福建莆田第七中学高二上学期第一次月考数学试题版含答案

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福建省莆田第九中学高二上学期第一次月考数学试题含答案

22.（本题满分 12 分）
已知圆 M : x2 2ax y2 0 ，直线 l : 8x 6 y 3 0 被圆 M 截得的弦长为 3 ，且圆心 M 在直线 l 的下方. （1）求实数 a 的值；
（2）过点 P2,4 作圆 M 的切线 m ，求切线 m 的方程；（3）已知点 A 5,0 ，O 为坐标原点，Q 为圆 M 上任意一点，在 x 轴上是否存在异于 A 点
25
16.
6
三、解答题（共 70 分）
17.【答案】（Ⅰ）证明：如图，过点 E 作 EH BC 于 H ，连接 HD ，∴ EH 3 ． ∵平面 ABCD ⊥平面 BCE ， EH 平面 BCE ，平面 ABCD 平面 BCE BC ， ∴ EH ⊥平面 ABCD ，
又∵ FD ⊥平面 ABCD ， FD 3 ，
∴∠ACB=90°，即 AC⊥BC，又 PA∩AC=A ∴BC⊥平面 PAC，又 AE⊂平面 PAC ∴BC⊥AE
7
∵PA=AC，E 是 PC 的中点 ∴AE⊥PC，又 BC∩PC=C ∴AE⊥平面 PBC，又 PB⊂平面 PBC ∴AE⊥PB．
2
（2）VC-ABE=
12
（3）过 A 作 AF⊥PB 交 PB 于 F，连接 EF 又由（1）得 AE⊥PB，AE∩AF=A ∴PB⊥平面 AEF，又 EF⊂平面 AEF ∴PB⊥EF，又 AF⊥PB ∴∠AFE 是二面角 A-PB-C 的平面角）
因为 kCP
32 2 1
1，所以 l 的斜率 k
1 ，
8
所以 l 的方程为 y 3 x 2 ，即 x y 5 0 ，
因为 CP 2 12 3 22 2 ， r = 2 ，所以 AB 2 r2 CP 2 2 2 ．

福建省莆田市第七中学2017-2018学年高二上学期第一次

2017-18学年高二上第一次月考数学试卷（2，4，5班）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知数列{}n a 的通项公式为43n a n =-，则5a 的值是（）A ．9B ．13C ．17D ．21 2. 已知数列,12,...,7,5,3+n ……则27是它的（）.A. 第11项 B ．第12项 C. 第13项 D ．第14项3．等差数列-1，2，5，8，……的一个通项式为（） A ．43-=n a n B ．43+-=n a n C ．)43()1(--=n a n n D ．)43()1(1--=-n a n n4．已知数列}{n a 为等差数列，公差0≠d ，若098765=++++a a a a a ，则（） A ．05=a B ．06=a C ．07=a D ．09=a 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,2a 、4a 是方程0)2)(1(=-+x x 的两个根，则5S 等于( )A.25 B.5 C. 25- D.-5 6．等差数列{}n a 中，若311=a ，33=n a ，452=+a a ，则n 为（）．A ．48B ．49C ．50D ．51 7．设{}n a 为等差数列，公差0≠d ， p 、q 为非零常数,则下列数列中，成等差数列的个数为（）．①{}2n a ；②{}n pa ；③{}n pa q +；④{}n na ．A ．1B ．2C ．3D ．4 8、在等比数列{}n a 中，8,63232==+a a a a 则=q （）A ．2B ．21 C ．2或21 D ．－2或21- 9、设错误！未找到引用源。

为等差数列，公差d =错误！未找到引用源。

1，错误！未找到引用源。

为其前n 项和，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

( )A ．9B ．10C ．11D ．12 10、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S , 31=+m S ,,则=m ( )A.3B.4C.5D.611、数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1()n n n b a a n N +=-∈*，若32b =-,1012b =,则8a =（）A.0 B.3 C.8 D.1112、数列{}n a 满足6(3)377n n a n n a a n ---≤⎧=⎨>⎩ ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（）A ．9,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．（1，3）D ．（2，3）二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知等比数列{}n a 中，32a =-，那么234a a a ⋅⋅的值为14、已知数列}{n a 满足:,11=a )2(1≥+=-n n a a n n . }{n a 的第6项为 .15、若数列}{n a 的前n 项和为n n S n +=22,则}{n a 的通项公式是n a = . 16、等比数列{}n a 中，已知32421=+a a ，3643=+a a ，则=+65a a 。

莆田一中高二上学期第一次月考)答案

莆田一中高二上学期第一次月考物理试卷一、单项选择题（本题共9小题，每小题4分，共36分。

每小题只有一个选项符合题意。

）1． B 2. C 3. D 4. B 5. C 6. C 7.B 8.B 9.D二、不定项选择题（本题共6小题，每小题4分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，每小题有一个或多个选项正确。

全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。

）10. BD 11.BCD 12.AD 13.AB 14.BD 15.ACD三、计算题（本题共4小题，共40分，请写出必要的文字说明，方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，必须明确写出数值和单位。

）16. (13分)解：(1)小球p 由C 点运动到O 点时，由动能定理得：mgd ＋qU CO ＝12mv 2－0所以U CO ＝mv 2－2mgd 2q. (2)小球p 经过O 点时的受力如图所示．由库仑定律得：F 1＝F 2＝k Qq2d 2 它们的合力为：F ＝F 1cos45°＋F 2cos45°＝2kQq2d 2 所以小球p 在O 点处的加速度a ＝F ＋mg m ＝2kQq 2d 2m＋g ，方向竖直向下． (3)由电场特点可知，在C 、D 间电场的分布是对称的，即小球p 由C 点运动到O 点与由O 点运动到D 点的过程中合外力做的功是相等的，由动能定理知：W 合＝12mv 2D －0＝2×12mv 2 解得v D ＝2v .17.（14分）解：(2)由L ＝v 01t ，得t ＝4×10-2s ．（1分） 2d ＝21at 2 得a ＝2.5 m/s 2，（1分）有mg －qE=ma ，（2分）E=dcQ 得Q ＝6×10-6 C ．（2分）所以qQ n ＝600个．（1分） 18. (13分)解：(1)0～2 s 内小物块的加速度a 1 ＝＝2 m/s 2位移s 1 ＝ a 1 t ＝4 m2 s 末小物块的速度为v 2 ＝a 1 t 1 ＝4 m/s2 s ～4 s 内小物块的加速度a 2 ＝＝－2 m/s 2位移s 2 ＝s 1 ＝4 m4 s 末的速度为v 4 ＝0因此小物块做周期为4 s 的变速运动，第22 s 末的速度为v 22 ＝4 m/s ，第23 s 末的速度为v 23 ＝v 22 ＋a 2 t ＝2 m/s(t ＝1 s)所求位移为s ＝ s 1 ＋ t ＝47 m.(2)23秒内，设电场力对小物块所做的功为W ，由动能定理有：W －μmgs ＝ mv解得W ＝9.8 J.。

2024-2025学年福建省莆田市高二上学期第一次月考数学检测试卷(含解析)

2024-2025学年福建省莆田市高二上学期第一次月考数学检测试卷一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.的倾斜角的大小是（）10y -+=A.B.C.D.30o 60o1201502. 空间向量在上的投影向量为（）()1,0,1a = ()0,1,1b =A. B.C. D.11,0,22⎛⎫⎪⎝⎭110,,22⎛⎫⎪⎝⎭⎛ ⎝ 3. 若直线y ＝－ax －与直线y ＝3x －2垂直，则a 的值为 ( )1212A. －3 B. 3C. －D. 23234.已知，，三点不共线，是平面外任意一点，若由A B C O ABC 确定的一点与，，三点共面，则的值为（()1253OP OA OB OC λλ=++∈RP A B C λ）A. B. C. D. 2151335255. 如图，是的重心，，则（）G ABC V ,,OA a OB bOC c === OG =A. B.122333a b c ++ 221333a b c ++C.D.222333a b c ++ 111333a b c ++6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面l αβ--120︒A B 、l BD AC 、内，，，且，则的长等于（）αβ、AC l ⊥BD l ⊥2ABAC BD ===CDA. B. C. 4D. 27. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD 是边长为2的正方形，1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是，AB 的中点，设点P 是线段DN上的动点，则MP 的最小值为13D D =11B C （）D.8. 已知，的最小值等于（）70a b +-=50c d +-=B. 6C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.）9. 已知、、，则（）()0,1A ()2,0B -()1,1C -A. 直线的方程为AB 220x y -+=B. 点到直线A BC C. 为等腰直角三角形ABC V D. 的面积为ABC V 510. 已知集合直线，其中是正常数，，下列结{S =sin cos |1l x y m n θθ+=,m n [)0,2}θπ∈论中正确的是（）A. 当时，中直线的斜率为π4θ=S n m-B. 中所有直线均经过同一个定点S C. 当时，中的两条平行线间的距离的最小值为m n ≥S 2n D. 中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面S 11. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为()000,,P x y z (),,m a b c=，经过点且方向向量的直()()()0000a x xb y yc z z -+-+-=()000,,P x y z (),,n A B C =线方程为．()0000x x y y z z ABC A B C ---==≠阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为α240x y z -++=β，直线的方程为，直线的方程为，则2420x y z --+=l 23x y z =-=m 1132x yz-==-（）A. 平面与垂直αβB. 平面与αl C. 直线与平面平行m βD. 直线与是异面直线m l 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12. 已知向量，，，若，则实数()1,1,a x =()1,2,1b =()1,1,1c =()22c a b +⋅=-______.x =13. 已知直线ax +by -2=0，且3a -4b =1，则该直线必过定点_____.14. 如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角ABCD ABEF 的大小是，，分别是，上的动点，且，则的D AB F --60︒M N AC BF AM BN =MN 最小值是________．四､解答题（本大题共5小题，共77分）15. 已知直线：，直线.1l (1)310a x y ++-=2l210x ay ++=（1）若，求实数a 的值；12l l ⊥（2）直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为，求直线的斜率.1l 191l 16. 已知直线过点且在轴上的截距相等l ()1,2x y ，（1）求直线的一般方程；l （2）若直线在轴上的截距不为0，点在直线上，求的最小值．l x y ，(,)P a b l 33a b+17.如图1，平面图形由直角梯形和拼接而成，其中PABCD ABCD Rt PAD △，，，，与相交1AB BC ==BC AD ∥AB AD ⊥PA PD ==PA PD ⊥PC AD 于点，现沿着将其折成四棱锥（如图2）．O AD P ABCD -（1）当侧面底面时，求点到平面的距离；PAD ⊥ABCD B PCD（2）在（1）的条件下，线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为PD Q Q AC D --若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．PQ QD 18. 《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作，在其中一篇《商功》中有如下描述：“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．如图，在堑堵中，111ABC A B C -，，，，为棱的中点，为棱的中点．AB BC ⊥1BC =AB =12CC =P AC Q 11A C （1）证明：平面平面；1//PBC 1AB Q （2）求二面角的正切值；11Q AB A --（3）求与平面所成角的正弦值．1CC 1PBC 19. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中(0k k >1)k≠xOy 的点，则满足的轨迹记为圆.)(),EF PF =P E （1）求圆的方程；E （2）若直线为，证明：无论为何值，直线与圆恒有两个交点；l 10ax y a -+-=a l E （3）若点，当在上运动时，求()()()2,2,2,6,4,2A B C ---P E 的最大值和最小值。

福建省莆田市第七中学最新高二物理上学期第一次月考试题含解析

福建省莆田市第七中学2019—2０2０学年高二物理上学期第一次月考试题(含解析）一、选择题（１-８单选题,9-12多选题)1.下列说法错误的是A.　静电感应不是创造电荷，只是电荷从物体的一个部分转移到了另一个部分B．摩擦起电时，失去电子的物体带正电，得到电子的物体带负电Ｃ。

　电场线是从正电荷出发,终止于负电荷的曲线D．电场线是电场中实际存在的线【答案】Ｄ【解析】摩擦起电和感应起电的本质都是电荷的转移，AB正确；电场线是从正电荷出发,终止于负电荷，是假想出来的曲线，并不实际存在，C正确，Ｄ错误，本题选错误的，故选D.2。

如图所示电场中，Ａ、Ｂ两点场强相同的是　( ）A。

ﻩＢ。

C。

ﻩD.【答案】C【解析】场强为矢量，既有大小又有方向，Ａ中大小相等方向不同，A错;B中方向相同大小不同,B错；Ｄ中大小和方向都不同，Ｄ错；3.有两个完全相同的金属小球Ａ和B（它们的大小可忽略不计），分别带电荷量q和5ｑ，当它们在真空中相距一定距离时,A球对B球的斥力为F，若用绝缘手柄移动这两个小球,使它们相接触后分别再放回原处，则它们间的作用力变为（）A ．ＦﻩB 。

1．8F ﻩC 。

3FD ． 6F 【答案】Ｂ【解析】【详解】AB 之间表现为斥力，所以带同种电荷,相接触之前由库仑定律可得:25kq q F r ⋅= 相接触后平均分配电荷，即各带电荷量３q,根据库仑定律可知：222339 1.8k q q kq F F r r⋅===' 故B 对；ACD 错；【点睛】A 球对B 球的斥力为F,说明A 和B 带同种电荷，根据库仑定律可以得到Ｆ与电量Q 、距离r 的关系;A 、B 球相互接触后放回原处，距离ｒ不变,电荷平分，再根据库仑定律得到相互作用的库仑力大小与Ｑ、r 的关系，用比例法求解。

４。

电荷量为Q 的点电荷置于真空中，电荷量为q 的试探电荷放在与Ｑ相距为r 的Ｐ点，受到的静电力为Ｆ，则Q 在P 点产生的电场强度等于( ）Ａ。

高二上学期数学学科第一次月考答案

2020-2021上期高二年级第一次月考数学答案一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分） 13． 1∶1∶ 3 14． 191015． 4或5 16． ①②③ 三、解答题17.解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，由正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<C <π，得cos C ＝±64. 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得b 2±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或26，∴⎩⎨⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎨⎧b ＝26，c ＝4.18.19．（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．（2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．20.解方法一设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d 2a，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1. 故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设四个数依次为2a q －a ，aq ，a ，aq(q≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2aq －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13.当a ＝8，q ＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝3，q ＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1. 21.22．解设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 2＝16，S 4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2×12d ＝16，4a 1＋4×32d ＝24，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝16，2a 1＋3d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2.所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．前n 项和S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋10n (n ∈N *)．由a n ≥0，解得n ≤512，则①当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n . ②当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n ) ＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n ，n ≤5且n ∈N *，n 2－10n ＋50，n ≥6且n ∈N *.。

福建莆田第七中学高二上学期第一次月考物理试题版含答案

莆田七中2020—2021学年上学期月考高二物理试卷2020.9 班级姓名座号电子和质子的带电量e=1.6×10－10 C，静电力常量k=9×1091．M和N是两个不带电的物体，它们互相摩擦后M带正电1.6×10－10 C，下列判断正确的有A．在摩擦前M和N的内部没有任何电荷B．摩擦的过程中电子从N转移到MC．N在摩擦后一定带负电1.6×10－10 CD．M在摩擦过程中失去1.6×10－10个电子2．在真空中有甲、乙两个点电荷，其相互作用力为F.要使它们之间的相互作用力为2F，下列方法可行的是A．使甲、乙电荷量都变为原来的2倍B．使甲、乙电荷量都变为原来的1 2C．使甲、乙之间距离变为原来的2倍D．使甲、乙之间距离变为原来的12倍．3．图1－6－1是点电荷Q周围的电场线，以下判断正确的是A．Q是正电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度B．Q是正电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度C．Q是负电荷，A点的电场强度大于B点的电场强度D．Q是负电荷，A点的电场强度小于B点的电场强度4．在电场中某点放一试探电荷，其电荷量为q，试探电荷受到的电场力为F，则该点的电场强度为E＝F/q，那么，下列说法正确的是A．若移去试探电荷q，该点的电场强度就变为零图1－6－1B．若在该点放一个电荷量为2q的试探电荷，该点的电场强度就变为E/2 C．若在该点放一个电荷量为－2q的试探电荷，该点的电场强度大小仍为E，但方向变为原来相反的方向D．若在该点放一个电荷量为－q2的试探电荷，该点的电场强度大小仍为E，方向也还与原来的方向相同5.如图所示，各电场中A、B两点电场强度相同的是6．如图1－3－2所示，空间有一电场，电场中有两个点a和b.下列表述正确的是A．该电场是匀强电场B．a点的电场强度比b点的大C．b点的电场强度比a点的大D．正电荷在a、b两点受力方向相同7.如图所示是表示在一个电场中a、b、c、d四点分别引入检验电荷时测得的检验电荷的电荷量跟它所受电场力的函数关系图象，那么下列叙述正确的是A．这个电场是匀强电场B．a、b、c、d四点的场强大小关系是Ed ＞Ea＞Eb＞EcC．a、b、c、d四点的场强大小关系是Ea＞Eb ＞Ed＞EeD．无法确定这四个点的场强大小关系8. 电场线分布如图2－2－1所示，电场中a、b两点的电场强度大小分别为Ea和E b ，电势分别为φa和φb，则A．Ea＞Eb，φa＞φbB．Ea＞Eb，φa＜φbC．Ea＜Eb，φa＞φbD．Ea＜Eb，φa＜φb图1－3－29．在静电场中，将一电子从A 点移到B 点，电场力做了正功，则A ．电场强度的方向一定是由A 点指向B 点 B ．电场强度的方向一定是由B 点指向A 点C ．电子在A 点的电势能一定比在B 点大D ．电子在B 点的电势能一定比在A 点大10.如图2－2－6所示，在点电荷的电场中的一条电场线上依次有A 、B 、C 三点，先把＋q 的试探电荷依次放在三点上，然后把－q 的试探电荷依次放在三点上，关于电荷的电势能的说法正确的是( )A ．放上＋q 时，Ep A ＞EpB ＞EpC B ．放上＋q 时，Ep A ＜Ep B ＜Ep C C ．放上－q 时，Ep A ＞Ep B ＞Ep CD ．无论放＋q ，还是－q ，Ep A ＜Ep B ＜Ep C11. 如图2-1-6所示，绝缘光滑半圆环轨道放在竖直向下的匀强电场中，场强为E 。

福建省莆田第八中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题及答案

莆田八中2023—2024学年上学期高三数学第一次月考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合22{|230},{|log 0}M x x x N x x =−−<=<，则M N ⋃等于（）A ．()1,0−B ．()1,3−C ．()0,1D ．()0,32．不等式0542>−+x x 的解集为（） A ．()5,1− B ．()1,5−C ．()()+∞−∞−,51 ，D ．()()+∞−∞−,15 ， 3．若0>>>b a c ，则（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断：①EC ⊥平面AFN ②//CN 平面AFB③//BM DE ④平面//BDE 平面NCF其中正确判断的序号是（）A ．① ③B ．② ③C ．① ② ④D ．② ③ ④8．某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果一张石凳的体积是30.18m ，那么原正方体石料的体积是（） A ．30.196mB ．30.216mC ．30.225mD ．30.234m二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．在空间中，已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列选项中正确的是（）A ．若//a b ，且，a α⊥，b β⊥，则//αβB ．若αβ⊥，且//a α，//b β，则a b ⊥r rC ．若a 与b 相交，且a α⊥，b β⊥，则α与β相交D ．若a b ⊥r r ，且//a α，b β//，则αβ⊥．设a 、b 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（．a b b a a ⋅= ．22a a =()222b a a b ⋅=⋅ ()2222a a a b b b −=−⋅+ 11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱CC 1上的动点(点P 不与点C ，C 1重合)，过点P 作平面α分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP ＝CM ＝CN ，则下列说法正确的是（）12．设0x >，0y >，则下列结论正确的是（）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年高二上学期第一次月考数学(普通班)试题含答案

2021年高二上学期第一次月考数学（普通班）试题含答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.由，确定的等差数列，当时，序号等于（）Ａ．99 Ｂ．100 Ｃ．96 Ｄ．1012.中，若，则的面积为（）A．B． C.1 D.3.在数列中，=1，，则的值为（）A．99 B．49 C．102 D． 1014.已知，函数的最小值是（）A．5 B．4 C．8 D．65.如果a>0>b且a＋b>0，那么以下不等式正确的个数是()①1a<1b；②1a>1a＋b；③a3>ab2；④a2b<b3.A．1 B．2C．3 D．46.不等式的解集为，那么（）A. B. C. D.7.设满足约束条件,则的最大值为（）A．5 B. 3 C.7 D.-88.在△ABC中，如果，那么cosC等于（）9.一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（）A、63B、108C、75D、8310.我们用以下程序框图来描述求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的过程．令a＝2，b＝4，若c∈(0，1)，则输出区间的形式为()．A．M B．N C．P D．11．若{a n}等差，首项a1＞0，a4＋a5＞0，n项和S n＞0成立的最大自然数n为()．A．4 B．5 C．9 D．812．设集合A＝{(x,y)｜x，y，1―x―y是三角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是()．A B C D开始是二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.在中，，那么A ＝_____________; 14. 不等式的解集是．15.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝3n 2＋2n －1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.16.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________. 三、解答题 (本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)若不等式的解集是， (1) 求的值； (2) 求不等式的解集.18(12分)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．19 (12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程的两个根，且。

福建省莆田市高二上学期数学第一次月考试卷

福建省莆田市高二上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高二上·河北开学考) 数列，的一个通项公式是（）A .B .C .D .2. （2分）数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为（）A . an=2n﹣1B .C .D .3. （2分） (2016高二上·会宁期中) 若在△ABC中，满足 = ，则三角形的形状是（）A . 等腰或直角三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 不能判定4. （2分） (2018高一下·通辽期末) 记等差数列的前项和为若则（）C . 36D . 485. （2分）已知等比数列中,各项都是正数，且成等差数列，则=（）A .B .C .D .6. （2分）(2018高一下·通辽期末) 的内角的对边分别是且满足，则是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形7. （2分）已知在等差数列中，，则前10项和（）A . 100B . 210C . 380D . 4008. （2分） (2017高一下·东丰期末) 在等差数列中，已知，则（）C . 88D . 969. （2分）等差数列{an}中，a5=2，则S9等于（）A . 2B . 9C . 18D . 2010. （2分） (2018高一下·大同期末) 等差数列的前项和为，且 ,则（）A .B .C .D . 411. （2分）已知正项等比数列满足。

若存在两项使得，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a1=-11，a5+a6=-4，Sn取得最小值时n 的值为（）A . 6B . 7C . 8D . 9二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·会宁期中) 已知数列满足，且，则 ________.14. （1分）(2017·衡阳模拟) 如图，在△ABC中，sin = ，AB=2，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD= ，则cosC=________．15. （1分） (2016高二下·吉林开学考) 设{an}是公比q＞1的等比数列，若a2005和a2006是方程4x2﹣8x+3=0的两个根，则a2007+a2008=________．16. （1分）(2017·广东模拟) 在△AB C中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若（a+b﹣c）（a+b+c）=ab，c= ，当ab取得最大值时，S△ABC=________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2019高三上·上海期中) 已知以为首项的数列满足：（）.（1）当时，且，写出、；（2）若数列（，）是公差为的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时，给定常数（，），求的最小值.18. （5分） (2016高二上·延安期中) 数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an+1=2Sn（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项an；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和Tn ．19. （10分） (2016高一下·黑龙江期中) △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 bcosA=asinB．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a= ，b=2，求△ABC的面积．20. （10分） (2018高二下·黑龙江月考) 设数列的前项和为，已知 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .21. （5分） (2018高一下·黄冈期末) 已知数列｛an｝的首项（a是常数），（）.（1）求，，，并判断是否存在实数a使成等差数列.若存在，求出的通项公式；若不存在，说明理由；（2）设，（），为数列的前n项和，求22. （5分）(2018·鞍山模拟) 如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。

福建省莆田第七中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题

8．A
【解析】
【分析】
根据诱导公式与二倍角公式直接化简求值即可.
【详解】
解：因为，
所以，
故选：A.
【点睛】
本题考查诱导公式化简求值、二倍角公式化简求值，是基础题.
9．
【解析】
【分析】
首先根据题中条件求出角，然后代入即可.
【详解】
由题知，，
所以，
故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题.
（1）若，求的值；
（2）若，求 .
15．已知，，求以及的值．
16．如图，平行四边形ABCD中，，，，分别是，的中点，为上一点，且．
（1）以，为基底表示向量与；
（2）若，，与的夹角为，求．
17．已知 .
（1）若，，求α的值；
（2）若，，求f(x)的值.
【解析】
【分析】
先利用同角三角关系求得，再利用诱导公式计算即可.
【详解】
因为，所以，
.
故选：A.
【点睛】
本题考查了同角三角关系和诱导公式，属于基础题.
3．B
【解析】
【分析】
本题根据向量的加减法直接运算即可.
【详解】
解：根据向量的加减法有 .
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的加减法，是基础题.
4．A
福建省莆田第七中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在的范围内，与终边相同的角是（）

2022-2023学年福建省莆田市高二上学期12月月考数学质量检测试题(含解析)

2022-2023学年福建省莆田市高二上册12月月考数学质量检测试题一、单选题1．直线tan 6020220x y +︒+=的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】由直线方程求出斜率，根据斜率求出倾斜角.【详解】设直线倾斜角为θ，由tan 6020220x y +︒+=，可得20220x +=，所以斜率为tan k θ==由0180θ︒≤<︒，可知倾斜角θ为150︒.故选：D.2．点G 是三棱锥-P ABC 底面ABC 的重心，且满足PG PA PB PC λ=++，则λ为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】连接AG 并延长AG 交BC 于点D ，连接PD ，则D 为BC 的中点，由重心的性质可得出23AG AD = ，利用空间向量的线性运算可得出PG 关于PA 、PB 、PC的表达式，即可得出实数λ的值.【详解】连接AG 并延长AG 交BC 于点D ，连接PD ，则D 为BC 的中点，所以，()()111222PD PB BD PB BC PB PC PB PB PC =+=+=+-=+ ，因为G 为ABC 的重心，则23AG AD = ，即()23PG PA PD PA -=-，所以，()121333PG PA PD PA PB PC =+=++ ，即3PG PA PB PC =++，故3λ=.故选：C.3．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1:4，已知截去的棱锥的顶点到其底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为（）A ．12B ．9C ．6D ．3【正确答案】D【分析】根据棱锥的性质，用平行于棱锥底面的平面截该棱锥，截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，以此可得棱锥的高，进而得到棱台的高．【详解】∵截去小棱锥的高为3，设大棱锥的高为h ，根据截面与底面为相似多边形，面积比为相似比的平方，则223:1:4h =，∴6h =，∴棱台的高是633-=，即棱台的上、下底面的距离为3.故选：D ．4．已知直线:l y kx =与圆22:420C x y x +-+=交于两点M ，N ，当CMN 面积最大时，斜率k 值为（）A ．B ．C ．1±D ．3±【正确答案】D【分析】由题意1sin sin 12CMN S CM CN CMN CMN =⨯⨯∠=∠≤ ，当2CMN π∠=，面积最大，分析可得此时圆心C 到直线l 的距离1d ==，利用点到直线距离公式即得解.【详解】由题意，圆2222:420(2)2C x y x x y +-+=⇔-+=，故圆心(2,0)C ，半径r =1sin sin 12CMN S CM CN CMN CMN =⨯⨯∠=∠≤ ，故当2CMN π∠=时，CMN 的面积取得最大值，此时圆心C 到直线l的距离12d CN ==，即1d ==，即231k =，解得k =故选：D5．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P满足||||PA PB =PAB 面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【正确答案】C【分析】建立直角坐标系，利用||PA PB=P 的轨迹方程，再利用圆的性质及三角形面积公式即得.【详解】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则()()1,0,1,0A B -，设(),P x y，由||PA PB=，=两边平方并整理得()2238xy -+=，所以点P 的轨迹为以()3,0为圆心，则当P 到AB (x 轴)的距离最大时PAB面积的最大，此时PAB 的面积是122⨯⨯=故选：C.6．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线l .()2y a x =-给出以下命题：①当0a =时，若直线l 截黑色阴影区域所得两部分面积记为1S ，2S （12S S ≥），则12:3:1S S =；②当43a =-时，直线l 与黑色阴影区域有1个公共点；③当(]0,1a ∈时，直线l 与黑色阴影区域有2个公共点.其中所有正确命题的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【正确答案】A【分析】由题知根据直线l ：()2y a x =-横过点(2,0)，a 为直线的斜率根据直线和圆的位置关系作图，数形结合逐项分析判断即可得解【详解】如图1所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，所以大圆的面积为4π，小圆的面积为π．对于①，当0a =时，直线l 的方程为0y =．此时直线l 将黑色阴影区域的面积分为两部分，1π3ππ22S =+=，2πππ22S =-=，所以12:3:1S S =，故①正确．对于②，根据题意，黑色阴影区域在第一象限的边界方程为()()22110x y x +-=>当43a =-时，直线l 的方程为()423y x =--，即4380x y +-=，小圆圆心()0,1到直线l 的距离1d =，所以直线l 与该半圆弧相切，如图2所示，所以直线l 与黑色阴影区域只有一个公共点，故②正确．对于③，当(]0,1a ∈时，如图3所示，直线():2l y a x =-与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点，当1a =时，直线:2l y x =-与黑色阴影区域的边界曲线有1个公共点，故③错误．综上所述，①②正确．故选：A ．7．已知椭圆221:1497x y C +=与双曲线22222:1x y C a b-=有共同的焦点1F ，2F ，且曲线1C ，2C 在第一象限内的公共点记为P ，若1223F PF π∠=，则双曲线2C 的离心率为（）A BC D【正确答案】A【分析】根据焦点相同得到2242a b +=，12F F =1214PF PF +=，122PF PF a -=，即可得到17PF a =+，27PF a =-，再利用余弦定理列方程，解方程得到a 即可求双曲线的离心率.【详解】因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以2249742a b +=-=，12F F =，P 为两曲线的公共点，所以1214PF PF +==，122PF PF a -=，联立得17PF a =+，27PF a =-，因为1223F PF π∠=，所以()()(()()22212771cos 2772a a F PF a a ++--∠==-+-，解得a ==故选：A.8．已知椭圆22143x y +=，若椭圆上存在两点A 、B 关于直线4y x m =+对称，则m 的取值范围是（）A．⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．⎛ ⎝⎭C．2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【正确答案】A【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，AB 中点为()00,M x y ，利用点差法结合条件可得点(),3M m m --，根据(),3M m m --在椭圆内部，进而即得．【详解】椭圆22143x y +=，即：2234120x y +-=，设椭圆上两点()()1122,,,A x y B x y 关于直线4y x m =+对称，AB 中点为()00,M x y ，则221134120x y +-=，222234120x y +-=，所以()()()()12121212340x x x x y y y y +-++-=，∴0121203144x y y x x y -=-⋅=--，∴003y x =，代入直线方程4y x m =+得003x m y m =-=-，，即(),3M m m --，因为()00,x y 在椭圆内部，∴()2234312m m +⋅-<，解得m ，即m 的取值范围是⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．故选：A ．二、多选题9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率可以是（）A ．2B C ．D ．3【正确答案】BCD【分析】由过点F 且斜率为2的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则2ba≥，即可求出离心率得范围，进而得出答案.【详解】∵双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，由题意可知：2ba≥，∴2b a ≥，224b a ≥，2224c a a -≥，225c a ≥，25e ≥，e ≥故选：BCD.10．已知正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，,E F 分别为棱1,AB CC 的中点，则（）A ．直线1AD 与直线EF 共面B ．1A E AF⊥C ．直线1A E 与直线BF 的所成角为60︒D ．三棱锥1C ADF -的体积为112【正确答案】BD【分析】如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，对于A ，利用面面平行性质结合平行公理分析判断，对于B ，通过计算1A E AF ⋅进行判断，对于C ，利用向量的夹角公式求解，对于D ，利用11C ADF A C DF V V --=求解.【详解】如图，以D 为原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)D A B C ，1111(0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)D A B C ，111,,0,0,1,22E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，假设直线1AD 与直线EF 共面，因为平面11ABB A ∥平面11DCC D ，平面1AEFD 平面11ABB A AE =，平面11DCC D 平面111ABB A D F =，所以AE ∥1D F ，因为AE ∥11C D ，所以11C D ∥1D F ，矛盾，所以直线1AD 与直线EF 不共面，所以A 错误；对于B ，因为11101,1,1,22A E AF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，所以1110022A E AF ⋅=+-= ，所以1A E AF ⊥ ，所以1A E AF ⊥，所以B 正确，对于C ，设直线1A E 与直线BF 的所成角为θ，因为11101,1,0,22A E BF ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，所以1111212cos cos ,52A E BF A E BF A E BFθ⋅===≠ ，所以60θ≠︒，所以C 错误，对于D ，因为AD ⊥平面11DCC D ，所以1111111111332212C ADF A C DF C DF V V S AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯= ，所以D 正确，故选：BD.11．设圆O 22:4x y +=，直线:250l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作圆O 的两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则下列说法中正确的是（）A ．直线l 与圆O 相交B ．直线AB 恒过定点C ．当P 的坐标为()21--，时，APB ∠最大D ．当PO AB ⋅最小时，直线AB 的方程为240x y ++=【正确答案】BCD【分析】A 选项：求出圆心(0,0)O 到直线l 的距离d ，与半径r 比较大小即可判断出结论；B 选项：由题意可知点A ，B ，在以OP 为直径的圆上，求其圆的方程，与方程224x y +=相减可得公共弦所在直线方程，进而判断出结论；C 选项：当OP l ⊥时，APB ∠最大，此时直线OP 的方程为12y x =，即20x y -=，联立20250x y x y -=⎧⎨++=⎩，解得x ，y ，即可得出结论；D 选项：当||||PO AB ⋅最小时，OP l ⊥，此时(2,1)P --，2a =-，即可得出直线AB 的方程．【详解】如图所示：A 选项：圆心(0,0)O 到直线l 的距离2d r ==>=，∴直线l 与圆O 相离，因此A 选项不正确；B 选项：由题意可知点A ，B ，在以OP 为直径的圆上，设(,25)P a a --，其圆的方程为：222225252222a a a a x y ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简为22(25)0x ax y a y -+++=，与方程224x y +=相减可得：(25)4ax a y -+=，则直线AB 的方程为(2)(54)0a x y y --+=，令20x y -=，则540y +=，解得45y =-，85x =-，因此直线AB 恒过定点84,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因此B 选项正确；C 选项：当OP l ⊥时，APB ∠最大，此时直线OP 的方程为12y x =，即20x y -=，联立20250x y x y -=⎧⎨++=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，(2,1)P ∴--，因此C 选项正确；D 选项：14442PAO PO AB S PA AO PA ⋅==⨯⨯⋅= ，PA =，当OP l ⊥时，PA 最小，||||PO AB ⋅最小，，此时(2,1)P --，2a =-，直线AB 的方程为(25)4ax a y -+=，即24x y --=，化为：240x y ++=，因此D 选项正确．故选：BCD ．12．选择性必修Ⅰ数学教材习题3.2有这样一个题：已知圆O 的半径为定值R ，点A 为圆O 外的一定点，点P 为圆O 上的动点，线段AP 的中垂线交直线OP 于点Q ，则点Q 的轨迹是双曲线．若点A 为圆O 平面上的一定点，则点Q 的轨迹还有可能是（）A ．椭圆B ．圆C ．一个点D ．直线【正确答案】ABC【分析】对点A 的位置进行分类讨论，作出图形，利用中垂直的几何性质以及圆、椭圆的定义可得出点Q 的轨迹的形状.【详解】分以下几种情况讨论：（1）若点A 在圆O 上，连接OA ，则OA OP =，所以点O 在线段AP 的中垂线上，由中垂线的性质可知AQ PQ =，又因为点Q 是线段AP 的中垂线与OP 的公共点，此时点Q 与点O 重合，此时，点Q 的轨迹为圆心O ；（2）当点A 与圆心O 重合时，如下图所示：此时线段AP 的中垂线与OP 的交点为线段OP 的中点Q ，因为2R OQ =，此时点Q 的轨迹是以点O 为圆心，半径为2R的圆；（3）当点A 在圆O 内，且点A 不与圆心O 重合时，如下图所示：连接AQ ，由中垂线的性质可得AQ PQ =，所以，OQ AQ OQ PQ OP R OA +=+==>，此时，点Q 的轨迹是以点A 、O 为焦点，且长轴长为R 的椭圆.因此，点Q 的轨迹还有可能是椭圆、圆或一个点.故选：ABC.三、填空题13．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角11B A C D --大小的余弦值为_________．【正确答案】13【分析】建立空间直角坐标系.取11AC 中点为E ，得到二面角平面角为BED ∠，即ED 、EB的夹角，求出ED 、EB，即可求出结果.【详解】如图，取11A C 中点为E ，连结,DE BE .以点D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、1DD 所在的直角为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系，设2AB =.因为，11DAC △和11BAC △的边均为正方体各个面的对角线，所以11DAC △和11BA C △都是边长为.又E 为11A C 的中点，所以11⊥DE AC ，11BE A C ⊥，所以BED ∠即ED 、EB的夹角，即为二面角11B A C D --的平面角.因为()0,0,0D ，()2,2,0B ，()12,0,2A ，()10,2,2C ，则()1,1,2E ，所以()1,1,2ED =---uu u r，()1,1,2EB =-uu r ，所以ED EB ==uu u r uu r 1142ED EB ⋅=--+=uu u r uu r，所以21cos 63EB ED BED EB ED ⋅∠===⋅.所以二面角11B A C D --大小的余弦值为13.故答案为.1314．已知双曲线221,x y -=直线l：(y k x =与其右支有两不同的交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是_________【正确答案】1k <-或1k >【分析】将双曲线和直线方程联立，根据题意可知方程组有两个不相等的正根，结合韦达定理即可判断斜率k 的取值范围.【详解】根据题意，联立221(x y y k x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩得2222(1)(21)0k x x k -+-+=，设曲线221x y -=的右支与直线(y k x =有两不同的交点为1122(,),(,)A x y B x y ；由题意可知，()222222122212210Δ4(1)(21)0012101k k k x x k k x x k ⎧-≠⎪⎪=+-+>⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪=->⎪-⎩解得21k >；即1k <-或1k >.故1k <-或1k >15．已知椭圆22:143x y C +=过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点（点A 位于x 轴上方），若2AF FB =，则直线l 的斜率k 的值为__________．【正确答案】由题可得122y y -=，联立直线与椭圆，利用韦达定理建立关系即可求出.【详解】由题，点A 位于x 轴上方且2AF FB =，则直线l 的斜率存在且不为0，()1,0F ，设()()1122,,,A x y B x y ，则可得122y y -=，设直线l 方程为1x ty =+，联立直线与椭圆221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得()2234690t y ty ++-=，122122634934t y y t y y t ⎧+=-⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，2222269,23434t y y t t -∴=-=++，2226923434t t t -⎛⎫∴-= ⎪++⎝⎭，解得5t =±，则直线的斜率为.故答案为.2±方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.16．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1, M N ，分别是棱1,AA BC上的动点，若MN =线段MN 的中点P 的轨迹是_________【正确答案】圆的一部分（或一段圆弧）【分析】由题意，构造直角三角形，利用斜边中线等于斜边一半，可求得P 点到AB 中点O 的距离为定值，即可得出P 的轨迹.【详解】由题意，连接,,,,MN MB NA PA PB ，取AB 的中点为O ，连接OP，如下图所示：易知，,MAN MBN 都是直角三角形，且线段MN 的中点为P ，所以，在Rt MAN 中，12AP MN =；在Rt MBN △中，12BP MN =；所以PA PB =，又因为AB 的中点为O ，所以PO AB ⊥；因此，12OP ===；因为M N ，分别是棱1,AA BC 上的动点，所以P 的轨迹是以O 为圆心，以12为半径的圆的一部分.故圆的一部分（或一段圆弧）四、解答题17．已知直线1l 的方程为2250x y +-=，若直线2l 在y 轴上的截距为12，且12l l ⊥．(1)求直线1l 和2l 的交点坐标；(2)已知直线3l 经过1l 与2l 的交点，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为3，求直线3l 的方程．【正确答案】(1)31,2⎛⎫⎪⎝⎭(2)3260x y +-=【分析】（1）根据垂直关系结合直线的斜截式方程整理运算；（2）设直线3l 的点斜式方程，结合题意运算求解.【详解】（1）∵直线1l 的斜率11k =-且12l l ⊥，则直线2l 的斜率为21k =，又∵2l 在y 轴上的截距为12，即过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线2l 方程：12y x =+，即2210x y -+=，联立方程得：22502210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，故交点为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）依据题意可知：直线3l 的斜率存在，设直线3l ：3(1)2y k x -=-且0k <，与两坐标轴的交点为330,,1,022k k ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线3l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为13313222S k k ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32k =-，故3l 方程为：()33122y x -=--，即3260x y +-=.18．如图，Rt AOB △，4,2OA OB ==，点C 是OB 的中点，D 为圆O 上的点，AOB 绕BO 所在的边逆时针旋转一周．(1)求ABC 旋转一周所得旋转体的体积V ；(2)求ABD △面积的最大值；(3)设OA OD ⊥，求异面直线AC 与BD 所成角的余弦值．【正确答案】(1)π316V =(2)10(3)85【分析】（1）结合题意，利用割补法与圆锥体积公式即可得解；（2）利用三角形面积公式与夹角的范围即可求得所求；（3）结合题意建立空间直角坐标系，求得AC 与BD的坐标表示，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得结果.【详解】（1）如图，记OA 所在直径的另一端点为E ，则ABC 旋转一周所得旋转体为圆锥B ADE -挖掉圆锥C ADE -所得几何体，易知4,2,1AO BO CO ===，所以所求旋转体的体积22111116πππ162π161π33333V AO BO AO CO =⋅⋅-⋅⋅=⨯⨯-⨯⨯=.（2）根据题意，如图，易知2225BD AB OA OB ==+则11sin 2525sin 10sin 22ABD S AB BD ABD ABD ABD =⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠ ，显然ABD ∠可以为锐角，当D 与E 重合时，222202064022AB BE AE ABD AB BE AB BE+-+-∠==<⋅⋅，即此时ABD ∠为钝角，所以点D 在圆O 上运动时，存在一个位置使得π2ABD ∠=，此时sin ABD ∠取得最大值1，故10sin 10ABD S ABD =∠≤ ，所以ABD △面积的最大值为10.（3）根据题意，易得,,OA OD OB 两两垂直，故以O 为原点，,,OA OD OB 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()()()()4,0,0,0,0,1,0,0,2,0,4,0A CB D ，故()()4,0,1,0,4,2AC BD =-=-，所以85cos ,85161164AC BD AC BD AC BD⋅===-+⨯+，因为异面直线AC 与BD 所成角为锐角，所以异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为8585.19．已知圆C 经过点()2,0A -，()6,0B ，且圆心C 在直线y x =上．(1)求圆C 的一般方程；(2)若线段OP 的端点P 在圆C 上运动，端点O 为坐标原点，求线段OP 的中点M 的轨迹方程．【正确答案】(1)2244120x y x y +---=(2)222230x y x y +---=【分析】（1）利用待定系数法即可求得圆C 的一般方程；（2）利用直接代入法即可求得点M 的轨迹方程.【详解】（1）设所求圆的C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，则圆心,22D E C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由题意得()2222066022D F D F E D ⎧⎪--+=⎪++=⎨⎪⎪-=-⎩，解得4412D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的C 的一般方程为2244120x y x y +---=.（2）依题意，设(),M x y ，()00,P x y ，因为M 为线段OP 的中点，()0,0O ，所以002,2x x y y ==，又因为点P 在圆C 上运动，所以22000044120x y x y +---=，故()()()()22224242120x y x y +-⨯-⨯-=，整理得：222230x y x y +---=，所以点M 的轨迹方程为222230x y x y +---=.20．已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=0a >0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为2，过2F 的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PQ 的最小值为6，(1)求双曲线方程(2)求1F PQ 面积的最小值【正确答案】(1)2213y x -=(2)12【分析】（1）结合题意，得到PQ 的最小值为22b a，从而利用双曲线的几何性质得到关于,,a b c 的方程组，解之即可；（2）先由条件得到2103m ≤<，再联立直线与双曲线方程，结合韦达定理得到1F PQ S △关于2m 的解析式，利用换元法与43y t t=-的单调性即可求得1F PQ S △的最小值.【详解】（1）依题意得，当PQ x ⊥轴时，PQ 取得最小值，不妨设(),P c y ，则22221c y a b -=，故2222222221y c c a b b a a a -=-==，则2b y a =±，所以2min 26b PQ a ==，则23b a =，又2ce a==，则2c a =，联立222232b ac a a b c ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，解得12a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以双曲线的方程为2213y x -=.（2）由（1）得()22,0F ，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线:2PQ x my =+，因为双曲线的渐近线为y =，又由直线PQ 与双曲线的右支交于两点，所以23PQ k >，则213m >，从而2103m ≤<，联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()22311290m y my -++=，则1221231m y y m +=--，122931y y m =-，()()22212431936360m m m ∆=--⨯=+>，所以1121221213F PQ S F F y y m =-==-△，设t =1,3t ⎡∈⎪⎢⎪⎣⎭，1212124433F PQ t S t t t==--△，令43y t t =-，易得43y t t =-在⎡⎢⎣⎭上单调递减，则4433111y t t =-≤-⨯=，所以112F PQ S ≥△，即1F PQ 面积的最小值为12.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为于长轴的直线交椭圆于E 、F，5EF =．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知定点()0,2P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22153x y +=．(2)存在，2y =+或2y x =+．【分析】（1）根据四边形面积及椭圆的通径列出方程，解方程求出,a b 即可得解；（2）讨论直线斜率是否存在，存在时设为2y kx =+，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，由题意可知0QA QB ⋅=，据此求出斜率，当斜率不存在时，写出直线方程验证即可.【详解】（1）因为椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为所以1222a b ⨯⋅=ab =，由题意过焦点的通径22b EF a==，所以解得25a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22153x y +=．（2）当直线l 的斜率不存在时，因为过点()0,2P ，所以l ：0x =，所以A ，B 两点坐标为椭圆C 的上下顶点，所以以AB所以以AB 为直径的圆不过椭圆C 的左顶点，不合题意，舍去，当直线l 的斜率存在时，不妨设为2y kx =+，联立直线l 与椭圆C 的方程可得221532x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()22532050k x kx +++=，其判别式需要满足()()()222204553201530k k k ∆=-⨯⨯+=->，即,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有1222053k x x k -+=+，122553x x k =+，若以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点，不妨记椭圆的左顶点为Q，则()Q ，则有0QA QB ⋅=，又因为()11QA x y =，()22QB x y = ，即(1212QA QB x xy y ⋅=+)()()121212522x x x x kx kx =++++++()(()21212129k x x k x x =+++++()22519053k k +=+=+，即210320k -+=，即)280--=，解得k =k =均满足,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以l 的方程为2y =+或2y =+．22．《绿色通道》作业88面第12题：已知双曲线22221,x y a b-=左右两个焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于点,A B ，且满足：222AF F B =，1ABF 的周长等于焦距的3倍，若11AF B ABF ∠>∠，则双曲线离心率的取值范围是______.我校高二某班的小楚同学在处理这个题目时提出了自己的见解，他认为这个曲线的离心率在已知比例和周长的条件下应该是个确定的值而不是某个范围，所以条件11AF B ABF ∠>∠可能是个多余的“伪条件”．你是否认同小楚同学的观点？若认同，请你求出此曲线的离心率，若不认同，请你说明理由．【正确答案】小楚同学的理解是对的，e =【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()2,0F c ，过右焦点2F 的直线方程为,x ny c =+进而结合向量关系，韦达定理得22228a n c b=+，再根据双曲线第二定义得222323a ac n b -=，进而建立关系得291210,e e --=解方程即可得答案.【详解】解：小楚同学的理解是对的．设()11,A x y ，()22,B x y ，()2,0F c ，过右焦点2F 的直线方程为,x ny c =+代入曲线方程22221,x y a b-=有222224()20b n a y b ncy b -++=，因为()()211222,,222,2AF c x y F B x c y =--=- ，222AF F B=所以，122y y =-，故21222222,b nc y y y b n a-+==--421222222b y y y b n a ==--，消掉2y 有：22228a n c b =+，再由双曲线的第二定义有()()1121212122226ABF C AF AF BF BF e x x e n y y c c ⎡⎤=+++=+=++=⎣⎦ ，故：222323a ac n b -=，所以：22228a n c b =+=22323a ac b -，化简有：291210,e e --=故23e =，所以双曲线的离心率为一确定的值．。

2016-2017年福建省莆田七中高二(下)第一次月考数学试卷(解析版)

2016-2017学年福建省莆田七中高二（下）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．闭区间上的连续函数一定存在最大值与最小值2．（5分）抛物线在点Q（2，1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣1＝0B．x+y﹣3＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y﹣1＝0 3．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）设函数f（x）＝log2x，则f′（x）等于（）A．B．C．D．5．（5分）计算的结果是（）A．0B．﹣1C．D．16．（5分）函数f（x）＝2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5B．0C．6D．17．（5分）一质点做直线运动，由始点经过ts后的距离为，则速度为0的时刻是（）A．t＝4s B．t＝8s C．t＝4s与t＝8s D．t＝0s与t＝4s8．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．①④C．②③D．③④9．（5分）由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围成的图形的面积是（）A．B．C．D．2ln210．（5分）方程x3﹣6x2+9x+m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D．（0，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填在题中横线上.11．（4分）∫（）dx＝．12．（4分）函数y＝x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是13．（4分）曲线y＝x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为．14．（4分）曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a的值为．15．（4分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（0）＝．三、解答题：本大题共6小题，共80分.16．已知二次函数f（x）＝ax2+bx﹣3在x＝1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y＝0平行．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）＝xf（x）+4x的单调递增区间．17．设f（x）＝﹣x3+x2+2ax．（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求f（x）在[1，4]上的最值．18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．19．已知函数f（x）＝x3﹣3x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与直线y＝m有且只有一个公共点，求m的取值范围；（Ⅱ）过点P（2，﹣6）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程．20．给定函数f（x）＝﹣ax2+（a2﹣1）x和g（x）＝x（Ⅰ）求证：f（x）总有两个极值点；（Ⅱ）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．21．已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省莆田七中高二（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．函数的极大值就是函数的最大值B．函数的极小值就是函数的最小值C．函数的最值一定是极值D．闭区间上的连续函数一定存在最大值与最小值【解答】解：函数的极大值或极小值时局部性质，而函数的最大值是函数的整体性质，∴函数的极大值不一定是函数的最大值，函数的极小值不一定是函数的最小值，闭区间在端点处取得最值时不是极值．故A，B，C不正确，闭区间上的连续函数一定存在最大值与最小值，故D正确．故选：D．2．（5分）抛物线在点Q（2，1）处的切线方程是（）A．x﹣y﹣1＝0B．x+y﹣3＝0C．x﹣y+1＝0D．x+y﹣1＝0【解答】解：∵，∴y'（x）＝x，当x＝2时，f'（2）＝1得切线的斜率为1，所以k＝1；所以曲线y＝f（x）在点（2，1）处的切线方程为：y﹣1＝1×（x﹣2），即x﹣y﹣1＝0．故选：A．3．（5分）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由汽车经过启动后的加速行驶阶段，路程随时间上升的速度越来越快，故图象的前边部分为凹升的形状；在汽车的匀速行驶阶段，路程随时间上升的速度保持不变故图象的中间部分为平升的形状；在汽车减速行驶之后停车阶段，路程随时间上升的速度越来越慢，故图象的前边部分为凸升的形状；分析四个答案中的图象，只有A答案满足要求，故选：A．4．（5分）设函数f（x）＝log2x，则f′（x）等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝log2x∴f'（x）＝故选：A．5．（5分）计算的结果是（）A．0B．﹣1C．D．1【解答】解：＝（﹣cos x）＝0﹣（﹣1）＝1，故选：D．6．（5分）函数f（x）＝2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5B．0C．6D．1【解答】解：∵函数f（x）＝2x3﹣3x2+a，导数f′（x）＝6x2﹣6x，令f′（x）＝0，可得x＝0 或x＝1，导数在x＝0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）＝a＝6．导数在x＝1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．7．（5分）一质点做直线运动，由始点经过ts后的距离为，则速度为0的时刻是（）A．t＝4s B．t＝8s C．t＝4s与t＝8s D．t＝0s与t＝4s 【解答】解：∵s′＝t2﹣12t+32令t2﹣12t+32＝0解得t＝4或t＝8故选：C．8．（5分）如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【解答】解：根据f′（x）＞0，f′（x）＜0，可以确定函数的增区间，减区间，切线斜率的正负．由导函数y＝f′（x）的图象，可判断，f′（x）＝0，x＝﹣3．x＝﹣1，﹣3的左边负右边正，两边互为异号，所以可判断f（x）单调性在（﹣∞，﹣3）为上减函数，（﹣3，﹣1）为增函数，由上述条件可判断：①﹣3是y＝f（x）的极值点；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．两个结论正确．②﹣1函数y＝f（x）的最小值；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；两个结论错误．故选：B．9．（5分）由直线x＝，x＝2，曲线y＝及x轴所围成的图形的面积是（）A．B．C．D．2ln2【解答】解：如图，面积．故选：D．10．（5分）方程x3﹣6x2+9x+m＝0恰有三个不等的实根，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣4）B．（﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：设y＝x3﹣6x2+9x和y＝﹣m，那么题目的意思就是两条曲线有三个交点，y′＝3x2﹣12x+9，由y′＝0，得x＝1或x＝3，由y′＞0，得x＞3或x＜1；由y′＜0，得1＜x＜3，∴y＝x3﹣6x2+9x的增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），减区间为（1，3），x＝1，取极大值y＝4；x＝3时，取极小值y＝0．∴0＜﹣m＜4，故﹣4＜m＜0．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.将答案填在题中横线上.11．（4分）∫（）dx＝π．【解答】解：∫（）dx表示以原点为圆心以为半径的圆的面积的二分之一，所以：∫（）dx＝π×2＝π，故答案为：π．12．（4分）函数y＝x3+x2﹣5x﹣5的单调递增区间是【解答】解：∵y＝x3+x2﹣5x﹣5∴y'＝3x2+2x﹣5令y'＝3x2+2x﹣5＞0 解得：x＜﹣，x＞1故答案为：（﹣∞，﹣），（1，+∞）13．（4分）曲线y＝x3在点（1，1）处的切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为．【解答】解：∵y＝x3，∴y'＝3x2，当x＝1时，y'＝3得切线的斜率为3，所以k＝3；所以曲线在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝3×（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0．令y＝o得：x＝，∴切线与x轴、直线x＝2所围成的三角形的面积为：S＝×（2﹣）×4＝故答案为：．14．（4分）曲线y＝在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1＝0垂直，则a的值为﹣2．【解答】解：函数y＝＝1+的导数为y′＝，∴曲线y＝在点（3，2）处的切线斜率为﹣，由﹣×（﹣a）＝﹣1 得，a＝﹣2，故答案为：﹣2．15．（4分）已知f（x）＝x2+2xf′（1），则f′（0）＝﹣4．【解答】解：由f（x）＝x2+2xf′（1），得：f′（x）＝2x+2f′（1），取x＝1得：f′（1）＝2×1+2f′（1），所以，f′（1）＝﹣2．故f′（0）＝2f′（1）＝﹣4，故答案为：﹣4三、解答题：本大题共6小题，共80分.16．已知二次函数f（x）＝ax2+bx﹣3在x＝1处取得极值，且在（0，﹣3）点处的切线与直线2x+y＝0平行．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数g（x）＝xf（x）+4x的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ax2+bx﹣3，可得f′（x）＝2ax+b．由题设可得即解得a＝1，b＝﹣2．所以f（x）＝x2﹣2x﹣3．（Ⅱ）由题意得g（x）＝xf（x）+4x＝x3﹣2x2+x，所以g′（x）＝3x2﹣4x+1＝（3x﹣1）（x﹣1）．令g′（x）＝0，得，x2＝1．所以函数g（x）的单调递增区间为，（1，+∞）．17．设f（x）＝﹣x3+x2+2ax．（1）若f（x）在（，+∞）上存在单调递增区间，求a的取值范围；（2）当a＝1时，求f（x）在[1，4]上的最值．【解答】解：（1），当，令，所以，当上存在单调递增区间；（2）当a＝1时，，f'（x）＝﹣x2+x+2，令f'（x）＝﹣x2+x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝2因为f（x）在（1，2）上单调递增，在（2，4）上单调递减．所以f（x）在[1，4]上的最大值为．因为，，所以f（x）在[1，4]上的最小值为．18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y＝+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【解答】解：（Ⅰ）因为x＝5时，y＝11，所以+10＝11，故a＝2（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y＝所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而，f′（x）＝10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]＝30（x﹣6）（x﹣4）于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：由上表可得，x＝4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．19．已知函数f（x）＝x3﹣3x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）与直线y＝m有且只有一个公共点，求m的取值范围；（Ⅱ）过点P（2，﹣6）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线的方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＝3x2﹣3＝0，得x＝±1，可求得f（x）的极大值为f（﹣1）＝2，极小值为f（1）＝﹣2，故当满足﹣2＜m＜2时，恰有三个不同公共点．（II）∵f（x）＝x3﹣3x，∴设切点为Q（x0，x03﹣3x0），则所求切线方程为：y﹣（x03﹣3x0）＝（3x02﹣3）（x﹣x0）①，∵切线过点P（2，﹣6），∴﹣6﹣（x03﹣3x0）＝（3x02﹣3）（2﹣x0），解得x0＝0或x0＝3，代入①化简得y＝﹣3x或y+6＝24（x﹣2），∴切线方程为3x+y＝0或24x﹣y﹣54＝0．20．给定函数f（x）＝﹣ax2+（a2﹣1）x和g（x）＝x（Ⅰ）求证：f（x）总有两个极值点；（Ⅱ）若f（x）和g（x）有相同的极值点，求a的值．【解答】证明：（I）因为f'（x）＝x2﹣2ax+（a2﹣1）＝[x﹣（a+1）][x﹣（a﹣1）]，令f'（x）＝0，则x1＝a+1，x2＝a﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）则当x＜a﹣1时，f'（x）＞0，当a﹣1＜x＜a+1，f'（x）＜0所以x＝a﹣1为f（x）的一个极大值点，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）同理可证x＝a+1为f（x）的一个极小值点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）另解：（I）因为f′（x）＝x2﹣2ax+（a2﹣1）是一个二次函数，且△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣1）＝4＞0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）所以导函数有两个不同的零点，又因为导函数是一个二次函数，所以函数f（x）有两个不同的极值点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）因为，令g'（x）＝0，则x1＝a，x2＝﹣a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）因为f（x）和g（x）有相同的极值点，且x1＝a和a+1，a﹣1不可能相等，所以当﹣a＝a+1时，，当﹣a＝a﹣1时，，经检验，和时，x1＝a，x2＝﹣a都是g（x）的极值点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）21．已知函数f（x）＝xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）＝1+lnx．令f'（x）＞0，解得；令f'（x）＜0，解得．从而f（x）在单调递减，在单调递增．所以，当时，f（x）取得最小值．（Ⅱ）依题意，得f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立，即不等式对于x∈[1，+∞）恒成立．令，则．当x＞1时，因为，故g（x）是[1，+∞）上的增函数，所以g（x）的最小值是g（1）＝1，从而a的取值范围是（﹣∞，1]．。

福建省莆田第二十五中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

福建省莆田第二十五中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知等差数列5,9,13,---L ，则下列属于该数列的项的是（） A ．-23B ．-31C ．-33D ．-432．已知等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若2583a a a ++=，则9S =（） A ．3B ．6C ．9D ．273．已知数列{}n a 的项满足12n n na a n +=+，而11a =，则n a ＝（） A ．()221n + B ．()21n n +C ．121n- D ．121n - 4．等差数列{}{}n n a b 、中的前n 项和分别为4,93,n n n n S nS T T n =+，则1010a b =（） A ．4093B ．3887C ．1742D ．32815．已知数列{}n a 满足134a =，且121,nn n a a a n n+-=+当取最小值时n 为（） A ．4B ．5C ．6D ．76．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43S =，89S =，则12S =（） A ．12B ．18C ．21D ．277．已知函数()f x ，满足2024()(1)()2024f x f x f x +=+，且(1)2024f =，则111(1)(2)(3)f f f ++++L 1(2024)f =（）A ．1011B ．20232C ．1012D ．202528．已知数列{}n b 满足*211,n n n n b b b b n +++-=-∈N ，且5π2b =，若函数()2cos sin cos 2xg x x x =+，记()n n a g b =，则数列{}n a 的前9项和为（） A ．0B ．92-C ．12D ．92二、多选题9．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为46,2,8n S a a ==，则（） A ．2q =B ．10256a =C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列D ．1124n n S -=-10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，公差为d ，890a a +>，90a <，则下列结论正确的是（）A ．0d <B ．当8n =时，n S 取得最大值C ．45180a a a ++<D ．使得0n S >成立的最大自然数n 是1511．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论中正确的有（）A ．821a =B ．732S =C ．135212n n a a a a a -++++=LD ．22212202120222021a a a a a +++=L三、填空题12．已知11a =，且121n n a a +=+则通项公式n a =.13．在等比数列 {}n a 中，12563,6a a a a +=+=，则 910a a +=．14．在一个数列中，如果N n *∀∈，都有12n n n a a a k ++=（k 为常数），那么这个数列叫做等积数列，k 叫做这个数列的公积.已知数列 a n 是等积数列，且11a =，22a =，公积为4，则122023a a a +++=L .四、解答题15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．16．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．17．已知递增等差数列{}n a 满足：12a =，221122n n n n a a a a ++-=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足1(1)n n n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T . 18．已知数列{}1n a +的前n 项和n S 满足3n n S a =，*n N ∈．（1）求证数列{}1n a +为等比数列，并求n a 关于n 的表达式；（2）若()32log 1n n b a =+，求数列(){}1n n a b +的前n 项和n T ．19．若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得2n k n k n a a a +-+=对一切*n ∈N ，n k >都成立，则称数列{}n a 为k 级等差数列.(1)若数列{}n a 为1级等差数列，11a =，39a =，求数列{}n a 的前n 项和n S ；(2)若数列{}n a 为2级等差数列，且前四项依次为2，0，4，3，求5a 、6a 及数列{}n a 的前2024项和2024S .。