大学一年级上学期-微积分试题-第一学期期末试卷A答案

合集下载

大学一年级上学期-微积分试题-第一学期期末试卷A

课程编号：A071001 北京理工大学2006-2007学年第一学期2006级《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1 设,1arctan 122−−−=x x x xy 求.y ′2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx ∫++ 3 求极限.)(tan lim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分)(202322∫−=a x a dx I 其中 .0>a 5求微分方程.142+=′−′′x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分） 1设当0→x 时，c bx ax e x −−−2是比2x 高阶的无穷小，求的值. c b a ,,2 求函数)4()(3−=x x x f 在),(+∞−∞内的单调区间和极值. 3 设)(x y y =是由方程组所确定的隐函数，求⎪⎩⎪⎨⎧=−−+=∫01cos sin )cos(20t t y du t u x t .dx dy 4 求证： .sin sin 42222∫∫ππππ=dx x xdx x x .三、（8分）设)(x y 在内单调递增且可导，又知对任意的),0[+∞,0>x 曲线)(x y y =，上点到点)1,0(),(y x 之间的弧长为,12−=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式.四、(8分)过点作曲线)0,1(−x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1）求图形D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++∫∫−x t x dt e dt t 有并且只有一个实根. 六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

大学一年级上学期-微积分试题-期末试卷A卷解答

………….5 分
再证： e−x2 ≤ 1
(x > 0)
1+ x2
亦即证：1 + x2 ≤ e x2
设 g(x) = ex2 − 1 − x2 ，则 g(0) = 0
………….7 分
g′(x) = 2xex2 − 2x = 2x(e x2 − 1) ≥ 0
………….8 分
当x > 0时, g(x)单增，⇒ x > 0时，有g(x) > 0.
−
y 2 )2 dy
−
π
1 y 4dy = 8 π
0
0
3
y x = y2
(1,1)
x = 2 − y2
(2,0) x
七、（8 分）解： f ′(x) = (x − 1)(x − 2)2 ，
令 f ′(x) = 0, 得驻点：x1 = 1, x2 = 2 ，列表
x
(−∞,1)
1
(1,2)
2
f ′(x)
0
t
………….7 分
∫ ∫ ∫ ∫ x
t+2
x+2
t+2
= [2 f (t) − f (s)ds]dt + [2 f (t) − f (s)ds]dt
0
t
x
t
∫ ∫ ∫ = F (x) + 2 x+2 f (t)dt −
x+2 t+2
[ f (s)ds]dt
x
x
t
∫ ∫ ∫ 2
x+2 2
= F (x) + 2 f (t)dt − [ f (s)ds]dt （由（1）的结论）
………….2 分

大一微积分期末试卷及答案[1]

微积分期末试卷一、选择题（6×２）1~6 DDBDBD二、填空题1 In 1x + ;2 322y x x =-;3 2log ,(0,1),1xy R x =-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim 2(1)(3)3477,6x x x x m xm x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（）3、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有1~5 FFFFT四、计算题1用洛必达法则求极限2120lim x x x e →解：原式=222111330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞-2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：33223333232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴= 3 240lim(cos )x x x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰6arctan x xdx ⎰求五、证明题。

1、证明方程310x x +-=有且仅有一正实根。

证明：设3()1f x x x =+-2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（）六、应用题1、描绘下列函数的图形3.4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222---50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示：2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值由上表可知f(x)的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，）且f(x)的极小值为f(-1)=f(1)=1。

大一经济数学微积分微积分原理A(上)答案

2. 可导则 Δy = f ′ ( a ) Δx + αΔx,
α → 0 ,当 Δx → 0 . [3 分], 故可微. [2 分]
可微则 Δy = cΔx + o ( Δx ) , [2 分],两边除以 Δx ,再取极限知可导. [3 分] 3. 记 f ( x ) = 原方程的左边,则 f ′ ( x ) = 3x 2 + 1 , 故 f 严格增, [4 分],又因
[3+5+2 分] 7. (1) ds = x′2 + y′2 dt =
2a (1 + t 2 ) t dt , [4 分],
∫ ds = 4a
c
t
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ t ⎜ 1 + t 2 ⎟ − 4a c ⎜1 + c 2 ⎟ , c > 0 . 故 s ( t ) = 4a t ⎜1 + t 2 ⎟ .[3 分] ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠
南京航空航天大学
第 1 页（共 3 页）
二○○ 六～二○○七课程名称：《
学年
第 1
学期
微积分原理 A》参考答案及评分标准(A 卷)
试卷类型：试卷代号：
命题教师：古志鸣
1.（1）该函数取对数得
ln (1 + x ) − x ，[3 分],再用罗比达法则得后者的极限 x2
1 − 1 − ，[3 分],故原极限为 e 2 . [2 分] 2
5.
dy = t ln tdt ,
dx = −t 2 ln tdt ,[3 分], 故
dy 1 d2y −1 = 4 = − ,[3 分], .[4 分] 2 dx t dx t ln t

大学一年级上学期-微积分试题-微积分A第一学期期末试题答案

⎟⎞ ⎠
=
e
2.
dy = 1 , d x 2(1 + t)2
d2 y = − 1 . d x 2 2(1 + t)2
当 t = 1时，
dy = 1, dx 8
d2 y = − 1 . d x2 32
曲率半径
R
=
[1 +
y′2 ]3 / 2 y′′
=
[1 +
1 ]3 / 2 64
=
65
65
1
16
t =1
y
=
C1
cos
2x
+
C2
sin
2x
+
1 4
x
+
1 5
e
x
4. 解法一，取 x 为积分变量
2/5
V = ∫012π (3 − x) ⋅ 2x 2 d x = 4π [∫013 x 2 d x − ∫01 x 3 d x]
= 3π
解法二，取 y 为积分变量
∫ V = 2π(3 − y / 2)2 d y − π ⋅ 22 ⋅ 2 . 0 = 3π .
k
= lim x →∞
f
(x) x
=
⎡ lxi→m∞ ⎢⎣
(1
x +
2
x)2
+
3⎤
x
⎥ ⎦
= 1.
ห้องสมุดไป่ตู้
b
=
lim[ f
32
3. 对应齐次方程的特征方程： r 2 + 4 = 0. 于是，特征根为： r1,2 = ±2 i .
对应齐次方程的通解为：Y (x) = C1 cos 2x + C2 sin 2x

微积分A第一学期期末试卷A及答案

《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1）求图形D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

大学一年级上学期-微积分试卷-06-07微积分试卷答案

Key to terminal exam of 06-07’first term calculus (I) (A)(Remark The alternative by knowledge in the following term is not allocated grade to assert teaching schedule and outline)1. Solution 112sin lim 11lim 12sinlim 2212312231-----=--→→→x x x x x x x x x x ππ … 2’ =112sin lim 11lim 11lim21121--+-+++→→→x x x x x x x x x π…… (2’+3’) 7’ =2cos 223ππ-=0 …… (1’+2’) 10’ 2. Solution ⎰⎰⎰-+--=-+-x x x x x x x x x x x x x d )1(arcsin d )1(1d )1(arcsin 1… 1’ =⎰⎰-+x x x x x d )(1arcsin 2d 12 …… (1’+3’) 5’ =x x x arcsin d arcsin 22⎰+ …… (2’+2’) 9’=C x x ++2arcsin 2 …… 10’3. Solution Differentiating two sides for the equation, it follows thatxy y x x y y y xy x y y sin )d d (d cos d d 2+-+=. … 4’Solving the resulting equation for x d and y d respectively, we attain thaty xyy xy xy xy y x d sin 1sin cos 2d 2-+-=. … 5’ and x xyxy xy y xy y y d sin cos 2sin 1d 2+--=. … 6’ Since )sin cos 2sin 1()(2'+--=''xyxy xy y xy y x y … 7’ =22)sin cos 2()sin cos 2)(cos )(sin 2(xy xy xy y xy xy xy y xy y x y y xy y y +-+-'++'-22)sin cos 2(cos )(sin )(22)(sin 1(xy xy xy y xy x y x xy xy y y x y xy y +-+'++'+'--, 10’and, 1)0(,1)0(='=y y , …… 11’ we have that 3)0(-=''y . …… 12’4. Solution The derivative of )(x f is that ⎩⎨⎧>≤+='2,22,2)(x Bx x B Ax x f . … 5’ Since )(x f 'is continuous, furthermore )(x f is continuous, it follows thatB B A 44=+and A B B A -=++4224. …… (2’+2’) 9’ Solving the above equations simultaneously, we can conclude that78,76-=-=B A . …… (2’+1’) 12’ 5. Solution The equation of the tangent to the graph x y =at the point (1,1) is that 2121+=x y . ……… 3’ Another two intersection points for cures are )4,7(and )4,16( . … (1’+1’) 5’ Hence, the area of the region found is ⎰--=412d ))12((S y y y =9. … 8’And, the volume of solid generated is given in the following by the shell method⎰--=412d ))12((2V y y y y π=π2171. …… 12’ 6. Solution Revenue function 215.010)(n n pn n R -==. …… 1’ Cost function n n C 330)(+=. …… 2’ Profit function )()()(n C n R n L -= =30715.02-+-n n . …… 3’ Setting 30715.0)(2-+-=x x x L , …… 4’ we have that 73.0)(+-='x x L and 3.0)(-=''x L . …… 6’Let 0)(='x L , thus, 3123=x and 03.0)3123(<-=''L . …… 8’ Since 3123=x is unique extreme point, 30020051)3123(=L is absolute maximum. 10’ And, 30019551)23(=L and 30018051)24(=L . …… 11’ Hence, )32(L is absolute maximum, i.e. the production is 23 each week to attain the largest profit. …… 12’7. Solution (1). Domain: ),1()1,1()1,()(+∞---∞=f D . …… 1’(2). Symmetry: the graph is symmetric with respect to the line 0=x . …… 2’(3). Periodicity: )(x f is not periodic. …… 3’(4). Asymptote: 1=y is a horizontal asymptote and two vertical asymptotes are lines 1-=x and 1=x . …… 6’ (5). First and second derivatives: 22)1(2--='x x y , and, 322)1(22-+=''x x y . …… 10’ (6). The behavior of the graph:)(x f is increasing on interval )1,(--∞and )0,1(-, 11’ and )(x f is decreasing on interval )1,(--∞and )0,1(-. …… 12’ )(x f is concave upon on )1,(--∞and ),1(+∞, …… 13’ and )(x f is concave upon on )1,1(-. …… 14’ The graph of )(x f has a local minimum at point )0,0(and not inflection point. …… 15’(7). Sketch graph: …… 16’8. Solution Setting auxiliary function )()(x f x x F R =, …… 2’ Thus, by the known conditions we have that )(x F is continuous on ],0[a and differentiable on ),0(a , and 0)()0(==a F F . …… 5’Hence, there exists one number at least ),0(a c ∈for which 0)(='c F by Rolle theorem. That is, 0)()(='+c f c c Rf . …… 8’9. Solution False. …… 2’For ⎩⎨⎧-∈--∈=]1,0(,1]0,1[,1)(x x x f , 1)(2=x f is differentiable on )1,1(-. …… 4’ But, if there is function )(x F such that )()(x f x F =', for all x in )1,1(-, then we have 11lim )(lim )0()(lim 000===-+++→→→x x x c f x F x F and 1)(lim )0()(lim 00-==---→→c f x F x F x x . 7’ This result contrasts to what )(x F is differentiable at 0=x . …… 8’------------------------- 赠予------------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒。

大一微积分期末试卷及答案[1]

微积分期末试卷一、选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（　）。

Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线1~6二、填空题1d12lim2,,xd xax ba b→++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。

这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-31In1x+ ; 2 322y x x=-; 3 2log,(0,1),1xy Rx=-; 4(0,0)5解：原式=11(1)()1mlim lim2(1)(3)3477,6x xx x m x mx x xm b a→→-+++===-++∴=∴=-=三、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、sinlimxxx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、f"(x）=0一定为f(x)的拐点（）4、若f(X)在0x处取得极值，则必有f(x)在0x处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A'0B'(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f<===-令（），则必有1~5四、计算题1用洛必达法则求极限212lim xxx e→解：原式=222111330002(2)limlim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求解：333'(''''f x f x f x =+⋅=+=⋅++⋅⋅+⋅=⋅+++∴=3 24lim(cos )x x x →求极限 4I cos 224I cos lim 022000002lim 1(sin )4cos tan cos lim cos lim lim lim lim 22224n xx x n x xx x x x x x e e x In x x x x In x x x x xx e →→→→→→→-=---=====-∴=解：原式=原式4 (3y x =-求 511I 31123221531111'3312122511'(3312(1)2(2)n y In x In x In x y y x x x y x x x x =-+---=⋅+⋅-⋅---⎤=-+-⎥---⎦解：5 3tan xdx ⎰2222tan tan sec 1)tan sec tan tan sin tan tan cos 1tan tan cos cos 1tan cos 2x xdx x xdx x xdx xdx x xd x dxx xd x d xxx In x c=----++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：原式=（ = = = =6arctan x xdx ⎰求22222222211arctan ()(arctan arctan )22111(arctan )2111arctan (1)211arctan 22xd x x x x d x x x x dx x x x dx x x xx c=-+--+⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦+-+⎰⎰⎰⎰解：原式= = = =五、证明题。

大一期末考试微积分试题带答案汇编

第一学期期末考试试卷一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.）1. =→xx x 1sin lim 0___0_____.2. 设1)1(lim )(2+-=∞→nx xn x f n ，则)(x f 的间断点是___x=0_____.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x df x dx -== _______.4. ()ax x '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且一定等于零B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在. 3. 极限=-→xx x xe 21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在.4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221xy x=-渐近线的条数为________. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求20sin 1lim sin x x e x x →--. 四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim(cos )x x x +→. 五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax b x -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .dy=arctanxdx七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.第一学期期末考试参考答案与评分标准一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x x a x -⋅+ 5、3x = 二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）220000sin 1sin 1lim lim 2sin cos lim 62sin 1lim 822x x x x x x x x e x e x x x e xxe x →→→→----=-=+==L L L L L L L L L 分分分四、（8×1=8）()200ln cos 1lim1sin cos lim 112lim (cos )268x x x x x x x xx e ee +→++→→-⋅--===L L L L L L L L L 分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。

大学一年级上学期-微积分试题-微A9(1)期末试题(A)

课程编号：MTH17005 北京理工大学2009-2010学年第一学期2009级《微积分A 》期末试卷(A)一、填空（每小题4分，共28分）1. 极限=−−→x e e xx x sin lim 0 .设)1(x f e y =，f 为可微函数，则=dy .3. 不定积分∫=+dx xx tan 1cos 12 ; 定积分=∫ππ−dx x x 22sin .4. 设函数)(x y y =由方程确定，则012=−∫+−x y t dt e x =dx dy ,==0x dx dy.5. 微分方程的通解为 x xy y 24=+′.6. 曲线在⎩⎨⎧=++=−+010)1(y te t t x y 0=t 处的切线方程为 , 法线方程为 .=+∫∞+221dx x x 7. 广义积分.二、（10分）已知⎩⎨⎧≥<+=0,arctan 0,1)(x x x x x f ，求（1）的表达式；)11()()(1≤≤−=∫−x dt t f x F x （2）研究)(x F 在上的连续性和可导性.]1,1[−三、（9分）已知,sin 4lim )1(lim 0202x x dt t t b ax x x xx x −+=−−++∫→+∞→求常数的值. b a ,四、（9分）在曲线x y ln =上求曲率最大的点的坐标及曲率的最大值.五、（10分）设星形线的方程为, )20(sin cos 33π≤≤⎩⎨⎧==t t y t x 求星形线的弧长; 求星形线所围的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.六、(10分) 设函数)(x y y =y 满足微分方程：，且其图形在点处的切线与曲线在该点的切线重合，求函数x e y y y 223=+′−′′)1,0(12+−=x x )(x y y =.七、（9分）已知)(x f 是连续函数，求证：∫∫−+=aa dx x a f x f dx x f 020)]2()([)( 并计算.cos 1sin 02∫π+dx x x x八、（9分）一容器内盛有10升盐水，其中含盐100克，今用3升/分的匀速将净水由A管注入容器，并以2升/分的匀速让盐水由B 管流出，求30分钟末容器内溶液的含盐量（假定溶液在任一时刻都是均匀的）.九、(6 分)设)(x f 在上连续，在内有二阶导数，且]2,0[)2,0(,01))(2ln(lim1=−+→x x f x ，证明：至少存在一点∫10(f =)0(x f )dx )2,0(∈ξ，使得0)()(=ξ′′+ξ′f f .------------------------- 赠予 ------------------------【幸遇•书屋】你来，或者不来我都在这里，等你、盼你等你婉转而至盼你邂逅而遇你想，或者不想我都在这里，忆你、惜你忆你来时莞尔惜你别时依依你忘，或者不忘我都在这里，念你、羡你念你袅娜身姿羡你悠然书气人生若只如初见任你方便时来随你心性而去却为何，有人为一眼而愁肠百转为一见而不远千里晨起凭栏眺但见云卷云舒风月乍起春寒已淡忘如今秋凉甚好几度眼迷离感谢喧嚣把你高高卷起砸向这一处静逸惊翻了我的万卷和其中的一字一句幸遇只因这一次被你拥抱过，览了被你默诵过，懂了被你翻开又合起被你动了奶酪和心思不舍你的过往和过往的你记挂你的现今和现今的你遐想你的将来和将来的你难了难了相思可以这一世。

大一上学期微积分期末试卷

微积分期末试卷1兀、.设f(x)=2cos x,g(x)=(—)sin x在区间(0,)内()。

22A f(x)是增函数，g(x)是减函数B f(x)是减函数，g(x)是增函数C二者都是增函数口二者都是减函数2、T0时，e2x-cos x与sin x相比是()A高阶无穷小B低阶无穷小C等价无穷小D同阶但不等价无价小3、x0是函数y(1x的()A连续点B可去间断点C跳跃间断点D无穷型间断点4、下列数列有极限并且极限为1的选项为()I n冗AX=(-1)n-—BX=sinn-n n n2IICX=(a>1)D X=cos—n n nn a5、若f"(x)在X处取得最大值，则必有()0A'(X)=oB f X)<o00C f X)=0且''(X)<0D''(X)不存在或'(X)=000006、曲线y=xe(x2)()A仅有水平渐近线B仅有铅直渐近线C既有铅直又有水平渐近线D既有铅直渐近线1~6DDBDBD一、填空题1、()=-^―d xx1相切。

这条直线方程为：x 2、求过点(2,0)的一条直线，使它与曲线y=2x3、函数y=，^的反函数及其定义域与值域分别是：2x+14、y=&X的拐点为：5、若lim-:ax>"=2,则a/的值分别为：x-1X2+x2y—x3-2x2；3y=log--,(0,1),R；4(0,0)21-x(x-1)(x+m)x+m1+mlim=lim==25解：原式=彳-1(x-1)(x+3)x-1x+34m=7b=—7,a=6二、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小()2、limsi吧在区间(-如+8)是连续函数()x f 0x3、f”(x )一定为的拐点()04、若f(X)在x 处取得极值，则必有f(x)在x 处连续不可导()005、设函数f (x)在[0,1]上二阶可导且f '(x )<0令A =f '(0),B =f '(1),C =f (1)-f (0),则必有A>B>C()1~5FFFFT三、计算题-11用洛必达法则求极限lim x 2e x2x f 0ex2e x 2(-2x -3)1.一解：原式=lim 丁=lim =lim e x 2=+8x f 0x f 0-2x -3x f 0x 22若f (x )=(x 3+10)4,求"(0)解：f '(x )=4(x 3+10)3•3x 2=12x 2(x 3+10)3f "(x )=24x -(x 3+10)3+12x 2・3•(x 3+10)2•3x 2=24x •(x 3+10)3+108x 4(x 3+10)2・•.f "(x )=03求极限lim(cos x )x 2x f044,解：原式lim e ；2历cos x=e x —0x 21n cos xx —04In cos xlim_In cos x =lim x ―0x2x —0x 21 (-sin x ) =lim cos x x —0x=lim x —0一tan x =lim x =-2x —o x 24求y =(3x -1)；：士1的导数x -2 解：I 〃y = —In3x —1+—Inx —1一y ，1=5y 3 331—十2 113x 一12x 一122Inx-2J tan 3xdx5解：原式J tan 2x tan xdx =J(sec 2x -1)tan xdx=J sec 2x tan xdx -Jtan xdxsin x tan xd tan x - cos xJJ1tan xd tan x - dxd cos xltan 2x +In cos x +c 2求J x arctan xdxy'=(3x -1)x 一213x -12(x -1)2(x 一2)5 3BM +解：原式1J arctan xd (x 2)=1(x 2arctan x -J x 2d arctan x )221,J x 2+1-1,、 (x 2arctan x -dx ) 21+x 21 x 2arctan x -J(1-)dx 1+x 21+x 2x arctan x --+c四、证明题。

大一《微积分》考试试题及答案

《微积分（1）》考试一．单项选择题1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（） A ． ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B ．()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C ．()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2．下列极限不存在的有（）A ．201sin lim xx x → B ．12lim 2+-+∞→x x x xC ． xx e1lim → D ．()xx xx +-∞→632213lim3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （）A ．x e 22--B ．x e 2-C ．x e 24-D ． x xe 22--4．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（）间断点。

A ．跳跃间断点；B ．无穷间断点；C ．可去间断点；D ．振荡间断点5．设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（） A ．当()()0<b f a f 时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0=ξf ； B ．对任何()b a ,∈ξ，有()()[]0lim =-→ξξf x f x ；C ．当()()b f a f =时，至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0='ξf ；D ．至少存在一点()b a ,∈ξ，使()()()()a b f a f b f -'=-ξ； 6．已知()x f 的导数在a x =处连续，若()1lim-=-'→ax x f ax ，则下列结论成立的有（）A ．a x =是()x f 的极小值点；B ．a x =是()x f 的极大值点；C ．()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点；D ．a x =不是()x f 的极值点，()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点；二．填空： 1．设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin，f 可微，则()='x y 2．若32325-+-=x x x y ，则()=6y3．过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线，则切线方程为4．曲线()2142-+=x x y 的水平渐近线方程为铅垂渐近线方程为 5．设x x f +='1)(ln ，则()='x f ()=x f三．计算题：（1）321lim 221-+-→x x x x （2）32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x（3）xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ （4）()[]221ln x y -= 求dy（5）053=-+x y exy求=x dxdy四．试确定a ，b ，使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷一、选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（　）。

Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（　）Ａ高阶无穷小Ｂ低阶无穷小Ｃ等价无穷小Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　）Ａ连续点Ｂ可去间断点Ｃ跳跃间断点Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（）Ａ仅有水平渐近线Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线Ｄ既有铅直渐近线二、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。

这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3三、判断题1、无穷多个无穷小的和是无穷小（）2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（）5、设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →2 若34()(10),''(0)f x x f =+求3 24lim(cos )xx x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰五、证明题。

大学一年级上学期-微积分试题-第一学期期末试卷A答案