2013年第24届“希望杯”全国数学邀请赛试题(高二)复试
历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案)(1) 全国通用
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试1990年3月18日 上午8：30—10：00一、选择题1、等差数列的第p 项是1990，第1990项是p ，那么第p + q （q ≥ 1991）项（ ）（A ）是正数 （B ）是负数 （C ）是零 （D ）符号不能确定2、设S k =11k ++12k ++ (12)，则（ ） （A ）S k + 1 = S k +122k + （B ）S k + 1 = S k +121k ++122k + （C ）S k + 1 = S k +121k +–122k + （D ）S k + 1 = S k –121k ++122k +3、函数y ）（A ）有最小值没有最大值 （B ）有最大值没有最小值（C ）有最小值也有最大值 （D ）没有最小值也没有最大值4、a ，b ∈R ，那么| a + b | = | a | – | b |是a b ≤ 0的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）不充分也不必要条件5、α ≠2k π( k ∈ Z )，那么sec α与sin 2 α tan 2α的符号（指正负号）（ ） （A ）总是相同 （B ）总是相异（C ）在第一、三象限时，它们同号，在第二、四象限时，它们异号（D ）在第一、三象限时，它们异号，在第二、四象限时，它们同号6、正四面体内切球的体积是V ，则它的外接球的体积是（ ）（A ）8V （B ）27V （C ）64V （D ）4V7、一个平面最多把空间分为两部分，两个平面最多把空间分为四部分，三个平面最多把空间分为八部分，那么，四个平面最多把空间分成（ ）（A ）16部分 （B ）14部分 （C ）15部分 （D ）20部分8、设a = arcsin ( sin 17)，b = arccos ( –17)，c = arcsin ( –17)，则（ ） （A ）a > b > c （B ）b > a > c （C ）c > a > b （D ）b > c > a9、方程arccot x + arcsin x = π的实数根的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）310、在四个数12，中，与等的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3二、填空题11、方程arcsin ( sin x ) + arccos ( cos x ) =2π的解集是 。
2013年第24届希望杯全国数学邀请赛初一第2试试题(含答案word)
第24届“希望杯”全国数学邀请赛初一 第2试试题2013年4月14日 上午9：00至11：00一、选择题(每小题4分，共40分)1．2011年我国国同内生产总值达47.3万亿元，将这个数据用科学记数法表示是( )A.101073.4⨯元B. 111073.4⨯元C. 121073.4⨯元D. 131073.4⨯元2．某天，黑河凌晨的温度比上午9点的温度低12℃，中午12点的温度比凌晨的温度高20℃，晚上9点的温度比中午12点的温度低19℃，若当天上午9点的温度记为a ℃，则当天晚上9点的温度应记为( )A.℃)32(-aB. ℃)11(-aC. ℃)32(a -D. ℃)11(a -3．若09)1()1(22=+++-x y x y 是关于x 的一元一次方程，则代数式y y x y x +-+)2)(4(的值是( )A.54B.56C.169D.1714．已知a 是整数，则下列代数式中，值不可能是整数的为( ) A.912-a B.223-a C.61062--a a D.322-a 5．如图1，取一张长方形的纸片ABCD(AB=9，AD=5)；向右上方翻折AD ，使AD 恰好落在AB 边上的D '处，压平后折痕交CD 于点E ，再将D BCE '沿E D '向左翻折压平后得D E C B '''，C B ''交AE 于点F ，则此时形成的四边形D FE B ''的面积是( )A.20B.16C.12D.8 6．△ABC 的内角分别为∠A ，∠B ，∠C ，若∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠C+∠A ，则∠1，∠2，∠3中( )A.至少有一个锐角B.三个都是钝角C.至少有两个钝角D.可以有两个直角7．方程1|12||1|=-++x x 的整数解的个数为( )A.0B.1C.2D.38．If <a> represents the largest prime number not more than a ，then the value of the expression < ( <8> × <3> × <4>)> × <4> × <12> is ( )A.1353B.2013C.2079D.46089．公交车上显示线路号码的每个数字都是由七个同样的液晶组成，若某线路号码是两位数，并且是两个质数之积，但由于液晶条坏了一个，不能发光，显示成“51”路(如图2)，则符合要求的质数中最小的一个是( )A.3B.5C.7D.1110．如图3，边长分别为8cm 和6cm 的两个正方形ABCD 与BEFG 并排放在一起，连接EG 并延长交AC 于K ，则△AKE 的面积是( )A.48cm 2B.49cm 2C.50cm 2D.51cm 2F B'D'A D'A D A D B C C B B C E 图1 KG F E D 8EC A F 图3 图4二、填空题(每小题4分，共40分)11．若a 表示x 与y 的和的平方，b 表示x 与y 的平方和，则当a=49，b=25时，xy=________；12．如图4，长方形ABCD 的长DC=8，宽AD=5，E 是AB 的中点，点F 在BC 上，已知△DEF 的面积为16，则点D 到直线EF 的距离为__________________13．若abc 都是质数，其中a 最小，且a+b+c=44，ab+3=c ，则ab+c=__________14．If a+3=b －9=c+6，then the value of 222)()()(a c c b b a -+-+- is ___________15．奇奇开车从北京去少林寺旅游，在高速公路和非高速公路上的行驶速度分别是120千米/时，60千米/时. 若奇奇驶完全用了6小时，其中在高速公路上行驶的路程是在非高速公路上行驶的路程的6倍，则全程长____________千米；16．如图5，在直角△ABC 的两直角边AC 、CB 上分别作正方形ACDE 和CBFG ，AF 交BC 于W ，连接GW ，若AC=14，BC=28，则__________=∆AGW S ；17．用2，0，1，3组成一个自然数，且每个数字至少用一次，其中可被225整除的最小的数是_________________.18．如图6，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BA=AD=DC ，BC=2AD ，若平行于底边的一条直线EF 把梯形分成周长相等的两部分，则___________=EF AE19．已知0≠abc ，若||4||3||2c c b b a a m ⨯⨯=，则__________122=++m m 20．在图7(1)中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减2，这算作一次操作，经过若干次操作后，图7(1)能变为图7(2)，则图7(2)中A 格内的数是__________；(1) (2)三、解答题(每题都要写出推算过程)21．(本题满分10分)两个同样的圆柱形水池A 和B ，深度都是1.2米，1号抽水机18分钟可将A 池注满，2号抽水机24分钟可将A 池的满池水注入B 池，现在，若A 池中储有61池水，B 池没有水，同进打开1号，2号抽水机，当A 池水深0.6米时，同时关闭两个抽水机，求此时B 池的水深；F E B C 图5 图6 图722．(本题满分15分)如图8，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的边AB 、BC 的中点，DE 与AF 交于点P ，点Q 在线段DE 上，且AQ ∥PC ，求梯形APCQ 的面积与平行四边形ABCD 的面积的比值；23．(本题满分15分)如图9，边长为1的等边三角形ABC 从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在x =2013处时，三角形停止滚动.(1)落在x =2013处的点是三角形ABC 的哪个顶点？说明理由；(2)在滚动过程中，点A 走过的路程是多少？(3)若在滚动的过程中A 走过的路程是某个圆的周长，求这个圆的半径.B 图8图9。
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(4)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选题详析(四)题31 Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of Mis .(ellipse 椭圆；focus 焦点；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右焦点，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是 ，此时点M 的坐标是 .解 在椭圆18922=+y x 中，8,922==b a ，则1,12==c c ，所以椭圆的右焦点F 的坐标 为（1，0），离心率31==a c e ，右准线9:2==ca x l ，显然点P （6，2）在椭圆18922=+y x 的外部.过点P 、M 分别作PG ⊥l 于G ，MD ⊥l 于D ，过点P 作PQ ⊥MD 于Q ，由椭圆的定义知，3|MF|-|MP|=|MD|-|MP|≤|MD|-|MQ|=|QD|=|PG|=9-6=3，当且仅当点P 位于线段MD 上，即点P 与Q 点重合时取等号.由点P 位于线段MD 上，MD ⊥l 及点P （6，2），知点M 的纵坐标为2，设M 的横坐标为0x ，即M （0x ，2），则有184920=+x ，解得2230±=x ，因此3|MF|-|MP|的最大值是3，此时点M 的坐标是（223±，2）. 评析 若设点M 的坐标为(x,y)，则可将3|MF|-|MP|表示成x 、y 的二元无理函数，然后再求其最大值，可想而知，这是一件相当麻烦的事，运用椭圆的定义，将3|MF|-|MP|转化为||MD|-|MP|，就把无理运算转化为有理运算，从而大大简化了解题过程.拓展 将此题引伸拓广，可得定理 M 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 上的动点，F 是椭圆E 的一个焦点，c 为椭圆E 的半焦距，P （m,n ）为定点.1、 若点P 在椭圆E 内，则当F 是右焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca -2；当F 是左焦点时，e 1|MF|+|MP|的最小值是m ca +2. 2、 若点P 在椭圆E 外，则F 是右焦点，且0≤m≤c a 2，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a -2. F 是右焦点，且m>c a 2，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是c a m 2-.F 是左焦点，且c a 2-≤m≤0，|n|≤b 时，e 1|MF|-|MP|的最大值是m c a +2. F 是左焦点，且m≤c a 2-，|n|≤b 时，|MP|-e 1|MF|的最小值是ca m 2--.简证 1、如图1，作MN ⊥右准线l 于N ，PQ ⊥l 于Q ，由椭圆定义，|MN|=e1|MF|. ∴e 1|MF|+|MP|=|MN|+|MP|≥|PQ|=m c a -2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.如图2，同理可证e 1|MF|+|MP||=|MN|+|MP|≥|PQ|=m ca +2，当且仅当P 、M 、Q 三点共线，且M 在P 、Q 之间时取等号.2、 如图3，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca -2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.m图1图2如图4，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2-，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.如图5，e 1|MF|-|MP|=|MN|-|MP|≤|MN|-|MR|=|RN|=|PQ|=m ca +2，当且仅当P 位于线段MN 上，即P 与R 重合时取等号.如图6，|MP|-e 1|MF|=|MP|-|MN|≥|MQ|-|MN|=|NQ|=ca m 2--，当且仅当P 位于直线MN上，即点P 与Q 重合时取等号.题32 已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k 的值等于（ ）A 、32 B 、34 C 、45 D 54 （第十五届高二培训题第19题）解 设点P （x 0,y 0）是双曲线k y x =-22上任意一点，点P 关于直线x-y=1的对称点为图3 图4图5图6P’（x,y ）,则12200=+-+y y x x ①，又10-=--x x y y ②，解①、②联立方程组得 0011x y y x =+⎧⎨=-⎩③.∵P 点在双曲线k y x =-22上，∴k y x =-2020 ④.③代入④，得k x y =--+22)1()1( ⑤，此即对称曲线的方程，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得01232=-+-k y y .由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=34，故选B. 评析 解决此题的关键是求出对称曲线的方程.由于对称曲线与直线相切，故由△=0便可求得k 的值.拓展 关于直线的对称，我们应熟知下面的结论 1、点（x 0,y 0）关于x 轴的对称点是（x 0,-y 0）. 2、点（x 0,y 0）关于y 轴的对称点是（-x 0, y 0）. 3、点（x 0,y 0）关于y=x 的对称点是（y 0,x 0）. 4、点（x 0,y 0）关于y=-x 的对称点是（-y 0,-x 0）.5、点（x 0,y 0）关于y=x+m 的对称点是（y 0-m,x 0+m ）.6、点（x 0,y 0）关于y=-x+n 的对称点是（n-y 0,n-x 0）.7、点（x 0,y 0）关于直线Ax+By+C=0的对称点是（x,y ），x,y 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++⋅++⋅)()(022********x x B y y A c y y B x x A 的解. 根据以上结论，不难得到一曲线关于某直线对称的曲线的方程，比如曲线f(x,y)=0关于直线y=x+m 对称的曲线的方程是f(y-m,x+m)=0.题33 21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则11F A F B +的最小值是____________-.（第四届高二第二试第15题）解 双曲线3322=-y x ,即1322=-y x ，如图，B A ,在双曲线右支上，3221=-AF AF ,3221=-BF BF ,故当22BF AF +取得最小值时，11BF AF +也取最小值.设l 是双曲线对应于2F 的准线，l BD l AC ⊥⊥,,垂足为D C ,，则由双曲线定义可知BD e BF AC e AF ==22,，而MN BD AC 2=+，其中MN 是梯形ACDB 的中位线，当21F F AB ⊥时，MN取最小值21232=-，这时，22BF AF +取得最小值322=MN e ,从而11BF AF +取最小值33143234=+. 评析 解决此题的关键是灵活运用双曲线的第一、第二定义，发现22BF AF +，即)(BD AC e +，亦即MN e 2最小时，B F A F 11+也最小，并能知道21F F AB ⊥时MN最小（这点请读者自己证明）.本题虽然也有其他解法，但都不如此法简单，双曲线定义及平几知识的运用在简化本题解题过程中起了决定性的作用.拓展 将本题中的双曲线一般化，便得定理 1F 、2F 是双曲线12222=-b y a x 的左、右焦点，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，则B F A F 11+的最小值是ab a 224+.仿照本题的解法易证该定理（证明留给读者）. 用此定理可知本题中的最小值为3314312342=⨯+⋅. 题34 方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是( )A 、直线B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题）解法1 由()()|3|2222+-=-+-y x y x 的两边平方并整理得012102=-+-y x xy .令v u y v u x -=+=,，则()()()()012102=--++--+v u v u v u v u ，整理得91812288222-=---+-v v u u ，即()()9322222-=+--v u ，故已知方程表示双曲线，选C.解法2 已知方程就是()()2|3|22222+-⋅=-+-y x y x ，由双曲线的第二定义，可知动点P ()y x ,到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离比为2，因为12>，所以选C.评析 根据选择支，可知解决本题的关键是将已知方程化为某二次曲线的标准方程或直线方程.显然，平方可去掉根号与绝对值符号，但却出现了乘积项xy .如何消去乘积项便成了问题的关键.解法1表明对称换元是消去乘积项的有效方法.解法2从已知方程的结构特征联想到两点距离公式与点线距离公式，发现方程表示的曲线是到定点（2，2）的距离与到定直线03=+-y x 的距离之比为2的动点()y x ,的轨迹，根据双曲线定义选C.显示了发现与联想在解题中的作用. 拓展 将此题一般化，我们有下面的定理 若()()||22C By Ax b y a x ++=-+-（b a C B A 、、、、为常数，且BA 、不全为零），则（1）当1022<+<B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的椭圆.（2）当122>+B A 时，方程表示()b a ,为一个焦点，直线0=++C By Ax 为相应准线的双曲线.（3）当122=+B A 且0=++c Bb Aa 时，方程表示过点()b a ,且与直线0=++C By Ax 垂直的直线.（4）当122=+B A 且0≠++c Bb Aa 时，方程表示()b a ,为焦点，直线0=++C By Ax 为准线的抛物线.读者可仿照解法2，运用二次曲线的第二定义自己证明该定理. 题 35 已知1≥x ，则动点A ⎪⎭⎫⎝⎛-+x x x x 1,1与点B（1，0）的距离的最小值是_________-.（第七届高二第一试第23题）解法1 由已知得2222111101AB x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦214x x ⎡⎤⎛⎫++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2111723222x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦将此式看作以xx 1+为自变量的二次函数，111,22x x x x x≥∴+≥=,这表明该二次函数的定义域是[)+∞,2. 该函数在[)2,+∞上是增函数，∴当21=+xx 时，1,1272122m i n 22mi n=∴=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AB .解法 2 令24,tan πθπθ<≤=x ，则112tan 2csc 22tan sin 2x x θθθθ+=+==≥ 112,x x x ⎛⎫≥⇒+≥ ⎪⎝⎭112tan 2cot 2.tan tan 2x x θθθθ--=-==-AB ∴=== ∴当12csc =θ，即4πθ=时，12741182min=-⎪⎭⎫⎝⎛-=AB .解法 3 设11x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 1≥）,两式平方并相减，得),0,2(422≥≥=-y x y x 即动点A 的轨迹是双曲线422=-y x 的右半支在x 轴上方的部分（含点（2，0）），由图知|AB|min =1.评析 所求距离|AB|显然是x 的函数，然而它是一个复杂的分式函数与无理函数的复合函数，在定义域[)+∞,1上的最小值并不好求，解法1根据|AB|≥0，通过平方，先求2min ||AB ，再求|AB|min =2min ||AB ，并将xx 1+看作一个整体，将原问题化为求二次函数在[)+∞,2上的最值问题；解法2通过三角换元，把求|AB|min 的问题转化为求关于θ2csc 的二次函数在[)+∞,2的最小值问题，整体思想、转化思想使得问题化繁为简，化生为熟；解法3则求出点A 的轨迹，从图形上直观地看出答案，简捷得让人拍案叫绝，这应当归功于数形结合思想的确当运用.许多最值问题，一旦转化为图形，往往答案就在眼前.题36 抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）解法1 设抛物线2x y =上的点的坐标是()2,xx ，则它到直线02=++y x 的距离是271()24x d ++==，当12x =-时d 最小，此时14y =.故所求点的坐标是()11,24-. 解法 2 如图，将直线02=++y x 平移至与抛物线2x y =相切，则此时的切点即为所求点.设切线方程为k x y +-=，代入2x y =，得02=-+k x x .由o =∆，即041=+k ，得14k =-.解214y x y x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩得1214x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故所求点的坐标是()11,24-.解法3 设所求点的坐标为P ()00,y x ，则过点P 的抛物线的切线应与直线02=++y x 平行.而其切线方程为02y y x x +=，故120-=x ，012x =-.20014y x ∴==. 故所求点的坐标为()11,24-. 评析 解法1由点线距离公式将抛物线上的任意一点()2,x x 到直线02=++y x 的距离d 表示成x 的二次函数，再通过配方求最值，体现了函数思想在解析几何中的运用.解法2运用数形结合思想发现与直线02=++y x 平行的抛物线2x y =的切线的切点就是所求点，设切线方程为k x y +-=后运用方程思想求出k ，进而求出切点坐标.解法3则设切点为P ()00,y x ，直接写出过二次曲线()0,=y x f 上一点P ()0,0y x 的切线方程，由切线与已知直线平行.两斜率相等，求出切点坐标.解法2、3不仅适用于求抛物线上到直线的距离最小的点的坐标，同样也适用于求椭圆、双曲线上到直线的距离最小的点的坐标，故为通法.解法3涉及到过抛物线上一点的抛物线的切线方程，下面用导数证明一般情形的结论：定理 过抛物线c bx ax y ++=2上一点P ()00,y x 的切线方程是00022y y x x ax x b c ++=++. 证明 设过点P ()00,y x 的抛物线c bx ax y ++=2的切线的方程为()00x x k y y -=-①. b ax y +=2/，b ax y k x x +===0/20，代入①得()()0002x x b ax y y -+=-，()()000022222ax b x x y y y +-+=+，200000022y y x x ax x b y ax bx ++=++--②. 点()00,y x 在抛物线c bx ax y ++=2上，c bx ax y ++=∴0200，c bx ax y =--0200，代入②，得切线方程为000y y x x ax x b c ++=++. 拓展 观察切线方程的特征，就是同时将曲线方程中的22,y x 分别换成x x 0，y y 0，把y x ,分别换成00,22x x y y++便得切线方程.事实上，对于一般二次曲线，有下面的定理. 定理 过二次曲线022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 上一点Ρ()00,y x 的该曲线的切线方程是0000000222x y xy x x y yAx x BCy y D E F ++++++++=. 运用该定理必须注意点Ρ()00,y x 在曲线上.例 求过点()3,2的曲线2223448300x xy y x y ++---=的切线的方程.解 经验证，点()3,2在曲线2223448300x xy y x y ++---=上，根据上面的定理，所求切线方程为23322234348300222y x yx x y +++⋅+⋅+⋅-⋅-⋅-=，即0922213=-+y x .题37 在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,则k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)解法1 设两点B ()11,y x 、C ()22,y x 关于直线3+=kx y 对称，直线BC 的方程为m ky x +-=，将其代入抛物线方程x y 42=，得0442=-+m ky y .若设BC 的中点为M ()00,y x ，则k y y y 22210-=+=.因为M 在直线3+=kx y 上，所以 ()3222++=-m k k k .kk k k k k m 32223232++-=-+-=，因为BC 与抛物线相交于两个不同点，所以016162>+=∆m k .再将m 的式子代入，经化简得0323<++kk k ，即 ()()0312<+-+kk k k ，因为032>+-k k ，所以01<<-k .解法2 由解法1，得k y y 421-=+，k k k m y y 12884321++=-=.因为212212y y y y >⎪⎭⎫ ⎝⎛+，所以k k k k 1288432++>，解得01<<-k . 解法3 设B ()11,y x 、C ()22,y x 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点，且BC 中点为M ()00,y x .因为2221214,4x y x y ==，所以()1221224x x y y -=-，即()4211212=+⋅--y y x x y y ，所以k y y k 2,42100-==⋅-.又300+=kx y ,所以k k x 320+-=,因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，解得01<<-k .解法4 设B 、C 是抛物线x y 42=上关于直线3+=kx y 对称的两点， M 是BC 中点.设M()00,y x ，B()y x ,，C()y y x x --002,2,则xy 42=①，()()x x y y -=-020242②.①-②，得0220200=-+-x y y y x ③.因为点M ()00,x y 在直线3+=kx y 上，003y kx ∴=+④.④代入③得直线BC的方程为()()023320200=-+++-x kx y kx x ，故直线BC 的方向向量为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32,000kx x x ，同理得直线3+=kx y 的方向向量()00,kx x v =.因为直线BC 与直线3+=kx y 垂直，所以0=⋅，即()0,32,00000=⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛+kx x kx x x ，化简得 ()03320020=+++kx k kx x ，得0320=++k kx 或020=x （舍去）.显然0≠k ，解得k kx y kk x 23,32000-=+=+-=.因为M ()00,y x 在抛物线x y 42=的内部，所以0204x y <，即()⎪⎭⎫⎝⎛+-<-k k k 32422，3223(1)(3)0,0,k k k k k k k +++-+<<又032>+-k k ，所以01<<-k .评析 定（动）圆锥曲线上存在关于动（定）直线对称的两点，求直线（圆锥曲线）方程中参数的取值范围.这是解析几何中一类常见的问题.解决这类问题的关键是构造含参数的不等式，通过解不等式求出参数的范围.解法1运用二次方程根的判别式，解法2运用均值不等式，解法3、4运用抛物线弦的中点在抛物线内部，分别成功地构造了关于k 的不等式，这其中，韦达定理、曲线与方程的关系、两垂直直线的方向向量的数量积为零等为构造关于k 的不等式起了积极作用.练习 若抛物线12-=ax y 上总存在关于直线0=+y x 对称的两个点，则实数a 的取值范围是（ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,0D 、⎪⎭⎫⎝⎛-43,41 答案：B题38 抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都经过一定点,该定点是 ．（第十三届高二培训题第73题）解法1 设弦过点)0,(a M ，则弦所在的直线是)(a x k y -=，αtan =k ，︒≠90α，代入抛物线方程，消去x 得)4(2a y k y -=，即042=--ak y y k ． (弦长)2=)cot 1(2α+()222416161cot 16tan a a k αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()22csc 16cot 16a αα=+ =α4csc 16，即2216cot 1616csc a αα+=21616cot α=+，由此得1=a ．当︒=90α时，弦所在直线方程为)0(>=a a x ，弦长为4．由⎩⎨⎧==x y ax 42，得⎩⎨⎧==a y a x 2或⎩⎨⎧-==ay ax 2．又由弦长44=a ，得1=a ． 综上，这些弦都经过点（1，0）．解法2 由题意，对任意α都得同一结论，故运用特殊化思想解． 令2πα=，则弦长为42csc42=π，此时弦所在直线方程为)0(>=a a x ，代入x y 42=，得a y 42=，a y 2±=．由题设，44=a ，即1=a ．所以2πα=时，弦所在直线方程为1=x ．再令4πα=，则弦长为84csc42=π，设此时弦所在直线方程为1-=-x b y ，得b y x -+=1，代入x y 42=并整理，得04442=-+-b y y ，弦长⋅+=11212214)(y y y y -+8)44(4162=--⋅=b ，解得0=b ，所以4πα=时，弦所在直线方程为1-=x y ．解⎩⎨⎧-==11x y x ，得定点为（1，0）．评析 题目本身反映了对于一条确定的抛物线，若α确定，则以α为其倾斜角的弦的长也确定，α变化，则以α为其倾斜角的弦的长也变化．但不论α怎样变化，这样的弦都过一个定点，这反映了客观世界运动变化中的相对不变因素的存在．由题设可知0≠α，故解法1设弦过点)0,(a ，并分直线的斜率存在与不存在两类情形，根据弦长是α2csc 4，直接求出1=a ．从而说明不论α为何值，弦总过定点（1，0）．这是合情合理的常规思维．然而，根据题意，这些弦过定点肯定是正确的，这就意味着满足题设的任意两弦的交点就是所求定点．这就具备了运用特殊化思想解题的前提．解法2分别令2πα=与4πα=，得到两个相应的弦所在直线的方程，解其联立方程组得其交点为(1,0)，即为所求．这种解法的逻辑依据是“若对一般正确，则对一般中的特殊也正确．”至于解法2中为什么令2πα=与4πα=，而不令713πα=与325πα=，主要是为了计算的方便，这也是用此法解题时应当十分注意的．应当指出，凡解某种一般情形下某确定结论是什么的问题都可用这种方法解．拓展 原题中弦长α2csc 4中的4恰好为抛物线方程中的p 2，而答案中的定点(1,0)又恰好为抛物线x y 42=的焦点．这是偶然的巧合，还是普遍规律呢？经研究，这 并非巧合，而是一个定理.定理 若抛物线)0(22>=p px y 的弦PQ 的倾斜角为θ，则θ2c s c 2p PQ =的充分必要条件是PQ 经过抛物线的焦点)0,2(pF ． 证明 先证必要性:由已知，可设PQ 的方程为)90,tan ()(︒≠=-=θθk a x k y ，代入px y 22=，得-22x k)(2222=++a k x p a k ①．由已知及弦长公式得[]21221224)()1(x x x x k PQ -+⋅+=②．将①的两根之和与积代入②，得()2242241c s c 2k p p a p k kθ+=+，从而得2442csc tan sec p θθθ=（222tan p ap θ+），解得2p a =，即知PQ 过焦点(,0)2p F ．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．再证充分性：由已知可设PQ 的方程为()(tan ,90)2py k x k θθ︒=-=≠，代入2y =2px ，得 22244(2)k x p k x -+22k p +0=③，将③的两根之和与积代入②得22csc PQ p θ=．容易验证当90θ︒=时，结论也成立．应用该定理，可解决下面的问题：1．斜率为1的直线经过抛物线24y x =的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．2．PQ 是经过抛物线24(0)y ax a =>焦点F 的弦，若PQ b =，试求△POQ 的面积（O 是坐标原点）．（91年全国高中联赛题）3．PQ 是经过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 是抛物线的顶点，若△POQ 的面积为4，求PQ 的倾斜角α．（98年上海高考题）答案：1. 82. 3.30︒或150︒题39 长为)1(<l l 的线段AB 的两端在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 .（第13届高二第二试第20题）解 设AB 的中点为M （y x ,），点A 的坐标为（βα++y x ,），由对称性知B 的坐标为(),x y αβ--，于是有以下关系成立：22222()()()2y x y x l βαβααβ⎧+=+⎪⎪-=-⎨⎪⎪+=⎩ ①+②，得22α+=x y ④，-②，得x αβ2= ⑤.将④、⑤代入③，得4)41)((222l x x y =+-，即2222221[(14)1]4(14)4(14)l l y x x x x =+=++-++，因为2(0,0),a u x a x x =+>>当x a =时, u 有最小值,当x a >时, u 是单调增加的.又214(1),x l l y +><关于2x 是单调增加的,所以,当0x =时, y 取得最小值24l .评析 点M 到x 轴的最短距离显然就是点M 的纵坐标的最小值.巧妙利用对称性，设出点M 、A 、B 的坐标后，利用曲线与方程的关系及平几知识，可以得到三个关系式，这又有何用处呢？我们要求的是y 的最小值，现在却出现了四个 变量βα、、、y x ，能否消去βα、从而得到)(x f y =，再求其最小值呢？果然，可以消去βα、，得到①, ②, ③.222)41(4x x l y ++= ⑥（这里用到了“设而不求”及函数的思想方法）.若变形为2422164164xx x l y +++=，再令2x u =，得到 22416416l u u y u++=⇒+)0(04)164(1622≥=-+-+u y l u y u ⑦，则可由方程⑦有非负实数解求出y 的最小值，但方程⑦有非负实数解的充要条件很复杂.能否用别的什么方法呢？考虑到⑥式中的0412>+x ，故将⑥式变形为]1)41(41[41222-+++=x xl y ⑧，由于2241x l +与241x +的积是定值，故当2241xl +=241x +，即214x l +=时,有y 最小值..然而，因为1<l ，所以l x >+241，即214x +取不到l ，故由函数⑧为2x 的单调增函数，可知当时，0=x 42minl y =. 注：形如)0()(2>+=a xa x x f 的函数，若0,x >则当x a =时, ()f x 取得最小值2a ；若(0)x ab b ≥+>,则()f x 单调递增, min ()()f x f a b =+；若0(0)x a b b a <≤-<<,则()f x单调递减，)()(min b a f x f -=.(请读者自己证明该结论)拓展 将此题推广，可得定理1 长为l 的线段AB 的两端在抛物线)0(22>=p py x 上滑动，线段AB 的中点M 到x 轴的距离为d ，则（1） 当;8202minpl d p l =≤<时， （2） pl d p l d p l 8,222max min=-=>时，当. 证明 由题意，直线AB 的斜率k 存在.设),,(),2,(),2,(00222211y x M px x B p x x A 则22121222ABx x p pk x x -=- 0122x x x p p +==，所以直线AB 的方程为)(000x x p x y y -=-，由20002()x pyx y y x x p ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，消去y ，得22x -2000220x x x py +-=，因为点M 在抛物线的内部，即202x y p>，所以200420py x ∆=->（），又212012002,22x x x x x x py +==-，所以12|l x x =-=.于是,2)(82020220p x x p pl y d ++==对x 求导数，得2'2220001(1)()2282x pl d p x x x p -=-++2202220[1]4()x p l p p x =-+ 22002220[2()]4()x p x pl p p x =+++])(2[202pl x p -+. （1）若02l p <≤（抛物线的通径长），令0'0x d =，得00x =，易知00x =，是d的唯一极小值点，所以当 00x =（即AB y ⊥轴）时，2min8l d p=； （2）若2l p >，令0'0x d =，得00x =或0x =，易知当00x =时，2ma x 8l d p=；当0x =2min p l d -=. 令定理中的21p =，由定理的结论（1）可知本赛题的答案为24l .此定理尽管也可以用均值不等式加以证明，但配凑的技巧性很强.这里，运用高中数学的新增内容导数进行证明，显得较为简洁.用导数研究函数的最值问题，顺理成章，不必考虑特殊技巧，易被大家接受，应当加以重视并大力提倡.此定理还可进一步拓广到椭圆、双曲线的情形，便得如下：定理2 已知A 、B 两点在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22max 22)2(22b a l a a d a l a b --=≤≤时，当； （2）当bl b a d a b l 24222max 2-=<时，. 定理3 已知A 、B 两点同在双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右（或左）分支上滑动，|AB| =l ，线段AB 的中点M 到y 轴的距离为d ，则（1）22min 22)2(2b a l a a d a b l ++=≥时，当； （2）当bl b a d a b l 24222min 2+=<时， . 为证定理2、3，可以先证引理 在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短. 证明 设圆锥曲线的极坐标方程为θρcos 1e ep-=，其中e 表示圆锥曲线的离心率，p 表示焦点F 到对应准线l 的距离，设AB 是圆锥曲线过焦点F 的弦，且A ),(),,(21θπρθρ+B ，因为12,1cos 1cos()1cos ep ep epe e e ρρθπθθ===--++，所以12||AB ρρ=+1cos ep e θ=-+θcos 1e ep +=θ22cos 12e ep-.当2πθ=，即当AB 与对称轴x 轴垂直时，ep AB 2||min =，故在圆锥曲线过焦点的弦中，垂直于对称轴的弦最短.下面运用引理证明定理2 .证明 （1）不妨设椭圆的右焦点为F （0,c ），A 、M 、B 三点到右准线ca x 2=的距离分别是,22121t t t t t t +=，则、、由椭圆的第二定义知：|AF|=1et ，|BF|=)(2a ce et =，|AF|+|BF|≥|AB|=l ，所以e l t 2≥.又过焦点的弦最小值为时，当ab l a b 222,2≥线段AB 可以过焦点F ，当AB 过焦点F 时，t 有最小值2l e ，因此222max 2)2(2)2(2ba l a a c l a a e l c a d --=-=-=. （2）时，当ab l 22<线段AB 不可能过焦点F ，但点M 总可以在过F 垂直于x 轴的椭圆的弦的右侧，如右图，在△AFM 中，设∠AMF=α，由余弦定理知222||||||2||||cos AF FM AM FM AM α=+-22211||cos 42FM l l α=+-，在△BFM 中，222211||||cos 42BF FM l l α=++，所以22221||||2||2AF BF FM l +=+，所以||FM =22||a b FM t c c c+≥-=，所以cb l BF AF t 2222||||221≥-++）（ ①，无论线段AB 在什么位置，不等式①都成立.又222||||2l BF AF -+）（2221222)(||||l t t e l BF AF -+=-+≥）（,4222l t e -=故c b l t e t 222241≥-+ ②.解此不等式，得bl b a c a t 24222--≥③，当线段AB 垂直 于x 轴且在焦点F 的右侧时，不等式①、②、③都取等号，此时b l b a c a t 24222mi n --=，bl b a b l b a c a c a d 24)24(222222max-=---=. 仿此亦可证明定理1、3，不再赘述.题40 动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题）解 动圆M 、定点A 、定圆O ,这三者的位置关系有5种可能，如图⑴～⑸：在情形⑴：A 在圆O 上，这时动圆M 与定圆O 相切于A ，所以M 点的轨迹是过A O ,的一条直线. 在情形⑵：A 与O 重合，这时动圆M 在定圆O 的内部，与它内切，所以M 点的轨迹是以O 为圆心，以定圆O 的半径的一半为半径的圆.在情形⑶：A 在定圆O 的内部但不重合于O 点，动圆M 过A 且与定圆O 内切，这时动点M 与定点O 、A 的距离的和是R x x R MA MO =+-=+)(（定值），其中的R 、x 分别表示定圆O 、动圆M 的半径.可知点M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为长轴长的椭圆. 在情形⑷：A 在定圆O 的外部，动圆M 过A 且与定圆O 外切，这时R x x R MA MO =-+=-)(（定值）.可知M 的轨迹是以O 、A 为焦点，R 为实轴长的双曲线的一支.在情形⑸：A 在定圆O 的外部，动圆M 与定圆O 内切，这时R R x x MO MA =--=-)(（定值）.可知M 点的轨迹也是以A O ,为焦点.R 为实轴长的双曲线的一支（和情形4对应的另一支）.综上，可知选D.评析 分类讨论是参加高考与竞赛必须掌握的数学思想.分类要注意标准的统一，不可重复，也不能遗漏.此题的关键是要搞清全部情形有5种，然后再分别求动圆中心的轨迹.运用二次曲线的定义大大简化了解题过程.应当指出，当点A 在圆O 上时，动圆M 的中心的轨迹是直线OA ，但应除去点O 、A . 另外，讨论完第一种情形后就可排除,,,C B A 而选D ，这样就更快捷了.O。
历届(1-18届)希望杯数学邀请赛高二试题第二试(含答案WORD)(全国通用
第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试1990年4月15日 上午8：30—10：30一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（ ）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（ ）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（ ）（A ）最多有一个 （B ）最多有两个 （C ）最多有三个 （D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。
对于集合P ，可以断定（ ） （A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x ×||x 的实根个数是 。
希望杯真题13年第二十四届-高二-第1试
第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第1试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.将函数y =x +2的图象沿向量(2,1)平移,得到的图象所对应的函数的解析式是()(A )y =x +3.(B )y =x +1.(C )y =2x +2.(D )y =-x -2.2.设x ,y ,z >0,x y z +y +z =12,则l o g 4x +l o g 2y +lo g 2z 的最大值是()(A )3.(B )4.(C )5.(D )6.3.已知集合A ={x ɪR |x 2-2a x +2a 2+2=0},B ={x ɪR |l o g 2(x 2-2x +5)ȡa },若A ɘ∁R B 不是A ɣ∁R B 的真子集,则实数a 的取值范围是()(A )(-2,2).(B )(-2,2].(C )(-ɕ,2).(D )(-ɕ,2].4.若不等式|a x +b |<3的解集是-1<x <2,则a b =()(A )-2.(B )-1.(C )1.(D )2.5.当a ,b ,c 均为正实数时,给出以下三个不等式:(1)a 2-a b +b 2<b 2-b c +c 2+c 2-ca +a 2;(2)a 2-ab +b 2<b 2-bc +c 2+c 2+a 2;(3)a 2-a b +b 2<b 2+c 2+c 2+a 2.其中,一定成立的不等式的个数是()(A )0.(B )1.(C )2.(D )3.6.若s i n 2θ和c o s 4θ是函数f (x )=x 2-2a 2-4a -3的两个零点,则θ的值是()(A )12k π+π4(k ɪZ ).(B )2k π+3π4(k ɪZ ).(C )14k π+3π8(k ɪZ ).(D )k π+π4(k ɪZ ).7.G i v e n t h e s e q u e n c e {a n }s a t i s f i e s a n +a m =a n +m (n a n d m a r e p o s i t i v e i n t e g e r s ),a n d a 1=12013,t h e n t h e s u mo f t h e f i r s t 2013t e r m s i s ()(A )12013.(B )1.(C )1007.(D )2013.8.已知平面直角坐标系内的点A (1,2)和B (-2,4),及坐标原点O ,若点P 满足O P ң=mO A ң+nO B ң,其中m ,n ɪR ,并且m 2-4n 2=1,则点P 的轨迹方程是()(A )x -2y =1.(B )2x -y =0.(C )x 2-4y 2=1.(D )x y =2.9.方程x 2+2x +2y 2=2的整数解(x ,y )的个数是()(A )1.(B )2.(C )3.(D )4.10.三棱锥S A B C 的底面A B C 是正三角形,侧棱长都是1,则此棱锥的体积的最大值是()(A )13.(B )14.(C )15.(D )16.二㊁A 组填空题(每小题4分,共40分.)11.函数y =x 2+24-x 2的值域是.12.若2ɤ2x +y ɤ4,则函数f (x ,y )=x 2-y 2+x y -2y 的最大值是.13.非零向量a 和b 满足条件|a |=|b |=|a +b |,则向量a 和b 的夹角等于度.14.已知不等式组x ȡ0x +3y ȡ33x +2y ɤ6ìîí所表示的平面区域被直线y =k x +2分成面积比是1ʒ3的两部分,则k 的值是.15.已知函数f (x )=l o g a (2x 2+x )(a >0,a ʂ1),且x ɪ(0,12)时,f (x )>0恒成立,则函数f (x )的单调递增区间是.16.I f t h e s t r a i g h t l i n e l :m x +n y -2=0t a n g e n t s t o c i r c l e C :x 2+y 2-4x -4y -8=0,t h e n t h em i n i m u mv a l u e o f m +n +m n i s.17.记数列{a n }的前n 项和为S n ,若4S n =a n +1-3n +1-3,a 1=0,则用n 表示数列通项a n ,是.18.方程8s i n 3x -6s i n x +1=0(0<x <π2)的解是.19.如图,四棱锥V A B C D 中,底面A B C D 是正方形,V D ʅ面A B C D ,如果A D =D V =2,那么面V A C 与面V C D 的夹角的正弦值等于.20.已知椭圆:x29+y 24=1的左焦点为F 1,右焦点为F 2,点P 在椭圆周上,则P F 1ң㊃P F 2ң的取值范围是.三、B 组填空题(每小题8分,共40分.)21.函数y =1x -1+2x -x 2的定义域是,值域是.22.当-π2ɤθɤ0,t ɪR 时,函数f (t ,θ)=(t -c o s θ)2+(t -s i n θ)2的最大值是,最小值是.23.若将数列1,1+3,3+5+7,5+7+9+11,7+9+11+13+15, ,记为{a n },则数列{a n }的通项公式a n =,数列{a n }的前n 项的和S n =.24.将边长为1的正方形A B C D 沿对角线A C 折起,使D 点变到D ᶄ点,得到三棱锥D ᶄA B C .若D ᶄA =D ᶄB ,则三棱锥D ᶄA B C 的体积是,侧面A B D ᶄ与B C D ᶄ的夹角的余弦值是.25.双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a ,b >0)的左㊁右焦点分别是F 1㊁F 2,过F 2的直线交双曲线的右支于点M 和N .又点A ㊁B 分别是әM F 1F 2㊁әN F 1F 2的内心.当离心率e =2,|A B |=92,直线MN 倾斜角的正弦值为89时,a =,双曲线的方程是.附加题(每小题10分,共20分.)1.已知矩形A B C D 中,A B =2,A D =1,E 点在A B 上,A E =a (0<a <1).小明从E 点出发在矩形内行进,依次经过矩形三边A D ,D C ,C B 上的一点(不含顶点)后,回到E 点,则小明行进的路程最短是.2.曲线C :x 29+(|y |-1)24=1所围成的图形的面积是.高二第1试答案。
2013希望杯初二复赛答案
第24届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第二试2013年4月15日 上午8：30至10：30一、 选择题（本大题共10小题，每小题4分，菜40分。
）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内。
1、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人胶将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带加紧在胸前，如图1所示，红丝带重叠部分形成的图形是（ ） （A ）正方形 （B ）矩形 C ）菱形 （D ）梯形2、设a 、b 、C 是不为零的实数，那么||||||a b cx a b c =+-的值有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种3、ABC ∆的边长分别是21a m =-，21b m =+，()20c m m =>，则ABC ∆是（ ）（A ）等边三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）锐角三角形4、古人用天干和地支记序，其中天干有10个；甲乙丙丁戊己庚辛壬癸，地支有12个；子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行； 甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁…… 子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，农历纪年为甲亥年的那一年在公历中（ ）（A ）是2019年， （B ）是2031年， （C ）是2043年， （D ）没有对应的年号5、实数 a 、b 、m 、n 满足a<b, -1<n<m, 若1a mb M m +=+，1a nbN n+=+，则M 与N 的大小关系是（ ）（A ）M>N (B)M=N (C)M<N (D)无法确定的。
6、若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图2所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是（ ）（A ）214cm （B ）242cm （C ）249cm （D ）264cm图27cmDCB A7、已知关于x 的不等式组230320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）（A ）23≤a ≤32 (B)43≤a ≤32 (C)43＜a ≤32 (D)43≤a ＜328 、The number of intersection point of the graphs of function||k y x=and function (0)y kx k =≠ is( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)0 or 2.9、某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量限用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0.25毫克时治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（ ） （A ）16小时 （B ）7158小时 （C ）151516小时 （D ）17小时 图3y=m/ty=kt Ot （小时)y(毫克)4321110、某公司组织员工一公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘；每只船坐10人，那么其余的船坐满后内参有一只船不空也不满，参加划船的员工共有（ ）（A ）48人 （B ）45人 （C ）44人 （D ）42人 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11、已知a b c ⋅⋅o 为ABC ∆三边的长，则化简|a b c -+|+2()a b c -+的结果是＿＿＿12、自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一间新科学，这就是“纳米技术”，已知1毫米微米，1微米纳米，那么2007纳米的长度用科学记数法表示为＿＿米。
第二十四届希望杯初三第1试试题及答案解析
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一、选择题(每小题4分，共40分)
1．若m，n是方程x2-2x+1=0的两个根，则的值是( )
(A)3次．(B)5次．(C)6次．(D)7次．
9．如图6，在同一个坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象相交于点A(m，n)和点B(p，q)．当y1＜y2时，用m，p表示x的取值范围，则是( )．
(A)m＜x＜p．(B)x＜m．(C)x＞p．(D)x＞m．
AB=×OA=12，BC==160，CD=2BC=320米，72千米/时=20米/秒，320÷20=16秒．
7．选：B；【解析】△BDE≌△CEF，∠DEC=∠DEF+∠FEC=∠B+∠BDE，∴∠DEF=∠B=65°．
8．选：B；【解析】与AB相切两次，与BC相切一次，再与CD相切两次．
9．选：A；【解析】利用函数图象解不等式，可以直接得到结论．
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛初三第1试答案与解析
一、选择题(每小题4分，共40分)
1．选：D；【解析】根据一元二次方程根与系数的关系有：m+n=2，mn=1，
∴==±=±2×=±8
2．选：B；【解析】|OP|=m2-2m+2=(m-1)2+1≤5，|m-1|≤2，-1≤m≤3
3．选：A；【解析】根据垂径定理及相交弦定理可得：AP·BP=PC2，PC=2
(A)-55．(B)-56．(C)-16．(D)-15．
6．如图3，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．点A在OQ上，AO=240(米)．当火车行驶时，周围200米以内会受噪音的影响，现有一列火车沿MN方向以72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，A处受噪音影响的时间为( )
第24届初中“希望杯”全国数学邀请赛第2试_参考答案
a a SәAEF = , SәADF = , 8 2
从而
P Q 1 = , PD 4
于是
图1
S梯 形APCQ =SәAPQ +SәCPQ
因此
S梯 形APCQ 3 = . S▱ABCD 2 0
a a 3 a = + = . 2 0 1 0 2 0
( 1 5分)
另解 因为 所以 因此
设 S▱ABCD =a. E㊁ F 分别是 A B 和B C 的中点 ,
) n( n -1 ( 1 0分) . 2 )个整数a ( ) n ȡ2 3 n( < 1 <a 2 <a 3 <
kɤ
l ɤk. 同 理, 对 于 每 一 个 差 整 数 对 ( a i, , 于是可以构造 a a i -a j) j 也在这n 个整数中 , 出一个 和整数对 ( a a . i -a j, j)
)三角形每滚动 3 次 , 来自 A 运动的路程是图3
1 4 π πˑ1ˑ2= , ˑ2 3 3 所以当点 C 落在x = 点 A 走过的路 2 0 1 3处时 , 程是 4 π 2 π ( 1 0分) 7 0+ 9 4 π. ˑ6 =8 3 3 ( )设点 A 走过 的 路 程 8 3 9 4 π是半径为 R 2 π R =8 9 4 π,
所以 因为 于是 所以
1 池水变为水深 0 正好 . 6 米时 , 6 增加了满池水的
a a SәAPD =4ˑ = . 2 0 5 , A Q ʊP C SәAPQ =SәACQ , SәACQ +SәADQ = SәCDQ = a a 3 a - = . 2 5 1 0 a , 2 a , 5
a a x, x= , -x =4 4 2 0
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析(三)
历届“希望杯”全国数学邀请赛高二数学精选100题详析（三）题21 若0,>y x ，且12=+y x ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）解法1 比较：当1,0,=+>b a b a 时，42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ，当且仅当 21==b a 时取等号.可见，82542521212121411=⋅≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x y y x x ，当且仅当41,21==y x 时取等号.825min =∴u . 解法2 xyxy xy x y y x xy y y x x u 411414411++≥+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. 令12,=+=y x xy t 且xy y x y x 222,0,0≥+∴>>，即81≤xy ，即81≤t .可证函数()t t t f 411++=在⎥⎦⎤ ⎝⎛81,0上单调递减，81=∴t 时，()82581min =⎪⎭⎫ ⎝⎛=f t f .即当41,21==y x 时，min 258u =. 解法3 令⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈==2,0,tan 2,tan πϕθϕθy x ，则tan tan 1,θϕ+= 21112sin 2sin 22.sin 2sin 222sin 2sin 22u x y x y θϕθϕθϕ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=++=≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（当且仅当ϕθ=时取等号）.又222tan 2tan sin 2sin 21tan 1tan θϕθϕθϕ+=+++()22222221tan tan tan tan 1tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕ++=+++()()22222tan tan tan tan 1tan tan 2tan tan tan tan θϕϕθθϕθϕθϕ++=++-+()2tan tan 11tan tan 22ϕθϕθ-++=.由1tan tan =+ϕθ，易得41tan tan ≤ϕθ（当且仅当ϕθ=时取等号）.于是()22191tan tan 1.416θϕ⎛⎫-≥-= ⎪⎝⎭ 12284sin 2sin 295116θϕ+⋅∴+≤=+（ϕθ=时取等号）.故∴=⎪⎭⎫⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥.82558822sin 2sin 222ϕθu 当21arctan ==ϕθ，即212==y x 时，825min =u . 评析 解法1的依据就是课本上一道习题的结论.本赛题就是这道课本习题的变题.利用现成的一些重要结论可以简化解题过程，尤其是解选择题、填空题时更可直接利用.由于a 、+∈R b 时，2≥+baa b ，当且仅当b a =时取等号，所以解法2将u 展开成xy xy x y y x 414+++后，只能对x y y x +4使用上述公式（因为12=+y x ，所以必须使212==y x 时取等号）.若也对xy xy 41+使用上述公式就错了，因为由212==y x ，得41,21==y x ，此时xy xy xy ,241,81==与xy 41并不相等.这是同一式子中几处同时使用基本不等式时必须注意的，是一个常见的易错点.x 与()0,0>>x k xk不可能相等时，通常运用函数的单调性求x k x +的最小值（易证函数()0,0>>+=k x xkx y在上单调减，在)+∞上单调增）.解法3运用三角代换法，虽然较繁，但仍可起到开阔视野，活跃思维的作用. 拓展 命题“若0,>b a 且1=+b a ，则42511≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a ”可作如下推广： 推广1 若0,,>c b a 且1=++c b a 则271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+c c b b a a . 证明 1111b c c a a b ca b a b c a b c a b c a b c a b c a b b c c a⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13abc abc ≥++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33131abc abc abc abc ，当且仅当31===c b a 时取等号.31,271313333≤∴=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤abc c b a abc .又()xx x f 1+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛271,0及⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0上都是减函数，,2710003113132712713133=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴abc abc abc abc 当且仅当271=abc 时取等号.271000111≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴c c b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）.推广2 若0(1,2,,)i a i n >=，11=∑=ni i a ，则2111nn i i i n a a n =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏.推广3 若0(1,2,,)i a i n >=，k a ni i =∑=1，则2211nni i i n k a a nk =⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∏. 推广2、3的证明，叙述较繁，此处从略. 题22 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题) 解法111,,1,,224a b a b R a b ab ++∈+=≤=∴≤且. 111111*********a b a b a b ab ab ab ab +⎛⎫⎛⎫∴++=+++=++=+≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当21==b a 时取等号.min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法21111111111a b a b b a a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =9，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 解法31111112252a b a b b a b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++=++≥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭9225=⨯+，当且仅当1==b a a b ，即21==b a 时取等号. min11119a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴++= ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.评析 求条件最值离不开利用条件.如何利用条件1=+b a ？解法1把1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开后将b a +用1代，解法2与3将a 1与b1中的1用b a +代，其目的都是为了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展 此题可作如下推广：推广1 若+∈R n b a ,,，且n b a =+，则1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫ ⎪⎝⎭.证明ab b a n R n b a 2,,,≥+=∴∈+，于是241nab ≥， 2211114(1)211111a b n n n a b ab ab n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+=+≥+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2n b a ==时取等号，1111a b ⎛⎫⎛⎫∴++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是22n n +⎛⎫⎪⎝⎭.推广2 若+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，则12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+. 证明 +∈R a a a n ,,,21 ，121=+++n a a a ，1121112111)1(11a a a a a n a a a a a a n nn ++≥++++=+∴ . 同理121222(1)111,,1n nn nn na n a a a a a a +++≥+≥.故1212111111(1)n n n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当121n a a a n ====时取等号. 12111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值是nn )1(+. 推广3 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且∑==n i i m a 1，则111nk i i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是 1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.证明 由均值不等式得111nnnni ii i nn a m a ==⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭∏∑，121211(1,2,,)p p pk p p n n n k k kk i i i ni i i n C C C p n a aa m ≤<<<≤⎛⎫≥=≥= ⎪⎝⎭∑,从而1212112121111111111111n n nnnkk k kk k k k i i i i n i i i ni i i i i i i i ia a a a a a a a --==≤<≤≤<<<≤=⎛⎫+=+++++≥ ⎪⎝⎭∏∑∑∑∏2112111n nnkkkkk n n n n n n k k k k k n n n n n C C C C mm m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当),,2,1(n i n ma i ==时取等号.故111n ki i a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值是1nk k n m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4 若),,2,1(,,n i R a m k i =∈+，且)0(1n m m a ni i ≤<=∑=，则11nk i k i i a a =⎛⎫+ ⎪⎝⎭∏的最小值为nk k k k m n nm ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.推广4的证明与推广3类似，留给读者.运用这些推广，读者可做练习： 1、 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求：（1）221111a b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（2）1111nna b ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值；（3）221111a b ⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值. 2、已知+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，求111111a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 3、已知+∈R a a a n ,,,21 ，且121=+++n a a a ，求22212111111n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小值. 4、求ββαα2222sin cos cos 1sin 1+的最小值.(提示：22222sin cos cos cos sin 1ααβαβ++=， 原式22222111sin cos cos cos sin ααβαβ=++.)5、已知+∈R a a a a 4321,,,，且14321=+++a a a a ，求3214214314321111a a a a a a a a a a a a +++++++++++的最小值.答案：1、（1）18 （2）n 32⋅ （3）9 2、64 3、2)1(+n n 4、9 5、316题23 设R y x ∈,，且221x y +≤，则xy y x ++的最大值是 ，最小值是 ．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）解法1 122≤+y x ，1,1≤≤-∴y x ，10,10x y ∴+≥+≥． 由2)(2)(222≤+≤+y x y x ，有22≤+≤-y x ，22322212)(2)1()1()1)(1(22222+=++≤++++=+++≤++∴y x y x y x y x ．记1)1)(1(-++=++=y x xy y x u ，立得1-≥u 和221+≤u ．故当1-=x 或1-=y 时，1min -=u ，当22==y x 时，221max +=u ． 解法2 由题意，设)2,0[,10,sin ,cos πθθθ∈≤≤==r r y r x ． 则2211cos sin cos sin sin sin 2422x y xy r r r r πθθθθθθ⎛⎫++=++=++≤⎪⎝⎭，当且仅当1=r 且4πθ=，即22==y x 时取等号．max 1()2x y xy ∴++=．又 ]1)cos [(sin 2)cos (sin cos sin )cos (sin 222-+++=++=++θθθθθθθθr r r r xy y x．令]2,2[,c o ss i n -∈=+t t θθ，则]1)1[(21)1(22222r rt t r rt xy y x --+=-+=++．易知当01=+rt 时，1)(,0])1[(min 2min 2-=-=+r rt ．此时，1,1-==t r ，即1x =-或1-=y 时，1)(m i n -=++xy y x ．关于xy y x ++的最大值，还有下列解法． 解法322222222212,1,()2()2,22x y xy x y x y x y x y xy +≤++≤∴+≤+≤≤≤，2122)(22222+≤+++≤++∴y x y x xy y x ，当且仅当22==y x 时取等号．212)(max +=++∴xy y x ． 解法4222211111122()112222222x y x y x y ++⋅≤+=++≤+⨯=，2≤+∴y x ．又212,21222+≤++∴≤+≤xy y x y x xy ，当且仅当22==y x 时取等号．故212)(max +=++xy y x . 评析 解法2由122≤+y x 考虑到三角换元，这是很自然的事．解法3运用基本不等式)(2)(222y x y x +≤+及222y x xy +≤，再由122≤+y x ，分别求出y x +与xy 的最大值（注意：必须是x 与y 取相同值时y x +与xy 同时取得最大值），从而得到xy y x ++的最大值．解法4与解法3路子不同，实质一样．但解法3、4都只能解决题中的最大值问题，如何求最小值是本题的难点．解法1中将xy y x ++变形为1)1)(1(-++y x ，并由已知得出01,01≥+≥+y x ，是突破这一难点的关键．第九届高二第一试第15题：“实数y x ,适合条件2122≤+≤y x ，则函数22232x xy y ++的值域是 ．”其形式与实质都与本题一样．以三角代换法求解最为简捷．（答案为]7,21[）拓展 由题引伸，可以得到：定理1 设xy y x z y x λλ++=≤+≥,1,022，则（1）当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；（2）当02λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ． 证明 设b a y b a x -=+=,，则2122≤+b a ．又设θθs i n ,c o s r b r a ==， 220≤≤r ，则2222222()2cos (cos sin )z x y xy a a b r r r λλθλθθ=++=+-=+- λλλθλ22221)21(cos 2r r r --+=．1cos 1,θ-≤≤∴1、当121≤λr ，即122r λ≥≥时， （1）)220(221212≤≤--≥--≥r r z λλλλ，当且仅当λλθ2121cos -=-=r 时取等号．（2）222211212222z r r r r r λλλλλλ⎛⎫≤+--=+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22,1cos ==r θ时取等号．2、当112r λ≥，即1022r λ≤≤≤时 （1）当22,1cos ==r θ时，22max +=λz ．（2）当1c os -=θ时，λ22rr z +-≥．又函数22,y x x λλ⎡=-+∈⎢⎣⎦，当0,2x ⎡∈⎢⎣⎦时是减函数，故2222λλ+-≥+-r r ．综上所述，当22≥λ时，22212λλλ+≤≤--z ；当02λ≤≤时，2222λλ+≤≤+-z ．进一步引伸，可得定理2 0,≥n m ，若nxy y x m z y x ++=≤+)(,122，则（1）当22≥m n 时，22222nm z n m n +≤≤--；（2）当0n m ≤≤2222nm z n m +≤≤+-． 简证 n z m xy x y m⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令n t x y xy m =++，再由定理1即可得证． 再引伸，还可得到 定理3 设12,,,n x x x R +∈，且12()m mmn x x x S m N ++++≤∈，则有11212m m n n x x x x x x nS -++++≤证明1212,,,,()m m m n n x x x R x x x S m N ++∈+++≤∈及平均值不等式1121212mm mmnnn x x x x x x x x x n n ⎛⎫++++++≥≥⎪⎝⎭111212,,n n mmm m m n n n S S S x x x n n S x x x n n n -⎛⎫⎛⎫∴+++≤⋅=≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11212m m n n x x x x x x nS -∴++++≤题24 若223x xy 3y 20-+=，则228x 23y +的最大值是 ．（第十三届高二培训题第68题）解法1 引入参数t,22222222y 1y t 1xy tx t x x y t 2t 22t⎛⎫=⋅≤+=+ ⎪⎝⎭，又22xy 3x 3y 20=+-，222222t 1x y 3x 3y 20,22t∴+≥+-2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫∴-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．考虑到待求最值的二元式是228x 23y +，故令22t 38212332t-=-，解得2t 4=或22t 23=-（舍去），故只需令t 2=，即可得()22132x 3y 208⎛⎫-+-≤ ⎪⎝⎭．因此，228x 23y 160+≤，当且仅当y 2x 2=，即y 4x =时取等号.()22max8x 23y160∴+=．解法2 已知条件式即2213520x y y 6363⎛⎫-+=⎪⎝⎭.令1x y ,6,⎧-=α⎪⎪=α⎩即x ,y .⎧=α+α⎪⎪⎨⎪=α⎪⎩代入待求式,并化简, 得()22223211288x 23y sin 22121+=+α-ϕ223211281602121≤+=.故当且仅当y 4x =时，228x 23y +有最大值160．解法3 令2228x 23y t +=.从而有t cos ,t sin ,=α=α即x ,y .=α=α代入已知等式,得222223t 3t cos cos sin 20823α-αα+α=, ()222202036820368t 160.3139347cos 29347cos 2sin 823⨯⨯∴==≤=+α+ϕ-αα+α即228x 23y 160+≤．解法4()22116x y xy 4x y 48+=⋅≤,而22xy 3x 3y 20,=+-222216x y 3x 3y 20,8+∴+-≤即228x 23y 160+≤．解法5 设x m n,y m n,=+=-代入条件得225m 7n 20.+=令m 2cos ,n =α=α,则()()22228x 23y 8m n 23m n +=++- 2231m 30mn 31n =-+()22620162cos 2sin 744376cos 277=α-α+α=+α+ϕ⎡⎤⎣⎦()17443761607≤+=．解法6 设228x 23y s,+=则()()2222s 3x xy 3y 208x 23y ,-+=+即()()223s 160x sxy 3s 460y 0--+-=①.由题设x,y 不同时为0,故不妨设y 0≠,则将①式两边同除以2y ,得()()2x x 3s 160s 3s 4600.y y ⎛⎫⎛⎫--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当3s 1600-≠时,由()()2s 43s 1603s 4600,∆---≥=解得368s 1607≤≤;当3s 1600-=时,x 45y 8=-．综上, 368s 1607≤≤.故()22max 8x 23y 160+=．解法7()()()22222228x 23y 83x x y3y 16x8xy y 8204x y 160+=-+--+=⋅--≤.故当4x y =时, ()22max8x 23y 160+=．评析 破解此题的关键是消去条件式中的xy 项.命题组给出的解法1,通过引入参数t,将xy 变形为ytx t⋅,再运用基本不等式,从而得到2222t 13x 3y 2022t ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.而要求的是228x 23y +的最大值,故令22t 38212332t-=-,从而使问题获解,极其巧妙.此法还具有普遍性,是解决此类问题的通法．解法2将223x xy 3y 20-+=变为2213520x y y 6363⎛⎫-+=⎪⎝⎭，从而为三角代换创造了条件，进而运用三角函数的有界性求得最值.此法也具一般性,且对于求式中含xy 项时同样适用．解法5通过对称换元消去了已知式中的乘积项.当式中2x 项与2y 项系数相等时这也是一种通法．解法4的技巧性特强.要知道,若2219x y xy (3x y)36+=⋅≤,由22xy 3x 3y 20=+-,得22229x y 3x 3y 206++-≤,即229x 17y 120+≤,则仍然不能解决问题．解法6运用整体思想及方程思想,由二次方程有实根的条件使问题获解,这也是一种常用的方法．解法7巧用配方法,使得问题的解决极其简洁.可能有人要说这是不是碰巧了,换个题目此法就不灵了,其实不然,请看下面的问题:例1 若x,y 22R,2xy y 7∈+-=且x , 则22x y +的最小值是________．（第十届高二培训题第66题）解 2222227x 2x y y 2(xy (21)x y(21)y⎡⎤=+-=+--+⎣⎦22222y )1)x y )⎛⎫=+-≤+ ⎪⎝⎭，即22x y +≥x y=再看一例：例2 实数x,y 适合221x y 2≤+≤,则函数222x 3xy 2y ++的值域是 ．(第九届高二第一试第15题)解 （1）()()2222221x y 22x 3xy 2y3x2xy y ≤+=++-++()()()2222222122x 3xy 2y 3x y 22x 3xy 2y .2x 3xy 2y .2=++-+≤++∴++≥（2）()()()()22222222273732x 3xy 2y x y x 2xy y x y x y 2222++=+--+=+--7207.2≤⨯-=故所求值域为1,72⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 到底如何配方，读者可从上面的例子中体会.配方法是高考明确要求学生掌握的一种数学方法,在解决一些竞赛问题时也有较广泛的应用.我们必须切实掌握好．请用配方法解决下列问题:1.实数x,y 满足22x 3xy y 2-+=,则22x y +的值域是 ．（答：4[,5+∞)）(第六届高二第二试第17题) 2.若x,y R ∈,且221x y 22≤+≤,则22x 2xy 4y -+的取值范围是 ．（答：1,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦）3.已知x,y 满足22x xy y 1++=,求22x xy y -+的取值范围．（答：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦）4.已知22x xy 2y 1-+=,求表达式22x 2y +的最大值与最小值．（答：2） 题25 函数xxx y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿．（第九届高二培训题第43题）解法1 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，即⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+--=+-==+⋅+-1)1(1cos 1)1(1sin )sin(1)1(222y y y y x y ααα，1)1()sin(2+-=+∴y y x α.1)sin(≤+αx ，11)1(2≤+-∴y y ，解得1≤y .故1max =y .解法2 令2tan x t =，则22222221121121211t t t t t t y t t t t -++-++==++++，化为0)1()22()1(2=-+-++y t y t y ，R x ∈ ，0≥∆∴t ，即0)1(4)22(22≥---y y ，解得1≤y .故1max =y .解法3 由1cos ≤x ，得1sin cos sin +≤+x x x （1cos =x 时取等号），0sin 1≠+x ，0sin 1>+∴x ，1sin 1cos sin ≤++∴xxx ，故1max =y .解法4 xx x x x y sin 11cos 1sin 11cos sin 1+-+=+-++= .1cos 1≤≤-x ，1sin 1x -<≤，01cos 2≤-≤-∴x ，21sin 0≤+<x .∴当cos 1x =时，max 1y =.解法5 由xxx y sin 1cos sin ++=，得y x x y =+-cos sin )1(，[][])cos (sin 1)1(cos sin )1(222222x x y x x y y ++-≤+-=∴，2221)1(+-≤∴y y ，解得1≤y .1max =∴y .解法6 1sin 1cos 1sin 1cos sin +-+=++=x x x x x y .令1sin 1cos +-=x x u ，它表示动点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，即u 表示单位圆上的点与点)1,1(-的连线的斜率，由图易知0max =u ，1max =∴y .解法7 显然，1sin -≠x .由xxx y sin 1cos sin ++=得0cos sin )1(=-+-y x x y ①，又1cos sin 22=+x x ②.由①、②可知点)cos ,(sin x x 是uov 坐标系中的直线0)1(=-+-y v u y 与圆122=+v u 的公共点，圆心)0,0(到直线①的距离不大于圆的半径1，即1d =≤，解之得1≤y ，1max =∴y .评析 类似本题分子、分母中含有x sin 、x cos 的一次式的函数的最值问题，总可以通过去分母、移项变为c x b x a =+cos sin 的形式，进而变为c x b a =++)sin(22ϕ（其中ab=ϕtan ）的形式，再由1)sin(≤+ϕx 求得最值，解法1正是这样做的，也是解决这类问题的通法.万能公式可将角x 的各种三角函数表示成2x的正切，这在实质上起到了消元的作用.故解法2令2tanxt =后，便将原函数转化成t 的二次分式函数，进而运用判别式法解决了问题. 解法3直接利用分子x x cos sin +不大于分母1sin +x ，从而分式之值不大于1，简捷之至.解法4则是将已知函数变为xx y sin 11cos 1+-+=后，分别求出分子、分母的范围，进而确定y 的范围.解法5将已知函数式变为y x x y =+-cos sin )1(，考虑到左边x x y cos 1sin )1(⋅+-的形式，联想到柯西不等式，巧妙地利用1cos sin 22=+x x 而建立了关于y 的不等式，进而求出最大值，可说是匠心独具.解法7将已知函数式变为0cos sin )1(=-+-y x x y 后，将)cos ,(sin x x 看作坐标系uov 中直线0)1(=-+-y v u y 上的点，而点)cos ,(sin x x 又在单位圆122=+v u 上，故直线与圆应有公共点，从而圆心到直线的距离不大于圆的半径，由此求出了y 的最大值.综合运用了方程思想，转化思想，数形结合思想，充分揭示了数学不同内容之间的内在联系.解法6则是把已知函数式变形为1sin 1cos 1+-+=x x y 后，将1sin 1cos +-x x 看作单位圆上的点)cos ,(sin x x 与定点)1,1(-的连线的斜率，故将求y 的最大值问题转化为求此斜率的最大值问题，本题中此斜率的最大值可由图象直观地得到，若不能直观地看出，则可设斜率为k ，写出过点)1,1(-且斜率为k 的直线方程.由圆心到直线的距离不大于圆的半径便可求出k 的最大值.解法6也是求函数)0(sin cos ≠++=ac d x c b x a y 或)0(cos sin ≠++=ac dx c b x a y 的最值的通法.例 求函数9cos 34sin 2+--=x x y 的最值解 2s i n 42s i n 23c o s 93c o s 3x x y x x --==-⋅-+-.令3cos 2sin --=x x u ，则u 是单位圆122=+y x 上的点(cos ,sin )x x 与点)2,3(的连线的斜率.设此斜率为k ，则连线的方程为)3(2-=-x k y ，即032=-+-k y kx ①.由单位圆圆心)0,0(到直线①的距离应当不大于单位圆半径1，即11322≤+-k k ，解得433433+≤≤-k ，即k 的最小值与最大值分别为433-，433+，从而y 的最大值与最小值分别为43332-⋅-、43332+⋅-,即633-，633+-. 题26 函数1212y sin x cos x =+的值域是 .（第十一届高二培训题第46题） 解法1 由均值定理，知()()332332334444111111sin 3sin ,cos 3cos .444444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥⋅++≥⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相加，得()()121244223131sin cos sin cos 12sin cos 16161616x x x x x x +≥+-=--= 2311sin 232832x -+≥.当4x π=时以上不等式同时取等号.故min 132y =. 又[]121222max sin ,cos 1,1,sin cos sin cos 1.1x x y x x x x y ∈-∴=+≤+=∴=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法2 由柯西不等式，知()()()2121212126644111sin cos 11sin cos sin cos (sin cos 222x x x x x x x x +=++≥+=+-22222131sin cos )1sin 22432x x x ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.又由[]sin ,cos 1,1x x ∈-，知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=.故所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解法3121212*********sin x cos x sin x cos x 64646464646464⎛⎫⎛+=+++++++++ ⎪ ⎝⎭⎝()225111105156sin cos 6464646432232x x ⎫++-≥=⋅+-⎪⎭651323232=-=，又()61212221sin cos sin cos 1,,1.32x x x x y ⎡⎤+≤+=∴∈⎢⎥⎣⎦解法422sin x cos x 1+=，且22sin 0,cos 0,x x ≥≥∴可设21sin 2x t =+， 663322211111111cos ,,222222444x t t y t t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛=--≤≤∴=++-=++++-=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎣)3222134tt t ⎛⎫⎤++ ⎪⎦⎝⎭，由所设2104t ≤≤，故当20t =时，3min 112432y ⎛⎫== ⎪⎝⎭；当214t =时， max 1.y =∴所求值域为1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦.评析 因为[]sin ,cos 1,1x x ∈-，所以[]22sin ,cos 0,1x x ∈ ，由指数函数单调性，易知121222sin cos sin cos 1x x x x +≤+=，故求得了y 的最大值1.如何求y 的最小值是本题的难点，破解的关键在于如何将1212sin cos x x +降次，最好直接与22sin cos x x +建立联系.解法1运用均值定理，解法2运用柯西不等式，都达到了目的，解法3与解法1为同一解法，但显得格外简捷，运用均值定理一步到位地解决了问题.解法4通过对称换元将三角函数的值域问题转化为整式函数的值域问题加以解决，起到了化难为易的作用.解法3显得特别优美，但运用均值定理，必须注意配凑技巧的运用.为什么将12sin x +12cos x配凑成1212111111111110sin cos 6464646464646464646464x x ⎛⎫⎛⎫+++++++++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭呢？这里有两个问题：一是为什么各凑成6项的和？二是为什么都加5个164？原因就在于只有凑成6项的和，运用均值定理时才会出现六次根号内()1212sin cos x x 与5个数的积，从而才会出现22sin cos 1x x +=（常数）.至于为什么各加5个164，是因为运用均值定理时要使两处的“≥”中都取等号，必须221sin cos 2x x ==，而只有12121sin cos 64x x ==时才会有2sin x 21cos 2x ==.拓展 仿照解法3，我们可以证明下面的定理 函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域是12,1n-⎡⎤⎣⎦.证明 222112111s i n c o s s i n 222nn nn n n n n y x x x -⎛⎫⎪⎪=+=+++⋅⋅⋅++⎪⎪ ⎪⎝⎭个211211122cos 2222n n n n n n n n x n n -⎛⎫⎪- ⎪+++⋅⋅⋅+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个 ()12211min 222222222sin cos 2,222222n n nn n n n nn n n n n x x y -------=⋅+-=-==∴=. 又()2222sin cos sin cos 1nn n x x x x +≤+=，即m a 1y =.故函数()22sin cos n n y x x n N +=+∈的值域为12,1n -⎡⎤⎣⎦.据此定理，我们易知函数100100sincos y x x =+的值域为492,1-⎡⎤⎣⎦.题27 设+∈N n ，则|201||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是 ．（第九届高二培训题第53题）解 可从绝对值的几何意义上去想，以|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 为例，如图：1 2 3 4B A所给的式子的几何意义是数轴上坐标为n 的点N 与坐标为1、2、3、4的4个点的距离的和．显然，当N 在线段AB 之外时，和大于N 在线段AB 上时的和；当N 在线段AB 上时，N 接近AB 的中点，和就逐渐变小，N 重合于AB 的中点时，和达到最小．因为+∈N n ，所以当n 取2或3时，|4||3||2||1|-+-+-+-n n n n 最小．对于和式S=|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n ，设数轴上的点A 、B 分别表示1949、2001，则线段AB的中点的坐标是,1975220011949=+|197519S ∴=-+-最小 |19752001|(26251)(1226)+⋯+-=+++++++(261)2627022+⋅=⨯=．评析 本题运用了数形结合的思想方法，根据两数差的绝对值的几何意义，很直观地解决了问题．拓展 运用同样的思想方法，可以得到下面的定理1 对于函数)(||)(211n ni ia a a ax x f <⋯<<-=∑=，若n 是奇数，则当21+=n a x 时，)(x f 取得最小值∑∑-=+=-21123n t tnn j jaa ；若n 是偶数，则当],[122+∈n n a a x 时，)(x f 取得最小值∑∑=+=-2112n t tnn j jaa ．例1 求函数|10||7||3||4|-+-+-++=x x x x y 的最小值．解 4=n 为偶数，-4<3<7<10,∴当]7,3[∈x 时，y 取得最小值（7+10）-（-4+3）=18. 例2 求函数|10||5||3||6||7|y x x x x x =++++-+-+-的最小值．解 5=n 为奇数，-10<-5<3<6<7,∴当3=x 时，y 取得最小值（6+7）-（-10-5）=28. 例3 已知,,x y R ∈且{1,3},y ∉求函数|16123||74||2||3||7|),(22+-++-+-+-++++=y y x y y x x x x y x f 的最小值．解 2(,)|(7)||(3)||2||(47)|f x y x x x x yy =--+--+-+--+ 2|(31216)|x y y +--+-，2247(2)33,y y y -+=-+≥ 161232-+-y y =}3,1{.44)2(32∉-≤---y y ， 2222312167.(247)(731216)41632y y y y y y y y ∴-+-≠-∴+-+---+-=-+ 1616)2(42≥+-=y ．故当且仅当x =-3且y =2时，),(y x f 取得最小值16．若定理1中的“12,,,n a a a ⋯”中有一组或几组相同的值，则定理仍然成立．但当n 为偶数且122+=n n a a 时，定理中的“122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦”应该改为“2n a x =”．例4 求函数|3|2|2|2|1|-+-++=x x x y 的最小值．解 已知函数就是|3||3||2||2||1|-+-+-+-++=x x x x x y ，n =5为奇数，12233-<=<=，y x 时，当2=∴取得最小值(33)(12)5+--+=.例5 求函数|5|4|3|3|1||2||10|-+-++++++=x x x x x y 的最小值． 解 n =10为偶数，10213335555-<-<-<==<===．故当3x =时，y 取得最小值(354)(102133)30+⨯----++=．更一般地，还有下面的 定理2 设函数1()||(,,1,2,,,)niiiii f x a x b a b R i n x R ==-∈=∈∑，则（1） 当01>∑=ni ia时，)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2） 当01=∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{12(),(),,()n f b f b f b },最小值min{12(),(),,()n f b f b f b }．（3） 当01<∑=ni ia时，)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},但无最小值．证明 不失一般性，设n b b b ≤⋯≤≤21，则 -)(111b x b a x a n i ni ii i≤+∑∑==,)(x f = )1,,2,1,)(()(11111-⋯=≤≤---++==+==∑∑∑∑n i b x bb a b a x aai ini j jj ij j j ni j jij j,)(11nn i ni ii ib x b a x a ≥-∑∑==,由此可见，函数)(x f 的图象是左右两侧两射线和中间的（n-1）条线段依次连结而成的“折线形”．(1)若01>∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向上无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最小值min{12(),(),,()n f b f b f b },但无最大值．（2）若01=∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点（)(,1,1b f b ）和点（,()n n b f b ）向左右沿平行于x 轴方向无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值max{)(),(),(21n b f b f b f ⋯},最小值min{)(),(),(21n b f b f b f ⋯}．（3）若01<∑=ni ia，则函数)(x f 的图象中的左右两射线分别由点()1,1,()b f b 和点(),,()n n bf b 向下无限延伸，中间是（n-1）条线段依次连结的折线，因此)(x f 有最大值{}12max (),(),,()n f b f b f b ,但无最小值．根据定理1，不难知道本赛题所求最小值为（1976+1977+…+2001）-（1949+1950+…+1974）=702（当n=1975时取得）．想一想下面的问题：假设有一座大楼，从第1949层到第2001层，每层指定1人集中到该楼第k 层（20011949≤≤k ）的会议室开会，为使参会人员上、下楼梯所走的路程总和最小，求k 及最短路程（假定每相邻两层楼之间的楼梯长均为1）．这一问题与本赛题实质是否是同一问题？ 下面的问题供读者练习：1、 求)(|1|2|1|2||)(R x x x x x f ∈-++-=的最小值．2、求()|6||3||16|f x =+-的最大值． 3、 求()|1||2||3||4||1998||1999|()f x x x x x x x x R =---+---+--+-∈的最小值．答案：1、-3 2、5 3、999 题286110s =+++，则s 的整数部分是 （ ）A 、１９９７ Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题） 解 若}{n a 是等差数列, n a >0,则da a a a a a a a n n n n n n n n 11111-----=--=+(d N n n ,,2+∈≥是公差).由此，得66611122332101010s =++=++++<+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++=-+++++110101231121211101022326666 )((6121101211999⎡⎤=++++=+-+=⎢⎥⎣⎦.又知110102232122110131211666-++++++>-++++> s =()199810126=+-.19991998<<∴s ，[]1998=s ，∴选B.评析 s 显然是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1的前610项的和，直接求和，无法可依.能否用裂项相消法将每一项拆成异号的两项之和呢？考虑到111--=-+n n n n，于是将n1变为nn +2，再放大为12-+n n.这是一道用“放缩法”求解不等式问题的好题目。
希望杯真题13年第二十四届高二第2试
第二十四届 希望杯 全国数学邀请赛高二㊀第2试试题一㊁选择题(每小题4分,共40分.)1.已知函数y =f (x )是偶函数,且f (4+x )=f (4-x ),则函数f (x )()(A )是周期为2的函数.(B )是周期为4的函数.(C )是周期为8的函数.(D )不是周期函数.2.两个非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a +b |,则向量a 和b 的夹角等于()(A )60ʎ.(B )90ʎ.(C )120ʎ.(D )150ʎ.3.若函数y =x 2+a x +a 2+52a -2有4个单调区间,则实数a 的取值范围是()(A )(-ɕ,-4).(B )(-4,23).(C )(23,+ɕ).(D )[-4,23].4.当0<x <π2时,下列命题中正确的是()(A )s i n (c o s x )>c o s (s i n x ).(B )s i n (c o s x )<c o s (s i n x ).(C )s i n (c o s x )=co s (s i n x ).(D )s i n (c o s x ),c o s (s i n x )的大小不确定.5.直线3a x -2b y -3=0(a >0,b >0)与曲线x 2+y 2-2x +6y +1=0相交于A ㊁B 两点,若A B =6,则1a +1b的最小值是()(A )22.(B )3.(C )32.(D )3+22.6.若关于x 的不等式1<2c o s x -3a2a -c o s x<2有解,则参数a 的取值范围是()(A )(-47,0)ɣ(0,47).(B )(-47,0)ɣ(0,35).(C )(-35,0)ɣ(0,35).(D )(-35,0)ɣ(0,47).7.已知集合A ={(x ,y )|y =-x 2},B ={(x ,y )|(x -5)2+(y -1)2=4},M ɪA ,N ɪB ,则|MN |m i n =()(A )25-2.(B )2.(C )23-2.(D )23+1.8.已知椭圆C 的两个焦点分别是F 1(-1,0)和F 2(1,0),且C 与直线x +y -3=0有公共点,则C 的离心率的最大值是()(A )612.(B )55.(C )66.(D )510.9.L e t A B C D b ea t e t r a h e d r o n w i t he d g e l e n gt h7,13,18,27,36,a n d 41.I f A B =41,t h e n C D =()(A )7.(B )13.(C )18.(D )27.10.在平面直角坐标系中,过点A (2,3)且与单位圆O 相切的圆的圆心轨迹是()(A )圆.(B )椭圆.(C )双曲线.(D )抛物线.二㊁填空题(每小题4分,共40分.)11.已知关于x 的函数y =l g[x 2+2(a +1)x +1]的定义域是R ,则a 的取值范围是.12.已知f (x )=x +2x,则函数y =f (f (x ))的单调递增区间是.13.若关于θ的不等式c o s 22θ-2c o s 2θ+4-m 2<0的解集为{θθʂk π+π2,k ɪZ },则实数m 的值是.14.S u p p o s e f (x )=12x +5+l g 1-x 1+x ,t h e n t h e s o l u t i o n s e t f o r t h e i n e q u a l i t y f [x (x -12)]<15w i l lb e .15.已知直线l :y =k x -1与圆C :x 2+y 2-8x -6y +21=0交于A ㊁B 两点(C 为圆心),若C A ң㊃C B ң=0,则k =.16.已知三棱锥A B C D 的侧棱长都是6,且A B ʅA C ,A B ʅA D ,øC A D =60ʎ,点E ㊁F 分别在A C ㊁A D 上,C E E A =A FF D=2,则V F B D E =.17.若关于x 的方程3c o s 2x -2kc o s x=25有解,则参数k 的取值范围是.18.已知抛物线C :x 2=4y 的焦点是F ,直线l 与C 交于A ㊁B 两点,若A F =2,B F =5,则满足条件的直线l 的条数是.19.有一个正四棱锥V A B C D ,侧面都是边长为1的正三角形,设点P 在侧面V A B 的边A B 的高线上,且点P 到点V 与到边A B 的距离比为1ʒ3,M 是边B C 的中点,则在棱锥表面上从点P 到点M 的最短距离是.20.以棱长为1的正方体的一个顶点,以及与它不共面的三个面的中心组成一个三棱锥,则这个三棱锥的体积是.三㊁解答题每题都要写出推算过程.21.(本题满分10分)已知函数y =f (x )=2-1x,数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=f (a n ).(1)证明:存在一个等差数列{b n },使得当n >1时,a n =b nb n -1成立;(2)求{a n }的通项公式.22.(本题满分15分)已知四棱锥P A B C D 的底面是正方形,P D =A D =4,P D 与底面成60ʎ角,点H 在A D 上,且PH ʅ底面A B C D ,点M 是P C 的中点.求:(1)DM 与B C 所成角的余弦值;(2)直线P C 与H B 间的距离.23.(本题满分15分)在平面直角坐标系x O y 中,曲线C 的方程是x 29+(|y |-1)24=1,内接于曲线C 的矩形D 的边都平行于坐标轴.(注:矩形D 的顶点在曲线C 上,且矩形D 的边上的任意一点(x 0,y 0)在曲线C 内,即x 209+(|y 0|-1)24ɤ1.)(1)求矩形D 的周长L 和面积S 关于x 的函数表达式;(2)求周长L 的最大值.高二第2试答案21.（1）略.（2）数列{a n}的通项公式是1 nnan+=.22.（1）4.（2）31.23.（1）.。
“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究举办“希望杯”全国数学邀请赛有助于鼓励和引导中小学生学好数学课程中最主要的内容，适当地拓宽知识面；启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际中的应用；激励他们去钻研和探究；培养他们科学的思维能力、创新能力和实践能力；高二参赛学生作为一个特殊的参赛群体，既可以暂时避开来自高考的压力，又作为“希望杯”全国数学邀请赛参赛队伍中年级最高的一个群体，此赛事对这批学生来讲意义更为重大。
他们对初高中知识掌握较全面，命题人可供选择的知识点更宽泛，同时又因为他们即将面临高考，此赛事在锻炼高二参赛学生的思维，拓宽他们的解题思路方面有很大贡献。
因此有很多学者致力于研究“希望杯”全国数学邀请赛的高二试题部分。
高二“希望杯”全国数学邀请赛第一届是在1990年举行的，至今已成功举办了21届。
21年的发展历程，让“希望杯”倍受关注。
众多学者对高二“希望杯”的研究主要可以分为以下几个方面：（一）寻求高二“希望杯”试题的一题多解（二）探讨高二“希望杯”中同类题型，或给出统一解法（三）找出高二“希望杯”试题与高考试题间联系关于“希望杯”试题的一题多解的研究方明（湖南省长沙雅礼中学）发表于《数理天地》高中版2006年第6期第23页，第42页《换元法解第十七届“希望杯”试题》中，作者选取了“希望杯”高二第17届（2006年）第1试试题18向我们展示一题多解的魅力。
尽管解题思想不同，用换元或是用基本不等式，却是殊途同归。
王钦茹赵平礼（山东苍山县卞庄二中）发表于《中学数学教学》1999年第4期第34页上《一道“希望杯”赛题的几何证法》中，作者针对第七届全国数学“希望杯”高二年级第2试试题22（1），在不利用未编入教材的微积分知识的前提下，提出一种初等解法，其中主要用到三角形及扇形的面积公式。
知识点粗浅，方便理解。
王成维吴杰夫（天津市现代联合咨询中心高考研究室）发表于《数理天地》高中版2006年第6期20-21页《第17届“希望杯”高二2试解答题的别解》中，作者仅选取该届试题的2试试题，另辟蹊径地给出了自己较为简便的算法，该算法切入口明显，向下行走顺畅自然，易于理解。
历届高二“希望杯”全国数学邀请赛第二试试题
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日 上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f ( x ) = log 13( 2 x 2 + 2 + 1 ) x 是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ）（A ）24 （B ）25 （C ） （D ）263、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A ）– 6 （B ）– 3 （C ）3 （D ）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆） 4、直线y = x + 3和曲线 –||4x x +29y= 1的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ∙ f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f + … +(2000)(1999)f f =（ ）（A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）20026、定义在R 上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (13) = 0，则不等式f ( log 18x ) > 0的解是（ ） （A ）(12，1 ) （B ）( 2，+ ∞ ) （C ）( 0，12)∪( 2，+ ∞ ) （D ）(12，1 )∪( 2，+ ∞ )7、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x 的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断： ⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{21()f n }的前n 项和是2(237)6n n n ++；⑶ lim n →+∞(1(1)f n +–1()f n ) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 9、已知x 、y 、z ∈R +，且1x+2y+3z= 1，则x +2y +3z 的最小值是（ ）。
2013全国希望杯第二试试卷(特) 姓名 分数1
2013全国希望杯第二试试卷姓名分数填空题1、比较大小。
2、若x=,则x的整数部分是。
3、在一个面积为28平方厘米的正方形内画一个尽可能大的圆，这个圆的面积是平方厘米。
（结果保留π）4、一个两位数，若它的每个数位上的数字和的3倍加上原数，等于原数的十位数字与个位数字互换位置所得的数，那么，这样的两位数有个。
5、甲乙两个自然，如果甲数等于乙数的，并且甲乙两数的最小公倍数比它们的最大公约数大2013，那么，甲数比乙数小。
6、在一根木棍上画三种刻度线：第一种刻度线将木棍分成18等份；第二种刻度线将木棍分成12等份；第三种刻度线将木棍分成15等份，如果沿着每条刻度线将木棍锯成若干小段，那么一共锯成小段。
7、某景点门票36元一张，十月一日门票降价，当天游客量比平时日均游客量增加了一半，门票收入增加了四分之一，十月一日这个景点的门票降价元。
8、如图1在梯形内有两个面积分别为8和10.5的三角形，已知梯形的上底是下底长的，那么，阴影部分的面积是。
9、有从1开始的n个连续的自然数，如果去掉其中的一个数后，余下各数的平均数是，那么，去掉的数是。
10、一个书架有上下两层，若上层的书的本数增加，则书架上共有193本书，那么，这个书架原有书本。
11、如图2，有红、黄、绿三块大小相同的正方形纸片，放在一个底面是正方形ABCD的盒内，它们这间有部分互相叠合，如果露在外面的部分中，红色的面积是24，黄色的面积是18，绿色的面积是12，那么盒子底面是。
12、如图3，一只蚂蚁从A点出发沿网格线到B点，最近的走法有种。
二、解答题（每题15分，共60分）每题都要写出推算过程13、某工厂接到一个订单，先由甲车间工作5小时，再由乙车间工作3小时刚好完成，此时又接到一个订单，订货量是第一个订单的2倍，工厂安排甲乙两个车间先共同工作8小时，余下的工作由乙车间完成，已知乙车间的工作效率是甲车间的，做第二个订单时甲车间比乙车间多生产了30个产品，问:(1)做第二个订单时乙车间工作了多少小时？(2)完成两个订单，甲乙两个车间共生产了多少个产品？14、如图4，在直角梯形ABCD中，上底AD长3厘米，下底BC长9厘米，高AB长8厘米,腰CD长10厘米，使直角梯形以其中一条边为轴旋转一周，得到一个立体图形，这样的立体图形中，体积最大是多少立方厘米？（结果保留π）15、小刚、小王、小亮分别有22张、14张、12张邮票，如果每次他们三个人中的任意两人各拿出1张邮票给第三人，试问：能否经过若干次这样的交换，使得：（1）小刚、小王、小亮分别有25张、17张、6张邮票。
2013年第24届希望杯高一年级1试试题及答案
第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试试题2013年3月17 上午8：30至10：00一、选择题（每小题4分，共40分） 1.给出下列五个函数：○1y x =；○22log y x =；○33y x=；○412y x =；○53xy = 其中，值域是一切实数的是（ ） （A ）○2，○4 （B ）○1，○2 （C ）○3 （D ）○22.已知,,,,p q a b c R ∈，并且2,0a p q bc pq =+=≠，则关于x 的方程220bx ax c -+=的根的情况是（ ） （A ）无实根 （B ）有两个相等实根 （C ）有两个不等实根 （D ）有两个实根3.If polynomial 32251x x -+ was divided by 2x - , the remainder will be ( ) （A ）3（B ）-3（C ）5（D ）-54.在平面直角坐标系xOy 的圆的圆心从原点O 连续地向右平移到点A(1,0)，在这过程中，圆面内（含边界）包含的整点（横、纵坐标都是整数的点）的个数不可能是（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）95.当01a <<时，不等式()()1log 43log 2a ax x ->-+的解是（ ）（A ）12x > （B ）423x -<<（C ）1423x << （D ）122x -<<6.要想得到函数3sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，中需要将函数3cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像（ ） （A ）向左平移2π个单位 （B ）向右平移2π个单位 （C ）向左平移4π个单位（D ）向右平移4π个单位7.In the triangle ABC ,if the interior angles satisfy sin(A-B)=35sinC ,then tan tan A B=( ) (A)2（B ）4 （C ）1 （D ）58.函数32331y x x x =-++的图像关于( ) (A)点(1,2)成中心对称 (B)点(-1,2)成中心对称 (C)直线1x =成轴对称 (D)直线1x =-成轴对称9.在锐角ABC ∆中,下列结论一定成立的是( ) (A)sin sin log 0cos CA B > (B) sin sin log 0sin C A B >(C) cos cos log 0cos C A B > (D) cos cos log 0sin C AB>10.如图1,ABCD-GHEF 是棱长为a 的正方体,点M 和N 分别是BEH ∆和HEG ∆的内心,则线段MN 的长是( )(A)12a (B)25a (C))1a(D)(2a -二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11.设9815,log ,log 43a b c ===>”连结,,a b c ，则是 12.函数12x y -=与12xy -=的图像关于直线 对称。
【2013】希望杯竞赛数学试题详解(31-40题)
题31 已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yzu x y z x y z+=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32 已知a,b R ∈，且a b 10++=，则()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33 实数x ，y 满足方程94622--=+y x y x ，则y x 32-的最大值与最小值的和等于_______.（第十届高二第二试第17题）题34 线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是 （ ）A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或 （第八届高二培训题第2题）题35 过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题) 题36 某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量分别为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量分别为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每个生产周期只能供应A 、B 、C 、D 四种原材料分别为80吨、80吨、60吨、70吨.若甲、乙产品每吨的利润分别为2百万元和3百万元.要想获得最大利润，应该在每个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37 点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心以外的一点，则直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是 （ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题）题38 过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 .（第二届高二第二试第15题）题39 若实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y的取值范围是——. （第九届高二第一试第17题）题40 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，则C 的取值范围是（ ）A 、(]0,∞-B 、[2,)+∞ C 、[21,)-+∞ D 、[12,)-+∞(第七届高二第一试第10题)31.解法1 取待定正数βα、，由均值不等式得()()11xy yz x y y z αβαβ⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222222222111111,22x y y z x y z αβαβαβαβ⎛⎫⎡⎤⎛⎫≤+++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦令,112222ββαα=+=则.21,2,2,244422==∴==βαααα于是()()2222222222z y x z y xyz xy ++=++≤+α ()222,,xy yzu x y z x y z +∴=++ ()222222222,2x y z x y z ++≤=++当1,2,1===z y x 时取等号..22max=∴u 解法2 (),1,,,22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++=∈+y z y x y zy x zy x yzxy z y x u R y 可化为,01122=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛u y z y x y z y x 配方，得.1212121222-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-u u y z u y x 由上式可得,01212≥-u 即,,,.2222+∈≤≤-R z y x u 由已知，显然有20,0.2u u >∴<≤ max 22u ∴=（当22==y z y x 时，u 取得最大值）.解法3 由已知，得(),,,.222+∈+++=R z y x z y x yz x u 且,22222z x z x +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()222222222222.22x z yy x z u xz y y x z +⋅+∴≤≤=+++当且仅当z x =且,222y z x =+即 y z x 22==时取等号..22max =∴u 解法4 ,,,x y z R +∈ 22222221122x y z x y y z ∴++=+++ 22122x y ≥⋅22122y z +⋅()2,xy yz =+当且仅当y z x 22==时取等号. ()222,,xy yzu x y z x y z +∴=++ ()2.22xy yz xy yz +≤=+∴当且仅当y z x 22==时，u 取得最大值.22解法5 222222211122x y y z x y z u xy yz xy yz ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==++ 112222xy yz xy yz+≥+A D BC 1A 1D 1B 1C ()22,xy yz xy yz+==+,22≤∴u 当且仅当,21222z y x ==即y z x 22==时取等号，.22max =∴u 解法6 (),2,222222y x yx xy y x +≥+≥+ ()222222xy yz xy yzu x y z x z y ++∴=≤++++ ()()()()()22222.2222xy yz x z y x z yx z y++=≤=+++当且仅当∴y z x 22==时，.22max =u 解法7 构造如图长方体1AC ，设对角线11,AC d AC =与交于点1C 的三个面所成的锐角分别为γβα,,，长方体的三条棱分别为.,,z y x 则有.s i n ,s i n ,s i n .2222dzd y d x z y x d ===++=γβα ()1sin sin sin222=++γβα于是2222sin sin sin sin xy yz xy yz x y y z u x y z d d d d dαββγ++===⋅+⋅=+++ 222222211sin sin sin sin sin sin sin 222.2222αβγβαβγ++++≤+==,sin 2sin sin γβα==∴当且仅当即y z x 22==时，.22max =u 解法8 由,222zy x yzxy u +++=得()()2220uy x z y u x z -+++=（1）,0,,,>∈+u R z y x ∴关于y 的一元二次方程（1）的判别式()()042222≥+-+=∆z x u z x ，解得()().2144222222222222=++++≤+++≤z x z x z x z x xz z x u 当且仅当z x =时取得等号. 2max 1,2u ∴= max 2.2u ∴=把z x =代入（1）可得x y 2=,.2222m ax ===∴u y z x 时，当且仅当 评析 222,xy yz u x y z +=∴++ 若()222xy yz k x y z +≤++，则u k ≤，这就是说，只要xy yz +与222x y z ++的倍数之间建立了不大于的关系，则u 的最大值就求出了.因而解决问题的关键就在于找出这样的关系.解法1通过引入正参数α、β，并运用,222b a ab +≤解法3运用公式22222b a b a +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+，解法4、解法5运用ab b a 2≥+，解法6运用()2222222y x yx xy y x +≥+≥+及，圆满解决了这一关键问题.解法2通过将u 的分子、分母同除以2y ，巧妙地通过配平方，得到2110,2u-≥进而得202u <≤，很富新意.解法7通过构造长方体（若三条棱分别为z y x ,,的长方体的对角线长为l ，则有,2222z y x l ++=而222z y x ++恰好是u 的分母，且长方体中有1s in s in s in 222=++γβα）解决问题.解法8则把222xy yz u x y z+=++变为()()2220uy x z y u x z -+++=，看作关于y 的一元二次方程，利用其有正根的条件得到22≤u ，是方程思想的典型运用. 拓展 设,x y R +∈，显然有()22,xy u x y x y =+的最大值为12，即c o s 3π；设,,x y z R +∈，已解出()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值为22，即cos .4π我们不妨猜想：命题 若()01,2,,2,k a k n >=≥ 则1223122212n n n n a a a a a a f a a a -++⋯+=++⋯+的最大值是.1cos +n π证明 取正参数有,,,,21n λλλ⋯()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋯+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⋯++----n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1113222211113221111λλλλλλ 22222221122112221211111.2n n n n n a a a a λλλλλλ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫≤+++⋯+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦令222121222121111n n n λλλλλλ---=+=⋯=+=（1），因求最大值，故还必须有,1,,1,111132222111n n n n a a a a a a ---=⋯==λλλλλλ此即,1221a a =λ.,,1212322--=⋯=n n n a a a a λλ将上式代入（1），得nn n n n a a a a a a a a a a 11223112---=+=⋯=+= （2），令21,r λ=则21132211,,,,.n n n n n a ra a a ra a a ra a ra ---=+=⋯+==观察（2）的形式，考虑作代换(),1.,1112---+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==+∈∈+=k k k k a q q ra a a R r C q q q r q qa a k k 11=-∴-()()123,k k a qa k n ---≤≤故数列{}1k k a qa --是公比为1q 的等比数列， ()112111221111.k k k k k a a qa a qa q a qa q q q q ----⎡⎤⎛⎫∴-=-=+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦于是111k k k k q a q a a ---= （3）.再令则,1k k k a qb -=（3）为()11112a b b b q b k k =+=-注意，上式变形为.11211221⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=---q b b q q b b k k 这样，又得到一个公比为2q 的等比数列()12211212111,1-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧--k k k q q b b q b b q b b ，即22112211,11k kk q q b b a q q --==-- ()()211121,1k kk k k q a b a q q q ---∴==-故有()()2211221,1n n n q a a q q ----=-()()211211q q a q a n n n --=-.而 11,n n n a ra q a q -⎛⎫==+ ⎪⎝⎭故有()()()()22211221211111n nn n q a q a q q q q q q-----⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭，整理得()2221n q q -- ()()2211,n q q =-+化简得22 1.cossin 11n m m q q i n n ππ+=∴=+++(),021m Z m n ∈≤≤+. n f 的最大值唯一，∴应能求出m 的一个确定的值，对于这个m 的值，我们有()().1cos 2112121max+=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==n m q q q q r f n π12231122212n n n n na a a a a a a a f a a a -++⋯++<++⋯+ ()()()()()222222221223111223112n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤=++⋯++÷++++⋯++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()122311max 12231121,1,2n n n n n n n a a a a a a a a f a a a a a a a a --++⋯++≤=∴<++⋯++从而0.m ≠又 （1）和（2）是n f 取最大值的充要条件，由（1）（2）可推得()()211211kk k q a a q q --=-（3）.将cos sin 11m m q i n n ππ=+++代入（3），化简得1sin1,sin1kkm n a a m n ππ+=+ 对任意1,,k n k Z ≤≤∈都有0,k a >∴应取1m =.至此，已推知()max cos.1n f n π=+32.解法1 (),a b 是直线10x y ++=上的动点，点()2,3A 到此直线上各点距离的最小值是点A 到该直线的距离231322d ++==，()()222min 2318a b d ⎡⎤∴-+-==⎣⎦.解法2 ()()()()()2222211232232322a b a b a b ⎡⎤-+-=⋅-+-≥-+-⎣⎦()()221116061822a b =++-=-=.当23a b -=-，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法3 ()()()()()()()222222211a 2b 3a 2b 311a 21b 3122⎡⎤-+-=-+-+≥-⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22112361822a b =-+-=-=.当2311a b --=，即1,0a b =-=时取等号.∴所求最小值为18. 解法4 ()()()()()()()222222a 2b 3a 2b 3a 2b 3a b 5⎡⎤-+-=-+-+---=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()21a b +-+，()()()()()22222111123515(2222a b a b a b a b a b ∴-+-=+-+-+≥+-=+()22116)6182+-=⋅-=．当10,a b -+=即1,0a b =-=时取等号()()22,23a b ∴-+-的最小值为18.解法5 ()()()()2222210,1,23242a b b a a b a a a ++=∴=--∴-+-=-+--=+()24202118.a a +=++∴当1a =-时，()()2223a b -+-有最小值18.解法6 设()()22230,a b t -+-=>又设2cos ,3sin ,a t b t θθ-=-=则a =cos 2,sin 3,t b t θθ+=+由10,a b ++=得cos sin 60,t t θθ++=即2sin()4t πθ+60.22sin()2,262sin()626,44t t t t t t ππθθ+=-≤+≤∴-+≤++≤+ 即2t -6026,t +≤≤+解得()()2218.23t a b ≥∴-+-的最小值为18.解法7 构造向量()221,1,(2,3),cos ,x y a b x y x y x y x y θ==--⋅=⋅⋅≤⋅∴⋅2,x y ≥⋅ 即()()()()()()222222112312135a b a b a b ⎡⎤+⋅-+-≥⋅-+⋅-=+-⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2221636,2318.a b a b =++-=∴-+-≥∴当且仅当1,0a b =-=时， ()()2223a b -+-取得最小值18.评析 因为已知10,a b ++= 所以要求()()2223a b -+-的最小值，关键就是得到()()2223a b -+-与关于a b +的式子之间的大于等于关系.解法2利用()()2222,a b a b +≥+解法3利用柯西不等式()()()22222,ab c d ac bd ++≥+解法4巧妙地利用配方法，都顺利地解决了这一关键问题.解法5则是把1b a =--代入所求式，使之变为关于a 的二次函数，再求其最小值，是函数思想的具体运用.解法6设()()2223a b t -+-=后，运用三角代换，最终转化成解关于t 的不等式，是等价转化思想在解题中的一次妙用.解法7通过构造向量，利用x y x ⋅≤⋅,y即222x y x y ⋅≥⋅ 使问题获解，充分发挥了新教材中向量这一工具在求代数最值中的作用.应当指出，许多最值问题都可以通过构造向量，利用向量的上述性质得到解决.而解法1则是将()()2223a b -+-看作定点()2,3A 与直线10x y ++=上的动点的距离的平方，故能直观地知道点()2,3到直线10x y ++=的距离的平方就是所求的最小值，简洁明了，充分显示了等价转化与数形结合思想的威力.拓展 将此赛题一般化，便得下面的定理 若x,y 满足0Ax By C ++=（A 、B 、C 是实常数，A 、B 不全为零），m ，n 是实常数，则()()22x m y n -+-的最小值是()222Am Bn C A B+++.证明 ()()()()22222x m y n x m y n ⎡⎤-+-=-+-⎢⎥⎣⎦，表示定点(),m n 与直线Ax By ++0C =上的动点之间的距离d 的平方.()()2222,Am Bn C d x m y n A B++=∴-+-+ 的最小值是()222Am Bn C A B +++.运用该定理解本赛题：1,2,3,A B C m n =====∴ 所求最小值是222(12131)1811⨯+⨯+=+. 下面的题目供读者练习：1.已知x ，y 满足x 2y 40+-=，求()()22x 3y 2-++的最小值. 2.已知p,q R ∈，且2p 3q 60++=，求()()22p 1q 3++-的最小值. 3.已知m,n R ∈，且3m 2n 120--=，求()()22m 2n 3++-的最小值.答案 241.52.133.131333.解法1 题设方程就是()22(3)24x y -++=，设⎩⎨⎧=+=-θθs i n 22c o s 23y x ，即⎩⎨⎧+-=+=θθs i n 22c o s 23y x ,则232(32cos )3(22sin )x y θθ-=+--+4cos 6sin 12θθ=-+ 213cos()12θψ=++(3tan 2ψ=)，13212)32(max +=-∴y x ， 13212)32(m in -=-y x .24)32()32(m in m ax =-+-∴y x y x .解法2 题设方程就是()22(3)24x y -++=，根据柯西不等式，22222[2(3)(3)(2)][2(3)][(3)(2)]13452x y x y -+-+≤+--++=⨯=，即52)1232(2≤--y x ,52123252≤--≤-∴y x ,5212325212+≤-≤-y x , 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法3 题设方程就是()22(3)24x y -++=，结合23u x y =-， 又配方2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ，于是2)1232(413--≥⨯y x ，即5212325212+≤-≤-y x .m in m ax )32()32(y x y x -+-∴24)5212()5212(=-++=.解法4 设23u x y =-，则233uy x =-，代入94622--=+y x y x ，整理得 2213(430)12810x u x u u -++-+=，R x ∈ ， 22(430)413(u u ∴∆=+-⨯⨯-1281)0u +≥，即224920u u -+≤，解之得12521252u -≤≤+. 24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法5 已知等式()22(3)24x y -++=表示一个圆，令t y x =-32，即y x 32-0=-t ，表示一直线，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离应小于等于圆的半径，即2)2(3|)2(332|22≤-+--⨯-⨯t ，即132|12|≤-t ，解得52125212+≤≤-t ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .解法6 已知方程就是()22(3)24x y -++=，构造向量)3,2(-=→a ，)2,3(+-=→y x b .|||||||cos |||||a b a b a b θ→→→→→→⋅=⋅≤⋅ ，222||||||→→→→⋅≤⋅∴b a b a ，即[]()()22222222(3)3(2)2(3)(3)(2)13452x y x y --+≤+-⋅-++=⨯=.即 2(2312)52x y --≤,于是,5212-521232+≤-≤y x ，24)5212()5212()32()32(m in m ax =-++=-+-∴y x y x .评析 因为已知方程就是()22(3)24x y -++=，而要求的是一次式y x 32-的最大值与最小值的和，所以解法1运用三角换元，将问题转化为求三角函数的值域，这是解决这类问题的通法，已知方程表示椭圆时，此法仍然适用.解法2运用柯西不等式求解，之所以凑成2)]2()3()3(2[+⨯-+-⨯y x ，是因为这样才会出现y x 32-，并可利用()22(3)24x y -++=.解法3运用的是配方法，请读者思考为什么如此配方：2222)523()1232(])2()3[(13-++--=++-y x y x y x ?解法4运用的是待定参数法及方程思想，也是解决这类问题的通法.解法5运用数形结合思想，将抽象的代数问题转化成直观的几何问题，轻松解决问题.解法6通过已知方程()22(3)24x y -++=联想到向量模的平方，从而通过构造向量，运用222||||||a b a b →→→→⋅≤⋅解决问题，思路清晰，体现了向量在解题中的工具作用.拓展 将此赛题一般化，便得命题1 实数y x ,满足()),0()(222>=-+-r r n y m x ，实数q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明 设px qy u +=，即0px qy u +-=①，又已知()222)(r n y m x =-+-②，由题意，直线①与圆②有公共点，故圆心),(n m 到直线①的距离小于等于圆的半径r ，即22||pm qn u r p q +-≤+，即22|()|u pm qn r p q -+≤+，22()r p q u pm qn ∴-+≤-+22,r p q ≤+即qn pm q p r +++-22u ≤≤qn pm q p r +++22，∴m ax )(qy px + qn pm q p r qy px +++-=++22min )()(222qn pm qn pm q p r +=++++.将命题1中的圆改为椭圆，又得命题2 实数y x ,满足),0,(1)()(2222b a b a b n y a m x ≠>=-+-，q p ,不全为零，则m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.证明 设θcos a m x =-，θsin b n y =-即θcos a m x +=,θsin b n y +=,qy px +∴(cos )(sin )cos sin p m a q n b pa qb pm qn θθθθ=+++=+++ 2222cos()p a q b θϕ=+-2222[,pm qn p a q b pm qn ++∈-+++]2222qn pm b q a p +++，（其中paqb=ϕtan ）. ∴m ax )(qy px +min ()2()px qy pm qn ++=+.34.解法1 线段AB 的方程为212222---=++x y ，即4x+3y-2=0(-1≤x ≤2),由⎩⎨⎧=-++=02343y x kx y ，得k x 347+-=，令-1≤k347+-≤2，解得125≥-≤k k 或，选D.解法2 如图1所示，y=kx+3是过定点M （0，3）的直线系方程，易求得直线MA 、MB 的斜率分别是25,1-==MBMA k k ,当直线MA绕点M 逆时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由1增加到+∞；当直线MB 绕点M 顺时针旋转与线段AB 相交时，其斜率由25-减小到-∞，所以125≥-≤k k 或，故选D.解法3 如图2，设直线MA 与MB 分别与x 轴交于点A ’，B ’，易求得直线MA 、MB 的方程分别为y=x+3,y=25-x+3,从而可求得A ’（-3，0），B ’（-56，0），在△MA ’B ’ 中，过M 任作一条直线y=kx+3交边A ’B ’于点N ，则直线也必与线段AB 相交，反之亦然.OM ⊥A ’B ’，|OM|=3，k=tan ∠MNO （N 在OA ’上）或k=tan （π-∠MNO ）（N 在OB ’上）两种情形，但都有ON OM k -=，所以k ON 3-=，由5633≤-≤-k ，解得125≥-≤k k 或，故选D.解法4 设直线3y k x =+与线段AB 交于点00(,3)N x kx +,点N 内分AB 所成的比为λ,则001212231x kx λλλλ-+⎧=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩,消去0x ,得1025k k λ-=>+，得52k <-或1k >.又当直线3y kx =+过点A 、B 时，k 的值分别为51,2-，所以所求充要条件为125≥-≤k k 或.故选D.解法5 当k=0时，直线y=kx+3即y=3与线段AB 显然不相交，所以排除含0的A 、B ，又当k=-1时，直线xy 图1O ABM -332 -2xy 图2O ABM-332 -2A ’B ’Ny=kx+3y=kx+3即y=-x+3与线段AB 也不相交，所以又排除含-1的C,故选D.评析 解法1运用的是方程思想，若运用这个思想，先求出直线MA 、MB 与x 轴的交点A ’，B ’的横坐标A x ’，B x ’,并求出直线y=kx+3与x 轴的交点N 的横坐标N x ，再解A x ’≤ N x ≤B x ’，同样可以解决问题.解法2直接通过观察图象，看直线y=kx+3与线段AB 相交时的k 与MB MA k k 、之间的关系而选D ，显得直观明了.解法3运用平面几何知识求N x ，别具一格.解法4运用定比分点知识求解,也是解此类问题的通法之一.解法5运用了特殊值法，显得最为简捷.值得注意的是，如果取k=1，发现直线y=kx+3与线段AB 相交，此时就选A 那就错了，请读者想想这是什么原因.拓展 已知直线:(,)10l f x y x y =--=,显然点A （0，1）、B （1，3）与点C （1，-1）、D （3，1）都在l 的同侧，点A 、C 与点B 、D 都在l 的异侧，∵f (0,1)=-2<0，f (1,3)=-3<0，f (1,-1)=1>0，f (3,1)=1>0∴f (0,1)与f (1,3)同号，f (1,-1)与f (3,1)同号，f (0,1)与f (1,-1)异号，f (1,3)与f (3,1)异号，是否对于任意直线l 的同侧或异侧的任意两点都有此结论呢？经研究，我们有下面的定理1 已知两点M （x 1,y 1）、N(x 2,y 2)及直线:(,)0l f x y Ax By C =++= (1) 若点M 、N 在l 的同侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0; (2) 若点M 、N 在l 的异侧，则f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.证明 （1）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 都在l 的上方，则,,2211BC x B A y B C x B A y -->--> 所以当B>0时，有0,02211>++>++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当B<0时，有0,02211<++<++C By Ax C By Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0,所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为(,)0f x y Ax c =+=，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 都在l 的右侧，则ACx A C x ->->21,，所以当A>0时，0,021>+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0.综上可知，当点M 、N 在l 的同侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)>0. （2）10当B ≠0时，不妨设点M 、N 分别在l 的上、下方，则1122,A C A Cy x y x B B B B>--<--，故当B>0时，有11220,0Ax By C Ax By C ++>++<, 即f （x 1,y 1）>0， f (x 2,y 2)<0; 当B<0时，有0,02211>++<++C By Ax C By Ax , 即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；所以当B ≠0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0；20当A ≠0，B=0时，l 的方程为f(x,y)=Ax+c=0，此时l ⊥x 轴，不妨设设点M 、N 分别在l 的左、右侧，则ACx A C x ->-<21,.所以当A>0时，0,021>+<+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）<0，f (x 2,y 2)>0；当A<0时，0,021<+>+C Ax C Ax ，即f （x 1,y 1）>0，f (x 2,y 2)<0，所以当A ≠0，B=0时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0.综上可知，当点M 、N 在l 的异侧时，f （x 1,y 1）f (x 2,y 2)<0. 根据定理1，不难得到定理2 直线Ax+By+C=0与以点P 1（x 1,y 1）、P 2 (x 2,y 2)为端点的线段相交的充要条件是0))((2211≤++++C By Ax C By Ax .运用定理2，可得本赛题的如下解法：直线y=kx+3即kx-y+3=0，由定理2，可知（-k-2+3）（2k+2+3）≤0，即125≥-≤k k 或为所求的充要条件，故选D.35.解法 1 记过点()1,1P 的动直线为l ,()O Q ,1,0为坐标原点(如图),则当直线l 从OP 的位置绕点P 顺时针转动到直线PQ 的位置时,它和坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积从零增加到∞+,故围成的三角形在第二象限时,满足条件的直线l 有且只有一条,同理,围成的三角形在第四象限时,满足条件的直线l 也有且只有一条,并且,满足条件的三角形在第三象限不存在.当围成的三角形在第一象限时,显然l 存在斜率k ,设l 的方程为l k x k y ),0(),1(1<-=-与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点A 、B ，则1(1,0),(0,1).A B k k --111(1)(1)22S OA OB k k∴=⋅=-- ()()∴≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=,21211k k 当1-=k 时,S 的最小值为2,故当围成的三角形在第一象限时,满足题设的直线也只有一条.综上,所求的直线为3条. 下面的解法中,对“围成的三角形在第二、四象限时,满足题设的直线l 都只有一条,且满足题设的三角形在第三象限不存在”不再一一叙述,仅对围成的三角形在第一象限时加以解答.解法 2 设直线l 与x 轴,y 轴的正半轴分别交于点),0,0(),,0(),0,(>>b a b B a A 则直线l 的方程为.1=+b y a x 直线l 过点.111),1,1(=+∴b a P 故设θθ22s i n 1,c o s 1==b a (其中20πθ<<),则θθ22sin 1,cos 1==b a ,故θθθθ2222cos sin 42cos sin 2121===ab S 2122sin 22=≥=θ (当4πθ=时取等号),即2m in =S .故所求的直线共有3条. 解法3 同解法2,得4,2111,111≥∴≥+=∴=+ab abb a b a ,(当且仅当2111==b a ,即 2==b a 时取等号), 114222S ab ∴=≥⨯=,即2m in =S .故所求的直线共有3条. 解法 4 设直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点),0(),0,(b B a A ,点)1,1(P 分AB所成的比为λ,则110,11a b λλλλ⎧=⎪⎪+>⎨⎪=⎪+⎩,即)0(111>⎪⎩⎪⎨⎧+=+=a b a λλ.故211)1(211)11)(1(212121=+≥++=++==⋅=λλλλab OB OA S 1.=λ时，.2m in =S 故所求直线共有3条. 评析 上述解法都是用运动变化的观点与数形结合的思想方法分析答案的可能性.围成的三角形在第二、四象限时,l 只有一条,围成的三角形在第三象限不可能,这些是容易看到的,关键是围成的三角形在第一象限时，满足题设的直线l 有几条.直观地看,可能性有三个:0条,1条,2条.那么到底有多少条?四种解法分别用不同的方法求出了三角形面积的最小值为2,故此时的l 只有一条,从而解决了问题.此题也可直接求解:不论围成的三角形在第几象限, l 的斜率总是存在的.设l 的方程为xO 1 AP1 y B Q)1(1-=-x k y .则l与x轴,y轴的交点分别为)1,0(),0,11(k B kA --.故k k kk k k S 4)1(,2)1(211112122=-=-=-⋅-=①.当0>k 时,①就是016,4)1(22=+-=-k k k k ,有两个不等的正数解；当0<k 时,①就是,4)1(2k k -=-1,0)1(2-==+k k .故所求直线为3条.拓展 将此题内容拓广,可得定理 1 动直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P ,则直线和坐标轴在点P 所在象限内围成三角形的面积的最小值是.2mn证明 设直线l 与x 轴,y 轴分别交于点OAB b B a A ∆ ),,0(),0,(在点),(n m P 所在象限,0,0>>∴bn am ,直线l 的方程为.1=+bya x 直线l 过点ab mn b n a m b n a m n m P 21,1),,(≥+=∴=+∴,即mn ab 4≥,当且仅当n b m a 2,2==时取等号..221mn ab S OAB ≥=∴∆ 定理2 直线l 过定点)0)(,(≠mn n m P 且和坐标轴围成的三角形的面积为S ,则 ⑴当mn S 20<<时,满足条件的直线l 有且仅有两条. ⑵当mn S 2=时,满足条件的直线l 有且仅有三条. ⑶当mn S 2>时,满足条件的直线l 有且仅有四条.根据定理1的结论及图象不难知道定理2的正确性.证明从略. 题意可知求36.解 设生产甲、乙两种产品的吨数分别为x 、y .则根据函数23z x y =+的最大值，限制条件为80,2480,260,770,0,0.x y x y x x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≤⎨⎪+≤⎪≥≥⎪⎩如图，上述不等式组约束区域即图中的阴影部分.区域的顶点坐标为M （0，20），N （10，0），R ⎪⎭⎫⎝⎛13210,13100，O （0，0）,直线k y x =+32的斜率321-=k .直线8042=+y x 的斜率212-=k .由图可知，y x 32+在点R 处取得最大值，最大值为13830132103131002=⨯+⨯（百万元）. 故填13830;13100. 评析 可用若干不等式表示的限制条件下某二元一次函数的最大（小）值的应用题，通常可用线性规划知识求解，其步骤如下：x+y=807x+y=70X =302x+3y=k2x+4y=80yxOMRN1、设变量（如y x ,），建立目标函数()y x f z ,=（如y x z 32+=）.2、根据约束条件列出不等式组.3、画出不等式组表示的平面区域.4、作出直线()0,=y x f ，并将其向上或向下平移确定最优解.5、将最优解代入()y x f z ,=便得所求最值. 37.解法1 圆222ry x =+的圆心是O()0,0，它到直线200ry y x x =+的距离220222020000y x r y x r y x d +=+-⋅+⋅=， 点M ()00,y x 在圆222ry x =+的内部且不在圆心，∴r d r y x >∴<+<,02020.可知直线200r y y x x =+与圆222r y x =+相离.故选C.解法2 令1,200===y x r ，满足题设.此时，直线4=+y x 与圆422=+y x 相离.由正确选择支的唯一性，选C.评析 解析几何中，判断直线与圆的位置关系就看圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系： ⇔>r d 直线与圆相离； ⇔=r d 直线与圆相切；⇔<r d 直线与圆相交.对于二次曲线()0,:=y x f C 与点M ()00,y x 的位置关系，有下面的结论： 点M 在曲线C 上()0,00=⇔y x f ； 点M 在曲线C 内()0,00<⇔y x f ； 点M 在曲线C 外()0,00>⇔y x f .所谓二次曲线内是指曲线把平面分成的两（或三）部分中含有焦点（或圆心）的部分. 以上这些就是解法1的依据.由于是选择题，解法2运用特殊化思想求解，显得更简捷.应当指出，特殊值法（包括适当选取特殊点、特殊角、特殊函数、特殊曲线、特殊位置等）通常应是解选择题时首先考虑的方法，一旦用上，简单快捷，可以大量节省时间.此题来源于课本上的一道习题：“已知圆的方程是222r y x =+，求经过圆上一点M ()00,y x 的切线方程.”答案是200r y y x x =+.拓展 给定圆C ：222r y x =+与定点M ()00,y x ，（02020≠+y x ），则直线200:r y y x x l =+就是存在且确定的，它与定圆到底是什么样的位置关系呢？经研究，有下面的结论.结论1 若点,C M ∈则l 与C 切于点M.（这是显然的，证明略）结论2 若点M 在圆外，过点M 引圆C 的两条切线1MT 与2MT ，则200r y y x x =+为过两切点的直线方程，因而l 与C 相交.证明 设()111,y x T 和()222,y x T 是两个切点，由结论1，直线1MT 与2MT 的方程分别是211r y y x x =+与222r y y x x =+.因为它们相交于点M ()00,y x ，于是20101r y y x x =+与20202r y y x x =+同时成立.于是得200r y y x x =+表示直线21T T 的方程.l 与C 显然相交.结论3 若点M 在圆C 内且不是圆心，以M 为中点的圆的弦为AB ，过A 、B 的两条切线相交于点N ，则200r y y x x =+表示过点N 且平行于AB 的直线方程，因而l 与C 相离.证明 令N ()n m ,，由结论2，直线AB 的方程一定是2r ny mx =+.因为M 是AB 的中点，所以200r ny mx =+，这说明点N 在直线200:r y y x x l =+上.下面证明AB ∥l .①当000≠y x 时，由于O 、M 、N 三点共线，可知0≠mn ，过M 、N 引同一坐标轴的垂线，由点的坐标定义及直角三角形的相似关系，易知22001r r y n x m --=≠=，故AB ∥l .②当000=y x 时，由于02020≠+y x ，则有0,00==m x 或0,00==n y .无论哪种情况，两直线都同时垂直于同一坐标轴，并且在该坐标轴上截距不等.故AB ∥l .此时l 与C 显然相离.38.解 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--+=+-++0176601622222y x y x y x y x ，得⎩⎨⎧==32y x ，故两圆相切于点（2，3），所以所求直线方程是()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数.评析 先通过解方程组求出两圆的交点坐标，如果交点有两个：()()2211,,,y x y x ，则所求直线方程为()()()()112112x x y y y y x x --=--.但此题中的两圆只有一个交点()3,2，过点()3,2的所有直线该如何表达呢？有人表述为()23-=-x k y （k 为参数），这就错了，因为方程()23-=-x k y 表示的所有直线中并不包括直线2=x （即过点()3,2且垂直于x 轴，亦即过点()3,2且斜率不存在的那一条）.而()()032=-+-y x μλ（μλ,为参数）才能表示过点()3,2的所有直线.当0≠λ且0=μ时，该直线方程就是2=x .一般地，过点()00,y x 的所有直线组成的直线系方程为()()000=-+-y y x x μλ（其中μλ,为参数）.拓展 我们先看下面的问题：求过两圆074422=+--+y x y x 与03661222=+--+y x y x 的交点的直线方程.分析：按上面评析中的思路，先解方程组得两交点坐标，再求出过这两点的直线方程为02928=-+y x . 如果将两圆方程相减，也得02928=-+y x ，恰好就是过两圆交点的直线方程.这是否是一种巧合呢？非也.设两圆交于A 、B 两点，则A 、B 的坐标既是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+02928074422y x y x y x 的 解，也是方程组⎩⎨⎧=-+=+--+0292803661222y x y x y x 的解，即A 、B 的坐标都适合方程02928=-+y x ，故02928=-+y x 就是直线AB 的方程.那么，当两圆外切时，两圆方程相减所得方程又表示什么样的直线呢？就拿此赛题为例，016222=+-++y x y x 与0176622=+--+y x y x 两边相减，得2=x .由图形，可知直线2=x 恰好是过两圆切点的公切线.这也不是偶然的，道理与两圆相交时一样.当两圆内切时，此结论也成立.于是，我们有下面的 定理 已知两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ,则⑴当两圆相切时，过切点的公切线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D ； ⑵当两圆相交时，公共弦所在的直线方程是()()0212121=-+-+-F F y E E x D D . 39.解法1 已知方程就是()()42122=-+-y x ，()202---=+x y x y ，所以题意就是求圆()()42122=-+-y x 上的点()y x ,与定点A ()0,2-的连线的斜率的取值范围.如图,，只须求切线AN 的斜率k .易知20.1(AM k -==--tAN k NAx ∴=∠()2222123tan 2.41519AM AMk MAx k ⋅=∠===-- 120,.25y x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦注：切线AN 的斜率k 的另一种求法：设AN 的方程是(),20+=-x k y 即02=+-k y kx ，则圆心M 到切线AN 的距离等于圆M 的半径,即212212=++-⋅k kk ，解得0=k （舍去），512=k . 解法 2 已知方程就是()()42122=-+-y x ，故设,s i n 22,c o s 21θθ=-=-y x 即,sin 22,cos 21θθ+=+=y x 则.cos 23sin 222θθ++=+x y 令k =++θθcos 23sin 22，得,23c o s 2s i n 2-=-k k θθ即()()223244sin 32,sin .44k k k k θϕθϕ-++=-+=+ ()232sin 1,1,44k k θϕ-+≤∴≤+ 解得,5120≤≤k 即.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 解法3 设k x y=+2，则,2k kx y +=代入014222=+--+y x y x 并整理，得()().018424412222=+-+--++k k x k kx k 由()22442k k ∆=--()()22414810,k k k -+-+≥得1205k ≤≤.由,014222=+--+y x y x 即()()42122=-+-y x 可知,212≤-≤-x 即.31≤≤-x 经验证，当5120≤≤k 时，(1)0,(f f -≥≥且对称轴()[]224421,3.21k k x k --=-∈-+故.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y x1-2OA NMy评析 解法1将2+x y 看作()20---x y ，进而看作圆()()42122=-+-y x 上的动点()y x ,与定点()0,2-的连线的斜率，将问题转化为求此斜率的范围；解法2 通过换元，将问题转化为求三角函数的值域；解法3 通过整体换元并消去y 后，利用二次方程在某区间内有解的条件求出所求范围.都体现了化归转换的思想.由于椭圆()012222>>=+b a by a x 有性质22b a y x +≤+（请读者自证），故本赛题又有如下解法：设t x y =+2，则02=+-t y tx .已知方程就是()()12122=-+-y x ，则()()1424222=-+-y t t tx ，由上面的性质，得4422+≤+--t y t tx ，即44322+≤-t t ，解得120,5t ≤≤∴.512,02⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+x y 拓展 让我们进一步思考下面的问题：1、若将题中的条件方程改为()(),1429122=-+-y x 则答案是什么？2、若将题中的条件方程改为()(),42122=---y x 则答案是什么？与本赛题同样的思考方法，不难得到上面两题的答案分别是[).,,0R +∞若将原题中的2+x y 改为y x 2+或632+x y ，结果又怎样？事实上，用同样的方法还可以求()0≠++ac bax dcx 的取值范围.解法1 ()∴=-+,1122y x 可设.sin 1,cos θθ=-=y x 于是0≥++c y x 化为01sin cos ≥+++c θθ，即,14sin 2--≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+c πθ1sin .42c πθ--⎛⎫∴+≥⎪⎝⎭ 1sin 14πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴由题意得121-≤--c ，解得12-≥c ，故选C. 解法2 图1、图2、图3依次表示0≥++c y x ，()1122=-+y x ，及1 图 1 图2 图3()⎩⎨⎧=-+≥++11022y x c y x 的图象.在图3中，直线0:=++c y x l 过Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，切圆M 于N ，这时圆M 上所有的点（N 点除外）都在l 的上方，因而圆M 上N 点以外的点的坐标()y x ,都使0>++c y x 成立，而N 点坐标使--c -c 0 y x -c -c Nl 2 0 y x M 1 2 0 y x M 1 x+y+c ≥00=++c y x 成立，结合题意，易求得此时的12,21-=-=-c c ，故当21-≤-c ，即12-≥c 时，圆M 都在l 的上方（含相切），因而圆M 上的点的坐标()y x ,可使不等式0≥++c y x 成立，故选C.解法3 21,23=-=y x 满足()1122=-+y x ，此时，若0=c ，则0≥++c y x 不成立，故排除含0的A 、D ；若1=c ，则0≥++c y x 成立，又排除不含1的B ，故选C.评析 从代数角度看，0≥++c y x ，即()y x c +-≥恒成立，有()[]m ax y x c +-≥，因此问题的关键就是如何求()[]m ax y x +-.由于()y x ,满足()1122=-+y x ，故解法1运用三角代换将问题转化成求三角函数的最大值问题，通过三角函数的有界性使问题获解.从几何角度看，原问题的实质就是c 在什么范围内时，才能保证圆()1122=-+y x 在直线0=++c y x 的上方（相离或相切）.解法2便是运用数形结合思想，直观地解决问题的.由于是选择题，解法3运用特殊值排除干扰支，从而选出正确答案，这种抓住题目本质特征，避开常规思路的创新解法更值得提倡.拓展 按照上面所说的思想方法，请读者思考并解决下列问题：⒈ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0178222≥+++-+c y x y x 成立，求c 的取值范围.（答案：22627c ≥-）⒉ 圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式2222120x y x y c +-++->成立，求c 的取值范围.（答案：552c <-）。