2.1对函数的再认识 课件
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2.1对函数的再认识(2) (1)
方 法 点 拔
（2）含有偶次根式的：被开方式大于等于0
（3）含有对数式的：真数大于0，底数大于0 且不等于1 （4）含[f(x)]0的： f(x)不等于0 （5）含tan f(x)的： f ( x ) k
2
如果函数是由一些基本函数通过四则 运算结合而成的，那么定义域是各基 本函数定义域的交集.
1 2
变题1：若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，求实数a 的取值范围． 分析 由函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R知：x2+ax+1 ＞0对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1为二次函数，函数 值恒正，故可利用“△”法求解． 解 因函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为R，故x2+ax+1＞0 对x∈R恒成立，而f(x)= x2+ax+1是开口向上的抛物线， 从而△＜0，即a2-4＜0，解得 -2＜a＜2，它便是所求 的a的取值范围．
2
如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而 成的，那么定义域是各基本函数定义域的交集.
例题解析
例1：求函数f ( x)
x 5x 6 的定义域 x2
2
解:
x2 5x 6 0
依题有:
x2 0
解得:
2
x 3或x 2
x 5x 6 f ( x) 的定义域是 : {x x 3或x 2} x2
鲁教版九上·§2.1
2.1对函数的再认识 (2)
1 1.已知函数f(x)= x 1 ,则函数f(x) 的定义域为 ( A )
A.{ x x 1} B.{ x x 2}
北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-1《函数概念》课件PPT
(2)求g(f(2)),求f(g(x));
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
1
=4,求x.
(())
(3)若
1
1
解:(1)f(2)=1+2 = 3,g(2)=22+2=6.
1
1
19
1
1+()
(2)g(f(2))=g 3 = 3 2+2= 9 , f(g(x))=
(3)
1
=x2+3=4,即x2=1,得x=±1.
(())
1
求复合函数或抽象函数的定义域应明确以下几点:
(1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围所组成的集合.
(2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围,而不是φ(x)的取值范围.
(3) f(t),f(φ(x)),f(h(x))三个函数中的t,φ(x),h(x)在对应关系f下的范围相同.
(4)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,其实质是已知φ(x)的取值范围为A,求出x的取值范围.
都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).
变式训练
求函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
+ 的定义域.
2 + 3 ≥ 0,
3
解:要使函数有意义,需ቐ 2− > 0, 解得-2≤x<2,且x≠0,
≠ 0,
所以函数y= 2 + 3 −
1
2−
1
3
+ 的定义域为 ቚ− 2 ≤ < 2,且 ≠ 0 .
+ 2 ≠ 0,
≠ −2,
即ቊ
解得x<0,且x≠-2.
||− ≠ 0,
|| ≠ ,
第一部分 第2章 2.1 2.1.1 第一课时 函数的概念
返回
[例 4] 求下列函数的值域： (1)y＝x＋1， x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3， x∈[0,3)； 2x＋1 (3)y＝ ；(4)y＝2x－ x－1. x－3
③定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了；
④若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元 素，反之，当值域只有一个元素时，定义域也只有一个 元素．
返回
解析： 由函数的定义可知函数定义域中的每一个元素在值域 中一定有惟一确定的元素与之对应，故①正确；②函数的定 义域和值域可以为有限集合，如 f(x)＝ x＋ 1，x∈{1,2,3}，则 y∈ {2,3,4}，故②不对；函数的三要素中，定义域和对应法则 是最重要的，当定义域和对应法则确定后，函数的值域也就 确定了，故③正确；根据函数定义可知，当定义域中只有一 个元素时， 值域也只有一个元素， 但当值域只有一个元素时， 定义域却不一定只有一个元素，如 f(x)＝ 1， x∈R.
2 则必须 3x－2>0，即 x> ， 3 2 故所求函数的定义域为 {x|x> }． 3
返回
1 ③要使函数 y＝ x＋1＋ 有意义，则必须 2－ x
x＋1≥ 0， 2－x≠0. 即 x≥－1 且 x≠2.
故所求函数的定义域为{x|x>－ 1 且 x≠ 2}． (2)由－1≤ x－ 5≤ 5，得 4≤x≤10，所以函数 f(x－5)的 定义域是[4,10]．
[例 2] (1)求下列函数的定义域 －x 4x＋ 8 ① y＝ 2 ；② y＝ ； 2x － 3x－ 2 3x－ 2 1 ③ y＝ x＋ 1＋ . 2－ x (2)已知函数 f(x)的定义域为[－ 1,5]， 则 f(x－ 5)的定义 域为 ________． 3
高中数学第2章函数1函数概念课件必修1高一必修1数学课件
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
求函数的定义域
【例1】 求下列函数的定义域:
(1)f(x)=x2-x;
(2)f(x)=(x+2)0;
(3)f(x)=
+1
;
-2
(4)f(x)= + 4 + 1-(x∈Z).
分析:若只给出函数的关系式,而没有指明它的定义域,则函数的定义域就是
对定义域内同一个自变量,根据表达式,都能得到同一函数值,因此二者为
同一函数.
故以上各对函数中,(1)(4)表示同一函数,(2)(3)表示的不是同一函数.
解:对于(1),在公共定义域R上,f(x)=x和φ(x)=
定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定
义域和对应关系分别相同时,这两个函数才是同一函数.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)三
探究四
易错辨析
变式训练1(1)求下列函数的定义域:
1
①f(x)= ;
-2
②f(x)= 3 + 2;
③f(x)= - 2 + 2(x∈Z).
(2)求函数 y= 2 + 3 −
1
2-
1
+ 的定义域.
第十二页，共三十五页。
探究(tànjiū)一
第十八页，共三十五页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
探究四
易错辨析
变式训练3下列各组函数:
2 -
①f(x)= ,g(x)=x-1;
函数的概念课件
函数的概念课件一、导入在数学中，函数是一个核心的概念。
它描述了变量之间的依赖关系，用函数的观点去看待问题，是数学学习中一个极为重要的思想方法。
因此，大家要认真理解函数的概念，掌握函数的基本性质，为后续学习做好准备。
二、新课导入1、定义函数是数学中的一种关系，它把一个数集中的元素与另一个数集中的元素对应起来，其中对应的规则称为对应关系。
2、函数的表示方法我们可以用解析式、图象、表格等多种形式来表示函数。
例如，如果y是x的函数，那么可以用y=x^2表示一个二次函数。
3、函数的性质本文1）函数的单调性：在区间(a,b)上，如果对于任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递增；如果对于任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在(a,b)上单调递减。
本文2）函数的奇偶性：如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；如果对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数。
本文3）函数的值域：函数值的取值范围称为函数的值域。
三、例题解析例1：求下列函数的定义域和值域：本文1）y=x^2+1 （2）y=√x+1解：（1）定义域为R，值域为[0,∞)本文2）定义域为[0,∞)，值域为[1,∞)例2：判断下列函数的单调性：本文1）y=x^2 （2）y=x+1解：（1）在区间(-∞,0)上单调递减，在区间(0,∞)上单调递增。
本文2）在定义域内单调递增。
例3：判断下列函数的奇偶性：本文1）y=x^2 （2）y=√x解：（1）偶函数（2）奇函数四、课堂小结本节课我们学习了函数的概念和基本性质，掌握了函数的表示方法，了解了函数的单调性、奇偶性和值域等概念。
希望大家能够认真领会函数的思想方法，为后续学习做好准备。
一、引言函数是高中数学的核心概念，是数学学习中不可或缺的一部分。
数学：2.1对函数的再认识课件
2.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
有何特 点？
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常 数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次
项和常数项,但不能没有二次项.
随堂练习 7
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx+c(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高 次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
独立
作业
知识的升华
习题2.1 1,2题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
独立
练习 1,2题
作业
一年到期后,银行将本金和利息自动
按一年定期储蓄转存.如果存款是100
?
元,那么请你写出两年后的本息和
y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
思索归纳 6
二次函数
驶向胜利 的彼岸
y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
1. 物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时 间(s)的关系是:h=4.9t2,填表表示物体在前5s下落的高度:
t/s 1
2
3
4
5
h/m
2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽 相等,高比长多0.5m. (1).长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如 何表示? (2).如果涂漆每平方米所顼要的费用是5元,油漆每个长方体所需费 用y(元)表示,那么y的表达式是什么?
函数的概念及其表示-高考复习课件
1．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为 准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义． 2．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数 f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数 f(g(x))的定义域可由不等式 a≤g(x)≤b 求出； (2)若已知函数 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在 x∈[a，b]上的值域． 3．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连 接，而应该用并集符号“∪”连接．
(3)若函数 f(x)满足 f(x)－2f1x＝x＋2，则 f(2)＝ －3 .
解析：由 f(x)－2f1x＝x＋2，可得 f1x－2f(x)＝1x＋2，联立两式可得 f(x)＝－13x＋2x－ 2，代入 x＝2 可得 f(2)＝－3.
规律总结
求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范 围； (3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的解析式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式； (4)构造法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的解析式，可根据已知条件再构造出另外一 个等式，通过解方程组求出 f(x)．
3．(教材改编题)已知函数 f(x)＝2x＋x－11，，xx≤>00，， 则 f(f(0))的值为 1 ；方程 f(－x)＝1 的解是 0 或－1 .
解析：∵f(0)＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝1；当－x≤0 时，f(－x)＝－x＋1＝1，解得 x＝0； 当－x>0 时，f(－x)＝2－x－1＝1，解得 x＝－1.
(3)若函数 f(x)满足 f(x)－2f1x＝x＋2，则 f(2)＝ －3 .
解析：由 f(x)－2f1x＝x＋2，可得 f1x－2f(x)＝1x＋2，联立两式可得 f(x)＝－13x＋2x－ 2，代入 x＝2 可得 f(2)＝－3.
规律总结
求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范 围； (3)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的解析式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式； (4)构造法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的解析式，可根据已知条件再构造出另外一 个等式，通过解方程组求出 f(x)．
3．(教材改编题)已知函数 f(x)＝2x＋x－11，，xx≤>00，， 则 f(f(0))的值为 1 ；方程 f(－x)＝1 的解是 0 或－1 .
解析：∵f(0)＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝1；当－x≤0 时，f(－x)＝－x＋1＝1，解得 x＝0； 当－x>0 时，f(－x)＝2－x－1＝1，解得 x＝－1.
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第2章 函数 2.1 函数的概念及其表示
第二章
2.1 函数的概念及其表示
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
前提
对应关系
结论
记法
A,B 是非空的实数集
如果对于集合 A 中的任意一个数 x,按照某种对应关
系 f,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应
就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
C.[0,4 020]
D.[-1,1)∪(1,4 020]
使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤4 020,解得-1≤x≤4 019,
故函数f(x+1)的定义域为[-1,4 019].
-1 ≤ ≤ 4 019,
所以函数 g(x)有意义的条件是
-1 ≠ 0,
解得-1≤x<1或1<x≤4 019.
1-2
1
+
的定义域为( A )
+3
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
1-2 ≥ 0,
由题意知
解得-3<x≤0,
+ 3 > 0,
故函数 f(x)的定义域为(-3,0],故选 A.
(2)函数 y=√ln(2-x) 的定义域为( B )
又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,
=
2 = 1,
即 2ax+a+b=x-1,得
2.1 函数的概念及其表示
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
第一环节
必备知识落实
【知识筛查】
1.函数的概念
前提
对应关系
结论
记法
A,B 是非空的实数集
如果对于集合 A 中的任意一个数 x,按照某种对应关
系 f,在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应
就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数
C.[0,4 020]
D.[-1,1)∪(1,4 020]
使函数f(x+1)有意义,则0≤x+1≤4 020,解得-1≤x≤4 019,
故函数f(x+1)的定义域为[-1,4 019].
-1 ≤ ≤ 4 019,
所以函数 g(x)有意义的条件是
-1 ≠ 0,
解得-1≤x<1或1<x≤4 019.
1-2
1
+
的定义域为( A )
+3
A.(-3,0]
B.(-3,1]
C.(-∞,-3)∪(-3,0]
D.(-∞,-3)∪(-3,1]
1-2 ≥ 0,
由题意知
解得-3<x≤0,
+ 3 > 0,
故函数 f(x)的定义域为(-3,0],故选 A.
(2)函数 y=√ln(2-x) 的定义域为( B )
又 f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,
=
2 = 1,
即 2ax+a+b=x-1,得
2.1函数的概念及表示(2)(课件)《中职数学》同步教学(劳保版第七版)
函数的表示方法（一）
列表法、解析法
1
函数的表示方法（一）
情境一：党的十八大以来，我国实施精准扶贫、精准脱贫方略， 脱贫攻坚取得了重大成就，为全面建成小康社会打下了坚实基础 ．我国成为世界上减贫人口最多的国家，也是世界上率先完成联 合国千年发展目标的国家．表中显示了2015-2019 年，全国农村 贫困人口数．
分析：小王同学的年龄为x，x每取一个值，那么他的身高 y总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄x的函数 f(x),即y=f(x).
解析式不存在
函数y=f(x)不能用解析法来表示.
7
函数的表示方法（一）
例1 文具店内出售某种签字笔，每支售价2元，请分别用列表法和 解析法表示购买4支以内的签字笔时，应付款与签字笔支数之间的 函数．
我国居民 恩31％
30.6％ 30.1％ 29.3％ 28.4％ 28.2％
列表法
优点
比较直观，不计算可知两个变量间的对应关系
缺点
只能表示有限个元素间的函数关系
3
函数的表示方法（一）
列表法在实际生产生活中的广泛应用
银行利率表
列车时刻表
4
函数的表示方法（一）
实例二：小王同学响应国家关于“大众创业，万众创新”的号召，从 中等职业学校毕业后选择了自主创业，在某电商平台注册了自己 的网店．有一次，他批发了100套文具准备在自己的网店上销售， 售价为30元/套．
解：由表得到函数的解析式
5x , 0≤x≤180 y = 7x-360 , 180<x≤260
9x-880 , x>260
用水量x/m³ 0≤x≤180
180<x≤260 x>260
应缴水费y/元 5x
列表法、解析法
1
函数的表示方法（一）
情境一：党的十八大以来，我国实施精准扶贫、精准脱贫方略， 脱贫攻坚取得了重大成就，为全面建成小康社会打下了坚实基础 ．我国成为世界上减贫人口最多的国家，也是世界上率先完成联 合国千年发展目标的国家．表中显示了2015-2019 年，全国农村 贫困人口数．
分析：小王同学的年龄为x，x每取一个值，那么他的身高 y总有唯一确定的值与之对应，因此身高y是年龄x的函数 f(x),即y=f(x).
解析式不存在
函数y=f(x)不能用解析法来表示.
7
函数的表示方法（一）
例1 文具店内出售某种签字笔，每支售价2元，请分别用列表法和 解析法表示购买4支以内的签字笔时，应付款与签字笔支数之间的 函数．
我国居民 恩31％
30.6％ 30.1％ 29.3％ 28.4％ 28.2％
列表法
优点
比较直观，不计算可知两个变量间的对应关系
缺点
只能表示有限个元素间的函数关系
3
函数的表示方法（一）
列表法在实际生产生活中的广泛应用
银行利率表
列车时刻表
4
函数的表示方法（一）
实例二：小王同学响应国家关于“大众创业，万众创新”的号召，从 中等职业学校毕业后选择了自主创业，在某电商平台注册了自己 的网店．有一次，他批发了100套文具准备在自己的网店上销售， 售价为30元/套．
解：由表得到函数的解析式
5x , 0≤x≤180 y = 7x-360 , 180<x≤260
9x-880 , x>260
用水量x/m³ 0≤x≤180
180<x≤260 x>260
应缴水费y/元 5x
对函数的再认识PPT教学课件
图像法可以直观的表示出函数的变化过
程和变化趋势。
2020/12/09
12
例 求下列函数的自变量x的取值范围
(1) y 2x 4 (2) y 1 4x 3
(3) y 2x 1 (4) y 1 2 3x
(5) y 3 x 2x 1
(6) y x 4
2020/12/09
x5
x3 (7)y
y= 3x+7; y=-2x2-1;
1
y= x 1
y= x2
2020/12/09
7
对于自变量x在可以取值范围内 的一个确定的值a，函数y有唯一确定 的对应值，这个对应值叫做当x=a时 函数值，简称函数值。
ห้องสมุดไป่ตู้
2020/12/09
8
思考：若已知函数值应怎样求对
应的自变量的值呢？
当x取什么值时， 函数y=x2+2x-3的函数值为0？
2020/12/09
1
（1）A、B两地的路程为900千米，一辆
汽车从A地到B地所需时间t（小时）与
汽车的平均速度v（千米/时）之间的关系
式是t=
。
（2）如图，矩形ABCD的一边AB长为
4cm，另一边BC长为acm，矩形ABCD
的面积S（cm2）与a（cm）的关系式
是S=
。A
D
2020/12/09
B
个变量x，y，对于自变量x在某一范围内 的每一个确定值，y都有唯一的值与它对 应，那么就说y是x的函数。
2020/12/09
5
某种商品按进价提高30%后标价, 又以9折优惠售出.试写出这种商品每 件的利润y（元）与每件的进价x（元） 之间的关系式.
2020/12/09
苏教版高三数学复习课件2.1 函数的概念和图象
【例3】 (2009·湖北联考题)已知函数f(x＋2)＝
求f
·f(－2)的值．
及f(－2) 代入后求得要求的值．
思路点拨：分别求出f
解：∵f
＝tan
＝1.而f(－2)＝f(－4＋2)
＝log2[－(－4)]＝log24＝2.
∴f
·f(－2)＝2.
变式4：(2010·北京东城质检题)设函数f(x)＝
道了，所以，若求出函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也就求
出来了． 6．纠正“函数就是解析式”的片面认识，明确不仅函数受对应法则的制约， 而且其定义域也包含着对函数关系的制约作用，并以此作为处理问题的 指导．能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的 解析式．
7．函数的常用表示方法，及各自的优点． (1)表示函数的记法是y＝f(x)，常用方法是解析式、列表法、图象法． (2)把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做 这个函数的解析表达式，简称解析式．用解析法表示函数的优点是：①函数 关系清楚；②给自变量一个值，可求它的函数值；③便于研究函数的性质．
(2)用 等式 来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通
常叫做函数的解析表达式，简称解析式．
(3)用 图象 表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
4．分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通 分段函数 常叫做 5．映射的概念 设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个 元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集 映射 合B的 ．
变式3：求下列函数的定义域： (1) ；(2)y＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
解：(1)由
新教材高中数学第二章函数2函数 函数概念第1课时函数概念一课件北师大版必修第一册
域为N,对于下列四个图象,不可作为函数y＝f(x)的图象的是
()
C
[分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A中的元素通过对应关系在 集合B中有唯一元素与之对应进行判断．
(2)当对应关系用图象表示时,怎样判断是否为函数关系．
[解析] (1)对于 A 项，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任 x∈A， y 值不唯一，故不符合．对于 B 项，符合函数的定义．对于 C 项，2∈A， 但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于 D 项，－1∈A， 但在集合 B 中找不到与之相对应的数，故不符合．
(2)记法：y＝ f(x),x∈A．
(3)定义域：x的取值范围A；值域：与x的值对应的y值叫作函数值,即 集合_____{_f_(_x_)|_x∈__A__}．
思考1：(1)对于函数f：A→B,值域一定是集合B吗？为什么？ (2)对应关系f必须是一个解析式的形式吗？为什么？ (3)f(x)的含义是什么？ 提示：(1)不一定．值域是集合B的子集,即{f(x)|x∈A}⊆B． (2)不一定．可以是数表,也可以是图象． (3)集合A中的数x在对应关系f的作用下对应的数．
[解析] 要使函数 y＝ 7＋6x－x2有意义，应满足 7＋6x－x2≥0， ∴x2－6x－7≤0，∴(x－7)(x＋1)≤0， ∴－1≤x≤7， ∴函数 y＝ 7＋6x－x2的定义域是[－1，7]．
4．已知f(x)＝2－1 x，g(x)＝－x2＋2． (1)求 f(3)，g(3)的值； (2)求 f[g(2)]的值； (3)求 f[g(x)]的解析式． [解析] (1)f(3)＝2－1 3＝－1，g(3)＝－32＋2＝－7． (2)f[g(2)]＝2－1g(2)＝2－(－122＋2)＝41． (3)f[g(x)]＝2－1g(x)＝2＋x12－2＝x12．
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
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2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
函数的概念课件(公开课)(含)
函数的概念课件(公开课)一、引言在数学领域中，函数是一个基本且重要的概念，它描述了两个量之间的依赖关系。
函数的概念起源于17世纪，经过几百年的发展，已经成为数学、自然科学和工程技术等领域不可或缺的工具。
本课件旨在阐述函数的基本概念、性质和应用，帮助大家深入理解函数的本质，为后续学习打下坚实基础。
二、函数的定义与表示1.函数的定义函数是一种特殊的关系，它将一个集合（称为定义域）中的每个元素对应到另一个集合（称为值域）中唯一的元素。
用数学符号表示为：f:X→Y，其中X表示定义域，Y表示值域。
函数通常用f(x)表示，x为自变量，f(x)为因变量。
2.函数的表示方法（1）解析法：直接给出函数的解析式，如f(x)=x²。
（2）表格法：列出定义域中部分元素的值和对应的函数值，如：x-f(x)-1-12-43-9（3）图象法：绘制函数的图象，展示函数的变化趋势。
三、函数的性质1.基本性质（1）单调性：函数在定义域内的某个区间上，随着自变量的增加（或减少），函数值单调增加（或减少）。
（2）奇偶性：若对于任意的x，都有f(-x)=f(x)，则称函数为偶函数；若对于任意的x，都有f(-x)=-f(x)，则称函数为奇函数。
（3）周期性：若存在非零常数T，使得对于任意的x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数具有周期性，T为函数的周期。
2.极值与最值（1）极值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得在x₀的某邻域内，f(x₀)为最大值或最小值，则称f(x₀)为函数的极大值或极小值。
（2）最值：在函数的定义域内，若存在某个点x₀，使得对于任意的x，都有f(x₀)≥f(x)（或f(x₀)≤f(x)），则称f(x₀)为函数的最大值（或最小值）。
四、函数的应用1.数学分析函数是数学分析的基础，微积分中的导数、积分等概念都是建立在函数的基础上。
通过对函数的求导、积分等运算，可以研究函数的性质、解决实际问题。
2.应用数学函数在物理学、生物学、经济学等领域的模型建立中具有重要意义。
2013版高考数学 2.1.1 第1课时 函数的概念课件 苏教版必修1
提升总结：求函数的值域需要注意的问题有哪些？
（1）要看清函数的定义域；
（2）最后的结果一定要写成区间或集合的形式。
1.函数y
1 的定义域是 _____ x 1
【解析】要使函数式有意义，须满足x 1 0 x -1.故定义域为 -1, . 【答案】 -1, .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次函数
(a 0)
R
例 1 判断下列对应是否为函数： 2 （1）x ,x 0 ,x R; x （2）x y ,这里 y 2 x ,x N ,y R
函数的定义
（2）考虑输入值为4，即当x=4时输出值y由 y 2 = 4 给 出，得y=2和y=-2.这里一个输入值与两个输出值对应（不
当x 2时，y 4.9 22 19.6 m
3.如图为某市一天24小时内的气温变化图。
(1)全天的最高、最低气温分别是多少？
9 ℃、-2 ℃
(2)在什么时刻，气温为0℃? 7时与23时
(3)在什么时段内，气温在0℃以上？7时-23时
θ/℃
10 8 6 4 2
O -2
2
4
6
8
10
函数的值域为 1，2，5 .
2 （2）函数的定义域为 R, 因为（x 1） 1 1 ,所以这个函
数的值域为 y y 1 .
求下列函数的值域：
2 （ 1 ）f ( x) （x -1） 1；
（2）f ( x) x 1，x 1 ，2
解：（1）值域为 {y y ? （2）值域为 (2 ，3 ]. 1} .
例 2 求下列函数的定义域： （1）f ( x) x 1 1 （2）g(x) x 1
新人教A版高中数学必修一课件：4.4.1-2.1对数函数的概念、图象及性质
(4，－1)
________．
解析： y＝logax的图象恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a
＞1＞d＞c.
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若
8
9
点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
10
10
解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－ 9 ，故f(x)＝3x－ 9 ，f(log32)＝3log32－
a
单调性
共点性
要点三
反函数
x
y＝a
logax(a>0且a≠1)
指数函数______(a>0，且a≠1)与对数函数y＝______________互为
反函数❸.
助 学 批 注
批注❶ 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指
数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．
批注❷ 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a
身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数
大于零且不等于1.
巩固训练2 (1)函数y＝ln (4－x)＋ x的定义域为(
A．(0，4)
B．(0，4]
C．[0，4)
D．[0，4]
答案：C
解析：函数y＝ln (4－x)＋ x，要使函数有意义可得ቊ
解得0≤x<4，所以函数的定义域为[0，4)．
高中数学必修一
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
________．
解析： y＝logax的图象恒过点(1，0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.
＜d＜1.
过点(0，1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a
＞1＞d＞c.
(2)已知函数y＝loga(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若
8
9
点A也在函数f(x)＝3x＋b的图象上，则f(log32)＝________．
10
10
解析：依题意可知定点A(－2，－1)，f(－2)＝3－2＋b＝－1，b＝－ 9 ，故f(x)＝3x－ 9 ，f(log32)＝3log32－
a
单调性
共点性
要点三
反函数
x
y＝a
logax(a>0且a≠1)
指数函数______(a>0，且a≠1)与对数函数y＝______________互为
反函数❸.
助 学 批 注
批注❶ 由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指
数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)．
批注❷ 底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a
身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数
大于零且不等于1.
巩固训练2 (1)函数y＝ln (4－x)＋ x的定义域为(
A．(0，4)
B．(0，4]
C．[0，4)
D．[0，4]
答案：C
解析：函数y＝ln (4－x)＋ x，要使函数有意义可得ቊ
解得0≤x<4，所以函数的定义域为[0，4)．
高中数学必修一
第1课时 对数函数的概念、图象及性质
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随堂练习 8
知道就做别客气
驶向胜利 的彼岸
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m² ) 与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？ 是哪一种函数？ 解：S=a(
60 2
-a)=a(30-a)=30a-a² -a² = +30a .
是二次函数关系式.
随堂练习 9
由感性到理性
X/棵 1 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜 想吗
2
3
4
5
6 7
8 9 10 11 12 13 14
？
做一做
5
驶向胜利 的彼岸
亲历知识的发生和发展
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说， 利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银 行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x, 一年到期后,银行将本金和利息自动 按一年定期储蓄转存.如果存款是100 元,那么请你写出两年后的本息和 y(元)的表达式(不考虑利息税). y=100(x+1)² =100x² +200x+100.
(1)y= +3x²,
2 1
驶向胜利 的彼岸
1.下列函数中,(x,t是自变量),哪些是二次函数？ (2) y=
1 2
x² +25, +x³
(3) y=2² +2x,
(4) s=1+t+5t²
2.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增 加ycm² . （1）写出y与x之间的函数关系表达式； （2）当圆的半径分别增加1cm, 增加多少？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果 园共有多少棵橙子树？这时平均每棵 树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个,那么 请你写出y与x之间的关系式.
想一想
4
驶向胜利 的彼岸
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个 橙子,因此果园橙子的总产量 y=(100+x)(600-5x)=-5x² +100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产 量最多？
有何特 点？
随堂练习 7
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)² +1;
驶向胜利 的彼岸
怎么 判断
( 2 ). y x
1 x
.
(3) s=3-2t² .
?
( 4 ). y
1 x x
2.Biblioteka (5)y=(x+3)² . -x²
(6) v=10πr² .
独立 作业
知识的升华
习题2.1 1,2题;
祝你成功！
驶向胜利 的彼岸
练习 1,2题
t/s 1 2 3 4
独立 作业
1. 物体从某一高度落下,已知下落的高度h(m)与下落的时 间(s)的关系是:h=4.9t2,填表表示物体在前5s下落的高度:
5 h/m 2.某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽 相等,高比长多0.5m. (1).长方体的长和宽用x(m)表示,长方体需要涂漆的表面积S(m2)如 何表示? (2).如果涂漆每平方米所顼要的费用是5元,油漆每个长方体所需费 用y(元)表示,那么y的表达式是什么?
结束寄语
•
有信心的人,可以化渺小 为伟大,化平庸为神奇.
九年级数学(上)第二章 二次函数
2.1.对函数的再认识
有的放矢 1
函数知多少
变量之间的关系
函数 一次函数 y=kx+b (k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0) 反比例函数
y k x
驶向胜利 的彼岸
二次函数
k
0 .
有的放矢 2
学习目标
驶向胜利 的彼岸
1、探索并归纳二次函数的定 义；
2、能够表示简单变量之间的二 次函数关系.
想一想
3
源于生活的数学
驶向胜利 的彼岸
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种 一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每 一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平 均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些 是自变量？哪些是因变量？
?
思索归纳 6
二次函数
y=-5x² +100x+60000,y=100x² +200x+100.
驶向胜利 的彼岸
1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？ 2.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常 数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数. 老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常 数,且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次 项和常数项,但不能没有二次项.
2 cm
,2cm时,圆的面积
小结
拓展
回味无穷
定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的函数叫做x的二次函数. y=ax² +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式: (1)y=ax² (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax² +c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax² +bx+c(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax² +bx+c是整式,自变量x的最高 次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.