知识讲解_集合及集合的表示_基础

合集下载

1)高一数学,集合及表示方法

D.
4
【解析】
是实数，是无理数，
∴①②正确，N＋表示正整数集，而0不是正整数；
|－4|是正整数，∴③④错误.
【答案】 B
集合的表示方法
用适当的方法表示下列集合 (1)比4大2的数； (2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集； (3)不等式x－2>3的解的集合； (4)二次函数y＝x2－1图象上所有点组成的集合. 【思路点拨】限个. 解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无
5.直角坐标系第二象限内所有的点的坐标。答：{(x,y)│x<0,y>0}
Page 11
1.“高个子的同学”、“我国的小河流”能构成集合吗？【提示】 “高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，“小河流”的“小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它们都
【正解】
①由x3＝x，即x(x2－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1，因为－1
N，故集合{x∈N|x3＝x}用列举法表示应为{0,1}. ②集合表示中的符号“{ }”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号 “R”已表示所有的实数，正确的表示应为{x|x为实数}或R.
③方程组
而集合{x＝1，y＝2}表示两个方程的解集， x＝1 正确的表示应为{(1,2)}或 (x，y) y＝2 【答案】 D

第1章高中数学必修1--集合与函数基础知识讲解

§1．1集合

¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素及集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.

（一）集合的有关概念

⒈定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，

也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.元素及集合的关系：(元素及集合的关系有“属于∈”及“不属于∉两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a∉A。

5.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；

6.关于集合的元素的特征

⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”

（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；

而“比较大

的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

高一集合的概念知识点讲解

高一集合的概念知识点讲解集合是数学中的一个基本概念，它是由一些特定的对象组成的整体。在高中数学中，高一阶段学生开始接触并学习集合的相关概念和性质。本文将对高一集合的概念知识点进行讲解，包括集合的定义、表示方法、基本运算以及常见的特殊集合等内容。

一、集合的定义

在数学中，集合是由一些具有确定性质的对象组成的整体。这些对象可以是数字、字母、图形或者任何其他数学对象。具体而言，集合由元素组成，写作“A={a1, a2, a3, …}”表示集合A中包含了元素a1、a2、a3等。

二、集合的表示方法

在集合中，常用的表示方法有三种：列举法、描述法和集合间关系表示法。

1. 列举法：直接将集合中的元素一一列举出来。例如，集合

A={1, 2, 3, 4}表示A是一个包含了数字1、2、3和4的集合。

2. 描述法：通过描述元素的性质来表示集合。例如，集合

B={x | x是正整数且小于10}表示B是一个由小于10的正整数组成的集合。

3. 集合间关系表示法：利用集合间的关系来表示一个集合。例如，若A={1, 2, 3, 4}，B={3, 4, 5}，则可以用运算符号表示A与B 的关系，如A∩B表示A与B的交集。

三、基本运算

集合的基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。

1. 并集：记作A∪B，表示由属于集合A或集合B的所有元素组成的新集合。例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。

2. 交集：记作A∩B，表示同时属于集合A和集合B的元素组成的新集合。例如，若A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∩B={3}。

高中数学理科基础知识讲解《11集合的概念与运算》教学课件

--
层次3
对点训练3定义A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A*B= ;(A∩(A*B))∪B .
答案:{3,4,5,6,7} {1,2,3} 解析:∵A={1,2,3},B={1,2},∴A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7};(A∩(A*B))∪B=({1,2,3}∩{3,4,5,6,7})∪{1,2}={3}∪{1,2}={1,2,3}.
--
考点2
思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间基本关系问题的常用技巧有哪些?解题心得1.判定集合间的基本关系的方法有两种.一是化简集合,从表达式中寻找集合间的关系;二是用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找集合间的关系.2.解决集合间基本关系问题的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,则结合数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则用Venn图求解.
C
C
解析:(1)由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.(2)由已知得∁UA={1,6,7},则B∩∁UA={6,7}.故选C.
--
层次2
借助Venn图进行集合运算例2设U为全集,非空集合A,B,C满足A⊆C,B⊆∁UC,则下列结论不成立的是( )A.A∩B=⌀ B.B⊆∁UA C.(∁UB)∩A=A D.A∪(∁UB)=U思考如何判断抽象集合运算的结果?答案:D解析:由U为全集,集合A,B,C满足A⊆C,B⊆∁UC,知A∩B=⌀,A正确;作出Venn图,如图,知B⊆∁UA,(∁UB)∩A=A,即B,C正确;A∪(∁UB)=∁UB≠U,所以D错,故选D.

第一讲：集合的概念及表示

第一讲：集合间的概念及表示

一：本将主要涉及三个知识点的内容

1.对集合概念的理解

2.集合中元素的三要素（确定性，无序性，互异性）

3.关于集合的表示（列举法，描述法）

二：例题讲解

1.关于集合中元素属性的考点（主要针对集合中元素的互异性）

例1：已知{}

2,12,4a a A --= ，{}B A a a B ⋂∈--=9,9,1,5则a=______

分析：由于B A ⋂∈9而集合B 中含有元素9,因此对集合A 中对元素2a-1=9和92

=a 进行分类讨论

解：B A ⋂∈9 A ∈∴9

(1) 当5912=⇒=-a a 则{}25,9,4-=A {}9,4,0-=B 符合题意 (2) 当392

±=⇒=a a

A:当3=a 时则{}9,5,4-=A {}9,2,2--=B 显然对于集合B 而言不符合集合中元素的互异性舍去 B:当a=-3时则{}9,7,4--=A {}9,4,8---=B 符合题意综上（1）（2）可知a=3或a=5 例2：已知集合⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

-=1,2,

m m m M ，且M ∈0 则m= 解：显然0≠m 则有

,02

=-m

m 则2=m 例3：已知集合{}{}

43,2,.8,22+-==a a B a A 且A B ≠

⊂则a=_______

分析：由于B

A 且有

B A ∈∈2,2则只有8432=+-a a 或a a a =+-432进行分类讨论

解：（1）当8432

=+-a a 时则有a=4或a=-1

A:当a=4时，则{}4,8,2=A ，{}8,2=B 符合题意

B:当a=-1时，则{}

集合的含义表示及基本关系

9. 集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};

2. {x ∈R ∣0

3. {x ∈R ∣x 2+1=0} 由此可以得到

集合的分类:::()empty set ⎧⎪⎨⎪∅-⎩

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含有任何元素的集合（二）典型例题讲解：

例1．用“∈”或“∉”符号填空：

⑴8 N ； ⑵0 N ； ⑶-3 Z ； ⑷2 Q ；

2013年高考江西卷（文））若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=

（）

A ．4

B ．2

C ．0

D ．0或4

例2．已知集合P 的元素为21,,3m m m --, 若2∈P 且-1∉P ，求实数m 的值。

练：⑴给出下面四个关系:3∈R,0.7∉Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

（2）求集合{2a ,a 2+a }中元素应满足的条件?

三、集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

集合的表示法-高中数学知识点讲解

集合的表示法

1．集合的表示法

【知识点的认识】

1．列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法．{1，2，3，…}，注意元素之间用逗号分开．

2．描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x 为该集合的元素的一般形式，P 为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0＜x＜π}

3．图示法（Venn 图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合．

4．自然语言（不常用）．

【解题方法点拨】

在掌握基本知识的基础上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用数形结合思想解答问题，例如数轴的应用，Venn 图的应用，通过转化思想解答．注意解题过程中注意元素的属性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}表示实数x 的范围；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或点的坐标．

【命题方向】

本考点是考试命题常考内容，多在选择题，填空题值出现，可以与集合的基本关系，不等式，简易逻辑，立体几何，线性规划，概率等知识相结合．

2．交集及其运算

【知识点的认识】

由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫做A 与B 的交集，记作A∩B．

符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

A∩B 实际理解为：x 是A 且是B 中的相同的所有元素．

当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．

(完整版)集合知识点归纳

集合的基础知识

一、重点知识归纳及讲解

1．集合的有关概念

一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素

⑴集合中的元素具有以下的特性

①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合

的元素也就确定了.

例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；

而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.

②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是

互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.

③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.

（2）集合的元素

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a 是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.

（3）集合的分类：有限集与无限集.

（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.

列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.

描述法：将所给集合中全部元素的共同特性和性质用文字或符号语言描述出来．常用于表示无限集.

使用描述法时，应注意六点：

①写清集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；

③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”，“或”；

⑤所有描述的内容都要写在大括号内；⑥用于描述的语句力求简明、确切.

集合的基础知识

一、概述

集合——近代数学最基本内容之一．主要内容有集合、子集、全集、补集、交集和并集．集合是我们掌握和使用数学语言的基础，也是我们学习后续内容的基础和工具.第一部分主要是学习集合的概念，表示方法等；后一部分在介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系的基础上，引出子集的概念以及集合的基本运算．

二、重点知识归纳及讲解

1．集合的有关概念

一组对象的全体形成一个集合，集合里的各个对象叫做集合的元素

⑴集合中的元素具有以下的特性

①确定性：任给一元素可确定其归属．即给定一个集合,任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.

例如，给出集合{1，2，3，4}，它只有1、2、3、4四个元素，其他对象都不是它的元素；

而“所有的好人”、“视力比较差的全体学生”、“我国的所有小河流”就不能视为集合，因为组成它们的对象是不能确定的.

②互异性：集合中的任何两个元素都是不同的对象，也就是说，集合中的元素必须是互不相同的（即没有重复现象），相同的元素在集合中只能算作一个.例如，不能有{1，1，2}，而必须写成{1，2}.

③无序性：集合中的元素间是无次序关系的.例如，{1，2，3}与{3，2，1}表示同一个集合.

（2）集合的元素

某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.若a是集合A的元素，就说a 属于集合A，记作a∈A.不含任何元素的集合叫做空集，记作φ.

（3）集合的分类：有限集与无限集.

（4）集合的表示法：列举法、描述法和图示法.

列举法：将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开，常用于表示有限集.

集合的含义-高中数学知识点讲解

集合的含义

1．集合的含义

【知识点的认识】

1、集合的含义：

集合是一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集

合的元素或简称元，是具有某种特定性质的事物的总体．

2、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．

（1）列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来；描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的元素；区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素；图示法（数轴表示法，韦恩图法）用图的形式来描述表示出

集合的每一个元素．

（2）有限集常用列举法表示，而无限集常用描述法或区间表示法表示，抽象集常用图示法表示．（有限集就是集

合中的元素个数是能够确定的．无限集是集合的元素个数无法精确．抽象集合就是只给出集合元素满足的性质，

探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力．）

用描述法表示集合时，集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征．

【典型例题分析】

题型一：判断能否构成集合

典例 1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能，采用适当的方式表示它．

（1）小于 5 的自然数；

（2）某班所有个子高的同学；

（3）不等式 2x+1＞7 的整数解．

分析：根据集合元素的确定性，互异性进行判断即可．

解答：（1）小于 5 的自然数为 0，1，2，3，4，元素确定，所以能构成集合．为{0，1，2，3，4}．

（2）个子高的标准不确定，所以集合元素无法确定，所以不能构成集合．

（3）由 2x+1＞7 得x＞3，因为x 为整数，集合元素确定，但集合元素个数为无限个，所以用描述法表示为{x|x＞3，且x∈Z}．

1.知识讲解_集合及集合的表示_基础

集合及集合的表示

要点一：集合的有关概念

1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集。

要点诠释：

（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体。

（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素。

3．关于集合的元素的特征

(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分。如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合。

要点诠释：

集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．

高中数学-集合知识讲解

集合

一、章节结构图

123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/n A A A B C A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩

集合的含义与表示和集合间的基本关系

，就是指所有不小于

，0≠≠{≠{0}，

图1-1-3-3

变式训练：1.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},则m=_________.

2.2007河南实验中学月考,理1满足A∪B={0,2}的集合A与B的组数为( )

A.2

B.5

C.7

D.9

例2．设集合

{}{}

12,13

A x x

B x x

=-<<=<<

，求A∪B．

变式训练：

1.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合B的个数.

2.设A={-4,2,a-1,a2},B={9,a-5,1-a},已知A∩B={9},求a.

例3.设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若A∩B=B,求a的值.

变式训练：

1．已知集合A={x|-2≤x≤5},集合B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∪B=A,试求实数m的取值范围.

分析:由A∪B=A得B

⊆A,则有B=∅或B≠∅,因此对集合B分类讨论.

例4．已知集合

{}{} 222

190,560 A x x mx m B y y y

=-+-==-+=

{}

2280

C z z z

=+-=

是否存在实数m，同时满足

A B A C

⋂≠∅⋂=∅

？

（m=-2）

课堂练习：

1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},则M∪N=________.M∩N=________.

2.2006辽宁高考,理2设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )

A.1

B.3

C.4

D.8

3.设A={x|2x-4<2},B={x|2x-4>0},求A∪B,A∩B.