【精准解析】数学人教A版必修5课时分层作业3 余弦定理

合集下载

#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)

∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，

新课标人教A版高中数学必修五典题精讲(正弦定理余弦定理的应用)

典题精讲例1在湖面上高h 米处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中之影的俯角为β，试证明云距湖面的高度为h·)sin()sin(αββα-+. 思路分析:因湖面相当于一个平面镜，云C 与它在湖中之影D 关于湖面对称，设云高CM=x. 在三角形中建立含x 的方程，解出x 即可.图1-3-3解：如图1-3-3，设湖面上高h 米处为A ，测得云C 的仰角为α，测得C 在湖中之影D 的俯角为β，CD 与湖面交于M ，过A 的水平线交CD 于E.设云高CM=x,则CE=x-h,DE=x+h,AE=αtan h x -. 又AE=βtan h x +,∴αtan h x -=βtan h x +. 整理，得x=αβαβtan tan tan tan -+·h=h·)sin()sin(αββα-+. 绿色通道：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角.当视线在水平线之上时，称为仰角;当视线在水平线之下时，称为俯角. 变式训练1如图1-3-4，为了测量上海东方明珠塔的高度，测量人员站在A 处测得塔尖的仰角为75.5°，前进38.5 m 后，在B 处测得塔尖的仰角为80°，试计算塔的高度.图1-3-4思路分析:由于CD 难以直接求解，我们可借助解直角三角形求解，只要能计算出BC 的长，则在Rt △BCD 中，可得塔高CD ，而BC 的长可在△ABC 中利用正弦定理求得.解：∵∠CAD=75.5°,∠CBD=80°,∴∠ACB=4.5°.在△ABC 中，由BACBC ACB AB ∠=∠sin sin , 得BC=︒︒⨯=∠∠5.4sin 5.75sin 5.38sin sin ACB BAC AB ≈477 m.∴CD=BCs in80°≈470 m,即塔的高度为470 m.变式训练2一人见一建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西30°方向，此人向北偏西70°方向行走3 km 后，则见A 在其北偏东56°方向，B 在其北偏东74°方向，试求这两个建筑物的距离.（精确到10 m ）图1-3-5解：如图1-3-5所示，在△BCO 中，∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°. 由正弦定理，得︒=︒36sin 104sin BO CO . ∴BO=︒︒104sin 36sin 3. 在△AOC 中，∠AOC=70°,∠CAO=56°,∴∠ACO=54°. 由正弦定理，得︒=︒54sin 56sin AO CO . ∴AO=︒︒56sin 54sin 3. 在△AOB 中，由余弦定理,知AB=︒∙∙-+30cos 222BO AO BO AO ≈1 630(m). ∴这两个建筑物的距离为1 630 m.例2如图1-3-6，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里，并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船以28海里/时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时最快追上乙船？（精确到度）图1-3-6思路分析:假设用t 小时在C 处追上乙船，则在△ABC 中，AC 、BC 可用t 来表示，进而利用余弦定理求得t ，解此三角形即可.解：假设用t 小时，甲船在C 处追上乙船，在△ABC 中，AC=28t,BC=20t,∠ABC=180°-45°-15°=120°.由余弦定理，得AC 2=AB 2+BC 2-2AB·BCcos ∠ABC,即(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×(-21). 整理，得128t 2-60t-27=0,即(4t-3)(32t+9)=0. ∴t=43,t=329-(舍去). ∴AC=28×43=21, BC=20×43=15. 由正弦定理，得sin ∠BAC=1435212315sin =⨯=∠AC ABC BC . 又∠ABC=120°,∴∠BAC 为锐角,∠BAC=38°.∴45°-38°=7°.∴甲船应沿南偏东7°方向用43小时最快追上乙船. 绿色通道：航海问题常利用解三角形的知识去解决，在具体解题时，应画出示意图，找出已知量及所求的量，转化为三角形的边角，利用正弦、余弦定理求解.变式训练在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O 的东偏南θ(cosθ=102)方向300 km 的海面P 处，并以20 km/h 的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受影响达多少小时？思路分析:设t 小时后台风中心在Q ，此时城市O 受到台风影响，即此时O 在台风侵袭的圆形区域内，注意台风在行进过程中，其半径在不断地增大，连结OQ ，把问题放到△OPQ 中，利用正弦、余弦定理解三角形即可.图1-3-7解：如图1-3-7，设在t 小时后台风中心在Q 点，此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60（km ）. 若在此刻城市O 受到台风的影响，则OQ≤10t+60.由余弦定理,知OQ 2=PQ 2+PO 2-2PQ·POcos ∠OPQ.由PO=300,PQ=20t,cos ∠OPQ=cos(θ-45°)=cosθcos45°+sinθsin45°=102×22+1-542210212=⨯-. ∴OQ 2=（20t)2+3002-2×20t×300×54=202t 2-9 600t+3002.∴202t 2-9 600t+3002≤(10t+60)2.整理，得t 2-36t+288≤0.解得12≤t≤24.∴12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受影响达12小时.例3沿一条小路前进，从A 到B ，方位角是50°，距离是470 m ，从B 到C ，方位角是80°，距离是860 m ，从C 到D ，方位角是150°，距离是640 m.试画出示意图，并计算出从A 到D 的方位角和距离.思路分析:从A 到D 的方位角，需构造三角形，连结AC ，在△ABC 中，用余弦定理求出AC ，进而求出∠BAC,再在△ACD 中，求出AD 和∠CAD.图1-3-8解：示意图如图1-3-8所示，连结AC ，在△ABC 中，∠ABC=50°+(180°-80°)=150°，由余弦定理，得 AC=︒∙-+150cos 222BC AB BC AB ≈1 289.由正弦定理，得sin ∠BAC=1289150sin 860sin ︒=∠AC ABC BC ≈0.333 6. 利用计算器可得∠BAC≈19.5°,∠ACB=10.5°.在△ACD 中，∠ACD=80°-10.5°+30°=99.5°.由余弦定理，得 AD=ACD CD AC CD AC ∠∙-+cos 222≈1 531.由正弦定理，得∠CAD≈24.4°.∴从A 到D 的方位角为50°+19.5°+24.4°=93.9°,即A 到D 的方位角为93.9°，距离为1 531 m.绿色通道：明确方位角的定义，是由指北方向顺时针到目标方向线的水平角.本题中A 到D 的方位角是50°+∠BAD ，把角的求解放到三角形中，关键是理顺题目中的数量关系，结合示意图，构造出相应的三角形，结合正、余弦定理解决.变式训练A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB 与BC 等于1千米.从三点分别望塔P.A 处见塔在东北方，B 处见塔在正东，C 处见塔在南偏东60°.求塔至直路的距离.图1-3-9解：如图1-3-9，由已知条件知∠CPB=30°,∠BPA=45°,AB=BC=1千米.又△CPB 的面积等于△BPA 的面积，故有PB·PAsin45°=PB·PCsin30°⇒PC=2PA. 由△APC 的面积，有PD·AC=PA·PCsin75°⇒PD=22PA 2sin75°. 由余弦定理，有PC 2+PA 2-2PC·PAcos75°=4⇒PA 2=344-. 故PD=22×13357462344+=+⨯-(千米). 问题探究问题两千多年前，我国汉代的天文学家把商高的“测天量地”方法推广到计算太阳的高度.现在我们知道太阳离地球有1 460万千米之遥，可是古代人又能怎样测算呢?导思:把太阳看作一个固定不动的点，选择一根长度已知的标杆，某一时刻找到太阳直射的一个点，再在不同的两个地方把标杆竖起，测量其影子的长度，根据三角形计算就能估算出太阳的高度.探究:那时人们认为天是圆的，地是方的，太阳挂在天空中特定的地方，它的高度是可以测量的.于是，天文学家根据一根已知长度的标杆在不同地方的太阳的影子的长度不同来计算太阳的高度.汉代天文学家把这种计算方法称为“垂差术”.如图1-3-10，设太阳O 垂直照射到地面上的C 点，高度为h ，标杆长为p ，在地方A 的影长为m ，在地方B 的影长为n ，A 到C 的距离为d ，则有图1-3-10 (1)mm d p h +=; (2)nAB n d p h ++=. 解方程组，消去d ，得太阳离地面的高度h=m n pAB -+p.。

2017-2018学年高中数学人教A版必修5课时作业3正、余弦定理在实际中的应用

解析：因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos120°
＝402＋402－2×40×40×
＝402×3，
所以BP＝40 .
又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40 )2＋802＝11 200，
解析：设塔高AB为x.
因为AB垂直于地面，所以△ABM，△ABN，△ABP均为直角三角形，所以BM＝＝ x，BN＝＝x，BP＝＝ x.
在△MNB中，由余弦定理，得
BM2＝MN2＋BN2－2MN·BN·cos∠MNB；
在△PNB中，由余弦定理，得
BP2＝NP2＋BN2－2NP·BN·cos∠PNB；
C．5 n mile D．5 n mile
解析：在△ABC中，A＝60°，B＝75°，∴C＝45°.
由正弦定理得＝，∴BC＝＝＝5 (n mile)．
答案：D
3．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()
A．10km B．10 km
所以PC＝40 海里．
|
11．一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45°，则货轮的速度为()
解析：由题意易知△BCD中，∠BDC＝30°＋15°＝45°，∠CBD＝60°－30°＝30°，CD＝10 米，由正弦定理，得BC＝＝20 (米)．在Rt△ABC中，AB＝BCsin60°＝20 × ＝30(米)，所以升旗速度约为＝0.6(米/秒)，即升旗手应以约0.6米/秒的速度匀速升旗．

人教A版高中数学必修5：余弦定理课时练习

课时作业 2 余弦定理[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则cos B ＝( ) A ．－18 B.18C ．－916 D.916解析：由余弦定理的推论得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝16＋36－252×4×6＝916.答案：D2．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．30° B．60°C ．150° D．45°或135°解析：由已知得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，由余弦定理的推论，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－32.因为0°<C <180°，所以C ＝150°.答案：C3．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．等边三角形解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，a 2＝bc ，∴由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， ∴bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，∴b ＝c ，结合A ＝60°，得△ABC 一定是等边三角形．故选D. 答案：D4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．－5解析：cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17，∴cos〈AB →，BC →〉＝－17，∴AB →·BC →＝5×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＝－5. 答案：D5．在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．2 D ．4解析：由余弦定理的推论，得b cos C ＋c cos B ＝b ×a 2＋b 2－c 22ab ＋c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．解析：由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ，因为A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，所以得49＝25＋AC 2＋5AC ，即AC 2＋5AC －24＝0，解得AC ＝3或－8(舍去)．所以AC ＝3.所以sin B sin C ＝AC AB ＝35.答案：357．在△ABC 中，有下列结论：①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ：B ：C ＝1：2：3，则a ：b ：c ＝1：2：3. 其中正确的序号为________．解析：①cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc <0，所以A 为钝角，正确；②cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°，错误；③cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab>0，所以C 为锐角，但A 或B 不一定为锐角，错误；④A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，a ：b ：c ＝1：3：2，错误．答案：①8．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析：在△ABC 中，由余弦定理易得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22·AC ·BC ＝4＋12－42×2×23＝32，所以C ＝30°，B ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理得ADsin B ＝AB sin∠ADB ，所以AD 12＝222，所以AD ＝ 2. 答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．解析：由余弦定理的推论及已知，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23.设AC 边上的中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB ·cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，解得x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.10．已知△ABC 是锐角三角形，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足sin 2A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－B ＋sin 2B . (1)求角A 的值．(2)若AB →·AC →＝12，a ＝27，求△ABC 的周长．解析：(1)△ABC 是锐角三角形，sin 2A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cosB ＋cos π3sin B ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3cos B －cos π3sin B＋sin 2B ＝34cos 2B －14sin 2B ＋sin 2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3(2)由AB →·AC →＝12，得bc cos A ＝12 ①，由(1)知A ＝π3，所以bc ＝24 ②，由余弦定理知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，将a ＝27及①代入可得c 2＋b 2＝52 ③， ③＋②×2，得(c ＋b )2＝100，所以c ＋b ＝10，△ABC 的周长是10＋27.[能力提升](20分钟，40分)11．已知在△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝3：5：7，则这个三角形的最大角为( ) A ．30° B．45° C ．60° D．120°解析：设三角形的三边长分别为a ，b ，c ，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C化简已知的等式得，A ：b ：c ＝3：5：7，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k ，k ＞0，根据余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋25k 2－49k 230k 2＝－12. ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝120°. ∴这个三角形的最大角为120°.故选D. 答案：D12．在△ABC 中，已知(b ＋c )：(a ＋c )：(a ＋b )＝4：5：6，则△ABC 的最大内角为________．解析：由题可设，b ＋c ＝4k ，a ＋c ＝5k ，a ＋b ＝6k (k >0)，解得a ＝3.5k ，b ＝2.5k ，c ＝1.5k ，所以角A 最大，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又因为0°<A <180°，所以A ＝120°. 答案：120°13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．解析：已知a －b ＝4，则a >b 且a ＝b ＋4，又a ＋c ＝2b ，则b ＋4＋c ＝2b ，所以b ＝c ＋4，则b >c ，从而知a >b >c ，所以a 为最大边，故A ＝120°，b ＝a －4，c ＝2b －a ＝a －8.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2＋bc ＝(a －4)2＋(a －8)2＋(a －4)(a －8)，即a 2－18a ＋56＝0，解得a ＝4或a ＝14.又b ＝a －4>0，所以a ＝14，即此三角形的最大边长为14. 14．在△ABC 中，已知sin(A ＋B )＝sin B ＋sin(A －B )． (1)求角A ；(2)若|BC →|＝7，AB →·AC →＝20，求|AB →＋AC →|.解析：(1)原式可化为sin B ＝sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B >0，所以cos A ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由余弦定理，得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →||AC →|·cos A . 因为|BC →|＝7，AB →·AC →＝|AB →||AC →|·cos A ＝20，所以|AB →|2＋|AC →|2＝89.因为|AB →＋AC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →＝129，所以|AB →＋AC →|＝129.。

人教A版必修5高一数学重难点突破：1.1.2 余弦定理(附答案+全解全析)

突破1.1.2 余弦定理重难点突破一、考纲要求1. 熟记并掌握余弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题；2. 能够利用余弦定理解三角形；3. 能利用正弦定理余弦定理及三角变换解决较为复杂的三角形问题；4. 能利用三角函数的正弦定理和余弦定理，解决实际应用的相关问题。

二、经验分享【正弦定理】2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆的半径）. 【余弦定理】①2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-②222222222cos ,cos ,cos 222b c a a c b a b c A B C bc ac ab+-+-+-===③在三角形△ABC 中，若222c a b =+，则C 为直角；若222c a b >+，则C 为钝角；若222c a b <+，则C 为锐角。

【三角形常用结论】（1）B A B A B A b a cos cos sin sin <⇔>⇔>⇔> （2）在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. （3)面积公式： ①111222a b c S ah bh ch ===，②111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. 【三角恒等变换公式】()()()()1.sin sinC,cos =-cos tan =-tan A B A B C A B C +=++，（其中,,A B C 是三角形的三个内角）()()2.sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()()3.sin -sin cos -cos sin αβαβαβ=()()4.sinx cosx ,tan by a b x aϕϕ=+=+=其中三、题型分析(一) 利用余弦定理解三角形例1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =,2cos 3A =,则b=（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3例2.在ABC ∆中，已知222a b c bc =++，则A =（） A.3π B.6π C.23π D.3π或23π【变式训练1】．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC 三个内角的对边,且,则三角形ABC 中为（）A ．B ．C ．D ．【变式训练2】．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【变式训练2】．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,23AB AD AB BD ==，2BC BD =，则sin C 的值为（）BCDA 3B 3C 6D 6(二) 利用正弦定理与余弦定理判断三角形得形状或面积最值问题例3.已知ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，已知222bc b c =-，若a =3cos 4A =，则ABC ∆的面积等于（）A.154B.4C.94D.2例4.在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，若()222tan a c b B +-=，则B 的值为（） A.6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π【变式训练1】．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 1:5:6A B C =，则ABC ∆是（） A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形【变式训练2】（2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【变式训练3】（2016年全国II ）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，1a =，则b = ．(三) 正余弦定理与三角变换的综合应用例5.（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A ．B ．C ．D ．例6．（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A ．B ．C ．D ．【变式训练1】.（2019·浙江高考模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，点E 为边AC 上的中点，已知2a =，4b =，3c =，则cos C =__________；BE =__________．【变式训练1】.（2019·北京高考模拟（文））在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，.（1）求角的大小；（2）若，求角的大小.【变式训练2】.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-． (1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．四、迁移应用1.若ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且2223a c b ba =-+，则C ∠=（） A.3π B.23π C.4π D.54π 2．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（）A ．B ．C ．D ．3．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC 中，5cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=AB A ．42 B ．30 C ．29 D ．254．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = A ．310 B ．10 C ．10- D ．310-5．钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC =，则AC =A ．5B ．5C ．2D ．16．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC∆的面积是A ．3B ．239 C ．233 D ．33 7.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a b c 、、，且2223a b c ab +-=，则C ∠=__________. 8．（2019·浙江高考模拟）在∆ABC 中，C ＝45°，AB ＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD ＝5，BD ＝3 ，则cos B ＝_____ ，AC ＝_____．9.在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B +C ）的值．10．已知在△ABC 中，222a c ac b +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．11．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,.a b c 已知(2)cos cos a c B b C -=．（1）求B Ð的大小；（2）若ABC △6a c +=，求ABC △的周长．答案与详解三、题型分析(一) 利用余弦定理解三角形例1. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =,2c =,2cos 3A =,则b=（）（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3 【答案】D【解析】由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ,解得3=b （31-=b 舍去）,故选D. 例2.在ABC ∆中，已知222a b c bc =++，则A =（） A.3πB.6π C.23π D.3π或23π【答案】C【解析】根据余弦定定理2222cos a b c bc A =+-，又222a b c bc =++，所以2221cos 22b c a A bc +-==-，又0A π<<，所以23A π=. 【变式训练1】．（2018·北京高考模拟（文））已知分别为三角形ABC 三个内角的对边,且,则三角形ABC 中为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】因为，所以,即选C.【变式训练2】．（2019·全国高考真题（文））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =（）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ．【变式训练2】．如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为（）CA．3 B．6 C．3 D．6【答案】D【解析】设AB c =，则AD c =，BD =，BC =ΔABD 中，由余弦定理得2222413cos 23c c c A c +-==，则sin A =，在ΔABC 中，由正弦定理得sin sin c BC C A ==，解得sin C =．(二) 利用正弦定理与余弦定理判断三角形得形状或面积最值问题例3.已知ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，已知222bc b c =-，若a =3cos 4A =，则ABC ∆的面积等于（） A.154C.94D.【答案】B【解析】由条件222bc b c =-，得2220b bc c --=，即()()20b c b c +-=，从而可知2b c =，根据余弦定理推论得222222463cos 244b c a c c A bc c +-+-===，解得c =b =，因此11sin 22ABCS bc A ==⨯=△故选B.例4.在ABC ∆中，a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，若()222tan a c b B +-=，则B 的值为（） A.6π B.3π C.6π或56πD.3π或23π【答案】D【解析】根据余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2222cos a c b ac B +-=，又sin tan cos BB B=，所以sin2cos cos B ac B B ⋅=，整理得sin B =，又0B π<<，所以3B π=或23π.故选D. 【变式训练1】．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 1:5:6A B C =，则ABC ∆是（） A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形或钝角三角形【答案】C【解析】根所正弦定理可知a :b:c sin :sin :sin 1:5:6A B C ==，ABC ∆的最大内角为C ，不妨设a k =，5b k =，()60c k k =>，根据余弦定理得222222425367cos 0222520a b c k k k C ab k k +-+-===-<⨯⨯，而0C π<<，所以,2C ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ABC ∆为钝角三角形.【变式训练2】（2013陕西）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=， ∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴△ABC 是直角三角形．【变式训练3】（2016年全国II ）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =， 5cos 13C =，1a =，则b = ．【答案】2113【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13C =，所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=，由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =． (三) 正余弦定理与三角变换的综合应用例5.（2018·全国高考真题（理））在中，,BC=1,AC=5，则AB=（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】因为所以，选A.例6．（2018·全国高考真题（文））的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】由题可知所以由余弦定理所以故选C.【变式训练1】.（2019·浙江高考模拟）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，点E 为边AC 上的中点，已知2a =，4b =，3c =，则cos C =__________；BE =__________．【答案】111610【解析】在ABC ∆中，222cos 2a b c C ab+-==1116，同理可得cos B =-1 4，又BE u u u v =12(BA u u u v +BC uuu v )，平方得2BE u u u v =110 4922344cosB ++⨯⨯⨯=，所以10BE =，故答案为(1).1116(2). 10 【变式训练1】.（2019·北京高考模拟（文））在中，内角、、的对边分别为，，.若的面积为，且，.（1）求角的大小；（2）若，求角的大小.【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由余弦定理，得，，，，，，，；（2）由正弦定理得，，，，，，，.【变式训练2】.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-． (1)求角B 的大小；(2)设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =，又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan 3B =．又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故7b =．由πsin cos()6b A a B =-，可得3sin 7A =．因为a c <，故cos 7A =．因此43sin 22sin cos A A A ==，21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin AB A B A B -=-=431133327⨯-⨯=．四、迁移应用1.若ABC ∆内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，且2223a c b ba =-+，则C ∠=（） A.3πB.23π C.4π D.54π 【答案】A【解析】因为2223a c b ba =-+，所以2223a b c ba +-=，根据余弦定理得22233cos 2a b c ab C ab +-∠===，又因为0C π<<，所以3C π∠=.2．（2018·浙江高考模拟）在中，内角所对的边分别是，若，则角的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】在，因为由正弦定理可化简得，所以，由余弦定理得，从而，故选C.3．(2018全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos2=C 1=BC ，5=AC ，则=AB A． BCD．【答案】A【解析】因为213cos 2cos121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理，得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．4．（2016年全国III ）在ABC △中，π4B =，BC 边上的高等于13BC ,则cos A = ABC．- D．-【答案】C【解析】设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得1sin 34a c π==，则a =．在△ABC 中，由余弦定理可得222222295322b ac c c c c =+-=+-=，则b =．由余弦定理，可得22222259cos 2102c c c b c a A bc +-+-===-，故选C ． 5．(2014新课标Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，BC =AC =A ．5 BC ．2D ．1 【答案】B【解析】11sin 22AB BC B ⋅⋅=，∴sin 2B =，所以45B =o 或135B =o．当45B =o时，1AC ==，此时1,AB AC BC ===90A =o 与“钝角三角形”矛盾；当135B =o时，AC ==．6．（2014江西）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239C ．233 D ．33 【答案】C【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab+-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 232ABC S ab π∆==7.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a b c 、、，且222a b c +-=，则C ∠=__________. 【答案】6π【解析】由余弦定理知2222cos ab C a b c =+-，所以2cos ab C =，cos 2C =，6C π=. 8．（2019·浙江高考模拟）在∆ABC 中，C ＝45°，AB ＝6 ，D 为 BC 边上的点，且AD ＝5，BD ＝3 ，则cos B ＝_____ ，AC ＝_____．【答案】59 3【解析】∵AB ＝6，AD ＝5，BD ＝3，在△ABD 中，余弦定理cos B 222529AB BD AD AB BD +-==⋅，∴sin B 9=．正弦定理：AC ABsinB sinC =，可得：AC =．故答案为：59，3．9.（2019·北京高考真题（文））在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B +C ）的值．【答案】（Ⅰ）7,5b c ==；（Ⅱ33. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理可得2221cos 22a cb B ac +-==-，因为3a =，所以22390c b c -++=；因为2b c -=，所以解得75b c =⎧⎨=⎩. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3,7,5a b c ===，所以22213cos 214b c a A bc +-==；因为A 为ABC ∆的内角，所以233sin 1cos A A =-=. 因为33sin()sin()sin 14B C A A +=π-==. 10．（2019·北京高考模拟（理））已知在△ABC 中，222a c ac b +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求cos cos A C +的最大值．【答案】（Ⅰ）3π；（Ⅱ）1. 【解析】（Ⅰ）由余弦定理得2221cos ==222a cb ac B a c a c +-⋅=⋅⋅因为角B 为三角形内角3B π∴∠=（Ⅱ）由（Ⅰ）可得23A CB ππ∠+∠=-∠=23A C π∴∠=-∠cos cos A C ∴+=2cos cos 3C C π⎛⎫-+⎪⎝⎭=22coscos sin sin cos 33C C C ππ⋅+⋅+=1cos sin cos 2C C C -⋅+1sin cos 2C C +⋅ =cossin sincos 66C C ππ⋅+⋅=sin 6C π⎛⎫+⎪⎝⎭203C π<<Q 5666C πππ∴<+<1sin 126C π⎛⎫∴<+≤ ⎪⎝⎭ cos cos A C ∴+的最大值是111．（2019·北京高考模拟（理））在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,.a b c 已知(2)cos cos a c B b C -=．（1）求B Ð的大小；（2）若ABC △6a c +=，求ABC △的周长．【答案】（1）60o ；（2）6+【解析】()1ABC ∆中，()2a c cosB bcosC -=，由正弦定理可得()2sinA sinC cosB sinBcosC -=，整理可得()2sinAcosB sinBcosC cosBsinC sin B C sinA =+=+=，又A 为三角形内角，0sinA >，所以12cosB =，由B 为三角形内角，可得60B =o ；()2由ABC △12acsinB =，所以4ac ==，又6a c +=，由余弦定理得2222b a c accosB =+-2()22603633634a c ac accos ac =+--=-=-⨯o24=，所以b =所以ABC △的周长为6a b c ++=+。

高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理人教A版必修5

∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.
探究 2 已知三边(三边关系)解三角形例 2 (1)在△ABC 中，若 a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则 △ABC 的最小角为( )
πππ π A.3 B.6 C.4 D.12 (2)在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为 120°，求此三角形的最大边长．答案 (2)见解析
2．做一做
(1)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， 5π
若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B＝____6____. (2) 已知 △ABC 的三边分别为 2,3,4 ，则此三角形是
___钝__角___三角形．
π (3)在△ABC 中，若 a2＋b2－c2＝ab，则角 C 的大小为 ___3_____．
解析 (1)因为 c<b<a，所以最小角为角 C. 所以 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝429×＋74×8－4 133＝ 23，所以 C＝π6，故选 B.
(2)已知 a－b＝4，且 a>b，且 a＝b＋4，又 a＋c＝2b，则 b＋4＋c＝2b，所以 b＝c＋4，则 b>c，从而 a>b>c，所以 a 为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a－8.
解利用边的关系判断，由正弦定理，得sinC＝c，
sinB b 由 2cosAsinB＝sinC，得 cosA＝2ssininCB＝2cb，又 cosA＝b2＋2cb2c－a2，∴2cb＝b2＋2cb2c－a2，即 a＝b.
又(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，∴(a＋b)2－c2＝3ab， ∴b＝c，综上 a＝b＝c，∴△ABC 为等边三角形．

人教版A版高中数学必修5：余弦定理

④坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝hl ＝tanα(i 为坡比，α 为坡角)．
7．解斜三角形在实际中的应用解斜三角形在实际中的应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识．解题的一般步骤是： (1)分析题意，准确理解题意．分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．
归纳拓展：在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数
a＜ bsinA
无解
a＝ bsinA＜ bsinA a＜b
一解两解
a≥b 一解
a＞b 一解
a≤b 无解
3．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边
的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的
正三角形与其他知识的综合应用
考纲要求
考查角度
掌握正弦定理、余正(余)弦定理及其
弦定理，解决一些变形，解斜三角
简单的三角变换问形，判断三角形的
题
形状
能解决一些与测量、几何计算有关的实际问题
三角函数式的化简求值，与平面向量的基本运算相结合的综合题，求最值
(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中，要算法简练，计算正确，并作答．
(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍．
1.△ABC 中，a＝3，A＝30°，B＝60°，则 b 等于( )
A．3 3
B. 3
3 C. 2
解析：由正弦定理，得sianA＝sibnB，

#高中数学必修五：1.1.2-2《余弦定理》(人教A版必修5)

进而求出其他角．
＝
a2＋42－c2 8a
＝
8－c2＋42－c2 88－c
＝
108－－2cc.②
由①②知8－ 2cc＝180－－c2c，整理得5c2－36c＋64＝0.
∴c＝156或c＝4(舍)，∴a＝8－c＝254.故a＝254，c＝156.
1．余弦定理的正确理解
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这
3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝ 60°，则a＝________.
4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等于________．
解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2 ＋ab.
又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝ a2＋b2－2abcosC.
②确定三角形的形状．
解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三
则条件转化为 4R2·sin2C·sin2B ＋ 4R2·sin2C·sin2B
＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC，又sinB·sinC≠0， ∴sinB·sinC＝cosB·cosC，即cos(B＋C)＝0. 又0°<B＋C<180°， ∴B＋C＝90°， ∴A＝90°，故△ABC为直角三角形．
解：∵sinC>0 且 sinC＋cosC<0， ∴cosC<0，则 cosC＝－ 1－sin2C＝－45. 由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcosC，得 c2＝4＋25－2×2×5×(－45)＝45， ∴c＝3 5.
[ (c ＋ a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值．

2020年高中数学人教A版必修5 课后作业本《余弦定理》(含答案解析)

2020年高中数学人教A 版必修5 课后作业本《余弦定理》一、选择题1.△ABC 中，a 2=bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60°2.在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B<sin 2C ，则△ABC 的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形 D．不能确定3.若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A=4sin B=3sin C ，则cos B=( )A. B. C. D.154343151611164.在△ABC 中，B=，AB=，BC=3，则sin A=( )π42A. B. C. D.101010331010555.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )A. B. C. D.5183432786.边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角之和为( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°7.如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加长度决定8.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若a=2，c=2，cosA=，且b<c ，则332b=( )A. B ．2 C ．2 D ．332二、填空题9.在△ABC 中，若a=2，b ＋c=7，cos B=－，则b=________.1410.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2=ac ，且c=2a ，则cos B=________.11.在△ABC 中，若(a －c)(a ＋c)=b(b ＋c)，则A=________.12.若2a ＋1，a,2a －1为钝角三角形的三边长，则实数a 的取值范围是________．三、解答题13.在△ABC 中，A ＋C=2B ，a ＋c=8，ac=15，求b.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=3，b=4，c=6，求bccos A ＋accos B ＋abcos C 的值．15.如图所示，△ABC 中，AB=2，cos C=，D 是AC 上一点，且cos ∠DBC=.2775714求∠BDA 的大小．16.已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos 2＋cos A=0.A 2(1)求内角A 的大小；(2)若a=2，b=2，求c 的值．3答案解析1.答案为：A ；解析：由余弦定理：cos A===>0，∴A<90°.b2＋c2－a22bc b2＋c2－bc 2bc b －c 2＋bc 2bc2.答案为：A ；解析：由正弦定理，a 2＋b 2<c 2，∴<0，即cos C<0，∴C>90°.a2＋b2－c22ab3.答案为：D ；解析：由正弦定理：6a=4b=3c ，∴b=a ，c=2a ，32由余弦定理cos B===.a2＋c2－b22ac a2＋4a2－94a2 2a 211164.答案为：C ；解析：在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos B=2＋9－6=5，∴AC=，5由正弦定理=，解得sin A=.BC sin A AC sin B 310105.答案为：D ；解析：设三角形的底边长为a ，则周长为5a ，∴等腰三角形腰的长为2a.设顶角为α，由余弦定理，得cos α==. 2a 2＋ 2a 2－a22×2a ×2a 786.答案为：B ；解析：设边长为5,7,8的对角分别为A ，B ，C ，则A<B<C.∴cos B==.∴cos(A ＋C)=－cos B=－，∴A ＋C=120°.52＋82－722×5×812127.答案为：A ；解析：设直角三角形的三条边分别为a ，b ，c ，c 为直角边，设同时增加长度k ，则三边长变为a ＋k ，b ＋k ，c ＋k(k>0)，最大角仍为角C ，由余弦定理cos C== a ＋k 2＋ b ＋k 2－ c ＋k 22 a ＋k b ＋k a2＋2ak ＋k2＋b2＋2bk ＋k2－c2－2ck －k22 a ＋k b ＋k=>0，∴新三角形为锐角三角形．2k a ＋b －c ＋k22 a ＋k b ＋k 8.答案为：B ；解析：由余弦定理a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，所以22=b 2＋2－2×b×2×，(23)332即b 2－6b ＋8=0，解得：b=2或b=4，因为b<c ，所以b=2，故选B.9.答案为：4；解析：∵b ＋c=7，∴c=7－b.由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B ，即b 2=4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b=4.(－14)10.答案为：；34解析：因为b 2=ac ，且c=2a ，所以cos B===.a2＋c2－b22ac a2＋4a2－2a22a·2a 3411.答案为：120°；解析：由已知：a 2－c 2=b 2＋bc ，∴b 2＋c 2－a 2=－bc ，∴=－，由余弦定理：cos A=－，∴A=120°.b2＋c2－a22bc 121212.答案为：(2,8)；解析：因为2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，所以Error!，解得a>，此时2a ＋1最大，要使2a ＋1，a,2a －1是三角形的三边长，还需a ＋2a －1>2a 12＋1，解得a>2.设最长边2a ＋1所对的角为θ，则θ>90°，所以cos θ==<0，a2＋ 2a －1 2－ 2a ＋1 22a 2a －1 a a －8 2a 2a －1解得<a<8.综上可知实数a 的取值范围是(2,8)．1213.解：在△ABC 中，由A ＋C=2B ，A ＋B ＋C=180°，知B=60°.a ＋c=8，ac=15，则a ，c 是方程x 2－8x ＋15=0的两根．解得a=5，c=3或a=3，c=5.由余弦定理，得b 2=a 2＋c 2－2accos B=9＋25－2×3×5×=19.12∴b=.1914.解：∵cos A=，∴bccos A=(b 2＋c 2－a 2)．b2＋c2－a22bc 12同理accos B=(a 2＋c 2－b 2)，abcos C=(a 2＋b 2－c 2)．1212∴bccos A ＋accos B ＋abcos C=(a 2＋b 2＋c 2)=.1261215.解：由已知得cos ∠DBC=，cos C=，5714277从而sin ∠DBC=，sin C=，2114217∴cos ∠BDA=cos(∠DBC ＋C)=·－·=，5714277211421712∴∠BDA=60°.16.解：(1)∵cos A=2cos 2－1，A 2又2cos 2＋cos A=0，A 2∴2cos A ＋1=0，∴cos A=－，12∴A=120°.(2)由余弦定理知a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，又a=2，b=2，cos A=－.312∴(2)2=22＋c 2－2×2×c×(－)，312化简，得c 2＋2c －8=0，解得c=2或c=－4(舍去).。

高中数学人教A版必修5精题精练：余弦定理含解析精品

余弦定理【知识梳理】余弦定理题型一、已知三角形的三边解三角形【例1】在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，求A ，B ，C .[解] 由于a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，可设a ＝x ，b ＝3x ，c ＝2x .由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3x 2＋4x 2－x 22×3x ×2x＝32，故A ＝30°. 同理可求得cos B ＝12，cos C ＝0，所以B ＝60°，C ＝90°.【类题通法】已知三角形的三边解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理或由求得的第一个角，利用正弦定理求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．(2)利用余弦定理求三个角的余弦，进而求三个角．【对点训练】1．边长为5,7,8的三角形中，最大角与最小角的和是________．解析：设中间角为θ，由于8＞7＞5，故θ的对边的长为7，由余弦定理，得cos θ＝52＋82－722×5×8＝12.所以θ＝60°，故另外两角和为180°－60°＝120°.答案：120°题型二、已知三角形的两边及其夹角解三角形【例2】在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(3＋1)，解此三角形．[解]由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2ac cos B＝82＋[4(3＋1)]2－2×8×4(3＋1)·cos 60°＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)×12＝96，∴b＝4 6.法一：由cos A＝b2＋c2－a22bc＝96＋16(3＋1)2－642×46×4(3＋1)＝22，∵0°＜A＜180°，∴A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.法二：由正弦定理asin A＝bsin B，∴8sin A＝46sin 60°，∴sin A＝22，∵b＞a，c＞a，∴a最小，即A为锐角．因此A＝45°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.【类题通法】已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．【对点训练】2．在△ABC，已知a＝22，b＝23，C＝15°，解此三角形．解：c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(22)2＋(23)2－2×22×23×cos(45°－30°) ＝8－4 3＝(6－2) 2∴c＝6－ 2.法一：由余弦定理的推论得cos A＝b2＋c2－a22bc＝(23)2＋(6－2)2－(22)22×23×(6－2)＝22.∵0°＜A＜180°，∴A＝45°，从而B＝120°.法二：由正弦定理得sin A＝a sin Cc＝22×6－246－2＝22.∵a＜b，∴A＜B，又0°＜A＜180°，∴A必为锐角，∴A＝45°，从而得B＝120°.题型三、已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形【例3】在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A、角C和边a. [解]法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得32＝a2＋(33)2－2a×33×cos 30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理得sin A＝a sin Bb＝6×123＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.法二：由b＜c，B＝30°，b＞c sin 30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理得sin C ＝c sin B b ＝33×123＝32，∴C ＝60°或120°，当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 为直角三角形．由勾股定理得a ＝b 2＋c 2＝32＋(33)2＝6，当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.【类题通法】已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形的方法可根据余弦定理列一元二次方程求出第三边(注意边的取舍)，再利用正弦定理求其他的两个角；也可以由正弦定理求出第二个角(注意角的取舍)，再利用三角形内角和定理求出第三个角，最后再利用正弦定理求出第三边．【对点训练】3．已知：在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，则c ＝________.解析：A 为b ，c 的夹角，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝9＋c 2－6×35c ，整理得5c 2－18c －35＝0.解得c ＝5或c ＝－75(舍)．答案：5题型四、判断三角形的形状【例4】在△ABC 中，若a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．[解] 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac＝c ·a 2＋b 2－c 22ab等式两边同乘以2abc 得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＝c 2(a 2＋b 2－c 2)，整理化简得a 4＋b 4－2a 2b 2＝c 4，∴(a 2－b 2)2＝c 4.因此有a 2－b 2＝c 2或b 2－a 2＝c 2.即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2故△ABC为直角三角形．【类题通法】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状．【对点训练】4．在△ABC中，若cos A＝sin Bsin C，试判断其形状．解：由cos A＝sin Bsin C得cos A＝bc，即b2＋c2－a22bc＝bc，∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，因此△ABC是以C为直角的直角三角形．【练习反馈】1．在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝3b＝12，则c的值为()A．4B．8C．4或8 D．无解解析：选C由3a＝3b＝12，得a＝4，b＝43，利用余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即16＝48＋c2－12c，解得c＝4或c＝8.2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c2－a2－b22ab＞0，则△ABC()A．一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．是锐角或直角三角形解析：选C由c2－a2－b22ab＞0得－cos C＞0，所以cos C＜0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．3．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若a＝2，B＝π6，c＝23，则b＝________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝4＋12－2×2×23×32＝4，所以b＝2.答案：24．在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，则最大的角是________．解析：∵a ＞c ＞b ，∴A 为最大角．cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12，又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝120°.答案：120°5．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边c 的长．解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)． ∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16. ∴c ＝4，即第三边长为4.。

2019-2020学年高中数学课时分层作业3 余弦定理(含解析)新人教A版必修5

课时分层作业(三) 余弦定理(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°B [∵(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.]2．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18C [由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形C [由c 2－a 2－b 22ab>0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．]4．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A ．43B ．8－4 3C ．1D ．23A [由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.]5．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1<a <3 B ．1<a <5 C ．3<a < 5D ．不确定C [若a 为最大边，则b 2＋c 2－a 2>0，即a 2<5，∴a <5，若c 为最大边，则a 2＋b 2>c 2，即a 2>3，∴a >3，故3<a < 5.]二、填空题6．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________． 0 [∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120° ＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.]7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________．1 [∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a＋2)(a －1)＝0，∴a ＝1，或a ＝－2(舍去)．∴a ＝1.]8．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________． π3 [由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ， ∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3.]三、解答题9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．[解] (1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径．又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B . 又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3.又因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋4a 2－2a 2＝9，解得a ＝3，故c ＝2 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．[解] (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[能力提升练]1．在△ABC 中，有下列关系式：①a sin B ＝b sin A ；②a ＝b cos C ＋c cos B ；③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；④b ＝c sin A ＋a sinC ．一定成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sinA ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sinB ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos C sin A ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C.]2．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πA [cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a －c ）2＋ac2ac＝（a －c ）22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A .]3．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，则第三边c 的长为________．4 [5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)·(x ＋2)＝0， ∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)，∴cos C ＝35.根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×35＝16，∴c ＝4，即第三边长为4.]4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值是________．34[由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得a ＝c ，b ＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.]5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＞b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值． [解] (1)在△ABC 中，因为a ＞b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a ＜c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1213－513＝7226.。

高二人教A数学必修五40分钟课时作业：1-1-3余弦定理1

那课时作业第一章解三角形一、选择题：每小题5分，共30分.1.在厶ABC中，已知a = 4, b = 6, C=120。

，则边c的值是()A・8 B・2^/17 C・6边D・2佰解析:根据余弦定理,c2 = a2 -b2— labcosC = 16+ 36 —2X4X6cosl20° = 76, c=2\/l9.答案：D2_ 2.2.在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,若一>0,贝IJAABC( )A.一定是锐角三角形B.一定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.是锐角或直角三角形2 I T 2_ 2cosC<0. 解析：由题意知"2ab I。

，艮V0°<C<180°, A90°<C<180°•••△ABC为钝角三角形.答案：C3•在△ ABC中，若a = 2,b A. 30°B・ 45。

C・ 60°D・ 75°解析:b2-\~c2—a 2bc答案：A=2^2,C=A/6+V2,则A 等于（4・在厶ABC中，a=b1 + c1+bc.则A等于（）A. 60°B・ 45。

C・ 120。

D・ 30°b? 1（2 a' ] ] 解析:V cr = b2-\-c2-\-bcj •:=~29即cosA=—㊁.V0°<A<180°, :.A =120° ・答案：C5.在ZXABC中，角A, B, C所对的边分别为a =L c=4辺，3=45。

，则sinC 等于（c —°・25 ，b, c.若解析：由余弦定理得 b 2=a 2-\~c 2— 2accosB= 1+32 — 8^/2X 工 = 25， .\b = 5.答案：B 6-（2°12•黄山高一检测）在A4BC 中，角儿8, C 所对的边分2 I 7 2 2 • — a ~vb —c • • cosC = ~~； lab 3 . I --------------- -- 4 sinC=f 1 cos 5’别为G, b, C,且/ =戾_。

2018-2019学年高二数学必修五作业3： (余弦定理1)附解析

1．在△ABC中，∠ABC＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin∠BAC＝()A．1010B．105C．31010D．552．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为()A．π6B．π3C．π6或5π6D．π3或2π33．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A．518B．34C．32 D．784．在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不存在5．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A＝()A．3π4B．π3C．π4D．π66．在△ABC中，若AB＝3－1，BC＝3＋1，AC＝6，则B的度数为() A．30°B．45°C．60°D．120°7．8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为315 ，b－c＝2，cos A＝－14，求a的值8．在△ABC中，若a＝5，b＝3，C＝120°，则求sin A的值9．在△ABC中，已知sin C＝12，a＝23，b＝2，求边c.10．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC．(1)求sin B sin C；(2)若∠BAC＝60°，求∠B．1．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( C )A ．1010 B ．105 C ．31010 D ．55[解析] 由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ·cos π4＝2＋9－2×2×3×22＝5.∴AC ＝ 5.由正弦定理，得ACsin B ＝BCsin A ，∴sin A ＝BC sin B AC ＝3×225＝31010.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)·tan B ＝3ac ，则角B 的值为(D ) A ．π6 B ．π3 C ．π6或5π6 D ．π3或2π3[解析] 依题意得，a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，∴sin B ＝32，∴B ＝π3或B ＝2π3，选D ．3．如果等腰三角形的周长是底边边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( D )A ．518 B ．34 C ．32 D ．78[解析] 设等腰三角形的底边边长为x ，则两腰长为2x (如图)，由余弦定理得cos A ＝4x 2＋4x 2－x 22·2x ·2x ＝78，故选D ．4．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( B )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不存在[解析] ∵c 2<a 2＋b 2，∴∠C 为锐角．∵a <b <c ，∴∠C 为最大角，∴△ABC 为锐角三角形．5．△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( C )A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π6[解析] 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0<A <π，所以A ＝π4. 6．在△ABC 中，若AB ＝3－1，BC ＝3＋1，AC ＝6，则B 的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° [解析] ∵cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝(3－1)2＋(3＋1)2－(6)22(3－1)(3＋1)＝12， ∴B ＝60°.7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315 ，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为__8__.[解析] 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝154，又S △ABC ＝12bc sin A ＝158bc ＝315， ∴bc ＝24，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b －c ＝2，bc ＝24得b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝62＋42－2×6×4×⎝⎛⎭⎫－14＝64，所以a ＝8.8．在△ABC 中，若a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ＝5314. [解析] ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝52＋32－2×5×3×cos120°＝49，∴c ＝7.故由a sin A ＝c sin C ，得sin A ＝a sin C c ＝5314. 9．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c . [解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π， ∴C ＝π6或5π6. 当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2.当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.10．(2015·新课标Ⅱ文，17)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ．(1)求sin B sin C； (2)若∠BAC ＝60°，求∠B ．[解析] (1)由正弦定理得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，AD sin C ＝DC sin ∠CAD ，因为AD 平分∠BAC ，BD ＝2DC ，所以sin B sin C ＝DC BD ＝12. (2)因为∠C ＝180°－(∠BAC ＋∠B )，∠BAC ＝60°，所以sin C ＝sin(∠BAC ＋∠B )＝32cos B ＋12sin B ，由(1)知2sin B ＝sin C ，所以tan B ＝33，∠B ＝30°.。

人教A版高中数学必修五正弦定理、余弦定理课时练习

正弦定理、余弦定理●作业导航能运用正弦定理、余弦定理求解三角形问题和进行解的判断．一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是() A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°2．在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则⋅的值为() A．79 B．69C．5 D．-53．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为3，则CBAcbasinsinsin++++等于()A．33B．3392C．338D．2394．在△ABC中，已知a＝x cm，b＝2 cm，B＝45°，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()A．2＜x＜22B．2＜x≤22C．x＞2 D．x＜25．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是()A．135<<x B．13＜x＜5C．2＜x＜5D．5＜x＜5二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．已知△ABC的面积为3，B＝60°，b＝4，则a＝________；c＝________．2．化简a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)的结果是________．3．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．4．已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S＝4222cba-+，则角C＝________．5．在△ABC中，||＝3，||＝2，与的夹角为60°，则|-|＝________；|＋AC|＝________．三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？2．已知钝角三角形ABC中，B＞90°，a＝2x-5，b＝x＋1，c＝4，求x的取值范围．3．在△ABC中，cos210922=+=ccbA，c＝5，求△ABC的内切圆半径．4．R是△ABC的外接圆半径，若ab＜4R2cos A cos B，则外心位于△ABC的外部．5．半径为R的圆外接于△ABC，且2R(sin2A-sin2C)＝(3a-b)sin B．(1)求角C；(2)求△ABC面积的最大值．参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．C分析：A中b sin C＞c，无解；B中c sin B＜b＜c，有两解；C中a sin B＜a＜b，有一解；D中b sin A＜a＜b，有两解．2．D分析：∵·＝-·，∵·＝||||cos B＝21(||2＋||2-||2)＝21(52＋72-82)＝5∴·＝-·＝-53．B分析：∵S△ABC＝21×1×c×sin60°＝3，∴c＝4，∴a2＝b2＋c2-2bc cos A＝13∴R＝339 sin2=Aa∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C∴33922sinsinsin==++++RCBAcba4．A分析：若解此三角形有两解，则a sin B＜b＜a，即22x＜2＜x，∴2＜x＜22．5．A分析：由三角形三边的关系，得1＜x＜5，(1)当1＜x＜3时，由22＋x2＞32解得5＜x＜3；(2)当3≤x＜5时，由22＋32＞x2解得3≤x＜13，由(1)(2)可知5＜x＜13．二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1．7±37±3分析：∵S△ABC＝21acsin B＝3，∴ac＝4 ①∵b2＝a2＋c2-2ac cos B，∴a2＋c2＝20 ②由①②解得a＝7±3；c＝7μ32．0分析：∵a＝b cos C＋c cos B，b＝a cos C＋c cos A，c＝b cos A＋a cos B，∴a·cos A＋b·cos B-c·cos(A-B)＝(b cos C＋c cos B)cos A＋(a cos C＋c cos A)cos B-c·(cos A cos B＋sin A sin B)＝b cos C cos A＋c cos B cos A＋a cos C cos B＋c cos A cos B-c cos A cos B-c sin A sin B ＝cos C(b cos A＋a cos B)＋c(cos A cos B-sin A sin B)＝c cos C＋c cos(A＋B)＝c cos C-c cos C＝03．3337分析：设60°的角的对边长为x，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则x2＝82＋52-2×8×5×cos60°＝49，∴x＝7∵7＝2R sin60°，∴R＝33 7∵S△ABC＝21×8×5×sin60°＝21×r×(8＋5＋7)，∴r＝34．45°分析：S△ABC＝21ab sin C＝21224222222=⋅-+=-+ababcbacbaab cos C∴sin C＝cos C，∴tan C＝1，∴C＝45°5．719分析：由三角形法则知|-|2＝||2＝||2＋|AC|2-2||·|AC|·cos A＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7∴|-|＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|＋AC|2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴|＋|＝19三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1．解：∵A＝30°，b＝10(1)当0＜a＜b sin A时无解，即0＜a＜5时，无解．(2)当a＝b sin A时，有一解，即a＝5时，有一解．(3)当b sin A＜a＜b时，有两解，即5＜a＜10时，有两解．(4)当a≥b时，有一解，即当a≥10时，有一解．综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a＜5时，无解；a＝5或a≥10时，有一解；5＜a＜10时，有两解．2．解：∵B＞90°∴A、C皆为锐角，应有43104310630402232360)1(4)52(14524152102222222<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<<<<∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->><∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-+++>+->+->+∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+>+>>x x x x x x x x x x x x x x x b c a b c a c b a b∴ x 的取值范围是310＜x ＜4．3．解：∵ c ＝5，1092=+cc b ，∴ b ＝4又cos2c c b A A 22cos 12+=+=∴ cos A ＝c b又cos A ＝bc a c b 2222-+∴c bbc a c b =-+2222∴ b 2＋c 2-a 2＝2b 2 ∴ a 2＋b 2＝c 2∴ △ABC 是以角C 为直角的三角形．a ＝22b c -＝3∴ △ABC 的内切圆半径r ＝21(b ＋a -c )＝1．4．证明：∵ ab ＜4R 2cos A cos B由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ∴ 4R 2sin A sin B ＜4R 2cos A cos B ∴ cos A cos B ＞sin A sin B ∴ cos A cos B -sin A sin B ＞0 ∴ cos(A ＋B )＞0∵ cos(A ＋B )＝-cos C∴ -cos C ＞0 ∴ cos C ＜0 ∴ 90°＜C ＜180°∴ △ABC 是钝角三角形∴三角形的外心位于三角形的外部．5．解：(1)∵ R C cB b A a 2sin sin sin === RbB R cC R a A 2sin ,)2(sin ,)2(sin 2222===∴∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B∴2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·R b 2∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴C ＝30°(2)∵S ＝21ab sin C＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值。

高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt

问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法：数形结合的思想，化归与转化的思想，分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？问7：可将公式如何变形？问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？

【数学】2020高中数学人教A版必修5课时作业3余弦定理

【关键字】数学【高考调研】2015年高中数学课时作业3 余弦定理新人教版必修51．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sinC ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案 C解析由正弦定理，得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12.∴A ＝120°.2．若a ，b ，c 是△ABC 的三边，且c a 2＋b 2>1，则△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形答案 D 解析 ∵c a 2＋b2>1，即a 2＋b 2<c 2，a 2＋b 2－c 2<0，于是cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0.∴∠C 为钝角，即得△ABC 为钝角三角形．3．边长5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°答案 B解析设中间的角大小为B ，由余弦定理，求得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝52＋82－722×5×8＝12.而0<B <π，∴B ＝π3.∴最大角与最小角的和是π－π3＝2π3＝120°.4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2答案 D5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案 A解析由sin C ＝23sin B ，可得c ＝23b ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3bc ＋c 22bc ＝32，于是A ＝30°，故选A.6．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则这个三角形最大角的外角是( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°答案 B解析 ∵a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴可令a ＝3x ，b ＝5x ，c ＝7x (x >0)，显然c 边最大．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9x 2＋25x 2－49x 22·3x ·5x ＝－12.∴C ＝120°，∴其外角为60°.7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3答案 D解析本题考查边角关系中余弦定理的应用．解斜三角形问题的关键是充分挖掘题中边角特征，选择合理的定理求解．因此(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，所以由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得sin B ＝32，选D. 8．在△ABC 中，已知a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形答案 B解析由a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ·b 2＋a 2－c 22ab，化简得a 4＋2a 2b 2＋b 4＝c 4，即(a 2＋b 2)2＝c 4. ∴a 2＋b 2＝c 2或a 2＋b 2＝－c 2(舍去)．故△ABC 是直角三角形．9．若将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度确定答案 A10．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝4，C ＝60°，则A ＝________. 答案 30°11．(2012·湖北)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.答案2π3解析 ∵由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，整理可得，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－ab 2ab ＝－12，∴C ＝2π3. 12．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C ，B ＝π3且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．答案3解析在△ABD 中，B ＝π3，BD ＝2，AB ＝1，则AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝3.所以AD ＝ 3.13．在△ABC 中，三个角A ，B ，C 的对边边长分别为a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C 的值为________．答案612解析由余弦定理可得bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋c 2＋a 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22＝32＋42＋622＝612.14．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析 ∵b 2＝ac ，又a 2－c 2＝ac －bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . 在△ABC 中，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin60°ca ＝sin60°＝32.故∠A ＝60°，b sin Bc 的值为32. 15．已知锐角三角形ABC 中，边a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积．解析由2sin(A ＋B )－3＝0，得sin(A ＋B )＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴C ＝60°. ∵a 、b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根， ∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝12－6＝6. ∴c ＝6，S △ABC ＝12ab sin C ＝12·2·32＝32.►重点班·选作题16．设△ABC 三边长分别为15,19,23，现将三边长各减去x 后，得一钝角三角形，则x 的范围为________．答案 (3,11)解析由两边之和大于第三边，得 15－x ＋19－x >23－x ，∴x <11. ① 又因得到的三角形为钝角三角形， ∴(15－x )2＋(19－x )2<(23－x )2.即x 2－22x ＋57<0，(x －3)(x －19)<0,3<x <19.② 由①、②可得3<x <11.17．在△ABC 中，已知c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，求角C . 解析 ∵c 4－2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0， ∴[c 2－(a 2＋b 2)]2－a 2b 2＝0，∴c 2－(a 2＋b 2)＝±ab .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±12，∴C ＝120°或C ＝60°.1．已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，所对的三边分别为a 、b 、c ，若三角形ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则tan A2等于________．答案 14解析本题考查余弦定理和解三角形等．由S ＝12bc sin A ，又S ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，由余弦定理知a 2－b 2－c 2＝－2bc ·cos A ⇒12bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ⇒sin A ＝4(1－cos A )⇒2sin A 2cos A 2＝4×2sin 2A 2⇒tan A 2＝14. 2．在△ABC 中，A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且最大角与最小角的对边之比为(3＋1)∶2，求A 、B 、C 的度数．解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.不妨设最大角为A ，则最小角为C . 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 (b c)2＝(a c)2＋1－2·a c·cos B . 将a c ＝3＋12及cos B ＝12代入，得b c ＝62. ∴sin B sin C ＝62，∴sin C ＝22.∵c <b ，∴C ＝45°，∴A ＝75°. 3．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2. (1)若f (1)＝0且B －C ＝π3，求角C 的大小；(2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．解析 (1)∵f (1)＝0，∴a 2－(a 2－b 2)－4c 2＝0. ∴b 2＝4c 2，∴b ＝2c .∴sin B ＝2sin C . 又B －C ＝π3，∴sin(C ＋π3)＝2sin C .∴sin C ·cos π3＋cos C ·sin π3＝2sin C .∴32sin C －32cos C ＝0，∴sin(C －π6)＝0. 又－π6<C －π6<5π6，∴C ＝π6.(2)若f (2)＝0，则4a 2－2(a 2－b 2)－4c 2＝0.∴a 2＋b 2＝2c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab.又a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . 即2c 2＝a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤c 2. ∴cos C ≥12，∴0<C ≤π3.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。