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三角形的外角和练习

三角形的外角和练习题
1、如右图所示,若 ∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则 ∠DFE=( B ) A.120° B.115° C.110° D.105°
A D F
B
E
C
• 2、如图，x=______ 600 。
3、如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点 F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则 ∠1,∠2,∠3的大小关系是______ ∠1>∠2>∠3
4.如果一个三角形的一个外角等于等于它相邻的内角，这个三角形是（ A ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5、如图,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则 ∠BDC=_______ 1200
A
D B C
6.如图,△ABC中,∠B=∠C,外角∠DAC=100°, 求∠B、∠C的度数.
D A
B
C
7.如图,△ABC中,∠ABC=∠C=72°,BD平分 ∠ABC,求∠ADB的度数.
A
D B C
8、如图所示，AE∥BD，∠1=95°，∠2=28°，求∠C的度数。
9.如图,△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,• 求∠DOB的度数.
A D O B C
14.如图,△ABC中,∠A=90°,∠C的平分线交 AB于D,已知∠DCB=2∠B.• 求∠ADC的度数.
A D C B

10.如图，D为AC上一点，E是BC延长线上一点，连BD，DE.求证：∠ADB＞∠CDE.
11.如图,E是BC延长线上的点,∠1=∠2.求证:∠BAC>∠B
D A
1 2
B
C
E

三角形的内、外角和三线综合练习题

三角形的内、外角和三线综合练习题三角形的内、外角和三线综合练习题一．解答题（共30小题）1．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．2．（2006•浙江）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．3．（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．4．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：_________．5．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为_________秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．7．如图，AD、BC交于O点，且∠A=∠B，∠C=∠D．求证：AB∥CD．8．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：DE∥BC．9．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．10．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．11．直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G．（1）如图1，若AB∥CD，求∠1的度数．（2）如图2，若∠MNC=140°，求∠1的度数．12．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．13．已知AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，点P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），点M 在EF上，且∠FMP=∠FPM，（1）如图1，当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM=_________；假设∠AEF=a，则∠FPM= _________；（2）如图2，当点P在射线FD上移动时，猜想∠FPM与∠AEF有怎样的数量关系？请你说明理由．14．如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．（1）如图（1），当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=_________度（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．15．如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、点C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，求∠3的度数．16．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B=40°，∠D=15°，则∠BPD=_________．（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图（3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．17．（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+∠A（不要求证明）．探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论：_________．18．（2011•宜兴市二模）操作示例如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC．实践探究（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为_________（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为_________；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为_________；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=_________．19．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A 点，若∠A=33°，∠DFE=63°．（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）求∠E的度数；（3）若在上图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线于E3，以此类推，∠CBE n与∠GCE n的平分线交于E n+l，请用含有n的式子表示∠E n+l的度数（直接写答案）．20．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：_________．（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？21．如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为_________；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为_________；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为_________（用n与α的代数式表示）22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：；（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．23．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．24．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．25．如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求：∠DAE的度数．（写出推导过程）26．已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．27．如图，（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是_________．（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是_________（用含n的代数式表示）．28．已知△ABC．（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O1点（如图①），求∠BO1C的度数；（2）在（1）的条件下，再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点（如图②），求∠BO2C的度数；（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO2012C的度数．29．（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°，∠BPC的度数为多少；（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）30．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？三角形的内、外角和三线综合练习题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2010•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．分析：（1）延长BP交CD于E，根据两直线平行，内错角相等，求出∠PED=∠B，再利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可说明不成立，应为∠BPD=∠B+∠D；（2）作射线QP，根据三角形的外角性质可得；（3）根据三角形的外角性质，把角转化到四边形中再求解．解答：解：（1）不成立．结论是∠BPD=∠B+∠D延长BP交CD于点E，∵AB∥CD∴∠B=∠BED又∵∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D．（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D．（3）连接EG并延长，根据三角形的外角性质，∠AGB=∠A+∠B+∠E，又∵∠AGB=∠CGF，在四边形CDFG中，∠CGF+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．2．（2006•浙江）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P．求证：∠P=90°．分析：由AB∥CD，可知∠BEF与∠DFE互补，由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°，由三角形内角和定理可得∠P=90度．解答：证明：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°．又∵∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠DEF，∴∠PEF+∠PFE=（∠BEF+∠DFE）=90°．∵∠PEF+∠PFE+∠P=180°，∴∠P=90°．3．（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．分析：根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．解答：解：∵∠C=∠ABC=2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，∴∠A=36°．则∠C=∠ABC=2∠A=72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC=90°﹣∠C=18°．4．（2013•响水县一模）探究与发现：探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系．探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（180°﹣∠A），=90°+∠A；探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，=180°﹣（∠ADC+∠BCD），=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），=（∠A+∠B）；探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，=180°﹣（∠ADC+∠ACD），=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．5．如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE交CE于F，求∠CDF的度数．分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，再根据CE平分∠ACB求得∠ACE的度数，则根据三角形的外角的性质就可求得∠CED=∠A+∠ACE，再结合CD⊥AB，DF⊥CE就可求解．解答：解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°﹣40°﹣72°=68°，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE=34°，∴∠CED=∠A+∠ACE=74°，∴∠CDE=90°，DF⊥CE，∴∠CDF+∠ECD=∠ECD+∠CED=90°，∴∠CDF=74°．6．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为12或30秒（直接写出结果）；（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．分析：（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．解答：解：（1）已知∠AOC=60°，∴∠BOC=120°，又OM平分∠BOC，∠COM=∠BOC=60°，∴∠CON=∠COM+90°=150°；（2）延长NO，∵∠BOC=120°∴∠AOC=60°，当直线ON恰好平分锐角∠AOC，∴∠AOD=∠COD=30°，即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC，由题意得，10t=300°∴t=30，当NO平分∠AOC，∴∠NOR=30°，即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC，∴10t=120°，∴t=12，∴t=12或30；（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°，所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=30°．7．如图，AD、BC交于O点，且∠A=∠B，∠C=∠D．求证：AB∥CD．分析：证两直线平行，需证得两直线的内错角相等．结合已知，可用△AOB和△COD的外角∠AOC为媒介，证得∠A=∠D或∠B=∠C，由此来证得AB∥CD．解答：证明：∵∠AOC=∠A+∠B，∠A=∠B，∴∠AOC=2∠B．∵∠AOC=∠C+∠D，∠C=∠D，∴∠AOC=2∠C．∴∠C=∠B．∴AB∥CD．8．如图，已知点A，D，B在同一直线上，∠1=∠2，∠3=∠E．求证：DE∥BC．分析：由∠1=∠2，∠AOE=∠COD可证得∠CDO=∠E；再由∠3=∠E得∠CDO=∠3，即得DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．解答：证明：∵∠1=∠2，∠AOE=∠COD（对顶角相等），∴在△AOE和△COD中，∠CDO=∠E（三角形内角和定理）；∵∠3=∠E，∴∠CDO=∠3，∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．9．如图，∠D=∠1，∠E=∠2，DC⊥EC．求证：AD∥BE．分析：根据DC⊥EC，得∠1+∠2=90°，再结合已知条件，得∠D+∠1+∠E+∠2=180°，利用三角形的内角和定理就可求得∠A+∠B的值，从而证明结论．解答：证明：∵DC⊥EC，∴∠1+∠2=90°，又∠D=∠1，∠E=∠2，∴∠D+∠1+∠E+∠2=180°．根据三角形的内角和定理，得∠A+∠B=180°，∴AD∥BE．10．如图，若∠CAB=∠CED+∠CDE，求证：AB∥CD．分析：利用三角形的内角和定理得∠C+∠CED+∠CDE=180°，已知∠CAB=∠CED+∠CDE，所以∠C+∠CAB=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可证AB∥CD．解答：证明：在△ECD中∵∠C+∠CED+∠CDE=180°（三角形内角和定理），又∵∠CAB=∠CED+∠CDE（已知），∴∠C+∠CAB=180°（等量代换），∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．11．直线AB、CD被直线EF所截，EF分别交AB、CD于M，N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G．（1）如图1，若AB∥CD，求∠1的度数．（2）如图2，若∠MNC=140°，求∠1的度数．分析：（1）根据两角互补及角平分线的性质可求出∠BMG的度数，再根据平行线的性质即可求解；（2）先根据两角互补及角平分线的性质可求出∠NMG的度数，再由三角形内角与外角的性质及∠MNC=140°即可求出∠1的度数．解答：解：（1）∵∠BMF+∠EMB=180°，∴∠BMF=180°﹣∠EMB，∵∠EMB=50°，∴∠BMF=180°50°=130°，（2分）∵MG平分∠BMF，∴∠BMG=∠GMN=∠BMF=65°，（4分）∵AB∥CD，∴∠1=∠BMG=65°；（5分）（2）∵∠MNC=∠1+∠GMN，∴∠1=∠MNC﹣∠GMN，（7分）∵∠MNC=140°，∠GMN=65°，∴∠1=140°﹣65°=75°．（8分）12．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD，若AE∥CF，∠BCF=60°，请你求出∠DCF的度数．并说明你的理由．解答：解：∠DCF=60°，理由如下：∵∠B=90°∴∠1+∠BCF=90°∵∠BCF=60°∴∠1=30度．∵AE∥CF∴∠2=∠1=30度∵AE平分∠BAD∴∠3=∠2=30度又∵∠D=90°∴∠3+∠4=90°∴∠4=60°∵AE∥CF∴∠DCF=∠4=60°．13．已知AB∥CD，直线l与AB、CD分别交于点E、F，点P是直线CD上的一个动点（点P不与F重合），点M 在EF上，且∠FMP=∠FPM，（1）如图1，当点P在射线FC上移动时，若∠AEF=60°，则∠FPM=30°；假设∠AEF=a，则∠FPM=α；（2）如图2，当点P在射线FD上移动时，猜想∠FPM与∠AEF有怎样的数量关系？请你说明理由．分析：（1）根据两直线平行，同旁内角互补以及△PFM的内角和是180°填空；（2）根据两直线平行，内错角相等和三角形的内角和为180度，易得∠FPM=90°﹣∠AEF．解答：解：（1）∵AB∥CD，∴∠AEF+∠MFP=180°．∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，∴∠FMP+∠FPM=∠AEF；∵∠FMP=∠FPM，∴∠FPM=∠AEF；∴若∠AEF=60°，则∠FPM=30°；若∠AEF=a，则∠FPM=α；（2）∠FPM=90°﹣∠AEF．理由：∵AB∥CD，∴∠AEF=∠MFP（两直线平行，内错角相等）．∵∠MFP+∠FMP+∠FPM=180°，∴∠FMP+∠FPM=180°﹣∠MFP=180°﹣∠AEF；∵∠FMP=∠FPM，∴∠FPM=90°﹣∠AEF．14．如图（1）直线GC∥HD，EF交CG、HD于A、B，三条直线把EF右侧的平面分成①、②、③三个区域，（规定：直线上各点不属于任何区域）．将一个透明的直角三角尺放置在该图中，使得30°角（即∠P）的两边分别经过点A、B，当点P落在某个区域时，连接PA、PB，得到∠PBD、∠PAC两个角．（1）如图（1），当点P落在第②区域时，求∠PAC+∠PBD的度数；（2）如图（2），当点P落在第③区域时，∠PAC﹣∠PBD=30度（3）如图（3），当点P落在第①区域时，直接写出∠PAC、∠PBD之间的等量关系．分析：解答：（1）过点P作PQ∥GC，则由平行线的性质求出∠PAC+∠PBD=∠P，从而得出答案．（2）由GC∥HD，得∠EAC=∠EBD，再由外角的性质得出∠PAE=∠P+∠ABP，从而得出∠PAC=∠PBD+∠P；（3）由GC∥HD，得∠1=∠PBD，再由外角的性质得出∠1=∠P+∠CAP，从而得出∠PBD=∠PAC+∠P．解：（1）过点P作PQ∥GC，∴∠PAC=∠APQ，∠BPQ=∠PBD，∴∠PAC+∠PBD=∠APQ+∠QPB，即∠PAC+∠PBD=∠P，∵∠P=30°，∴∠PAC+∠PBD=30°．（2）∵GC∥HD，∴∠EAC=∠EBD，∵∠PAE=∠P+∠ABP，∴∠PAC=∠PBD+∠P，∴∠PAC﹣∠PBD=30°；（3）∵GC∥HD，∴∠1=∠PBD，∵∠1=∠P+∠CAP，∴∠PBD=∠PAC+∠P，即∠PBD﹣∠PAC=∠P．∴∠P=30°．15．如图，直线a∥b，直线AC分别交a、b于点B、点C，直线AD交a于点D．若∠1=20°，∠2=65°，求∠3的度数．分析：根据两直线a∥b推知，内错角∠2=∠4；然后由三角形的外角性质及等量代换求得∠3的度数即可．解答：解：∵a∥b，∴∠2=∠4（两直线平行，内错角相等），又∵∠4=∠1+∠3（外角定理），∠1=20°，∠2=65°，∴∠3=∠2﹣∠1=45°，即∠3=45°．16．（1）如图（1），AB∥CD，点P在AB、CD外部，若∠B=40°，∠D=15°，则∠BPD=25°．（2）如图（2），AB∥CD，点P在AB、CD内部，则∠B，∠BPD，∠D之间有何数量关系？证明你的结论；（3）在图（2）中，将直线AB绕点B按逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点M，如图（3），若∠BPD=90°，∠BMD=40°，求∠B+∠D的度数．分析：（1）由AB∥CD，∠B=40°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠BOD的度数，又由三角形外角的性质，可求得∠BPD的度数；（2）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得AB∥PE∥CD，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（3）首先延长BP交CD于点E，利用三角形外角的性质，即可求得∠B+∠D的度数．解答：解：（1）∵AB∥CD，∠B=40°，∴∠BOD=∠B=40°，∴∠P=∠BOD﹣∠D=40°﹣15°=25°．故答案为：25°；（2）∠BPD=∠B+∠D．证明：过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）延长BP交CD于点E，∵∠1=∠BMD+∠B，∠BPD=∠1+∠D，∴∠BPD=∠BMD+∠B+∠D，∵∠BPD=90°，∠BMD=40°，∴∠B+∠D=∠BPD﹣∠BMD=90°﹣40°=50°．17．（2012•樊城区模拟）下面是有关三角形内外角平分线的探究，阅读后按要求作答：探究1：如图（1），在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现：∠BOC=90°+∠A（不要求证明）．探究2：如图（2）中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的数量关系？请说明理由．探究3：如图（3）中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的数量关系？（只写结论，不需证明）．结论：∠BOC=90°﹣∠A．分析：（1）根据提供的信息，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠O与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BOC与∠O的关系；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠OBC与∠OCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．解答：解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，∵∠2是△BOC的一外角，∴∠BOC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；（2）探究3：∠OBC=（∠A+∠ACB），∠OCB=（∠A+∠ABC），∠BOC=180°﹣∠0BC﹣∠OCB，=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC=90°﹣∠A．18．（2011•宜兴市二模）操作示例如图1，△ABC中，AD为BC边上的中线，则S△ABD=S△ADC．实践探究（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为；（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为；（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为；；解决问题：（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+S2+S3+S4=20．分析：（1）利用E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得S阴和S矩形ABCD即可．（2）利用E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求则S阴和S平行四边形ABCD即可．（3）利用E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，分别求得则S阴和S四边形ABCD即可．（4）先设空白处面积分别为：x、y、m、n由上得，，分别求得S1、S2、S3、S4．然后S1+S2+S3+S4=S阴即可．解答：解：（1）由E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，得S阴=BF•CD=BC•CD，S矩形ABCD=BC•CD，所以；（2）同理可得；；（3）同理可得；；（4）设空白处面积分别为：x、y、m、n（见右图），由上得，，∴S1+x+S2+S3+y+S4=．S1+m+S4+S2+n+S3=，∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S四边形ABCD．∴（S1+x+S2+S3+y+S4）+（S1+m+S4+S2+n+S3）=S1+x+S2+n+S3+y+S4+m+S阴∴S1+S2+S3+S4=S阴=20．故答案分别为：（1）；（2）；（3）；（4）20．19．如图，在△BCD中，BE平分∠DBC交CD于F，延长BC至G，CE平分∠DCG，且EC、DB的延长线交于A 点，若∠A=33°，∠DFE=63°．（1）求证：∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）求∠E的度数；（3）若在上图中作∠CBE与∠GCE的平分线交于E1，作∠CBE1与∠GCE1的平分线交于E2，作∠CBE2与∠GCE2的平分线于E3，以此类推，∠CBEn与∠GCEn的平分线交于En+l，请用含有n的式子表示∠En+l的度数（直接写答案）．分析：（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得出∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，将第一式代入第二式即可得证；（2）根据角平分线及三角形外角的性质得出∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，则∠D=2∠E，再利用上题结论∠DFE=∠A+∠D+∠E，将已知条件代入，即可求出∠E的度数；（3）先根据角平分线及三角形外角的性质得出∠E1=∠E，同理得出∠E2=∠E1，则∠E2=∠E=∠E，由此得出规律∠E n+l=∠E．解答：（1）证明：∵∠DCE=∠A+∠D，∠DFE=∠DCE+∠E，∴∠DFE=∠A+∠D+∠E；（2）解：∵∠DCG=∠D+∠DBC，CE平分∠DCG，∴∠ECG=∠DCG=（∠D+∠DBC），∵BE平分∠DBC，∴∠EBC=∠DBC，∵∠ECG=∠E+∠EBC=∠E+∠DBC，∴∠E+∠DBC=（∠D+∠DBC），∴∠E=∠D，∴∠D=2∠E．∵∠DFE=63°，∠A=33°，∠DFE=∠A+∠D+∠E，∴∠D+∠E=∠DEF﹣∠A=63°﹣33°=30°，∴2∠E+∠E=30°，∴∠E=10°；（3）∵∠ECG=∠E+∠EBC，CE1平分∠ECG，∴∠E1CG=∠ECG=（∠E+∠EBC）．∵BE1平分∠EBC，∴∠E1BC=∠EBC．∵∠E1CG=∠E1+∠E1BC=∠E1+∠EBC，∴∠E1+∠EBC=（∠E+∠EBC），∴∠E1=∠E．同理：∠E2=∠E1，∴∠E2=∠E=∠E，∴∠E n+l=∠E．20．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：∠ACB﹣∠B=2∠EAD．（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？分析：（1）先求出∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，再根据角平分线的定义，得出∠BAC=90°，则根据三角形内角和定理得出∠ACB=90°﹣∠B，故求出∠B的度数即可．而在直角△ABD中，∠B=90°﹣∠BAD=30°；（2）由（1）的计算发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为：∠ACB﹣∠B=2∠EAD；（3）先根据三角形内角和定理及垂直的定义，得出∠ACB﹣∠B=∠BAD﹣∠CAD，再由角平分线的定义得出结论∠ACB﹣∠B=2∠EAD．解答：解：（1）∵∠BAD=60°，∠EAD=15°，∴∠BAE=∠BAD﹣∠EAD=45°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=90°．∵AD⊥BC，∠BAD=60°，∴∠B=30°，∴∠ACB=90°﹣30°=60°；（2）∵（1）中∠EAD=15°，∠ACB﹣∠B=60°﹣30°=30°，发现∠ACB﹣∠B=2∠EAD，∴推测∠ACB﹣∠B=2∠EAD；（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立．理由如下：∵在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∠BAE=∠CAE，∴∠ACB﹣∠B=90°﹣∠CAD﹣（90°﹣∠BAD）=∠BAD﹣∠CAD，又∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，∠CAD=∠CAE﹣∠EAD，∴∠ACB﹣∠B=2∠EAD．21．如图（甲），D是△ABC的边BC的延长线上一点．∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1．（1）若∠ABC=80°，∠ACB=40°，则∠P1的度数为30°；（2）若∠A=α，则∠P1的度数为α；（用含α的代数式表示）（3）如图（乙），∠A=α，∠ABC、∠ACD的平分线相交于P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3依此类推，则∠Pn的度数为（）nα（用n与α的代数式表示）分析：由∠P1CD=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠P1CD，∠ABC=2∠P1BC，于是有∠A=2∠P1，同理可得∠P1=2∠P2，即∠A=22∠P2，因此找出规律．解答：解：∵P1B、P1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠P1CD，∠ABC=2∠P1BC，而∠P1CD=∠P1+∠P1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠P1，∴∠P1=∠A，（1）∵∠ABC=80°，∠ACB=40°，∴∠A=60°，∴∠P1=30°；（2）∵∠A=α，∴∠P1的度数为α；（3）同理可得∠P1=2∠P2，即∠A=22∠P2，∴∠A=2n∠P n，∴∠Pn=（）nα．故答案为：30°，α，（）nα．22．在△ABC中，∠C＞∠B，AE是△ABC中∠BAC的平分线；（1）若AD是△ABC的BC边上的高，且∠B=30°，∠C=70°（如图1），求∠EAD的度数；（2）若F是AE上一点，且FG⊥BC，垂足为G（如图2），求证：；（3）若F是AE延长线上一点，且FG⊥BC，G为垂足（如图3），②中结论是否依然成立？请给出你的结论，并说明理由．分析：（1）根据三角形内角和定理得∠A=180°﹣30°﹣70°=80°，再根据角平分线定义得∠EAC=×80°=40°，由AD是△ABC的BC边上的高，得∠ADC=90°，计算出∠DAC=90°﹣70°=20°，则∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）根据三角形内角和定理得∠A=180°﹣∠B﹣∠C，再根据角平分线定义得∠EAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），而∠DAC=90°﹣∠C，可计算得∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=90°﹣（∠B+∠C）﹣90°﹣∠C=（∠C﹣∠B），然后利用平行线的性质得到结论；（3）与（2）证明方法一样．解答：（1）解：∵∠B=30°，∠C=70°，∴∠A=180°﹣30°﹣70°=80°，∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠EAC=×80°=40°，∵AD是△ABC的BC边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC=90°﹣70°=20°，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）证明：过A点作高AD，如图，∠A=180°﹣∠B﹣∠C，∵AE是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠EAC=（180°﹣∠B﹣∠C）=90°﹣（∠B+∠C），而∠DAC=90°﹣∠C，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=90°﹣（∠B+∠C）﹣90°﹣∠C=（∠C﹣∠B），∵FG⊥BC，∴∠EFG=∠EAD，∴∠EFG=（∠C﹣∠B）；（3）②中结论依然成立．理由如下：过A点作高AD，如图，在（2）中得到∠EAD=（∠C﹣∠B），∵FG⊥BC，∴∠EFG=∠EAD，∴∠EFG=（∠C﹣∠B）．23．已知，如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE，DF分别是△ADC的高和角平分线（∠C＞∠DAC），若∠B=80°，∠C=40°．（1）求∠DAE的度数；（2）试猜想∠EDF、∠C与∠DAC有何关系？并说明理由．分析：（1）先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据三角形的角平分线的定义即可求出∠DAE 的度数；（2）先根据三角形内角和定理及角平分线的定义求出∠CDF=（180°﹣∠DAC﹣∠C），再由直角三角形两锐角互余得出∠CDE=90°﹣∠C，则根据∠EDF=∠CDF﹣∠CDE即可得出∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．解答：解：（1）∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，∴∠BAC=180°﹣80°﹣40°=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠BAC=30°；（2）∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．理由如下：在△DAC中，∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∴∠ADC=180°﹣∠DAC﹣∠C，∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=∠ADC=（180°﹣∠DAC﹣∠C），∵DE是△ADC的高，∴∠CDE=90°﹣∠C，∴∠EDF=∠CDF﹣∠CDE=（180°﹣∠DAC﹣∠C）﹣（90°﹣∠C）=（∠C﹣∠DAC）．故∠EDF=（∠C﹣∠DAC）．24．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．分析：根据三角形高的定义得到∠CDB=90°，∠BEC=90°，先利用三角形内角和定理得∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，则∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°，然后利用三角形外角性质可计算∠BFC=22°+90°=112°．解答：解：∵CD是AB上的高，∴∠CDB=90°，∵∠CDB+∠DBC+∠DCB=180°，∴∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，∵BE是AC上的高，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，∴∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°；∵∠BFC=∠FDB+∠DBF，∴∠BFC=22°+90°=112°．25．如图，已知△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求：∠DAE的度数．（写出推导过程）分析：根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE是∠BAC的平分线，可得∠EAC的度数；在直角△ADC中，可求出∠DAC的度数，所以∠DAE=∠EAC﹣∠DAC，即可得出．解答：解：∵△ABC中，∠B=40°，∠C=62°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣62°=78°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠EAC=∠BAC=39°，∵AD是BC边上的高，∴在直角△ADC中，∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣62°=28°，∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=39°﹣28°=11°．26．已知△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，点D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）若AD为△ABC的角平分线（如图1），图中∠1、∠2有何数量关系？为什么？（2）若AD为△ABC的高（如图2），求图中∠1、∠2的度数．分析：（1）根据已知得出∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，以及AD平分∠BAC，即可得出∠1=∠2；（2）首先得出DE∥AC，再利用∠1=∠ADB﹣∠BDE=30°，进而求出∠FDC=180°﹣∠DFC﹣∠C=60°，即可求出∠2=∠ADC﹣∠FDC的度数．解答：解：（1）∠1=∠2，理由如下：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，DF∥AB，∴∠1=∠DAC，∠2=∠DAB，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAB，∴∠1=∠2；（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=∠DEB=∠DFC=∠BAC=90°，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠C=30°，∴∠1=∠ADB﹣∠BDE=30°，∵∠FDC=180°﹣∠DFC﹣∠C=60°，∴∠2=∠ADC﹣∠FDC=60°．27．如图，（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是56°．（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是（用含n的代数式表示）．分析：（1）根据角平分线的性质可得到：∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，再根据三角形的内角和定理可得：∠BD1C的度数，再根据∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，可得∠D2BC=∠ABC，∠D2CB=∠ACB，进而求出∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB），以此类推可得到：∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形内角和代入∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，即可求出答案．（2）根据（1）中所求即可得出答案．解答：解：（1）∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣52°=128°，又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∴∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，∴∠BD1C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣64°=116°，同理∠BD2C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣96°=84°，依此类推，∠BD5C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣124°=56°．故答案为：56°；（2）由（1）可得：∠BD3C=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=n°．解得：∠A=．故答案为：．28．已知△ABC．（1）若∠BAC=40°，画∠BAC和外角∠ACD的角平分线相交于O1点（如图①），求∠BO1C的度数；（2）在（1）的条件下，再画∠O1BC和∠O1CD的角平分线相交于O2点（如图②），求∠BO2C的度数；（3）若∠BAC=n°，按上述规律继续画下去，请直接写出∠BO2012C的度数．分析：由∠O1CD=∠O1+∠O1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠O1CD，∠ABC=2∠O1BC，于是有∠A=2∠O1，同理可得∠O1=2∠O2，即∠A=22∠O2，因此找出规律．解答：解：∵O1B、O1C分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠ACD=2∠O1CD，∠ABC=2∠O1BC，而∠O1CD=∠O1+∠O1BC，∠ACD=∠ABC+∠A，∴∠A=2∠01=40°，∴∠O1=20°，同理可得∠O1=2∠O2，即∠A=22∠02=40°，∴∠O2=10°，∴∠A=2n∠A n，∴∠A n=n°×（）n．则∠BO2012C=0．29．（1）如图1，在锐角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与CE相交于点P，若已知∠A=50°，∠BPC的度数为多少；（2）如图2，在钝角△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高线，BD与EC的延长线相交于点P，若已知∠A=50°，则∠BPC的度数为多少；（3）在△ABC中，若∠A=α，请你探索AB、AC边上的高线（或延长线）相交所成的∠BPC的度数．（可以用含α的代数式表示）分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠A+∠ACE=90°，∠BPC+∠PCD=90°，再根据∠ACE和∠PCD是对顶角解答即可；。

三角形内角和外角练习题

规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件；在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。

类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。

求证：∠BAC ＞∠B。

举一反三：【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。

类型三：三角形内角和定理与外角性质的综合应用3．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.举一反三：【变式】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。

类型四：与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF 交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。

三角形内角和、外角练习题word版本

三角形内角和、外角练习题规律方法指导1．三角形内角和为180°，三角形三个外角的和是360°,这是在做题时题设不用加以说明的已知条件；在三个角中已知其中两个角的度数便能求第三个角的大小.2．在一个三角形中最多只能有一个钝角或者一个直角，最少有两个锐角.3．三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度数及有关的推理论证时经常使用的理论依据．外角的性质应用：①证明一个角等于另两个角的和；②作为中间关系式证明两角相等；③证明角的不等关系.4．利用作辅助线求解问题，会使问题变得简便.经典例题透析类型一：三角形内角和定理的应用1．已知一个三角形三个内角度数的比是1：5：6，则其最大内角的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．120°举一反三：【变式1】在△ABC中，∠A=55°，∠B比∠C大25°，则∠B的度数为（）A．50° B．75°C．100° D．125°【变式2】三角形中至少有一个角不小于________度。

类型二：利用三角形外角性质证明角不等2．如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。

求证：∠BAC ＞∠B。

举一反三：【变式】如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来________。

类型四：与角平分线相关的综合问题4．如图9，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点Ｄ．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BDC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BDC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BDC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BDC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BDC＝________．举一反三：【变式1】如图10，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE 与CF交于G，若∠BDC= 140°，∠BGC=110°，求∠A的大小.80【变式2】如图11, △ABC的两个外角的平分线相交于点D，如果∠A＝50°，求∠D.【变式3】如图12，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，则∠AEB的度数是_____.【变式4】（2009北京四中期末）如图所示，△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线相交于点F，若∠A=68°，求∠F的度数。

与三角形有关的角练习题

与三角形有关的角练习题一、知识点：三角形的角：1. 三角形的内角和等于 °2. 三角形的外角和等于 °如图，∠ 是ABC 的一个外角3. 三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于；如图，∠ACD=∠ +∠ ；（2）三角形的一个外角大于。

如图，∠ACD > ；∠ACD >三角形的三边关系：三角形的任意两边之和第三边；三角形任意两边之差第三边。

即：三角形两边 < 三角形的第三边 <三角形的两边二、练习：1．如图：AB ∥CD ，AD 和BC 交于点O ，若∠A=42°∠C=59°，则∠AOB 等于 .2．有一块直角三角形纸片ABC ，把它折叠，使点C 落在AB 边上。

若∠C=90°，∠B=40°，则∠DAB= 。

3．在△ABC 中（如图），BD 平分∠ABC ，∠A=36°，∠C=72°，那么∠ABD 的度数是；∠BDC 的度数是。

4、等腰三角形的两条边长分别为8cm 和5cm ，它们的周长是 cm5．一个等腰三角形的周长是18cm ，其中一边长为5，则其余两边的长分别是。

6．如图：1l ∥2l ，∠1=80°，∠2=30°，求∠3的度数；第2、3小题第1题第2题第6题7．如图：AB ∥CD ，AD ∥CD ，∠1=50°，∠2=80°。

（1）∠BDC ，∠DBC 分别是多少度？（2）∠C 等于多少度？8．在△ABC 中,若∠A :∠B:∠C=2:3:4，则∠A 、∠B 度数9.在∆ABC 中,∠A=30°,∠C=41∠B,求∠B10、如图：△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是斜边上的高，如果∠A=2∠B ，求∠B ，∠ACD 的度数。

三角形的外角练习题

11。

2。

2三角形的外角基础知识一、选择题1．(2013•襄阳）如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点,∠B=40°,∠ACD=120°,则∠A 等于（ )A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°2．(2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形,其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD 的度数是( ）A ．15°B ．25°C ．30°D ．10°3。

设α,β，γ是某三角形的三个内角，则α+β，β+γ，α+γ 中（） A 。

有两个锐角、一个钝角 B 。

有两个钝角、一个锐角C.至少有两个钝角 D 。

三个都可能是锐角4。

（2012 江苏省南通市) 如图，△ABC 中，∠C ＝70°，若沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2等于（ )A ．360°B ．250°C ．180°D ．140°5．（2012•漳州)将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是（）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90° A C B126如图，∠BDC=98°，∠C=38°,∠B=23°，∠A的度数是( )A．61° B．60° C．37° D．39°7.如图，在Rt△ADB中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是( )A．10° B．20° C．30° D．40°8．如图,∠A=34°，∠B=45°，∠C=36°，则∠DFE的度数为（）A．120° B．115° C．110° D．105°9．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为( )A．180° B．360° C．540° D．720°10．如图,把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时,则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1-∠2 B．2∠A=∠1-∠2C．3∠A=2∠1-∠2 D．3∠A=2（∠1-∠2）11如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=（)A．90 B．180 C．200 D．36012．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A=40°,则∠D的度数是（) A．20° B．30° C．40° D．60°13．如图，等边三角形ABC，P为BC上一点，且∠1=∠2，则∠3为（) A．50° B．60° C．75° D．无法确定二、填空题1．如图，BP 、CP 是任意△ABC 中∠B、∠C 的角平分线，可知∠BPC=90°+21∠A，把图中的△ABC 变成图中的四边形ABCD,BP ，CP 仍然是∠B,∠C 的平分线，猜想∠BPC 与∠A、∠D 的数量关系是 .2．已知:如图，在直角坐标系中，点A,B 分别是x 轴，y 轴上的任意两点，BE 是∠ABy 的平分线，BE 的反向延长线与∠OAB 的角平分线交于点C,则∠ACB= ．三、解答题4。

三角形的外角典型练习题汇编

【知识点2】三角形的外角性质知识要点：1.三角形的一个外角等于 .三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.2.三角形的外角和为 .o【典型例题】如图，△ABC 中，∠A=50°,∠ABC 的平分线与∠C 的外角∠ACE 平分线交于D ，求∠D 的度数。

【变式训练】1.如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD，∠A=80°，∠B=40°，则∠ACE 的大小是度．2．如图，AD 、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B=58°，∠C=36°，∠EAD= .3.如图，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACE，∠A=40°，则∠D 的度数是．4.如图，AB ∥CD ，∠A=32°，∠AEB=100°，则∠C 的度数是度．5.△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，则∠A= 度．6．在△ABC 中，已知∠A=21∠B=31∠C ，则三角形的形状是三角形． 7．已知△ABC 中，∠A=2（∠B+∠C ），则∠A 的度数为度．8.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .9.如图,在△ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，∠B ＝80°，∠C ＝46°(1)你会求∠DAE 的度数吗?(2)你能发现∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系吗?(3)若只知道∠B －∠C ＝20°，你能求出∠DAE 的度数吗?(4)∠AED 是哪个三角形的外角?C ED B A第2题第1题第3题第4题22题1()O D C B A O 22题2()E D C B A22题3()CE D B A22题4()65432122题5()765432110.如图22（1）所示，称“对顶三角形”，其中，∠A＋∠B＝∠C＋∠D，利用这个结论，完成下列填空.（1）如图22题(2)，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ .（2）如图22题（3），∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝（3）如图22题（4），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝ .（4）如图22题（5），∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝ .。

三角形的外角练习题

D
三角形外角的性质：
A
性质1、三角形的一个外角等于
与它不相邻的两个内角的 B
C
和。 ∠B+∠C=∠CAD
性质2、三角形的一个外角大于任何
一个与它不相邻的内角。
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ 360°
A 1
3 B
C 2
三角形的外角和等于360°
课堂反馈: 1、三角形的一个外角等于两个内角的和。（）
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角的定义),
∴ ∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角).
∴ ∠BDC>∠A (不等式的性质).
三角形的外角三个性质：
①三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
D
间的数量关系，因此需要添加
辅助线。那如何添加辅助线才
能建立这几个角之间的联系呢？ A
B
1、已知:国旗上的正五角星形如图所示. 求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
分析:设法利用外角把这五个角“凑” 到一个三角形中,运用三角形内角和性质来求解.
A
B
H 2 1F
C
E D
Байду номын сангаас
解:∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义), ∴ ∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和). 又∵ ∠2是△EHC的一个外角(外角的定义 ∴), ∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).

三角形内角和外角练习题及作业

三⾓形内⾓和外⾓练习题及作业11.2 与三⾓形有关的⾓习题课⼀、知识要点1、三⾓形内⾓和定理：三⾓形三个内⾓的和等于______，即：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=_____理解与延伸：①⼀个三⾓形中最多只有⼀个钝⾓或直⾓②⼀个三⾓形中最少有⼀个⾓不⼩于60°③等边三⾓形每个⾓都是60°2、直⾓三⾓形的性质与判定性质：直⾓三⾓形的两个锐⾓__________；判定：有两个⾓互余的三⾓形是_______________3、三⾓形的外⾓：三⾓形的⼀边与另⼀边的______________组成的⾓特点：①三⾓形的⼀个外⾓和与它同顶点的内⾓互为_______________②三⾓形有____个外⾓，每个顶点处有____个外⾓，但算三⾓形外⾓和时，每个顶点处只算____个外⾓，外⾓和是指三个外⾓的和，三⾓形的外⾓和为________ 性质：三⾓形的外⾓等于与它______________的两个内⾓的和⼆、知识应⽤1、三⾓形内⾓和定理应⽤(1)已知两⾓求第三⾓ (2)已知三⾓的⽐例关系求各⾓ (3)已知三⾓之间相互关系求未知⾓2、三⾓形外⾓性质的应⽤(1)已知外⾓和它不相邻两个内⾓中的⼀个可求“另⼀个”(2)可证⼀个⾓等于另两个⾓的_______(3)经常利⽤它作为中间关系式证明两个⾓相等．三、例题分析1、如图，⼀种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B = ∠D = 40°则∠C=_______2、如图，⼀个直⾓三⾓形纸⽚，剪去直⾓后，得到⼀个四边形，则∠1＋∠2=_______3、△ABC中，∠B = ∠A + 10°，∠C = ∠B + 10°.求△ABC的各内⾓的度数4. 将⼀个直⾓三⾓板和⼀把直尺如图放置，如果∠α＝43°，求∠β的度数5、如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数变式：（1）如图①，五⾓形的顶点分别为A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____（2）如图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=_____（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____6、（1）如图1，BO、CO分别是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（2）如图2，BO、CO分别是△ABC两个外⾓∠CBD和∠BCE的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（3）如图3，BO、CO分别是△ABC⼀个内⾓和⼀个外⾓的平分线，则∠BOC与∠A的关系是____________________________（4）请就图2及图2中的结论进⾏证明四、课外作业：A 组题1、如图，已知点B 、C 、D 、E 在同⼀直线上，△ABC 是等边三⾓形，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E=______2、如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=______3、把⼀副三⾓板按如图⽅式放置，则两条斜边所形成的钝⾓α=_______度．4、如图，∠1、∠2、∠3的⼤⼩关系为（）A ．∠2＞∠1＞∠3B ．∠1＞∠3＞∠2C ．∠3＞∠2＞∠1D ．∠1＞∠2＞∠35、如果三⾓形的⼀个外⾓和与它不相邻的两个内⾓的和为180°,那么与这个外⾓相邻的内⾓的度数为( )A 、30°B 、60°C 、90°D 、120°6、如图，已知∠1=60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A 、360°B 、540°C 、240°D 、280°7、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，点F 在BC 的延长线上，DE ∥BC ，∠A=46°，∠1=52°，求∠2的度数．8、⼀个零件的形状如图，按规定∠A= 90°，∠B 和∠C ，应分别是32°，和21°，检验⼯⼈量得∠BDC = 148°，就断定这两个零件不合格，运⽤三⾓形的有关知识说明零件不合格的理由。

三角形内外角关系练习题

三角形内外角关系练习题1. 在三角形ABC中，角A的外角为30°，角B的内角为50°，求角C的外角和内角。

解析：根据三角形内外角关系，外角和内角之和为180°。

已知角A的外角为30°，则角A的内角为180° - 30° = 150°。

已知角B的内角为50°，则角B的外角为180° - 50° = 130°。

所以，角C的外角为130°，角C的内角为180° - 130° = 50°。

所以，角C的外角为130°，角C的内角为50°。

2. 在三角形DEF中，角D的外角为45°，角E的内角为70°，求角F的外角和内角。

解析：根据三角形内外角关系，外角和内角之和为180°。

已知角D的外角为45°，则角D的内角为180° - 45° = 135°。

已知角E的内角为70°，则角E的外角为180° - 70° = 110°。

所以，角F的外角为110°，角F的内角为180° - 110° = 70°。

3. 在三角形GHI中，已知角G的外角为120°，角H的内角为80°，求角I的外角和内角。

解析：根据三角形内外角关系，外角和内角之和为180°。

已知角G的外角为120°，则角G的内角为180° - 120° = 60°。

已知角H的内角为80°，则角H的外角为180° - 80° = 100°。

所以，角I的外角为100°，角I的内角为180° - 100° = 80°。

三角形的外角练习题

三角形的外角练习题三角形是几何学中的重要概念，而其中的外角也是我们需要深入理解和熟练运用的内容之一。

通过练习题的形式，我们可以更好地掌握外角的概念、性质和计算方法。

本文将为大家提供一系列三角形的外角练习题，以帮助读者加强对该知识点的理解和掌握。

1. 练习题一：在△ABC中，已知∠A = 60°，∠B = 75°，请计算∠C的度数。

解：三角形内角和定理告诉我们，三角形内角之和始终为180°。

因此，∠C = 180° - ∠A - ∠B = 45°。

2. 练习题二：已知在△ABC中，∠A = 40°，∠B = 60°，求∠C的补角。

解：两个角的补角之和为180°。

因此，∠C的补角为180° - ∠A -∠B = 180° - 40° - 60° = 80°。

3. 练习题三：在△ABC中，已知∠A = x°，∠B = 2x°，若∠C的补角为80°，求解x的值。

解：根据题意，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - x° - 2x°= 80°。

化简得到3x° = 100°，因此x = 100° / 3 ≈ 33.33°。

4. 练习题四：已知在△ABC中，∠A = 40°，∠B = (2x + 10)°，∠C的补角为100°，求解x的值。

解：根据题意，我们可以得到∠B的度数为2x + 10°，而∠C的补角为100°。

因此，我们可以列出方程：180° - ∠A - (2x + 10)° = 100°。

化简得到130° - 2x° = 100°，再进一步化简可得2x° = 30°，解得x = 15°。

三角形内角和、外角练习题

三角形内角和、外角练习题1.三角形有内角和定理和外角性质。

内角和为180°，外角和为360°，这些是做题时常用的已知条件。

已知其中两个角的大小可以求出第三个角的大小。

2.一个三角形最多只有一个钝角或一个直角，最少有两个锐角。

3.内角和定理和外角性质是求角度和推理的基础。

外角性质可用于证明一个角等于另外两个角的和，作为中间关系式证明两个角相等，或证明角的不等关系。

4.作辅助线可以使问题更简单。

经典例题解析：1.已知三角形三个内角度数的比为1：5：6，求最大的内角度数。

根据内角和定理，三个内角的和为180°，设它们分别为x、5x、6x，则有x+5x+6x=180°，解得x=20°，最大的内角为6x=120°。

举一反三：在△ABC中，已知∠A=55°，∠XXX∠C大25°，求∠B的度数。

设∠B=x，∠C=y，则∠A+∠B+∠C=180°，代入已知条件得x+y=125°，又因为∠B比∠C大25°，所以x=y+25°，代入前面的式子得2y+25°=125°，解得y=50°，x=75°，即∠B的度数为75°。

又如：三角形中至少有一个角不小于60度。

2.已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E。

证明∠BAC＞∠B。

根据外角性质，∠BAC=∠ACD+∠ACB，而CE是∠ACD的平分线，所以∠ACE=∠ECD=1/2∠ACD，又因为CE交BA延长线于点E，所以∠ACB=∠ACE+∠ECB，代入前面的式子得∠BAC=∠ACD+∠ACE+∠XXX∠ACD+1/2∠ACD+∠ECB=3/2∠ACD+∠ECB。

又因为∠XXX和∠ECB是同旁内角，所以∠XXX＜∠B，代入前面的式子得∠BAC＞∠B。

举一反三：如图所示，用“＜”把∠1、∠2、∠A联系起来，根据外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠A+∠C，代入前面的式子得∠B＜∠1-∠A，∠C＜∠2-∠A，即可得到所求的关系。

初中数学：三角形的外角练习题(含答案)

初中数学：三角形的外角练习题（含答案）一、选择题1、如右图所示，若∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE=( )A.120°B.115°C.110°D.105°EB C【答案】B【解析】试题分析：根据三角形外角的性质进行计算.解：∠ADF=∠B+∠C(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和)∵∠B=45°，∠C=38°，∴∠ADF=83°，∠DEF=∠A+∠ADF(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和)∵∠A=32°，∠ADF=83°，∴∠DEF=115°.故应选B考点：三角形外角性质2、如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为( )A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】C【解析】试题分析：根据三角形外角的性质可得：∠ACD=∠A+∠B，根据题意可得：∠ACD+∠A+∠B=180°，所以可得：∠ACD+∠ACD=180°，求出∠ACB=90°. 解：如下图所示，设∠ACD+∠A+∠B=180°，∵∠ACD=∠A+∠B(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和)，∴∠ACD+∠ACD=180°，∴∠ACD=90°，∴∠ACB=90°.故应选C.考点：三角形外角的性质二、填空题3、如图，x=______。

【答案】60°.【解析】试题分析：根据三角形外角的性质列出关于x的方程，解方程求出结果.解：根据三角形外角的性质可得：x+80=x+x+20，解得：x=60.故答案是60°.考点：三角形外角的性质4、若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形。

(完整版)三角形的外角练习题及标准答案

7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．(1) (2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题）三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．（探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．（2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥，将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题：•能否一次不重复地把这七座桥走遍？可是，走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案:1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1>∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1>∠2>∠3．5．解：∠BAC=180°-（∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°-2a）=60°-•a，•∠ADB=180°-∠B-60°=60°+a，由AD=AE知，∠ADE=90°-a，所以∠EDC=180°-∠ADE-∠ADB=30°．8．解法1：如答图1，延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°，从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) (2) (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D，∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3，过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°，∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解：（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：（1）∠BDC=90°-12∠A．理由：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．∠EBC+∠FCB=（180°-∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB）=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB）=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中，∠BDC=180°-（∠CBD+∠BCD）=180°-（90°+12∠A）=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC-12∠ABC=12∠A．12．解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下：延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案:欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形，于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。

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7．2．2 三角形的外角基础过关作业1．若三角形的外角中有一个是锐角，则这个三角形是________三角形．2．△ABC中，若∠C—∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．3．如图1，x=______．（1）（2) (3)4．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．5．如图3，在△ABC中,AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．6．如图,在△ABC中,∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高,H是BD、•CE的交点,求∠BHC的度数．综合创新作业7．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC=______．8．一个零件的形状如图7-2-2—6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？9．(1）如图7-2—2—7（1)，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2)如图7—2—2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．10．（易错题)三角形的三个外角中最多有_______个锐角．培优作业11．(探究题）（1）如图，BD、CD分别是△ABC的两个外角∠CBE、∠BCF•的平分线，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．(2）如图，BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，它们相交于点D，试探索∠BDC与∠A之间的数量关系．12．（趣味题）如图，在绿茵场上,足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近,说明这是为什么？数学世界七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有七座桥,将河中的两个岛和河岸连接．如图所示．城中的居民经常沿河过桥散步，于是就提出一个问题:•能否一次不重复地把这七座桥走遍?可是,走来走去，这个愿望还是无法实现．该怎样走才好呢？•这就是著名的哥尼斯堡七桥问题．••好奇的人把这个问题拿给当时的大数学家欧拉（1707～1783）．欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在．你知道欧拉是根据什么道理证明的吗？答案：1．钝角2．直角点拨：∵∠C-∠B=∠A，∴∠C=∠A+∠B．又∵（∠A+∠B）+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，∴∠C=90°，∴△ABC的外角中最小的角是直角．3．60 点拨：由题意知x+80=x+（x+20）．解得x=60．4．∠1〉∠2>∠3点拨：∵∠1是∠2的外角，∠2是∠3的外角，∴∠1〉∠2〉∠3．5．解：∠BAC=180°—(∠B+∠C）=180°-（52°+78°）=50°．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=25°．∴∠AEB=∠CAE+∠C=25°+78°=103°．6．解：在△ACE中，∠ACE=90°-∠A=90°-60°=30°．而∠BHC是△HDC的外角，所以∠BHC=∠HDC+∠ACE=90°+30°=120°．7．30°点拨：设∠CAD=2a，由AB=AC知∠B=12（180°-60°—2a）=60°—•a，•∠ADB=180°—∠B-60°=60°+a,由AD=AE知，∠ADE=90°—a，所以∠EDC=180°-∠ADE—∠ADB=30°．8．解法1：如答图1,延长BC交AD于点E，则∠DEB=∠A+∠B=90°+30°=•120°,从而∠DCB=∠DEB+∠D=120°+20°=140°．若零件合格，∠DCB应等于140°．李叔叔量得∠BCD=142°，因此可以断定该零件不合格．(1) （2） (3)点拨：也可以延长DC与AB交于一点，方法与此相同．解法2：如答图2，连接AC并延长至E，则∠3=∠1+∠D,∠4=∠2+∠B，因此∠DCB=∠1+∠D+∠2+∠B=140°．以下同方法1．解法3：如答图3,过点C作EF∥AB，交AD于E，则∠DEC=90°,∠FCB=∠B=•30°，所以∠DCF=∠D+∠DEC=110°，从而∠DCB=∠DCF+∠FCB=140°．以下同方法1．说明：也可以过点C作AD的平行线．点拨：上述三种解法应用了三角形外角的性质：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和．9．解:（1）由图知∠A+∠F=∠OQA，∠B+∠C=∠QPC，∠D+∠E=∠EOP．而∠OQA、•∠QPC、∠EOP是△OPQ的三个外角．∴∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．（2）360°点拨：方法同（1）．10．1 点拨：本题易因混淆内角、外角的概念，而误填为3．11．解：(1）∠BDC=90°-12∠A．理由:∠ABC+∠ACB=180°—∠A．∠EBC+∠FCB=（180°—∠ABC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠ABC+∠ACB)=180°+∠A．∵BD、CD分别为∠EBC、∠FCB的平分线,∴∠CBD=12∠EBC，∠BCD=12∠FCB．∴∠CBD+∠BCD=12（∠EBC+∠FCB)=12×（180°+∠A）=90°+12∠A．在△BDC中,∠BDC=180°—（∠CBD+∠BCD）=180°—（90°+12∠A)=90°-12∠A．（2）∠BDC=12∠A．理由：∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠A+∠ABC，∵CD是∠ACE的平分线，BD是∠ABC的平分线，∴∠DCE=12∠ACE=12∠A+12∠ABC，∠DBC=12∠ABC．∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠BDC=∠DCE-∠DBC=12∠A+12∠ABC—12∠ABC=12∠A．12．解：如图,设球员接球时位于点C,他尽力向球门冲近到D，此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．理由说明如下:延长CD到E，则∠ADE>∠ACE,∠BDE〉∠BCE，∴∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB〉∠ACB．点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．数学世界答案：欧拉将七桥布局转化为图所示的简单图形,于是七桥问题就变成一个一笔画的问题．这个图形显然无法一笔画出，也就是说，•要想一次无重复地走遍这七座桥是办不到的．。

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