2-2-3-2两条直线的位置关系【人教B版必修2】

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人教B版数学必修二目录

必修二
第一章立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1.1.2 棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.4 投影与直观图
1.1.5 三视图
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积
实习作业
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质与推论
1.2.2 空间中的平行关系
1.2.3 空间中的垂直关系
本章小结
阅读与欣赏
散发着数学芳香的碑文
第二章平面解析几何初步
2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式
2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的几种形式
2.2.3 两条直线的位置关系
2.2.4 点到直线的距离
2.3 圆的方程
2.3.1 圆的标准方程
2.3.2 圆的一般方程
2.3.3 直线与圆的位置关系
2.3.4 圆与圆的位置关系
2.4 空间直角坐标系
2.4.1 空间直角坐标系
2.4.2 空间两点的距离公式
本章小结
阅读与欣赏
笛卡尔。

高中数学人教新课标B版必修2--《2.2.3两条直线的位置关系》课件2

解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o
H
E
2 2 3D
A
23
G
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o
巩固提例高:1．空间四边形 ABCD 中， AD BC 2 ， E, F 分别是 AB,CD 的中点， EF 3 ，求异面直线 AD, BC 所成的角。
2
2
在 EGF 中，cos EGF EG2 FG2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 ，
2EG FG
2
∵两异面直线所成角的范围是：00,900
∴异面直线 AD, BC 所成的角为60
作角
证角
算角
答角
小结：
1. 异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线
2. 空间两直线的位置关系
平行直线异面直线
3. 异面直线的画法辅助平面衬托法
4. 异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角 5. 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6. 等角定理：空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相
等或互补．
7. 计算异面直线所成的角
补充练习
450 。
D
(3)
直线
AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA 与直线AAA
都垂直.
C' B'
C B
课堂反馈
1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2

高二上学期数学人教B版选择性必修第一册2.2.3两条直线的位置关系(2)课件(共21张PPT)

高二上学期数学人教B版选择性必修第一册2. 2.3两条直线的位置关系（2 ）课件 (共21 张PPT）
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例题2.分别求下列直线的方程： (2)过点(1,2)且与直线 2x+y 10 0 垂直的直线 l2 ；解：(2)依题意可设 l2 的方程为 x 2 y C 0 由于 l2 过点(1,2)，因此 1 2 2 C 0 解得 C 3. 因此直线 l2 的方程为 x 2 y 3 0 .
解：（1）将
l2
的方程化为斜截式为
y 1x1 22
，l2
的斜率为
1 2
，又因为
l1
的斜率为2，而且
1 2
2=1
1，
从而 l1 与 l2不垂直.
高二上学期数学人教B版选择性必修第一册2. 2.3两条直线的位置关系（2 ）课件 (共21 张PPT）
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谢谢
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设直线 l1 : A1x B1 y C1 0,l2 : A2 x B2 y C2 0 当 B1 B2 0 时，
则两条直线垂直的充要条件是 A1A2 B1B2 0 当 B1 B2 =0 时，两条直线垂直时上式仍然成立. 因此两条直线垂直的充要条件是 A1A2 B1B2 0

人教版B版高中数学必修2：两条直线的位置关系_课件1

4．在知识交汇点处命题是解析几何的显著特征．与平面向量、三角函数、不等式、数列、导数、立体几何等知识结合，考查综合分析与解决问题的能力．如结合三角函数考查夹角、距离，结合二次函数考查最值，结合向量考查平行、垂直、面积，直线与圆锥曲线的位置关系与向量结合求参数的取值范围等，与导数结合考查直线与圆锥曲线位置关系将成为新的热点，有时也与简易逻辑知识结合命题．
数学总复习
7．两直线的位置关系对于直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
l1∥l2⇔ k1＝k2 且 b1≠b2
l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 . 对于直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0.
l1∥l2⇔A1B2＝A2B1 且 A2C1≠A1C2(或 B1C2≠B2C1)． l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝ 0 .
命题会紧紧围绕数形结合思想、方程思想、分类讨论思想、运动变化的观点展开．
●备考指南 1．直线与圆的方程部分概念多、基本公式多，直线的方程、圆的方程又具有多种形式，高考命题又以考查基本概念的理解与掌握为主，故复习时首先要深刻理解直线与圆的基本概念，清楚直线与圆的方程各自特点、应用范围，熟练地掌握待定系数法．还应与其它知识尤其是向量结合起来，要充分利用图形的几何性质和方程的消元技巧，以减少计算量．深刻领会并熟练运用数形结合的思想方法．
数学总复习
二、分类讨论思想在直线的方程中，涉及分类讨论的常见原因有：确定直线所经过的象限；讨论直线的斜率是否存在；直线是否经过坐标原点等．
数学总复习
三、对称思想在许多解析几何问题中，常常涉及中心对称和轴对称的性质，许多问题，抓住了其对称性质，问题可迎刃而解．
数学总复习

新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂直．( √ )
2．做一做
第二章平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用．学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条件．教学重点：两条直线垂直的条件．教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.

高中数学课件-2.1.3两条直线的位置关系课件( 北师大版必修2 )

4.已知经过两点(3，2)和(m,n)的直线l. (1)若l与x轴平行，则m,n的取值情况是__________; (2)若l与x轴垂直，则m,n的取值情况是__________.
【解析】(1)∵l与x轴平行,由图①可知m∈R且m≠3,n=2. (2)∵l与x轴垂直,由图②可知m=3,n∈R且n≠2.
【例2】如图,在平行四边形OABC中，点A(3,0),点C(1,3). (1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程. 【审题指导】已知四边形OABC是平行四边形，可以利用平行四边形的有关性质求AB的斜率，利用两条直线垂直的条件求CD的斜率,进而求相应直线的方程.
解得h≈14.92(m).
故灯柱高h约为14.92 m.
【典例】(12分)已知A(0，3)、B(-1，0)、C(3，0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列). 【审题指导】解答本题可先对直角梯形中哪个角为直角进行讨论，然后借助于平行、垂直的关系列方程组求D点的坐标.
【例3】已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【审题指导】直线l1和l2的方程均以一般式的形式给出，要
判断l1∥l2及l1⊥l2时，参数a的取值，求解思路有二：一是把
方程均化成斜截式利用斜率及在y轴上截距的关系求解；二
答案：(1)m∈R且m≠3,n=2 (2)m=3,n∈R且n≠2
5.已知P(2,1),直线l:x-y+4=0. (1)求过点P与直线l平行的直线方程; (2)求过点P与直线l垂直的直线方程. 【解析】(1)设过点P与直线l平行的直线方程为x-y+m=0. 由题意可知2-1+m=0,解得m=-1. 所以过点P与直线l平行的直线方程为x-y-1=0. (2)设过点P与直线l垂直的直线方程为x+y+n=0. 由题意可知2+1+n=0,解得n=-3. 所以过点P与直线l垂直的直线方程为x+y-3=0.

高中数学人教B必修二学案：第二单元 2.2.3 第1课时两条直线相交、平行与重合的条件含答案

2．2.3 两条直线的位置关系第1课时两条直线相交、平行与重合的条件学习目标 1.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.2.能根据斜截式方程和一般式方程判定两条直线是否平行或重合.3.能应用两直线平行与重合求参数或直线方程．知识点两条直线相交、平行与重合的条件思考1 直线l 1：2x ＋3y －6＝0与直线l 2：3x ＋2y ＋6＝0的位置关系是怎样的？思考2 直线l 3：2x ＋3y －2＝0与直线l 4：4x ＋6y ＋3＝0的位置关系是怎样的？梳理两条直线相交、平行与重合的判定方法 (1)代数法两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解进行判断(如表所示)：(2)几何法设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1；l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则： ①l 1与l 2相交⇔____________； ②l 1∥l 2⇔________________； ③l 1与l 2重合⇔____________.类型一两条直线位置关系的判定例1 判断下列各组中两条直线的位置关系． (1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0； (2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.反思与感悟两条直线位置关系的判定方法设两条直线的方程分别为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2、B 2≠0)，则两直线相交．(2)若A 1A 2＋B 1B 2＝0，则两直线相互垂直．(3)若A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0或(B 1C 2－B 2C 1≠0)或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)，则两直线平行．跟踪训练1 已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)重合？类型二两条直线平行的应用例2 (1)求过点A (1，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程； (2)求过点P (3,2)且与经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线平行的直线方程．反思与感悟 (1)求与直线y ＝kx ＋b 平行的直线的方程时，根据两直线平行的条件可巧设为y ＝kx ＋m (m ≠b )，然后通过待定系数法，求参数m 的值．(2)求与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程时，可设方程为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，代入已知条件求出m 即可．其中对于斜率为零及不存在的情形要单独讨论．跟踪训练2 若直线l 与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为56，求直线l的方程．类型三两条直线的交点问题例3 求经过原点，且经过直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点的直线l 的方程．反思与感悟利用过交点的直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点的直线方程的问题．跟踪训练3 三条直线x ＋y ＋1＝0,2x －y ＋8＝0，ax ＋3y －5＝0只有两个不同的交点，则a ＝________.1．直线Ax ＋4y －1＝0与直线3x －y －C ＝0重合的条件是( ) A ．A ＝12，C ≠0 B ．A ＝－12，C ＝14C ．A ＝－12，C ≠－14D ．A ＝－12，C ＝－142．直线2x －y ＋k ＝0和直线4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．不平行C ．平行或重合D ．既不平行也不重合3．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为( ) A ．－8 B ．0 C ．2D ．104．过点(－1，－3)且与直线2x ＋y －1＝0平行的直线方程为________________________． 5．已知▱ABCD 的三个顶点的坐标分别是A (0,1)，B (1,0)，C (4,3)，求顶点D 的坐标．两条直线相交、平行与重合的条件(1)两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系，可以用方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解的个数进行判断，也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：答案精析问题导学知识点思考1 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －6＝0，3x ＋2y ＋6＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6.∴l 1与l 2相交．思考2 24＝36≠－23，∴l 3∥l 4.梳理 (1)平行 A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0) 相交 A 1A 2≠B 1B 2 重合 A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(2)①k 1≠k 2 ②k 1＝k 2且b 1≠b 2 ③k 1＝k 2且b 1＝b 2 题型探究例1 解 (1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4； A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1. 因为A 1A 2≠B 1B 2，所以l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，所以A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. 因为A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，所以l 1与l 2重合．(3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3； A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2. 因为A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，所以l 1与l 2平行．(4)A 1＝1，B 1＝0，C 1＝－5； A 2＝1，B 2＝0，C 2＝－6，因为A 1B 2－A 2B 1＝0，而A 2C 1－A 1C 2≠0，所以l 1与l 2平行．跟踪训练1 解因为直线l 1：x ＋my ＋6＝0，直线l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，所以A 1＝1，B 1＝m ，C 1＝6， A 2＝m －2，B 2＝3，C 2＝2m .(1)若l 1与 l 2相交，则A 1B 2－A 2B 1≠0，即1×3－m (m －2)≠0，即m 2－2m －3≠0，所以(m －3)(m ＋1)≠0，解得m ≠3且m ≠－1.故当m ≠3且m ≠－1时，直线l 1与l 2相交．(2)若l 1∥l 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3＝0，m 2≠9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠3且m ≠－3，所以m ＝－1.故当m ＝－1时，直线l 1与l 2平行．(3)若l 1与l 2重合，则有⎩⎪⎨⎪⎧A 1B 2－A 2B 1＝0，B 1C 2－B 2C 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m (m －2)＝0，2m 2－18＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ＝3或m ＝－3.所以m ＝3.故当m ＝3时，直线l 1与l 2重合．例2 解 (1)方法一已知直线的斜率为－23，∵所求直线与已知直线平行，∴所求直线方程的斜率为－23.由点斜式，得所求直线的方程为y ＋4＝－23(x －1)，即2x ＋3y ＋10＝0.方法二设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋λ＝0(λ≠5)． ∵l 经过点A (1，－4)，∴2×1＋3×(－4)＋λ＝0，解得λ＝10， ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.(2)经过点A (0,1)，B (－2，－1)的直线的斜率为k ＝1－(－1)0－(－2)＝1.∵所求直线经过点P (3,2)， ∴所求直线方程为y －2＝x －3 即x －y －1＝0.跟踪训练2 解设直线l 的方程为 2x ＋3y ＋C ＝0，令x ＝0，得y ＝－C3，令y ＝0，得x ＝－C2.由题意，得－C 3－C 2＝56，解得C ＝－1.所以直线的方程为2x ＋3y －1＝0.例3 解方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，∴直线2x ＋3y ＋8＝0和x －y －1＝0的交点坐标为(－1，－2)．又直线l 经过原点， ∴直线l 的方程为y －0－2－0＝x －0－1－0，即2x －y ＝0. 方法二设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0， ∵直线过原点(0,0)， ∴8－λ＝0，∴λ＝8，∴直线方程为2x ＋3y ＋8＋8x －8y －8＝0，即2x －y ＝0. 跟踪训练3 3或－6解析当直线ax ＋3y －5＝0与x ＋y ＋1＝0平行时，a ＝3. 当直线ax ＋3y －5＝0与2x －y ＋8＝0平行时， a 2＝3－1≠－58，得a ＝－6， ∴a ＝3或a ＝－6. 当堂训练 1．D 2.C 3.A 4．2x ＋y ＋5＝0解析设所求直线方程为2x ＋y ＋C ＝0，将点(－1，－3)代入方程， 2×(－1)－3＋C ＝0，得C ＝5. ∴直线方程为2x ＋y ＋5＝0.5．解设D (m ，n )，由题意，得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC .所以⎩⎪⎨⎪⎧0－11－0＝3－n4－m，n －1m －0＝3－04－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝4.所以点D 的坐标为(3,4)．。

人教版高数必修二第9讲：两条直线的位置关系(教师版)

两条直线的位置关系一、两直线平行、相交与重合的条件1．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0，i ＝1,2)． (1)l 1与l 2相交的条件：A 1B 2-A 2B 1≠0或．(A 2B 2≠0)(2)l 1与l 2平行的条件：A 1B 2-A 2B 1=0而B 1C 2-B 2C 1≠0或A 2C 1-A 1C 2≠0; 或(A 2B 2C 2≠0(3)l 1与l 2重合的条件：A 1= A 2, B 1= B 2, C 1= C 2 ( ) 或．(A 2B 2C 2≠0)2.已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)l 1∥l 2的条件：k 1＝k 2且b 1≠b 2.(2)l 1与l 2重合的条件：k 1＝k 2且b 1＝b 2. (3)l 1与l 2相交的条件：k 1≠k . 二、两直线垂直的条件1．两直线垂直的条件 (1)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0)， l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 类型一两条直线平行例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．(1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.解析：有两条直线的位置关系判定公式判定直线的关系.答案：(1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4；A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1.∵A 1A 2≠B 1B 2，∴l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，∴A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. ∵A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，∴l 1与l 2重合． (3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3；A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2.∵A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，∴l 1与l 2平行．(4)l 1与l 2平行．练习1：判定下列每组中所给两直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1：x ＋2y －3＝0，l 2：2x ＋4y ＋1＝0.(2)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：y ＝13x ＋2.(3)l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x －6y ＋2＝0. 答案：(1)平行 (2)相交 (3)重合练习2：下列命题：①若直线1l 与2l 的斜率相等，则12//l l ；②若直线12//l l ，则两直线的斜率相等；③若直线12,l l 的斜率均不存在，则12//l l ；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线12//l l ，且1l 的斜率不存在，那么2l 的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．答案：④⑤例2、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2 (1)相交；(2)平行；(3)重合．解析：充分利用条件，但要考虑直线垂直于x 轴或平行于x 轴的情况．答案：当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，∴l 1与l 2相交；当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交；当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1，或m ＝3.当A 1A 2＝C 1C 2时，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1，且m ≠3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2≠B 1B 2方程组有惟一解，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 1，A 1A 2≠C 1C 2方程组无解，l 1与l 2平行； (3)当m ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2方程组有无数组解，l 1与l 2重合．练习1：(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的取值是( )A ．－1或2B ．0或1C ．－1D ．2答案：∵l 1∥l 2，∴a (a －1)－2＝0， ∴a ＝－1或2.当a ＝2时，l 1与l 2重合，∴a ＝－1.练习2：已知两直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋(a ＋4)y ＋2＝0，若l 1∥l 2，求a 的值．答案：当a ＝－4时，l 1：4x －3y ＋3＝0与l 2：4x ＋2＝0不平行，∴a ≠－4.∵l 1∥l 2，∴－a 3＝－4a ＋4，∴a 2＋4a －12＝0，∴a ＝2或a ＝－6.当a ＝－6时，l 1：－6x ＋3y －3＝0，即2x －y ＋1＝0，l 24x －2y ＋2＝0，即2x －y ＋1＝0，此时l 1与l 2重合，∴a ≠－6.当a ＝2时，l 1：2x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y ＋2＝0，即2x ＋3y ＋1＝0，∴l 1∥l 2. 综上可知，a ＝2.例3：试求三条直线ax ＋y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0构成三角形的条件．解析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点．答案：解法一：任两条直线都相交，则a 1≠1a ，a 1≠11，故a ≠±1. 且三条直线不共点，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)不在ax ＋y ＋1＝0上，即a (－1－a )＋1＋1≠0，a 2＋a －2≠0，(a ＋2)(a －1)≠0，∴a ≠－2且a ≠1，综合上述结果，此三条直线构成三角形的条件是a ≠±1，a ≠－2.解法二：∵三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点，若l 1、l 2、l 3交于一点，则l 1：x ＋y ＋a ＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0的交点P (－a －1,1)在l 3：ax ＋y ＋1＝0上， ∴a ·(－a －1)＋1＋1＝0，∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2，则有1a ＝1，a ＝1.若l 1∥l 3，则有1a ＝1，a ＝1. 若l 2∥l 3，则有1a＝a ，a ＝±1.∴l 1、l 2、l 3构成三角形时，a ≠±1，a ≠－2.练习1：三条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：x －y ＝0，l 3：x ＋ay －3＝0能构成三角形，求实数a 的取值范围．答案：∵kl 1＝－1，kl 2＝1，∴当a ＝±1时，l 3与l 1、l 2中一条平行，此时三条直线不能构成三角形．又l 1与l 2交点为(1,1)，若点(1,1)在l 3上，则a ＝2，综上可知：a ≠2，且a ≠±1时，三条线可构成三角形．练习2：直线l 经过2320x y -+=和3420x y --=的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．答案：由23203420x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 得410x y =⎧⎨=⎩∴交点坐标是()14,10∵直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形 ∴其斜率为1± ∴所求直线的方程为：()1014y x -=±- 即40x y --=或240x y +-=类型二两条直线垂直例4：当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解析：在利用k 1·k 2＝－1判定垂直关系时，一定要注意直线的斜率是否有可能不存在这一情况．答案：解法一：①当1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直；②当2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直；③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.解法二：∵直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.练习1：判断下列各组中两条直线l 1与l 2是否垂直． (1)l 1：2x －y ＝0，l 2：x －2y ＝0；(2)l 1：2x －4y －7＝0，l 2：2x ＋y －5＝0； (3)l 1：2x －7＝0，l 2：6y －5＝0. 答案：(1)不垂直．∵k 1＝2，k 2＝12，∴k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直． (2)垂直．k 1＝12，k 2＝－2，∴k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1：x ＝72，l 2：y ＝56，故l 1⊥l 2.练习2：如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 答案：C例5：若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y ＝a 2(a >0)与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2解析：由题意得，(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＝1，又∵a >0，∴a ＝1. 答案：A练习1：若直线l 1：(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线l 2：(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝2或a ＝－2D ．a ＝2,0，－2 答案：C练习2：已知直线2ax ＋y －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0垂直，则实数a 的值等于( )A.12B.32C ．0或12D ．0或32答案：C1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案：A 2．经过两条直线2x ＋y －4＝0和x －y ＋1＝0的交点，且与直线2x ＋3y －1＝0平行的直线方程是( )A ．2x ＋3y －7＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －8＝0D ．2x －3y ＋2＝0 答案：C3．直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案：C4．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0垂直，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案：B5．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 答案：B6. 以A (－2,1)、B (4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x －y －5＝0C ．3x ＋y －5＝0D ．3x ＋y ＋5＝0 答案：C7. l 1过点A (m,1)、B (－3,4)，l 2过点C (0,2)、D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 答案：08.求过直线x －y －2＝0和4x －2y －5＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．答案：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝04x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－32.∴过点(12，－32)且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程为y ＋32＝32(x －12)，即6x －4y －9＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－16，12B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，－16∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案：A2．对于直线ax ＋y －a ＝0(a ≠0)，以下说法正确的是( )A ．恒过定点，且斜率与纵截距相等B ．恒过定点，且横截距恒为定值C ．恒过定点，且与x 轴平行D ．恒过定点，且与x 轴垂直答案：B3．和直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距是－2的直线方程是________________．答案：4x －3y ＋8＝0 4．下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线垂直，则其斜率的乘积必是1-；③过点()1,1-且斜率为2的直线方程是121y x -=+；④同垂直于x 轴的两条直线都和y 轴平行或重合．其中真命题的由．答案：④5．已知三角形三顶点A (4,0)、B (8,10)、C (0,6)，求：(1)AC 边上的高所在的直线方程； (2)过A 点且平行于BC 的直线方程．答案：(1)k AC ＝6－00－4＝－32，∴AC 边上的高所在的直线的斜率k ＝23，其方程为y －10＝23(x －8)，即2x －3y ＋14＝0.(2)k BC ＝6－100－8＝12，∴过A 点且平行于BC 的直线方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.能力提升6．设P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是不在直线l 上的点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．位置关系不确定答案：A7. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －1＝2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2答案：C8. 已知直线3ax －y ＝1与直线⎝⎛⎭⎫a －23x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1答案：D 由(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0，得m (2x －y ＋5)＋(x ＋2y ＋10)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0x ＋2y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3.故无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点(－4，－3)．9. 无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点________．答案：(－4，－3)10. 已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，C ＝________，m ＝________.答案：∵直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直，∴－a 2·25＝－1，∴a ＝5.又∵点(1，m )在直线5x ＋2y －1＝0上，∴m ＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x －5y ＋C ＝0上， ∴C ＝－12.11. 平行四边形的两邻边的方程是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0，对角线的交点是O ′(3,3)，求另外两边的方程．答案：建立如图所示的直角坐标系，根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝03x －y ＋4＝0，得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14.因为O ′是对角线AC 的中点，且O ′为(3,3)，所以顶点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫294，234.由x ＋y ＋1＝0知，k AB ＝－1，所以k CD ＝－1，由点斜式得y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即x ＋y －13＝0.因为k AD ＝3，所以k BC ＝3，由点斜式得y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即3x －y －16＝0，∴另外两边的方程分别为x ＋y －13＝0,3x －y －16＝0.12.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．答案：(1)设点C 的坐标为(m ，n )，∵k BH ＝12，∴k AC ＝－2，∴n －1m －5＝－2. 又点C (m ，n )在直线2x －y －5＝0上， ∴2m －n －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2m －n －5＝0n －1m －5＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝3.∴点C 的坐标为(4,3)．(2)设点B 的坐标为(a ，b )，则a －2b －5＝0，AB 的中点M 的坐标为(a ＋52，1＋b2)，∴2×a ＋52－1＋b2－5＝0，即2a －b －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b －5＝02a －b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3.∴点B 的坐标为(－1，－3)， ∴直线BC 的方程为y －3－3－3＝x －4－1－4，即6x －5y －9＝0.。

人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件第2章平面解析几何 2.2.3 两条直线的位置关系

(1)l1:3x+5y-3=0,l2:15x+25y-1=0;
(2)l1:2x-y+4=0,l2:4x+2y-3=0;
1
(3)l1:y=3x-2,l2:y=- 3 x.
解:(1)∵3×25=5×15,3×(-1)≠15×(-3),
∴l1∥l2.
(2)∵2×2≠(-1)×4,2×4+(-1)×2≠0,
l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1;
l1与l2平行⇔A1B2=A2B1,B1C2≠B2C1或A1C2≠A2C1;
l1与l2重合⇔A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ∈R).
4.(1)若l1:y=2x+5,l2:y=2x-3,则l1与l2
(2)若l1:x+2y-3=0,l2:-2x+4y+6=0,则l1与l2
3
= 3-2,
3 1
故交点的坐标为 ,- .
5 5
判断两条直线的位置关系时,若易求直线的斜率k和截距b,则可通过k,b判
断.若已知直线方程的一般式,则可通过系数判断.
【变式训练1】判断下列各对直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.
(1)l1:y=-3x+4,l2:y=3x-4;
(2)l1:x-4y+3=0,l2:2x-8y-1=0;
第二章
2.2.3 两条直线的位置关系
内
容
索
引
01
自主预习新知导学
02
合作探究释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.能根据斜率判定两条直线的位置关系.
2.能根据两条直线的平行或垂直求直线的方程.
3.重点提升数学运算和逻辑推理素养.

《两条直线的位置关系》第2课时示范公开课PPT教学课件【七年级数学下册北师大版】

A
B
C
D
垂直的表示方法：
通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.如图，直线AB与直线CD垂直.
记作：
AB⊥CD
读作：AB垂直于CD ，垂足为O.
【注意】“⊥”是“垂直”的记号，而“┐”是图形中“垂直”(直角)的标记.
直线l与直线m互相垂直，记作：l⊥m ，垂足为O．
∵AB⊥CD∴∠1=90 °
直角(90°)
线垂直
直角(90°)
线垂直
∵∠1=90°(已知)∴AB⊥CD(垂直的定义)
垂直的性质、定义判定的应用格式:
问题1：你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
问题2：如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？
问题3：你能用折纸的方法折出互相垂直的直线吗？试试看！
1.折叠长方形纸片的一个角；
2.沿①中的折痕对折，使它与①中的折痕互相重合；
3.展开长方形纸片，则两次折叠所形成的折痕互相垂直.
①
②
③
如图，已知直线 l ，用三角尺或量角器画直线 l 的垂线，你能画出多少条？
这样画l的垂线可以画无数条.
l
O
C
B
直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
问题：体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求.
根据：直线外一点与直线上各点所连的所有线段中垂线段最短.
如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM和∠NOC的度数．
B
对顶角相等.
余角和补角的性质：
同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.

高中人教数学B版必修2：第二章第21课时 2.2.3 两条直线的位置关系——垂直

答案：135°－1
解析：∵kl＝1，l⊥l′，∴kl′＝－1，l′的倾斜角为135°.
9．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,0)，B(0,2)，C(a,0)，若AB⊥BC，则a＝________.
答案：4
解析：因为kAB＝＝2，所以直线BC的斜率存在，且kBC＝＝－ .由2· ＝－1，得a＝4.
∴AC边的垂直平分线所在直线的斜率为2.
又AC边的中点为(2,1)，
∴AC边的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝2(x－2)，
即2x－y－3＝0.
能力提升
12．(5分)(1)求点P(2,3)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点P′的坐标；
(2)求l1：x＋7y－6＝0关于直线l：x＋y－2＝0的对称直线l2的方程．
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求AC边的垂直平分线所在直线的方程．
解：(1)∵A(4,0)，B(6,6)，C(0,2)，
∴kAB＝＝3，∴AB边上的高所在直线的斜率为－ .
又AB边上的高所在的直线过点C，
∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝－ (x－0)，
即x＋3y－6＝0.
(2)∵直线AC的斜率kAC＝＝－，
C．y＝ x－1D．y＝－ x－1
答案：D
解析：因为直线l：y＝3x＋1的斜率为3，所以与直线l：y＝3x＋1垂直的直线的斜率为－，经观察只有选项D中的直线的斜率为－，故选D.
2．已知直线l上两点A，B的坐标分别为(3,5)，(a,2)，且直线l与直线3x＋4y－5＝0垂直，则a的值为()
A．－ B.
又两直线垂直，则k1·k2＝－1，即－ · ＝－1，无解，故不存在实数a使方程成立．
综合①②，可得a＝0.

人教B版数学高一必修2教案两条直线的位置关系1.两条直线相交、平行与重合的条件

示范教案整体设计教学分析教材利用方程组解的个数来讨论两条直线相交、平行与重合的条件．值得注意的是在教学中，调动学生的积极性，让学生自己归纳出两条直线相交、平行和重合的条件．三维目标1．掌握两条直线相交、平行与重合的条件，提高学生归纳、类比的能力．2．能够判断两直线的位置关系，提高学生分析问题、解决问题的能力．重点难点教学重点：两条直线的位置关系、平行条件的应用．教学难点：归纳两直线平行、相交与重合的条件．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.在平面直角坐标系中，两条直线的位置关系是平行、相交、重合．当两条直线无交点时，它们平行；当两条直线有唯一交点时，它们相交；当两条直线有无数个交点时，它们重合．本节利用直线方程来讨论两条直线的位置关系，教师引出课题．设计2.在立体几何中，两条直线的位置关系是平行、相交、异面，在本章所讨论的两条直线的位置关系是平行、相交、重合．那么如何利用方程来讨论两直线的位置关系呢？教师引出课题．推进新课新知探究提出问题(1)点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0上的一点，则x 0与y 0满足什么条件？(2)已知两条直线的方程为l 1：A 2x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.试判断直线l 1与l 2的交点个数，并确定它们位置关系.(3)归纳两条直线相交、平行与重合的条件.讨论结果：(1)Ax 0＋By 0＋C ＝0.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，①② ①×B 2－②×B 1，得(A 1B 2－A 2B 1)x ＋B 2C 1－B 1C 2＝0.当A 1B 2－A 2B 1≠0时，得x ＝B 1C 2－C 1B 2A 1B 2－A 2B 1；因此，当A 1B 2－A 2B 1≠0时，方程组有唯一一组解．此时直线l 1与l 2相交，且有唯一交点，交点坐标是方程组的解．当A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0时，方程组无解．两直线无交点，此时l 1∥l 2.当A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2＝0或A 2C 1－A 1C 2＝0时，方程组有无数组，即此时，两直线l 1与l 2有无数个交点，即l 1与l 2重合．(3)l 1与l 2相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)． l 1与l 2平行⇔⎩⎪⎨⎪⎧ A 1B 2－A 2B 1＝0，而B 1C 2－C 1B 2≠0或A 2C 1－A 1C 2≠0；或A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0). l 1与l 2重合⇔⎩⎪⎨⎪⎧A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝λC 2(λ≠0)；或A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0). 提出问题(1)两直线平行，它们的倾斜角和在y 轴上的截距相等吗？(2)当两直线的倾斜角相等，在y 轴上的截距不相等时，这两条直线有什么位置关系？(3)已知直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，怎样用k 1，k 2，b 1，b 2判定它们平行？(4)怎样用k 1，k 2，b 1，b 2，判定它们重合？讨论结果：(1)画图分析，得它们的倾斜角相等，在y 轴上的截距不相等．如下图所示；(2)平行；(3)l 1∥l 2 ⇔k 1＝k 2且b 1≠b 2；(4)l 1与l 2重合⇔k 1＝k 2，且b 1＝b 2.应用示例思路1例1已知直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，求证：当C 1≠C 2时，l 1与l 2平行．证明：因为AB －BA ＝0，所以l 1与l 2平行或重合．又因为BC 2－BC 1＝B(C 2－C 1)：当B ≠0时，已知C 1≠C 2，所以BC 2－BC 1≠0，因此两直线平行；当B ＝0时，由直线方程的定义，知A ≠0，于是两条直线的方程变为x ＝－C 1A ，x ＝－C 2A，这是两条与x 轴垂直的直线，所以它们平行或重合．又由于C 1≠C 2，所以它们是平行的直线．点评：与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋D ＝0(C ≠D)．变式训练1．过点A(1,2)，且平行于直线2x －3y ＋5＝0的直线方程是______．解析：设所求直线方程为2x －3y ＋m ＝0(m ≠5)，则2×1－3×2＋m ＝0，解得m ＝4，即所求直线方程为2x －3y ＋4＝0.答案：2x －3y ＋4＝02．求与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且在两坐标轴上截距之和是56的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0(m ≠5)．当x ＝0时，y ＝－m 3；当y ＝0时，x ＝－m 2. 则－m 3－m 2＝56，解得m ＝－1. 即直线l 的方程为2x ＋3y －1＝0.3．求通过下列各点且与已知直线平行的直线方程：(1)(－1,2)，y ＝12x ＋1； (2)(1，－4)，2x ＋3y ＋5＝0.解：(1)因为所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线为y ＝12x ＋b. 由于所求直线过点(－1,2)，代入方程，得b ＝52.因此所求方程为y ＝12x ＋52，即x －2y ＋5＝0.(2)设所求的直线方程为2x ＋3y ＋D ＝0.由于所求直线过点(1，－4)，代入方程，得D ＝10.因此，所求直线方程为2x ＋3y ＋10＝0.思路2例2判断下列各对直线是否平行，并说明理由．(1)l 1：y ＝3x ＋2，l 2：y ＝3x ＋5；(2)l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝3x ；(3)l 1：x ＝5，l 2：x ＝8.解：(1)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，在y 轴上截距分别是b 1，b 2，则k 1＝3，b 1＝2，k 2＝3，b 2＝5.因为k 1＝k 2，b 1≠b 2，所以l 1∥l 2.(2)设两直线的斜率分别是k 1，k 2，在y 轴上截距分别是b 1，b 2，则k 1＝2，k 2＝3，b 1＝1，b 2＝0.因为k 1≠k 2，所以l 1与l 2不平行．(3)由方程可知l 1⊥x 轴，l 2⊥x 轴，且两直线在x 轴上截距不相等，所以l 1∥l 2.点评：判断两直线是否平行时，要对直线的斜率讨论，特别是当斜率都不存在时，即直线x ＝a 与直线x ＝b(a ≠b)平行．变式训练1．直线l 1过A(m,1)，B(－1，m)，直线l 2过点P(1,2)，Q(－5,0)，且l 1∥l 2，则m ＝______.解析：k 1＝1－m m ＋1，k 2＝2－01＋5＝13，由于l 1∥l 2，则1－m m ＋1＝13，解得m ＝12. 答案：122．已知直线l 1：x ＋y －1＝0，直线l 2：kx －2y ＋3＝0，且l 1∥l 2，则k ＝______.答案：－2例3已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2(1)平行；(2)重合；(3)相交？解：对于平行及重合的判断，可以通过斜率与截距来分析．而对于l 1与l 2相交的情况，只能通过解方程组来寻求规律，当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，此时l 1与l 2相交．当m ≠0时，l 1：y ＝－1m x －6m ，l 2：y ＝－m －23x －32m. (1)若l 1∥l 2，则⎩⎨⎧－1m ＝－m －23－6m ≠－32m ，解得m ＝－1.(2)若l 1与l 2重合，则m －21＝3m ＝2m 6，解得m ＝3. 故m ＝－1时l 1∥l 2；m ＝3时l 1与l 2重合．(3)由l 1的方程得x ＝－my －6，代入l 2的方程得(m －2)(－my －6)＋3y ＋2m ＝0，即(m 2－2m －3)y ＝12－4m ，显然，m 2－2m －3＝0时无解，只有当m 2－2m －3≠0，即m ≠－1且m ≠3时，方程才有解，且是唯一解，故只有当m ≠－1且m ≠3时两直线相交．点评：本题主要考查两直线相交、平行与重合的条件，要正确解决本题需要有足够的耐心和具有分类讨论的能力．变式训练设三条直线l 1：x ＋y －1＝0，l 2：kx －2y ＋3＝0，l 3：x －(k ＋1)y －5＝0.若这三条直线交于一点，求k 的值．解：解由l 1、l 2的方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －1＝0，kx －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－12＋k ，y ＝3＋k 2＋k ，所以l 1与l 2的交点是P(－12＋k ，3＋k 2＋k)．又因为l 1、l 2、l 3交于一点，即P 点坐标满足直线l 3的方程，－12＋k －(k ＋1)3＋k 2＋k－5＝0. 解得k ＝－7或－2(舍去)．所以k ＝－7.知能训练1．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0，l 2：x ＋(a －2)y ＋a ＝0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2则(1)a ＝__________时，α1＝150°；(2)a ＝__________时，l 2⊥x 轴；(3)a ＝__________时，l 1∥l 2；(4)a ＝__________时，l 1、l 2重合．答案：(1)3 (2)2 (3)3 (4)－12．求下列两条直线的交点：l 1：x ＋2y ＋1＝0，l 2：－x ＋2y ＋2＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝12，y ＝－34.所以这两条直线的交点是M(12，－34)． 3．已知平行四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．分析：先作图猜想，然后给出证明．由斜率相等得两组直线分别平行，四边形ABCD 是平行四边形．证明：AB 边所在直线的斜率k AB ＝－12， CD 边所在直线的斜率k CD ＝－12， BC 边所在直线的斜率k BC ＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝32. 因为k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA.因此，四边形ABCD 是平行四边形．4．判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求出交点．(1)l 1：7x ＋2y －1＝0，l 2：14x ＋4y －2＝0.(2)l 1：(3－2)x ＋y ＝7，l 2：x ＋(3＋2)y －6＝0.(3)l 1：3x ＋5y －1＝0，l 2：4x ＋3y ＝5.答案：(1)重合；(2)平行；(3)相交，交点坐标为(2，－1)．5．求过点A(0，－4)且与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线方程．解法一：∵直线2x ＋3y ＋5＝0的斜率为－23，∴所求直线斜率为－23. 又直线过点A(0，－4)，由直线方程的点斜式易得所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.解法二：设与直线2x ＋3y ＋5＝0平行的直线l 的方程为2x ＋3y ＋m ＝0，∵l 经过点A(0，－4)，∴2×0＋3×(－4)＋m ＝0，解之，得m ＝12.∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.拓展提升请你探究一下三条直线l 1：x ＋ay ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋a ＝0，l 3：ax ＋y ＋1＝0构成三角形的条件是什么？方法一：任两条直线都相交，则a 1≠1a ，a 1≠11，故a ≠±1.又三条直线不交于同一点，故其中两条直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)不在直线ax ＋y ＋1＝0上，即a(－1－a)＋1＋1≠0，a 2＋a －2≠0，(a ＋2)(a －1)≠0，∴a ≠－2，a ≠1.综合上述结果，以上三条直线构成三角形的条件是a ≠±1，a ≠－2.方法二：因为三条直线能构成三角形，所以三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点．可以把不能构成三角形的情况排除掉．若三条直线交于同一点，则其中两条直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)在直线ax ＋y ＋1＝0上，∴a(－a －1)＋1＋1＝0，∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2，则有－1a ＝－1，a ＝1；若l 2∥l 3，则有－1＝－a ，a ＝1；若l 1∥l 3，则有－1a＝－a ，a ＝±1.所以若三条直线构成三角形，则需a ≠±1，a ≠－2.课堂小结本节课学习了：1．两条直线平行、相交与重合的条件；2．求两直线交点坐标，解决有关平行问题．作业本节练习B 1,2题．设计感想本节课从知识内容来说并不是很难，但从解析几何的特点看，就需要培养学生如何利用直线方程来讨论其特点，得到直线交点，以及交点个数对应于直线在平面内的相对位置关系．在教学过程中应该围绕两直线一般方程的系数的变化来揭示两直线方程联立解的情况，从而判定两直线位置特点，其实质是直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中A 、B 、C 就表示了直线的本质属性．还要注重研究方法的探讨，为将学习圆锥曲线时，对于曲线交点的研究打下基础．备课资料著名数学家陈省身(公元1911年～2004年12月3日)在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖．菲尔兹奖主要奖励在现代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的数学家．到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一．他由于在整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家．陈省身先生1911年生，浙江嘉兴人.1930年毕业于南开大学数学系，受教于姜立夫教授.1934年获清华大学硕士学位．同年入德国汉堡大学随布拉施克教授研究几何，仅用了1年零3个月便在1936年获博士学位后，以“法国巴黎索邦中国基金会博士后研究员”身份到巴黎大学从事研究工作，师从国际数学大师E·嘉当.1937～1943年，任清华大学和西南联合大学教授.1943～1946年在美国普林斯顿高级研究所任研究员．在微分几何中高斯－波内公式的研究和拓扑学方面取得重要进展.1946～1948年筹建中央数学研究所并任代理所长.1949～1960年，任美国芝加哥大学教授，1960～1979年任加州大学伯克利分校教授，1981～1984年任美国国家数学研究所首任所长，后任名誉所长．他是美国科学院院士，法国、意大利、俄罗斯等国家科学院外籍院士．他对整体微分几何的深远贡献，影响了整个数学界，被公认为“20世纪伟大的几何学家”，先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫数学科学奖等多项荣誉．陈省身对祖国心怀赤诚，1972年后多次回到祖国访问讲学，慨言“为祖国工作，是我崇高的荣誉”.2000年定居南开大学，被天津市人民政府授予永久居留权．他盛赞新中国欣欣向荣，瞩望祖国早日统一，诚挚地向党和国家领导人就发展科学事业、培养和引进人才等建言献策，受到高度重视.1984年应聘出任南开数学研究所所长，创办立足国内、面向世界培养中国高级数学人才基地．努力推进中国科学家与美国及其他各国的学术交流，促成国际数学家大会在北京召开，并被推选为大会名誉主席．他殚精竭虑地为把中国建成数学大国、科技强国贡献力量，多次受到邓小平、江泽民等党和国家领导人接见，高度称赞他对中国数学科学发展所作的杰出贡献．除了在数学上做出的巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖获得者吴文俊等．。

高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修2

∴n＝－1，
∴所求直线方程为 x＋2y－1＝0.
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
25
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
【知识点拨】 (1)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线方程为 Bx－Ay＋m＝0；
(2)与定直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线方程为 Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
已知两直线 l1：x＋my＋3＝0，l2：(m－
1)x＋2my＋2m＝0，若 l1∥l2，则 m 为( )
A．0
B．－1 或12
C．3
D．0 或 3
解析：由 1·2m－m(m－1)＝0，得 m＝0 或 m＝3.
当 m＝3 时，l1：x＋3y＋3＝0，l2：2x＋6y＋6＝0，
l1 与 l2 重合，∴m≠3；
根据下列条件，分别求直线方程： (1)经过点 A(3,0)且与直线 2x＋y－5＝0 垂直的直线方程； (2)经过直线 x－y－1＝0 与 2x＋y－2＝0 的交点，且平行于直线 x＋2y－3＝0 的直线方程．
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
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程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
A．2
B．－2
C．12
D．－12
【解析】由 l1⊥l2，得 m＋2×(－1)＝0，∴m＝2.故选 A．
【答案】 A
2021/4/17
高中数学第二章平面解析几何初步22直线的方
20
程223两条直线的位置关系课件新人教B版必修
直线 y＝kx 与直线 y＝2x＋1 垂直，则 k
等于( )
A．－2

2-1-3两条直线的位置关系课件(北师大版必修二)(2)

(3)l1 的倾斜角为 60° 2 经过点 M(3,2 3)，N(－2，－3 3)；，l
7－4 解 (1)k1＝＝3，k2＝ 1 ＝3. 1－0 －0 6 ∵k1＝k2， ∴两直线平行． 5 0－4 3 (2)k1＝＝－， 5 4 3－0
7 0－－8
1 0－－2
λ B－3，0，故
λ A0，－4；令
S△AOB＝
1 λ λ λ2 －－＝＝24，解得 λ＝± 24. 2 4 3 24 答案 3x＋4y± 24＝0
题型三利用直线的平行或垂直关系求参数【例 3】 (12 分)已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1,2)，直线 l2 经过点 C(1,2)，D(－2，a＋2)． (1)若 l1∥l2，求 a 的值； (2)若 l1⊥l2，求 a 的值．审题指导由于题目中含有参数，且涉及到直线的斜率，在求解时应注意对斜率存在或不存在进行分类讨论．
3 【变式 3】已知直线 l1 的斜率 k1＝4，直线 l2 经过点 A(3a，－ 2)，B(0，a2＋1)，且 l1⊥l2，求实数 a 的值．
2 3 a ＋1－－2 解由 l1⊥l2，可知 k1k2＝－1，即 × ＝－1. 4 0－3a
解得 a＝1 或 a＝3.
方法技巧分类讨论思想在直线位置关系中的应用当问题所给对象不能进行统一研究时，就要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最后综合各类结果得到整个问题的解答，这就是分类讨论．在本节中，主要利用分类讨论思想来解决平行、垂直的问题中斜率是否存在的问题．
想一想：为什么斜率相等的两条直线不一定平行呢？提示我们知道确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．斜率相等，说明它们的倾斜角相等，而倾斜角相等的直线不一定平行，还有可能重合，这是由于还需要确定它们是否经过一个不同的定点．通常验证这两条直线与 y 轴的交点，即在 y 轴上的截距是否相等即可．

高中数学《两条直线的位置关系》学案1 新人教B版必修2

空间两条直线的位置关系【复习目标】1．掌握空间直线的位置关系，理解异面直线的定义，并能判定和证明两条直线是异面直线； 2．会用转化的方法求异面直线所成的角，渗透“化归”的数学思想方法； 3．初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”的相互转化。

【课前预习】1. 空间两条直线位置关系的分类：2. 分别与两条异面直线同时相交的两条直线不可能有什么样的位置关系？；3. 两条直线没有交点是这两条直线为异面直线的条件.4. 两异面直线在一平面内射影的可能图形是（写出所有可能）。

5. “a 、b 是两条异面直线”是指：（1）a b φ⋂=，但a 不平行b ；（2）a ⊂平面α，b ⊂平面β；且ab φ=；（3）a ⊂平面α，b ⊂平面β；且αβφ=；（4）a ⊂平面α，b ⊄平面α；（5）不存在平面α，能使a ⊂平面α，且b ⊂平面α.上述结论中，正确的是（）A ．（1）（4）（5）B ．（1）（3）（4）C ．（2）（4）D ．（1）（5） 6. 设a 、b 是两条异面直线，下列命题结论正确的是（）A ．有且仅有一条直线与a 、b 都垂直B ．过a 有且仅有一个平面与b 平行C ．有且仅有一个平面与a 、b 都垂直D ．过空间任一点必可作一条直线与a 、b 都相交1.：空间两条直线的位置关系（1）相交直线——有且仅有一个公共点；（2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。

相交直线和平行直线也称为共面直线．异面直线的画法常用的有下列三种：a ba ba bβααα2. 平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。

即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3.等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线三．例题分析：【典型例题】例2 如图，已知不共面的三条直线,,a b c 相交于点P ，A a ∈，B a ∈，C b ∈，D c ∈，求证：AD 与BC 是异面直线。