数学知识点人教A版数学必修二《直线与圆的位置关系》学案-总结

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人教A版高中数学必修二直线与圆位置关系教案说课稿

关于直线与圆的位置关系说课稿各位老师你们好！今天我要为大家讲的课题是直线与圆的位置关系。

接下来我将从教材分析、教学策略、学情分析、教学程序及设想这四个方面来进行演讲。

一．教材分析1．教材的地位与作用“直线与圆的位置关系”这节课的教材是高中数学2第四章第二节的内容，它是学生在已经掌握“圆的概念性质”和“点和圆的位置关系”的基础上，进一步学习直线与圆的各种不同的位置关系。

它是在学生在已获得一定的探究方法的基础上的进一步深化。

这一节的内容不仅是在“圆与方程”一章中重要的一种位置关系，同时也是培养同学们的空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，为今后的课程学习打下良好基础。

2．教学目标（1）知识目标：掌握直线和圆的几种位置关系，熟练掌握判断位置关系的两种方法。

判断直线到圆心距离与圆半径的大小关系法和求解个数法。

（2）能力目标：通过教学初步培养学生分析问题，解决实际问题，读图分析、收集处理信息、团结协作、语言表达的能力，以及通过师生双边活动，初步培养学生运用知识的能力，培养学生加强理论联系实际的能力。

（3）情感目标培养学生自主学习的能力，让同学主动去探究问题的本质，唤醒学生的主体意识，使学生获得积极的情感体验。

抓住探究的好奇心理，主动学习的心理素质，通过理论联系实际的方式，通过知识的应用，培养学生唯物主义的思想观点。

3．教材的重点与难点教学重点：掌握直线和圆的几种位置关系，学会判定直线与圆的位置关系的两种方法：（1）直线到圆心距离与圆半径的大小关系，写出判定直线与圆的位置关系。

（2）通过解直线与圆方程组成的方程，根据解的个数，写出判定直线与圆的位置关系。

教学难点：位置关系《=》大小关系式《=》解的个数4．教材处理教学如何提示知识的发生过程？即它们是如何被提出的、发现的，是如何被抽象、概括的，是如何被猜测、判断的……在这一系列的思维活动中，蕴含了极其丰富的思维因素与价值。

二．教学策略㈠教学手段：如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标。

(完整版)学生版高中数学必修2直线和圆的位置关系知识点总结经典例题和习题

高中数学必修2直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）（2）圆的标准方程：；圆心),(b a圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心，半径为；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外； ②P 在在圆C 内； ③P 在在圆C 【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离；相切；相交；注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离； ②两圆外切； ③两圆相交； ④两圆内切 ⑤两圆内含；（五）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。

人教A版高中数学必修二直线与圆的位置关系教案

4.2.1 直线与圆的位置关系学习目标：知识与技能目标：（1）理解直线与圆三种位置关系．（2）掌握用圆心到直线的距离d与圆的半径r比较，以及通过方程组解的个数判断直线与圆位置关系的方法．过程与方法目标：（1）通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式．（2）强化学生用坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．情感、态度与价值观目标：通过对本节课知识的探究活动，加深学生对坐标法解决几何问题的认识，从而领悟其中所蕴涵的数学思想，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神．教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.教学难点:用坐标法判断直线与圆的位置关系.教学过程：= 0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.分析：方法一：由直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系.6．通过学习教科书的例1，你能总结一下判断直线与圆的位置关系的步骤吗？例 2 已知过点M (–3，–3)的直线l被圆x2 + y2+ 4y–21 = 0所截得的弦长为45，求直线l的方程.= 1＞0所以，直线l与圆相交，有两个公共点.解法二：圆x2 + y2–2y– 4 = 0可化为x2 + (y– 1)2 =5，其圆心C的坐标为（0，1），半径长为5，点C (0，1)到直线l的距离d =22|3016|51031⨯+-=+＜5.所以，直线l与圆相交，有两个公共点.由x2–3x + 2 = 0，解得x1 =2，x2 = 1.把x1=2代入方程①，得y1= 0；把x2=1代入方程①，得y2= 0；所以，直线l与圆有两个交点，它们的坐标分别是A (2，0)，B (1，3).生：阅读例1.师：分析例1，并展示解答过程；启发学生概括判断直线与圆的位置关系的基本步骤，注意给学生留有总结思考的时间.生：交流自己总结的步骤.师：展示解题步骤.例2 解：将圆的方程写成标准形式，得x2 + (y2 + 2)2 =25，所以，圆心的坐标是(0，–2)，半径长r =5.熟悉判断直线与圆的位置关系的基本步骤.如图，因为直线l 的距离为45，所以弦心距为22455()52-=，即圆心到所求直线l 的距离为5.因为直线l 过点M (–3，–3)，所以可设所求直线l 的方程为y + 3 = k (x + 3)，即k x – y + 3k –3 = 0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离d =2|233|1k k +-+.因此，2|233|51k k +-=+，即|3k – 1| =255k +，两边平方，并整理得到 2k 2 –3k –2 = 0，解得k =12，或k =2. 所以，所求直线l 有两条，它们的方程分别为y + 3 =12-(x + 3)，或y + 3 = 2(x + 3).即x +2y = 0，或2x – y + 3 = 0.。

人教A版高中数学必修二第四章直线、圆的位置关系教案新

∵圆心在公共弦所在直线上，
∴ ，解得 .
故所求圆的方程 .
点评：圆系方程经过交点的圆方程为经过
与交点的圆系方程为：
例3求过点且与圆切于原点的圆的方程．
变式题1：求过直线x+y+ 4 = 0与圆x2+y2+ 4x– 2y– 4 = 0的交点且与y=x相切的圆的方程.
解：设所求的圆的方程为x2+y2+ 4x– 2y– 4 + (x+y+ 4) = 0.
（1）你能说出判断圆与圆的位置关系的两种方法吗？
方法一：利用圆与圆的交点个数；方法二：利用圆心距d与半径之间的关系.
（2）如何用圆与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？
（3）若将两个圆的方程相减，你发现了什么？
六、探究新知
1、两个圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含.
2、判断两圆位置关系的方法：
学员编号：年级：时数：3
学员姓名：辅导科目：学科教师：
课题
直线、圆的位置关系
授课日期及时段
教学目的
1、理解直线与圆的位置的种类、圆与圆的位置的种类；
2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，两点间的距离公式求两圆的圆心距；
3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.毛
教学内容
4、课堂小结：
思考：
（1）通过直线与圆的位置关系的判断，你学到了什么？
（2）判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？
（3）如何求出直线与圆的相交弦长？
5、复习引入：
1.问题情境：
（1）初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？
（2）在初中，我们怎样判断圆与圆的位置关系呢？

人教A版高中数学必修二《4.2.1直线与圆的位置关系》教案

直线与圆的位置关系教案一、教学目标1、知识与技能（1）理解直线与圆的位置的种类；（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；（3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．2、过程与方法设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；3、情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想．二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．四、教学过程设计复习提问：1、点与圆有几种位置关系？2、若将点改成直线，那么直线与圆的位置关系又如何呢？1、直线与圆的位置关系：观察右边的三个图形：直线与圆分别有多少个公共点？1、如图1，直线与圆_______公共点，那么这条直线与圆_________.2、如图2，直线与圆有______公共点时，那么直线与圆________.此时，这条直线叫做圆的_______，这个公共点叫做_______.3、如图3，直线与圆有_______公共点时，那么直线与圆________.此时，这条直线叫做________.二、学生动手画出圆心到直线的距离d 与半径r 比较，得出结论：1、当d>r 时，直线与圆相离；2、当d=r 时，直线与圆相切；3、当d<r 时，直线与圆相交 .归纳与小结：三、例题讲解例1 ：如图，已知直线L:063=-+y x 和圆心为C 的圆04222=--+y y x ,.O a b.A .O c . F .E.O判断直线L 与圆的位置关系；如果相交，求它们交点的坐标.解法一：圆04222=--+y y x 可化为5)1(22=-+y x . 其圆心C的坐标为（0，1），半径长为5 ，点C （0，1）到直线L 的距离所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．解法二：由直线 l 与圆的方程，得：消去y ，得：所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点．所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：A （2，0），B （1，3）四、课堂小结直线与圆的位置关系的判断方法有两种：①代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即⊿＞０，则相交；若有两组相同的实数解，即⊿＝０，则相切；若无实数解，即⊿＜０，则相离． ②几何法：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断：当d<r 时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离．五、课堂练习 1.判断直线与圆的位置关系. 510513|6103|22<=+-+⨯=d 214)3(2⨯⨯--=∆由，解得： 0232=+-x x 1,221==x x 把代入方程①，得； ,221==x x 01=y 把代入方程① ，得．1,221==x x 32=y 0243=++y x 0222=-+x y x .04222=--+y y x2.已知直线，圆C：试判断直线l与圆C有无公共点，有几个公共点.六、课后练习试解本节引言中的问题.七、课后作业习题4.2 A组1、3、5八、板书设计在教学中我把黑板分为三部分，把知识要点写在左侧，中间多媒体展示，右边实例应用.yl:+6=x。

人教A版高中数学必修2 4.2.1直线与圆的位置关系(教学设计)

人教A版高中数学必修2课题：4.2.1直线与圆的位置关系【教材分析】《直线、圆的位置关系》是圆与方程这一章的重要内容。

它是学生在初中平面几何中已学过直线与圆的三种位置关系，以及在前面几节学习了直线与圆的方程的基础上，从代数角度，运用解析法进一步研究直线与圆的位置关系，它既是对圆的方程的应用和拓展，又是研究圆和圆的位置关系的基础，并且为后续研究直线和圆锥曲线的位置关系奠定思想基础，具有承上启下的作用。

【学生学情分析】在初中，学生已经直观的讨论过直线与圆的位置关系,前阶段又学习了直线方程和圆的方程。

本节课主要以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，让学生利用已有的知识，探究直线与圆的位置关系的判断方法。

通过学生参与问题的解决，让学生体验有关的数学思想，培养“数形结合”的意识。

【教学目标】（一）知识与技能：理解直线与圆三种位置关系；能根据直线、圆的方程，用代数法和几何法判断直线与圆位置关系；掌握直线和圆的位置关系判定的应用，会求弦长.（二）方法与过程：通过对直线与圆的位置关系的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、合作交流的学习方式；强化学生用解析法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力．（三）情感态度与价值观：让学生亲生经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣，感受“方程思想”、“数形结合”等数学思想的内涵，养成良好的思维习惯.【教学重点与难点】重点：直线与圆的位置关系的判断方法.难点：灵活的运用“数形结合”解决直线和圆相关的问题．【课型】新课【课时安排】1节课【教法、学法指导、教学手段】教法“引导-探究”教学法、“命名”教学法、“题组”教学法；学法：观察发现、自主探究、合作交流、变式学习、归纳总结、应用提高;教学手段：多媒体教学【教学准备】学生学情，课件、教学设计，学生课堂练习题；彩色粉笔，翻页笔。

间的位置关系呢？方法一：可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的方法二，由直线l(–问题6过点M【板书设计】有两个公共点直线和圆相交有惟一公共点直线和圆相切直线和圆相离。

人教版高中数学必修二 4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案+课时训练

人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用学案【学习目标】1．掌握圆与圆的位置关系及判定方法．(重点、易错点)2．能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题．1．几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d＜|r1－r2| ⎭⎬⎫圆C1方程圆C2方程――→消元一元二次方程⎩⎨⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[思考辨析学练结合]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．内切D．外切[解析]两圆x2＋y2＝9和x2＋y2－8x＋6y＋9＝0的圆心分别为(0,0)和(4，－3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d＝42＋(－3)2＝5.又4－3<5<3＋4，故两圆相交．[答案] B知识点2 直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题．用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”[思考辨析学练结合]一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A．1.4米B．3.5米C．3.6米D．2米[解析]建立如图所示的平面直角坐标系．如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)．半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62，∴h＝40.77≈3.5(米)．[答案] B【合作探究析疑解难】考点1 圆与圆位置关系的判定[典例1] 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？[分析]求圆C1的半径r1→求圆C2的半径r2→求|C1C2|→利用|C1C2|与|r1－r2|和r1＋r2的关系求k[解答]将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝50－k(k＜50)．从而|C1C2|＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，50－k＝6，k＝14时，两圆内切．当|r2－r1|＜|C1C2|＜r2＋r1，即14＜k＜34时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即0≤k＜14或34＜k＜50时，两圆相离．1．判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．2．应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．[解]圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C 1(a,1)，C 2(2a,1)，半径r 1＝4，r 2＝1.∴|C 1C 2|＝(a －2a )2＋(1－1)2＝a .(1)当|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝5，即a ＝5时，两圆外切；当|C 1C 2|＝r 1－r 2＝3，即a ＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C 1C 2|＜5，即3＜a ＜5时，两圆相交．(3)当|C 1C 2|＞5，即a ＞5时，两圆外离．(4)当|C 1C 2|＜3，即a ＜3时，两圆内含．考点2 两圆相交有关问题[典例2] 求圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的公共弦所在直线被圆C 3：(x －1)2＋(y －1)2＝254所截得的弦长． [分析] 联立圆C 1、C 2的方程――→作差得公共弦所在的直线―→圆心C 3到公共弦的距离d ―→圆的半径r ―→弦长＝2r 2－d 2[解答] 设两圆的交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标是方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的解，两式相减得x ＋y －1＝0.因为A ，B 两点的坐标满足 x ＋y －1＝0，所以AB 所在直线方程为x ＋y －1＝0，即C 1，C 2的公共弦所在直线方程为x ＋y －1＝0，圆C 3的圆心为(1,1)，其到直线AB 的距离d ＝12，由条件知r 2－d 2＝254－12＝234，所以直线AB 被圆C 3截得弦长为2×232＝23.1．圆系方程一般地过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．[解] 联立两圆的方程得方程组⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点满足方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝－4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝(－4－0)2＋(0－2)2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－2×(－5)＋4|1＋(－2)2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.考点3 直线与圆的方程的应用探究1 设村庄外围所在曲线的方程可用(x －2)2＋(y ＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？[分析]从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆的半径2，即|2＋3＋2|12＋(－1)2－2＝722－2.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间．[分析]如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动．则点B到AC的距离为202千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2302－(202)2＝20(千米)．所以B城市处于危险区内的时间为t＝2020＝1(小时)．[典例3] 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图4-2-1)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km 到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．图4-2-1[分析]建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解．[解答]以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为x8＋y8＝1，即x＋y＝8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离．此时DE长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[方法总结]解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤[跟踪练习]3．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？[解] 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为x7＋y4＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到航线4x＋7y－28＝0的距离d＝|－28|42＋72＝2865，而半径r＝3，∴d＞r，∴直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响．【学习检测巩固提高】1．已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝25，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是()A．(x－3)2＋(y－5)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋1)2＝25C．(x－1)2＋(y－4)2＝25 D．(x－3)2＋(y＋2)2＝25[解析]设⊙C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4－x,2－y)在⊙C1上，∴(x－5)2＋(y＋1)2＝25.[答案] B2．一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过()A．1.4 m B．3.5 m C．3.6 m D．2.0 m [解析]圆半径OA＝3.6，卡车宽1.6，所以AB＝0.8，所以弦心距OB＝ 3.62－0.82≈3.5(m)．[答案] B3．圆x2＋y2＋6x－7＝0和圆x2＋y2＋6y－27＝0的位置关系是__相交__.[解析]圆x2＋y2＋6x－7＝0的圆心为O1(－3,0)，半径r1＝4，圆x2＋y2＋6y－27＝0的圆心为O 2(0，－3)，半径为r 2＝6，∴|O 1O 2|＝(－3－0)2＋(0＋3)2＝32，∴r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．4．已知实数x 、y 满足x 2＋y 2＝1，则y ＋2x ＋1的取值范围为__ [34，＋∞) __. [解析] 如右图所示，设P (x ，y )是圆x 2＋y 2＝1上的点，则y ＋2x ＋1表示过P (x ，y )和Q (－1，－2)两点的直线PQ 的斜率，过点Q 作圆的两条切线QA ，QB ，由图可知QB ⊥x 轴，k QB 不存在，且k QP ≥k QA .设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由圆心到QA 的距离为1，得|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.所以y ＋2x ＋1的取值范围是[34，＋∞)． 5．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程.[解析] 解法一：联立两圆方程⎩⎨⎧ x 2＋y 2－12x －2y －13＝0x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，联立得两圆交点坐标(－1,2)、(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为12(5＋1)2＋(－6－2)2＝5. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)．可求得圆心C (－12λ－122(1＋λ)，－16λ－22(1＋λ))． ∵圆心C 在公共弦所在直线上，∴4·－(12λ－12)2(1＋λ)＋3·－(16λ－2)2(1＋λ)－2＝0，解得λ＝12.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.2圆与圆的位置关系课时检测一、选择题1．圆x 2＋y 2－2x －5＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A 、B ，则线段AB 的垂直平分线方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0[解析] 解法一：线段AB 的中垂线即两圆的连心线所在直线l ，由圆心C 1(1,0)，C 2(－1,2)，得l 方程为x ＋y －1＝0.解法二：直线AB 的方程为：4x －4y ＋1＝0，因此线段AB 的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1,0)，方程为y ＝－(x －1)，故选A ．[答案] A2．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( )A ．外离B ．相交C ．外切D ．内切[解析] 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2；1＝r 2－r 1＜|O 1O 2|＝5＜r 1＋r 2＝3，即两圆相交．[答案] B3．若圆(x －a )2＋(y －b )2＝b 2＋1始终平分圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4的周长，则a 、b应满足的关系式是()A．a2－2a－2b－3＝0 B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0 D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0[解析]利用公共弦始终经过圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心即可求得．两圆的公共弦所在直线方程为：(2a＋2)x＋(2b＋2)y－a2－1＝0，它过圆心(－1，－1)，代入得a2＋2a＋2b＋5＝0.[答案] B4．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程是()A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25 B．(x－5)2＋(y＋7)2＝9C．(x－5)2＋(y＋7)2＝15 D．(x＋5)2＋(y－7)2＝25[解析]设动圆圆心为P(x，y)，则(x－5)2＋(y＋7)2＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25.[答案] A5．两圆x2＋y2＝16与(x－4)2＋(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝()A．5B．4C．3D．2 2 [解析]设一个交点P(x0，y0)，则x20＋y20＝16，(x0－4)2＋(y0＋3)2＝r2，∴r2＝41－8x0＋6y0，∵两切线互相垂直，∴y0x0·y0＋3x0－4＝－1，∴3y0－4x0＝－16.∴r2＝41＋2(3y0－4x0)＝9，∴r＝3.[答案] C6．半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x－3)2＋y2＝1内切，则此圆的方程为()A．(x－6)2＋(y－4)2＝6 B．(x－6)2＋(y±4)2＝6C．(x－6)2＋(y－4)2＝36 D．(x－6)2＋(y±4)2＝36[解析]半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a＝6，再由b2＋32＝5可以解得b＝±4，故所求圆的方程为(x－6)2＋(y±4)2＝36.7．已知M 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝1上的点，N 是圆C ′：(x －4)2＋(y －4)2＝82上的点，则|MN |的最小值为( )A ．4B ．42－1C ．22－2D ．2[解析] ∵|CC ′|＝5＜R －r ＝7，∴圆C 内含于圆C ′，则|MN |的最小值为R －|CC ′|－r ＝2.[答案] D8．过圆x 2＋y 2＝4外一点M (4，－1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为( )A ．4x －y －4＝0B ．4x ＋y －4＝0C ．4x ＋y ＋4＝0D ．4x －y ＋4＝0[解析] 以线段OM 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋y ＝0，经过两切点的直线就是两圆的公共弦所在的直线，将两圆的方程相减得4x －y －4＝0，这就是经过两切点的直线方程．[答案] A9．已知两圆相交于两点A (1,3)，B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．0 [解析] 两点A ，B 关于直线x －y ＋c ＝0对称，k AB ＝－4m －1＝－1. ∴m ＝5，线段AB 的中点(3,1)在直线x －y ＋c ＝0上，∴c ＝－2，∴m ＋c ＝3.[答案] C10．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离[解析] 由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2.圆M 、圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交．二、填空题11．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝.[解析]两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y＝1a，圆心(0,0)到直线y＝1a的距离d＝|1a|，于是由(232)2＋|1a|2＝22，解得a＝1.[答案] 112．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为________.[解析]C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由题意得|C1C2|＝5，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.[答案]2或－513．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是.[解析]∵点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，∴a2＋b2＝4.又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，半径r1＝1，圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a,0)，半径r2＝1，则d＝|C1C2|＝a2＋b2＝4＝2，∴d＝r1＋r2.∴两圆外切．[答案]外切14．与直线x＋y－2＝0和圆x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是.[解析]已知圆的标准方程为(x－6)2＋(y－6)2＝18，则过圆心(6,6)且与直线x＋y －2＝0垂直的方程为x－y＝0.方程x－y＝0分别与直线x＋y－2＝0和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(－3，－3)．由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为2，即圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.[答案](x－2)2＋(y－2)2＝215．判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0；(3)C1：x2＋y2－4x－6y＋9＝0，C2：x2＋y2＋12x＋6y－19＝0；(4)C1：x2＋y2＋2x－2y－2＝0，C2：x2＋y2－4x－6y－3＝0. [解析](1)∵C1：(x－1)2＋y2＝4，C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝2.∴圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2，－1)，半径r2＝2，d＝|C1C2|＝(2－1)2＋(－1)2＝ 2.∵r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－2，∴r1－r2<d<r1＋r2，两圆相交．(2)∵C1：x2＋(y－1)2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，∴圆C1的圆心坐标为(0,1)，r1＝1，圆C2的圆心坐标为(3，0)，r2＝3，d＝|C1C2|＝3＋1＝2.∵r2－r1＝2，∴d＝r2－r1，两圆内切．(3)∵C1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝64.∴圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(－6，－3)，半径r2＝8，∴|C1C2|＝(2＋6)2＋(3＋3)2＝10＝r1＋r2，∴两圆外切．(4)C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－3)2＝16，∴圆C1的圆心坐标为(－1,1)，半径r1＝2，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r2＝4，∴|C1C2|＝(2＋1)2＋(3－1)2＝13.∵|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．16．求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则有(a ＋1)2＋(a －4－3)2 ＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－72－32＝892. 故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0. 法二：∵圆x 2＋y 2＋6y －28＝0的圆心(0，－3)不在直线x －y －4＝0上，故可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.17．已知圆M ：x 2＋y 2－2mx －2ny ＋m 2－1＝0与圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周，求圆心M 的轨迹方程.[解析] 两圆方程相减，得公共弦AB 所在的直线方程为2(m ＋1)x ＋2(n ＋1)y －m 2－1＝0，由于A 、B 两点平分圆N 的圆周，所以A 、B 为圆N 直径的两个端点，即直线AB 过圆N 的圆心N ，而N (－1，－1)，所以－2(m ＋1)－2(n ＋1)－m 2－1＝0，即m 2＋2m ＋2n ＋5＝0，即(m ＋1)2＝－2(n ＋2)(n ≤－2)，由于圆M 的圆心M (m ，n )，从而可知圆心M 的轨迹方程为(x ＋1)2＝－2(y ＋2)(y ≤－2)．18．已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0.(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255.人教版高中数学必修二第4章圆与方程4.2 直线、圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用课时检测一、选择题1．已知实数x、y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0，则x2＋y2的最小值是() A．30－105B．5－5C．5D．25[解析]x2＋y2为圆上一点到原点的距离．圆心到原点的距离d＝5，半径为5，所以最小值为(5－5)2＝30－10 5.[答案] A2．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB 的垂直平分线方程为()A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0[解析]所求直线即两圆圆心(1,0)、(－1,2)连线所在直线，故由y－02－0＝x－1－1－1，得x＋y－1＝0.[答案] A3．方程y＝－4－x2对应的曲线是()[解析]由方程y＝－4－x2得x2＋y2＝4(y≤0)，它表示的图形是圆x2＋y2＝4在x轴上和以下的部分．[答案] A4．y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4所围成的较小的面积是()A．π4B．3π4C．3π2D．π[解析]数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的1 4.[答案] D5．方程1－x2＝x＋k有惟一解，则实数k的范围是()A．k＝－2B．k∈(－2，2)C．k∈[－1,1)D．k＝2或－1≤k<1[解析]由题意知，直线y＝x＋k与半圆x2＋y2＝1(y≥0只有一个交点．结合图形易得－1≤k<1或k＝ 2.[答案] D6．点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，直线P A、PB分别与圆x2＋y2＝4相切于A、B两点，则四边形P AOB(O为坐标原点)的面积的最小值等于()A ．24B ．16C ．8D ．4[解析] ∵四边形P AOB 的面积S ＝2×12|P A |×|OA |＝2OP 2－OA 2＝2OP 2－4，∴当直线OP 垂直直线2x ＋y ＋10＝0时，其面积S 最小．[答案] C7．已知圆C 的方程是x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．9B ．14C ．14－65D ．14＋6 5[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，圆心为C (－2,1)，半径为3.|OC |＝5，圆上一点(x ，y )到原点的距离的最大值为3＋5，x 2＋y 2表示圆上的一点(x ，y )到原点的距离的平方，最大值为(3＋5)2＝14＋6 5.[答案] D8．对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线l 1：ax ＋3y ＋6＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2＋2x ＝b 2－1(b >0)的位置关系是“平行相交”，则实数b 的取值范围为( )A ．(2，322)B ．(0，322)C ．(0，2)D ．(2，322)∪(322，＋∞)[解析] 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝b 2.由两直线平行，可得a (a ＋1)－6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.当a ＝2时，直线l 1与l 2重合，舍去；当a ＝－3时，l 1：x －y －2＝0，l 2：x －y ＋3＝0.由l 1与圆C 相切，得b ＝|－1－2|2＝322，由l 2与圆C 相切，得b ＝|－1＋3|2＝ 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时，b < 2.所以，当l 1、l 2与圆C “平行相交”时，b 满足⎩⎨⎧ b ≥2b ≠2，b ≠322，故实数b 的取值范围是(2，322)∪(322，＋∞)．[答案] D9．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A．106B．206C．306D．40 6 [解析]圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为252－12＝46，所以四边形ABCD的面积为12×AC×BD＝12×10×46＝20 6.[答案] B10．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A．4π5B．3π4C．(6－25)πD．5π4[解析]原点O到直线2x＋y－4＝0的距离为d，则d＝45，点C到直线2x＋y－4＝0的距离是圆的半径r，由题知C是AB的中点，又以斜边为直径的圆过直角顶点，则在直角△AOB中，圆C过原点O，即|OC|＝r，所以2r≥d，所以r最小为25，面积最小为4π5，故选A．[答案] A二、填空题11．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB 的方程是________．[解析] 过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2＋y2－10－[(x－1)2＋(y－3)2－20]＝0，即x＋3y＝0.[答案]x＋3y＝012．已知M＝{(x，y)|y＝9－x2，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠∅，则实数b的取值范围是.[解析] 数形结合法，注意y ＝9－x 2，y ≠0等价于x 2＋y 2＝9(y ＞0)，它表示的图形是圆x 2＋y 2＝9在x 轴之上的部分(如图所示)．结合图形不难求得，当－3＜b ≤32时，直线y ＝x ＋b 与半圆x 2＋y 2＝9(y ＞0)有公共点．[答案] (－3,32]13．某公司有A 、B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和2 2 km ，且A 、B 景点间相距2 km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设于 .[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点，以小路所在直线为x 轴，过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系．由题意，得A (2，2)、B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2.由A 、B 在圆上，得⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2，或⎩⎨⎧a ＝42b ＝52，由实际意义知⎩⎨⎧ a ＝0b ＝2.∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)，∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．[答案] B 景点在小路的投影处14．设集合A ＝{(x ，y )|(x －4)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|(x －t )2＋(y －at ＋2)2＝1}，若存在实数t ，使得A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是 .[解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合，即A 、B 表示两个圆，A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点)，由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径之和2，即(t －4)2＋(at －2)2≤2，整理成关于t 的不等式：(a 2＋1)t 2－4(a ＋2)t ＋16≤0，据题意此不等式有实解，因此其判别式不小于零，即Δ＝16(a ＋2)2－4(a 2＋1)×16≥0，解得0≤a ≤43. [答案] [0，43]三、解答题15．为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点，过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，因为点B (8,0)、C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y 8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE 为最短距离，此时DE 的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1)km. 16．某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36 m ，拱高OP 是6 m ，在建造时，每隔3 m 需用一个支柱支撑，求支柱A 2P 2的长．(精确到0.01 m)[解析] 如图，以线段AB 所在的直线为x 轴，线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么点A 、B 、P 的坐标分别为(－18,0)、(18,0)、(0,6)．设圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为A 、B 、P 在此圆上，故有⎩⎨⎧ 182－18D ＋F ＝0182＋18D ＋F ＝062＋6E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝0E ＝48F ＝－324.故圆拱所在的圆的方程是x 2＋y 2＋48y －324＝0.将点P 2的横坐标x ＝6代入上式，解得y ＝－24＋12 6.答：支柱A 2P 2的长约为126－24 m.17．如图，已知一艘海监船O 上配有雷达，其监测范围是半径为25 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)[解析]如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：x40＋y30＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝|－120|5＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝2252－24228＝12(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5 h.18．已知隧道的截面是半径为4.0 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m、高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？[解析]以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为：x2＋y2＝16(y≥0)．将x＝2.7代入，得y＝16－2.72＝8.71<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，货车不能驶入这个隧道．将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝16－a2.所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为16－a2m.。

人教版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案

直线与圆的位置关系人教版高中数学必修二直线与圆的位置关系一、教学理念1.以学生为主体，从实际问题出发，通过建模解模，培养学生解决实际问题的能力。

2.在集合论系统以及两点距离背景下“探寻”直线与圆的位置关系的判断方法，还原问题的本源，即“在已走道路上探寻为何是这样走”。

3.在问题解决的过程中，触发学生的“最近发展区”，并遵循学生的思维。

二、教材分析教材在内容的编排上，采用了模块化、螺旋上升的方式，学生在初中阶段已经接触过直线与圆的位置关系，在必修二刚刚又学习了直线与圆的方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系等内容，因此本节课是对已学内容的深化何延伸；另一方面，本节课对于后面学习直线与圆锥曲线的位置关系等内容又是一个铺垫，具有承上启下的地位。

三、学情分析学生在初中阶段学习了直线与圆的位置关系的几何判断方法（d与r的关系），对其位置关系有一定的感性认识，但对于“为何要研究圆心到直线的距离”的理论认识是缺乏的。

本节课是在初中知识的基础上，探索利用直线和圆的方程来判断它们的位置关系的方法。

四、教学目标1、知识与技能：掌握直线与圆的三种位置关系；熟练掌握判断位置关系的两种方法；能够解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题。

2、过程与方法：学生经历将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题，不断体会“数形结合”、“转化”和“由特殊到一般”的数学思想方法；在教师引导下，从集合论以及距离角度重新构建直线与圆的位置关系的判断方法的由来。

3、情感、态度与价值观：通过直线与圆位置关系的相关知识的深入研究，培养学生探究精神和创新意识，感受与体会数学的魅力，激发学习数学的热情。

五、教学重点、难点1、教学重点：利用方程判断直线和圆的位置关系的方法。

2、教学难点：从集合论和“距离”视角重新认识直线与圆的位置关系；直线和圆的位置关系的判断方法的运用。

高考数学一轮复习人教A必修2精品学案2直线与圆的位置关系

.
（2）Δ=0
.
（3）Δ<0
.
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比较这两种方法，第一种方法从“形”的角度考虑，比较简单；第二种方法从“数”的角度也就是用代数的方法去考虑，这种方法在以后我们研究直线与圆锥曲线的位置关系时会经常用到，但在解有关圆的问题时，会比较麻烦，计算量较大，不宜采用. 因此,我们常用第一种方法，利用平面几何知识，这样可以大大地简化思维过程和解题过程.
【评析】虽然有关求弦长的方法很多，但首先要考虑半径、弦长、弦心距之间的关系以及采用数形结合的思想方法，这样可以获得比较直观、简捷的解法.
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直线经过点P(5,5)且和圆C：x2+y2=25相交，截得弦长为
4 5，求l的方程.
当l的斜率不存在时，方程是x=5,与圆C相切，
∴l的斜率必存在，设为k，则l的方程是kx-y-5k+5=0,
,
E) 到直线x-y=0的距离为
2
|

D 2
2
E 2
|
,

|

D

E
|
2

由已知，得 2 2 ( 7 )2 =r2,

2

即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F)
⑤
又圆心在直线3x-y=0上， ∴3D-E=0 ⑥
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联立④⑤⑥解得 D=-2,E=-6,F=1或D=2,E=6,F=1. 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-6y+1=0或x2+y2+2x+6y+1=0.
3.过圆上一点，与圆相切的直线有 1 条；
过圆外一点，与圆相切的直线有 2 条.

高中数学必修2(人教A版)教案—4.2.1直线与圆的位置关系

4. 2.1 直线与圆的位置关系【教学目标】１．能根据给定的直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．２．通过直线与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想．３．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯．【教学重难点】教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法．教学难点：用坐标法判直线与圆的位置关系．【教学过程】㈠情景导入、展示目标问题：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80km 处，受影响的范围是半径长为30km 的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？运用平面几何知识，你能解决这个问题吗？请同学们动手试一下. ㈡检查预习、交流展示1．初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？ 2．怎样判断直线与圆的位置关系呢？㈢合作探究、精讲精练探究一：用直线的方程和圆的方程怎样判断它们之间的位置关系？教师：利用坐标法，需要建立直角坐标系，为使直线与圆的方程应用起来简便，在这个实际问题中如何建立直角坐标系？学生：以台风中心为原点O ，东西方向为x 轴，建立直角坐标系，其中，取10km 为单位长度.则受台风影响的圆形区域所对应的圆心为O 的圆的方程为922=+y x轮船航线所在直线 l 的方程为082=-+y x .教师：请同学们运用已有的知识，从方程的角度来研究一下直线与圆的位置关系. 让学生自主探究，互相讨论，探究知识之间的内在联系。

教师对学生在知识上进行适当的补遗，思维上的启迪，方法上点拨，鼓励学生积极、主动的探究. 由学生回答并补充,总结出以下两种解决方法：方法一：代数法由直线与圆的方程，得：⎩⎨⎧=-+=+082922y x y x 消去y ，得0,74x 2x 2=+-因为040724(-4)2＜△-=⨯⨯-= 所以，直线与圆相离，航线不受台风影响。

人教A版高中数学必修2教案直线与圆的位置关系1

直线与圆的位置关系(1)
教学目标：掌握直线与圆的位置关系及其判断方法
教学重点：掌握直线与圆的位置关系及其判断方法
教学过程：
一、复习回顾：
二、
(1)
得关于x（或y）的一元二次方程，由判别式△：
当△>0时，则直线ι与圆C相交于两个不同的点即相交
当△=0时，则直线ι与圆C相交于两个相同的点即相切
当△<0时，则直线ι与圆C无交点即相离
(2)
[1]把圆方程化成标准式，求出圆心到直线距离d.
[2]比较d与r的大小关系：
[3]若 d < r ，说明直线与圆相交
若d = r ，说明直线与圆相切
若d > r ，说明直线与圆相离
三、
例1：
[1]直线y=x+1与圆(x-1)2+ (y-2)2= 4有几个交点？
[2]直线y=mx+5与圆(x-1)2+ (y-2)2= 4有且只有一个交点，则m为几？
[3]直线y= kx+5与圆(x-1)2+ (y-2)2= 4有且只有一个交点，则求k范围
[4] 直线x＋y－3=0与圆x2＋y2－2kx＋4ky＋6k2＋2k－3=0相离，则实数k的取值范围是？
例2：若直线l：x＋2y－3=0与圆x2＋y2－2mx＋m=0相交于P、Q两点并且OP⊥OQ，求实数m之值
课堂练习：第111页 A,B
小结：掌握直线与圆的位置关系及其判断方法
课后作业：第114页习题2-3A:4、9
1。

高中数学必修二(4.2.1直线与圆的位置关系)示范教案新人教A版必修2

5 , 圆心 C
到直线 l 的距离 d= | 3 0 6 1 | = 5 ＜ 5 . 所以直线 l 与圆相交 , 有两个公共点 .
2
2
31
10
由 x2-3x+2=0, 得 x1=2,x 2=1. 把 x 1=2 代入方程① , 得 y 1=0; 把 x2=1 代入方程① , 得 y2=3. 所以直
线 l 与圆相交有两个公共点 , 它们的坐标分别是 (2,0) 和 (1,3).
2°利用消元法 , 得到关于另一个元的一元二次方程 . 3°求出其判别式 Δ 的值 . 4°比较 Δ 与 0 的大小关系 , 若 Δ＞ 0, 则直线与圆相离；若 Δ =0, 则直线与圆相切 ; 若 Δ ＜ 0, 则直线与圆相交 . 反之也成立 . 应用示例
思路 1 例 1 已知直线 l ： 3x+y-6=0 和圆心为 C的圆 x 2+y2-2y-4=0, 判断直线 l 与圆的位置关系 . 如果相交 , 求出它们的交点坐标 . 活动 : 学生思考或交流 , 回顾判断的方法与步骤 , 教师引导学生考虑问题的思路 , 必要时提示 , 对学生的思维作出评价 ; 方法一 , 判断直线 l 与圆的位置关系 , 就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二 , 可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系 . 解法一 : 由直线 l 与圆的方程 , 得
消去 y, 得 2x2+2bx+b2-2=0, 所以 Δ =(2b) 2- 4×2(b 2-2)=16-4b 2. 所以 , 当 Δ =16-4b 2＞ 0, 即-2 ＜ b＜2 时, 圆与直线有两个公共点；
当 Δ =16-4b 2=0, 即 b=±２时 ,
圆与直线只有一个公共点；当 Δ =16-4b 2＜ 0, 即 b＞2 或 b＜ -2 时 , 圆与直线没有公共点 . 解法二：圆 x2+y2=2 的圆心 C 的坐标为 (0,0), 半径长为 2, 圆心 C 到直线 l:y=x+b 的距离

数学知识点人教A版数学必修二《直线和圆的位置关系》教案-总结

【说课教案】广东省始兴县风度中学高中数学《直线和圆的位置关系》教案新人教A版必修2一．教学目标1．掌握直线和圆的三种位置关系以及直线和圆的关系的判定和性质。

2．通过引导探究，在寻求解决问题的途径中，培养由直觉发现到抽象概括的能力。

3.关注学生的学习品质，培养学生勇于探索、积极进取的优良品质。

二．教材内容及重点、难点分析1．本节的内容是直线和圆的三种位置关系：相交、相切、相离，以及这三种情况下圆心到直线的距离d和半径r之间的数量关系。

2．本节的重点：直线与圆的位置关系的判定和性质的应用．3．本节的难点：直线和圆的位置关系的探讨及用数量关系揭示直线和圆的位置关系三．教学对象分析本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上，进行的为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。

通过直线与圆的相对运动，揭示直线与圆的位置关系，培养学生运动变化的辨证唯物主义观点；通过对研究过程的反思，进一步强化对分类和化归思想的认识。

五．网络教学环境设计多媒体教室，运行环境基于Windows 98平台下，在电脑上操作。

学产生于标准是和圆的三种位置rrr r=2c mAB=，∵，∴AB·CD=AC·BC，______如图回顾本课学习过程，进行小系3有惟一公共点有两个公共点投影片1投影片2投影片3投影片4投影片5 质疑：1．有人说：“直线和圆有一个公共点时，称直线和圆相切。

”这句话对吗？2两个？为什么？投影片6投影片7r 直线和圆相切r 直线和圆相交r 直线和圆相离直线名称有惟一公共点有两个公共点。

人教A版高中数学必修二第四章第2节《直线、圆的位置关系》知识点总结梳理+习题(无答案)

直线、圆的位置关系【知识要点梳理】1.直线与圆的位置关系判断的两种方法：代数方法（联立法）：；几何方法（r d ,法）：；2．直线与圆相交所得的弦长的计算方法：代数方法（联立法）：；几何方法（弦长、弦心距、半径）：3.圆与圆的位置关系设圆1C ：(x-a)2+(y-b)2=r 12和圆2C ：(x-m)2+(y-n)2=r 22(r 1≥r 2)，且设两圆圆心距为d ，则有： 4.圆的切线求法:(1)点P 在圆上:过圆222x y r +=上．一点00(,)P x y 的圆的切线方程是200x x y y r +=;(2)若点P 在圆外,则过点P 的圆的切线有两条：设切线的斜率为k （存在），用含k 的式子表示切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求出k ，如果有两个解，正常现象（2条切线），如果只有一个解，则另一条切线的斜率必不存在。

5.两圆相交时的公共弦方程、两圆外切时的内公切线、两圆内切时的外公切线：两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即为所求。

6.圆系方程：①设圆1C ∶011122=++++F y E x D y x 和圆2C ∶022222=++++F y E x D y x ．若两圆相交，则过交点的圆系方程为11122F y E x D y x +++++λ(22222F y E x D y x ++++)=0(λ为参数，圆系中不包括圆2C ，λ=-1时为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C ∶022=++++F Ey Dx y x 与直线l ：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为F Ey Dx y x ++++22+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)【典型例题】题型一直线与圆的位置关系判断例1.已知直线l ：x ＋y －5=0和圆Ｃ：0126422=-+-+y x y x ，判断直线和圆的位置关系.变式训练 1. 直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是（）A ．21)-B ．221)C ．(221)-D ．21)2．判断直线x －y ＋5=0和圆Ｃ：0126422=-+-+y x y x 的位置关系.题型二直线和圆相交的弦长的求法例2．求直线l ：3x-y-6=0被圆Ｃ：04222=--+y x y x 截得的弦ＡＢ的长．变式训练1.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23 a =___________．2.过点P(3,6)且被圆2522=+y x 截得的弦长为8的直线方程是（）A.01543=+-y xB.0643=+-y xC.01543=+-y x 或3=xD.0643=+-y x 或3=x 题型三圆的切线问题例3.自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求入射光线L 所在直线方程．变式训练1.过点P （3，－2）与圆25)1()2(22=-++y x 相切的切线方程为_________________ _．2. 分别求过点A(3,-4)、B(5,15)向圆x 2+y 2=25所引的切线方程.题型四几种最值问题例4.已知P （x ,y ）为圆C:x 2+y 2-6x -4y +12=0上的点.（1）求y x 的最大值与最小值. （2）求22y x +的最大值与最小值（3）求x -y 的最大值与最小值.变式训练1.若),(y x P 在圆6)3()3(22=-+-y x 上运动，则xy 的最大值是_____________2.已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求： (1)11-+x y 的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2-2x 最大值和最小值．题型五圆与圆的位置关系例5.两圆012422=++-+y x y x 和014422=--++y x y x 的公切线有_____条．变式训练1.圆0222=-+x y x 和0422=++y y x 位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切2.已知两圆x 2+y 2=m 与x 2+y 2+6x –8y –11=0有公共点，则实数m 的取值范围是（）（A ）m <1 （B ）1≤m ≤121 （C ）m >121 （D ）1<m <1213.已知圆P 与圆0222=-+x y x 外切，并与直线03=+y x 相切于点Q （3，3-），求圆P 的方程。

新人教A版必修2高中数学学案教案： 4.2.1直线与圆的位置关系

数学 4.2.1直线与圆的位置关系教案新人教A 版必修2一、教学目标1、知识与技能：能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。

2、过程与方法：通过具体事例探究直线与圆的位置关系，经历利用点到直线距离来判断直线与圆位置关系的过程，学会求弦长或圆的切线的方法。

3、情感态度与价值观：通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养数形结合的思想。

二、教学重点、难点：重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。

难点：用坐标法判直线与圆的位置关系。

三、教学过程（一）实例引入例1、已知直线l ：3x + y – 6 = 0和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆C 的位置关系；如果相交，求直线l 被圆C 所截得的弦长。

问题1：在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点。

问题2：在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？方法一：联立方程组，考察方程组有无实数解；方法二：依据圆心到直线的距离与半径长的关系，判断直线与圆的位置关系。

（二）问题解决解法一：联立方程组：023042063222=+-⇒⎩⎨⎧=--+=-+x x y y x y x ，因为判别式△ > 0，所以直线l 与圆C 相交，有两个公共点。

解法二：圆心C （0，1），半径5=r ，圆心C 到直线l 的距离5210<=d ，所以直线l 与圆C 相交。

结论：判断直线l 与圆C 的位置关系的方法： 1、判断直线l 与圆C 组成的方程组是否有解：（1）有两组实数解，则直线l 与圆C 相交；（2）有一组实数解，则直线l 与圆C 相切；（3）没有实数解，则直线l 与圆C 相离。

2、判断圆C 的圆心C 到直线的距离与圆的半径的关系：（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离；（2）当r d =时，直线l 与圆C 相切；（3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；拓展：如何求直线l 被圆C 所截得的弦AB 的长？解法一：联立方程组，消去一个未知数，得关于的一元二次方程：思路一：求出交点的坐标，由两点间的距离公式求得弦长。

人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版

人教课标版高中数学必修二《直线与圆的位置关系》教案-新版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN4.2.1 直线与圆的位置关系（一）核心素养通过学习直线与圆的位置关系，掌握解决问题的方法——代数法、几何法.（二）学习目标1.清楚圆与直线的三种位置关系.2.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法.4.求过点的圆的切线方程.（三）学习重点1.直线与圆的位置关系的判断方法.2.用直线和圆的方程解决问题.（四）学习难点1.用直线和圆的方程解决问题.2.用坐标法判直线与圆的位置关系.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材，填空：直线与圆的三种位置关系的几何含义是：直线与圆的位置关系公共点个数圆心到直线的距离d与半径r的关系图形相交2个d<r相切1个d=r相离0个d>r（2）记一记：直线与圆的位置关系的判断方法方法一：代数方法步骤：1.将直线方程与圆的方程联立成方程组.2.利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.3.求出其判别式Δ的值.4.比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相交；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相离.反之也成立.方法二：几何法1.利用点到直线距离公式计算圆心到直线的距离d.2.计算出圆的半径为r.3.比较圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系，若d＞r，则直线与圆相离；若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切. 反之也成立.2.预习自测（1）直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____.【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】看图理解定义【答案】相切、相交、相离.（2）直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆，若方程组仅有一组解，则直线与圆，若方程组有两组不同的解，则直线与圆_____. 【知识点】直线与圆位置关系定义【数学思想】分类与整合、数形结合【解题过程】根据定义填空【思路点拨】理解方程的解的定义【答案】相离、相切、相交.（3）直线210x y +-=与圆()()()222110x y r r -+-=>相交，求r 的取值范围. 【知识点】直线与圆位置关系【数学思想】函数与方程【解题过程】圆心到直线的距离d =，因为相交，所以r d >= 【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系【答案】552r >（4）判定直线34120x y +-=与圆22(3)(2)4x y -+-=位置关系是 . 【知识点】直线与圆位置关系【解题过程】圆心(3,2)到直线的距离1d =，d r <，所以相交【思路点拨】圆心到直线的距离与半径的关系【答案】相交. (二)课堂设计 1.知识回顾（1）直线与圆的方程（2）直线与圆的位置关系和等价条件（3）两点间的距离和点到直线的距离公式 2.问题探究探究一结合实例，认识圆与直线的平面位置关系★ ●活动① 清楚圆与直线的位置关系我们清楚两个物体在空间位置关系有上下前后左右这几种，那么我们了解在名片上两个图形同样也有上下左右的位置关系.那么圆和直线这两种图形的位置关系我们应该如何称呼呢？首先我们设想自己正在海边观看日出：当看到太阳从海岸线上升起的时候，太阳和地平线之间的位置关系叫什么呢？当看到太阳与海岸线相切的时候呢太阳完全升起来的时候呢根据课本知识和图像我们知道直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.请完成下列空格：直线与圆有一个交点称为_____，有两个交点称为_____，没有交点称为____. 【答案】相切、相交、相离【设计意图】从实际问题中引入圆与直线位置关系，并运用课本中知识来解答实际问题，巩固预习成果，明确直线与圆的位置关系.●活动②辨析概念、学会根据图像判别直线与圆的位置关系请看图判断直线与圆位置的关系.【答案】相离、相切、相交.【设计意图】通过图片显示直线与圆的位置关系并让同学们加以辨析，明确概念理解与专业名词的运用，加深记忆同时检验预习成果. 探究二探究判断圆与直线位置关系的方法 ●活动① 回顾直线与圆的方程大家能够说出直线解析式的通式吗（抢答） (1)点斜式：11()y y k x x -=- (2)斜截式：y kx b =+ (3)两点式：1121212121(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠-- (4)截距式：1(0,0)x ya b a b+=≠≠ (5)一般式：0Ax By C ++=(A ，B 不同时为0). 大家能够说出圆的三种方程吗（抢答）(1)圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=(2)圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=(D 2＋E 2－4F ＞0).(3)圆的直径式方程：1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的两端点是1122(,),(,)A x y B x y .【设计意图】通过回顾直线和圆方程的知识，为后面学习使用代数方法求直线与圆位置关系打下基础.●活动② 做例题初步认识代数和几何方法的解题思路已知直线:360l x y +-=圆心为C 的圆22240x y y +--=,判断直线l 与圆的位置关系.如果相交,求出它们的交点坐标. （书本例题）【设计意图】从课本的例子出发，让同学们初步建立代数方法和几何方法解决此类问题的解题方法和思路.●活动③ 直线与圆位置关系中的参数取值问题例1 已知圆的方程是222x y +=,直线y x b =+,当b 为何值时,（1）圆与直线有两个公共点；（2）只有一个公共点；（3）没有公共点. 【知识点】直线与圆的位置关系、不等式【数学思想】分类讨论【解题过程】联立方程求判别式或者计算距离【思路点拨】判别式法或者圆心到直线的距离与半径比较【答案】（1）22-<>b b 或（2）22-==b b 或（3）22<<-b同类训练设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,则的取+m n 值范围（）.A [1- .B (,1[1+3,+)-∞∞.C [2-.D (,2[2+22,+)-∞-∞【知识点】直线与圆的位置关系、不等式【数学思想】方程不等式【解题过程】利用相切求出,m n 关系，再用重要不等式求出范围【思路点拨】利用相切找条件【答案】D探究三直线被圆截得的弦长的常用方法★ ●活动① 直接求弦长的方法例2 在平面直角坐标系xoy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为5552. 【知识点】垂径定理、弦长公式【数学思想】数形结合【解题过程】解法一：因为圆心(2，－1)到直线x ＋2y －3＝0的距离d ==所以直线x ＋2y －3＝0被圆截得的弦长为=解法二：利用韦达定理得到直线与圆的两个交点()11,y x 和()22,y x 有5525;5262121===⋅-=-=+a c x x a b x x 2x -求出弦长. 【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】5同类训练求直线0x -+=被圆224x y +=截得的弦长. 【知识点】垂径定理、弦长公式【数学思想】数形结合【解题过程】法一：求出圆心到直线距离，利用垂径定理；法二：韦达定理，弦长公式【思路点拨】垂径定理、韦达定理【答案】2●活动② 已知弦长，转化为圆心到直线的距离来求参数例3 已知圆02222=+-++a y x y x 截直线02=++y x 所得弦的长度为4，则实数a 的值是( ).A 2- B .4- C .6- D .8- 【知识点】垂径定理【数学思想】数形结合【解题过程】圆的标准方程为()()a y x -=-++21122，圆心C (－1，1)，半径r满足a r -=22，则圆心C 到直线02=++y x 的距离d ==所以2r ＝4＋2＝2－a .4a =- 【思路点拨】垂径定理【答案】B同类训练已知过点(3,3)M --的直线l 被圆224210x y y ++-=所截得的弦长为45,求直线l 的方程.【知识点】直线的点斜式、弦长公式【数学思想】分类讨论、转化思想【解题过程】(0,2),5,r -=圆心设直线为3(3),330y k x kx y k +=+-+-=即，l d d ===弦长可得又212-==k k 或，所以直线方程为290x y ++=，230x y -+=【思路点拨】再利用垂径定理解决问题【答案】290x y ++=，230x y -+=●活动③ 过圆内一点的最长弦和最短弦方程问题例4 已知圆()()51422=-+-y x ，求过圆内一点()03，P 的最长弦和最短弦所在直线方程【知识点】直线方程、圆的几何性质【数学思想】数形结合【解题过程】圆心(4,1)A ，最长弦一定为直径，即直线AP ，则最长弦的方程为03=--y x .最短弦和直径垂直，最长弦即直径所在直线的斜率是1，所以最短弦斜率是-1，过因为过点P ，则最短弦的方程为03=-+y x . 【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】03=--y x ，03=-+y x同类训练设A 为圆1)2()2(22=-+-y x 上一动点，则A 到直线05=--y x 的最大距离为______.【知识点】圆的几何性质【数学思想】数形结合【解题过程】求出圆心到直线的距离1d =再加上半径，则最大距离1d =+ 【思路点拨】利用几何关系得出结论【答案】5212d =+ ●活动② 互动交流、初步实践组织课堂讨论：我们能否根据不同的点与圆的位置关系求出切线方程？在直线与圆的位置关系中求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型.我们都知道有这样的结论.过圆222r y x =+上一点A ()00,y x 的切线方程为200r yy xx =+在运用这个结论的时候要注意些什么呢？我们可以来看一道例题：例5 求过点A ()1,2向圆422=+y x 所引的切线方程. 【知识点】圆的切线【数学思想】分类讨论【解题过程】解法一设切点为B ()00,y x ，则过B 点的切线方程为40000=+y y x x ，又点A ()1,2在切线上∴ ⎩⎨⎧=+=+442202000y x y x 联立可以解得切点(2,0)B ，68(,)55B 则最终解得切线方程2x =，01043=-+y x .解法二（1）当斜率不存在的时候，2x =满足；（2）当斜率存在的时候，设切线方程()21-=-x k y ，即012=+--y k kx , ∵圆心（0,0）到切线的距离是2，∴22121k k -+=+解得34k =-∴所求切线方程为01043=-+y x .综上所述：切线方程2x =，01043=-+y x . 【思路点拨】利用结论、求切线的通法【答案】2x =，01043=-+y x .同类训练从点(,3),P x x R ∈向圆22(2)(2)1x y +++=作切线，求切线段长度最小的切线方程【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】分析可知切线段最小，则点到圆心距离最小的点为所求，即(2,3)P -,求得直线为32)y x -=±+【思路点拨】找出切线段最小的那个点P .【答案】32)y x -=±+.3.课堂总结知识梳理（1）直线与圆的位置关系根据两个图形的交点个数可以分为相交、相切、相离三种.（2）解决直线与圆位置关系的方法：几何法，代数法.（3）与圆相交的直线被圆所截得的弦长的计算.（4）过点求圆的切线方程的方法.重难点归纳（1）解决直线与圆位置关系题目的方法有代数法和几何法（2）使用直线和圆的方程来计算所截弦长、以及圆的切线方程.（三）课后作业基础型自主突破1.对任意的实数k ,直线1y kx =+与圆222=+y x 的位置关系一定是（）A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心【知识点】直线与圆位置判别【数学思想】数形结合【解题过程】直线1y kx =+必过点(0,1)【思路点拨】根据该点与圆心的距离和圆半径大小的比较进行判断.【答案】C2.圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A .2 B.21+ C.221+ D.221+ 【知识点】点到直线距离公式【数学思想】数形结合【解题过程】22(1)(1)1,(1,1),1x y r -+-==圆心,圆心到直线距离公式求出圆心到直线的距离1d =1，则1d =+【思路点拨】加上半径是关键.【答案】B.3.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于N M ,两点，若≥||MN 则k 的取值范围是( )A .3[,0]4- B.[ C. [ D.2[,0]3- 【知识点】已知关系求参数的取值范围【数学思想】转化思想【解题过程】(2,3),2,r =圆心直线为30kx y -+=，1,d d k =≥≤=≤≤弦长MN 可得又解得【思路点拨】找到正确的方法对k 进行求【答案】B4.直线32+=x y 被圆08622=--+y x y x 所截得的弦长等于_______.【知识点】弦长公式【数学思想】方程思想【解题过程】22(3)(4)25,x y -+-=圆心（3,4），5,r d l ====54【思路点拨】圆中的弦长公式【答案】54.5.过点A )1,2(的直线中被圆04222=+-+y x y x 截得的弦长最大的直线方程是( ).A 053=--y x B .073=-+y x .C 053=-+y x .D 053=+-y x【知识点】最值问题【数学思想】数形结合【解题过程】22(1)(2)5,x y -++=圆心（1,-2），圆心B (1,2)-，则直线为053=--y x【思路点拨】该弦所在直线过圆心【答案】A6.圆222r y x =+上有某点）（00,y x P ，求过此点的切线方程.【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】圆心（0,0），半径r ,切线斜率与点）（00,y x P 与圆心直线斜率乘积为1- ，00100,y x k k x y ==-，0000:(),x l y y x x y -=--化简得200r y y x x =+ 【思路点拨】点斜式求直线【答案】200r y y x x =+能力型师生共研7.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）.A 023=-+y x B .043=-+y x .C 043=+-y x .D 023=+-y x【知识点】圆的切线【数学思想】数形结合【解题过程】22(2)4,x y -+=圆心（2,0），点P 在圆上，圆心与P 的直线斜率1k k =∴=023=+-y x 【思路点拨】抓住点在圆上，该点处的切线的斜率特点.【答案】D8.0y +-=截圆224x y +=得的劣弧的圆心角为__________.【知识点】弦长、圆心角【数学思想】数形结合【解题过程】直线与圆交于AB ，可求得2AB =.又2OA OB ==，所以AOB ∆是等边三角形，AOB ∠＝3π. 【思路点拨】求出AB ，解AOB ∆ 【答案】3π 探究型多维突破9.已知圆C ：222430x y x y ++-+=.若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程.【知识点】求切线方程【数学思想】分类讨论【解题过程】∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等，∴切线的斜率是±1或过原点,故所求切线方程为：x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.(2y x =±【思路点拨】利用截距绝对值相等【答案】x ＋y －3＝0，x ＋y ＋1＝0，x －y ＋5＝0，x －y ＋1＝0.(2y x =±10.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.从圆C 外一点P (x 1，y 1)向圆引一条切线，切点为M ，O 为原点，且有PM ＝PO ，求使PM 最小的点P 的坐标.【知识点】圆的切线【数学思想】方程思想【解题过程】∵切线PM 与CM 垂直，∴222PM PC CM =-,又∵PM ＝PO ，(,)P x y ，坐标代入化简得2430x y -+=.PM 最小时即PO 最小，而PO 最小，即过O 点作直线2430x y -+=的垂线与之交点即为P ，从而解方程组24302x y y x -+=⎧⎨=-⎩得满足条件的点P 坐标为33(,)105P -. 【思路点拨】找出P 满足的条件，找到最小值得位置【答案】33(,)105P -.自助餐1.直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为（）.A 1 .B .C .D 3【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】l d =切线段的长度为圆心（3,0）到直线上的点的距离，所以切线段最短，则当d 最短时取得，min d =，min l ==【思路点拨】利用切线长的公式.【答案】C.2.直线x y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于__________.【知识点】弦长【解题过程】根据圆的方程知，圆的圆心坐标为(0，0)，半径R ＝2，弦心距1,d ==，所以弦长AB == 【思路点拨】弦长公式.【答案】3.圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4 (m ∈R).(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒相交于两点；(2)求⊙C 与直线l 相交弦长的最小值.【知识点】直线与圆位置关系、弦长最值问题【数学思想】数形结合，转化思想【解题过程】(1)将方程(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4，变形为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0.直线l 恒过两直线2x ＋y －7＝0和x ＋y －4＝0的交点，交点M (3,1).又∵(3－1)2＋(1－2)2＝5<25，∴点M (3,1)在圆C 内，∴直线l 与圆C 恒两个交点.(2)由圆的性质可知，当l ⊥CM 时，弦长最短.又||CM ==∴弦长为l ===【思路点拨】.找到几何关系【答案】4 54.已知过点()3,3M --的直线l 与圆224210x y y ++-=相交于,A B 两点，（1）若弦AB 的长为l 的方程；（2）设弦AB 的中点为P ，求动点P 的轨迹方程.【知识点】弦长、直线方程、轨迹问题【数学思想】方程思想【解题过程】（1）若直线l 的斜率不存在，则l 的方程为3x =-，此时有24120y y +-=，弦()||||268A B AB y y =-=--=，所以不合题意.故设直线l 的方程为()33y k x +=+，即330kx y k -+-=.将圆的方程写成标准式得()22225x y ++=，所以圆心()0,2-，半径5r =. 圆心()0,2-到直线l 的距离d =，因为弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形，所以()22231251k k -+=+，即()230k +=，所以3k =-. 所求直线l 的方程为3120x y ++=.（2）设(),P x y ，圆心()10,2O -，连接1O P ，则1O P ⊥AB .当0x ≠且3x ≠-时，11O P AB k k ⋅=-，又(3)(3)AB MP y k k x --==--，则有()()()23103y y x x ----⋅=----，化简得22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭......（1）当0x =或3x =-时，P 点的坐标为()()()()0,2,0,3,3,2,3,3------都是方程（1）的解，所以弦AB 中点P 的轨迹方程为22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【思路点拨】.解析法求轨迹【答案】3120x y ++= 22355222x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.过直线x ＋y －0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线夹角是60°，则点P 的坐标是__________.【知识点】圆的切线【数学思想】转化思想【解题过程】如图所示，过点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，连接OA ，OB ，OP .由已知得，∠APO ＝30°，所以PO ＝2.设P 坐标为(,)x y ，则2204x y x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，所求坐标为). 【思路点拨】角度转化为长度【答案】6.已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ).A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 不确定【知识点】点与圆、直线与圆位置判别【解题过程】M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则122>+b a ，【思路点拨】直接转化条件【答案】C。