第2章力系的等效与简化习题解
理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
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2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
第二章 力系的等效与简化
M M O (F ) M O (F ' ) F aO F ' bO F (aO bO) Fd
力偶矩的大小只与组成力偶的力的大小、力偶臂的长短及力偶 在作用面内的转向有关，与矩心的位置无关。 平面力偶矩定义为M=±Fd,
正负号表示其转向规定： 逆时针转向为正； 反之为负。单位为： N· m。 同平面内力偶的等效定理：作用在同一平面内的两个力偶，如 果其力偶矩相等，则两个力偶彼此等效 注意： 两个力偶矩相等，不仅指力偶矩大小相等，还包括其转 向相同。
根据推论1可知： 力偶M对梁的作用效果与其在梁上的位置 无关。因此图3-9（b）中A、B两处的约束力同图（a）的结 果相等。 M FA FB l
例：
第二章 作业
• • • • 2-3; 2-5; 2-8; 2-11;
§2-5 平面力系的简化
平面一般力系向一点简化
• 平面一般力系向一点简化
F F F F Fi Fi
' R ' 1 ' 2 ' n '
Mo Mo (F1 ) Mo (F2 ) Mo (Fn ) Mo (F )
平面任意力系向O点简化的结果：
y
推广之，可得到如下结论： 任意个力偶组成的平面力偶系可以 合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 2
n
三、平面力偶系的平衡条件 平面力偶系平衡的充要条件：平面力偶系中各力偶矩的代数 和为零。
M
i 1
n
i
0
上式为平面力偶系的平衡方程。
§2-5 平面力系的简化
平面一般力系向一点简化
离d称为力偶臂，两力作用线所决定的平面称为力偶作用面。
理论力学第二章
第2章 力系的等效与简化2－1试求图示中力F 对O 点的矩。
解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ⋅==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ⋅=αsin )(F（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，α = 30°。
试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。
解：)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--⨯-=⨯=F D Ak j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=力F 对x 、y 、z 轴之矩为：m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(⋅-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2⋅-=-=αF y Mm N 5.7sin 30)(2⋅-=-=αF z M2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。
习题2-1图A r A习题2-2图（a ）习题2-3图(a)ABr 解：)sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+︒+︒-⨯=⨯=F a A O )45sin cos sin (k j ︒+-=θθaF 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M230sin )(aF aF M y -=︒-==F Fa aF M z 4645sin 30cos )(=︒︒=F2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。
工程力学(静力学与材料力学)习题及答案 - 力系的等效与简化
工程力学（静力学与材料力学）习题第2章力系的等效与简化2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。
已知F、d1和d2。
试求产生最大弯曲变形的角度 。
习题2－1图2－2 作用于铣刀上的力系可以简化为一个力和一个力偶。
已知力的大小为1200N，力偶矩的大小为240N·m，方向如图所示。
试求此力系对刀架固定端点O的力矩。
习题2－2图2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。
习题2－3图习题2－6图2－4 图示作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。
2－5 齿轮箱有三个轴，其中A 轴水平，B 和C 轴位于yz 铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。
试求合力偶。
2－6 槽钢受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－7 截面为工字形的立柱受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－8 平行力（F ,2F ）间距为d ，试求其合力。
2－9 已知图示一平面力系对A （3,0），B （0,4）和C （–4.5,2）三点的主矩分别为：M A = 20kN ·m ，M B = 0，M C =–10kN ·m 。
试求该力系合力的大小、方向和作用线。
习题2－4图习题2－5图习题2－7图 习题2－8图75习题2－11图2－10 空间力系如图所示，其中力偶矩M = 24N·m，作用在Oxy平面内。
试求此力系向点O简化的结果。
2－11 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。
试求此力系向点A简化的结果。
2－12 对于图示作用在平板上的平行力系，试求其合力。
习题2－9图习题2－10图习题2－12图z2－13 试确定作用在曲轴的各曲柄销中点的力系F k（k = 1,2,...,6）是否平衡。
假定各力F i（i = 1,2, (6)的大小均为F，其作用线均通过曲轴的轴线并与之相垂直，指向背离轴线。
清华出版社工程力学答案-第2章 力系的等效与简化
FAN Qin-Shan ,s Education & Teaching Studio
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工程力学习题详细解答
教师用书
(第 2 章)
2011-10-1
1
习题 2－1 习题 2－2 习题 2－3 习题 2－4 习题 2－5 习题 2－6 习题 2－7 习题 2－8 习题 2－9 习题 2－10
FN (a1)
M
O
FO
(a2)
解：AB 为二力杆 图（a1）：ΣFx = 0，
图（a2）：ΣMi = 0， 由（1）、（2），得 M = Fd
FAB cosθ = F FA′B ⋅ d cosθ = M
（1） （2）
2－10 图示三铰拱结构的两半拱上，作用有数值相等、方向相反的两力偶 M。试求： A、B 两处的约束力。
由（1）、（2），得 M1 = M2
FD
=
M1 d
FD′ ⋅ d = M 2
FD′
=
M2 d
（1） （2）
2－9 承受一个力 F 和一个力偶矩为 M 的力偶同时作用的机构，在图示位置时保持平 衡。试求：机构在平衡时力 F 和力偶矩 M 之间的关系式。
A
M O
l
θ
(a)
F'AB
θ
A
FAB
BB
B
Fθ
F
习题 2－9 图
=
FB′
=
M BD
=
269.4
N
∴ FC = 269.4 N
5
2－5 图示提升机构中，物体放在小台车 C 上，小台车上装有 A、B 轮，可沿垂直导轨 ED 上下运动。已知，物体重 F＝2 kN，图中长度单位为 mm。试求：导轨对 A、B 轮的约束 力。
胡汉才编著理论力学课后习题答案第2章力系的简化
力系的简化第二章，的力F，5）两点（长度单位为米），且由A指向B．通过A（3，0，0），B（0，42-1 。
，对z轴的矩的大小为在z轴上投影为22 /5。
答：F / ；6 F上和y，c，则力F在轴z2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b的矩x ；F对轴；Fy= 的投影：Fz=F 。
)= M ( x）··（）（··；－··；cos=FFz=F答：φsinφbFy=θFsincosφφcosφ+cMxFcos41－图2 图2－40F，则该力，若F=100N，4）两点（长度单位为米）），B（0，2-3．力4通过A（3，4、0 。
，对x轴的矩为在x轴上的投影为320N.m；答：－60NAE内有沿对角线，在平面ABED2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a °，则此力对各坐标轴之矩为：α=30的一个力F，图中。
）= ）；M（F= （（MF）= ；MF zYx6Fa/4 =（F）；M）=0，（F）=－Fa/2MF答：M（zxy2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。
答：M（F）=160 N·cm；M（F）=100 N·cmzx43－图2 2图－42O2-6．试求图示中力F对点的矩。
M(F)=Flsinα解：a: O M(F)=Flsinαb: Oα+ Flcos)sinc: M(F)=F(l+lα2O13??22?lM?Fl?Fsin d: 2o1。
轴的力矩M1000N2-7．图示力F=，求对于z z图题2－8 7题2－图。
试求=40N，M=30N·m=40N2-8．在图示平面力系中，已知：F=10N，F，F321其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。
解：将力系向O点简化=30N F=F－R12X40N －=R=－F3V R=50N ∴m ）··3+M=300N+FF主矩：Mo=（+F312d=Mo/R=6mO合力的作用线至点的矩离iiRR0.8－=），（cos，=0.6），（cos合力的方向：iR ）=－53，°08'（iR ，'）（=143°08，内作用一力偶，其矩M=50KNGA转向如图；又沿·m，2-9．在图示正方体的表面ABFE2RR =50。
13第二章 力系的等效与简化解析
M0
(F)
r
F
bi aj ck Fi
x
O
aA
B b rc
aFk cFj z 2、用点矩与轴矩的关系
M x (F) 0
C
M y (F) Fc M0 (F) aFk cFj
Fຫໍສະໝຸດ M z (F ) Fa二.力对轴的矩
2、力对轴的矩大小
设作用在刚体上的力F的作用点为A，将力 F分解为两个力，其中 Fz // oz ，另一分力 Fxy
在过A且垂直于oz轴的平面xy内，则：
M z (F) Mo (Fxy ) Fxyd
二.力对轴的矩
3、正负号确定
力对轴之矩只有顺时针 和逆时针两个方向，是个 标量。方向用右手法则判定。
右手定则：用右手四指指向Fxy的方向，掌心对着z轴， 绕z轴握紧，则拇指指向与z轴相同，为证；反之为负。
三.力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系
r
r
r
r
Mx (F) Mx (Fx ) Mx (Fy ) Mx (Fz ) Fz y Fy z
r
r
r
r
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x
力对点 O的矩在三个坐标轴上的投影为
rr MO (F )x yFz zFy
rr MO (F ) y zFx xFz
rr MO (F )z xFy yFx
力对点之矩（点矩）：
r r rr MO(F) r F
第2章—力系的简化—工程力学(静力学和材料力学)课后习题答案
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答(第2章)习题2－2图第2章 力系的简化2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。
二力作用线之间的距离为d 。
试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。
解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有∑=0)(F C M ，02)(=⋅++−x F x d F ，dx =∴，F F F F =−=∴2R ，方向如图示。
合力矢量属于滑动矢量。
2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。
若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。
解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点；由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（习题2－2解图）在图中设OF = d ，则θcot 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )25.4(sin d CE CD −== （2）即θθsin )25.4(2sin )3(dd −=+ d d −=+93 3=d习题2－1图习题2－1解图R∴ F 点的坐标为（-3, 0）合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 34tan =θ 8.4546sin 6=×==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 310,25(R=F 作用线方程：434+=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。
2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。
工程力学__第2章力系的等效与简化习题解
工程力学（1）习题全解
第2章 力系的等效与简化
2 －1 作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。 解： MM (F ) 150 0.25 2i 150 0.15 j ( 75,22.5,0)N m
FR' (Fx ) 2 (Fy ) 2 466.5 N ， M O 21.44 N m
合力
FR FR 466.5 N ， d
2-8 图示平面任意力系中
'
MO FR
45.96 mm
F1 40 2 N ， F2 80 N ， F3 40 N ， F4 110 N ，
2-7 已知 F1 150 N ， F2 200 N ，
y
1 3
O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点 O 的距离 d 。
F
8 0
F y x Mo F R 2.7
1o
y d o
F2
1 100
F3
12
o
200
x FR
x
F1 1
解：F x F1
cos 45F 2
合力 FR FR ( 300i 200 设合力过点（ x , y,0 ），则
'
j 300k ) N
i x
j y
k 0 300 M O 200i300 j
300 - 200
得
2 ， z 0 3 2 ,0 ）。 即合力作用线过点（1, 3
x 1， y
2-12 图示三力 F1 、 F2 和 求力系简化的最后结果。 解：先向 O 点简化，得
静力学习题-第二章(09)
解：
y 1 2 1 F FRx = ∑Fx = − F − F2 − F3 1 1 2 5 10 3 = −106.07 −178.89 −94.87 = −379.83N d F2 1 O F3 1 1 3 MO FRy = ∑Fy = − F + F2 − F3 1 1 1 FR α 2 5 10 100 200 F1 = −106.07 +89.44 − 284.60 = −301.23N
第二章
力 系 的 等 效 与 简 化 习 题
2-2 2-5 2-8
静力学/力系的等效与简化习题 静力学 力系的等效与简化习题
1
2-2 题
图中正方体的边长a=0.5m，其上作用的力 F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力矩。
z a F r
解1：1）用矢量叉乘法计算MO：
2 ×100 2 ×100 F=− i+ j 2 2 = −70.7i + 70.7 j r = ai + ak = 0.5(i + k) MO = r ×F = 0.5(i + k)×(− 70.7i + 70.7 j)
− 70.7 70.7
2-2 题(续)
2) 由于“力对点之矩的矢量在某一轴 上的投影，等于这一力对该轴之 矩”，而在1) 中已求出
z Mz(F) My(F) x z a Fx O a F Mx(F) y
MO = (−35.35i −35.35 j + 35.35k)Nm
故：Mx(F)=−35.35Nm
F’ x 2
F = (− 379.83) + (− 301.23) = 484.78N
' R 2 2
FR'
理论力学-第2章 力系的等效与简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系简化的结果
力系的主矢不随简化中心的改变而改变， 所以称为力系的不变量。主矩则随简化中心 的改变而改变。
力系的简化
空间一般力系的简化
例题2
由F1、F2组成的空间力系，已 知：F1 = F2 = F。试求力系的主矢FR
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
-F
F
F
F
力系的简化
力向一点平移定理
力向一点平移
z
-F F
F
M
F
Mx My
F
力系的简化 空间一般力系的简化
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
M1
F1
F2
Mn
Fn
Fn
M2
F2 F1
力系的简化
空间一般力系的简化
一般力系的简化
MnMO M1
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
x
y
力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩
力矩矢量的方向
M
F
O
r
按右手定则 M= r F
力对点之矩与力对轴之 矩
力对轴之矩
力对点之矩与力对轴之
矩
力对轴之矩
力对轴之矩实例
F Fz Fy
Fx F
力对点之矩与力对轴之
矩
力偶与力偶系
力偶的性质
力偶的性质
性质一 :力偶无合力，即主矢FR=0。 力偶对刚体的作用效应，只取决于力偶矩矢量。
力偶与力偶系
力偶的性质
性质二：只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。
理论力学 第二章 力系的等效简化(20P) (2)
矩形均布载荷： 矩形均布载荷：
Fq = ql
三角形分布载荷： 三角形分布载荷：
1 Fq = ql 2
AB的分布载荷对 例7：如图所示，求作用于悬臂梁AB的分布载荷对A点 ：如图所示，求作用于悬臂梁AB的分布载荷对A 的矩。 的矩。 解：
L 2L M A = − Fq1 − Fq 2 2 3 1 2 = − (q1 + 2q2 )L 6
V
A
A 积分法 A A 均质细杆： 长度L×截面积A) 均质细杆：P=γLS, (比重γ ×长度 ×截面积 比重
∫ =
A
xd A
∫ =
A
yd A
∫ =
A
zd A
xc=∑Li xi/L ∑
yc=∑Li yi/L ∑
zc=∑Li zi/L ∑
∫ =
L
xd L L
积分法
∫ =
L
ydL L
∫ =
L
L
zdL L
OO′ = d = FR × M O
2 FR
2、平面任意力系的简化
F1 A1 A2 An
主矢： 主矢： 主矢， 主矢，主矩
F2 Fn
F1 M1
=
简化中心
M2 F2 Mn O
Fn
=
附加力偶
FR MO
F R = Σ Fi
FRx = ∑ Fix FRy = ∑ Fiy
FRX FRY cos α = , sin α = FR FR
合力： 合力：
Fq = ∫ q ( x )d x
b
作用点： 作用点：
xc
∫a q( x )dx ⋅ x =
Fq
a b
∫a xq( x )dx = b ∫a q( x )dx
《理论力学》第二章 力系的简化习题解
1F 2F 3F 0135090O第二章 力系的简化习题解[习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC 的方向上受到三个力的作用,已知kN F 11=,kN F 41.12=,kN F 23=,试求这三个力的合力.解:01=x F kN F y 11-=)(145cos 41.102kN F x -=-= )(145sin 41.102kN F y ==kN F x 23= 03=y F)(121030kN F F i xi Rx =+-==∑=00113=++-==∑=i yi Ry F F122=+=Ry Rx R R F F 作用点在O 点,方向水平向右.[习题2-2] 计算图中已知1F ,2F ,3F 三个力分别在z y x ,,轴上的投影并求合力. 已知kN F 21=,kN F 12=,kN F 33=.解:kN F x 21= 01=y F 01=z F)(424.0537071.01cos 45sin 022kN F F x =⨯⨯==θ)(567.0547071.01sin 45sin 022kN F F y =⨯⨯==θ)(707.0707.0145sin 022kN F F z =⨯== 03=x F 03=y F kN F z 33= )(424.20424.0230kN F F i xi Rx =++==∑=)(567.00567.0030kN F F i yi Ry =++==∑=)(707.33707.003kN F F i zi Rz =++==∑=合力的大小:)(465.4707.3567.0424.2222222kN F F F F Rz Ry Rx R =++=++=方向余弦:4429.0465.4424.2cos ===R Rx F F α 1270.0465.4567.0cos ===R Ry F F βy8302.0465.4707.3cos ===R Rz F F γ 作用点:在三力的汇交点A.[习题2-3] 已知N F 621=,N F 322=,N F 13=N F 244=,N F 75=,求五个力合成的结果(提示:不必开根号,可使计算简化).解:01=x F 01=y F N F z 621-= 02=x F N F y 322= 02=z F N F x 13-= 03=y F 03=z F)(221222460cos 45cos 0044N F F x =⨯⨯==)(3223222460sin 45cos 0044N F F y -=⨯⨯-=-=)(4222445sin 044N F F z =⨯==)(353)62(3457cos sin 22255N F F x =⨯++⨯==θγ)(454)62(3457sin sin 22255N F F y =⨯++⨯==θγ )(62)62(34627cos 22255N F F z =++⨯==γ)(43210050N F F i xi Rx =++-+==∑=)(4432032050N F F i yi Ry =++-++==∑=)(462400625N F F i zi Rz =++++-==∑=合力的大小:)(93.634444222222N F F F F Rz Ry Rx R ==++=++=方向余弦:33344cos ===R Rx F F α33344cos ===RRy F F β 33344cos ===R Rz F F γ "'08445433arccos====γβα 作用点:在三力的汇交点A.[习题2-4] 沿正六面体的三棱边作用着三个力,在平面OABC 内作用一个力偶. 已知N F 201=,N F 302=,N F 503=,m N M ⋅=1.求力偶与三个力合成的结果.解:把1F ,2F ,3F 向1O 平移,得到:主矢量: 0302050213---=--=F F F F R)(42.0202.0)(11m N F F M x ⋅-=⨯-=⨯-= 0)(1=F M y0)(1=F M z)(62.0302.0)(22m N F F M x ⋅-=⨯-=⨯-= )(5.415.03015.0)(22m N F F M y ⋅=⨯=⨯=0)(2=F M z 0)(3=F M x)(5.715.05015.0)(33m N F F M y ⋅-=⨯-=⨯-= 0)(3=F M zM 的方向由E 指向D.)(25.825.65.2)()(3111m N F M F M M O O OC ⋅=+=+=∑)(8.01502002001sin 22m N M M x ⋅=+⨯==θ)(6.01502001501cos 22m N M M y ⋅-=+⨯-=-=θA 3F mm图题42-D图题52-xya0=z M)(2.98.0064)(31m N M F M Mx i i x x⋅-=++--=+=∑∑=)(6.36.05.75.40)(31m N M F M M y i i y y⋅-=--+=+=∑∑=00000)(31=+++=+=∑∑=z i i z zM F M M主矩:)(88.90)6.3()2.9()()()(222222m N M M M M z y x O ⋅=+-+-=++=∑∑∑方向余弦:9312.088.92.9cos 0-=-==∑M M xα 3644.088.96.3cos 0-=-==∑M M yβ 088.90cos 0===∑M Mzγ [习题2-5] 一矩形体上作用着三个力偶),('11F F ,),('22F F ,),('33F F .已知N F F 10'11==,N F F 16'22==,N F F 20'33==,m a 1.0=,求三个力偶合成的结果.解:先把1F 在正X 面上平行移动到x 轴. 则应附加力偶矩:)(11.010)(11m N a F F M x ⋅=⨯==)(1)(11m N F M M x x ⋅==)(22.010211m N a F M y ⋅-=⨯-=⋅-=01=z M把2F 沿z y ,轴上分解:)(314.117071.01645cos 022N F F y =⨯==)(314.117071.01645sin 022N F F z =⨯== 02=x M)(263.22.0314.11222m N a F M z y ⋅-=⨯-=⋅-= )(263.22.0314.11222m N a F M y z ⋅=⨯=⋅=03=x M 03=y M)(21.02033m N a F M z ⋅-=⨯-=⋅-=100131=++==∑∑=i xi xM M)(263.40263.2231m N M M i yi y⋅-=+--==∑∑=)(263.02263.2031m N M Mi zi z⋅=-+==∑∑=主矩:)(387.4263.0)263.4(1)()()(222222m N M M M M z y x O ⋅=+-+=++=∑∑∑方向余弦:2280.0387.41cos 0===∑M Mxα 9717.0387.4263.4cos 0=-==∑M M y β 0599.0387.4263.0cos 0===∑M M zγ [习题2-6] 试求图诸力合成的结果. 解: 主矢量:0725=-+=R F)(086.175.02.0)76.0()()()(222222m N M M M M z y x O ⋅=++-=++=∑∑∑方向余弦:6996.0086.176.0cos 0-=-==∑M M xα1842.0086.12.0cos 0===∑M M yβ 6906.0086.175.0cos 0===∑M M zγ[习题2-7] 柱子上作有着1F ,2F ,3F 三个铅直力, 已知kN F 801=,kN F 602=, kN F 503=,三力位置如图所示.图中长度单位为mm ,求将该力系向O 点简化的结果.解:)(190506080kN F -=----= 主矢量: )(891.307.15.3)()()(222222m N M M M M z y x O ⋅=++=++=∑∑∑方向余弦:8995.0891.35.3cos 0===∑M Mxα 4369.0891.37.1cos 0===∑M Myβ 0891.30cos 0===∑M Mzγ [习题2-8] 求图示平行力系合成的结果(小方格边长为mm 100)yx)0,450(A )200,400(B )500,600(C )0,0(o 图习题82-kN7kN7kN3kN9kN12)600,300(D 题2—9图 解: 0937712=---+=F主矢量:A 0)3(=kN M x35.145.03)3(=⨯=kN M y B 8.12.09)9(-=⨯-=kN M x6.34.09)9(=⨯=kN M yC 65.012)12(=⨯=kN M x 2.76.012)12(-=⨯-=kN M yD2.46.07)7(=⨯=kN M x1.23.07)7(-=⨯-=kN M y∑8.4-4.35主矩:)(46.9)35.4(4.8)()(2222m kN M M M y x O ⋅=-+=+=∑∑方向余弦:8879.046.94.8cos 0===∑M M xα 4598.046.935.4cos 0=-==∑M M yβ [习题2-9] 平板OABD 上作用空间平行力系如图所示,问y x ,应等于多少才能使该力系合力作用线通过板中心C. 解: 主矢量:)(3046587kN F R -=-----= 由合力矩定理可列出如下方程: 43088854⨯-=⨯-⨯--y12064404=++y )(4m y =33066654⨯=⨯+⨯+x )(6m x =[习题2-10] 一力系由四个力组成。
工程力学 第2章 力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。
这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。
同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。
在就是前一章中提到的力系等效的概念。
本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。
力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。
§2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用 §2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。
物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。
这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。
因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。
２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。
理论力学 第2章力系的简化习题解答
第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。
因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。
第章力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化2.1 力系等效与简化的概念2.1.1 力系的主矢与主矩主矢的概念： 由若干多个力所组成的力系12(,,,)n F F F ⋅⋅⋅中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称为主矢，用R F 表示，即1nR ii F F ==∑注意：主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
对一个确定的力系主矢是唯一的。
主矩的概念： 力系中所有力对同一点之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩，用O M 表示，即1()nO O i i M M F ==∑注意：主矩是对某一确定点的。
同一力系对不同的点其主矩一般不同。
12O O M M ≠2.1.2 等效的概念设有两力系12(,,,)n F F F ⋅⋅⋅和12(,,,)n F F F '''⋅⋅⋅。
1nR ii F F ==∑，1nR i i F F =''=∑1()nO O i i M M F ==∑，1()nOO i i M M F ='''=∑。
等效力系：如果两力系的主矢和对同一点的主矩分别对应相等，二者对同一刚体就会产生相同的运动效应，则称则两个力系为等效力系。
2.1.3 简化的概念力系的简化：将由若干个力和力偶所组成的力系，变为一个力或一个力偶或者一个力和一个力偶等简单而等效的情形。
这一过程就称为力系的简化。
2.2 力偶及其性质2.2.1 力偶-----最简单、最基本的力系 1、力偶的概念 工程实例：方向盘搅拌器丝锥力偶：两个大小相等，作用线不重合的反向平行力组成的力系。
记为),(F F '。
F F '-=F F '=力偶臂：力偶中两力之间的垂直距离h ，称为力偶臂。
力偶的作用面：力偶所在的平面。
2、 力偶矩力偶使物体产生绕某点转动的效应。
F F '-=()()()O O A BA B AB M M F M F F r F r r r F r F''=+=⨯+⨯=-⨯=⨯若任意另取一点仍有AB M r F =⨯。
《理论力学》第二章-力系的简化试题及答案
第2章 力系的等效简化2-1 一钢结构节点，在沿OC 、OB 、OA 的方向受到三个力的作用，已知F 1＝1kN ，F 2＝2kN ，F 3＝2kN 。
试求此力系的合力。
解答 此平面汇交力学简化为一合力，合力大小可由几何法，即力的多边形进行计算。
作力的多边形如图（a ），由图可得合力大小kN F R 1=，水平向右。
2-2 计算图中1F 、2F 、3F 三个力的合力。
已知1F ＝2kN ，2F ＝1kN ，3F ＝3kN 。
解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。
kN F F F F ix Rx 424.26.0126.0222221=´´+=´´+=S =kN F F F iy Ry 566.08.018.022222=´´=´´=S =kN F F F F iz Rz 707.313222223=´+=´+=S =kN F F F F Rz Ry Rx R 465.4222=++=合力方向的三个方向余弦值为830.0cos ,1267.0cos ,5428.0cos ======RRz R Ry R Rx F FF F F F g b a2-3已知 N F N F N F N F 24,1,32,624321====，F 5＝7N 。
求五个力合成的结果(提示：不必开根号，可使计算简化)。
解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。
N F F F F F ix Rx 0.460cos 45cos 537550043=´´++-=S =N F F F F F iy Ry 0.460sin 45cos 547550042=´´+-=S =N F F F F F iz Rz 0.445sin 7625041=´++-=S =N F F F F Rz Ry Rx R 93.634222==++=合力方向角：4454),(),(),(¢°=Ð=Ð=Ðz F y F x F R R R 。
理论力学力系的简化习题解
第二章力系的简化习题解［习题2-1］ 一钢结构节点,在?OA,OB,OC 勺方向上受到三个力的作用,F 1 1kN ,F 21.41kN , F 3 2kN ,试求这三个力的合力 解： F 1x 0 F 1y 1kNF 2x 1.41cos4501(kN) F 2y 1.41sin45°1(kN) F 3x 2kN F 3 y 0 3F RX F xi 0 1 2 1(kN)i 0 3F Ry F yi 110 0i 0一一 22F R V F Rx R Ry 1作用点在O 点,方向水平向右.［习题2-2］计算图中F I , F 2 , F 3三个力分别在x,y,z 轴上的投影并求合力方向余弦：F 12kN , F 2 1kN , F 3 3kN . 解： □ 2kN F 1y 0 F IZ 0 F 2x F 2 yF 2z F 2 sin 450 cos 0 .F 2 sin 45 sin F 2 sin 450 1 3 1 0.7071 — 5 4 1 0.7071 - 5 0.424(kN) 0.567(kN)0.707 0.707(kN) F 3x 0 F 3 y 3F RX F xii 0 3 F Ry F yi i 0 3F RZ F zii 0 合力的大小： IFF 2F R F Rx 0 F 3z 3kN 2 0.424 0 2.424(kN) 0 0.567 0 0.567(kN) 0 0.707 3 3.707(kN)F Ry 2 F Rz 2,2.4242 0.56723.70724.465(kN)cos cos F RX 2.424 F R 4.465F Ry 0.567F R 4.4650.44290.1270F RZ 3.707 cosF R4.465作用点：在三力的汇交点0.830 2 A.［习题2-3］F1 2 ..6N , F22 ... 3N , F3 1N F4 4 2N 7N,求五个力合成的结果〔提示：不必开根号,可使计算简化).解:F IX0 F1yF2 F3F4XF4Z F5X F5y F5Z F RXF RZ 0 F2y0 F IZ2 3N2.6NF2Z 0 1NF3y0 F3ZF4 cos450 cos60°00F4 cos45 sin 60F4 sin 45F5sinF5sinF5 cos5F xii 05F yii 05F zii 0合力的大小：F R .F RX2方向余弦：F RXcosF R4.2 — 24.22(N)2、3( N)4.2.224(N)cossin422.3F Ry2F RZ2,4232 (2 6)254232(2 6)22.632 (2 6)23 4(N)2.344 2.62 6(N)4(N)4(N)3(N)4(N)42 42 424 3 6.93( N)4433 o 'arccos ——54 44 8 3三棱边作用着三个力,在平面OABC内作用一个力偶.50N , M 1N m.求力偶与三个力合成的结果...」『,题2 4图把F I, F2, F3向O I平移,得到:主矢量：F R F3 F1 F250 20 30 0M x(F1)F1 0.220 0.24( N m)M y(FJ0M Z(F I)0M x(F2) F2 0.230 0.26(N m)M y(F2) F2 0.15 30 0.15 4.5(N m)M Z(F2)0M X(F3)0M y(F3)F3 0.1550 0.157.5(N m)Mzg 0M的方向由E指向D.M OC M O^F I) M O1(F3) 2.5 6.25 8.25(N m)200M x M sin 10.8(N m)-2002 1502150M y M cos 1 0.6(N m)2002 1502F Ry 4 3F R 4.3 3F Rz 4 3F7 4,3 ~3~coscos作用点：在三力的汇交点A.［习题2-4］沿正六面体的F1 20N , F2 30N , F3D CM z 0M x M x(F i) 6 0 0.89.2( N m)M z 主矩: M OM y(F i)M z(F i)2 .(M x)(方向余弦：cos cos cosM x雨M yM7M zM T2-5]9.29.883.69.889.884.5 7.5 0.63.6( N m)22y)( M z)0.93120.3644矩形体上作用着、,(9.2)2( 3.6)2029.88( N m)个力偶(F I,F I), (F2,F2) , (F3,F3).F I 解：先把F I10N , F2 F216N , F3 F3 20N , a 0.1m,求三个力偶合成的结果F1在正X面上平行移动到x轴.那么应附加力偶矩：M X(F I) Ea 10 0.1 1(N m)M XI M y1 M ZI M X(F I)F1 2a1(N10m)0.22(N m)把F2沿y,z轴上分解：2y F2z M x2 F2cos450F2 sin 45016160.7071 11.314(N)0.7071 11.314(N)M y2 M z2 M x3 M y3 M z3F2z 2aF2y 2a 0F3 a11.314 0.22.263( N11.314 0.2 2.263( N m)20 0.12( N m)m)M x M X i 10 0 1i 1 3M y M yi 2 2.263 04.263(N m)i 1 3M z M Z i 0 2.263 2 0.263(N m)i 1主矩：M O ( M x )2 ( M y )2( M z )2方向余弦：竖向力产生的矩M x (5N) 0 M y (5N) 5 0.10.5 M z (5N) 0M x (7N)7 0.10.7M y (7N)7 0.1 0.7M z (7N) 0 M x (2N) 2 0.1 0.2M y (2N)M z (2N) 0百顶M XI 0 M y1 0M XI 0.2 底 面M x2 0My20M x2 0.4斜面…•一 0M x3 3sin 600.1 0.26M y3 0一4一 0M x33 cos 600.1 0.15M O ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2.. ( 0.76)2 0.220.752 1.086(N m)方向余弦：222.1( 4.263)0.2634.387(N m)cosM x M 0 0.22804.387 cos M y M 0 4.263 4.387 0.9717cos M z M 00.2634.3870.0599［习题2-6］试求图诸力合成的结果解：主矢量：F R 5 2 7 0cosM x 0.76 M 01.0860.6996coscos M y讥M z MT0.2 1.086 0.75 1.086［习题2-7］柱子上作有着 0.18420.6906F I , F 2, F 3三个铅直力, F I 80kN , F 2 60kN ,50kN ,三力位置如下图.图中长度单位为 mm ,求将该力系向O 点简化的结果.zF IF3£(170,15Q0)习题2 7图yF 2/C( 170,150,0竖向力产生的矩M x (F 1) 80 0.25 20 M y (Fj 0M Z (F I ) 0 M x (F 2)60 0.159M y (F 2) 60 0.17 10.2 M Z (F 2)0 M x (F 3)50 0.157.5 M y (F 3)50 0.178.5M z (F 3)0矢量主矩: 解: 主 M O ...〔 方向余弦： M y )2 ( M z )2. 3.52 1.72 02 3.891(N m)F 8060 50190(kN)2 M x )( M O 3.891M y 1.7 M O3.891 M z0 M O3.8913.5 cos0.4369coscosM x 0.8995［习题2-8］求图示平行力系合成的结果〔小方格边长为100mm 〕［习题2-9］平板OABDt 作用空间平行力系如下图,问x,y 应等于多少才能使该力系合力作用 线通过板中央C.解： 主矢量：F R 7 8 5 6 430(kN)由合力矩定理可列出如下方程 ：4y 5 8 8 830 4 4y 40 64 120 y 4(m)4x 5 6 6 6 30 3x 6(m)［习题2-10］ 一力系由四个力组成. 该力系向A 点简化(图中长度单位为 mm)解: 主 主矩: M O ( 方向余弦： cos cos 7kNyA M x (3kN) 0 M y (3kN) 3 0.45 1.35B M x (9kN)9 0.21.8M y (9kN)9 0.4 3.6C M x (12kN) 12 0.5 6 M y (12kN )12 0.67.2DM x (7kN) 7 0.6 4.2M y (7kN)7 0.32.1矢9 0M x )2( M y )2. 8.42 ( 4.35)29.46(kN m)8.49.46 0.88794.35 9.460.4598F I =60N, F 2 = 400气,9 档=500N, F 4 = 200N,试将方向余弦：cos F x 300 0.4696 F R638.877 cos F y546.41 0.8553 F R638.877 cosF z140 0.2191F R638.877M X (F I )60 0.212M y (\)0M Z(F I) 0_0_M X (F 2) 400sin300.2400 cos 300 0.498.564 M y (F 2)0M Z (F 2)0M X (F 3)0 400My(F 3) 500 0.3 —— 120500 M Z (F 3)0M X (F 4) 0M (F 4)0M Z (F 4)0120主矩大小：M O v ( 110.564)2 1202 02162.831(N m) 主矢量计算表F ixF iyF izF 1 0 060F 2 0400 cos300346.41400 sin 300200 F 3 500 300 3005000 500丝0400500F 40 2000 300-140F R 如02 546.412 ( 140)2638.877(N)解: cosM x 110.564 M 0162.8310.6790[习题2-11] 一力系由三力组成,各力大小、作 用线位置和方向见图.将该力系向A 简化所得的主矩最小,试求主矢I 之值及简化中央A 的 坐标〔图中力的单位为N,长度单位为mm 〕 解：M O 30 0.2 i 40 0.2 j 30 0.2k6 i 8 j 6kF R 40 i 30 j 30 k M A M O r F R M O 6 i 8j 6kijkr F R x y 030y i 30x j (30x 40y)k403030M A ( 6 30y) i (8 30x) j ( 6 30x 40y)k _22_2 M A , (30y 6)2 (8 30x)2 (30x 40y 6)21800x 22400xy 2500y 2 840x 840y 72[习题2-12] x 轴与y 轴斜交成 角,如下图.设一力系在xy 平面内,对y 轴和x 轴上的A,B 两点有 M iA 0, 乂旧 0,且 F iy 0, F i X 0.OA a,求B 点在x 轴上的 位置.coscosM y 120 M 0162.831 M z 0 八 0M 0162.8310.7370B(b,0) F ix解：设OB bM A M B r F ix|M A | |M B | | r F ix | 00 | r F ix |I r F ix | r F ix Sin(r, F ix ). (b a cos )2 (0 a sin )2 F ix sin 02-13 一平面力系〔在oxy 平面内〕中的各力在x 轴上投影之代数和等于零,对、B 两点的主 矩分别为=12N , m, = 15N • m,、A A MMAB?点的坐标分别为〔2,3〕、〔 4, 8〕,试求该 力系的合力〔坐标值的单位为m 〕.［习题2—14］某厂房排架的柱子,承受吊车传来的力 试将该两力向底面中央 C 简化.图中长度单位是mm . 解：主矢量：F R F p F Q 250 30 280(kN)( J),作用在 O 点. 主矩：M O F P 0.15 F Q 0.15 (250 30) 0.15 33(kN m)(左侧受拉)FP=250 kN,屋顶传来的力 F Q = 30kN, 题2 —13附图［习题2 —15］挡土墙自重W 400 k N, 土压力F= 320 kN,水压力F P= 176 k N,求这些力向底面中央O简化的结果；如能简化为一合力,试求出合力作用线的位置.图中长度单位为R1(3)把主矢量与主矩合成一个力296.3210.486(m)609.62569.134F I = 1940k N, F2= 800 kN及制动力F T=193kNo桥墩自重W 5280 k N,风力Fp=140kN.各力作用线位置如下图.求将这些力向基底截面中央O简化的结果；如能简化为一合力,试求出合力作用线的位置.解：(1)求主矢量F RX F P F T140 193333( kN)F Ry WF1F25280 1940 8008020(kN)F R F RX2F Ry2..( 333)2 ( 8020)2 8026.91(kN)解：(1)求主矢量F Rx F P F cos400 176 320cos40069,134(kN)F Ry W Fsin40°400 320sin40°605.692(kN)F R F Rx2 F Ry2, ( 69.134)2 ( 605.692)2609.625(kN)F R与水平面之间的夹角F arctanF(2)求主矩RyRx605.6920' "arctan83 291869.134M O 400 0.8 176 2 320 cos 4003sin 600 320sin 400(3 3cos600) 296.321(kN m)d也F Rdx ——tan0.486605.6920.0555(m)［习题2 - 16］某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力F R与水平面之间的夹角F Ry 80200 '"arctan arctan 87 37 21F RX 333 (2)求主矩M O 140 10.7 193 21.25 800 0.4 1940 0.4 6055.25(kN m)(3)把主矢量与主矩合成一个力［习题2—17］图示一平面力系, F I = 200N, F2= 100N, 通过Ofe,问水平力之值应为假设干 解：3F Rx F F 1cosF 200 - F 12054F Ry F 2 F 1sin100 200 —260( kN) y 5主矢量：F R ,(F 120)2 ( 260)2M O (F I ) 120 2 160 2 560(kN m) M O (F 2)100 2200(kN m) M O (F)1.5F主矩：M 0 560 200 1.5F 300 60 1.5F要使合力通过O 点,必使:M OFR6055.258026.910.754(m)d x —— tan0.754 8020 0.0313(m)333M= 300N • m o 欲使力系的合力M0 60 1.5F0,即F 40kN［习题2—18 ］在刚架的、A刖点分另1J作用F1、F2两力,F1= F2 = 10kN.欲以过C点的一个力F代替F1、F2,求F的大小、方向及B、.'司的距离.解：F Rx F2F1cos60°10 10 0.5 5(kN)F Ry F1sin60010 0.8668.66(kN)主矢量：F R52( 8.66)210(kN)F Ry8.66.0万向arctan arctan60 (\)F RX5M C(F1)8.66x (设BC x)M C(F2) 10 2 20(kN m)主矩：M C8.66x 20要使F通过C岚,且与F1,F2两力等效,必使：M C8.66x 20 0,即x 2.309(m)当x 2.309(m)时, F F R 10(kN),方向与x轴正向成600 (( \).［习题2 —19］求以下面积的形心.(a)、(b)两图长度单位为mm;(c)、(d)、(c)、(f )各图长度单位为m.200(a)图 20y200 2015XOV C 2__20C 3习题 2-19(a)矩形Lh Lv Ai Xci Yci AiXci AiYci XcYcI 20 200 4000 -110 0 -4400000 II 200 20 4000 0 0 0 0III201503000110330000 0sum11000-110000-10。
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第2章 力系的等效与简化2－1试求图示中力F 对O 点的矩。
解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ⋅==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ⋅=αsin )(F（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB=100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，α = 30°。
试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。
解：)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--⨯-=⨯=F D Ak j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=力F 对x 、y 、z 轴之矩为：m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(⋅-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2⋅-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2⋅-=-=αF z M2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。
习题2-1图A r A习题2-2图（a ）习题2-3图ABr(a)解：)sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+︒+︒-⨯=⨯=F a A O )45sin cos sin (k j ︒+-=θθaF 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M230sin )(aF aF M y -=︒-==FFa aF M z 4645sin 30cos )(=︒︒=F2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。
解：F r F M ⨯=AB A )(5354F F d d d-k j i= =)743(51k j i -+-Fd)34(5)(j i j F M +⨯=Fd O力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M ；0)(=F y M ；Fd M z 54)(-=F2—6面。
求这四个力偶的合力偶。
解：4321M M M M M+++=k j i )53()54(43241M M M M M +--+-= m N 8.1284.14⋅---=k j i2－7 已知一平面力系对A （3,0），B A B = 0，M C =–10kN ·m 。
试求该力系合力的大小、方向和作用线。
解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（图a ）在图（a ）中，设 OF = d ，则 θc o t 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1）θθs i n )25.4(s i n dCE CD -== （2）即 θθs i n )25.4(2s i n)3(dd -=+ d d -=+93， 3=dF 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点；习题2－4图习题2－5图习题2－6图 （a ） 43 M 1M 2 M 3M 4习题2－7图34tan =θ 8.4546sin 6=⨯==θAG8.4R R ⨯=⨯=F AG F M Ak N 6258.420R ==F 即 )k N 310,25(R =F作用线方程：434+=x y讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。
2－8 已知F 1 = 150N ，F 2 = 200N ，F 3 = 300N ，F =F '= 200N 。
求力系向点O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距d 。
200100131121FFF'解：N .64375210145cos 321-=--︒-=∑F F F F xN .61615110345sin 321-=+-︒-=∑F F F F ym N 44.2108.02.0511.045sin )(31⋅=-⨯+⨯︒=∑F F F M O F向O 点简化的结果如图（b ）；合力如图（c ），图中N 5.466)()(22'R =∑+∑=y x F F F ，m N 44.21⋅=O M合力N 5.466'R R ==F F ，mm 96.45R==F M d O2－9 图示平面任意力系中F 1 = 402N ，F 2 = 80N ，F 3 = 40N ，F 4 = 110M ，M = 2000 N ·mm 。
各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm 。
求（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。
FFFF (0,30)(20,20)(20,-30)(-50,0)45解：N 15045cos 421R -=--︒=∑=F F F F F x x045sin 31R =-︒=∑=F F F F y yR(a)习题2－8图习题2－9图N 150)()(22'R =∑+∑=y x F F Fmm N 900305030)(432⋅-=--+=∑=M F F F M M O O F向O 点简化结果如图（b ）；合力如图（c ），其大小与方向为N 150'R R i F F -==设合力作用线上一点坐标为（y x ,），则x y O O yF xF M M R R R )(-==F将O M 、'R y F 和'R x F 值代入此式，即得合力作用线方程为：mm 6-=y2－10 图示等边三角形板ABC ，边长a ，今沿其边缘作用大小均为F P 的力，方向如图（a ）所示，求三力的合成结果。
若三力的方向改变成如图（b ）所示，其合成结果如何？解（a ）0'R =∑=i F Fa F a F M A P P 2323=⋅=（逆） 合成结果为一合力偶a F M P 23=（逆）（b ）向A 点简化i F P 'R 2F -=（←）a F M A P 23=（逆） 再向'A 点简化，a F M d A 43'R==合力i F P R 2F A -=（←）2－11 图示力系F 1 = 25kN ，F 2 = 35kN ，F 3 = 20kN ，力偶矩m = 50kN ·m 。
各力作用点坐标如图。
试计算（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力。
解（1）向O 点简化 kN 10'R k F F =∑=i)(F M M O O ∑=mkN )10580(200 002 3- 35- 0 00 2 2 25 0 00 2-3 50⋅+-=+++=j i kj i k j i k j i j（2）合力kN 10R k F =设合力作用线过点)0,,(y x ，则F F FF F F 习题2－10图 F F FF F A 习题2－11图j i M kj i 10580100 00 +-==O x y5.10-=x ，0.8-=y ，0=z 合力作用线过点（-10.5，-8.0，0）。
2－12 图示载荷F P =1002N ， F Q =2002N ，分别作用在正方形的顶点A 和B 处。
试将此力系向O 点简化，并求其简化的最后结果。
解：N )(100P k i F +-=N )(200Q k j i F +--=mN )300200(200200- 2000 1 1 1000 1000 0 1 )(⋅-=-+-=j i k j i k j i F O MN )300200300('R k j i F F +--=∑=iQ P F F F r M ⨯+⨯=B A O合力 N )300200300('R R k j i F F +--== 设合力过点（0,,y x ），则j i M kj i 300200300200- 3000 -==-O y x 得 1=x ，32=y ，0=z 即合力作用线过点（0,32,1）。
2－13 图示三力F 1、 F 2和 F 3的大小均等于F ，作用在正方体的棱边上，边长为a 。
求力系简化的最后结果。
解：先向O 点简化，得k F F ='R ， k j M Fa Fa O +=因0'R ≠⋅O M F ，故最后简化结果为一力螺旋。
该力螺旋k F F ='R ，k M Fa = 设力螺旋中心轴过)0,,(y x O '，则j M F r Fa O ==⨯'1R即j k j i Fa Fy x = 0 00 得 a x -=，0=y ，0=z即合成最后结果的力螺旋中心轴上一点坐标为（0,0,a -）。
习题2－12图习题2－13图2－14 某平面力系如图所示，且F 1=F 2=F 3=F 4= F ，问力系向点A 和B 简化的结果是什麽？二者是否等效？解：（1）先向A 点简化，得)(2Rj i F -='F ；Fa M A 2= （2）再向B 点简化，得)(2Rj i F -='F ；0=B M 二者等效，若将点B 处的主矢向点A 平移，其结果与（1）通。
2－15 某平面力系向两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？解：可能是一个力，也可能平衡，但不可能是一个力偶。
因为（1），平面力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩，而由已知是：向两点简化的主矩皆为零，即简化结果可能为（0,R ='A M F ），（0,R ='B M F ）（主矢与简化中心无关），若0R ≠'F ，此时已是简化的最后结果：一合力'R R F F =经过A 点，又过B 点。
（2）若该主矢0R='F ，则此力系平衡，这显然也是可能的；最后结果不可能是一力偶，因为此时主矩不可能为零，与（1）矛盾。