高中数学课时跟踪训练八导数的四则运算法则北师大版选修2_2
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2同步训练：(8)导数的四则运算法则 Word版含答案
（8）导数的四则运算法则1、设()3232f x ax x =++,若()'14f -=,则a 的值等于( ) A. 193 B. 163 C. 133 D. 1032、设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =,则a =( )A.0B.1C.2D.3 3曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A. B. C. D.4、函数()y f x =的导函数()'y f x =的图象如图所示,则()f x 的解析式可能是( )A. ()xf x a = B. ()log a f x x =C. ()xf x xe = D. ()ln f x x x =5、曲线sin y x x =在点,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭处的切线与x 轴、直线x π=所围成的三角形的面积为( )A. 22πB. 2πC. 22πD. ()2122π+ 6、下列结论:(1)若cos y x =,则sin y x '=-.(2)若y=,则'y = ()3若()21f x x =,则()2'327f =-. 其中正确的命题的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.3个7、下列求导运算正确的是( ) A. 211'1x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ B. ()21log ln 2x x '= C. ()3'3x x =D. ()2cos 2sin x x x x '=-8、()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数,若()(),f x g x 满足()()f x g x '=',则()f x 与()g x 满足( )A. ()()f x g x =B. ()()0f x g x ==C. ()()f x g x -为常数函数D. ()()f x g x +为常数函数9、在函数38y x x =-的图像上,其切线的倾斜角小于4π的点中,坐标为整数的点的个数为( ) A.3 B.2 C.1 D.010、已知函数32cos ?y x x =+,则y '等于( ) A. 2236?sin x x x -+- B. 22312sin 3x x x -+- C. 22316sin 3x x x -+- D. 22316sin 3x x x -++ 11、曲线21x y x =-在点()1,1处的切线为l ,则l 上的点到圆22430x y x +++=上的点的最近距离是__________.12、若曲线ln y x x =在点P 处的切线平行于直线210x y -+=,则点P 的坐标是__________13、曲线sin3y x =在点,03P π⎛⎫ ⎪⎝⎭处切线的斜率为__________. 14、若()()3log 1f x x =-,则()'2f =__________.15、求下列函数的导数:1. ()()53533443y x x x x =-+;2. y =+3. y =答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：先求出导函数,再代值算出a .()2'36f x ax x =+,∴ ()'1364f a -=-=, ∴ 103a = 故选D.2答案及解析：答案：D 解析：由题意得1'1y a x =-+,所以曲线ln(1)y ax x =-+在点(0,0)处的切线斜率为1a -,所以12a -=,则3a =,故选D.3答案及解析：答案： B解析： 令,则,在点处的切线斜率为,所以切线方程为,即,与坐标轴的交点为,所以三角形的面积为,故选B.4答案及解析：答案：D解析： 若()x f x a =,则()()''ln ,x x f x a a a x R ==∈,不满足题意,排除A ;若()log a f x x =,则()()1'0,1,ln 0x a f x a a x =>≠≠,不满足题意,排除B ; 若()x f x xe =,则()',x x f x e xe x R =+∈,不满足题意,排除C ,故选D .5答案及解析：答案：A解析：曲线sin y x x =在点处的切线方程为y x =-,所围成的三角形的面积为22π.6答案及解析：答案：C解析：(1)若y cosx =,则sin y x '=-正确, (2)若(),012y x x ==->则1113'1122222y x x =---=--=-=,故(2)错误. ()3若()221x x f x -==,则()3213'222f x x x x --=-=-=-,则()2'327f =-正确. 故正确的命题的个数为2个.7答案及解析：答案：B解析：根据对数函数的求导法则可知B 正确.8答案及解析：答案：C解析：由()()f x g x '=',得()()0f x g x ''-=,即()()0f x g x '-=⎡⎤⎣⎦,所以()()f x g x C -= (C 为常数).9答案及解析：答案：D解析： 设切线的斜率为k ,函数38y x x =-的导数为2'38y x =-,∵切线的倾斜角小于4π,∴斜率k 满足01k ≤<,即20381x ≤-<,解得x ≤x ≤<x 无整数解,故无坐标为整数的点,故应选D.10答案及解析：答案：C 解析：∵1332cos y x x x =++,∴2231'6sin 3y x x x -=+-,应注意的是()cos 'sin x x =-,不要忘记负号,故应选C.11答案及解析：答案：1解析：()1122'111x x x y ---=-=-,∴切线方程为()11y x -=--即20x y +-=,圆心()2,0-到直线的距离d =圆的半径1r =,∴所求最近距离为1.12答案及解析：答案：(,)e e解析：由题意知, 'ln 1y x =+,直线斜率为2,由导数的几何意义,令ln 12x +=,得x e =,所以ln y e e e ==,所以(),P e e .13答案及解析：答案：-3解析：设3u x =,则sin y u =,()'cos ?3'3cos 3cos3x y u x u x ∴=== ∴所求斜率3?cos 33cos 33k ππ⎛⎫==⨯=- ⎪⎝⎭.14答案及解析： 答案：1ln 3解析：∵()()()()()3111ln 31'log 1'1ln 3'x f x x x x =-=-=⎡⎤⎣⎦-- ()l 3'21n f ∴=15答案及解析：答案：1. ()()()()53535353'34'433443'y x x x x x x x x =-++-+ ()()()()4253534215124334209x x x x x x x x =-++-+ 977597756048453660802735x x x x x x x x =-+-+-+- 9751205672x x x =--.2. ∵((221111y x x =+--()214211x x x +==---. ∴4'2'1y x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭()()()()224'141'411x x x x --⋅-==--.3. ∵234y x x x ==++, ∴()23423''234y x x x x x x =++=++.解析：。
高中数学 2.4.14.2 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法法则课时作业 北师大版选修22
§4导数的四则运算法则4．1 导数的加法与减法法则4．2 导数的乘法与除法法则课时目标1.理解导数的四则运算法则.2.能利用导数公式和四则运算法则求解函数的导数．导数的运算法则：(1)[f (x )＋g (x )]′＝______________； (2)[f (x )－g (x )]′＝________________； (3)[f (x )·g (x )]′＝____________________； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝____________________________.一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝12x，则y ′＝－14xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝32．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.12e 2 B.94e 2 C ．2e 2 D ．e 2 3．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x·ln 3＋13C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x·ln 34．曲线y ＝x e x＋1在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．2x －y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0 D ．x －2y ＋2＝05．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b 等于( ) A ．18 B ．－18 C ．8 D ．－86．正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π B ．[0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4 二、填空题7．已知f (x )＝x a，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a ＝______.8．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.9．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位：s ，s 的单位：m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为________ m/s.三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝10x；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x ；(3)y ＝2xcos x －3x log 2 009x ； (4)y ＝x ·tan x .11.求过点(1，－1)与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程．能力提升12．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]13．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算． 答 案知识梳理(1)f ′(x )＋g ′(x ) (2)f ′(x )－g ′(x ) (3)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(4)f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0) 作业设计1．B [y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝(12x －12)′＝－14x －32＝－14x x.] 2．A [∵y ′＝(e x)′＝e x，∴k ＝y ′|x ＝2＝e 2.∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为 y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2， 当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.]3．C [(ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误．]4．A [y ′＝e x ＋x e x，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.]5．A [∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13.∴a ＋b ＝5＋13＝18.]6．A [∵y ′＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]．∴直线l 的斜率的范围是[－1,1]，∴直线l 倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π.]7．4解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4. 8．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2，∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x . 9.12516解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′(4)＝8－316＝12516(m/s)．10．解 (1)y ′＝(10x )′＝10xln 10.(2)y ′＝x ＋cos x ′x －cos x －x ＋cos x x －cos x ′x －cos x2＝1－sin x x －cos x －x ＋cos x 1＋sin x x －cos x2＝－2cos x ＋x sin x x －cos x 2.(3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x－3[x ′log 2 009 x ＋(log 2 009x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x－3[log 2 009 x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1xlog 2 009 e x ]＝2xln 2·cos x －2xsin x －3log 2 009 x －3log 2 009 e.(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x sin x cos x ′＝x sin x ′cos x －x sin x cos x ′cos x2＝sin x ＋x cos x cos x ＋x sin 2x cos x2＝sin x cos x ＋x cos 2x ＋sin 2x cos x2＝12sin 2x ＋x cos x 2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x. 11．解 设P (x 0，y 0)为切点，则切线斜率为k ＝3x 20－2.故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)．①∵(x 0，y 0)在曲线上，∴y 0＝x 30－2x 0.② 又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和(1，－1)代入①式得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1或x 0＝－12.故所求的切线方程为y ＋1＝x －1或y ＋1＝－54(x －1)．即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．D [由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.]13．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12.切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。
高中数学选修2-2 北师大版 导数的加法与减法法则 同步训练(含答案)
§4导数的四则运算法则4.1导数的加法与减法法则双基达标(限时20分钟)1．下列式子中正确的为()．①(2x＋1)′＝2；②(ln 2)′＝12；③[f(x0)]′＝f′(x0)；④[f(x0)]′＝0.A．①③B．②③C．①④D．②④解析②中ln 2是常数，有(ln 2)′＝0，③中f(x0)表示f(x)在x0处的函数值，也有[f(x0)]′＝0.①，④是正确的，选C.答案 C2．曲线y＝x3－2x＋1在点(1，0)处的切线方程为()．A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2解析∵点(1，0)在曲线y＝x3－2x＋1上．且y′＝3x2－2，∴过点(1，0)的切线斜率k＝y′|x＝1＝3×12－2＝1，由点斜式得切线方程为y－0＝1·(x－1)，即y＝x－1.答案 A3．曲线f(x)＝13x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为()．A.π6 B.3π4C.π4 D.π3解析f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为3π4.答案 B4．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x，则点P0的坐标是________．解析 设切点坐标为(x 0，y 0)， ∴3x 20＋1＝4，∴x 0＝1或－1. 当x 0＝1时，y 0＝0， 当x 0＝－1时，y 0＝－4， ∴P 0(1,0)或P 0(－1，－4)． 答案 (1,0)或(－1，－4)5．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是s ，s 的单位是m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为____ m/s.解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴v ＝s ′|t ＝4＝8－316＝71316 (m/s)． 答案 71316 6．求y ＝13x－3x 3－7x 2＋1的导数．解 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′－(3x 3)′－(7x 2)′＋(1)′综合提高 (限时25分钟)7．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )等于( )．A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3x ·ln 3＋13 C ．3x 2＋3x ·ln 3D ．x 3＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 答案 C8．已知f (x )＝sin x －cos x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3′为( )．A ．0B.3－12C.3＋12D ．1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3是常数，故选A.答案 A9．若f (x )＝x ＋1x 在点x 0处的导数为0，则x 0的值为________．答案 ±110．曲线y ＝e x ＋x 2＋2x ＋1在(0,1)处的切线方程为________．解析 y ′＝e x ＋2x ＋2，斜率k ＝e 0＋2×0＋2＝3. 所以切线方程为y －1＝3(x －0)即3x －y ＋1＝0. 答案 3x －y ＋1＝011．求过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程．解 设P (x 0，y 0)为切点， 则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)， 即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)，又知切线过点(1，－1)代入上述方程，得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，解得x 0＝1或x 0＝－12，故所求的切线方程为 y ＋1＝x －1，或y －78＝－54⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.即x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0.12．(创新拓展)已知曲线S ：y ＝x 3－6x 2－x ＋6.(1)求S 上斜率最小的切线方程；(2)证明：S 关于切线斜率最小时的切点对称． (1)解 y ′＝3x 2－12x －1＝3(x －2)2－13. 当x ＝2时，y ′最小，最小值为－13.切点为(2，－12)，切线方程为y ＋12＝－13(x －2)， 即13x ＋y －14＝0.(2)证明 设(x 0，y 0)∈S ，(x ，y )是(x 0，y 0)关于(2，－12)的对称点，则。
高二数学北师大版选修2-2同步精练2.4导数的四则运算法则 Word版含答案
.曲线＝上点处切线的倾斜角为()．．°．°．°．°．设()＝，则′()＝()．．．．．．已知()＝＋＋－，若′(－)＝，则的值为()．．．．．．已知物体的运动方程是＝－＋(表示时间，单位：秒，表示位移)，则瞬时速度为的时刻是()．．秒，秒或秒．秒，秒或秒．秒，秒或秒．秒，秒或秒．若函数()＝，则此函数图像在点(，())处的切线的倾斜角为()．．直角．．钝角．锐角．曲线＝上点处的切线与轴、直线＝π所围成的三角形的面积为()．．．π ．π ．(＋π)．设()＝－，且′()＝，，则＝，＝.．已知，为抛物线＝上两点，点，的横坐标分别为，－，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的纵坐标为．．已知′()是一次函数，′()－(－)()＝，求()．．已知两条曲线()＝，()＝，是否存在这两条曲线的一个公共点，使这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．参考答案.答案：解析：∵＝，∴′＝＝＋，∴曲线＝在点处切线的斜率为＝(－)＋×(－)＝，倾斜角为°. .答案：解析：∵()＝，∴′()＝，∴′()＝..答案：解析：∵()＝＋＋－，∴′()＝＋＋，∴′(－)＝－＋＝，∴＝..答案：解析：∵＝－＋，∴瞬时速度＝′＝－＋＝(－＋)．令＝可得＝或..答案：解析：′()＝( )′＝·＋·＝( ＋)．将＝代入得′()＝( ＋)＝＜.故在点(，())处的切线的倾斜角为钝角．.答案：解析：′＝( )′＝′＋( )′＝＋ .当＝时，＝＝－.∴在点处的切线方程为－＝，即＝－.∴＝－与轴、直线＝π所围成的三角形的面积为..答案：－解析：∵()＝－，。
高中数学2.4导数的四则运算法则同步精练北师大版选修2-2
高中数学 2.4 导数的四则运算法则同步精练北师大版选修2-21.曲线y＝上点处切线的倾斜角为( )．A．30°B．45°C．90°D．60°2．设f(x)＝，则f′(1)＝( )．A．B．C．D．3．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值为( )．A．B．C．D．4．已知物体的运动方程是s＝t4－4t3＋16t2(t表示时间，单位：秒，s表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )．A．0秒，2秒或4秒B．0秒，2秒或16秒C．2秒，8秒或16秒D．0秒，4秒或8秒5．若函数f(x)＝e x sin x，则此函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )．A．直角B．0 C．钝角D．锐角6．曲线y＝x sin x上点处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为( )．A．B．π2C．2π2D．(2＋π）27．设f(x)＝ax2－b sin x，且f′(0)＝1，，则a＝__________，b＝__________.8．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．9．已知f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1，求f(x)．10．已知两条曲线f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．参考答案1.答案：B 解析：∵y＝，∴y′＝＝x2＋x，∴曲线y＝在点处切线的斜率为k＝(－1)2＋1×(－1)＝0，倾斜角为90°．2.答案：B 解析：∵f(x)＝，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝.3.答案：B 解析：∵f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，∴f′(x)＝3ax2＋18x＋6，∴f′(－1)＝3a－18＋6＝4，∴a＝.4.答案：D 解析：∵s＝－4t3＋16t2，∴瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)．令v＝0可得t＝0,4或8.5.答案： B 解析：f′(x)＝(e x sin x)′＝e x·sin x＋e x·cos x＝e x(sin x＋cos x)．将x＝4代入得f′(4)＝e4(sin 4＋cos 4)＝e4sin＜0.故在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为钝角．6.答案：A 解析：y′＝(x sin x)′＝x′sin x＋x(sin x)′＝sin x＋x cos x.当x＝时，k＝sin＝－1.∴在点处的切线方程为y－＝，即y＝－x. ∴y＝－x与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为.7.答案：0 －1 解析：∵f(x)＝ax2－b sin x，∴f′(x)＝2ax－b cos x，由条件知解得8.－4 解析：由已知可设P(4，y1)，Q(－2，y2)，∵点P，Q在抛物线x2＝2y上，∴∴∴P(4,8)，Q(－2,2)．又∵抛物线可化为y＝，∴y′＝x，∴过点P的切线斜率为y′＝4.∴过点P的切线为：y－8＝4(x－4)，即y＝4x－8.又∵过点Q的切线斜率为y′＝－2，∴过点Q的切线为y－2＝－2(x＋2)，即y＝－2x－2.联立得x＝1，y＝－4，∴点A的纵坐标为－ 4.9.答案：解：∵f′(x)是一次函数，∴f(x)是二次函数，可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∴f′(x)＝2ax＋b.把f(x)和f′(x)代入已知方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1，整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0.∴解得∴f(x)＝2x2＋2x＋1.10.解：由于f(x)＝sin x，g(x)＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)．∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝f′(x0)＝cos x0，k2＝g′(x0)＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。
最新北师大版数学【选修2-2】《导数的四则运算》导学案(含答案)
最新北师大版数学精品教学资料第4课时导数的四则运算1.掌握导数的四则运算法则.2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.你能利用导数的定义推导f(x)·g(x)的导数吗?若能,请写出推导过程.问题1:基本初等函数的导数公式表:①若f(x)=c,则f'(x)= ;②若f(x)=xα(α∈Q),则f'(x)= ;③若f(x)=sin x,则f'(x)= ;④若f(x)=cos x,则f'(x)= ;⑤若f(x)=a x,则f'(x)= (a>0);⑥若f(x)=e x,则f'(x)= ;⑦若f(x)=log a x,则f'(x)= (a>0,且a≠1);⑧若f(x)=ln x,则f'(x)= .问题2:导数运算法则①[f(x)±g(x)]'= ;②[f(x)·g(x)]'= ;③[]'= (g(x)≠0) .④从导数运算法则②可以得出[cf(x)]'=c'f(x)+c[f(x)]'= ,也就是说,常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数,即[cf(x)]'= .问题3:运用导数的求导法则,可求出多项式f(x)=a0+a1x+…+a r x r+…+a n x n的导数.f'(x)= .问题4:导数法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)的拓展有哪些?(1)可以推广到有限个函数的和(或差)的情形:若y=f1(x)±f2(x)±…±f n(x),则y'= .(2)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bg'(x)(a,b为常数).(3)[f(x)±c]'=f'(x).1.函数f(x)=sin x+x的导数是().A.f'(x)=cos x+1B.f'(x)=cos x-1C.f'(x)=-cos x+1D.f'(x)=-cos x+x2.设f(x)=x ln x,若f'(x0)=2,则x0=().A.e2B.eC.D.ln 23.函数f(x)=x3+4x+5的图像在x=1处的切线在x轴上的截距为.4.求下列函数的导数.(1)y=2x3-3x2+5x-4;(2)y=cos x(sin x+1)+ln 5;(3)y=.求函数的导数求下列函数的导数:(1)f(x)=a2+2ax-x2;(2)f(x)=.求曲线的切线方程已知直线l1为曲线y=x2+x-2在点(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程;(2)求由直线l1,l2和x轴所围成的三角形的面积.导数公式的综合应用已知直线x-2y-4=0与抛物线y2=x相交于A,B两点,O为坐标原点,试在直线AB左侧的抛物线上求一点P,使△ABP的面积最大.求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=1+sin cos ;(3)y=-2x.(1)求曲线y=x cos x在x=处的切线方程;(2)求曲线y=在点(1,1)处的切线方程.点P是曲线y=e x上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.1.函数y=的导数是().A. B.C. D.2.若函数f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)等于().A.-1B.-2C.2D.03.设曲线f(x)=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= .4.已知曲线C1:y=x2与曲线C2:y=-(x-2)2,直线l与C1和C2都相切,求直线l的方程.(2013年·江西卷)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,且f(e x)=x+e x,则f'(1)= .考题变式(我来改编):答案第4课时导数的四则运算知识体系梳理问题1:①0②αxα-1③cos x ④-sin x ⑤a x ln a ⑥e x⑦⑧问题2:①f'(x)±g'(x)②f'(x)g(x)+f(x)g'(x)③④cf'(x)cf'(x)问题3:a1+2a2x1+…+ra r x r-1+…+na n x n-1问题4:f'1(x)±f'2(x)±…±f'n(x)基础学习交流1.A f'(x)=(sin x)'+x'=cos x+1.2.B∵f'(x)=x'ln x+x(ln x)'=ln x+1,∴f'(x0)=ln x0+1=2,解得x0=e.3.-∵f'(x)=3x2+4,∴切线的斜率k=f'(1)=7,∵切点为(1,10),∴切线方程为y-10=7(x-1),即y=7x+3.令y=0,得x=-,∴切线在x轴上的截距为-.4.解:(1)y'=6x2-6x+5.(2)y'=(cos x)'(sin x+1)+cos x(sin x+1)'+(ln 5)'=-sin x(sin x+1)+cos x cos x=cos 2x-sin x.(3)y'==.重点难点探究探究一:【解析】(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=2a+2x.(2)f'(x)=()'===x sin x+x2cos x.[问题]求函数的导数是对谁求导?导数的运算法则正确吗?[结论](1)求导是对自变量的求导,要分清表达式中的自变量.本题的自变量是x,a是常量.(2)不正确,商的求导法则是:分母的平方作分母,分子是差的形式,等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.于是,正确解答为:(1)f'(x)=(a2+2ax-x2)'=-2x+2a.(2)f'(x)=()'==.【小结】1.利用导数公式求函数的导数时,一定要将函数化为八个基本函数中的某一个,再套用公式求导数.2.求函数的导数时应注意以下几点:(1)要遵循先化简函数解析式,再求导的原则.(2)化简时注意化简的等价性,避免不必要的运算失误.(3)求导时,既要重视求导法则,更要注意求导法则对导数的制约作用.探究二:【解析】(1)∵y'=2x+1,∴y'|x=1=3.∴直线l1的方程为y=3(x-1)=3x-3.设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点P(x0,+x0-2),则直线l2的方程为y-(+x0-2)=(2x0+1)(x-x0).∵l1⊥l2,∴3(2x0+1)=-1,x0=-.∴直线l2的方程为y=-x-.(2)解方程组得又直线l1,l2与x轴的交点分别为(1,0),(-,0).∴所求三角形面积为S=×|-|×(1+)=.【小结】解决曲线的切线问题要灵活利用切点的性质:①切点在切线上;②切点在曲线上;③切点处的导数为此点处的切线的斜率.探究三:【解析】∵|AB|为定值,∴三角形面积最大,只需P到AB的距离最大,∴点P是与AB平行且与抛物线相切的切线的切点.设点P(x0,y0),由题意知点P在x轴上方的图像上,即P在y=上,∴y'=.又∵k AB=,∴=,得x0=1.由y0=,得y0=1,∴P(1,1).【小结】利用基本初等函数的求导公式结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题,解题的关键是正确确定所求切线的位置,进而求出切点坐标.另外也可利用函数的方法求切点的坐标,运用配方法求出最值.思维拓展应用应用一:(1)(法一)y'=[(x+1)(x+2)(x+3)]'=[(x+1)(x+2)]'(x+3)+[(x+1)(x+2)](x+3)'=[(x+1)'(x+2)+(x+1)(x+2)'](x+3)+(x+1)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x 2+12x+11.(法二)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y'=3x2+12x+11.(2)y=1+sin x,y'=cos x.(3)y'=()'-(2x)'=-2x ln 2=-2x ln 2=-2x ln 2.应用二:(1)y'=x'cos x+x·(cos x)'=cos x-x sin x,当x=时,y'=-,切点为(,0),∴切线方程为y-0=-(x-),即2πx+4y-π2=0.(2)y'==,当x=1时,y'==0,即曲线在点(1,1)处的切线的斜率k=0.因此曲线y=在(1,1)处的切线方程为y=1.应用三:根据题意设平行于直线y=x的直线与曲线y=e x相切于点P0(x0,y0),该切点即为与y=x距离最近的点,如图.则在点P0(x0,y0)处的切线斜率为1,即y'=1.∵y'=(e x)'=e x,∴=1,得x0=0,代入y=e x,得y0=1,即P0(0,1).∴d==.基础智能检测1.B y'==.2.B∵f'(x)=4ax3+2bx,∴f'(-x)=-f'(x),∴f'(-1)=-f'(1)=-2.3.-2∵f'(x)==-,∴f'(3)=-,由题意知-×(-a)=-1,解得a=-2.4.解:设l与C1相切于点P(x1,),与C2相切于点Q(x2,-(x2-2)2).对于C1:y'=2x,则与C1相切于点P的切线方程为y-=2x1(x-x1),即y=2x1x-.①对于C2:y'=-2(x-2),则与C2相切于点Q的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即y=-2(x2-2)x+-4.②因为两切线重合,所以由①②,得解得或所以直线l的方程为y=0或y=4x-4.全新视角拓展2设t=e x,x=ln t,∴f(t)=ln t+t,∴f(x)=ln x+x,f'(x)=+1,f'(1)=2.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的四则运算法则 第一课时参考教案
§4 导数的四则运算法则第一课时 导数的加法与减法法则一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数和、差导数公式的应用教学难点：函数和、差导数公式的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xx y +-=。
导数的四则运算法则 同步指导讲义Word版含解析(北师大版选修2-2)练习
第二章 §4 4.14.21．已知f (x )＝x 3＋3x ，则f ′(x )等于( ) A ．3x 2＋3x B ．3x 2＋3x ln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．x 3x ln 3解析：f (x )＝x 3＋3x ，则f ′(x )＝3x 2＋3x ln 3. 答案： C2．函数y ＝ln xx 的导数是( )A ．y ′＝1x 2＋1x 2ln xB ．y ′＝－1x 2＋1x 2ln xC ．y ′＝－1x 2ln x －1x 2D ．y ′＝－1x 2ln x ＋1x2解析：y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x ′＝(ln x )′·x －ln x ·x ′x 2＝1x ·x －ln x x 2＝－1x 2ln x ＋1x 2. 答案：D3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值为( ) A ．193B ．103C ．133D ．163解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4. ∴a ＝103.答案：B4．函数y ＝x sin x －cos x 的导数为____________．解析：y ′＝(x sin x )′－(cos x )′＝sin x ＋x cos x ＋sin x ＝2sin x ＋x cos x . 答案：y ′＝2sin x ＋x cos x 5．求y ＝x 2sin x的导数．解：∵y ＝x 2sin x，∴y ′＝(x 2)′sin x －x 2(sin x )′(sin x )2＝2x sin x －x 2cos xsin 2x .第三章 §1 1.1 第2课时1．若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)在R 上为增函数，则( ) A ．b 2－4ac >0 B ．b >0，c <0 C ．b ＝0，c >0D ．b 2－3ac ≤0解析：由f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ≥0， 知Δ＝4b 2－12ac ≤0，故b 2－3ac ≤0. 答案：D2．若函数h (x )＝2x －k x ＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，2] 解析：根据已知条件得h ′(x )＝2＋k x 2＝2x 2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k ≥－2x 2在(1，＋∞)上恒成立，所以k ∈[－2，＋∞)．答案：A3．若函数f (x )＝x 3－3ax 2－2x ＋5在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥16B ．a >16C ．a ＝16D ．0<a <16解析：∵f ′(x )＝3x 2－6ax －2，f (x )在(0,1)内单调递减，∴不等式3x 2－6ax －2<0在(0,1)内恒成立．∴a >12x －13x在(0,1)内恒成立．∵函数g (x )＝12x －13x 在(0,1)内是增函数，且g (x )<g (1)＝12－13＝16，∴a ≥16.答案：A4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，则a 的取值范围是________． 解析：∵f ′(x )＝3x 2＋a ，当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0恒成立，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥0. 即a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)5．设函数f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，a >0. (1)求f (x )的单调区间；(2)求所有实数a ，使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立． 解：(1)∵f (x )＝a 2ln x －x 2＋ax ，∴x >0， f ′(x )＝a 2x －2x ＋a ＝－(x －a )(2x ＋a )x .∵x >0，a >0，∴f (x )的递增区间为(0，a )，递减区间为(a ，＋∞)． (2)由题意，得f (1)＝a －1≥e －1，∴a ≥e. 由(1)知f (x )在[1，e]内单调递增．要使e －1≤f (x )≤e 2对x ∈[1，e]恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a －1≥e －1，f (e )＝a 2－e 2＋a e ≤e 2，解得a ＝e.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的四则运算法则 第一课时参考教案
§4 导数的四则运算法则第一课时 导数的加法与减法法则一、教学目标：1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
二、教学重点：函数和、差导数公式的应用教学难点：函数和、差导数公式的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：导函数的概念和导数公式表。
1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/2. 导数的几何意义：是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为)(()(00/0x x x f x f y -=-3. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，4. 求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆（2）求平均变化率xx y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim5. 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x （二）、探析新课两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差），即)()(])()([)()(])()([x g x f x g x f x g x f x g x f '-'='-'+'='+证明：令)()()(x v x u x f y ±==，)]()([)]()([x v x u x x v x x u y ±-∆+±∆+=∆v u x v x x v x u x x u ∆±∆=-∆+±-∆+=)]()([)]()([，∴x v x u x y ∆∆±∆∆=∆∆，x v x u x v x u x y x x x x ∆∆±∆∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆∆±∆∆=∆∆→∆→∆→∆→∆0000lim lim lim lim 即 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 例1：求下列函数的导数：（1）x x y 22+=； （2）x x y ln -=； （3）)1)(1(2-+=x x y ； （4）221x xx y +-=。
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——教学资料参考参考范本——高中数学课时跟踪训练八导数的四则运算法则北师大版选修2
_2
______年______月______日
____________________部门
1．若f′(x)＝f(x)，且f(x)≠0，则f(x)＝( )
A．ax B．logax
C．ex D．e－x
2．甲、乙两个物体沿直线运动的方程分别是s1＝t3－2t2＋t和s2＝3t2－t－1，则在t＝2时两个物体的瞬时速度的关系是( ) A．甲大B．乙大
C．相等D．无法比较
3．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
4．函数y＝的导数是( )
A. B.x2＋6x
x＋3
C. D.3x2＋6x
5．函数y＝x的导数为________．
6．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________.
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(＋1)；
(2)y＝xtan x；
(3)y＝x－sin cos ；
(4)y＝3ln x＋ax(a>0，且a≠1)．
8．设f(x)＝a·ex＋bln x，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，求a，b 的值．
答案
1．选C
2．选B v1＝s′1＝3t2－4t＋1，v2＝s′2＝6t－1，所以在t＝2时两个物体的瞬时速度分别是5和11，故乙的瞬时速度大．3．选B 设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2.
4．选A y′＝′＝
＝＝.
5．解析：y＝x＝x3＋1＋，y′＝3x2－.
答案：3x2－2
x3
6．解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，
则f′(e)＝2f′(e)＋⇒f′(e)＝－.
答案：－1
e
7．解：(1)∵y＝·－＋－1＝－＋，
∴y ′＝′＝－＋－
12x
x
＝－.
(2)y′＝(xtan x)′＝′ ＝cos2x
＝＝.
(3)y′＝′＝′ ＝1－cos x.
(4)y′＝(3ln x ＋ax)′＝＋axln a. 8．解：∵f(x)＝a·ex＋bln x ， ∴f ′(x)＝a ·ex ＋，
根据题意应有⎩
⎨
⎧
a e －b＝1e
，
解得⎩⎨
⎧
a＝1，b＝0，
所以a ，b 的值分别是1,0.。