分式与分式方程题型分类讲义

合集下载

北师大版八年级下册第五章分式与分式方程讲义

八下数学第五章分式与分式方程5.1认识分式一般地，用,A B 表示两个整式，A B ÷可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，那么称A B为分式，其中A 称为分式的分子，B 称为分式的分母,对于任意一个分式,分母都不能为零。

例1，下列各式中哪些是整式？哪些是分式?211(1);;(3);(4);2242b a b x xy x y a x ++-+- (2) 分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值保持不变. 这一性质可以用式子表示为：,(0)b b m b b m m a a m a a m⋅÷==≠⋅÷。

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分.例2, 化简下列分式 2225(1);;20xy a ab x y b ab++ (2) 在化简的结果中,如果分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式,化简分式时,通常要使结果成为最简分式或是整式.5。

2分式的乘除法两个分式相乘，把分子相乘的积作为分子，把分母相乘的积作为分母；两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后在与被除式相乘。

这一法则可以用式子表示为：;b d bd b d b c bc a c ac a c a d ad⋅=÷=⋅= . 例3, 计算2222244(1);(4);2x xy xy x xy y x y x y x y x y+-+÷÷---+ (2) 5.3分式的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

这一法则可以用式子表示为：b c b c a a a±±=. 例4,计算222(1);(2);(3);22a b x y m n n n a b b a x y y x n m n m n m++++-------- 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分，为了计算方便,异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作为它们的共同分母。

中考数学专题08分式及分式方程

专题08分式及分式方程聚焦考点☆温习理解一、分式1、分式的概念一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。

其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

分式和整式通称为有理式。

2、分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

（2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。

3、分式的运算法则二、分式方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。

它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。

3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。

名师点睛☆典例分类考点典例一、分式的值【例1】（2016江苏苏州第12题）当x=时，分式x－22x＋5的值为0．【答案】2.【解析】试题分析：∵x－22x＋5的值为0，∴x-2=0且2x+5≠0，解得x=2.考点：分式.【点睛】使分式的值为零必须满足分子等于0分母不等于零这两个条件.【举一反三】1.（2016四川甘孜州第2题）使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠﹣1C．x＜1D．x＞1【答案】A．考点：分式有意义的条件．2.若分式的值为0，则＝【答案】1【解析】试题分析：根据题意可知这是分式方程，＝0，然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-1=0，解之得x=1，经检验可知x=1是分式方程的解.答案为1.考点：分式方程的解法考点典例二、分式的化简【例2】（2016黑龙江绥化第9题）化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】试题分析：原式==，故选A．考点：分式的加减法．【点睛】观察所给式子，能够发现是异分母的分式减法。

分式和分式方程讲义

教学情况记录表课程类别□同步□串讲□其他（请注明类别:_____________________）本次课授课目标了解分式的有关概念，能利用分式的基本性质进行灵活的化简、计算活求值，能建立方程解决实际问题教学重点1、分式的基本性质2、分式的化简教学难点分式方程的实际应用教学步骤及内容一、错题回顾二、知识总结1、分式的概念（例1）一般地，我们把形如BA的代数式叫做分式，其中 A，B都是整式，且B含有字母。

A叫做分式的分子,B叫做分式的分母，对于任意一个分式，分母B都不能为0.注意：(1)分式BA中，A,B是两个整式，BA是两个整式相除的商，分数线有括号和除号两个作用，如nmnm-+可以表示)()(nmnm-÷+；(2)分式BA中，B一定含有字母，而A可以含有字母，也可以不含字母；(3)只有当0≠B时，分式BA才有意义。

2、分式有（无）意义及分式值为零的条件（例2、3、4）分式有意义的条件是分母不为零，分式无意义的条件是分母等于零。

分式的值等于零的条件是分式的分母不为零且分子为零。

即对于分式BA，当0=B时，分式无意义；当0≠B时，分式有意义；当00≠=BA且时，分式的值为零。

注意：解决有关分式的值为零的问题，由分子等于零求出字母的取值后，一定要代入分母中进行检验，保证分母不等于零。

3、分式的基本性质（例5）分式的分子和分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示：MBMABAMBMABA÷÷=⨯⨯=,。

其中，M是不等于0的整式。

注意：（1）“M是不等于0的整式”是基本性质的一个约束条件。

（2)分式的基本性质是分式变形的根据。

4、分式的约分和最简分式（例6）（1）约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。

注意：（1）当分式的分子与分母都是单项式时，可直接约分；（2）当分式的分子或分母是多项式时，先对多项式进行因式分解，再约去它们的公因式；（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，先把负号提到分式的前面，再约分；（4）约分的结果应是最简分式或整式。

分式与分式方程辅导讲义

分式与分式方程【知识框架】【知识点&例题】知识点一：分式的基本概念一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子B A 叫做分式，为分子，为分母。

知识点二：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C••=A B A，C B C÷÷=A B A ，其中、、是整式，。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即B B AB B --=--=--=AAA注意：在应用分式的基本性质时，要注意这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点三：分式的乘除法法则分式乘分式：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：db c a d c b a ••=•分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为cc ••=•=÷bd a d b a d c b a 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子n n nb a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛巩固练习：1.若分式的值为0，则x 的值为 .2.当= 时，分式的值为零.3.计算x xy y xy y xy y x xy y22222222++-÷+-+4.先化简，再求值：其中.242x x --x 26(1)(3)x x x x ----2291333x x x x x ⎛⎫-⋅ ⎪--+⎝⎭13x =5.先化简，再求值：，其中．6、先化简，再求值：，其中7、解下列方程：（1）（2）（3）（4）532224x x x x -⎛⎫--÷ ⎪++⎝⎭3x 22144(1)1a a a a a-+-÷--1a =-3522x x =-223444x x x x =--+22093x x x +=-+35012x x -=+9、在年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的倍，求这两种车的速度。

九年级分式与分式方程讲义

分式与分式方程【知识点精讲】:1. 分式概念：若A 、B 表示两个整式，且B 中含有字母，则代数式BA叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程．5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根．【思想方法】1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式）2.检验【例题精讲】例1．化简：2222111x x x x x x-+-÷-+例2．先化简，再求值： 22224242x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中2x =+例3．先化简11112-÷-+x xx ）（，然后请你给x 选取一个合适值,再求此时原式的值．教师寄语：例4．解下列方程（1）013522=--+xx x x（2）41622222-=-+-+-x x x x x5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x 千米，则根据题意所列方程正确的是( )A. B.C. D.【中考真题在线】：1. （2011安徽，15，8分）先化简，再求值：12112---x x ，其中x =－2．2. （2011江苏扬州，19（2）,4分）（2）xx x 1)11(2-÷+3. （2011浙江衢州，17（2）,4分）化简：3a b a ba b a b-++--.4. （2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．5. （2011福建泉州，19，9分）先化简，再求值2221x xx x x +⋅-，其中2x =．6. （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值.221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中7. （2011湖南邵阳，18，8分）已知111x =-，求211x x +--的值。

分式与分式方程知识点总结

分式与分式方程专题一、分式基本知识1、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式。

（1）分式与整式最本质的区别：分式的分母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。

（2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。

（3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。

2、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）（1）利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时，要注意C ≠0，以及隐含的B ≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3、分式的通分和约分：关键先是分解因式（1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

（2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式（3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。

（4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。

4、分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。

注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分C B C A B A ⋅⋅=CB CA B A ÷÷=鑫鹏学校母中的部分项的符号。

5、分式的运算：（1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

（2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

（3）分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

（4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括号的，按从左到右的顺序运算（5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

(完整)分式与分式方程题型分类讲义

分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程。

2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母,在方程的两边都乘以，约去分母,化成整式方程; （2）解这个整式方程；（3)验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3。

用换元法解分式方程的一般步骤:① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用:分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似,不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2)检验所求的解是否。

二、题型分类考点一:分式方程题型（一)分式方程去分母 1、解分式方程22311x x x时,去分母后变形为（）。

A ．()()1322-=++x xB ．()1322-=+-x xC ．()()x x -=+-1322D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（）A ．0322=--x xB ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx题型（二)解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1。

已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22。

方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( ）A 。

无解 B. 0 ， 3 C 。

—3 D 。

0, ±33。

如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是（ ) A ．34 B 。

35C. 41 D 。

分式及分式方程复习讲义汇总

教学目标:1. 掌握分式概念、性质及运算.2 .掌握分式方程的概念、解法、及增根问题.、知识回顾■知识点1:分式及分式概念2X — 43.若分式的值为0,那么分式及分式方程分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有:0 X 2分式方程: 分母含字母的方程叫分式方程.易错点1 约分，找公因式，同时约去分子分母的公因式.用的是分式的除法性质易错点2 通分，找最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质.知识点3:解分式方程去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根. 2 .易淆点(1) 把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质; (2) 去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题增根的概念：是整式方程的根，同时又使最简公分母为 0的根叫增根，必须满足这两个条件. 常考题型：求含参数的增根问题.♦课前热身1.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式? ①X '②3 '③3；忌’④宁’⑤亡2X +2x +1 2'⑥，⑦卄-b7 '⑨(XT 尸分式: 2.当x__________ ;整式 ___________4 — X时，分式------ 有意义；当 XX-3X — 2时，分式斗上无意义.X-4知识点2:分式性质1.思路:4. 填空（ 1)3X 2X 2 +2xX +2(2) X-yx + y (X + y)2'2a - ab a — b (3) -__ab5. 化简:3a 2b 33a 2b(m-1) 6. 计算:7. a 2 a +1 -12ab 26a 2y 2 8y 3a 28.下列关于 2+XA. ---------5 a +129ab (1-m)；（3）2m —2m +11-m 22a — 2 a +2a 2aa 2 —4a -2X 的方程，是分式方程的是（B.=37+a-XX a C.---a bD.4=1 X —19.若关于X 的分式方程 ------ ——=1有增根，贝yX —1 X 10.解下列分式方程: ，丄=1； 5-2x2x -5 分式部分、例题辨析芒亞复例1若分式X+4 X 2的值为正数，则X 的取值范围是（） A. X >0 B. X >-4C.XM0D.X >-4 且 XM0练习（1 ）当X时，分式1+x 2的值为负数.12-6x 2例如杲把分式為中的X 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ A .不变 B •变大3倍 C .缩小3倍 D.无法确定2练习（1）把分式一J 中的X 和y 都扩大3倍，分式值X + y不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数 1 2—X —一 y ① 2__311 1 3 4 y三、归纳总结计算（ 1)X —3 X +3练习: (1) a +2-r4aX - 3X 2 —1 1 -X3.1-化简求值：若x J 3，求3X ~3X 4~(X +」- X-22-X）的值.练习化简求值（一^ -飞a —b a -2ab+b2h(為一几),其中a G ,b —3 -0.2a _0.03b② -------------0.04a +b7二・ 1.区别分数与分式：分数是一个具体的数，是整式.分式的分母一定含有字母，是分式,2. 分数与分式在形式上相近，性质上也类似，所以由熟悉的分数来类比学习和理解分式的性质和运算3. 分式的运算中，分子分母能因式分解的要先分解因式.四、拓展延伸7型0例5 1.如果分式丄+1 =—1—，那么a +—的值为（）.a b a +bb a分式方程部分A.1 D.-22.已知:B.-1C.21+丄=5，求2x —3x y +2y 的值.提示：整体代入，① X +y =3xy ，②转化出1 +丄 X y -X +2xy +y练习 1.若实数a 、b 满足:2 2a 丄bc E 「a +ab + b 心古斗—+— = 2，则 ------------ 2的值为b a a 2+4ab+b 2已知 X 2 -3x +1=0,求 X 4练习若x + 1 =3,求 X 2X X 4 +x 2 +1的值.例7解下列分式方程(1)丄=? X -1 X0.2(2) 一—一 -丄=0 ;0.1X-0.3 x/ 八5 +X X +5(4) BP提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根练习解下列方程:0.4(2)亠-2 =X—3 0.1 X —0.3若关于x的分式方程—=1 -旦有增根，求m的值.X —3 X —31.若分式方程一6X +5= ------- 有增根，则增根是（X T x（x T ）A. x= 1X +1 2.若关于X的方程2X -XB. x= 1和x= 0C. X = 0D.无法确定1 X +k有增根，求增根和k的值. 3x 3x —32 3. m为何值时，关于X的方程——X -2mx+7^:7会产生增根?X+2五、作业与思考(1)亠+ 9=4 ；X +1 X X +7 十X +9X +6 X +8X +10X +9十X +6X +5提示：(1)换元法，设―=y ; ( 2)裂项法，X +1 X +7 =1 +丄x+6 x+6。

专题九分式与分式方程-知识点与题型全解析(解析版)

09 分式与分式方程专题总结【思维导图】【知识要点】知识点一：分式的基础概念：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式，A为分子，B为分母。

B【注意】判断式子是不是分式是从原始形式上去看，而不是从化简后的结果上去看。

与分式有关的条件：1．无论a取何值时，下列分式一定有意义的是（）A．a2+1a2B．a+1a2C．a2−1a+1D．a−1a2+1【答案】D【解析】当a=0时，a2=0，故A、B中分式无意义；当a=-1时，a+1=0，故C中分式无意义；无论a取何值时，a2+1≠0，故选D．2．若代数式x+1x−3有意义，则实数x的取值范围是（）A．x=−1B．x=3C．x≠−1D．x≠3【答案】D【解析】∵代数式x+1x−3有意义，∴x−3≠0，∴x≠3故选：D．3．在1,1,x2+1,3xy,,a+1m中分式的个数有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】B【解析】解：12，x 2+12，3xy π中的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式；1x ，3x+y ,a +1m 中的分母中含有字母，因此是分式；故选：B ．题型一分式值为0的判断方法例1．分式x 2+2x−3|x |−1的值为0,则x 的取值为( )A ．x=-3B ．x=3C ．x=-3或x=1D ．x=3或x=-1【答案】A 【解析】 ∵原式的值为0， ∴{x 2+2x −3＝0|x |−1≠0，∴（x -1）（x+3）=0，即x=1或x=-3；又∵|x|-1≠0，即x≠±1． ∴x=-3．故选：A ．跟踪训练一 1．当式子|x |−5x 2−4x−5的值为零时，x 的值是（）A ．±5B ．5C ．−5D ．5或1【答案】C 【解析】由题意，得：|x |−5=0，且x 2−4x −5≠0；由|x |−5=0，得：x =±5；由x 2−4x −5≠0，得：x ≠5，x ≠−1；综上得：x =−5，故选C. 2．若分式x 2−1x+1的值为0，则x 的值为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．±1【答案】B【解析】∵分式x 2−1x+1的值为零，∴{x2−1=0x +1≠0，解得：x=1，故选B ．知识点二：分式的运算（重点）基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

分式和分式方程知识点总结材料及练习

分式和分式方程知识点总结一、分式的基本概念 1、分式的定义一般地，我们把形如BA的代数式叫做分式，其中 A ，B 都是整式，且B 含有字母。

A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母。

分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商。

2.分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变。

MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=。

其中，M 是不等于0的整式。

3.分式的约分把分式中分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

4.最简分式分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。

利用分式的基本性质可以对分式进行化简二、分式的运算 1、分式的乘除分式的乘法法则分式与分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

DB C A D C B A ••=• 分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘。

C BD A C D B A D C B A ••=•=÷2、分式的加减同分母的分式加减法法则同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分子相加（减）。

BCA B C B A ±=± 异分母的分式加减法法则异分母的两个分式相加（减），先通分，化为同分母的分式，再加（减）。

分式的通分把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式，叫做分式的通分，这个相同的分母叫做这几个分式的公分母。

几个分式的公分母不止一个，通分时一般选取最简公分母BDBCAD BD BC BD AD D C B A ±=±=± 分式的混合运算分式的混合运算，与数的混合运算类似。

先算乘除，再算加减；如果有括号，要先算括号里面的。

三、分式方程 1、分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、分式方程的解使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）。

3、解分式方程的步骤1.通过去分母将分式方程转化为整式方程，2.解整式方程3.将整式方程的根代入分式方程（或公分母）中检验。

分式及分式方程复习讲义

分式及分式方程教学目标：1．掌握分式概念、性质及运算．2．掌握分式方程的概念、解法、及增根问题．一、知识回顾知识点1：分式及分式概念分式：分母还字母的代数式：易辨错的分式有：0x ，2x x ，11x+等．分式方程：分母含字母的方程叫分式方程．知识点2：分式性质易错点1 约分，找公因式，同时约去分子分母的公因式．用的是分式的除法性质易错点2 通分，找最简公分母，化异分母为同分母，用的是分式的乘法性质．知识点3：解分式方程1．思路：去分母，变分式方程为整式方程求解，记得验根．2．易淆点（1）把分子分母中的分数，小数变成整数时，是分子分母同时扩大多少倍，用的是分式的性质；（2）去分母，方程的每项同乘分母的最简公分母，用的是等式性质； 3.增根问题增根的概念：是整式方程的根，同时又使最简公分母为0的根叫增根，必须满足这两个条件．常考题型：求含参数的增根问题． ◆课前热身1.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？①x 1，②3x ，③5342+b ，④352-a ，⑤22y x x -，⑥ 121222+-++x x x x ， ⑦()b a c -÷，⑧x x 2，⑨2)1(--x 分式：____________________；整式___________________； 2. 当x ___________时，分式43x x --有意义；当x ____时，分式422--x x 无意义. 3. 若分式142+-x x 的值为0，那么____________．4. 填空（1）223(__)22x x x x =++；（2）2(____)()x y x y x y -=++；（3）2(____)a ab a bab --=5. 化简：232312a b ab -=__________；223(1)9(1)a b m ab m --=__________ ；（3）22211m m m -+-=_____________. 6. 计算：223286a y y a ⋅=_______；a a a a 21222+⋅-+=___________. 7. 1112+-+a a a =_____________；21422---a a a =______________． 8.下列关于x 的方程，是分式方程的是（）A .23356x x ++-=B .137x x a -=-+C .x a b xa b a b-=- D .2(1)11x x -=- 9. 若关于x 的分式方程311x a x x --=-有增根，则a =____________. 10.解下列分式方程：512552x x x+=--；分式部分二、例题辨析例1 若分式24xx +的值为正数，则x 的取值范围是( ) A. x >0 B. x >-4 C. x ≠0 D. x >-4且x ≠0练习（1）当x ________时，分式xx 61212-+的值为负数．例2 如果把分式xx y+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（） A ．不变 B ．变大3倍 C ．缩小3倍 D ．无法确定练习（1）把分式yx x +2中的x 和y 都扩大3倍，分式值____________．（2）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.①y x yx 41313221+- ②ba ba +-04.003.02.0例3 计算（1）3131+--x x练习：(1) a a --+242 (2) x x x ----13132例4 化简求值：若x =33，求233()22x x x x x-÷+--的值．练习化简求值3,32),()2(222222-==--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中．三、归纳总结1.区别分数与分式：分数是一个具体的数，是整式.分式的分母一定含有字母，是分式，2.分数与分式在形式上相近，性质上也类似，所以由熟悉的分数来类比学习和理解分式的性质和运算.3.分式的运算中，分子分母能因式分解的要先分解因式.四、拓展延伸例5 1.如果分式111a b a b+=+，那么a b b a +的值为（）. A.1 B.-1 C.2 D.-22.已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y x 11+.练习 1．若实数a 、b 满足：2a bb a+=，则22224a ab b a ab b ++++的值为_________ ．例6 已知2310x x -+=,求441xx +的值.练习若x ＋1x =3,求2421x x x ++的值.分式方程部分例7 解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0.2100.10.3x x-=-；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.练习解下列方程：（1）021211=-++-xxx x ；（2）0.4230.10.3x x x -=--；例8 若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.练习 1. 若分式方程()1516-+=-x x x x 有增根，则增根是（） A. x ＝1 B. x ＝1和x ＝0 C. x ＝0 D. 无法确定2.若关于x 的方程21x x x +--13x =33x kx +-有增根，求增根和k 的值．3. m 为何值时，关于x 的方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根？五、作业与思考（1）4441=+++x x x x ；（2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x ．。

人教版八年级上册期末复习——第十五章分式及分式方程复习讲义(解析版)

八年级上册期末复习——第十五章分式及分式方程复习讲义班级：姓名： .考点1：分式有无意义、值为0的条件1．分式一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母. 要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B ≠0时，分式A B才有意义.1.若分式242x x -+有意义，则x 的取值范围是（） A ．2x ≠B ．=2xC ．=-2xD ．2x ≠- 答案：D解析：20,2x x +≠≠与分子无关2．当x ________时，分式11x -没有意义．答案:x=1解析：当，即＝1时，分式11x -没有意义 3．若分式242x x --的值等于零，则＝_______；答案：＝－2；解析：由＝0，得. 当＝2时－2＝0，所以＝－2；考点2：分式的概念与基本性质 1.分式的基本性质（M 为不等于0的整式）.2．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.1．在中，分式的个数是（） A.2 B.3 C.4 D.5答案：C ；解析：21(1)31,,,x x a x x x y m+++为分式，注意：π是数字，并不是字母 2．把分式2x y x y+的x,y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（） 10x -=x x x 24x -2x =±x x x ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++πA.不变B.扩大为原来的3倍C.扩大为原来的9倍D.扩大为原来的2倍答案：C 解析：222(3)3279333()x y x y x y x y x y x y==+++,为原来的9倍 3．下列运算正确的（）A ．a a a b a b =----B ．0.220.33a b a b a b a b ++=++C ．221b a a b a b-=--+ D ．22a b a b a b +=-+ 答案：C解析：A:a a a b a b =---+,B:0.22100.3310a b a b a b a b++=++,C:正确，D ：22a b a b ++不能再化简约分 4.下列分式是最简分式是（）A ．22x x y +B ．23x xy xy -C ．224x x +-D ．2121x x x --+答案：A解析：B ．23(3)3x xy x x y x y xy xy y ---==，C ．22214(2)(2)2x x x x x x +-==--++，D ．2211121(1)1x x x x x x --==--+-- 考点3：分式的基本运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算a b a b c c c±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.a c acb d bd⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.A ．1m -B ．+1mC ．1m +D ．1m - 答案：D 解析：2211111(1)(1)(1)(1)1m m m m m m m m m -=+=---+-+- 2.计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-．答案：22(1)(2)(1)x x x +-+- 解析：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 3．计算：（1）332212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（2）2224222a a a a a a ⎛⎫⨯- ⎪+--⎝⎭；（3）6333a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭．答案：（1）822a b （2）a （3）13a + 解析：（1）3322326331122b b b b a a ab a a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷=-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭268233322b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=--⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）2222244(2)(2)222(2)222a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫-+-⨯-=⨯=⨯ ⎪+--+-+-⎝⎭ (2)2a a a a =⨯+=+；（3）6333a a a a a a ⎛⎫-÷ ⎪-+-⎝⎭= (3)a(3)3(3)(3)6a a a a a a a+---⨯+-， 631(3)(3)63a a a a a a -=⨯=+-+．4．先化简再求值：2222111a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，其中2a =答案：原式=1a a -，当2a =时，原式=11=2a a -解析： 222222111(1)(1)=(1)(1)1a a a a a a a a a a a a a--⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭⎡⎤-+⎢⎥+-⎣⎦-=当2a =时，原式=11=2a a - 考点4：分式方程 1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.1．把分式方程311x x x -=+化为整式方程，去分母正确的事（） A ．23(1)1x x +-=B ．23(1)(1)x x x x +-=+C ．23(1)+1x x +=D ．23(1)(1)x x x x -+=+ 答案：B 解析：23113(1)(1)x x x x x x x -=+⇒+-=+2．如果关于x 的分式方程2122m x x x -=--无解，那么m 的值为（） A ．4B ．-4C ．2D ．-2 答案：A 解析：2122m x x x-=--解方程得：2x m =--，因为方程无解，所以22x m =--=，则4m = 3．如果关于x 的分式方程62033x m x x --=--有增根，则m 的值是（） A ．32 B ．32- C ．3 D ．3- 答案：A 解析：62033x m x x --=--，解方程得：62x m =-，因为有增根，所以623x m =-=，则32m =4.从-1,0,1,2,3,4,5,这7个数中随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式1253x a x x-<⎧⎨+≤⎩无解，且使关于x 的分式方程122x a x -=-的解为非负数，那么这7个数中所有满足条件的a 的值之和是（） A ．6B ．8C ．9D ．10 答案：A解析：解不等式组得：15x a x <+⎧⎨≥⎩，因为不等式组无解，所以51,4a a ≥+≤，分式方程解得：2222,233a a x --=≠且，所以：14a a ≥≠且综上所述41a >≥，所以1,2,3a =，故答案选A5.解方程（1）23222x x x -=+- （2）()1231244x x x -=---答案：（1）27x =，（2）32x =- 解析：（1）解：23222x x x -=+- 方程两边同乘以()()22x x -+，得()()()()2232222x x x x x --+=+--72x =-27x =检验：当27x =时，最简公分母()()22x x -+≠0， ∴27x =是原方程的解. （2）解：方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．考点5：分式方程实际应用1.县城建局对某一条街的改造工程要限期完成，甲工程队独做可以提前一天完成，乙工程队独做要延期6天，现由两个工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，若设工程期限为x 天，则所列方程正确的是（）A ．4116x x x +=+- B ．416x x x =-+ C ．4116x x x +=-- D ．4116x x x +=-+答案:D 解析：设总工作总量为1，工程期限为x 天，所以可列方程：4116x x x +=-+ 2.A 、B 两地相距36千米，一艘轮船从A 地顺流行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程为（）A ．3636944x x +=+- B ．3636944x x +=+- C ．3649x += D ．3636944x x -=+-答案:A解析：设轮船在静水中速度为x ，可列方程的：3636944x x +=+- 3．小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?答案：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．解析：解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ．根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+．解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．4．“抗击疫情，八方支援”截止2020年2月19日，全国已有278支医疗队、32395名医务人员从各地驰援湖北，小明和爸爸经过商量打算用自己的压岁钱购买A 、B 俩两种品牌消毒酒精捐赠当地医院，已知A 品牌消毒酒精每桶的价格比B 品牌消毒酒精每桶的价格多20元，用3000元购进A 品牌消毒酒精个用1800元购进B 品牌消毒酒精的数量相同.（1）A 品牌消毒酒精每桶的价格和B 品牌消毒酒精的每桶的价格各是多少元？（2）小明计划用不超过1560元的压岁钱购进A 、B 两种品牌消毒酒精共40桶，其中A 品牌的消毒酒精的数量不低于B 品牌的消毒酒精数量的一半，小明有几种购买方案？答案：（1）A ：50，B ：30（2）共5中方案。

分式及分式方程解法讲义

分式及分式方程一、知识讲解 1．分式用A ，B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成A B 的形式，若B 中含有字母，式子AB就叫做分式．2，当x____时，分式无意义；当x_____时，分式的值为0. 3．分式的基本性质A B =,A M A A MB M B B M⨯÷=⨯÷（其中M 是不等于零的整式） 4．分式的符号法则a b =a a a b b b--=-=---． 5．分式的运算（1）加减法：,a b a b a c ad bcc c c bd bd ±±±=±=．（2）乘除法：a b ·,c ac a c a d add bd b d b c bc=÷==（3）乘方（a b）n =nn a b （n 为正整数）6．约分根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 7．通分根据分式的基本性质，•把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分．易混,易错点分析:1,在分式通分时最简公分母的确定方法(1)系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.2,取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.(3)如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.2,在分式约分时分子分母公因式的判断方法(1)系数取分子,分母系数的最大公约数作为公因式的系数.(2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.(3)如果分子,分母是多项式,则应先把分子,分母分解因式,然后判断公因式.3,分式计算的最后结果必须是最简形式.重点,难点:1,繁杂形式的分式通分及整式与分式结合形式的通分.2,约分化简. 二、例题解析例1 填空题：（1）若分式2242x x x ---的值为零，则x 的值为________；（2）若a ，b 都是正数，且1a －1b =222,ab a b a b+-则，则=______．【解答】解题要点:分式的分子为零,且分母不为0.（1）由x 2=4，得x=±2，把x=2代入分母，得x 2－x －2=4－2－2=0，把x=－2•代入分母，得x 2－x －2=4+2－2=4≠0，故答案为－2．（2）由整体代换法：把1a －1b =22b a a b ab a b-=++化为，b 2－a 2=2ab ，即a 2－b 2=－2ab ，代入22222abab aba ba b ab =---中得=12，故答案为12．例2 选择题：（1）已知两个分式：A=2411,422B x x x=+-+-，其中x ≠±2，那么A 与B 的关系是（）A ．相等B ．互为倒数C ．互为相反数D ．A 大于B （2）已知23,2343a b c a b c a b c+-==-+则的值为（）A ．－57 B ．57 C ．97 D ．－97【解答】（1）B=22112(2)42244x x x x x x --+-==-+---， ∴A+B=0，A ，B 互为相反数，选C ．（2）设234a b c===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，代入232399,3377a b c a b c k a b ca b ck +-+-==-+-+中可得，选C ．例3先化简再求值：2221412211a a a a a a --÷+-+-，其中a 满足a 2－a=0．【解答】原式=21(2)(2)(1)(1)2(1)1a a a a a a a -+--++-=（a －2）（a+1）=a 2－a －2由a 2－a=0得原式=－2（2011四川南充市，15，6分）先化简，再求值：21x x -(xx 1-－2),其中x =2. 【答案】解：方法一：21(2)1x x x x ---=221211x x xx x x -⋅-⋅--=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x -⋅-+-+- =121(1)(1)x x x x -++-=12(1)(1)(1)(1)x x x x x x --+-+-=12(1)(1)x x x x --+-=121(1)(1)(1)(1)x x xx x x x ----=+-+- =(1)(1)(1)x x x -++-=11x --当x =2时，11x --=121--=-1 方法二：21(2)1x x x x ---=212()1x x x x x x ---=2121x x x x x --⋅-=1(1)(1)x x x x x --⋅+- =(1)(1)(1)x x x x x -+⋅+-=11x -- 当x =2时，11x --=121--=-1. 分式方程一、知识点.1．分式方程的概念分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 2．解分式方程的基本思想方法分式方程−−−→去分母换元整式方程． 3．解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验 4．列分式方程解应用题的步骤和注意事项列分式方程解应用题的一般步骤为：①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未知数；②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助理顺各个量之间的关系；③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程； ④解方程并检验； ⑤写出答案．注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．二、例题解析例1 解方程：2x x ++22x x +-=284x -．【分析】由分式方程的概念可知，此方程是分式方程，因此根据其特点应选择其方法是──去分母法，并且在解此方程时必须验根．【解答】去分母，得x （x －2）+（x+2）=8． x 2－2x+x 2+4x+4=8 整理，得x 2+x －2=0．解得x 1=－2，x 2=1．经检验，x 1=1为原方程的根，x 2=－2是增根． ∴原方程的根是x=1．【点评】去分母法解分式方程的具体做法是：把方程的分母分解因式后，找出分母的最简公分母；然后将方程两边同乘以最简公分母，将分式方程化成整式方程．注意去分母时，不要漏乘；最后还要注意解分式方程必须验根，并掌握验根的方法．例2 已知关于x 的方程2x 2－kx+1=0的一个解与方程211x x+-=4的解相同．（1）求k 的值；（2）求方程2x 2－kx+1=0的另一个解．【分析】解分式方程必验根．【解答】（1）∵211x x+-=4， ∴2x+1=4－4x ，∴x=12．经检验x=12是原方程的解．把x=12代入方程2x 2－kx+1=0，解得k=3．（2）解2x 2－3x+1=0，得x 1=12，x 2=1．∴方程2x 2－kx+1=0的另一个解为x=1．【点评】分式方程与一元二次方程“珠联壁合”，旨在通过分式方程的解来确定一元二次方程的待定系数，起到通过一题考查多个知识点的目的．课后作业一选择（36分）1 下列运算正确的是（） A -40=1 B （-3）-1=31 C （-2m-n ）2=4m-n D （a+b ）-1=a -1+b -12 分式28,9,12zyx xy z x x z y -+-的最简公分母是（） A 72xyz 2B 108xyzC 72xyzD 96xyz 23 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（）A 0.00036B -0.0036C -0.00036D -36000 4 如果把分式yx x232-中的x,y 都扩大3倍，那么分式的值（）A 扩大3倍B 不变C 缩小3倍D 扩大2倍 5 若分式6522+--x x x 的值为0，则x 的值为（）A 2B -2C 2或-2D 2或3 6 计算⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+1111112x x 的结果是（） A 1 B x+1 Cx x 1+ D 11-x 7 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②72-x=3x ③x+3x=72 ④372=-xx上述所列方程，正确的有（）个A 1 B 2 C 3 D 48 在ma y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（） A 2 B 3 C 4 D 5 9 若分式方程xa xa x +-=+-321有增根，则a 的值是（） A -1 B 0 C 1 D 2 10 若3,111--+=-ba ab b a b a 则的值是（） A -2 B 2 C 3 D -311 把分式方程12121=----xxx ，的两边同时乘以x-2，约去分母，得（） A 1-(1-x)=1 B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2 12 已知k ba cc a b c b a =+=+=+，则直线y=kx+2k 一定经过（） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限二填空（21分）1 写出一个分母至少含有两项且能够约分的分式2 ()a bab ab a 2332222=++ 3 7m=3,7n=5,则72m-n=4 一组按规律排列的式子：()0,,,,41138252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是第n 个式子是5 ()231200841-+⎪⎭⎫⎝⎛--+-=6 方程04142=----xx x 的解是 7 若2222,2ba b ab a b a ++-=则= 三化简（12分）1 ()d cd b a cab 234322222-∙-÷2 111122----÷-a a a a a a3 ⎪⎭⎫⎝⎛---÷--225262x x x x四解下列各题（8分）1 已知bab a b ab a b a ---+=-2232,311求的值 2 若0<x<1,且x x x x 1,61-=+求的值五（5）先化简代数式()()n m n m mnn m n m n m n m -+÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+222222，然后在取一组m,n 的值代入求值六解方程（12分） 1 12332-=-x x 2 1412112-=-++x x x七（7）2008年5月12日，四川省发生8.0级地震，我校师生积极捐款，已知第一天捐款 4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？参考答案一 CACBB CCBCA DB二 1 如112-+x x ，2 3b ， 3 59 ， 4 -()nn n a ba b 137201,--， 5 2， 6 3，7 53 三 1ac 1 ， 2 1-a a ， 3 32+-x 四 1 提示：将所求式子的分子、分母同时除以ab 。