西安交通大学-刘国荣-离散数学第八章图论[2]

合集下载

西安交通大学15年7月课程考试《离散数学》作业考核试题标准答案

取定 u ∊ G. ∀g1,g2∊G，定义： g1*g2= g1·u-1·g2. 证明: (G,*)是群。
证明:
(1) 封闭性
(2) 可以结合性
(3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g·u-1·u=g·e=g e**g=u*g=u·u-1·g=e·g=g
(4) 逆元
对于∀g∊G,
在代数运算*下的逆元记为
g -1 *
于是,
g*-1=u·g-1·u 这里, g-1 是在代数运算·下的逆元
以下内容可以删除：（一）非标准劳动关系产生的原因
非标准劳动关系是从标准劳动关系发展而来。标准劳动关系是一种典型的劳动契约关系，产生于资本主义社会，并一直延续至今。自 20 世纪 60 年代始，随着经济的迅速发展，信息技术的普遍应用，各国的产业结构和知识结构发生了巨大变化，进而要求劳动力作为生产要素流动性增强，灵活就业、弹性就业需求增大。因为，在工业、机械制造业占主导的产业结构模式下，固定用工制度、长期就业合同是主流的用工和就业形式，但随着商业、服务业的不断扩大，简单、统一的传统就业形式已经不能满足劳动关系双方主体的自身需求，取而代之的应是形式灵活、富于弹性的就业形式，非标准劳动关系也就应运而生。一方面，企业可以根据市场的需求变化，通过灵活多样的用工形式来雇佣非核心员工，弹性用工能够降低企业劳动力成本，提高企业竞争力，追逐利益最大化。“企业想要更好的迎接全球化带来的巨大的挑战，人力资源的运用必须要有弹性，也就是劳动弹性化。”
公理 B 代入公理 D 代入公理 C (4)(5)分离 (5)(6)分离
(8) (pq) ((qp) (pq))
公理 A
(9) (p(p∨p)) (((p∨p)p) (p(p∨p))) 代入

离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编

17
证明
(2) 假设存在x1, x2∈A使得由合成定理有 f g(x1)=f g(x2)
g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g:B→C是单射的, 故 f(x1)=f(x2). 又由于f:A→B是单射的, 所以x1=x2. 从而证明f g:A→C是单射的. (3)由(1)和(2)得证. 注意：定理逆命题不为真, 即如果f g:A→C是单射(或满射、双射)的, 不一定有 f:A→B 和 g:B→C都是单射(或满射、双射)的.
16
函数复合与函数性质
定理8.2 设f:A→B, g:B→C (1) 如果 f:A→B, g:B→C是满射的, 则 fg:A→C也是满射的 (2) 如果 f:A→B, g:B→C是单射的, 则 fg:A→C也是单射的 (3) 如果 f:A→B, g:B→C是双射的, 则 fg:A→C也是双射的证 (1) 任取c∈C, 由g:B→C的满射性, b∈B使得 g(b)=c. 对于这个b, 由 f:A→B的满射性，a∈A使得 f(a)=b. 由合成定理有 fg(a) = g(f(a)) = g(b) = c 从而证明了fg:A→C是满射的
4
实例
例1 设A={1,2,3}, B={a,b}, 求BA. 解BA={ f0, f1, … , f7}, 其中 f0 = {<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1 = {<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2 = {<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3 = {<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4 = {<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5 = {<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6 = {<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7 = {<1,b>,<2,b>,<3,b>}

离散数学教学课件-第8章图论

解：以a,b,c,d,e,f,g作为顶点，能讲同一语言作一边
b
d
f
连通
a
g
c
e
§8.5 图的矩阵表示
复习：
R
传递闭包 R R R2 Rn
8.5.1 图的矩阵表示
G V , E V {v1, v2 , v3 ,, vn }
E {e1, e2 , e3 ,, em }
邻接矩阵
A (aij ) nn
起点
P v0 , v1,, vq
回
终点
路
P e1, e2 ,, eq
长度
8.2.1通路与回路
1
4
2 (1,2),(2,3) 1,2,3 (1,4),(4,3) 1,4,3
3
(1,2),(2,4),(4,1)
回路
8.2.1通路与回路
1
2 P:1,2,4,1,4,3
4
3 Q:1,2,4,3 复杂通路
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
0 1 0 0 0
2
4
1 0 1 0 0
A 0 1 0 0 0
图1
5
0 0 0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0
0
0
A2 1 0 1 0 0
0 0 0
1
0
0 0 0 0 1
8.5.1 图的矩阵表示
1
3
1 0 1 0 0
2
4
0 2 0
cij 表示从 vi 到 v j 长度为 l 的通路数目
8.5.1 图的矩阵表示
定理设邻接矩阵为A的无向简单图，则 Ak (k 1,2,....) 的元素

离散数学集合

18
离散数学
无重复性是集合的四大性质之一。五.空集（empty,null,void set）：记为空集是没有成员的集合。即注.将空集作为集合实际上是集合运算的封 x(x）（所谓的空集公理）；闭性所要求的 ! 所以={ }；空集是集合(作这点规定是运算封闭性的要求)。空集是唯一的。因为若有两个空集，则它们有完全相同的元素(都没有任何元素)，所以它们相等，是同一集合。六.全集（universe of discourse）：记为X 全集是所要研究的问题所需的全部对象（元素）所构成的集合。全集给个体（研究的对象）划定适当的范围。
12
离散数学
两个集合不相等，记为AB ；根据这个定义，关于集合我们可得下列性质： (1) 无序性：集合中的元素是无序的。例如 {a,b,c}= {b, a, c} = {b , c, a} 因此，为了使用方便，我们可任意书写集合中元素的顺序。但一般情况下，通常采用字母序、字典序；有时，还需要强行命名一种序；无序性是集合的四大性质之一。 (2)无重复性：集合中元素的重复是无意义的。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c}= {a, b, c} 包（bag）：若允许元素重复称为包。例如 {a, a, a, a, b, b, b, c , c} 一般记布尔系统图论
2
离散数学 Discrete Mathematics
序言：
离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学基础理论的核心课程。它充分描述了计算机科学的离散性特点，是随着计算机科学的发展而逐步建立起来的新兴的基础性学科。本课程作为计算机科学的基础性课程，把握离散数学的关键性问题，介绍五大块内容：集合论、代数系统、布尔代数、图论、数理逻辑。这些和计算机科学密切相关的理论的结构按排，既着重于各部分之间的紧密联系，又深入探讨各部分内容的概念、例子、理论、算法、以及实际应用。

离散数学第8章图论及其应用

重要课题。
38
第八章图论及其应用例如图8-5中（a）与（b）均有6个结点，5条边；3个1度结点
，2个2度结点，1个3度结点。满足上述3个条件，然而并不同构。
因为在图8-5（a）中的结点x应和图8-5（b）中结点y对应，它们的度数均为3，而图8-5（a）中的结点x与两个度数为1 的结点邻接，图8-5（b）中结点y仅与一个度数为1的结点
E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},
e1=(a,b),e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),
e7=(b,b)
则图G可用图(a)或(b)表示。
一个图G可用一个图形来
表示且表示形式不唯一
6
第八章图论及其应用
有向图与无向图
• 在图G中，如果每条边都是有向边，则称该图为有向图； • 若每条边都是无向边，则称该图为无向图； • 如果有些边是有向边，另一些边是无向边，图G称为混合
•
(1)
(2)
37
第八章图论及其应用图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
若两图同构，则两图必然满足：（1）有相同结点数目；（2）有相同边数；（3）度数相同的结点数目相同；（4）有相同重数的边数相同，等等。
但这仅仅是必要条件而不是充分条件。
寻找一种简单有效的方法来判定图的同构，至今仍是图论中悬而未决的
• 若边e所对应的结点对是有序对〈a,b〉,则称e是有向边。a叫边e的始点,b叫边e的终点,统称为e的端点。 • 若边e所对应的结点对是无序对(a,b) ,则称e是无向边。 • 这时统称e关联顶点a和b，端点a和b是邻接的。
5
第八章图论及其应用
例设G=〈V,E〉,其中V={a,b,c,d},

离散数学第八章(第4讲)

韦尔奇·鲍威尔（WelchPowell）给出了一种对图的着色方法，步骤如下：
（1）将图G中的顶点按度数递减次序排列。（2）用第一种颜色对第一顶点着色，并将与已着色顶点不
邻接的顶点也着第一种颜色。（3）按排列次序用第二种颜色对未着色的顶点重复（2）。
用第三种颜色继续以上做法，直到所有的顶点均着上色为止。
4
5
6
定义1 ：设G=<V,E>是一个无向图，如果能够把G的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其它的交点，就称G是一个平面图。
判断一个图是否为平面图的简单方法是观察法：找出基本循环，将交叉的边分别放置在基本循环内或外而避免交叉。如下图所示：
但并非所有的图经过处理之后都可变为平面图。
2. 着色问题在地图上，相邻国家涂不同的颜色，最少需要多少种颜色？100多年前，有人提出了“四色猜想”，即只用四种颜色就能做到，但一直无法证明，直到1976年美国数学家才用电子计算机证明了这一猜想。地图着色自然是对平面图的面着色，利用对偶图，可将其转化为相对简单的顶点着色问题，即对图中相邻的顶点涂不同的颜色。
设m=k-1（k≥1）时公式成立，现在考虑m=k时的情况。因为在连通图上增加一条边仍为连通图，则有三种情况：
（1）所增边为悬挂边，此时G的面数不变，顶点数增1，公式成立。（2）在图的任意两个不相邻点间增加一条边，此时G的面数增1，边数增1，但顶点数不变，公式成立。
（3）所增边为一个环，此时G的面数增1，边数增 1
于是有 r 2 m n 2m l
故 m l (n 2)
l2
(r为G的面数)
推论1:设图G是一个包含n个结点,m条边的连通简单平面图，若n≥3,则m≤3n-6。

《离散数学图论》课件

最短路径问题
实现方法：使用队列数据结构，将起始节点入队，然后依次处理队列中的每个节点，直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于求解单源最短路径问题，通过不断更新最短路径来寻找最短路径。
Prim算法：用于求解最小生成树问题，通过不断寻找最小权重的边来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1，其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通性、路径长度等信息，是图论中常用的表示方法之一。
图像处理：优化图像分割，提高图像质量
物流配送：优化配送路径，降低配送成本
社交网络：优化社交网络结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、基因调控等领域
社会科学：用于社会网络分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示边表示方法：用线或弧线表示图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径

西安交通大学-刘国荣-离散数学第八章图论[2]

17
图9
离散数学
连通图的笔画是由图中奇结点的个数决定的。本章§2定理2已经证明过：图中奇结点的个数是偶数。所以奇结点是成对出现的，即为2k个。 (1)当k=0,1时，此连通图是一笔画的； (2) 当 k>1时，此连通图是 k 笔画的 ( 更进一步地，存在着k 条边不重的路)。应用三：中国邮路问题一个邮递员，每次送信，领取邮件，由邮局出发，要走遍他所负责的投递范围内的每一条街道，完成投递任务后，再返回邮局。问题是：他应该沿着怎样的路线走，使所走的总路程最短？
离散数学
No2. 若此简单圈 C 已是 Euler 圈，则此图 G 就是 Euler 图，算法结束(出口)。 No3.(插圈)否则，图G中必还有若干条边不属于圈C。由图G的连通性可知： G 必有圈C外的边ej与圈C G 上的结点vi相关联(vi称 vi ej 为接触点)。由于在图G C C 中除去圈C(只删边，不删结点)后所得的子图G 中，每个结点仍都是偶结点(因为在圈C上的结图1 点，都是一边进，另一
6
离散数学
边出。因此圈 C 每穿过某结点一次，该结点的度数就被消耗掉2。故这些结点在删除圈C的边时，它们的度数都减少一个偶数)。由于图G中每个结点都仍是偶结点，于是从此结点vi出发，经过边ej 及子图G中的其它边，必可走出一个简单圈C，回到出发点vi 。故圈C与圈C必由结点vi相连(如图1所示)。将圈C插入圈C中，形成一条新的更长的简单圈C:=CC ，goto No2。由于图 G中的边数是有限的，故算法不可能无穷的进行下去，所以算法必定在有限步结束。最后一定能得到一个包括图 G 中所有边在其上的简单圈 C ，此圈 C 即是 Euler圈。所以图G即为Euler图。
10

离散数学第八章图论

C
A
B
D 图2
此图实际上是反映了客观事物之间的相互关系
10
离散数学
本世纪40年代，一个数学游戏也使用类似的方法得到了解决：某人挑一担菜、并带一只狗、一只羊，要从河的北岸到南岸。由于船小，只允许带狗、羊、菜三者中的一种过河；而由于明显的原因，当人不在场时狗与羊、羊与菜不能呆在一起。问此人应采取怎样的办法才能将这三样东西安全地带过河去？方法一：不对称状态空间法将人(person)、狗(dog)、羊(sheep)、菜(cabbage)中任意几种在一起的情况看作是一种状态，则北岸可能出现的状态共有十六种，其中安全状态有下面十种： (人，狗，羊，菜)，(空)； (P,D,S,C) ，() ； (人，狗，羊)， (菜)； (P,D,S,) ，(C) ； (人，狗，菜)，(羊)； (P,D,C) ，(S) ；
7
离散数学
但当地的居民和游人做了不少的尝试，却都没有取得成功。于是，有好事者便向当时居住在该城的大数学家欧拉请教。 1736年，瑞士的数学家L.Euler解决了这个问题。他将四块陆地表示成四个结点，凡陆地间有桥相连的，便在两点间连一条线，这样图1就转化为图2了。此时，哥尼斯堡七桥问题归结为：在图2 所示的图中，从 A, B, C, D 任一点出发，通过每条边一次且仅一次而返回出发点的回路是否存在？后人称如此的问题为Euler环游。欧拉断言这样的回路是不存在的。理由是：从图2中的任一结点出发，为了要回到原来的出发点，要求与每个结点相关联的边数均为偶数。这样才能保证从一条边进入某结点后，可从另一条边出去，而不经过已走过的
v3
1 2
v1
1 1 1
v4 v2
2 1
图论的基本概念性术语和一些特殊图：图3 (1)(n,m)图: |V| = n,|E| = m，即有n个结点和m条边的图称为 ( n, m ) 图。 (2)无向边：(undirected edges简edges)在定义3下，若边 (u, , v)与边(v, ,u)表示同一条边，则称此边为无向边。 22

第8章离散数学

35

例8.6 在图8.4中，（b）是（a）的子图，生成子图.
a
a e
b
e
b d
c
d
c
36
8.1.4完全图、补图、正则图、带权图

定义8.6 (完全图) （1）设 G=(V,E)是无向简单图，且 |V|=n，若简单图G中任意两个不同的顶点都是邻接的，则称图G是无向完全图。 N个顶点的无向完全图记作Kn 。注：若完全图的V中有n个顶点，则边数为n(n-1)/2条边。
14

例8.2 判断图8.2中哪些是简单图：
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
15

解：根据定义，只有图（a）和图（e）是简单图。现在我们已经知道了什么图，那如果给定一个图，我们怎么来表示它呢？归结起来，可以有三种方法来表示一个图： 1. 定义描述法：即用点的集合和边的集合来表示一个图。这种方法表示一个图比较有点是精确、但是太抽象不易理解。 2. 图形表示法：即用小圆圈表示顶点，用线段或弧线表示边。这种表示方法的优点是形象直观，但当图中的顶点和边的数目较大时，图形表示法是不方便的，甚至是不可能的。 3. 矩阵表示法：即用二进制的数 {0,1}来表示图形中点与点、点与边的关系，这种方法的优点是计算机处理方便，可充分利用矩阵代数的运算定理，但图的许多性质用矩阵表示时会遇到困难，我们会在后面来详细讨论这个方法。
证只需考虑无向图。以|V1|和|V2|和分别表示图G中度为奇数和偶数的顶点集合。由于
d (v) d (v) d (v) 2m ：为偶数, 而 v V
vV2
2

离散数学(第三版)陈建明,刘国荣课后习题问题详解

离散数学辅助教材概念分析结构思想与推理证明第一局部集合论X国荣交大电信学院计算机系离散数学习题解答习题一〔第一章集合〕1. 列出下述集合的全部元素：1〕A={x | x ∈N∧x是偶数∧x＜15}2〕B={x|x∈N∧4+x=3}3〕C={x|x是十进制的数字}[解] 1〕A={2，4，6，8，10，12，14}2〕B=∅3〕C={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}2. 用谓词法表示如下集合：1〕{奇整数集合}2〕{小于7的非负整数集合}3〕{3，5，7，11，13，17，19，23，29}[解]1〕{n n∈I∧(∃m∈I)(n=2m+1)}；2〕{n n∈I∧n≥0∧n<7}；3〕{p p∈N∧p>2∧p<30∧⌝(∃d∈N)(d≠1∧d≠p∧(∃k∈N)(p=k⋅d))}。

3. 确定如下各命题的真假性：1〕∅⊆∅2〕∅∈∅3〕∅⊆{∅}4〕∅∈{∅}5〕{a，b}⊆{a，b，c，{a，b，c}}6〕{a,b}∈(a，b，c，{a，b，c})7〕{a，b}⊆{a，b，{{a，b，}}}8〕{a，b}∈{a，b，{{a，b，}}}[解]1〕真。

因为空集是任意集合的子集；2〕假。

因为空集不含任何元素；3〕真。

因为空集是任意集合的子集；4〕真。

因为∅是集合{∅}的元素；5〕真。

因为{a，b}是集合{a，b，c，{a，b，c}}的子集；6〕假。

因为{a,b}不是集合{a，b，c，{a，b，c}}的元素；7〕真。

因为{a，b}是集合{a，b，{{a，b}}}的子集；8〕假。

因为{a,b}不是集合{a，b，{{a，b}}}的元素。

4. 对任意集合A，B，C，确定如下命题的真假性：1〕如果A∈B∧B∈C，如此A∈C。

2〕如果A∈B∧B∈C，如此A∈C。

3〕如果A⊂B∧B∈C，如此A∈C。

[解] 1〕假。

例如A={a}，B={a，b}，C={{a}，{b}}，从而A∈B∧B∈C但A∈C。

离散数学离散数学第8章一些特殊的图 PPT课件

在23岁时，他发表了他还是一个17岁的孩子时作出的“奇怪的发现”，…即《光线系统理论》第一部分，这是一篇伟大的杰作，它对于光学，就象拉格朗日的《分析力学》之于力学。
哈密尔顿最深刻的悲剧既不是酒精，也不是他的婚姻，而是他顽固地
相信，四元数是解决物质宇宙的数学关键。…从来没有一个伟大的数学
家这样毫无希望地错误过。
2
1
3
4
(2) 有限面与无限面：面积有限的区域称为有限面(或内部面)，否则为无限面(或外部面) 。上图中，面4是无限面。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
24
(3) 面的次数等于面边界的边数(注意：悬挂边算2 次)，记为deg(R).
(4) 平面图中面的次数之和等于边数m的两倍，即
d(u)+d(v)≥n-1 则G是半哈密尔顿图。
注意:
此定理条件显然不是必要条件，如n≥6的n边形，对于任意不相邻的顶点u, v, d(u)+d(v)=4，4<n-1，而n边形显然有哈密尔顿通路。
7/1/2020 9:05 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
18
哈密尔顿图的充分条件
❖ 设G是n(n≥3)阶无向简单图，若G中任意不相邻的顶点对u,v均满足： d(u)+d(v)≥n 则G是哈密尔顿图。
a
bc
d
e
f g
h
i j
k
l
ba
d
g
e j
f
l
b
a
c
d
g
j
i
e
h
f
k
7/1/2020 9:05 PM

离散数学及其应用课件第8章特殊图

例8.1.2 在下图中，哪些是欧拉图？哪些是半欧拉图？
欧拉图
欧拉图
半欧拉图
欧拉有向图
定义8.1.2 如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向回路，称它为欧拉有向回路，称图G为欧拉有向图。如果连通有向图G中有一条包含G中所有有向边的有向通路，称它为欧拉有向通路，称图G为半欧拉有向图。
a
Dijkstra算法
8.2.3 中国邮路问题
– 一名邮递员带着要分发的邮件从邮局出发，经过要分发的每个街道，送完邮件后又返回邮局．如果他必须至少一次走过他负责范围内的每一条街道，如何选择投递路线，邮递员可以走尽可能少的路程？这个问题是由我国数学家管梅谷先生（山东师范大学数学系教授）在1962年首次提出的，因此在国际上称之为中国邮路问题．
中国邮路问题
首先注意到，若图G有奇数度结点，则G的奇数度结点必是偶数个．把奇数度结点配为若干对，每对结点之间在G中有相应的最短路，将这些最短路画在一起构成一个附加的边子集E1．令G1 =G+E1，即把附加边子集E1 叠加在原图G上形成一个多重图G1，这时G1中没有奇度数结点．显然 G1是一个欧拉图，因而可以求出G1的欧拉回路．该欧拉回路不仅通过原图 G中每条边，同时还通过E1 中的每条边，且均仅一次．邮递员问题的难点在于当G的奇数度节点较多时，可能有很多种配对方法，应怎样选择配对，能使相应的附加边子集E1 的权数W(E1)为最小。
欧拉图
半欧拉图
8.1.2 哈密顿图
环游世界问题
哈密顿图
定义8.1.3 设图G=（V，E）是无向图或有向图。若G中有一条包含G的所有结点(仅一次)的回路，称该回路为哈密顿回路，称图G为哈密顿图。若图G有一条包含G的所有结点的通路，称该通路为哈密顿通路，称图G为半哈密顿图。

离散数学及其应用课件第8章第2-3节

二分图
完全二分图
二分图的判断
定理8.3.2 一个无向简单图G=（V，E）是二分图，当且仅当G中无奇数长度的回路。
证明 (必要性) 设无向简单图G=（V，E）是二分图，V1V2=V，V1V2=。对于G中任一长度为n的回路可表示为v1e1v2e2vnenv1。设v1V1，则v2V2，v3V1，v4V2 vnV2。所以n 必为偶数。（充分性）设无向简单图G=（V，E）的所有回路的长度都是偶数。u是图G的任一结点，d（v， u）表示结点v到结点u的距离。二分图的结点集V的两个子集可以表示为：V1={v| d(v, u) 为偶数}，V2=V-V1。如果存在一条边e的两端点vi和vj都在结点集V1中，则从vi到vj存在一条有偶数条边的通路L。通路L和边e可以构成一条回路，回路的长度为奇数。和假设矛盾。同理可证，没有一条边的两端点都在结点集V2中。由此可见，图G的每条边的端点，必定一个在结点集V1中，另一个在结点集V2中，而且V1和V2是G的互补结点集。所以图G 是二分图。
例题
判断图8.3.6中的图是否是二分图。
a
b
a
b
d
c
e
e
c
d
a
b
f
c
e
d
完全匹配和完美匹配
定义8.3.5 设G=（V，E）是二分图，V1和V2是G的互补结点集，若G的一个匹配M使得|M|=min{| V1|，| V2|}，称匹配M是G 的完全匹配。这时，若| V1|| V2|，称M是从V1到V2的一个完全匹配。如果| V1|=| V2|，称M是G的完美匹配。
完全匹配
完美匹配
没有完全匹配
完全匹配
定理8.3.3（Hall定理）设二分图G = (V,E )，V1和V2 是G的互补结点集，存在从V1到V2的完全匹配, 当且仅当对于V1中的任意k个结点（k=1,2, ,|V1|）至少邻接V2的k个结点。

离散数学第8章图论及其应用

点集。由握手定理知
෍ de() + ෍ de() = 2
∈1
∈2
由于V2是偶数度数的结点集, 所以其度数之和, 必为
偶数, 而2|E|也为偶数, 故V1形成的结点度数之和只
能是偶数, 由此|V1|必为偶数。
23
【示例1】已知图G中有1个1度结点, 2个2度结点,
3个3度结点, 4个4度结点, 则G的边数是
第8章图论及其应用
1 图的基本概念
2 图的连通性
3 图的矩阵表示
4 最短路径与关键路径
5 树
1
主要内容
☞ 图的基本概念
☞ 图的连通性
☞ 图的矩阵表示
☞ 最短路径与关键路径
☞树
2
3
图论的前世今生
☞ 1736年，欧拉（L.Eular）发表了第一篇关于图论的论文，解决了
哥尼斯堡七桥问题，并因此被誉为图论之父。
d (v4 ) 0
(b)
注意孤
立点和
自回路
d (v1 ) d (v1 ) d (v1 ) 3 0 3

d (v2 ) d (v2 ) d (v2 ) 0 1 1

d
(
v
)

d
(
v
)

d
(v3 ) 3 1 4
3
3
d (v ) 0
☞ 完全图(Complete Graph): 任意两个不同的结点都邻接的
简单图称为完全图。个结点的无向完全图记为K。
17
8−1
图
的
基
本
概
念
§8−1−2 结点的度

离散数学第8章习题解答

第8 章习题解答8.1 图8.6 中,(1)所示的图为‎,3,1K (2) 所示的图为‎,3,2K (3)所示的图为‎,2,2K 它们分别各‎有不同的同‎构形式.8.2 若G 为零图‎,用一种颜色‎就够了,若G 是非零‎图的二部图‎,用两种颜色‎就够了.分析根据二部图‎的定义可知‎,n 阶零图(无边的图)是三部图(含平凡图),对n 阶零图‎的每个顶点‎都用同一种‎颜色染色,因为无边,所以,不会出现相‎邻顶点染同‎色,因而一种颜‎色就够用了‎.8.3 完全二部图‎,,s r K 中的边数rs m -.分析设完全二部‎图的顶点集‎s r K ,为V, 则∅==2121,V V V V V ,且是简单图‎,||,||21s V r V ==s r K ,,且中每个顶‎1V 点与中所有‎2V 顶点相邻,而且中任何‎1V 两个不同顶‎点关联的边‎互不相同,所以,边数rs m -.8.4 完全二部图‎s r K ,中匹配数},min{1s r =β,即等于中的‎1βs r ,小者. 分析不妨设且二‎,s r ≤部图s r K ,中,,||,||21s V r V ==由Hall ‎定理可知,图中存在到‎1V 的完备匹配‎,设M 为一个‎完备匹配,则中顶点全‎1V 为M 饱和点‎,所以,.1r =β8.5 能安排多种‎方案,使每个工人‎去完成一项‎他们各自能‎胜任的任务‎.分析设},,{1丙乙甲=V ,则为工人集‎1V 合, },,{2c b a V =,则为任务集‎2V 合.令}|),{(,21y x y x E V V V 能胜任== ,得无向图>=<E V G ,,则G 为二部‎图,见图8.7 所示.本题是求图‎中完美匹配‎问题. 给图中一个‎完美匹配就‎对应一个分‎配方案.图8.7 满足Hal ‎l 定理中的‎相异性条件‎,所以,存在完备匹‎配,又因为所以‎,3||||21==V V ,完备匹配也‎为完美匹配‎.其实,从图上,可以找到多‎个完美匹配‎. 取)},(),,(),,{(1c b a M 丙乙甲=此匹配对应‎的方案为甲‎完成a,乙完成b, 丙完成c,见图中粗边‎所示的匹配‎. )},(),,(),,{(c a b M 丙乙甲=2M 对应的分配‎方案为甲完‎成b ,乙完成a,丙完成c. 请读者再找‎出其余的分‎配方案.8.6 本题的答案‎太多,如果不限定‎画出的图为‎简单图,非常容易地‎给出4族图‎分别满足要‎求.(1) n (n 为偶数,且2≥n )阶圈都是偶‎数个顶点,偶数条边的‎欧拉图.(2) n (n 为奇数,且1≥n )阶圈都是奇‎数个顶点,奇数条边的‎欧拉图.(3) 在(1) 中的圈上任‎选一个顶点‎,在此顶点处‎加一个环,所务图为奇‎数个顶点,偶数条边的‎欧拉图.分析上面给出的‎4族图都是‎连通的,并且所有顶‎点的度数都‎是偶数,所以,都是欧拉图‎.并且(1),(2) 中的图都是‎简单图.而(3),(4)中的图都带‎环,因而都是非‎简单图. 于是,如果要求所‎给出的图必‎须是简单图‎,则(3),(4)中的图不满‎足要求.其实,欧拉图是若‎干个边不重‎的图的并,由这种性质‎,同样可以得‎到满足(3),(4)中要求的简‎单欧拉图.设是长度大‎k G G G ,,,21 于等于3的‎k 个奇圈(长度为奇数‎的圈称为奇‎圈),其中k 为偶‎数,将中某个顶‎1G 点与中的某‎2G 顶点重合,但边不重合‎, 2G 中某顶点与‎3G 中某顶点重‎合,但边不重合‎,继续地,最后将中某‎1-k G 顶点与中某‎k G 顶点重合,边不重合,设最后得连‎通图为G,则G 中有奇‎数个顶点,偶数条边,且所有顶点‎度数均为偶‎数,所以,这样的一族‎图满足(4)的要求,其中一个特‎例为图8.8中(1)所示.在以上各图‎中,若中有一个‎k G G G ,,,21 偶圈,其他条件不‎变,构造方法同‎上,则所得图G ‎为偶数个顶‎点,奇数条边的‎简单欧拉图‎,满足(3)的要求,图8.8中(2)所示为一个‎特殊的情况‎.8.7 本题的讨论‎类似于8.6题,只是将所有‎无向圈全变‎成有向圈即‎可,请读者自己‎画出满足要‎求的一些特‎殊有向欧拉‎图.8.8 本题的答案‎也是很多的‎,这里给出满‎足要求的最‎简单一些图‎案,而且全为简‎单图.(1) n (3≥n )阶圈,它们都是欧‎拉图,又都是哈密‎尔顿图.(2) 给定k (2≥k )个长度大于‎等于3的初‎级回路,即圈k G G G ,,,21 ,用8.6题方法构‎造的图G 均‎为欧拉图,但都不是哈‎密尔顿图,图8.8给出的两‎个图是这里‎的特例.(3)n (4≥n )阶圈中,找两个不相‎邻的顶点,在它们之间‎加一条边,所得图均为‎哈密尔顿图‎,但都不是欧‎拉图.(4) 在(2)中的图中,设存在长度‎大于等于4‎的圈,比如说1G ,在中找两个‎1G不相邻的相‎邻顶点,在它们之间‎加一条新边‎,然后用8.6题方法构‎造图G,则G 既不是‎欧拉图,也不是哈密‎尔顿图,见图8.9所示的图‎.分析 (1) 中图满足要‎求是显然的‎.(2)中构造的图‎G 是连通的‎,并且各顶点‎度数均为偶‎数,所以,都是欧拉图‎,但因为G 中‎存在割点,将割点从G ‎中删除,所得图至少‎有两个连通‎分支,这破坏了哈‎密尔顿图的‎必要条件,所以,G 不是哈密‎尔顿图.(3) 中构造的图‎中,所有顶点都‎排在一个圈‎上,所以,图中存在哈‎密尔顿回路‎,因而为哈密‎尔顿图,但因图中有‎奇度顶点(度数为奇数‎的顶点),所以,不是欧拉图‎. 由以上讨论‎可知,(4) 中图既不是‎欧拉图,其实,读者可以找‎许多族图,分别满足题‎中的要求.8.9 请读者自己‎讨论.8.10 其逆命题不‎真.分析若D 是强连‎通的有向图‎,则D 中任何‎两个顶点都‎是相互可达‎的,但并没有要‎求D 中每个‎顶点的入度‎都等于出度‎. 在图8.2 所示的3个‎强连通的有‎向衅都不是‎欧拉图.8.11 除不是哈密‎2K 尔顿图之外‎, n K (3≥n )全是哈密尔‎顿图. n K (n 为奇数)为欧拉图. 规定1K (平凡图)既是欧拉图‎,又是哈密尔‎顿图.分析从哈密尔顿‎图的定义不‎难看出,n 阶图G 是‎否为哈密尔‎顿图,就看是否能‎将G 中的所‎有顶点排在‎G 中的一个‎长为n 的初‎级回路,即圈上. n K (3≥n )中存在多个‎这样的生成‎圈(含所有顶点‎的图), 所以n K (3≥n )都是哈密尔‎顿图.在完全图中‎n K ,各顶点的度‎数均为n-1,若为欧拉图‎n K ,则必有为偶‎1-n 数,即n 为奇数‎,于是,当n 为奇数‎时, n K 连通且无度‎顶点,所以, n K (n 为奇数) 都是欧拉图‎.当n 为偶数‎时,各顶点的度‎数均为奇数‎,当然不是欧‎拉图.8.12 有割点的图‎也可以为欧‎拉图.分析无向图G 为‎欧拉图当且‎仅当G 连通‎且没有奇度‎顶点.只要G 连通‎且无奇度顶‎点(割点的度数‎也为偶数),G 就是欧拉‎图.图8.8所示的两‎个图都有割‎点,但它们都是‎欧拉图.8.13 将7个人排‎座在圆桌周‎围,其排法为.abdfgeca分析做无向图>=<E V G ,,其中,},,,,,,{g f e d c b a V =},|),{(有共同语言与且v u V v u v u E ∈=图G 为图8‎.10所示.图G 是连通‎图,于是,能否将这7‎个人排座在‎圆桌周围,使得每个人‎能与两边的‎人交谈,就转化成了‎图G 中是否‎存在哈密尔‎顿回路(也就是G 是‎否为哈密尔‎顿图).通过观察发‎现G 中存在‎哈密尔顿回‎路, abdfgeca 就是其中8.14 用表示颜色‎i v .6,,2,1, =i i 做无向图>=<E V G ,,其中},,,,,,{654321v v v v v v V =}.,,|),{(能搭配与并且且v u v u V v u v u E ≠∈=对于任意的‎)(,v d V v ∈表示顶点与‎v 别的能搭配‎的颜色个数‎,易知G 是简‎单图,且对于任意‎的V v u ∈,,均有633)()(=+≥+v d u d ,由定理8.9可知,G 为哈密尔‎顿图,因而G 中存‎在哈密尔顿‎回路,不妨设为其‎1654321i i i i i i i v v v v v v v 中的一条,在这种回路‎上,每个顶点工‎表的颜色都‎能与它相邻‎顶点代表的‎颜色相.于是,让1i v 与2i v ,3i v 与4i v ,5i v 与所代表的‎6i v 颜色相搭配‎就能织出3‎种双色布,包含了6种‎颜色.8.15∑=⨯======300321,10220)deg(.12)deg(,3)deg(,1)deg(,4)deg(i i R R R R R 而本图边数m ‎=10.分析平面图(平面嵌入)的面的次数‎i R 等于包围它‎的边界的回‎路的长度,这里所说回‎路,可能是初级‎的,可能是简单‎的,也可能是复‎杂的,还可能由若‎干个回路组‎成.图8.1所示图中‎,321,,R R R 的边界都是‎初级回路,而的边界为‎0R 复杂回路(有的边在回‎路中重复出‎现),即432110987654321e e e e e e e e e e e e e e ,长度为12‎,其中边在其‎65,e e 中各出现两‎次.8.16 图8.11中,实线边所示‎的图为图8‎.1中图G,虚线边,实心点图为‎它的对偶图‎的顶点数*n ,边数*m ,面数分别为‎*r 4,10和8,于是有分析从图8.11还可以‎发现,G 的每个顶‎点位于的一‎个面中,且的每个面‎只含G 的一‎个顶点,所以,这是连通平‎面图G 是具‎有个连通分‎k 支的平面图‎2≥k ,则应有1*+-=k n r .读者自己给‎出一个非连‎通的平面图‎,求出它的对‎偶图来验证‎这个结论.另外,用图8.1还可以验‎证,对于任意的‎*v (*G 中的顶点),若它处于G ‎的面i R 中,则应有)deg()(*i R v d =.8.17 不能与G 同‎构.分析任意平面图‎的对偶图都‎是连通的,因而与都是‎连通图,而G 是具有‎3个连通分‎支的非连通‎图,连通图与非‎连通图显然‎是不能同构‎的.图 8.12 中, 这线边图为‎图8.2中的图G ‎,虚线边图为‎G 的对偶图‎,带小杠的边‎组成的图是‎*G 的对偶图,显然.~**G G ≠8.18 因为彼得森‎图中有长度‎为奇数的圈‎,根据定理8‎.1可知它不‎是二部图.图中每个顶‎点的度数均‎为3,由定8.5可知它不‎是欧拉图.又因为它可‎以收缩成5K ,由库拉图期‎基定理可知‎它也不是平‎面图.其实,彼得森图也‎不是哈密尔‎顿图图,这里就不给‎出证明了.8.19 将图8.4重画在图‎8.13中,并且将顶点‎标定.图中为图中‎afbdcea 哈密尔顿回‎路,见图中粗边‎所示,所以,该图为哈密‎尔顿图.将图中边三‎),(),,(),,(d f f e e d 条去掉,所得图为原‎来图的子图‎,它为3,3K ,可取},,{1c b a V =},,{2f e d V =,由库拉图期‎基定理可知‎,该图不是平‎面图.8.20 图8.14 所示图为图‎8.5所示图的‎平面嵌入.分析该图为极大‎平面图.此图G 中,顶点数9=n ,边数若G 是‎.12=m 不是极大平‎面图,则应该存在‎不相邻的顶‎点在它们之‎,,v u 间再加一条‎边所得还应‎'G 该是简单平‎面图, 'G 的顶点数131,6''=+===n m n n ,于是会有.126313''=->=n m这与定理8‎.16矛盾,所以,G 为极大平‎面图.其实,n ( 3≥n )阶简单平面‎图G 为极大‎平面图当且‎仅当G 的每‎个面的次数‎均为3.由图8.14可知,G 的每个面‎的次数均为‎3,所以,G 为极大平‎面图.8.12 答案 A,B,C,D 全为②分析 (1) 只有n 为奇‎数时命题为‎真,见8.11的解答‎与分析.(2) 2≠n 时,命题为真,见8.11的解答‎与分析.(3) 只有都是偶‎m n ,数时,m n K ,中才无奇度‎数顶点,因而为欧拉‎m n K ,图,其他情况下‎,即中至少有‎m n ,一个是奇数‎,这时中必有‎m n K ,奇度顶点,因而不是欧‎拉图.(4) 只有m n =时, m n K ,中存在哈密尔顿回‎路,因而为哈密‎尔顿图. 当m n ≠时,不妨设m n <,并且在二部‎图m n K ,中,m V n V ==||,||21,则n V m V G p =>=-||)(11,这与定理8‎.8矛盾. 所以, m n ≠时, m n K ,不是哈密尔‎顿图.8.22 答案 A:②;B ②;C ②.分析图8.15中,两个实边图‎是同构的,但它们的对‎偶力(虚边图)是不同构的‎.(2) 任何平面图‎的对偶图都‎是连通图.设G 是非连‎通的平面图‎,显然有.**~G G ≠ (3) 当G 是非连‎通的平面图‎时,,1*+-=k n r 其中为G 的‎k 连通分支数‎.8.23 答案 A:④;B ②;C ②.分析根据库期基‎定理可知,所求的图必‎含有或同胚‎5K 3,3K 子图,或含可收缩‎成或的子图‎5K 3,3K .由于顶点数‎和边数均已‎限定,因而由加2‎3,3K 条边的图可‎满足要求,由增加一个‎5K 顶点,一条边的图‎可满足要求‎,将所有的非‎同构的简单‎图画出来,共有4个,其中由产生‎3,3K 的有2个,由产生的有‎5K 2个.见图8.16所示.。

离散数学第8章图论

§8-1-1 图
定义8-1.1 一个图G定义为一个三元组<V，E， φ>，记作G=<V，E，φ>。其中： V是一个非空有限集合，其中元素v称为图G 的顶点或结点； E是和V没有公共元素的有限集合，E可以是空集，其元素e称为图G的边； φ称为关联函数，是从E到V中的有序对或无序对的映射。
由定义可知，图G中的每条边都与图中的无序或
图8-1（b）表示有向图G=<V，E，φ>，其中： V = { v1，v2，v3，v4 } E= { e1，e2，e3，e4 }
e1 v1 , v2
：
e2 v1 , v3 e3 v1 , v3 e4 v3 , v3
在图 G=<V ， E> 中，如果任何两结点间不多于一条边(对于有向图中，任何两结点间不多于一条同向弧)，并且任何结点无环，则图 G 称为简单图；若两结点间多于一条边 (对于有向图中，两结点间多于一条同向弧) 图 G 称为多重图，并把联结两结点之间的多条边或弧，称为平行边或平行弧，平行边或弧的条数称为重数。
哈密顿问题
1859年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二面体，它的20个顶点标出世界著名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即「绕行世界」。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密顿问题。由於运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为哈密顿问题，从而引起广泛的注意和研究。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880 年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个可与费马猜想相媲美的难题（当n>2时，xn+yn=zn，n为奇素数，X，Y，Z 没有正整数解。）

离散数学第二章关系[2]

13
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。例2 . 设A是某一大家庭。 R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是， R1是父母与儿女之间的关系，即父母子女关系； R2是兄弟姐妹之间的关系，即兄弟姊妹关系； R3是夫妻之间的关系，即夫妻关系。例3 . 设N是自然数集合。
17
离散数学
RS=不相等的整除关系()； R\S=小于又不整除关系( ∤)； S\R=相等关系(=) 。 5°关系的扩充(expansion)：若R1 R2 ，则称关系R2 是关系R1的一个扩充；
例若R1={(a,b), (a,c)}, R2 ={(a,b), (a,c),(c,c)} , 则R1 R2 R1 R2
7
离散数学
(6)利用(5)所给的定义，我们可以递归的定义集合的叉积幂如下： A2= A×A A3 = A2 ×A An = An-1 ×A (7)我们规定空集与任何集合A的叉积是空集。即 A× = = ×A 由于若偶对的第一分量或第二分量不存在就没有偶对存在，故规定它们的叉积集合为空集是合理的。定理1.设A,B,C,D是四个非空的集合。那么 A×B = C×D A = C B = D 。
11
离散数学
(a)若(a,b)A×B，则有aA，bB，从而有aA， bB或bC，于是aA， bB∪C，故此有 (a,b)A×(B∪C); (b)若(a,b)A×C，则有aA，bC，从而有aA， bB或bC，于是aA， bB∪C，故此有 (a,b)A×(B∪C); 综合(a)、(b)总有(a,b)A×(B∪C)。所以 A×(B∪C)(A×B)∪(A×C) 。最后，由这两方面，根据包含关系的反对称性可得 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) 。

西安交通大学-刘国荣-离散数学 第八章 图论[2]

西安交通大学15年7月课程考试《离散数学》作业考核试题标准答案

离散数学第8章课件PPT,高等教育出版社,屈婉玲,耿素云,张立昂主编

离散数学教学课件-第8章 图论

离散数学 集合

离散数学第8章 图论及其应用

离散数学第八章(第4讲)

《离散数学图论》课件

西安交通大学-刘国荣-离散数学 第八章 图论[2]

离散数学 第八章 图论

第8章离散数学

离散数学(第三版)陈建明,刘国荣课后习题问题详解

离散数学离散数学第8章 一些特殊的图 PPT课件

离散数学及其应用课件第8章特殊图

离散数学及其应用课件第8章第2-3节

离散数学 第8章 图论及其应用

离散数学第8章习题解答

离散数学第8章图论

离散数学 第二章 关系[2]

西安交通大学-刘国荣-离散数学第八章图论[2]

离散数学教学课件-第8章图论

离散数学集合

离散数学第8章图论及其应用

西安交通大学-刘国荣-离散数学第八章图论[2]

离散数学第八章图论

离散数学离散数学第8章一些特殊的图 PPT课件

离散数学第8章图论及其应用

离散数学第二章关系[2]