数理逻辑课件 第8节 消解法2
合集下载
第一章数理逻辑PPT精品文档123页
游； （5）两个三角形全等当且仅当三角形的三条边全部
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/20
19
中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
10
中北大学离散数学课程组
1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
2020/6/20
21
中北大学离散数学课程组
七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
2020/6/20
6
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/20
7
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
相等。 (6) 张辉与王丽是同学。
2020/6/20
19
中北大学离散数学课程组
例 （解）
（1）设Ｐ：四川是人口最多的省份。
则命题（1）可表示为┐Ｐ。
（2）设Ｐ：王超是一个思想品德好的学生；
Ｑ：王超是一个学习成绩好的学生；
R：王超是一个体育成绩好的学生。
1.2 命题联结词
一、否定联结词“¬” 是一元联结词。读做“非”
例如： P： 上海是一个城市。
P：上海不是一个城市。
¬P P
0
1
1
0
10
中北大学离散数学课程组
1.2 命题联结词
二、合取联结词“∧”
二元联结词。读做“与”、“且”
例如：
P
（1）P：今天下雨，Q：明天下雨， 0
PQ：今天下雨并且明天下雨。
2020/6/20
21
中北大学离散数学课程组
七、约 定
为了不使句子产生混淆，作如下约定，命题联结 词之优先级如下：
（1）否定→合取→析取→条件→等价 （2 ） 同级的联结词，按其出现的先后次序(从
2020/6/20
6
中北大学离散数学课程组
结论： 命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题的真值有时可明确给出，有时还需要依靠环境、 条件、实际情况时间才能确定其真值。
2020/6/20
7
中北大学离散数学课程组
二、命题的分类
1.原子命题(简单命题)：不能再分解为更为简单命 题的命题。
例如：雪是黑色的
2.复合命题：由联结词、标点符号和原子命题复合 而成的命题。
例如：如果今天晚上有星星，那么明天就是晴天。
交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲
3.设 A={1,2,3,4,5,6,7,8}, A上的关系 R如下定义： R = { <x,y> | x,y∈A∧x≡y(mod 3) } 证明：R是一个等价关系。
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。
数理逻辑课件 第8节 消解法2
2 命题逻辑中的归结原理
归结原理的提出 归结原理(PrinciPle of resolution)又
称消解原理,1965年鲁滨逊（J.A.Robinson） 提出，从理论上解决了定理证明问题。归结原 理提出的是一种证明子句集不可满足性，从而 实现定理证明的一种理论及方法。
2 命题逻辑中的归结原理
一个公式的合一一般不唯一
3 替换与合一
定义10 设σ是原子公式集S的一个合一，如果对S的任何 一个合一θ都存在一个替换λ，使得
θ ＝ σ •λ 则称σ为S的最一般合一(Most General Unifier),简称MGU。
¬P(x，f(x)) [Q(x,g(x)) ¬R(x,g(x))]
[¬P(x，f(x)) Q(x,g(x))] [¬P(x，f(x)) ¬R(x,g(x))] 7、适当改名，使子句间无同名变元 [¬P(x，f(x)) Q(x,g(x))] [¬P(y，f(y)) ¬R(y,g(y))]
2 命题逻辑中的归结原理
推出空子句就说明子句集不可满足，原因是： – 空子句就是F，推出空子句就是推出了F。 由归结原理可知 ：L ∧¬ L ＝NIL 另外我们知道：L ∧¬ L ＝F（假），也就是 NIL F – 归结原理是正确的推理形式，由正确的推理形式 推出了F，则说明前提不真，即归结出空子句的 两个亲本子句至少有一个为假。
2 命题逻辑中的归结原理
– 而这两个亲本子句可能都是原子句集S中不可满 足的子句。
– 如果这两个亲本子句不是或不全是S中的子句， 那么它们必定是某次归结的结果。
– 同样的道理向上回溯，一定会推出原子句集中至 少有一个子句为假，从而说明S不可满足。
2 命题逻辑中的归结原理
推论: 设C1， C2是子句集S的两个子句，C1 2是它们 的归结式，则 （1）若用C1 2来代替C1， C2 ，得到新的子句集S1 ， 则由S1不可满足性可以推出原子句集S的不可满足 性。即
第三章-推理技术PPT课件
.
34
举例如下：
目标表达式被化成与或形：
～P(f(y))∨{Q(f(y),y)∧[～P(f(y))∨～S(y)]}
式中，f(y)为一Skolem函数。
对目标的主要析取式中的变量分离标准化可得:
～P(f(z))∨{Q(f(y),y)∧[～P(f(y))∨～S(y)]}
应注意不能对析取的子表达式内的变量y改名
将下列谓词演算公式化为一个子句集
( x){P(x)→{( y)［P(y)→P(f(x,y))］∧～( y)［Q(x,y)→P(y)］｝｝
.
9
3.1.2 消解推理规则
1、消解式 已知两子句L1∨α和～L2∨β,如果L1和L2具有
最一般合一者σ，那么通过消解可以从这两个父辈 子句推导出一个新子句α∨β。这个新子句叫做消 解式。它是由取这两个子句的析取，然后消去互补
可见目标子句是文字的合取，而这些子句的析取 是目标公式的子句形。
2.与或图的B规则变换 B规则：即逆向推理规则。 B规则是建立在确定的蕴涵式基础上的，我们把B 规则限制为:
W→L
其中，W为任一与或形公式，L为文字，
把B规则限制为这种形式的蕴涵式还可以简化匹配，
可以把像W→ (L1∧L2)这样的蕴涵式化为两个规则
W→L1和W→L2。
.
37
3.作为终止条件的事实节点的一致解图 逆向系统中的事实表达式均限制为文字合取
形，它可以表示为一个文字集。当一个事实文字 和标在该图文字节点上的文字相匹配时，就可把 相应的后裔事实节点添加到该与或图中去。这个 事实节点通过标有mgu的匹配弧与匹配的子目标文 字节点连接起来。
而使每个析取式具有不同的变量。
.
35
与或形的目标公式也可以表示为与或图。不过，与 事实表达式的与或图不同的是，对于目标表达式， 与或图中的k线连接符用来分开合取关系的子表达 式。上例所用的目标公式的与或图如下所示:
人工智能原理-消解法
• 消解也叫归结，本章混用这两个称呼
7
2 Herbrand定理
2.1 公式到子句集的转换 2.2 Herbrand论域和解释
2.3 语义树 2.4 Herbrand定理 2.5 不可满足基子句集
证明的步骤
• 证明一个公式A在给定论域下恒为真，也 就是要证明﹁A恒为假
– 将﹁A转化为一个子句集，集合中元素为原 子公式或其析取 / 通过其中正负原子公式的 合并(此时恒为真，对证假不起作用，因此 消去) / 最后集合为空，说明是不可满足的， 即恒为假
(2)若存在量词在k个全称量词之后，则公式中 被存在量词量化的变量用被前k个全称量词量 化的变量x1～xk的某个函数f(x1～xk)的形式代 替，f的名字不同于公式中任何其他函数的名 字，但对函数形式没有要求；然后消去存在 量词 / 函数f称为Skolem函数
11
公式转化为子句集的步骤(1)
• 公式A化为子句集S，其实现步骤共9步， 如下： (1)消去等价和蕴含符号：蕴含转化为析取 (2)将否定符号转移到每个谓词之前：应用 狄摩根定律 (3)变量标准化：约束变量各不相同 (4)消去存在量词：存在量词不受全称量词 约束，则变量用常量替换/如果存在量词 受全称量词约束，则使用Skolem函数替 换相应变量——得到Skolem标准形
H∞={a, b}∪{f(c), g(d)|c, d H∞}
★
f(f(b)),
16
Herbrand原子集
• Herbrand原子集定义
– Herbrand基(原子集)：设S为子句集，H∞是 其H论域，则
H {P(t1tn) | n 1, ti H}
称为S的H基，~H中元素称为基原子 / 此为S 中所有原子公式取H论域上所有可能值的集 合
7
2 Herbrand定理
2.1 公式到子句集的转换 2.2 Herbrand论域和解释
2.3 语义树 2.4 Herbrand定理 2.5 不可满足基子句集
证明的步骤
• 证明一个公式A在给定论域下恒为真，也 就是要证明﹁A恒为假
– 将﹁A转化为一个子句集，集合中元素为原 子公式或其析取 / 通过其中正负原子公式的 合并(此时恒为真，对证假不起作用，因此 消去) / 最后集合为空，说明是不可满足的， 即恒为假
(2)若存在量词在k个全称量词之后，则公式中 被存在量词量化的变量用被前k个全称量词量 化的变量x1～xk的某个函数f(x1～xk)的形式代 替，f的名字不同于公式中任何其他函数的名 字，但对函数形式没有要求；然后消去存在 量词 / 函数f称为Skolem函数
11
公式转化为子句集的步骤(1)
• 公式A化为子句集S，其实现步骤共9步， 如下： (1)消去等价和蕴含符号：蕴含转化为析取 (2)将否定符号转移到每个谓词之前：应用 狄摩根定律 (3)变量标准化：约束变量各不相同 (4)消去存在量词：存在量词不受全称量词 约束，则变量用常量替换/如果存在量词 受全称量词约束，则使用Skolem函数替 换相应变量——得到Skolem标准形
H∞={a, b}∪{f(c), g(d)|c, d H∞}
★
f(f(b)),
16
Herbrand原子集
• Herbrand原子集定义
– Herbrand基(原子集)：设S为子句集，H∞是 其H论域，则
H {P(t1tn) | n 1, ti H}
称为S的H基，~H中元素称为基原子 / 此为S 中所有原子公式取H论域上所有可能值的集 合
消解原理
例子—储蓄问题
前提：每个储蓄钱的人都获得利息。 结论：如果没有利息，那么就没有人去储蓄钱
2015/12/19 安徽大学 计算机科学与技术学院 17
2.5.4 消解反演求解过程
证明：
(1）规定原子公式： S(x,y) 表示 “x储蓄y” 前提：每个储蓄钱的人都 M(x) 表示 “x是钱” 获得利息。 I(x) 表示 “x是利息” 结论：如果没有利息，那 E(x，y) 表示 “x获得y” 么就没有人去储蓄钱 (2）用谓词公式表示前提和结论： 前提： (x){[(y)(S(x,y)∧M(y))][(y)(I(y)∧E(x,y))]} 结论： ～(x)I(x) (x)(y)[M(y) ～S(x,y)]
2015/12/19 安徽大学 计算机科学与技术学院
NIL
19
反演求解过程
从反演树求取答案步骤
把由目标公式的否定产生的每个子句添加到目 标公式否定之否定的子句中去。
按照反演树，执行和以前相同的消解，直至在 根部得到某个子句止。 用根部的子句作为一个回答语句。
实质
把一棵根部有NIL的反演树变换为根部带有回答语 句的一棵证明树。
2015/12/19 安徽大学 计算机科学与技术学院 5
(4) (x)｛～P(x)∨{(y)[~P(y)∨P(f(x,y))］∧
［Q(x,g(x)）∧～P(g(x))］}｝ 式中，w=g(x)为一Skolem函数。
(4) 消去存在量词 以Skolem函数代替存在量词内的约束变量，然后消 去存在量词。 在全称量词辖域内的存在量词，它是依赖于全称量 词的函数，这个函数称为Skolem函数。 例如：任给一个整数x，存在一个比x大的整数y。
数理逻辑PPT课件
.
4
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师 戴克斯特拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我 现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如 我早在数理逻辑上好好下点功夫的话，我 就不会犯这么多错误。不少东西逻辑学家 早就说过了，可是我不知道。要是我能年 轻20岁的话，我就会回去学逻辑。
P∧Q的真值为真，当且 T T T
仅当P和Q的真值均为真。
.
11
命题逻辑
• 或者“∨”（析取）
表示“或者”，“或者”有二义性，看下面 两个例子：
例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。
例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨”
例2中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
.
12
命题逻辑
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P或者Q，P∨Q的 真值为F，当且仅当 P与Q均为F。
P Q P∨Q FF F FT T TF T
TT T
.
13
命题逻辑
P：第一节上数学。
Q：第一节上英语。
P Q P Q
例2中的复合命题
可写成P Q，读 成P异或Q。
P Q的真值为F，
FF F FT T TF T
TT F
当且仅当P与Q的真值相同。
.
14
命题逻辑
• 蕴含(条件)“”
表示“如果… 则 …”，“当...则...”,“若... 那么...”，“假如...那么...”
例如： P表示：缺少水分。
Q表示：植物会死亡。
PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。
PQ：也称之为蕴含式，读成“如果P则
全版数理逻辑 .ppt
A和B不相交<=>﹁(x)(xA^xB)． ▪ 若A和B不是不相交的，就称A和B是相交的．
例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
精选文档
20
9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
精选文档
14
▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
精选文档
26
9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
精选文档
精选文档
例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
精选文档
20
9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
精选文档
14
▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
精选文档
26
9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
精选文档
精选文档
消解原理优质获奖课件
2023/11/23
安徽大学 计算机科学与技术学院
11
2.5.2 消解推理规则
消解式旳定义 令L1，L2为两任意原子公式；L1和L2具有相同 旳谓词符号，但一般具有不同旳变量。已知两 子句L1∨α和～L2∨β,假如L1和L2具有最一般合 一σ，那么经过消解能够从这两个父辈子句推 导出一种新子句(α∨β)σ。这个新子句叫做消 解式。
2023/11/23
安徽大学 计算机科学与技术学院
24
2.5.5 含状态项旳回答语句旳求取
(1) (x) (S) {~ ONBOX(S) AT(box,x,pushbox(x,S))}
(2) (S){ONBOX(climbbox(S))}
(3) (S){ONBOX(S) ∧ AT(box,c,S) HB(grasp(S)) }
∧(w)［Q(x,w)∧ ~ P(w)］｝｝
2023/11/23
安徽大学 计算机科学与技术学院
6
(4) (x)｛～P(x)∨{(y)[~P(y)∨P(f(x,y))］ ∧［Q(x,g(x)）∧～P(g(x))］}｝
(5) 化为前束形
把全部全称量词移到公式旳左边，并使每个量词旳 辖域涉及这个量词背面公式旳整个部分。
1) ～S(x,y)∨～M(y)∨I(f(x))
3) ～I(z)
2) ～S(x,y)∨～M(y)∨E(x,f(x))
4) S(a,b)
((x4)){消[(解y反)(演S(求x,yN)I∧L M(y))][(y)(I(y)∧E5)(xM,y(b)))]}
子句（1） 子句（3） f (x)/z
图3.12 储蓄问题反演树
15
2.5.3 具有变量旳消解式
❖ 例2.2
简单数理逻辑及其应用PPT课件
if Φ 为空集 then
return true
if Φ 只含一个析取式 then
return true
for Φ 中的每个析取式l do
如果析取式l只含有一个变量，直接确 定其值使析取结果为True
for Φ 中每个未定变量x do
•例
1. P ∨ ¬P 2. P ∧ ¬Q 3. P ∨ ¬P
I0=(T) I1=(F) I0=(T, F)
矛盾
.
10
三种公式关系
• A永真，当且仅当¬A永假 • A可满足，当且仅当¬A非永真 • A不可满足，当且仅当A永假
.
11
等值公式
• 两个公式A和B， • P1,…,Pn是所有A和B中的命题变项 • A和B有2n个不同的解释 • 在任何解释下，A和B的真值都相等 • 称A和B等值，记A=B
(P Q) R = P (Q R)
3. 交换律 P∨Q=Q∨P P∧Q=Q∧P
P Q=Q P .
14
4.分配律 P ∨ (Q ∧ R) = (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) P ∧ (Q ∨ R) = (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)
P → (Q → R) = (P → Q) → (P → R)
.
5
命题联结词
• 非¬ • 与∧ 合取 • 或∨ 析取
p p
01 10
p
q
p∧q
p∨q
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
.
6
• 推断
– 因果关系
P
F
F
• 等价
数理逻辑简介.ppt课件
14、等价否定等值式 A B A B
15、归谬论 (A B) (A B) A
三、等值演算。
置换定理：如果 A B，则 ( A) (B)。
例2、验证下列等值式。
(1) p (q r) ( p q) r
(2) p (q r) p (q r) q r (3) q (p q) p 1
q (q p)
q (q p)
(q q) p
1 p 1
分配律 矛盾律 同一律 德摩根律 结合律 排中律 零律
考虑问题:能否利用等值式来化简，或判断 公式的类型(重言，矛盾，可满足)。
判断一个公式是否重言式，矛盾式，可满足 式，或者判断两个命题公式是否等值。有两种方 法，即真值表法和等值演算法。
内容：等值关系，24个重要等值式，等值演算。 重点：(1) 掌握两公式等值的定义。
(2) 掌握24个重要等值式，并能利用 其进行等值演算。
一、两命题公式间的等值关系。
1、定义：设 A, B为两命题公式，若等价式 A B 是重言式，则称 A与B是等值的，记作 A B 。
2、判定 。
判断两公式 A, B是否等值，即判断 A B
例2、 p p q r p r
为_5__层公式。
3、真值表。
公式 A 的解释或赋值
赋值
成真赋值 成假赋值
（使A为真的赋值） （使A为假的赋值）
如公式 A ( p q) r ，110( p 1, q 1, r 0 ，
按字典序)为 A 的成假赋值，111，011，010……
等是 A 的成真赋值。
2、结合律 (A B) C A (B C)， (A B) C A (B C)
3、分配律 A (B C) (A B) (A C) ， A (B C) (A B) (A C)
第一章数理逻辑
ห้องสมุดไป่ตู้
• 发展 英国数学家布尔在1847年创立了布尔代数，
奠定了数理逻辑的基础。
1854年发表了《思维规律》这部杰作， 他采用数学的方法处理逻辑推理，布尔 代数的问世是数学史一个重要的里程碑。
布尔代数发明后没有受到 人们的重视，布尔在他的 杰作出版后不久就去世了。
数学家布尔
• 布尔，自学成才的典范。鞋匠的儿子， 从小打工帮衬家用，原想做牧师，但生 活所迫16岁做了中学教师。教书时自学 牛顿的《数学原理》、拉格朗日的《解 析函数论》和拉普拉斯的《天体力学》， 虽没学位但成了数学教授。主要贡献是 创立了布尔代数，在电子工程、计算机、 数理逻辑中有很多应用。
例1.2 将下列命题符号化。
1）灯泡有故障或开关有故障。
p∨q
2）张晓静是江西人或安徽人。
p∨q
3）张晓静只能挑选202或203房间。（p ∧ ┐q) ∨(┐p ∧ q)
4）小明昨天做了二十或三十道习题。 原子命题
排斥或有两种表示： 1）客观上不可能为真的，可符号化为如第二个小例； 2）可能会同时取真，应符号化为如第三个小例。
容。
例1.5 令 p：北京比天津人口多。 q：2+2＝4。 r：乌鸦是白色的。
求下列复合命题的真值： (1) ((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r (2) (q∨r)→(p→┐r) (3) (┐p∨r) (p∧┐r)
解 p，q，r的真值分别为1，1，0，容易算出(1)， (2)，(3)的真值分别为1，1，0。
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
第一章 命题逻辑基本概念
1.1 命题与联结词 命题 表达判断的陈述句。
两个条件：（1）陈述句； （2）能判断真假。 真值 命题的结果。 任何命题的真值都是唯一的。
• 发展 英国数学家布尔在1847年创立了布尔代数，
奠定了数理逻辑的基础。
1854年发表了《思维规律》这部杰作， 他采用数学的方法处理逻辑推理，布尔 代数的问世是数学史一个重要的里程碑。
布尔代数发明后没有受到 人们的重视，布尔在他的 杰作出版后不久就去世了。
数学家布尔
• 布尔，自学成才的典范。鞋匠的儿子， 从小打工帮衬家用，原想做牧师，但生 活所迫16岁做了中学教师。教书时自学 牛顿的《数学原理》、拉格朗日的《解 析函数论》和拉普拉斯的《天体力学》， 虽没学位但成了数学教授。主要贡献是 创立了布尔代数，在电子工程、计算机、 数理逻辑中有很多应用。
例1.2 将下列命题符号化。
1）灯泡有故障或开关有故障。
p∨q
2）张晓静是江西人或安徽人。
p∨q
3）张晓静只能挑选202或203房间。（p ∧ ┐q) ∨(┐p ∧ q)
4）小明昨天做了二十或三十道习题。 原子命题
排斥或有两种表示： 1）客观上不可能为真的，可符号化为如第二个小例； 2）可能会同时取真，应符号化为如第三个小例。
容。
例1.5 令 p：北京比天津人口多。 q：2+2＝4。 r：乌鸦是白色的。
求下列复合命题的真值： (1) ((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r (2) (q∨r)→(p→┐r) (3) (┐p∨r) (p∧┐r)
解 p，q，r的真值分别为1，1，0，容易算出(1)， (2)，(3)的真值分别为1，1，0。
请问这个人说得对吗？他是怎么推导出来的呢？
第一章 命题逻辑基本概念
1.1 命题与联结词 命题 表达判断的陈述句。
两个条件：（1）陈述句； （2）能判断真假。 真值 命题的结果。 任何命题的真值都是唯一的。
第五章 数理逻辑
（1）
(2)
我们常把重言式记作1，把矛盾式记作0
定义4、设A,B是命题公式，若A B是重言式，则称A与B等值的,
记作
, 读作A与B等值.
例4 判断下列各组公式是否等值
（1）
(2)
对于命题公式A,B,C,有下列性质
（1）自反性:
;(2) 对称性：若
，则
(3) 传递性：若
且
c
• 重要的等值式，希望同学们牢记
的充分必要条件是
例8、证明
第三节：对偶与范式
• 一、对偶
• 定义1、在仅含有
的命题公式A中，将∧，∨分别换成∨，∧，
若A中有1或0亦互相取代，所得公式 称作A的对偶.
• 显然A也是 的对偶.
• 例1、试写出下列公式的对偶
（1）
(2)
• 定理1、设A与 是互为对偶的两个公式，所有的命题变元为
•则
•或
成的表，称为命题公式A的真值表.
例2、试求下列公式的真值表
（1）
(2)
(3)
定义3、设A是一个命题公式：
（1）若A在它的各种指派下取值均为真，则称A是重言式或永真式.
（2）若A在它的各种指派下取值均为假，则称A是矛盾式或永假式.
（3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式.
例3、用真值表判断下列公式的类型
PQ P
00
第二节 命题公式及公式的等值和蕴含关系
• 我们知道，不含任何联结词的命题称为原子命题，至少包含一个联结 词的命题称作复合命题.原子命题的真值是唯一的，所以也称原子命题 为 命题常项或命题常元.真值可以变化的陈述句称作命题变元或命题 变项（如x+y≥0）
• 一、命题公式 • 由命题变元，联结词和圆括号按一定规则组成的符号串称作合式公式. • 定义1、命题公式是由下列规则产生的符号串： • （1）单一的命题变元本身是一个合式公式. • （2）如果A是合式公式，则 A是合式公式. • （3）如果A和B是合式公式，则A B, A v B, A B,A B都是合式公式. • （4）只有有限次地应用（1），（2），（3），所产生的符号串才是
消解(归结)原理讲解
如果将谓词公式G的Skolem标准型前面的全 称量词全部消去，并用逗号（，）代替合 取符号，便可得到谓词公式G的子句集。 例如在上面的例子中已求得谓词公式G的 Skolem标准型，因而G的子句集S为
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
S {~ P(x, f (x)) Q(x, g(x)), ~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))}
（5）全称量词移到左边，由于只有一个全称量 词，已在左边，所以不移。
（6）将母式化为合取范式。
(x)((~ P(x, f (x)) Q(x, g(x))) ((~ P(x, f (x)) ~ R(x, g(x))))
子句与子句集
文字：不含有任何连接词的谓词公式叫原子公式，简称原子，而 原子或原子的否定统称文字。
中所出现的量词具有一定的规则，即每个存在 量词均在全称量词的前面。如
(x)(y)(z)(P(x) Q( y) F(z))
这是离散数学中有关Skolem范式的定义。在人 工智能的归结推理研究中，Skolem标准形的定 义是，从前束形范式中消去全部存在量词所得 到的公式称为Skolem标准形，它的一般形式是
子句：就是由一些文字组成的析取式。如：P(x) ~Q(x,y), ~P(x,c) R(x,y,f(x))都是子句。
空子句：不包含任何文字的子句称为空子句，记为NIL。由于空 子句不包含任何有任何文字，它不能被任何解释满足，所以空子 句是永假的，是不可满足的。
子句集：由子句构成的集合称为子句集。
因是，在谓词公式化为Skolem标准型的过程中，当消 除全称量词左侧的存在量词时，从个体域D中选定的某 一个个体a。而存在量词具有“或”的含义，只要个体 域D中一个个体使G为真，侧G取值就为T。Skolem标 准型只是G的一个特例。
不可满足意义下的一致性
计算机数学基础第九章数理逻辑初步简明教程PPT课件
例 9-1 判断下列句子是否为命题 是, 假命题 （1）4是素数。 是, 真命题 （ 2） 是无理数 。 不是, 真值不确定 （3）x+y=z。 是, 真值客观存在 （4）月球上有冰。 （5）2010年元旦是晴天。 是, 真值客观存在 （6）你到哪里去吗？ 不是, 疑问句 （7）请把窗户打开！ 不是, 祈使句 （8）好大的雪啊！ 不是, 感叹句 （9）我不说真话。 不是, 悖论
p→q 1 1 0 1
注意: 对“如果 p, 则 q ”: p→q (1) 可理解为 “ q 是 p 的必要条件”. (2) 在数理逻辑中，p 与 q 可以无任何内在联系. (3) 其它叙述方式: “只要 p, 就 q ”， “ 因为 p ，所以 q ”, “ p 仅当 q ”, “只有 q 才 p”， “除非 q 才 p”, “除非 q，否则非p ” 它们都可符号化为 p→q. (4) 在数理逻辑中, 作为一种规定，当 p 为假时, 无论 q 是真是假, p→q 均为真.
四. 命题公式概念
简单命题是真值唯一确定的命题逻辑中最基本的研 究单位,所以也称简单命题为命题常项或命题常元。 (proposition constant) 称真值可以变化的陈述句为命题变项或命题变元 (proposition variable)。也用p,q,r,…表示命题变项。 当p,q,r,…表示命题变项时，它们就成了取值0或1的 变项，因而命题变项已不是命题。 这样一来，p,q,r,…既可以表示命题常项，也可以表 示命题变项。在使用中，需要由上下文确定它们表 示的是常项还是变项。 将命题变项用联结词和圆括号按一定的逻辑关系联 结起来的符号串称为合式公式或命题公式。
4. 蕴含(implication)联结词→
数理逻辑讲稿
数理逻辑讲稿数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。
它是数学的一个分支，是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。
其主要特征之一是“形式化”，就是将数理逻辑的研究对象“数学推理形式化，推理都有前提、结论和推理规则，这些前提和结论都是命题。
一个推理系统包含命题、公理和推理规则，“形式化”即为将这样的推理系统符号化而形成一个形式系统。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到十七世纪莱布尼茨，他设想过能不能创造一种“通用的科学语言”，可以把推理过程象数学一样利用公式来进行计算，从而得出正确的结论。
由于当时的社会条件，他的想法并没有实现。
但是它的思想却是现代数理逻辑部分内容的萌芽，从这个意义上讲，莱布尼茨可以说是数理逻辑的先驱。
后人基本是沿着莱布尼茨的思想进行工作的。
1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。
布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有了比较大的发展，1884年，德国数学家弗雷格出版了《数论的基础》一书，在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的符号系统更加完备。
对建立这门学科做出贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作中引入了逻辑符号。
从而使现代数理逻辑最基本的理论基础逐步形成，成为一门独立的学科。
数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑。
它是现代计算机技术的基础。
数理逻辑的内容两个最基本的也是最重要的组成部分，就是“命题演算”和“谓词演算”。
命题演算是研究关于命题如何通过一些逻辑连接词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
命题是指具有具体意义的又能判断它是真还是假的句子。
在谓词演算里，把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式，然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。
数理逻辑的发展数理逻辑这门学科建立以后，发展比较迅速，促进它发展的因素也是多方面的。
比如，非欧几何的建立，促使人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中符合下列条件的元素删除
（1） ti λ /xi 当ti λ ＝ xi （2） ui/yi 当yi ∈ {x1,…, xn}
这样得到的集合为 θ 与λ 的复合或乘积，记为θ •λ 。
例：设θ= {f(y)/x,z/y}, λ ={a/x,b/y,y/z}
{t1 λ /x1, t2 λ /x2, u1/y1, u2/y2, u3/yn} ={f(b)/x，y/y，a/x，b/y，y/z}
¬P(x，f(x)) [Q(x,g(x)) ¬R(x,g(x))]
[¬P(x，f(x)) Q(x,g(x))] [¬P(x，f(x)) ¬R(x,g(x))] 7、适当改名，使子句间无同名变元 [¬P(x，f(x)) Q(x,g(x))] [¬P(y，f(y)) ¬R(y,g(y))]
命题逻辑中的归结原理： C1 C2 (C1 {L1}) (C2 {L2})
2 命题逻辑中的归结原理
利用归结原理证明命题公式的思路 –先求出要证明的命题公式的否定式的子句集S； –然后对子句集S（一次或者多次）使用归结原 理； –若在某一步推出了空子句，即推出了矛盾，则 说明子句集S是不可满足的，从而原否定式也 是不可满足的，进而说明原公式是永真的。
8、消去合取词，以子句为元素组成一个集合S { ¬P(x，f(x)) Q(x,g(x)) , ¬P(y，f(y)) ¬R(y,g(y)) }
1 子句集
化子句集的步骤： 1、消去蕴含词和等价词。 2、使否定词仅作用于原子公式。 3、适当改名使量词间不含同名指导变元。 4、消去存在量词。 5、消去全称量词。 6、化公式为合取范式。 7、适当改名，使子句间无同名变元。 8、消去合取词，以子句为元素组成一个集合S。
Hale Waihona Puke 1 子句集2、移动否定词作用范围，使其仅作用于原子公式
理论根据： ¬(¬A) A
双重否定律
¬(A B) ¬A ¬B
摩根定律
¬(A B) ¬A ¬B
¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x) x¬P (x)
量词转换定律
x {¬ y P(x，y) ¬y[¬ Q(x,y) R(x,y)]} => x { y ¬ P(x，y) y [Q(x,y) ¬ R(x,y)]}
得到G的Skolem标准型
yzv(P(a, y, z) Q ( f ( y, z), v, g ( y, z, v))
进而得G的子句集为：
{P(a, y, z), Q( f(s, t), v, g(s, t, v))}
1 子句集
引入Skolem函数，是由于存在量词在全称量词的辖 域内，其约束变元的取值完全依赖于全称量词的取值。 Skolem反映了这种依赖关系。
第8节 归结演绎推理
1 子句集 2 命题逻辑中的归结原理 3 替换与合一 4 谓词逻辑中的归结原理
1 子句集
定义1：原子（谓词）公式及其否定称为文字 若干个文字的一个析取式称为一个子句 不含任何文字的子句称为空子句，记为或NIL。
例如： ¬D(y) I(a) P Q ¬R ¬I(z)R(z)
1 子句集
定义2：对一个谓词公式G，通过以下步骤所得的子句集 S，称为G的子句集（clauses）。
例1：x { y P(x，y) ¬y[Q(x,y) R(x,y)]}
1、消蕴含词和等价词
理论根据：AB ¬A B A B (¬A B) ( ¬B A) (A B) (¬A ¬B)
由第一步可得： x {¬ y P(x，y) ¬y[¬Q(x,y) R(x,y)]}
解决方法: 对个体变元做适当替换 例如： P(f(y))Q(z), ¬ P(f(y))R(y) P(a)Q(y), ¬ P(a)R(y)
3 替换与合一
定义6 一个替换是形如{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}的有限 集合，其中t1， t2 , …, tn是项，x1, x2, …, xn是互不相 同的个体变元。 ti /xi表示用ti代换xi，ti与xi不同， xi 也不能出现在tj 中（j=1,2, …, n）。
2 命题逻辑中的归结原理
– 而这两个亲本子句可能都是原子句集S中不可满 足的子句。
– 如果这两个亲本子句不是或不全是S中的子句， 那么它们必定是某次归结的结果。
– 同样的道理向上回溯，一定会推出原子句集中至 少有一个子句为假，从而说明S不可满足。
2 命题逻辑中的归结原理
推论: 设C1， C2是子句集S的两个子句，C1 2是它们 的归结式，则 （1）若用C1 2来代替C1， C2 ，得到新的子句集S1 ， 则由S1不可满足性可以推出原子句集S的不可满足 性。即
(ST)Q => ¬ (ST)Q => (¬S¬T)Q => (¬SQ) (¬TQ)
子句集： (1) P (2) ¬P¬QR (3) ¬SQ (4) ¬TQ (5) T (6) ¬R（目标求反）
=> {¬SQ, ¬TQ}
2 命题逻辑中的归结原理
子句集： (1) P
(2) ¬P¬QR
¬P¬QR
¬R
(3) ¬SQ
2 命题逻辑中的归结原理
推出空子句就说明子句集不可满足，原因是： – 空子句就是F，推出空子句就是推出了F。 由归结原理可知 ：L ∧¬ L ＝NIL 另外我们知道：L ∧¬ L ＝F（假），也就是 NIL F – 归结原理是正确的推理形式，由正确的推理形式 推出了F，则说明前提不真，即归结出空子句的 两个亲本子句至少有一个为假。
(4) ¬TQ
¬P¬Q
P
(5) T
(6) ¬R（目标求反）
归结：(7) ¬P¬Q (2, 6)
(8) ¬Q
(1, 7)
(9) ¬T (4, 8)
(10)NIL (5, 9)
¬Q
¬TQ
¬T
T
NIL
3 替换与合一
问题:在一阶谓词中应用消解原理，无法直接找到 互否文字的子句对
例如： P(x)Q(z), ¬ P(f(y))R(y) P(x)Q(y), ¬ P(a)R(z)
F1: x ( N(x) GZ(x) I(x)) F2: x ( I(x)( E(x) O(x))) F3: x ( E(x) I(s(x))) G: x ( N(x)(I(s(x)) O(x)))
1 子句集
例2 设 G xyzuvw(P(x, y, z) Q(u, v, w))
消去存在量词 用a代替x 用f（y，z）代替u 用g（y，z，v）代替w
2 命题逻辑中的归结原理
归结原理的提出 归结原理(PrinciPle of resolution)又
称消解原理,1965年鲁滨逊（J.A.Robinson） 提出，从理论上解决了定理证明问题。归结原 理提出的是一种证明子句集不可满足性，从而 实现定理证明的一种理论及方法。
2 命题逻辑中的归结原理
S1的不可满足性=> S不可满足 （2）若用C1 2加入到S中，得到新的子句集S2 ，则 S2与原S的不可满足性相同。即
S2的不可满足性<=> S不可满足
2 命题逻辑中的归结原理
例4 设公理集：P, (PQ) R, (ST) Q, T
求证：R
化子句集： (PQ)R
=> ¬(PQ)R => ¬P¬QR
其中C1’、C2’都是文字的析取式。 则C1 C2的逻辑结果为 C1 = C1 ’ L= ¬ C1’→ L C2 = ¬ L C2’= L → C2’ 由假言三段论得： C1 ∧ C2 = （¬ C1’→ L） ∧ （ L → C2’）
=> ¬ C1’→ C2’ = C1’ C2’ 则C1 C2的归结式为 C1’ C2’
记构成的新子句为C1 2，则C1 2为C1 、 C2的归结式， C1 、 C2称为其归结式的亲本子句， 称L1 、L2 为消解基。
例3 设 C1 P Q R,C2 Q S ，则C1 、 C2的归结式为：
2 命题逻辑中的归结原理
定理2 归结式是其亲本子句的逻辑结果。 证明：设C1= L C1’，C2 = ¬ L C2’
例如：若θ= {a/x,f(b)/y,c/z},G=P(x,y,z) G θ= P(a,f(b),c)
3 替换与合一
定义8 设θ＝ {t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}， λ＝ {u1/y1, u2/y2, …, un/yn}是两个替换，则将
{t1 λ /x1, t2 λ /x2, …, tn λ /xn ，u1/y1, u2/y2, …, un/yn}
x { y ¬P(x，y) z[Q(x，z) ¬R(x，z)]} => x {¬P(x，f(x)) [Q(x，g(x)) ¬R(x，g(x))]} 5、消去所有全称量词。
¬P(x，f(x)) [Q(x,g(x)) ¬R(x,g(x))]
1 子句集
6、化公式为合取范式
理论依据： A（B C） （A B） （A C） （ A B ） C （A C） （B C）
例如：{a/x,c/y,f(b)/z}是一个替换，
但{g(y)/x,f(x)/y}不是一个替换。
因替换的目的是将某些变元用另外的变元、函 数或常量取代，使其不在公式中出现，上式中 f(g(y))/y根本没消去y,若改为 {g(a)/x,f(x)/y} 就是一个置换了。
3 替换与合一
定义7 设θ={t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}是一个替换，E是一 个表达式，对公式E实施替换θ，即把E中出现的个体 变元xj都用tj替换，记为E θ ， 所得的结果称为E在θ 下的例（instance）。
3、适当改名，使变量标准化
即：对于不同的约束，对应于不同的变量 x { y ¬P(x，y) z[Q(x,z) ¬R(x,z)]}
1 子句集
4、 消去存在量词 (Skolem化）,同时进行变元替换 原则：对于一个受存在量词约束的变量，如果它 不受全称量词约束，则该变量用一个常量代替（这 个常量叫Skolem常量），如果它受全称量词约束， 则该变量用一个全称量词指导变元的函数代替（这 个函数叫Skolem函数） 。
（1） ti λ /xi 当ti λ ＝ xi （2） ui/yi 当yi ∈ {x1,…, xn}
这样得到的集合为 θ 与λ 的复合或乘积，记为θ •λ 。
例：设θ= {f(y)/x,z/y}, λ ={a/x,b/y,y/z}
{t1 λ /x1, t2 λ /x2, u1/y1, u2/y2, u3/yn} ={f(b)/x，y/y，a/x，b/y，y/z}
¬P(x，f(x)) [Q(x,g(x)) ¬R(x,g(x))]
[¬P(x，f(x)) Q(x,g(x))] [¬P(x，f(x)) ¬R(x,g(x))] 7、适当改名，使子句间无同名变元 [¬P(x，f(x)) Q(x,g(x))] [¬P(y，f(y)) ¬R(y,g(y))]
命题逻辑中的归结原理： C1 C2 (C1 {L1}) (C2 {L2})
2 命题逻辑中的归结原理
利用归结原理证明命题公式的思路 –先求出要证明的命题公式的否定式的子句集S； –然后对子句集S（一次或者多次）使用归结原 理； –若在某一步推出了空子句，即推出了矛盾，则 说明子句集S是不可满足的，从而原否定式也 是不可满足的，进而说明原公式是永真的。
8、消去合取词，以子句为元素组成一个集合S { ¬P(x，f(x)) Q(x,g(x)) , ¬P(y，f(y)) ¬R(y,g(y)) }
1 子句集
化子句集的步骤： 1、消去蕴含词和等价词。 2、使否定词仅作用于原子公式。 3、适当改名使量词间不含同名指导变元。 4、消去存在量词。 5、消去全称量词。 6、化公式为合取范式。 7、适当改名，使子句间无同名变元。 8、消去合取词，以子句为元素组成一个集合S。
Hale Waihona Puke 1 子句集2、移动否定词作用范围，使其仅作用于原子公式
理论根据： ¬(¬A) A
双重否定律
¬(A B) ¬A ¬B
摩根定律
¬(A B) ¬A ¬B
¬xP(x) x¬P(x) ¬xP(x) x¬P (x)
量词转换定律
x {¬ y P(x，y) ¬y[¬ Q(x,y) R(x,y)]} => x { y ¬ P(x，y) y [Q(x,y) ¬ R(x,y)]}
得到G的Skolem标准型
yzv(P(a, y, z) Q ( f ( y, z), v, g ( y, z, v))
进而得G的子句集为：
{P(a, y, z), Q( f(s, t), v, g(s, t, v))}
1 子句集
引入Skolem函数，是由于存在量词在全称量词的辖 域内，其约束变元的取值完全依赖于全称量词的取值。 Skolem反映了这种依赖关系。
第8节 归结演绎推理
1 子句集 2 命题逻辑中的归结原理 3 替换与合一 4 谓词逻辑中的归结原理
1 子句集
定义1：原子（谓词）公式及其否定称为文字 若干个文字的一个析取式称为一个子句 不含任何文字的子句称为空子句，记为或NIL。
例如： ¬D(y) I(a) P Q ¬R ¬I(z)R(z)
1 子句集
定义2：对一个谓词公式G，通过以下步骤所得的子句集 S，称为G的子句集（clauses）。
例1：x { y P(x，y) ¬y[Q(x,y) R(x,y)]}
1、消蕴含词和等价词
理论根据：AB ¬A B A B (¬A B) ( ¬B A) (A B) (¬A ¬B)
由第一步可得： x {¬ y P(x，y) ¬y[¬Q(x,y) R(x,y)]}
解决方法: 对个体变元做适当替换 例如： P(f(y))Q(z), ¬ P(f(y))R(y) P(a)Q(y), ¬ P(a)R(y)
3 替换与合一
定义6 一个替换是形如{t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}的有限 集合，其中t1， t2 , …, tn是项，x1, x2, …, xn是互不相 同的个体变元。 ti /xi表示用ti代换xi，ti与xi不同， xi 也不能出现在tj 中（j=1,2, …, n）。
2 命题逻辑中的归结原理
– 而这两个亲本子句可能都是原子句集S中不可满 足的子句。
– 如果这两个亲本子句不是或不全是S中的子句， 那么它们必定是某次归结的结果。
– 同样的道理向上回溯，一定会推出原子句集中至 少有一个子句为假，从而说明S不可满足。
2 命题逻辑中的归结原理
推论: 设C1， C2是子句集S的两个子句，C1 2是它们 的归结式，则 （1）若用C1 2来代替C1， C2 ，得到新的子句集S1 ， 则由S1不可满足性可以推出原子句集S的不可满足 性。即
(ST)Q => ¬ (ST)Q => (¬S¬T)Q => (¬SQ) (¬TQ)
子句集： (1) P (2) ¬P¬QR (3) ¬SQ (4) ¬TQ (5) T (6) ¬R（目标求反）
=> {¬SQ, ¬TQ}
2 命题逻辑中的归结原理
子句集： (1) P
(2) ¬P¬QR
¬P¬QR
¬R
(3) ¬SQ
2 命题逻辑中的归结原理
推出空子句就说明子句集不可满足，原因是： – 空子句就是F，推出空子句就是推出了F。 由归结原理可知 ：L ∧¬ L ＝NIL 另外我们知道：L ∧¬ L ＝F（假），也就是 NIL F – 归结原理是正确的推理形式，由正确的推理形式 推出了F，则说明前提不真，即归结出空子句的 两个亲本子句至少有一个为假。
(4) ¬TQ
¬P¬Q
P
(5) T
(6) ¬R（目标求反）
归结：(7) ¬P¬Q (2, 6)
(8) ¬Q
(1, 7)
(9) ¬T (4, 8)
(10)NIL (5, 9)
¬Q
¬TQ
¬T
T
NIL
3 替换与合一
问题:在一阶谓词中应用消解原理，无法直接找到 互否文字的子句对
例如： P(x)Q(z), ¬ P(f(y))R(y) P(x)Q(y), ¬ P(a)R(z)
F1: x ( N(x) GZ(x) I(x)) F2: x ( I(x)( E(x) O(x))) F3: x ( E(x) I(s(x))) G: x ( N(x)(I(s(x)) O(x)))
1 子句集
例2 设 G xyzuvw(P(x, y, z) Q(u, v, w))
消去存在量词 用a代替x 用f（y，z）代替u 用g（y，z，v）代替w
2 命题逻辑中的归结原理
归结原理的提出 归结原理(PrinciPle of resolution)又
称消解原理,1965年鲁滨逊（J.A.Robinson） 提出，从理论上解决了定理证明问题。归结原 理提出的是一种证明子句集不可满足性，从而 实现定理证明的一种理论及方法。
2 命题逻辑中的归结原理
S1的不可满足性=> S不可满足 （2）若用C1 2加入到S中，得到新的子句集S2 ，则 S2与原S的不可满足性相同。即
S2的不可满足性<=> S不可满足
2 命题逻辑中的归结原理
例4 设公理集：P, (PQ) R, (ST) Q, T
求证：R
化子句集： (PQ)R
=> ¬(PQ)R => ¬P¬QR
其中C1’、C2’都是文字的析取式。 则C1 C2的逻辑结果为 C1 = C1 ’ L= ¬ C1’→ L C2 = ¬ L C2’= L → C2’ 由假言三段论得： C1 ∧ C2 = （¬ C1’→ L） ∧ （ L → C2’）
=> ¬ C1’→ C2’ = C1’ C2’ 则C1 C2的归结式为 C1’ C2’
记构成的新子句为C1 2，则C1 2为C1 、 C2的归结式， C1 、 C2称为其归结式的亲本子句， 称L1 、L2 为消解基。
例3 设 C1 P Q R,C2 Q S ，则C1 、 C2的归结式为：
2 命题逻辑中的归结原理
定理2 归结式是其亲本子句的逻辑结果。 证明：设C1= L C1’，C2 = ¬ L C2’
例如：若θ= {a/x,f(b)/y,c/z},G=P(x,y,z) G θ= P(a,f(b),c)
3 替换与合一
定义8 设θ＝ {t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}， λ＝ {u1/y1, u2/y2, …, un/yn}是两个替换，则将
{t1 λ /x1, t2 λ /x2, …, tn λ /xn ，u1/y1, u2/y2, …, un/yn}
x { y ¬P(x，y) z[Q(x，z) ¬R(x，z)]} => x {¬P(x，f(x)) [Q(x，g(x)) ¬R(x，g(x))]} 5、消去所有全称量词。
¬P(x，f(x)) [Q(x,g(x)) ¬R(x,g(x))]
1 子句集
6、化公式为合取范式
理论依据： A（B C） （A B） （A C） （ A B ） C （A C） （B C）
例如：{a/x,c/y,f(b)/z}是一个替换，
但{g(y)/x,f(x)/y}不是一个替换。
因替换的目的是将某些变元用另外的变元、函 数或常量取代，使其不在公式中出现，上式中 f(g(y))/y根本没消去y,若改为 {g(a)/x,f(x)/y} 就是一个置换了。
3 替换与合一
定义7 设θ={t1/x1, t2/x2, …, tn/xn}是一个替换，E是一 个表达式，对公式E实施替换θ，即把E中出现的个体 变元xj都用tj替换，记为E θ ， 所得的结果称为E在θ 下的例（instance）。
3、适当改名，使变量标准化
即：对于不同的约束，对应于不同的变量 x { y ¬P(x，y) z[Q(x,z) ¬R(x,z)]}
1 子句集
4、 消去存在量词 (Skolem化）,同时进行变元替换 原则：对于一个受存在量词约束的变量，如果它 不受全称量词约束，则该变量用一个常量代替（这 个常量叫Skolem常量），如果它受全称量词约束， 则该变量用一个全称量词指导变元的函数代替（这 个函数叫Skolem函数） 。