概率发展中的经典例子

1.分赌本问题

A、B 二人赌博，各出注金a 元，每局个人获胜概率都是2/1，约定：谁先胜S 局，即赢得全部注金a 2元，现进行到A 胜1S 局、B 胜2S 局(1S 与2S 都小于S )时赌博因故停止，问此时注金a 2应如何分配给A 和B 才算公平？此问题文字上最早见于1494年帕西奥利的一本著作，是对6=S ，51=S 和22=S 的情况。

由于对“公平分配”一词的意义没有一个公认的正确理解，在早期文献中出现过关于此问题的种种不同的解法，如今看来都不正确。例如，帕西奥利本人提出按2:S S 1的比例分配。塔泰格利亚则在1556年怀疑找到一种数学解法的可能性，他认为这是一个应由法官来解决的问题，但他也提出了如下的解法：若2S S 1>，则A 取回自己下的注a ,并取走B 下的注的S S S 1/)(2-，这等于按)(:)(22S S S S S S 11+--+的比例瓜分注金。法雷斯泰尼在1603年根据某种理由，提出按)12(:)12(22S S S S S S 11+---+-的比例分配。卡丹诺在其1539年的著作中，通过较深的推理提出了一种解法：记1S S r -=1，22S S r -=。把注金按)1(22+r r ：)1(11+r r 之比分给A 和B。他这个解法如今看来虽然仍不正确，但有一个重要之点，即他注意到起作用的是1S ,2S 与S 的差距，而不在其本身。

这个问题的症结在于：他关乎各人在当时状况下的期望值。从以上这些五花八门的解法，似乎可以认为，这些作者已多少意识到这一点，但未能明确期望与概率的关系。而此处有关的是：假定赌博继续进行下去，各人最终取胜的概率。循着这个想法问题很易解决：至多再赌121-+=r r r 局，即能分出胜负。为A 获胜，他在这r 局中至少须胜1r 局。因此按二项

分布，A 取胜的概率为

r r r i A i r p -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21，而B 取胜的概率为1B A p p =-。注金按B A p p :之比分配给A 和B，因A ap 2和B ap 2是A、B 在当时状态下的期望值。这个解是巴斯噶

（B.Pascal,1623～1662）在1654年提出的。他用了两种方法，其一是递推公式法，其二是用“巴斯噶三角”（即杨辉三角）。1710年，蒙特姆特在一封信中给出了我们在前面写出的解法，且不必规定二人的获胜概率相同。后来他又把此问题推广到多个赌徒的情形。分赌本问题在概率史上起的作用，在于通过这个在当时来说较复杂的问题的探索，对数学期望及其与概率的关系，有了启示。有的解法，特别是巴斯噶的解法，使用或隐含了若干直到现在还广为使用的计算概率的工具。如组合法、递推公式、条件概率和全概率公式等。可以说，通过对这个问题的研究，概率计算从初期简单计数步入较为精细的阶段。

巴斯噶与费尔马(P.de Fermat，1601～1665)的名字，对学习过中学以上数学的人来说，想必不陌生。巴斯噶三角，在我国称杨辉三角，中学教科书中已有提及。至于费尔马，因其

“费尔马大定理”(不存在整数0,,,≠xyx z y x 和整数3≥n ，使n n n z y x =+)于近年得

到证明，名声更远播数学圈子之外。费尔马在数学上的名声主要因其数论方面的工作，其在概率史上占到一席地位，多少有些出乎偶然——由于他与巴斯噶在1654年7～10月间来往的7封信件，其中巴致费的有3封。

这几封信全是讨论具体的赌博问题。与前人一样，他们用计算等可能的有利与不利情况数，作为计算“机遇数”即概率的方法(他们没有使用概率这个名称。与前人相比，他们在方法的精细和复杂性方面大大前进了。他们广泛使用组合工具和递推公式，初等概率一些基本规律也都用上了。他们引进了赌博的值(value)的概念，值等于赌注乘以获胜概率。3年后，惠更斯改“值”为“期望”(expectation)这就是概率论的最重要概念之一——(数学)期望的形成和命名过程。前文已指出：此概念在更早的作者中已酝酿了一段时间。这些通信中讨论的一个重要问题之一是分赌本问题，还讨论了更复杂的输光问题：甲、乙二人各有赌本a 和b 元(a、b 为正整数)，每局输赢1元，要计算各人输光的概率。这个问题拿现

在的标准看也有相当的难度。由此也可看出这组通信达到的水平及其在概率论发展史上的重要性。有的学者，如丹麦概率学者哈尔德，认为巴、费2人在1654年的这些信件奠定了概率论的基础。这话有相当的道理，但也应指出，这些通信的内容是讨论具体问题，没有提炼出并明确陈述概率运算的原则性内容。例如，他们视为当然地使用了概率加法和乘法定理。但未将其作为一般原则凸现出来。

促使巴、费2人进行这段通信的，是一个名叫德梅尔的人，他曾向巴斯噶请教几个有关赌博的问题。1564年7月29日巴斯噶首先给费尔马写信，转达了这些问题之一，请费尔马解决。所提问题并不难，但不知何以巴斯噶未亲自回答：将两颗骰子掷24次，至少掷出

一个“双6”的机遇小于2/1（其值为4914.0)36/35(124≈-）。但从另一方面看，投两个骰

子只有36种等可能结果，而24占了36的3/2，这似乎有矛盾，如何解释。现今学过初等概率论的读者都必能毫无困难地回答这个问题。

巴、费通信中涉及的有关分赌本问题的解法，包含了一些在当时看很先进且直到现在仍广为使用的想法和技巧，值得一述。

以1r 和2r 分别记为取得胜利，A、B 尚须赢得的赌局数。巴斯噶认识到，注金的公正分配只应与1r 和2r 有关。因为若赌博继续下去，A(或B)最终取胜的概率，只与1r 和2r 有关。记此概率为),(21r r e ，则有边界条件：

1),0(2=r e ，当02>r ；0)0,(1=r e ，当01>r ；

21),(=a a e ，（1）

且成立递推公式[]121212(1,)(,1)(,)2

e r r e r r e r r -+-=.（2）

巴斯噶在此用了全概率公式，即考虑若再赌一局，有“A 胜”、“B 胜”两种可能。巴斯噶由(1)、

(2)出发，依次算出)1,2(e ,)2,1(e ,)1,3(e ,)3,1(e ,)2,3(e ,)3,2(e ,…，对其值进行观察，综合出一般解的形式：2121211(1)120(,)2r r r r r i i e r r C -+--+-==∑.（3）

为了证明，先验证(3)适合边界条件(1)，这并不难。巴斯噶用归纳法证明(3)适合(2)，也很容易，读者可以一试。

费尔马的解法有所不同，不妨设21r r <。为A 最终取胜,所再赌的局数可能为1r ,11+r ,…，121-+r r (完备事件群)，期间B 取胜的局数1,,1,02-=r i 。若B 胜i 局，则到A 最终取胜止再赌了i r +1局，其中前11-+i r 局中A 胜11-r 局，而第i r +1局为A 胜。这事件的概率为

)(111)1(11111111222i r i r

r i r i r

r C C +--+---+--+-=⋅.

在得到这一结果时已用到了二项式定理及概率乘法定理。对1,,1,02-=r i 相加，得(3)。

∑-=+--+-=10)(112121112

),(r i i r i r

r C r r e .（4）

这里隐含了使用概率加法定理。由以上可以看出，巴、费二人在当时已了解并使用了我们现今初等概率计算中得主要工具。（3）、（4）两个解在形式上很不一样，但不难由一个化到另一个，这一工作留给读者。