；又在(1,0)-内至少存在一点,2ξ使,0)(2='ξf 即2ξ是)(x f '的一个零点.又因为)(x f '为二次多项式，最多只能有两个零点，故)(x f '恰好有两个零点，分别在区间(2,1)--和(1,0)-.3．设函数)(x f 是定义在(,)-∞∞处处可导的奇函数，试证对任意正数a ，存在(,)a a ξ∈-, 使 ()()f a af ξ'=.证因()f x (,)-∞∞处处可导，则()f x 在[]a a -，上应用拉格朗日中值定理：存在()a a ξ∈-，，使()()()(())f a f a f a a ξ'--=⋅--.由)(x f 是奇函数，则上式为()()2()f a f a af ξ'+=, 故有()()f a af ξ'=.4．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：(1) 当0b a >>时,ln b a b b aa a b-->>; (2) 若1x ≠, 则x e xe >.证(1) 当0b a >>时,设()ln ,f x x =则)(x f 在[,]a b 上满足拉格朗日定理的条件.故()()()()f b f a f b a ξ'-=- (),a b ξ<< 由1(),f x x '=且111,a bξ>>得：ln b a b b a b aa a bξ--->=>. (2) 若1x ≠,不妨设>1x ，令(),x f x e =则)(x f 在[1,]x 上满足拉格朗日定理的条件.故()(1)()(1)f x f f x ξ'-=- (1),x ξ<< 从而1x e xe e xe xe ξξ=+->>.5．应用拉格朗日中值定理的推论证明下列恒等式： (1) arcsin arccos (11)2x x x π+=-≤≤;(2) arctan 2x π+=.证(1) 设()f x x =,],1,1[-∈x,01111)(22=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-'x x x f ∴,)(C x f ≡].1,1[-∈x 又 ,220arccos 0arcsin )0(ππ=+=+=x f 即.2π=C∴.2arccos arcsin π=+x x(2)设()arctan f x x =+因为21()01+f x x '==，所以 ()f x C ≡,是常数. 又(1)arctan1442f πππ=+=+=, 即.2π=C故arctan 2x π+=.6．设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-证作辅助函数3(),g x x =则)(),(x g x f 在]1,0[上满足柯西中值定理的条件，故在)1,0(内至少存在一点,ξ使2(1)(0)().103f f f ξξ'-=-即 2()3[(1)(0)].f f f ξξ'=-习题4-21．写出函数x x x f ln )(3=在10=x 处的四阶泰勒公式. 解 x x x f ln )(3=， ,0)1(=f22()3ln ,f x x x x '=+ ,1)1(='f()6ln 5,f x x x x ''=+ (1)5,f ''= ()6ln 11,f x x '''=+ (1)11,f '''= (4)6(),f x x= ,6)1()4(=f,6)(2)5(x x f -= .6)(2)5(ξξ-=f 于是所求泰勒公式为x x ln 3)1(-=x 2)1(!25-+x 3)1(!311-+x 4)1(!46-+x ,)1(!5652--x ξ其中ξ在1与x 之间.2. 写出函数1()f x x=在01x =-处的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式. 解 1()f x x =， (1)0,f -= 21(),f x x '=- (1)1,f '-=-32(),f x x ''= (1)2,f ''-=-46(),f x x'''=- (1)6,f '''-=- ()1!()(1),n n n n f x x+=- ()(1)!n f n -=-于是所求的带皮亚诺余项的n 阶泰勒公式为()0(1)()(1)((1))!k nk n k f f x x o x k =-=+++∑(1)((1)).nk n k x o x ==-+++∑3．求下列函数的带皮亚诺余项的n 阶麦克劳林公式： (1)x xe x f -=)(；(2) 1()1xf x x-=+. 解 (1)因为),()!1()(!2)()(1112---+--++-+-+=n n xx o n x x x e所以312(1)()2!(1)!n nxn x x xe x x o x n ---=-+-++-11(1)()(1)!k nkn k x o x k -=-=+-∑. (2) 由 )(1112n n x o x x x x+++++=- 知211(1)()1n n n x x x o x x=-+-+-++ 故 1()1x f x x -=+212111x x x--==-++22[1(1)()]1n n n x x x o x =-+-+-+-1(1)2()nk k n k x o x ==-+-⋅+∑.4. 用泰勒公式计算下列极限：(1) 2230cos limx x x e-→-； (2) 0(cos )sin x x e x→-⋅ 解 (1) x cos ),(!4!21442x o x x ++-=22x e -244211(),222!x x o x =-++⋅∴22cos x x e--44211()(),4!22!x o x =-+⋅ 又3sin x x 4~,x 从而2230cos lim sin x x x e x x -→-44401()12lim x xo x x→-+=1.12=- (2) 24661131()242!83!x x x o x =+-++⋅⋅ ∴22x -46611()44x x o x =-++x cos ),(!4!21442x o x x ++-=2x e ),(!211442x o x x +++= ∴2cos x x e -2443(),224x x o x=--+ 又2sin x 2~,x从而0(cos )sin x x e x →-⋅46646611()443()224x x o x x x o x -++=--+114362-==-. 5. 利用四阶泰勒公式计算下列各数的近似值，并估计误差： (1) 6ln5；(2)e .解 (1) 23111(1)ln(1)(1)23(1)(1)nn n n n x x x x x x n n x θ+-+-+=-+-+-+++ 上式中，取3n =得2344ln(1)234(1)x x x x x x θ+=-+-+).10(<<θ 以15x =代入得6ln 525111110.182752535≈-+=，(取小数点后四位) 其误差 4R 4444111()=4105454(1)5θ-=<⨯⨯+. (2) xe 12)!1(!!21+++++++=n xn x n e n x x x θ (01)θ<<. 取,1=x 5n =得 e 111111 2.7083,2!3!4!5!≈+++++=(取小数点后四位) 其误差 6R 6!e <30.0042.6!<= 习题4-31．计算下列极限：(1) 0lim sin x xx e e x-→-；(2) 2ln cos 2lim()x xx ππ→-;(3) 02lim sin x x x e e xx x-→---；(4) 1ln(1)limarctan 2x x x π→+∞+-； (5) cot limcot 3x xxπ→； (6) 0ln lim ln cot x xx+→；(7) 20tan lim tan x x xx x→-;(8) 22301lim sin 2x x e x x x-→+-;(9) 0ln sin 3lim ln sin 2x xx+→;(10) 2lim xx x e-→+∞;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-;(12) 2011lim()sin x x x x→-; (13) 11lim 1ln x x x x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (14) 011lim 1xx e x →⎛⎫-⎪-⎝⎭; (15) 21lim(cos 2)x x x →;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞;(17) lim x x x xx e e e e --→+∞-+; (18) sin lim sin x x xx x →∞-+; 解 (1) 00lim lim 2sin cos x x x xx x e e e e x x--→→-+==；(2) 2ln cos 2lim ()x x x ππ→-2tan 2lim2()x xx ππ→-=-24sec 2lim 2x x π→-==-2; (3) 02lim sin x x x e e x x x -→---0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→+--+====-；(4) 1ln(1)lim arctan 2x x x π→+∞+-2111lim 11x x x x →+∞-+=-+221lim11x x x x →+∞-+=-+221lim x x x x →+∞+=+=1； (5) cot lim cot 3x x x π→22csc lim 3csc 3x x x π→-=-22sin 3lim3sin x x x π→=2sin 3cos33lim 32sin cos x x x x x π→⋅=⋅；sin 3cos3lim lim sin cos x x x x x x ππ→→=⋅3cos3lim 1cos x x xπ→=⋅=3(6) 0ln lim ln cot x x x +→201lim csc cot x x x x +→=-201lim csc cot x x x x+→=-0sin cos lim x x x x+→=-=-1； (7) 20tan lim tan x x x x x →-30lim tan x x x x →=-2203lim sec 1x x x →=-2203lim 3tan x x x→==;(8) 22301lim sin 2x x e x x x -→+-22301lim (2)x x e x x x -→+-=23022lim 84x x xe x x -→-+=⋅2201lim 16x x e x -→-= 2021lim 3216x x xe x -→==; (9) 0ln sin 3lim ln sin 2x x x +→03cot 3lim 2cot 2x x x +→=03tan 2lim 2tan 3x x x +→=032lim 123x xx+→==;(10) 2lim xx x e -→+∞2lim x x x e→+∞=22lim lim 0x x x x x e e →+∞→+∞===;(11) 2lim cot ln()2x x x ππ+→⋅-2ln()2lim tan x x x ππ+→-=2212lim sec x x x ππ+→-= 22cos lim 2x x x ππ+→=-22cos sin lim 01x x xπ+→-==;(12) 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x x x x →-=30sin lim x x xx →-=20cos 1lim 3x x x →-=0sin lim 6x x x →-=16=-; (13) 11lim 1ln x xx x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭1ln 1lim (1)ln x x x x x x →-+=-1ln lim 1ln x x x x x→=-+1211lim112x xx x →==+;(14) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01limx x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x xx x e xe e →-=+12=-; (15) 2221ln cos2ln cos2limlim(cos 2)lim x x x x xx x x x ee →→→==,又20ln cos 2limx x x →002tan 2tan 2lim lim 22x x x xx x→→--===-故21lim(cos 2)x x x →=2e -;(16) 11lim (ln )x x x -→+∞=ln ln 1lim xx x e-→+∞,又11ln ln ln lim lim 011x x x x x x →+∞→+∞⋅==-, 故11lim (ln )x x x -→+∞=0e =1;(17) lim x x xx x e e e e --→+∞-+221lim 11xxx e e --→+∞-=+;(18) sin 1lim1sin 1x x x x x→∞-=+. 2. 设(0)0f =,(0)2f '=，(0)6f ''=,求20()2lim x f x xx→-. 解 20()2l i mx f x x x →-0()2l i m 2x f x x →'-=0()lim 2x f x →''=(0)32f ''==. 习题4-41．判断函数x y e x =-的单调性.解 .1-='x e y 又).,(:+∞-∞D在)0,(-∞内，,0<'y ∴函数单调减少；在),0(+∞内，,0>'y ∴函数单调增加. 2．判断函数cos sin y x x x =+在区间3[,]22ππ的单调性.解 cos y x x '=,在区间3(,)22ππ，,0<'y ∴函数单调减少.3．求下列函数的单调区间： (1) 31292)(23-+-=x x x x f ； (2) 2()2ln f x x x =-；(3) ()f x =(4) 2()1x f x x=+.解 (1) ).,(:+∞-∞D 2()61812f x x x x '=-+),2)(1(6--=x x 解方程0)(='x f 得.2,121==x x当1<<-∞x 时，,0)(>'x f ∴)(x f 在(]1,∞-上单调增加；当21<<x 时，,0)(<'x f ∴)(x f []2,1上单调减少；当+∞<<x 2时，,0)(>'x f ∴)(x f 在),2[+∞上单调增加.(2) :(0,).D +∞1()4f x x x '=-241x x-=,解方程0)(='x f 得12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f ∴)(x f 在1(,)2+∞单调增加.(3) ).,(:+∞-∞D y'13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；故函数在4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少；在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加. (4) :(,1)(1,).D -∞--+∞21()111x f x x x x ==-+++,221(2)()1(1)(1)x x f x x x +'=-=++, 令,0='y 解得12,x =-20,x =在(,2)-∞-内，,0>'y 函数单调增加；在(2,1)--内，,0<'y 函数单调减少；在(1,0)-内，,0<'y 函数单调减少；在(0,)+∞内，,0>'y 函数单调增加.4．当0>x 时，应用单调性证明下列不等式成立：(1) 2x +>(2) 21ln(1)2x x x x >+>-. 证 (1)令()2f x x =+- 则()1f x '==.当0>x 时,,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加，,0)0(=f ∴当0>x 时，()(0)0,f x f >=即2x +-，故2x +>(2)设),1ln()(x x x f +-=则.1)(xx x f +=' )(x f 在],0[+∞上连续，且在),0(+∞内可导，,0)(>'x f ∴)(x f 在],0[+∞上单调增加， ,0)0(=f ∴当0>x 时，,0)1ln(>+-x x 即).1ln(x x +>又设21()ln(1),2g x x x x =+-+因为()g x 在),0[+∞上连续，在),0(+∞内可导，且1()11g x x x'=-++,12x x +=当0>x 时，()0,g x '>又(0)0.g = 故当0>x 时，()(0)0,g x g >=所以.21)1ln(2x x x ->+ 综上，当0>x 时，有21ln(1)2x x x x >+>-，证毕. 5．证明方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 证令53()21f x x x x =++-，因)(x f 在闭区间[0,1]连续，且)0(f 1=-,0<(1)f 30=>.根据零点定理)(x f 在(0,1)内有一个零点,即方程53210x x x ++-=至少有一个小于1的正根.在(0,1)内，)(x f '42561x x =++,0> 所以)(x f 在[0,1]内单调增加，即曲线)(x f y =在(0,1)内与x 轴至多只有一个交点.综上所述，方程53210x x x ++-=有且只有一个小于1的正根. 6．求下列曲线的凹凸区间及拐点： (1) 14334+-=x x y ；(2) 2y = (3) 241y x =+；(4) (y x =-解 (1)函数的定义域为),,(+∞-∞,121223x x y -='.3236⎪⎫ ⎛-=''x x y 令,0=''y 得,01=x .22=x)(2) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '13=- y ''=函数y 在1x =处不可导，但1x <时，,0<''y 曲线是凸的，时，,0>''y 曲线是凹的.故凹区间为[1,)+∞，凸区间为(,1]-∞，拐点为(1,2)；(3) 函数的定义域为),,(+∞-∞ y '228(1)xx =-+ , y ''223248(1)x x -=+ 令,0=''y 得1x =2x =在(,-∞，,0>''y 曲线是凹的；在(，,0<''y 曲线是凸的；在)+∞，,0>''y 曲线是凹的.因此凹区间为(,-∞,)+∞，凸区间为[，拐点为(,3)和.(4) 函数的定义域为),,(+∞-∞ 5233(y x x x =-=-,y '21335233x x -=-=, y ''143310299x x --=+=, 令,0=''y 得11,5x =-在20x =处y ''不存在，在1(,)5-∞-，,0<''y 曲线是凸的；在1(,0)5-，,0>''y 曲线是凹的；在(0,)+∞，,0>''y 曲线是凹的；故凹区间为1(,0]5-,[0,)+∞，凸区间为1(,]5-∞-，拐点为1(,5-.7．利用函数的凹凸性证明：若,0,x y x y >≠，则不等式2()x yxyxe ye x y e ++>+成立.证令()t f t te =(0t >)，则所要证明的不等式改写为()()<()22f x f y x yf ++.因此问题转化为要证明()f t 在(0,)+∞内为凹.由()t t f t te e '=+，()2t tf t te e ''=+，因0t >，()0f t ''>，故()f t 在(0,)+∞内为凹，于是不等式成立.习题4-51．求下列函数的极值： (1) 32()393f x x x x =--+；(2) 2()1xf x x =+; (3) 2()2ln f x x x =-;(4) ()f x =(5) 23()(1)1f x x =--;解 (1) )3)(1(3963)(2-+=--='x x x x x f ,令,0)(='x f 得驻点.3,121=-=x x所以, 极大值(1)8,f -=极小值(3)24f =-.(2) 2221(1)(1)()11x x x f x x x--+'==++,令,0)(='x f 得驻点121, 1.x x =-= 所以, 极小值(1),2f -=-极大值(1)2f =. (3) 函数的定义域为(0,),+∞1()4f x x x '=-241x x-=，令,0)(='x f 得驻点12x =，在1(0,)2内，,0)(<'x f )(x f 在1(0,)2内单调减少；在1(,)2+∞内，,0)(<'x f )(x f 在1(,)2+∞单调增加.所以,有极小值11()ln 222f =+.(4) ).,(:+∞-∞D y '13=令,0='y 解得14,3x =在21,x =32x =处y '不存在.在(),1-∞内，,0>'y 函数单调增加；在41,3⎛⎫⎪⎝⎭内，,0>'y 函数单调增加；在4,23⎛⎫⎪⎝⎭内，,0<'y 函数单调减少；在()2,+∞内，,0>'y 函数单调增加.因此，有极大值4(),33f =极小值(2)0f =. (5) 由,0)1(6)(22=-='x x x f 得驻点,11-=x .1,032==x x ).15)(1(6)(22--=''x x x f因(0)60,f ''=>/故)(x f 在0=x 处取得极小值，极小值为(0) 2.f =-因,0)1()1(=''=-''f f 考察一阶导数)(x f '在驻点11-=x 及13=x 左右邻近的符号: 当x 取1- 左侧邻近的值时, ;0)(<'x f 当x 取1-右侧邻近的值时, ;0)(<'x f 因)(x f '的符号没有改变，故)(x f 在1-=x 处没有极值.同理，)(x f 在1-=x 处也没有极值.2. 设3x π=是函数1()sin sin 33f x a x x =+的极值点，则a 为何值？此时的极值点是极大值点还是极小值点？并求出该值.解由()cos cos3f x a x x '=+,因3x π=是极值点，故()coscos 033f a πππ'=+=,得a =2,又()(2cos cos3)2sin 3sin3f x x x x x '''=+=--,()2sin 3sin 033f πππ''=--=,所以，3x π=是极大值点，极大值为：1()2sinsin 333f πππ=+=3. 求下列函数在指定区间的最大值与最小值：(1) 42()23f x x x =-+, 3[2]2-，;(2) ()f x x =[3,1]-;(3)()sin cos f x x x x =+,[],ππ-.解 (1)3()444(1)(1),f x x x x x x '=-=+- 解方程,0)(='x f 得1231,0, 1.x x x =-==计算357();216f -=(1)(1)2;f f -==(0)3;f =(2)11f =. 比较得最大值(2)11f =,最小值(1)(1)2f f -==.(2) ()1f x '==,令,0)(='x f 得34x =，计算(3)1f -=-，35()44f =，(1)1f =.从而得最大值35()44f =,最小值(3)1f -=-.(3) ()cos f x x x '=，令,0)(='x f 在[],ππ-得驻点123,0,.22x x x ππ=-==计算()()222f f πππ-==，(0)1f =，()()1f f ππ-==-.故得到，最大值为()()222f f πππ-==，最小值为()()1f f ππ-==- .4. 求下列曲线的渐近线： (1) 1sin x y x+=; (2) 111x y e-=+.解 (1)因1sin lim0x xx →∞+=, 得水平渐近线0;y = 因01sin limx xx→+,=∞ 得铅直渐近线.0=x (2) 因11lim(1)2x x e-→∞+=, 得水平渐近线2;y =因111lim(1)x x e +-→+=+∞, 得铅直渐近线 1.x =5. 作出下列函数的图形： (1) 3()31f x x x =-+； (2) 43()21f x x x =-+;(3) 2y =(4) 2()1x f x x=+.解 (略) 6. 设A 、B 两个工厂共用一台变压器，其位置如右下图所示，问变压器设在输电干线的什么位置时，所需电线最短？解设变压器设在输电干线距C 点x km 处，由已知条件可得电线的总长度为()6)f x x =≤≤求导()f x '=，令()0f x '=，在[0,6]内，得为唯一驻点,容易判断，此时，函数有最小值，故变压器设在输电干线距C 点2.4 km 处，所需电线最短.习题4-61．某钟表厂生产某类型手表日产量为Q 件的总成本为21()200100040C =++Q Q Q (元)， (1) 日产量为100件的总成本和平均成本为多少？ (2) 求最低平均成本及相应的产量；(3) 若每件手表要以400元售出，要使利润最大，日产量应为多少？并求最大利润及相应的平均成本？解 (1) 日产量为100件的总成本为2100(100)20010010002125040C =+⨯+=(元)平均成本为21250(100)212.5100C ==(元). (2) 日产量为Q 件的平均成本为()1000()20040C C ==++Q Q Q Q Q， 211000()40C '=-Q Q，令()0C '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为200=Q .D又20031000(200)0C =''=>Q Q ，故200=Q 是()C Q 的极小值点，即当日产量为200件时，平均成本最低，最低平均成本为1000()20021040200200200C =++= (元).(3) 若每件手表要以400元售出，此时利润为()L Q 21400()400200100040C ==---Q -Q Q Q Q 21200100040=-+-Q Q ， 1()20020L '=-+Q Q ，令()0L '=Q ，得唯一驻点为400=Q ，此时，1()020L ''=-<Q ，因此，要使利润最大，日产量应为400件，此时的最大利润为21()200100075 00040400400400L =-⋅+⨯-=(元) 相应的平均成本为1000()200212.540400400400C =++=(元).2．设大型超市通过测算，已知某种手巾的销量Q (条)与其成本C 的关系为23()100060.003(0.01)C =+-+Q Q Q Q (元),现每条手巾的定价为6元, 求使利润最大的销量.解利润函数为()L Q 236()10000.003(0.01)C ==-+-Q -Q Q Q ，求导2()0.0060.03(0.01)L '=-Q Q Q ，令()0L '=Q ，因0>Q ，故得唯一驻点为2000=Q ，此时，22000()0.0060.03(0.0120.00602000)L =''=-⨯⨯=-<Q Q ，因此，要使利润最大，销量应为2000条，此时的最大利润为23()10000.003(0.013000200020002000)L =-+⨯-⨯=(元).3. 设某种商品的需求函数为1000100P =-Q , 求当需求量300=Q 时的总收入, 平均收入和边际收入，并解释其经济意义.解设需求量Q 件价格为P 的产品收入为(),R P =⋅Q Q由需求函数1000100P =-Q 得100.01P =-Q 代入得总收入函数2()(100.01)100.01.R =-⋅=-Q Q Q Q Q平均收入函数为 ()()100.01.R R ==-Q Q Q Q 边际收入函数为2()(100.01)100.02.R ''=-=-Q Q Q Q 当300=Q 时的总收入为 ,210030001.030010)300(2=⨯-⨯=R 平均收入为 ,730001.010)300(=⨯-=R边际收入为 (300)100.02300R '=-⨯=，其经济意义是：当需求量为300件时，每增加1个单位商品的需求，将增加4元的收入.4．设某工艺品的需求函数为800.1P =-Q (P 是价格，单位：元, Q 是需求量，单位：件), 成本函数为 500020C =+Q (元).(1) 求边际利润函数()L 'Q , 并分别求200=Q 和400=Q 时的边际利润，并解释其经济意义.(2) 要使利润最大，需求量Q 应为多少?解 (1)已知800.1P =-Q ，500020C =+Q ，则有 2()(800.1)800.1,R P =⋅=-=-Q Q Q Q Q Q2()()()(800.1)(500020)L R C =-=--+Q Q Q Q Q Q边际利润函数为2()(0.1605000)0.260,L ''=-+-=-+Q Q Q Q当200=Q 时的边际利润为(200)0.22006020.L '=-⨯+=当400=Q 时的边际利润为.20604002.0)400(-=+⨯-='L可见销售第201个产品，利润会增加20元，而销售第401个产品后利润将减少20元. (2) 令()0,L '=Q 得,300=x02.0)300(<-=''L故要使利润最大，需求量300=Q 件，此时最大利润为 4000)300(=L (元).5．设某商品的需求量Q 与价格P 的关系为16004P=Q (1) 求需求弹性)(P η，并解释其经济含义;(2) 当商品的价格10=P (元)时, 若价格降低1%, 则该商品需求量变化情况如何？解 (1) 需求弹性为)()()(P Q P Q PP '=η1600416004P P P '⎛⎫ ⎪⎝⎭=1600ln 4416004P PP -=⋅ ln 4P =-⋅P )2ln 2(-=.39.1P -≈需求弹性为负, 说明商品价格P 上涨1%时, 商品需求量Q 将减少1.39P %.(2) 当商品价格10=P (元)时, ,9.131039.1)10(=⨯-≈η 这表示价格10=P (元)时, 价格上涨1%, 商品的需求量将减少13.9%. 若价格降低1%, 商品的需求量将增加13.9%.6．某商品的需求函数为3P e -=Q (Q 是需求量，P 是价格)，求：(1) 需求弹性)(P η； (2) 当商品的价格2,34P =，时的需求弹性, 并解释其经济意义.解 (1) 需求弹性为33()()3PP e P P Pe η--'==-； (2) 2(2)13η=<,说明当2P =时，价格上涨1%, 需求减少0.67 %；(3)1η=，说明当3P =时，价格与需求变动幅度相同；4(4)>13η=,说明当4P =时，价格上涨1%, 需求减少1.33 %.7．已知某商品的需求函数为275P =-Q (Q 是需求量，单位：件，P 是价格，单位：元).(1) 求5P =时的边际需求, 并解释其经济含义.(2) 求5P =时的需求弹性, 并解释其经济含义.(3) 当5P =时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? (4) 当6=P 时, 若价格P 上涨1%, 总收益将变化百分之几?是增加还是减少? 解设,75)(2P P f Q -==需求弹性)(0P P =)()(|0000P f P P f P P ⋅'==η 刻划了当商品价格变动时需求变动的强弱. (1) 当5P =时的边际需求5(5)210P f P='=-=-它说明当价格P 为5元,每上涨1元, 则需求量下降10件. (2) 当5P =时的需求弹性225(5)(5)(10)175755P f P η'=⋅=-⨯=---它说明当5P =时, 价格上涨1%, 需求减少1%.(3) 由 ()(1)R f P η'=⋅+. 又 ()R P P f P =⋅=⋅Q ,于是()()1()()ER P R P R P EP R P f P η''=⋅==+ 由(5)1η=-，得5110P EREP==-= 所以当5P =时,价格上涨1%,总收益不变，此时总收益取得最大值.(4) 由,753P P PQ R -==(6)234,R =(6)R '2675333,P P ==-=- 66(6)0.85(6)P ER R EP R ='=⋅≈- 所以当6=P 时,价格上涨1%,总收益将减少0.85%.复习题4（A ）1．设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，12a x x b <<<，则下式中不一定成立的是A . ()()()()f b f a f b a ξ'-=-()a b ξ<<； B . ()()()()f a f b f a b ξ'-=- ()a b ξ<<；C . ()()()()f b f a f b a ξ'-=- (12x x ξ<<)；D . 2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<).答：C 2．当x =4π时，函数1()cos cos 44f x a x x =-取得极值，则a =A ．-2 B．CD ．2答：B3．若在区间I 上，()0f x '>，()0f x ''<，则曲线)(x f y =在I 是 A ．单调减少且为凹弧； B ．单调减少且为凸弧； C ．单调增加且为凹弧； D ．单调增加且为凸弧.答：D4．曲线y =322(1)x x -A ．既有水平渐近线，又有垂直渐近线；B ．只有水平渐近线；C ．有垂直渐近线x =1；D ．没有渐近线.答：C5．用中值定理证明下列各题：(1) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()0f a f b ==，且在(a , b )内()0f x ≠，试证：对任意实数k , 存在),(b a <<ξξ使得()()f k f ξξ'=. (2) 设函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，()()1f a f b ==，试证：存在,(,)a b ξη∈，使得[()()]1e f f ξηξξ-'+=证 (1) 对任意实数k ，设()()kx F x e f x -=，()()()kx kx F x ke f x e f x --''=-+，显然()F x 在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，且()()0F a F b ==，故在[a , b ] 应用罗尔定理，存在),(b a <<ξξ使()0F ξ'=，即()()()0k k F ke f e f ξξξξξ--''=-+=，整理得()()0kf f ξξ'-+=，即()()f k f ξξ'=. (2)设()()x F x e f x =，()()()x x F x e f x e f x ''=+，在闭区间[a , b ]上应用拉格朗日中值定理()()()b a e f b e f a F b aξ-'=-，(,)a b ξ∈即[()()]b a e e e f f b aξξξ-'+=-令()xG x e =，()[()()]b a e e G e e f f b aηξηξξ-''===+-，,(,)a b ξη∈ 故有 [()()]1e f f ξηξξ-'+=，,(,)a b ξη∈.6．求函数1()3f x x=-的1n +麦克劳林公式.解 1()3f x x =-=13(1)3x =-01()33k n nk k x o x ==+∑10()3k nn k k x o x +==+∑ 7. 计算下列极限：(1) lim(arctan )2x x π-；(2) 011lim()1x x e x→--; (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→；(4) 110(1)lim xxx x e →⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 解 (1) lim(arctan )2x x π-arctan 2lim 1x x π→+∞-=211lim 11x x →+∞+=22lim01x x →+∞=-=+； (2) 011lim 1x x e x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭01lim x x x x e xe x →-+=-01lim 1x x x x e xe e →-=+- 0lim 2x xx x e xe e →-=+12=-； (3) 1ln 0lim(cot )xx x +→ln cot ln cot limln ln 00lim x xxxx x e e+→+→==而0ln cot lim ln x x x +→20csc cot lim 1x xx x +→-=20csc lim cot x x x x+→-= 20csc lim cot x x x x+→-=0lim 1cos sin x xx x +→-==-，所以原式=1e -；(4) 110(1)lim xxx x e→⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1ln(1)10lim x x xx e ++-→= 01ln(1)1lim x x x x→+-20ln(1)lim x x x x →+-=0111lim 2x x x →-+= 01lim2(1)x x →-=+12=- 所以原式=12e-.8．问,,a b c 为何值时，点(-1,1)是曲线32y x ax bx c =+++的拐点，且是驻点？解 32y x ax bx c =+++，232y x ax b '=++，62y x a ''=+，由已知(1)620y a ''-=-+=，得3a =，2(1)3(1)23(1)0y b '-=-+⨯-+=，得3b =，点(-1,1)代入曲线方程：32(1)3(1)3(1)1c -+-+-+=，得2c =9. 证明方程 1ln -=e xx 在区间),0(+∞内有两个实根. 证令()ln 1x f x x e =-+，11()f x x e '=-e xex-=，（1）当0x e <<时，()0f x '>，即函数单调增加，而()ln 110ef e e e=-+=>，0lim ()x f x +→=-∞，例如11121()ln 10e f e e e e---=-+=-<，因此，函数在(0,)e 内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(0,)e 内有且只有一个根；（2）当x e >时，()0f x '<，即函数单调减少，()()f x f e <又()ln 110e f e e e =-+=>，即()ln 11xf x x e =-+<于是ln xx e<，因此lim ()x f x →+∞=-∞，所以函数在(,)e +∞内有且只有一个零点，即方程1ln -=exx 在(,)e +∞内有且只有一个根；综上，即证方程 1ln -=exx 在区间),0(+∞内有两个实根..10．确定函数32()231210f x x x x =+-+的单调区间，并求其在区间[3,3]-的极值与最值.解 2()66126(1)(2)f x x x x x '=+-=-+,令,0)(='x f 得驻点122, 1.x x =-=所以, 函数在(],2-∞-，[1,)+∞单调增加，在[]2,1-单调减少，极小值(1)3f =，极小值(2)30f -=；又(3)55f =，(3)18f -=，因此得最大值(3)55f =,最小值(1)3f =.（B ）1. 设00()()0f x f x '''==，0()0f x ''<，则有（） A ．0()f x 是()f x 极大值； B ．0()f x 是()f x 极小值；C ．0()f x '是()f x '的极值；D ．点00(())x f x ，是曲线)(x f y =的拐点.答： D2. 设()(1)f x x x =-，则（）A ．0x =是()f x 极值点，但(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；B ．0x =是()f x 极值点，且(0, 0)不是曲线)(x f y =的拐点；C ．0x =不是()f x 极值点，但(0, 0)是曲线)(x f y =的拐点；D ．0x =不是()f x 极值点，且(0, 0)也不是曲线)(x f y =的拐点.答：B3. 设120ea ->>，证明方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.证：因120ea ->>，则12e a ->，即21a e <令()ax f x x ae =-，显然()f x 在1[0,]a -连续，由(0)0f a =-<，1112()(1)0f a a ae a a e ---=-=->，所以方程ax x ae =在1(0,)a -内至少有一实根，又2()1ax f x a e '=-，在1(0,)a -内0ax e e <<，所以220ax a e a e <<，于是2()10ax f x a e '=->，即函数()ax f x x ae =-在1(0,)a -单调增加，至多与x 轴有一个交点；因此，方程ax x ae =有且只有一个小于1a -的正根.4. 设(0)0f =,()0f x ''<，证明对任意120,0x x >>，恒有1212()()()f x x f x f x +<+.证由()0f x ''<，知)(x f '单调减少，对任意120,0x x >>，在1[0,]x 上应用拉氏定理知,11(0,),x ξ∃∈使11111()()(0)()0f x f x f f x x ξ-'==- 在112[,]x x x +上应用拉氏定理知，2112(,),x x x ξ∃∈+使12212221122()()()()()()f x x f x f x x f x f x x x x ξ+-+-'==+-)(x f '单调减少,∴)()(21ξξf f '>' ⇒122111()()()f x x f x f x x x +-<所以1212()()()f x x f x f x +<+. 证毕.5. 当10x >>时，证明不等式212xx +<成立.证令2()12x f x x =+-，当10x >>时，(0)(1)0f f ==,()22ln 2x f x x '=-,又2()22ln 2>0x f x ''=-,(10x >>)，故()f x '在(0,1)单调增加，由(0)ln 2<0f '=-，(1)22ln 2>0f '=-，故()f x '在(0,1)有且只有一个零点，设为k .易知在(0,)k 内()<0f x '，在(,1)k 内()>0f x ', 因此点x =k 必为()f x 的极小值点. 从而在(0,)k 内，()f x 单调减少，即有0k x >>时，()<(0)0f x f =，于是有212x x +<(0k x >>)在(,1)k 内，()f x 单调增加，即有1x k >>时，()<(1)0f x f =，于是有212x x +<(1x k >>)因在(0,)k 和(,1)k 内()<0f x ，()f k 是函数()f x 的极小值，所以()<0f k .综上即得，在(0,1)内()<0f x ，于是，当10x >>时，不等式212xx +<成立. 证毕. 6. 已知0a b <<，函数)(x f y =在闭区间[a , b ]上连续，在开区间(a , b )内可导，证明在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f abηηξ''=.证 )(x f y =在区间[a , b ]上应用拉氏定理知，在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得- 21 - ()()()f b f a f b a ξ-'=-，又()f x ，1x在[a , b ]上满足柯西中值定理的条件，故在(a , b )内至少存在一点η，使 2()()().111f b f a f b a ηη'-=--整理得：2()()()f b f a f b a ab ηη'-=-.因此得到，在(a , b )内至少存在,ξη使得2()()f f ab ηηξ''=.证毕.。

第3章中值定理与导数的应用(包括题)

第三章中值定理与导数的应用一、基本内容（一）中值定理1.罗尔定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)()(b f a f =，那么在),(b a 内存在一点ξ，使得0)(='ξf .2.拉格朗日中值定理如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得ab a f b f f --=')()()(ξ 其微分形式为x f x f x x f ∆⋅'=-∆+)()()(ξ这里10,<<∆⋅+=θθξx x .推论如果函数)(x f 在开区间),(b a 内的导数恒为零，那么)(x f 在),(b a 内是一个常数.3.柯西中值定理如果函数)(x f 及)(x g 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)(x g '在),(b a 内的每一点均不为零，那么在),(b a 内至少有一点ξ，使得)()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=-- 中值定理是导数应用的理论基础，在应用中值定理证明题时，关键是构造适当的辅助函数.（二）洛必达法则1.法则1如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：(1)0)(lim =→x f a x , 0)(lim =→x g ax ； (2)在点a 的某去心邻域内，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ；(3))()(l i m x g x f a x ''→存在（或为无穷大），那么 )()(lim )()(lim x g x f x g x f a x ax ''=→→ 2.法则2如果函数)(x f 及)(x g 满足条件：(1)0)(lim =∞→x f x , 0)(lim =∞→x g x ； (2)当N x >时，)(x f '及)(x g '都存在且0)(≠'x g ； (3) )()(limx g x f x ''∞→存在（或为无穷大）；那么)()(lim )()(lim x g x f x g x f x x ''=∞→∞→ 以上两个法则是针对00型未定式. 对∞∞型未定式，也有相应的两个法则. 对∞⋅0、∞-∞、00、∞1、0∞型未定式，可以通过变形将其转化成00或∞∞型来求. （三）泰勒公式1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数)(x f y =在0x 的某邻域),(0δx U 内有1+n 阶导数，那么在此邻域内有+-''+-'+=200000)(2)())(()()(x x x f x x x f x f x f ！ )()(!)(00)(x R x x n x f n n n +-+ 10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ 其中ξ在0x 和x 之间，)(x R n 是拉格朗日余项.（四）函数的单调性函数单调性的判别法设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内可导.(1)如果在),(b a 内0)(>'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调增加；(2) 如果在),(b a 内0)(<'x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上单调减少.（五）函数的极值与最值1.函数在一点取得极值的必要条件设函数)(x f y =在0x 点取得极值，如果)(x f 在0x 点可导，那么0)(0='x f .使0)(='x f 的点x 称为函数)(x f 的驻点.驻点不一定是极值点.驻点和不可导点是函数的所有可能的极值点.2.极值点的两个判别定理判别之一设函数)(x f y =在0x 点连续，在0x 的某去心领域),(0δx U内可导，有(1) 如果在),(00x x δ-内0)(<'x f ，在),(00δ+x x 内0)(>'x f ，那么)(x f 在0x 取得极小值；(2) 如果在),(00x x δ-内0)(>'x f ，在),(00δ+x x 内0)(<'x f ，那么)(x f 在0x 取得极大值；(3) 如果)(x f '在),(0δx U 内符号保持不变，那么)(x f 在0x 没有极值.判别之二设函数)(x f y =在0x 点处有二阶导数，且0)(0='x f ，则有(1) 如果0)(0>''x f ，那么在0x 取得极小值；(2) 如果0)(0<''x f ，那么在0x 取得极大值.3.函数的最大值与最小值的求法(1) 求出)(x f '在),(b a 内的零点和不存在的点n x x x ,,,21 ，计算出)(x f 在这些点处的函数值)(,),(),(21n x f x f x f ；(2) 计算出)(x f 在],[b a 的两个端点上的值)(),(b f a f(3) )}(),()(,),(),(m ax {21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最大值)}(),()(,),(),(m in{21b f a f x f x f x f n 是)(x f 在],[b a 上的最小值. （六）曲线的凹凸与函数的作图1.凹凸的定义设函数)(x f y =在闭区间],[b a 上连续，如果对于],[b a 上任意两点21,x x ，恒有2)()()2(2121x f x f x x f +<+那么称曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的；如果恒有2)()()2(2121x f x f x x f +>+ 那么称曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的.2.凹凸的判定设函数)(x f y =在],[b a 上连续，在),(b a 内具有二阶导数，那么(1) 如果在),(b a 内0)(>''x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上的图形是凹的；(2) 如果在),(b a 内0)(<''x f ，那么函数)(x f y =在],[b a 上的图形是凸的.3.拐点及其求法连续曲线)(x f y =上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点.求出所有0)(=''x f 或)(x f ''不存在的点n x x x ,,,21 ，拐点从),,2,1())(,(n i x f x i i =中找.4.函数作图(1) 确定函数的定义域；(2) 求出函数的单调区间和极值点，曲线的凹凸区间和拐点；(3) 求函数图形的水平渐近线和铅直渐近线；(4) 求出函数在特殊点（包括间断点及一阶导数、二阶导数为零或不存在的点）处的函数值，定出图形上相应的点，结合前面的结果，连结这些点画出函数图形的大概形状.（七）曲率1. 定义称dSd S K S αα=∆∆=→∆0lim 为曲线)(x f y =在M 点处的曲率.其中S ∆是 M M '的长度，α∆是曲线在M 与M '处切线的夹角，M 与M '是曲线上两点.2. 计算公式若)(x f y =，则232)1()(y y x K '+''=.3. 曲率与曲率半径ρ的关系K1=ρ二、练习题3.1 设)(x f 可导，求证：)(x f 的两个零点之间一定有)()(x f x f '+的零点. 证明设0)()(==b f a f ，a<b ，令)()(x f e x F x =，则0)()(==b F a F ，根据罗尔定理，存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF ，即0)]()([='+ξξξf f e .于是0)()(='+ξξf f .3.2 设函数)(x f 在]1,0[上三次可导，且0)1()0(==f f ，设)()(3x f x x F =.证明；存在)1,0(∈ξ，使0)(='''ξF .证明由条件可知 0)1()0(==F F ，F(x)在]1,0[上可导，根据罗尔定理，存在)1,0(1∈ξ使得0)(1='ξF又由)()(3)(32x f x x f x x F '+='知道0)0(='F这样0)()0(1='='ξF F ，0)(='x F 在],0[1ξ可导. 根据罗尔定理，存在)1,0(),0(12⊂∈ξξ使得0)(2=''ξF又由)()(6)(6)(32x f x x f x x xf x F ''+'+=''知道0)0(=''F根据罗尔定理，存在)1,0(),0(2⊂∈ξξ使得0)(='''ξF3.3 设)(x f 在闭区间[a ，b ]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，0>a .证明：在（a ，b ）内存在321,,x x x ，使233222213)()(2)()()(x x f b ab a x x f b a x f '++='+='证明由拉格朗日中值定理 .存在),(1b a x ∈，使得)()()(1x f ab a f b f '=-- 根据柯西中值定理，存在),(),,(32b a x b a x ∈∈使得))((3)()()())((2)()()(32333322222x x F x x f a b a f b f x x F x x f a b a f b f ='=--='=-- 由上面三个等式可知原结论成立 .3.4 设)(x f 在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且)1()0(f f =.求证：在（0，1）内存在的两个不同的21,c c ，使0)()(21='+'c f c f .证明将[0，1]分成两部分]1,21[],21,0[分别在其上应用拉格朗日中值定理，得 )1,21()(211)21()1()21,0()(021)0()21(2211∈'=--∈'=--c c f f f c c f f f 又由条件)1()0(f f =，可知0)()(21='+'c f c f3.5 已知 0)3sin (lim 230=++→b xa x x x ，求b a ,的值 . 解因 0)3sin (lim 230=++→b x a x x x ，由洛必达法则 )00(333cos 3lim )00(3sin lim 220330x bx a x x bx ax x x x ++=++→→由033cos 3lim 20=++→bx a x x 可知3-=a 再继续用洛必达法则0663cos 27lim )00(663sin 9lim )00(3333cos 3lim 00220=+-=+-=+-→→→b x x bx x xbx x x x x 于是 063cos 27lim 0=+-→b x x ，知 29=b3.6用洛必达法则求下列极限：（1）21)1ln(lim x e x x +++∞→；（2）x x x ln 1)arctan 2(lim -∞→π；（3）210)ln ln (lim x x x x bx b a x a --→；（4）)0,,()3(lim 10>++→c b a c b a x xx x x解（1）21)1ln(lim x e x x +++∞→ =21)1(lim x x e e x xx +++∞→ =1111lim2+⋅+-+∞→xe x x =1 （2）x x x ln 1)arctan 2(lim -∞→π =x x x e ln )arctan 2ln(lim -∞→π=xx x x e arctan 21lim2-+-∞→π =x x x x x e arctan 211lim 22-⋅+-∞→π =x xx e arctan 21lim --∞→π=22111lim x x x e +---∞→ =1-e（3）令y b x b a x a x x x x =--→210)ln ln (lim )00()ln ln()ln ln(lim ln 20x b x b a x a y x x x ---=→ = xb x b b b b a x a a a a x x x x x 2ln ln ln ln ln ln lim 0-----→ xa x a aa a x x x 2ln ln ln lim 0--→ )1ln (2ln )1(lim 0→--=→a x a xa a x x x =2ln 2ln lim 220a a a x x =→ 同理 2ln 2ln ln ln lim 20b x b x b bb b x x x =--→ 故 2ln ln ln 22b a y -= 原式=2ln ln 22b a e-（4）令y c b a x xx x x =++→10)3(lim3ln 3ln ln ln 3ln ln ln 3lim )00(3ln lim ln 00abc c b a c c b b a a c b a x c b a y x x x x x x x xx x x =++=++⋅++=++=→→ 故原式33ln abc e abc ==3.7 设)(x f 与)(x g 在),0[+∞存在二阶导数，且满足条件：)0()0(g f =，)0()0(g f '='，)0)(()(>''>''x x f x g .试分别用函数的单调性、拉格朗日中值定理和泰勒公式证明：0>x 时，)()(x f x g >.证明（法一）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F于是)(x F '在),0(+∞单调递减又由)0(F ''存在，故)(x F '在0=x 连续，即有)(x F '在[]+∞,0 单调递减 .所以，当0>x 时，0)0()(='<'F x F ，于是)(x F 在[]+∞,0单调递减，所以，当0>x 时，0)0()(=<F x F 即0)()(<-x g x f ，)()(x f x g >. （法二）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F由拉格朗日中值定理，得()0)),0(()()]0()([),0()()0()(<∈⋅⋅''=⋅'-'=∈'=-ξηξηξξξx F x F F x xF F x F 故 0)(<x F ，)()(x f x g >.（法三）令)()()(x g x f x F -=由条件 )0(0)(,0)0(,0)0(><''='=x x F F F根据泰勒公式 2)(21)0()0()(x F x F F x F ξ''+'+= 其中),0(,0x x ∈>ξ 故 0)(<x F ，)()(x f x g >.3.8 利用泰勒公式计算极限：)cot 1(1lim0x x x x -→. 解原式=xx x x x tan tan lim 20-→ =)~(tan tan lim 30x x x x x x -→ =)1~(cos cos sin lim 30x xx x x x -→ =322330)](21[)(6lim xx o x x x o x x x +--+-→ =3330)(31lim xx o x x +→ =313.9 设函数)(x f 在[0，1]上具有连续的三阶导数，且2)1(,1)0(==f f ，0)21(='f . 证明在（0，1）内至少存在一点ξ，使24|)(|≥'''ξf . 证明将)(x f 在210=x 点展开，并分别令0=x 和1=x ，得)2()21(6)()21(2)21()21)(21()21()1()1()21(6)()21(2)21()21)(21()21()0(322312ξξf f f f f f f f f f '''+''+'+=-'''+-''+-'+= （2）—（1）得： )]()([481112ξξf f '''-'''= 48|)()(||)(||)(|1221='''-'''≥'''+'''ξξξξf f f f取ξ为1ξ和2ξ中三阶导数的绝对值较大的点，因)1,21(),21,0(21∈∈ξξ故)1,0(∈ξ，且有 24|)(|≥'''ξf3.10 数列 ,,,3,2,13n n 中哪一项最大解令 xx x f 1)(=，则)ln 1()ln 1()(211x x x x x x f x x -='='- 当),0(e x ∈时，0)(>'x f ，f(x)在],0(e 单增；当),(+∞∈e x 时，0)(<'x f ，f(x)在),[+∞e 单减因为 32<<e ，故值最大的项只能为2或33，而由2332<可知，2<33,所以33最大.3.11 证明：当0>x 时，有)1l n()1(1x x e x ++>-.证明令),1ln()1(1)(x x e x f x ++--=则0)0(=f0)0(,)1ln(1)(='+--='f x e x f xxe xf x +-=''11)( 当0>x 时，0)(=''x f ，)(x f '在),0[+∞单增，而0)0(='f ，故0)(>'x f ，)(x f 在),0[+∞单增，而0)0(=f 故0)(>x f ，即当0>x 时,有)1ln()1(1x x e x ++>-3.12 在椭圆12222=+by a x 位于第一象限的部分上求一点P ，使该点处的切线、椭圆及两坐标所围图形的面积为最小)0,0(>>b a .解要使所述的面积最小，因椭圆在第一象限部分面积为定值，只要使切线与两坐标所围三角形面积最小即可 .设),(00y x P .则由02222=⋅+dxdy b y a x yx a b b y a x dx dy ⋅-=-=222222 可知P 点处椭圆切线方程为 )(000220x x y x a b y y -⋅-=- 分别令y=0和x=0，可得两截距为 022020022020y a b y x Y x b a x y X +⋅=+⋅=故此三角形面积为))((2102202002200y ab y x x b a x y +⋅+⋅ 因),(00y x 在椭圆上，可令0000sin ,cos θθb y a x ==.代入上式，可得此面积为02sin θab ，因此当12sin 0=θ即40πθ=时，此面积最小，此时b y a x 22,2200== . 综上，当P 点坐标为)22,22(b a 师，题中所述面积最小.测验题（三）1. 设)(x f 和)(x g 在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，且0)()(==b f a f ，证明：0)()()()(='+'x g x f x g x f 在（a ，b ）内有解证明令)()()(x g x f x F =，则F(x)在[a ，b ]满足罗尔定理的条件，存在),(b a ∈ξ使得0)(='ξF ，即0)()()()()(='+'='x g x f x g x f x F 在（a ，b ）内有解.2. 设)(x f 在],0[π上连续，在()π,0内可导，且0)0(=f ，证明：存在),0(πξ∈使)(2tan )(2ξξξf f ='.证明欲证)(2tan )(2ξξξf f ='，只要 02sin )(212cos )(=-'ξξξξf f 令2cos )()(x x f x F =，有0)0(=f 得0)()0(==πF F . )(x F 在[0，π]满足罗尔定理的条件，故存在),0(πξ∈使得0)(='ξF ，即02si n )(212cos )(=-'ξξξξf f .3. 用洛必达法则求下列极限（1）()1sin lim 20--→x x e x x x ；（2）])11[(lim e xx x x -+∞→. 解()()()61642cos lim 412sin lim 12cos 1lim 1sin lim )1(20202020=+++=++-=+--=--→→→→x x x x x xx x x xx x x x e x xe e e x e x xe e x e x e x x e x xx221)1ln(1lim )1ln()1(lim )11,)1(()1()]1ln()1([)1(lim 1]111)1ln(1[)1(lim )1(lim )1(])11[(lim )2(02012101010e tt e t t t t e t e t t t t t t t t t t t t te t x t e xx t t t t t t t t t x x -=-+-=+⋅+-=→+→+++⋅+-+=+⋅++⋅-+=-+==-+→→→→→∞→注意令4. 已知bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极值2-，试确定系数a 和b ，并求出)(x f 的所有极值和曲线)(x f y =的拐点.解 b ax x x f ++='23)(2因)(x f 在1=x 处有极值2-，故⎩⎨⎧-=++==++='21)1(023)1(b a f b a f 解得⎩⎨⎧-==30b a ，因此有x x x f 3)(3-=. 解33)(2-='x x f ，得1±=x .当)1,(--∞∈x 时，0)(>'x f ；当)1,1(-∈x 时，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在1-=x 点处取得极大值2)1(=-f ,在1=x 处取得极小值2)1(=f .解06)(==''x x f ，得0=x .当0<x 时，0)(<''x f ，当0>x 时，0)(>''x f ，故（0，0）点是曲线)(x f y =的拐点.5. 证明：当e x x >>12时，有122121ln ln x x x x x x << 证明考虑函数x x y ln = ),(,0ln 12+∞∈<-='e x xx y 所以函数在),(+∞e 单调递减，即当e x x >>12时有2211ln ln x x x x >即2121ln ln x x x x < 再考虑函数x x y ln =，),(,0ln 1+∞∈>+='e x x y所以函数在),(+∞e 单调递增，即当e x x >>12时有2211ln ln x x x x <即1221ln ln x x x x <6. 若)(x f '在),0[+∞严格单调递增，且0)0(=f ，证明：x x f )(在),0(+∞严格单调递增.证明对任意的0>x ，)(x f 在],0[x 连续，在（0，x ）可导，故存在),0(x ∈ξ使得 )()()0()(ξf xx f x f x f '==- xf x f x x x f x f x x f x f x x x f )()()()()()()(2ξ'-'=-'=-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 因)(x f '在),0[+∞严格单调递增，故)()(ξf x f '>'，所以0)(>'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x f 则x x f )(在),0(+∞严格单调递增.7. 设在],1[+∞上处处有0)(<''x f ，且3)1(,2)1(-='=f f ，证明：在),1(+∞内方程0)(=x f 仅有一个实根.证明由0)(<''x f 知)(x f '在),1[+∞严格递减.由零阶泰勒公式，有)2,1(),12)(()1()2(∈-'+=ξξf f f 由于3)1()(-='<'f f ξ，2)1(=f ，故01)2(<-<f由连续函数的介值定理，存在)2,1(0∈x 使得0)(0=x f又由于)(x f '在),1[+∞严格递减.，0)1(<'f 可知对任意的),1[+∞∈x 有0)1()(<'≤'f x f ，故)(x f 在),1[+∞严格递减.所以0)(=x f 在),1(+∞内有唯一实根.。

(整理)第三章微分中值定理与导数的应用习题详解wang1

第三章微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。

可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=；（2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。

可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，且1,0<1(), =01,1<0x f x x x <⎧⎪'=⎨⎪--<⎩不存在,因此不存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件.3．解：令33arccosarccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。

4．证明：显然(),(f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。

(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()1()12f x F x π'='-，即t a n 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时2a r c t a n 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。

第四章中值定理导数应用习题课(11级)

个实根 .
证: 令 F (x) a0 a1x an xn , 则可设
F ( x)
a0 x
a1 2
x2
an n 1
x n 1
显然, F (x) 在 [0,1]上连续, 在 (0,1)内可导, 且 F (0)
F (1) 0, 由罗尔定理知存在一点 (0,1), 使 F ( ) 0,
即 a0 a1x an xn 0 在（0，1）内至少有一个实根 .
7. 有关中值问题旳解题措施利用逆向思维,设辅助函数.
8. 经典例题
【例1】若方程 a0 x n a1 x n1 an1 x 0有一种正根
x x0 ,证明方程 a0nx n1 a1 (n 1)x n2 an1 0 必有一种不大于x0 旳正根.
分析假如令 f ( x) a0nx n1 a1 (n 1)x n2 an1 ，无法鉴定 f (0) f (x0 ) 0 , 所以不能利用零点定理, 考虑利用罗尔定理证明。首先构造一种函数F ( x), 使F ( x) f ( x)，其中 f ( x)是欲证方程
处理措施:
0
00
通分
转化
0 取倒数
取对数
0
转化
转化
1
0
例1. 求极限 lim 1 x tan x
x1
2
解
原式
1 x
lim
x1
cot
x
2
lim
x1
1
csc x
2
2
2
lim
x1
sin
2
x
2
2
2
1
例2. 求 lim x1 x .
( 1 )
解
x1

中值定理习题

第五章中值定理习题课一、主要内容1、中值定理从极值点处的导数性质出发，依次得到Fermat定理、Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理，应该准确掌握各个定理的内容，掌握定理证明的思想，掌握定理的几何意义，熟练掌握定理的应用。

2、Taylor公式从微分的定义或中值定理出发，从近似计算的角度，得到了函数的高阶展开式，掌握常用的函数的Taylor公式，熟练掌握各种Taylor展开式的计算方法，掌握利用Taylor展开式计算极限的技巧。

注、从定理的结论形式上看，中值定理和Taylor公式都能建立函数和导数的关系，但是，二者在使用中是有差别的。

中值定理只是建立了相差一阶导数的相邻函数的关系式，而且结论形式中，原函数的点可以是任意的（涉及到两个原函数的点(),()f a f b，这两个点都可以是任意的），涉及到导数的点不具备任意性，它依赖于原函数中取定的两个点，因此，通常用于利用导函数的性质，研究原函数的性质，当然，若对相应的导函数用中值定理，可以用高阶导数的性质研究低一阶的导函数的性质；而Taylor公式中，展开点是可以任意选取的，因而，可以用于研究所涉及到的中间各阶导数的性质，特别是用两头控制中间的中间导数估计的问题。

3、L’Hospital法则这是极限计算中一个非常重要的法则，也是一个非常高级的法则，利用这一法则，使得一类非常重要，也非常复杂的极限的计算变得非常简单，因此，必须掌握法则的灵活的应用。

4、应用利用上述理论，解决函数研究中的如零点问题、介值问题、中值问题、极值问题、最值问题、导数估计、单调性问题、凸性问题、不等式问题、函数展开、极限计算等各种关键而又重要的问题。

二、典型例题1、零点问题（介值问题、中值问题）这里主要指涉及到导函数的零点问题，因而，处理的基本工具就是Fermat定理、Rolle定理和中值定理。

但是，特别要注意的是，几个定理的根本的出发点就是极值点处的导数性质，这是处理这类问题的基本思想，因此，在涉及到这类问题时，最简便的手段是直接利用相应的定理，但是当定理不能直接应用时，就要考虑最基本的思想了。

微积分中值定理习题

1第三章中值定理与导数的应用§1 中值定理一、证明：当1>x 时，x e e x ⋅>。

二、证明方程015=-+x x 只有一个正根。

三、设)()(x g x f 、在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，证明在),(b a 内有一点ξ，使得 )()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-= 四、证明：若函数)(x f 在),(+∞-∞内满足关系式)()(x f x f ='，且1)0(=f ，则x e x f =)(。

五、设函数)(x f y =在0=x 的某邻域内具有n 阶导数，且 )0()0()0()1(-=='=n f f f ，试用柯西中值定理证明：10 !)()()(<<=θθ，n x f xx f n n §2 洛必达法则一、求下列极限（1）2031)cos(sinlim xx x -→= （2）xx x x 30sin arcsin lim -→= （3）x x x 21sin 1)1cos(ln lim π--→= （4）x x x x 21cot ])1[ln( lim π--+→= （5）21)arcsin ( lim 0x xx x →= （6）x cb ac b a x x x x 1)( lim 1110+++++++→，其中0≠++c b a 。

§3 泰勒公式一、求函数x x f tan )(=的二阶麦克劳林公式。

二、求函数x xe x f =)(的n 阶麦克劳林公式。

、当40=x 时，求函数x y =的三阶泰勒公式。

三、当10=x 时，求函数x x x f ln )(2=的n 阶泰勒公式。

2§4 函数单调性的判定法一、确定下列函数的单调区间：（1）x x y ln 22-=；（2）)0())(2(32>--=a x a a x y ，二、证明：当0>x 时，221)1ln(1x x x x +>+++；三、设在],[b a 上0)(>''x f ，证明函数a x a f x f x --=)()()(ϕ在],(b a 上是单调增加的。