2016高考数学二轮复习微专题强化练课件：29坐标系与参数方程

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2016高考数学(新课标)一轮复习配套课件：选修4-4 坐标系与参数方程第2讲参数方程

化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，
即
ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ．
栏目导引第十八页，编辑于星期六：点四十七分。
选修4-4 坐标系与参数方程
[规律方法] 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
，即 B 的直角坐标为 B(1，－ 3
3)．
∴A 的极坐标为 A2，2π 3 ，B 的极坐标为 B2，5π 3 ．
栏目导引第二十一页，编辑于星期六：点四十七分。
选修4-4 坐标系与参数方程
(2)由 ρ＝
6
，得
4＋5sin2θ
ρ2(4＋5sin2θ)＝36，
∴曲线 C2 的直角坐标方程为x92＋y42＝1．
栏目导引第十九页，编辑于星期六：点四十七分。
选修4-4 坐标系与参数方程
3．(2015·云南省统一检测)已知曲线 C1 的参
数方程为xy＝＝－3tt(t 为参数)，当 t＝1 时，曲线 C1 上的点为
A，当 t＝－1 时，曲线 C1 上的点为 B．以原点 O 为极点，
以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程
栏目导引第十一页，编辑于星期六：点四十七分。
选修4-4 坐标系与参数方程
且 tan α＝43．
当 sin(θ＋α)＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为225 5．当 sin(θ＋α)＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为25 5．
栏目导引第十二页，编辑于星期六：点四十七分。
选修4-4 坐标系与参数方程
直线 l：xy＝＝22－＋2t，t (t 为参数)． (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值．

高考数学 122 坐标系与参数方程复习课件

点，任意一点 N(x，y)为终点的有向线段M→N的数量 MN 且|t| ＝|MN|.
3．圆的参数方程 (1)圆心在原点、半径为 r 的圆的参数方程为
x＝rcosθ y＝rsinθ
(θ 为参数)；
(2)圆心为 C(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为
x＝a＋rcosθ y＝b＋rsinθ
(θ 为参数)．
4．柱坐标系 (1)如图，空间直角坐标系 O－xyz 中，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π) 来表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标．则点 P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．把建立了空间的点与有序数组(ρ， θ，z)之间的这种对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组 (ρ， θ ， z) 叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ， θ， z) ，其中 ρ≥0,0≤θ<2π，－∞<z<＋∞.
2．由点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，直接将 x、y 的值代入可求 ρ＝ x2＋y2，求极角 θ 时，先由(x， y)所在象限得出 θ 所在象限，再由 tanθ＝xy确定角 θ 的值．
3．参数方程和普通方程的互化 (1)化参数方程为普通方程：消去参数．常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的) 消去法．要注意由参数的取值范围求出x或y的取值范围． (2)化普通方程为参数方程：引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．
x＝2t y＝1＋4t
(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2
2sinθ，
则直线 l 与圆 C 的位置关系为________．

高三数学二轮复习坐标系与参数方程课件(全国通用)

(θ 为参数)．
π (1)当 α＝3时，求 C1 与 C2 的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求 P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
• 突破点拨 • (1)先参化普，然后联立直线与圆的方程求交点； • (2)以角为参数，利用已知条件求出 P点的横 π 解析：(1)当 α＝3时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C2 的普通方程为 x2＋y2＝1，纵坐标，x＝φ(α)，y＝g(α)．
2．已知圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
2
π 2ρ sinθ－4－4＝0，求圆 C 的半径．
突破点拨将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，进而利用圆方程的特征配方求半径．
解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
第一部分
核心专题突破
专题八选考部分
高频考点
• 1．坐标系与参数方程部分： • 坐标系与参数方程是高考选考内容之一，高考对本讲内容的考查主要是：(1)直线与圆的极坐标方程以及极坐标与直角坐标的互化； (2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数方程与普通方程的互化．
• 2．不等式选讲部分： • 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力以及数形结合思想、分类讨论思想等．
题型二曲线的参数方程的有关问题
高考中常从以下角度设计考题：命题 (1)化参数方程为普通方程．规律 (2)以参数方程为背景的直线与圆的位置关系问题．一般为解答题，难度中等． (1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方法方程进行变形，为消去参数创造条件．点拨 (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

2016届广东省高考数学二轮专题复习坐标系与参数方程

坐标系与参数方程1．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ； (3)圆心位于M ⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ. 3．常见曲线的参数方程(1)圆x 2＋y 2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．(2)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(4)抛物线y 2＝2px 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)．(5)过定点P (x 0，y 0)的倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．4．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0).考点一极坐标与直角坐标的互化例1 在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．解 ∵ρcos(θ＋π4)＝ρcos θcos π4－ρsin θsin π4＝22ρcos θ－22ρsin θ ＝32，∴直线l 对应的直角坐标方程为x －y ＝6. 又∵ρsin 2θ＝8cos θ， ∴ρ2sin 2θ＝8ρcos θ.∴曲线C 对应的直角坐标方程是y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝6y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18y ＝12，所以A (2，－4)，B (18,12)，所以AB ＝(18－2)2＋[12－(－4)]2＝16 2. 即线段AB 的长为16 2.(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性． (1)求直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长．解直线2ρcos θ＝1可化为2x ＝1，即x ＝12；圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝2x .将x ＝12代入x 2＋y 2＝2x 得y 2＝34，∴y ＝±32.故弦长为2×32＝ 3. (2)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，求a 的值．解 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0， ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2. 在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22. 将⎝⎛⎭⎫22，0代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22. 考点二参数方程与普通方程的互化例2 (1)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．解因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.(2)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值．解由于直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝t －2(t 为参数)，故直线l 的普通方程为x ＋2y ＝0. 因为P 为椭圆x 24＋y 2＝1上的任意一点，故可设P (2cos θ，sin θ)，其中θ∈R .因此点P 到直线l 的距离是d ＝|2cos θ＋2sin θ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π45.所以当θ＝k π＋π4，k ∈Z 时，d 取得最大值2105.(1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用．(1)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos ty ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．解由⎩⎨⎧x ＝2cos t y ＝2sin t(t 为参数)，得曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2.则在点(1,1)处的切线l的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，故l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0.(2)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0<α<2π)，M 为PQ 的中点． ①求M 的轨迹的参数方程；②将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解 ①依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)． M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0<α<2π)． ②M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0<α<2π)．当α＝π，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．考点三极坐标与参数方程的综合应用例3 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)．M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的参数方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .解 (1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.(α为参数)(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ. 射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3. (1)曲线参数方程有很多优点：①曲线上任一点坐标都可用一个参数表示，变元只有一个．特别对于圆、椭圆、双曲线有很大用处．②很多参数都有实际意义，解决问题更方便．比如：直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝PM ，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点．(2)求两点间距离时，用极坐标也比较方便，这两点与原点共线时，距离为|ρ1－ρ2|，这两点与原点不共线时，用余弦定理求解．无论哪种情形，用数形结合的方法易得解题思路．(1)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，求椭圆C 的离心率．解椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线l 的标准方程为x ＋y ＝m ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|m |2＝ba 2－b 2＝|m |，∴a 2－b 2＝2b 2，a 2＝3b 2， ∴e ＝c 2a 2＝3b 2－b 23b 2＝23＝63. (2)在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1tan φ，y ＝1tan 2φ(φ为参数)，曲线C 2的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝1，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点． ①求线段AB 的长；②求点M (－1,2)到A 、B 两点的距离之积．解 ①由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为y ＝x 2(x ≠0)，由曲线C 2的极坐标方程可得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －1＝0，则曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，将其代入曲线C 1的普通方程得t 2＋2t －2＝0，设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝－2，t 1t 2＝－2，所以AB ＝|t 1－t 2| ＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10. ②由①可得MA ·MB ＝|t 1t 2|＝2.1．解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用．在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度． 2．极坐标方程与普通方程互化核心公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2tan θ＝y x (x ≠0). 3．过点A (ρ0，θ0) ，倾斜角为α的直线方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．特别地，①过点A (a,0)，垂直于极轴的直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝a .②平行于极轴且过点A (b ，π2)的直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝b .4．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)．5．重点掌握直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θy ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，理解参数t 的几何意义.1．在极坐标系中，求过圆ρ＝6cos θ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．解把ρ＝6cos θ两边同乘以ρ，得ρ2＝6ρcos θ，所以圆的普通方程为x 2＋y 2－6x ＝0，即(x －3)2＋y 2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝3.2．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0,2π)．(1)求点P 轨迹的直角坐标方程； (2)求点P 到直线l 距离的最大值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，得点P 的轨迹方程(x －1)2＋y 2＝1. (2)由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝9.∴曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42，所以(PQ )min ＝42－1.(推荐时间：60分钟)1．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，求常数a 的值．解由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s 消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12≠1a，∴a ＝4.2．如图，在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，所以圆C 的半径 PC ＝(2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程．解由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0. 故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.4．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，求AB 的长．解将极坐标方程ρcos θ＝4化为直角坐标方程得x ＝4，将x ＝4代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3得t ＝±2，从而y ＝±8.所以A (4,8)，B (4，－8)．所以AB ＝|8－(－8)|＝16.5．在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，即(x －1)2＋y 2＝1，直线的方程为3x ＋4y ＋a ＝0. 由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有|3×1＋4×0＋a |32＋42＝1，解得a ＝－8或a ＝2.故a 的值为－8或2.6．求直线ρ＝53cos θ－2sin θ关于θ＝π4(ρ∈R )对称的直线方程．解直线ρ＝53cos θ－2sin θ化为直角坐标方程为3x －2y ＝5，θ＝π4化为直角坐标方程为y＝x ，则3x －2y ＝5关于y ＝x 对称的直线方程为3y －2x ＝5，化为极坐标方程为3ρsin θ－2ρcos θ＝5，即ρ＝53sin θ－2cos θ.7．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．解 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 圆心坐标为(0,6)，半径为6. 又∵ρ＝12cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0， ∴(x －33)2＋(y －3)2＝36，圆心坐标为(33，3)，半径为6.∴(PQ )max ＝6＋6＋(33)2＋(6－3)2＝18.8．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于点M ，N .(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求线段MN 的长．解 (1)由ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，即曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，由θ＝π6(ρ∈R )得，曲线C 2的直角坐标方程为y ＝33x .(2)把y ＝33x 代入x 2＋y 2－4y ＝0，得x 2＋13x 2－433x ＝0，即43x 2－433x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝3， ∴y 1＝0，y 2＝1. ∴MN ＝(3)2＋1＝2. 即线段MN 的长为2.9．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解 (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4，注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1，所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2，解得a ＝－1，b ＝2.10．在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，ρ＝4cos θ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，⎝⎛⎭⎫2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝t －3≤t ≤ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝y －3≤y ≤3 方法二将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ 得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ. 于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝tan θ⎝⎛⎭⎫－π3≤θ≤π3.。

高三数学文二轮复习课件7.2坐标系与参数方程

【例 1】在极坐标系下，已知圆 O：ρ＝ cosθ＋sinθ 和 π 2 直线 l： ρsin(θ－ )＝ . 4 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程； (2)当 θ∈ (0， π)时，求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标．
【解】 (1)圆 O：ρ＝ cosθ＋ sinθ，即 ρ2＝ ρcosθ＋ρsinθ，圆 O 的直角坐标方程为： x2＋ y2＝ x＋ y，即 x2＋ y2－ x－ y＝ 0， π 2 直线 l： ρsin(θ－ )＝，即 ρsinθ－ ρcosθ＝ 1，则直线 l 4 2 的直角坐标方程为： y－ x＝ 1，即 x－ y＋ 1＝ 0.
2 ．图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，告诉我们在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义．借助具体实例 (如地球的经纬度等 )去学习在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，通过与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，认清了它们的区别．
(1)空间中点 P 的直角坐标 (x， y， z)与柱坐标 (ρ， θ， z) x＝ ρcosθ，的变换公式为y＝ ρsinθ，坐标方程是 ρcos(θ＋ )＝ m，曲线 3
x＝ 2＋ 2cosθ C2 的参数方程为 y＝ 2sinθ
(θ 为参数 )，若两曲线有且只
有一个公共点，则实数 m 的值是 ________．
π 解析：将曲线 C1 的极坐标方程 ρcos(θ＋ )＝m 化为直角 3 坐标方程为 x － 3 y － 2m ＝ 0 ，将曲线 C2 的参数方程
x＝ 2＋ 2cosθ y＝ 2sinθ
(θ 为参数)化为普通方程为 (x－2)2＋ y2＝4.因
为两曲线有且只有一个公共点，即直线 x－ 3y－2m＝0 与圆 |2－2m| (x－2) ＋y ＝4 相切，所以＝2，则 m＝－1 或 m＝3. 2 答案：－1 或 3

高三数学二轮复习 4-29坐标系与参数方程(选修4-4)课件理人教版

[解]
(1)直线 l 的参数方程为xy＝＝11＋＋ttscionsπ6π6
，
x＝1＋即
3 2t
y＝1＋12t
(t 为参数)．
x＝1＋ (2)把直线
23t
y＝1＋12t
代入 x2＋y2＝4，
得(1＋ 23t)2＋(1＋12t)2＝4，化简得 t2＋( 3＋1)t－2＝0，所以 t1t2＝－2，则点 P 到 A，B 两点的距离之积为 2.
0，23 3. 所以 P 点的直角坐标为1， 33，则 P 点的极坐标为
2
3
3，π6，
所以直线 OP 的极坐标方程为 θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．
[点评] 直角坐标与极坐标互化公式用错，三角函数展开错误，对直线的极坐标基础知识生疏等都是导致解题错误的原因．在直角坐标与极坐标互化时，重点是极坐标化为直角坐标，要牢记其互化公式，正确地进行三角变换，还要注意互化前后的等价性．
[解] (1)由 ρcosθ－π3＝1，得 ρ12cosθ＋ 23sinθ＝1. 从而 C 的直角坐标方程为12x＋ 23y＝1，即 x＋ 3y＝2. θ＝0，ρ＝2，所以 M(2,0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以 N23 3，π2.
(2)M 点的直角坐标为 (2,0) ， N 点的直角坐标为
ρ2＝sinθs2in3π3－θ0<θ<π3，即为所求极坐标方程．
类型三把参数方程化为普通方程【例 3】将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
x＝2＋sin2θ (1)y＝－1＋cos2θ
(θ 为参数)；
x＝a2t＋1t (2)y＝b2t－1t
(a、b 为大于零的常数，t 为参数)．

高考数学统考二轮复习天天练第二部分专题7选修部分第1讲坐标系与参数方程课件理

(2)设直线
l
x＝1－的参数方程为
2 2t
y＝2＋ 22t
(t 为参数)，
将此参数方程代入 x2＋y2－4y＝0 中，
化简可得 t2－ 2t－3＝0，显然 Δ>0.设 M，N 所对应的参数分别为 t1，t2，则tt11＋ ·t2＝t2＝－32 . ∴|PM|2＋|PN|2＝t21＋t22＝(t1＋t2)2－2t1t2＝8.
化简可得 t2－ 2t－3＝0，显然 Δ>0.设 M，N 所对应的参数分别为 t1，t2，则tt11＋ ·t2＝t2＝－32 . ∴|PM|2＋|PN|2＝t21＋t22＝(t1＋t2)2－2t1t2＝8.
2．已知直线
l
x＝－1－的参数方程为
23t，
y＝ 3＋12t
(t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，x
x＝2cos φ y＝2＋2sin φ
(φ 为参数)，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线 C 的极坐标方程；
(2)过点 P(1,2)倾斜角为 135°的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，求|PM|2＋|PN|2 的值．
解析：(1)依题意，曲线 C 的普通方程为 x2＋(y－2)2＝4，即 x2＋y2－4y＝0，故 x2＋y2＝4y，故 ρ＝4sin θ，故所求极坐标方程为 ρ＝4sin θ.
＋3sin2θ)＝6.
所以曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＝1＋26sin2θ.
(2)由题意知，M( 3，0)，N(0,1)，所以 P( 23，12)，故点 P 的极角为 θ＝π6，把 θ＝π6代入 ρsin(θ＋π6)＝ 23，得 ρ1＝1，即点 P 的极坐标为(1，π6)；把 θ＝π6代入 ρ2＝1＋26sin2θ，得 ρ2＝2，则点 Q 的极坐标为(2，π6)．所以|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即 P，Q 两点间的距离为 1.

(广东专用)高考数学二轮复习专题八第2讲坐标系与参数方程配套课件理

故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈R.
因此点 P 到直线 l 的距离是
d＝|2cos
θ＋2sin 12＋22
θ|＝2
2sin5θ＋π4.
所以当
θ＝kπ＋π4，k∈Z
时，d
取得最大值2
10 5.
答案
2 10 5
A
18
参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，
思维
常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等.
ρ＝ 2 ρ＝－ 2A.
14
又( 2，34π)与(－ 2，74π)为同一点，
故二者可以任填一个.
答案 ( 2，34π)(填(－ 2，74π)亦可)
A
15
(2)在极坐标系中，曲线 C1：ρ( 2cos θ＋sin θ)＝1 与曲线
2 C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则 a＝___2_____.
π
2
A
5
3.圆的极坐标方程
若圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r；
(2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ；
(3)当圆心位于 M(r，π2)，半径A为 r：ρ＝2rsin θ.
A
3
主干知识梳理
1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则
x＝ρcos θ ρ2＝x2＋y2
y＝ρsin θ
， tan

2016高考数学理二轮复习课件：专题13 坐标系与参数方程

(2)能选择恰当的参数写出直线、圆、等解决几何义的考查力度可能
抛物线和椭圆的参数方程. (3)能用直线的参数方程解决线段的
知识.
弦长和线段之积问题.
会加大，希望在高考复习时加以重视.
考纲考向分析第二页，编核辑于心星期要六：点点三十突八分破。Βιβλιοθήκη 知识点一极坐标与直角坐标
1.极坐标系的概念
(1)在平面内取一个定点O，叫作极点；自极点O引一条射线Ox，叫作极
3.圆的极坐标方程 (1)圆心在极点，半径为 R 的圆的极坐标方程为 ρ＝R. (2)圆心在极轴上的点(a，0)处，且过极点 O 的圆的极坐标方程
为 ρ＝2acos θ. (3)圆心在点a，π2 处，且过极点 O 的圆的极坐标方程为ρ＝ 2asin θ.
考纲考向分析第五页，编核辑于心星期要六：点点三十突八分破。
解析由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，及 ρ＝2cos θ得 ρ2＝2ρcos θ，即 x2＋y2＝2x，所以(x－1)2＋y2＝1，即圆心坐标为(1，0)，
而点2，π3 在直角坐标系中的坐标为(1， 3)，所以两点间的距离为 3.
答案 D
考纲考向分析第十二页，核编辑心于星要期六：点点三突十八破分。
考纲考向分析第三页，编核辑于心星期要六：点点三十突八分破。
2.极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，
极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：
x＝ρcos y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝xy（x≠0）
(θ 与(x，y)所在象限一致).
考纲考向分析第四页，编核辑于心星期要六：点点三十突八分破。

福建省福清市高考数学二轮复习第二讲坐标系与参数方程课件

2
,
2
(t
2

2
z
为参数),消去 t 得 x-y-2=0,
故曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是
y2=2ax(a>0),x-y-2=0.
第十页，共18页。
= -2 +
= -4 +
2
,
2
(t
2

2
考点
(kǎo
diǎn)1
考点
(kǎo
diǎn)2
考点(kǎo
diǎn)3
= -2 +
diǎn)3
解:(1)对于曲线 C1 有 x+y=1,对于曲线
2 2
C2 有 +y =1.
4
(2)显然曲线 C1 :x+y=1 为直线,则其参数方程可写为
参数)与曲线
在两个交点,
2 2
C2 : +y =1
4
= -1
2
,
2
(t
2
+
2
为
联立,得 5t2-12 2t+8=0,可知 Δ>0,所以 C1 与 C2 存
相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线 C 的极坐标方程为 ρ2-6ρcos θ+5=0.
(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 α 的取值范围;
(2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围.
解:(1)将曲线 C 的极坐标方程 ρ2-6ρcos θ+5=0 化为直角坐标方程为
其参数方程为
(θ 为参数).
= 2sin
∵M(x,y)为曲线 C 上任意一点,