第9章 正弦稳态功率和能量
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显然有 P = PR1+ PR2+ PL+ PC = PR1+ PR2 平均功率守恒。单口网络从外电路吸收的总平均功 率等于该网络内部各元件吸收的平均功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总平均功 率等于网络内各电阻元件平均功率之和。
8
9-3 电感、电容的平均储能
电感L： i I m cos t 瞬时能量
24
-
9-6 复功率 复功率守恒
i 2 I cos(t i ) u 2 U cos(t u )
+ u -
i N
~ * 定义： S U I U u I i U I
其中 I *是电流相量的共轭复数，即复功率等于电压相量
与电流相量之共轭复数的乘积， 是 u 与 i 的相位差。
2
单口网络的瞬时功率
正弦稳态电路中，电流和电压是 同频率的正弦量。设 u 2 U cos(t ) ,
+ u -
i N
i 2 I cost
其中 是电压与电流相位差。
网络 N 吸收的瞬时功率为：
p(t ) u i 2U cos(t ) 2 I cost U I [cos cos(2t )]
o
~ ~ ~ S S1 S2 (10000 j7500 (15000 j20000 ) ) o 25000 j12500 27951 26.6 (VA)
I S U 279512300 12.2 ( A)
28
9-7 正弦稳态最大功率传递定理
Q 0;
Q 0.
20
当 0
视在功率，平均功率和无功功率之间的关系
S
2
P Q
2
2
P S cos
Q S sin
Q tg P
S P Q
21
例：电路如图，已知 U＝100V，求 该单口网络吸收 的总无功功率 Q 及 Q L、Q C 。
+ U
I
-j5Ω
R1 10Ω j30Ω
第一项符号不变，反映网络 N 与外电路之间的单向能 量传送速率，其平均值即有功功率; 第二项是正负半 周对称的时间函数，它反映网络 N 与外电路之间能量 往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分 量，其最大值 UIsin 定义为网络 N 的无功功率。 11
定义网络 N 的无功功率 Q 为：
电感 L： = /2 ，
p L (t ) U I cos(2t 2) I sin 2t U
电容 C： = －/2 ，
pC (t ) U I cos(2t 2) I sin 2t U
电感、电容的瞬时功率是正负对称交变的，一周期 内吸收的电能与放出的电能相等。它们是不耗能的、 储能的无源元件。
4
9-2 平均功率
u 2 U cos(t )
i 2 I cos t
+ u -
i N
平均功率指瞬时功率在一周期内的平均值，又称为 有功功率，简称为功率。
1 P T
1 T 0 p (t )dt T 0 [UI cos UI cos( 2t )]dt 可求得 P U I cos U I
2 2
QC I U C I (1 C ) (2 2 ) 5 40(var)
2 2
显然有 P = QR1+ QR2+ QL+ QC = QL+ QC 无功功率守恒。单口网络从外电路吸收的总无功功 率等于该网络内部各元件吸收的无功功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总无功功 率等于网络内各电抗元件吸收的无功功率之和。
15
功率因数
u 2 U cos(t )
i 2 I cost
+ u -
i N
由 S = UI 及 P U I cos U I
得
cos P S
称 为网络 N 的功率因数。
16
cos P S
若 > 0，则网络 N 吸收电能。
电容 C： = －/2 ，P U I cos 0 C
正弦激励时，电感、电容所吸收的平均功率均为零。
6
例：电路如图，已知 U＝100V，求 该单口网络吸 收的总功率P及PR1、 PR2 。
+ U
I
-j5Ω
R1 10Ω j30Ω
解：
R2 15Ω
Z (10 15) j(30 5) 25 2 45o ()
26
例：电路如图，已知负载1的 P1=10kW，1＝0.8(超 前)；负载2的 P2=15kW，2＝0.6(滞后)；U=2300V。 求两负载吸收的总复功率及输入电流有效值 I。
U
解：
I
负载1
负载2
S1 P 1 104 0.8 12500 VA) ( 1
1 arccos0.8 36.9
18
常见负载为感性负载，可用并电容法提高其功率因数。
+
U I IL IC C
-
感 性 负 载
I IL IC
U
19
9-5 单口网络的无功功率
定义网络 N 的无功功率 Q 为：
Q U I sin
Q 的单位：无功伏安，简称为：乏 (var)、千乏(kvar)
当
0
（感性电路）， （容性电路），
其中 =cos 。P的单位：瓦特 (W)
网络 N 的平均功率与其端电压和端电流的有效值成 正比，还与电压、电流相位差的余弦函数成正比。
14
视在功率和功率因数
单口网络的视在功率 S
u 2 U cos(t )
i 2 I cost
定义：S = UI
+ u -
i N
称 S 为网络 N 的视在功率或表观功率。视在功 率一般并不等于平均功率，它一般要比平均功 率大。电源设备的容量一般用视在功率表示。 S 的单位：伏安 (VA)、千伏安(KVA)
o
Q1 S1 sin 1 12500 sin(36.9o ) 7500(var)
27
U
I
负载1
负载2
S2 P 2 1510 0.6 25000 VA) ( 2
3
2 arccos0.6 53.1o
Q2 S2 sin21 25000 sin(53.1 ) 20000 (var)
若 < 0，则网络 N 产生电能，N 中必含有源元件。
若网络 N 中无独立源，则 为该网络的阻抗角。
若网络N中仅含 R、L、C ，则必有 > 0，即 2 。
不能反映 的正负，需另加说明。常以“滞后” 表示电流滞后于电压， 角为正；以“超前”表 示电流超前于电压， 角为负。
第9章 正弦稳态功率和能量 三相电路
本章讲述正弦稳态电路的功率和能量特性，以 及正弦电路的应用—三相电路。
基本概念 电阻的平均功率 电感、电容的平均储能 单口网络的平均功率 单口网络的无功功率
复功率
三相电路
复功率守恒
正弦稳态最大功率传递定理
1
9-1 基本概念
瞬时功率 p 定义为能量对时间的导数, 是由同一时刻
网络 N 的瞬时功率随时间而变化。若 0 且 ， 则 p(t) 的正负也随时间变化，说明网络 N 与外电路 之间有能量往返，这是由于电路中存在储能元件。
3
R、L、C 元件的瞬时功率
电阻 R： = 0， p R (t ) U I [1 cos2t ] 0
电阻是耗能元件，任一时刻吸收电功率不为负值。
25
~ 有 S UI
S U I cos jU I sin P jQ
复功率只是一个计算用的复数，定义复功率的目的 是为了能直接用电压电流相量来求解功率问题。
复功率守恒：网络 N 所吸收的总的复功率等于该网 络内各元件吸收的复功率之和。复功率守恒包括有
功功率守恒和无功功率守恒。
Q U I sin
Q 的单位：无功伏安，简称为：乏 (var)、千乏(kvar) 当
0
（感性电路）， （容性电路），
Q 0;
Q 0.
当 0
12
R、L、C 元件的无功功率
电阻 R： = 0，
QR U I sin 0
电感 L： = /2 ，
QL U I sin U I
23
•
感性负载并电容提高功率因数的另一种解释 由 P U I cos , Q U I sin
S
得
S U I
P2 Q2
Q
P
P cos S
+
U I
感 性 负 载
P P Q
2 2
并电容前，Q＝Q L ; 并电容后，Q＝Q L+ Q C
IL IC C
由于 Q C 为负值，故 Q< Q ；而并电容前后的平均 功率 P 未变，因此并电容 后功率因数 得到提高。
17
功率因数的提高
一般的用电设备是吸收电能的，即 cos > 0。 负载的功率因数太低会带来两个问题：
1. 电源设备得不到充分利用 由 P S 可知，电源容量 S 一定时，负载功 率因数越小，电源可提供的有功功率也就越小。
2. 供电线路上损耗大 由 P U I 可知，当 U 和 P 一定时，功率因数越 小，所需电流 I 也就越大，而线路损耗与 I2成正比。
的电压与电流的乘积来确定的。亦即
dw p t u (t ) i (t ) dt
如果 u (t )和 i (t ) 的参考方向一致，则 p (t )就是流入 元件或网络的能量的变化率， (t ) 称为该元件或网 p p 络所吸收的功率。因此， (t ) > 0 ，就表示能量确 实流入元件或网络； (t ) < 0 ，就表示能量实际上 p 流出元件或网络。
电容 C： = －/2 ，
QC U I sin U I
电阻不吸收无功功率，电感吸收正值的无功功率， 电容吸收负值的无功功率。
13
9-4 单口网络的平均功率
u 2 U cos(t )
i 2 I cost
1 P T
T
+ u -
i N
1 T 0 p (t )dt T 0 [UI cos UI cos( 2t )]dt 可求得 P U I cos U I
I U Z 100 (25
2) 2
2 ( A)
7
P UI cos 100 2 2 cos45o 200(W )
PR1 I 2 R1 (2 2 )2 10 80(W )
PR 2 I 2 R2 (2 2 )2 15 120(W )
解：
R2 15Ω
Z (10 15) j(30 5) 25 2 45o ()
I U Z 100 (25 2 ) 2 2 ( A)
22
Q UI sin 100 2 2 sin 45 200(var)
o
QL IUL I L (2 2 ) 30 240(var)
T
其中 =cos 。P的单位：瓦特 (W)
5
R、L、C 元件的平均功率
电阻 R： = 0，
PR U I cos U I I R U
2
2
R
这两个公式与电阻电路中计算电阻消耗功率的公式完 全相同。因此，如使用有效值，电阻元件所消耗的平 均功率可以按直流电阻电流电路中所用的公式来计算。 电感 L： = /2 ， PL U I cos 0
9
电容 C：
瞬时能量 平均能量 平均功率
u U m cos t
1 2 wC C
10
单口网络的无功功率
u 2 U cos(t ) 瞬时功率可改写为：
i 2 I cost
+ u -
i N
p(t ) U I [cos cos(2t )] U I cos (1 cos2t ) U I sin sin 2t
1 2 wL Li (t ) 2
2 随 i (t ) 波动，贮能时而增长，时而减少。wL
0
平均能量 瞬时功率
WLav
1 T
T
0
1 1 wL dt L[ 2 T
T
0
1 2 i dt ] LI LI 2
2
wL , p 0; wL , p 0 。
p周期性变动，正、负抵消，平均功率=0。
8
9-3 电感、电容的平均储能
电感L： i I m cos t 瞬时能量
24
-
9-6 复功率 复功率守恒
i 2 I cos(t i ) u 2 U cos(t u )
+ u -
i N
~ * 定义： S U I U u I i U I
其中 I *是电流相量的共轭复数，即复功率等于电压相量
与电流相量之共轭复数的乘积， 是 u 与 i 的相位差。
2
单口网络的瞬时功率
正弦稳态电路中，电流和电压是 同频率的正弦量。设 u 2 U cos(t ) ,
+ u -
i N
i 2 I cost
其中 是电压与电流相位差。
网络 N 吸收的瞬时功率为：
p(t ) u i 2U cos(t ) 2 I cost U I [cos cos(2t )]
o
~ ~ ~ S S1 S2 (10000 j7500 (15000 j20000 ) ) o 25000 j12500 27951 26.6 (VA)
I S U 279512300 12.2 ( A)
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9-7 正弦稳态最大功率传递定理
Q 0;
Q 0.
20
当 0
视在功率，平均功率和无功功率之间的关系
S
2
P Q
2
2
P S cos
Q S sin
Q tg P
S P Q
21
例：电路如图，已知 U＝100V，求 该单口网络吸收 的总无功功率 Q 及 Q L、Q C 。
+ U
I
-j5Ω
R1 10Ω j30Ω
第一项符号不变，反映网络 N 与外电路之间的单向能 量传送速率，其平均值即有功功率; 第二项是正负半 周对称的时间函数，它反映网络 N 与外电路之间能量 往返交换的速率，是在平均意义上不能作功的无功分 量，其最大值 UIsin 定义为网络 N 的无功功率。 11
定义网络 N 的无功功率 Q 为：
电感 L： = /2 ，
p L (t ) U I cos(2t 2) I sin 2t U
电容 C： = －/2 ，
pC (t ) U I cos(2t 2) I sin 2t U
电感、电容的瞬时功率是正负对称交变的，一周期 内吸收的电能与放出的电能相等。它们是不耗能的、 储能的无源元件。
4
9-2 平均功率
u 2 U cos(t )
i 2 I cos t
+ u -
i N
平均功率指瞬时功率在一周期内的平均值，又称为 有功功率，简称为功率。
1 P T
1 T 0 p (t )dt T 0 [UI cos UI cos( 2t )]dt 可求得 P U I cos U I
2 2
QC I U C I (1 C ) (2 2 ) 5 40(var)
2 2
显然有 P = QR1+ QR2+ QL+ QC = QL+ QC 无功功率守恒。单口网络从外电路吸收的总无功功 率等于该网络内部各元件吸收的无功功率之和。 由R、L、C 组成的单口网络，网络吸收的总无功功 率等于网络内各电抗元件吸收的无功功率之和。
15
功率因数
u 2 U cos(t )
i 2 I cost
+ u -
i N
由 S = UI 及 P U I cos U I
得
cos P S
称 为网络 N 的功率因数。
16
cos P S
若 > 0，则网络 N 吸收电能。
电容 C： = －/2 ，P U I cos 0 C
正弦激励时，电感、电容所吸收的平均功率均为零。
6
例：电路如图，已知 U＝100V，求 该单口网络吸 收的总功率P及PR1、 PR2 。
+ U
I
-j5Ω
R1 10Ω j30Ω
解：
R2 15Ω
Z (10 15) j(30 5) 25 2 45o ()
26
例：电路如图，已知负载1的 P1=10kW，1＝0.8(超 前)；负载2的 P2=15kW，2＝0.6(滞后)；U=2300V。 求两负载吸收的总复功率及输入电流有效值 I。
U
解：
I
负载1
负载2
S1 P 1 104 0.8 12500 VA) ( 1
1 arccos0.8 36.9
18
常见负载为感性负载，可用并电容法提高其功率因数。
+
U I IL IC C
-
感 性 负 载
I IL IC
U
19
9-5 单口网络的无功功率
定义网络 N 的无功功率 Q 为：
Q U I sin
Q 的单位：无功伏安，简称为：乏 (var)、千乏(kvar)
当
0
（感性电路）， （容性电路），
其中 =cos 。P的单位：瓦特 (W)
网络 N 的平均功率与其端电压和端电流的有效值成 正比，还与电压、电流相位差的余弦函数成正比。
14
视在功率和功率因数
单口网络的视在功率 S
u 2 U cos(t )
i 2 I cost
定义：S = UI
+ u -
i N
称 S 为网络 N 的视在功率或表观功率。视在功 率一般并不等于平均功率，它一般要比平均功 率大。电源设备的容量一般用视在功率表示。 S 的单位：伏安 (VA)、千伏安(KVA)
o
Q1 S1 sin 1 12500 sin(36.9o ) 7500(var)
27
U
I
负载1
负载2
S2 P 2 1510 0.6 25000 VA) ( 2
3
2 arccos0.6 53.1o
Q2 S2 sin21 25000 sin(53.1 ) 20000 (var)
若 < 0，则网络 N 产生电能，N 中必含有源元件。
若网络 N 中无独立源，则 为该网络的阻抗角。
若网络N中仅含 R、L、C ，则必有 > 0，即 2 。
不能反映 的正负，需另加说明。常以“滞后” 表示电流滞后于电压， 角为正；以“超前”表 示电流超前于电压， 角为负。
第9章 正弦稳态功率和能量 三相电路
本章讲述正弦稳态电路的功率和能量特性，以 及正弦电路的应用—三相电路。
基本概念 电阻的平均功率 电感、电容的平均储能 单口网络的平均功率 单口网络的无功功率
复功率
三相电路
复功率守恒
正弦稳态最大功率传递定理
1
9-1 基本概念
瞬时功率 p 定义为能量对时间的导数, 是由同一时刻
网络 N 的瞬时功率随时间而变化。若 0 且 ， 则 p(t) 的正负也随时间变化，说明网络 N 与外电路 之间有能量往返，这是由于电路中存在储能元件。
3
R、L、C 元件的瞬时功率
电阻 R： = 0， p R (t ) U I [1 cos2t ] 0
电阻是耗能元件，任一时刻吸收电功率不为负值。
25
~ 有 S UI
S U I cos jU I sin P jQ
复功率只是一个计算用的复数，定义复功率的目的 是为了能直接用电压电流相量来求解功率问题。
复功率守恒：网络 N 所吸收的总的复功率等于该网 络内各元件吸收的复功率之和。复功率守恒包括有
功功率守恒和无功功率守恒。
Q U I sin
Q 的单位：无功伏安，简称为：乏 (var)、千乏(kvar) 当
0
（感性电路）， （容性电路），
Q 0;
Q 0.
当 0
12
R、L、C 元件的无功功率
电阻 R： = 0，
QR U I sin 0
电感 L： = /2 ，
QL U I sin U I
23
•
感性负载并电容提高功率因数的另一种解释 由 P U I cos , Q U I sin
S
得
S U I
P2 Q2
Q
P
P cos S
+
U I
感 性 负 载
P P Q
2 2
并电容前，Q＝Q L ; 并电容后，Q＝Q L+ Q C
IL IC C
由于 Q C 为负值，故 Q< Q ；而并电容前后的平均 功率 P 未变，因此并电容 后功率因数 得到提高。
17
功率因数的提高
一般的用电设备是吸收电能的，即 cos > 0。 负载的功率因数太低会带来两个问题：
1. 电源设备得不到充分利用 由 P S 可知，电源容量 S 一定时，负载功 率因数越小，电源可提供的有功功率也就越小。
2. 供电线路上损耗大 由 P U I 可知，当 U 和 P 一定时，功率因数越 小，所需电流 I 也就越大，而线路损耗与 I2成正比。
的电压与电流的乘积来确定的。亦即
dw p t u (t ) i (t ) dt
如果 u (t )和 i (t ) 的参考方向一致，则 p (t )就是流入 元件或网络的能量的变化率， (t ) 称为该元件或网 p p 络所吸收的功率。因此， (t ) > 0 ，就表示能量确 实流入元件或网络； (t ) < 0 ，就表示能量实际上 p 流出元件或网络。
电容 C： = －/2 ，
QC U I sin U I
电阻不吸收无功功率，电感吸收正值的无功功率， 电容吸收负值的无功功率。
13
9-4 单口网络的平均功率
u 2 U cos(t )
i 2 I cost
1 P T
T
+ u -
i N
1 T 0 p (t )dt T 0 [UI cos UI cos( 2t )]dt 可求得 P U I cos U I
I U Z 100 (25
2) 2
2 ( A)
7
P UI cos 100 2 2 cos45o 200(W )
PR1 I 2 R1 (2 2 )2 10 80(W )
PR 2 I 2 R2 (2 2 )2 15 120(W )
解：
R2 15Ω
Z (10 15) j(30 5) 25 2 45o ()
I U Z 100 (25 2 ) 2 2 ( A)
22
Q UI sin 100 2 2 sin 45 200(var)
o
QL IUL I L (2 2 ) 30 240(var)
T
其中 =cos 。P的单位：瓦特 (W)
5
R、L、C 元件的平均功率
电阻 R： = 0，
PR U I cos U I I R U
2
2
R
这两个公式与电阻电路中计算电阻消耗功率的公式完 全相同。因此，如使用有效值，电阻元件所消耗的平 均功率可以按直流电阻电流电路中所用的公式来计算。 电感 L： = /2 ， PL U I cos 0
9
电容 C：
瞬时能量 平均能量 平均功率
u U m cos t
1 2 wC C
10
单口网络的无功功率
u 2 U cos(t ) 瞬时功率可改写为：
i 2 I cost
+ u -
i N
p(t ) U I [cos cos(2t )] U I cos (1 cos2t ) U I sin sin 2t
1 2 wL Li (t ) 2
2 随 i (t ) 波动，贮能时而增长，时而减少。wL
0
平均能量 瞬时功率
WLav
1 T
T
0
1 1 wL dt L[ 2 T
T
0
1 2 i dt ] LI LI 2
2
wL , p 0; wL , p 0 。
p周期性变动，正、负抵消，平均功率=0。