2019-2020学年湖南师大附中高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题一、单选题1．设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】 因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D . 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2．如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r 表示NM u u u u r ，则NM u u u u r等于（ ）A ．1()2a b c -++r r rB ．1()2a b c +-r r rC ．1()2a b c -+r r rD ．1()2a b c --+r r r【答案】B【解析】利用空间向量的基本运算求解即可. 【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B . 【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型.3．设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．4a b +…B ．4a …C ．2a …且2b … D ．4b <-【答案】D【解析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4．设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定【答案】B【解析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5．在101)的展开式中，x 项的系数为（ ） A ．45- B ．90-C ．45D ．90【答案】C【解析】根据二项式定理公式分析求解即可. 【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k TC C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C . 【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ） A ．8080- B ．4040-C ．8080D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C . 【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ） A ．14B ．12C ．13D ．34【答案】A【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A. 【考点】条件概率.8．某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A ．4 B ．12C ．16D ．24【答案】B【解析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可. 【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种； 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B . 【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.二、多选题9．甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,NN μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC【解析】根据正态分布的图像意义判定即可. 【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10．设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆3C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD【解析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可. 【详解】由椭圆方程可知,2,3a b ==,从而221c a b =-=. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==,所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=„,则12PF F ∆项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大. 此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD . 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11．下列命题中为真命题的是（ ） A ．(0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B ．2000,2x R x x ∃∈+=-C ．220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D ．13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD【解析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误； D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD . 【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12．若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ）A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:lnC y x = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD【解析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可. 【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD . 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.三、填空题13．设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】20x y -=【解析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.14．已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】根据数学期望的求法列式求解即可. 【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15．设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为337的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________.【答案】3【解析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,3BF c BP c =,所以3tan 2cPAB a c∠=+. 333c =解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16．已知ABC ∆是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则 （1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________ （2）球O 的体积为_____________. 【答案】32 13136π 【解析】(1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可. 【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=. 因为3DB DC ==,则3BC =. 设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD . 因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得1312DE ==. 在Rt OED ∆中,913142OD =+=, 所以341313133V ππ=⋅=⎝⎭球. 故答案为：(1). 32 (2). 1313π【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.四、解答题17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin A =1c = 【解析】(1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin 10A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可. 【详解】 （1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C ,又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因为1sin 2ABC S ab C ∆=,且in sin ABC S A B ∆=,所以1sin sin 22ab C A B=,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18．已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】(1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可. 【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=, 又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=, 又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L , 则121122(1)nn n b b b n a +++++=+L , 两式相减,得112(1)n n n nb n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L ,则211111137(45)(41)22222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L两式相减,得211111134(41)22222n nn S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L11147341(41)7222n nnn n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 所以147142n n n S -+=-.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19．如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE . 【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解. 【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF . 因为平面PAB ⋂平面DEF MN =, 则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP , 所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥. 因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE . 此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CGCG GH=. 因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 603CG ︒==,又1GH =,则23CG PC GH==,从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点, 直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 由已知,2,1,3AB OH OC ===则点(1,0,0),3,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,3,1),(1,0,0)CH HE OB ===u u u r u u u r u u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r, 由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u uv v ,得111(3)010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则3)m =u r 设CP t =,则点3,)P t ,从而3,)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r, 由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v,得2223010y tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,3)n t =r.因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r, 得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分. （1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望. 【答案】（1）23（2）详见解析 【解析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可. 【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：123111,,236p p p ===设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+= 所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23.（2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为 ξ36710P13 512 536 112 136ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21．如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r.（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值. 【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）82【解析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-, 抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-.（2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大 设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d ===由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ===故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅=解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=. 所以AB ===设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<-+,当2t =-时,max 5d =,此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅=【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22．已知函数21()xx ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【解析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可. (2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可. 【详解】（1）当1a =时,21()xx x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞. （2）(1)[(1)]()xx x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a aa a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())xx f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减, 所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-,因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)af x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)af x f e+==.综上分析,()()22max2221(2),11 ()212,1ea e aef xeaae e⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
2019-2020学年湖南师范大学附属中学高二上学期第一次阶段性检测数学试题答案
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湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附中2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2019—2020学年度第一学期高二年级期末考试数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） （一）单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足(1)2i z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本运算解得1z i =-再判断即可. 【详解】因为22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数z 在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.2.如图，在三棱锥O ABC -中，,M N 分别是,AB OC 的中点，设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，用,,a b c r r r表示NM u u u u r，则NM u u u u r等于（ ）A. 1()2a b c -++r r rB. 1()2a b c +-r r rC. 1()2a b c -+r r rD. 1()2a b c --+r r r【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的基本运算求解即可.【详解】1()2NM NA AM OA ON AB =+=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r11()22OA OC OB OA =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r1111()2222OA OB OC a b c =+-=+-u u ur u u u r u u u r r r r . 故选：B .【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型. 3.设,a b ∈R ，则||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是（ ）A. 4a b +…B. 4a …C. 2a …且2b … D. 4b <-【答案】D 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】由4b <-可得||||4a b +>,但由||||4a b +>得不到4b <-,如1,5a b ==. 故选：D .【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型.4.设在ABC ∆中,角,A B C ，所对的边分别为,a b c ，, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定【答案】B【解析】 【分析】利用正弦定理可得()2sin sin B C A +=，结合三角形内角和定理与诱导公式可得sin 1,2A A π==，从而可得结果.【详解】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以由正弦定理可得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，()22sin sin sin sin B C A A A +=⇒=，所以sin 1,2A A π==，所以是直角三角形.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.5.在101)的展开式中，x 项的系数为（ ） A. 45- B. 90-C. 45D. 90【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理公式分析求解即可.【详解】101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)k kkkk k k T C C x--+=⋅-=⋅-,令1012k-=,则8k =, 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯, 故选：C .【点睛】本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型.6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1632015,218a S S =--=，则2020S =（ ）A. 8080-B. 4040-C. 8080D. 4040【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ,因为63218S S -=, 则()123456123218a a a a a a a a a +++++-++=, 即33318d d d ++=,则2d =.因为12015a =-,则2020202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=,故选：C .【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n 项和公式,属于基础题型.7.袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A , “摸得的两球同色”为亊件B ,则概率()|P B A 为（ ） A.14B.12C.13D.34【答案】A 【解析】试题分析：依题意，()121525C P A C ==,()11211154110C C P AB C C ==,则条件概率()|P B A ()()1110245P AB P A ===，故选A.考点：条件概率8.某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A. 4B. 12C. 16D. 24.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可.【详解】15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数. 第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有224=种. 第二步安排偶数日出行,分两类：第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种； 第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计123+=. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4312⨯=, 故选：B .【点睛】本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.（二）多选项择题：本题共1小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两类水果的质量（单位：kg ）分别服从正态分布()()221122,,,N N μσμσ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（ ）A. 甲类水果的平均质量10.4kg μ=B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【答案】ABC 【解析】【分析】根据正态分布的图像意义判定即可.【详解】由图像可知,甲类水果的平均质量10.4kg μ=,乙类水果的平均质量20.8kg μ=,12σσ<,则A ,B ,C 都正确；D 不正确. 故选：ABC .【点睛】本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.10.设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆的周长是6B. 当点P 不在x 轴上时，12PF F ∆C. 存在点P ，使12PF PF ⊥D. 1PF 的取值范围是[1,3] 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可.【详解】由椭圆方程可知,2,a b ==,从而1c ==. 据椭圆定义,1224PF PF a +==,又1222F F c ==, 所以12PF F ∆的周长是6,A 项正确. 设点()()000,0P x y y ≠,因为122F F =, 则12120012PF F S F F y y ∆⋅==.因为00y b <=…,则12PF F ∆B 项正确. 由椭圆性质可知,当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时,12F PF ∠为最大.此时,122PF PF a ===,又122F F =,则12PF F ∆为正三角形,1260F PF ︒∠=,所以不存在点P ,使12PF PF ⊥,C 项错误.由图可知,当点P 为椭圆C 的右顶点时,1PF 取最大值,此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时,1PF 取最小值,此时11PF a c =-=, 所以1[1,3]PF ∈,D 项正确, 故选：ABD .【点睛】本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型. 11.下列命题中为真命题的是（ ） A. (0,),ln(3)sin x x x ∀∈+∞+>B. 2000,2x R x x ∃∈+=-C. 220001,sincos 333x x x R ∃∈+= D. 13110,,log 32xx x ⎛⎫⎛⎫∀∈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】AD 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】A 项,当0x >时,则ln(3)ln3ln 1x e +>>=,又1sin 1x -剟,所以ln(3)sin x x +>恒成立,命题为真； B 项,因为221772244x x x ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭…,所以方程22x x +=-无解,命题为假；C 项,因为对22,sincos 133x xx R ∀∈+=恒成立,则命题错误；D 项,结合指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上的图像,命题为真, 故选：AD【点睛】本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.12.若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点()00,P x y 处与曲线C 相切；①曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C .则下列结论正确的是（ ） A. 直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B. 直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:ln C y x =C. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D. 直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可.【详解】A 项,因为23y x '=,当0x =时,0y '=,所以:0l y =是曲线3:C y x =在点(0,0)P 处的切线.当0x <时,0y <；当0x >时,0y >,所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确；B 项,1y x'=,当1x =时,1y '=,在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-. 令()1ln h x x x =--,则11()1(0)x h x x x x-'=-=>, 当1x >时,()0h x '>；当01x <<时,()0h x '<,所以min ()(1)0h x h ==.故1ln x x -…, 即当0x >时,曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外）,结论错误； C 项,cos y x '=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =,.由正弦函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确； D 项,21cos y x'=,当0x =时,1y '=,在(0,0)P 处的切线为:l y x =, 由正切函数图像可知,曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧,结论正确. 故选：ACD .【点睛】本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设曲线3ln(1)y x x =-+ 在点(0,0)处切线方程_________________.【答案】20x y -= 【解析】 【分析】求出函数的导函数，得到函数在0x =处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由题意，函数3ln(1)y x x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3ln(1)y x x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=，即切线的斜率为2， 则曲线在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-，即为2y x =，即20x y -=． 故答案为20x y -=．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 14.已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =_____________ 【答案】12【解析】 【分析】的根据数学期望的求法列式求解即可.【详解】113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+, 令322p +=,则12p =.故答案为：12【点睛】本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.15.设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 且斜率为7的直线上，若12PF F ∆为等腰三角形，且12120F F P ︒∠=，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B 再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】过点P 作PB x ⊥轴,垂足为B .由已知,21226,20PF F F c BF P ︒==∠=,则2,BF c BP =,所以tan PAB ∠=由27a c =+,解得3c a =,所以双曲线的离心率3e =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.16.已知ABC ∆是边长为D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则（1）球心O 到平面BCD 的距离为_____________（2）球O 的体积为_____________.【答案】 (1).32 (2). 6【解析】【分析】 (1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可.【详解】（1）如图,在四面体ABCD 中,,AD DC AD DB ⊥⊥,则60BDC ︒∠=.因为DB DC ==则BC =.设BCD ∆的外心为E ,则OE ⊥平面BCD .因为AD ⊥平面BCD ,则//OE AD .取AD 的中点F ,因为OA OD =,则OF AD ⊥, 所以1322OE DF AD ===.（2）在正BCD ∆中,由正弦定理,得112sin 60DE ︒=⨯=.在Rt OED ∆中,OD ==,所以34326V π⎛=⋅= ⎝⎭球.故答案为：(1). 32 (2). 6【点睛】本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--.（1）求角C 的大小；（2）若b =，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值.【答案】（1）34C π=（2）sin 10A =；1c = 【解析】【分析】 (1)根据面积公式与余弦定理求解即可.(2)先根据余弦定理与b =求得c =,继而利用正弦定理求得sin A =,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可.【详解】（1）因为in 12s S ab C =, 所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--, 即222sin cos 2c a b C C ab--==-,所以tan 1=-C , 又因为0180C ︒︒<<,所以34C π=. （2）因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=,所以c =,即sin C A =所以sinA C ==因1sin 2ABC S ab C ∆=,且s in sin 2ABC S A B ∆=,所以1sin sin 2ab C A B =,即sin sin sin ab C A B =由正弦定理得2sin sin c C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭解得1c =.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型.18.已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1*12(22)n n n b b b na n N -+++=∈L ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =+（2）147142n n n S -+=-【解析】【分析】 (1)代入2n =可求得25a =,进而求得公差与通项公式即可.(2)由(1)21n a n =+,再利用前n 项和与通项的关系求解{}n b 的通项公式,再利用错位相减求解n S 即可.【详解】（1）因为14n n a a n -+=,则128a a +=,又13a =,则25a =.所以等差数列{}n a 的公差212d a a =-=,又因为13a =,所以21n a n =+.（2）因为）11222n n n b b b na -+++=L ,则121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ,两式相减,得112(1)n n n n b n a na ++=+-(1)(23)(21)43n n n n n =++-+=+,所以当2n …时,1412n n n b --=. 经检验,13b =也符合该式,所以{}n b 的通项公式是1412n n n b --=. 因为11137(41)22n n S n -⎛⎫=+⋅++-⋅ ⎪⎝⎭L , 则211111137(45)(41)22222n n n S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 两式相减,得211111134(41)22222n n n S n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 11147341(41)7222n n n n n -⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+---⋅=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以147142n n n S -+=-. 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n 项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.19.如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与,DF EF 相交于,M N .（1）求证：//MN 平面CDE ；（2）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE .【答案】（1）证明见解析（2）2PF =【解析】【分析】(1)根据线面平行的性质证明//DE MN 即可.(2)分别取线段,AB DE 的中点,G H ,再根据题意分析PG ⊥平面CDE 时的点P ,根据三角形的全等与相似的关系求得PF 的长度即可.或者建立空间直角坐标系求解.【详解】（1）因为//AB DE ,AB 在平面DEF 外,则//AB 平面DEF .因为平面PAB ⋂平面DEF MN =,则//AB MN ,从而//DE MN .因为MN 在平面CDE 外,所以//MN 平面CDE .（2）解法一：分别取线段,AB DE 的中点,G H ,则//GH CP ,所以,,,P C G H 四点共面.因为Rt PCA Rt PCB ∆≅∆,则PA PB =,所以PG AB ⊥.因为//AB DE ,则PG DE ⊥.若PG CH ⊥,则PG ⊥平面CDE ,从而平面PAB ⊥平面CDE .此时,CPG HCG ∠=∠,则PC CG CG GH=.因为ABC ∆是边长为2的正三角形,则2sin 60CG ︒==又1GH =,则23CG PC GH==, 从而2PF PC FC =-=,所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE .（2）解法二：如图,分别取,AB DE 的中点,O H ,以O 为原点,直线,,OB OC OH 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系由已知,2,1,AB OH OC ===则点(1,0,0),(0,0,1)B C H ,从而(0,(1,0,0)CH HE OB ===u u u ru u u ru u u r设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =u r ,由00m CH m HE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,得111(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取11y =,则m =u r设CP t =则点)P t ,从而)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量()222,,n x y z =r ,由00n OP n OB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v v ,得222010tz x +=⋅=⎪⎩ 取2y t =,则(0,,n t =r .因为平面PAB ⊥平面CDE ,则0m n ⋅=u r r ,得,3t =,从而2PF PC FC =-=所以当2PF =时,平面PAB ⊥平面CDE . 【点睛】本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.20.在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.（1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）23（2）详见解析 【解析】【分析】(1)分别求得第一、二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.(2)根据题意可知ξ的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.【详解】（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为： 123111,,236p p p === 设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ,则()()1212122()113P A p p p p p p =-+-+=所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23. （2）据题意,ξ的可能取值为0,3,6,7,10.()()121(0)113P p p ξ==--=； ()()()()123123555(3)1111183612P p p p p p p ξ==--+--=+=； ()1235(6)136P p p p ξ==-=； ()()123123211(7)11363612P p p p p p p ξ==-+-=+=； 1231(10)36P p p p ξ===. ξ的分布列为ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.21.如图，拋物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上，过点(0,2)M -作直线l 与拋物线相交于,A B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r .（1）求直线l 和拋物线的方程；（2）当拋物线上一动点P 从点A 运动到点B 时，求ABP ∆面积的最大值.【答案】（1）直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-（2）【解析】【分析】(1)设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->,再联立方程利用韦达定理表达OA OB +u u u r u u u r,继而求得直线l 的斜率与方程.(2)根据当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大,利用导数的几何意义求解.或者设点21,2P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再表达出APB ∆面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可. 【详解】（1）据题意可设直线l 的方程为2y kx =-,抛物线方程为22(0)x py p =->由222y kx x py=-⎧⎨=-⎩, 得,2240x pkx p +-=.设点()()1122,,,A x y B x y ,则122x x pk +=-,()21212424y y k x x pk +=+-=--.所以()()21212,2,24OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r因为(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ,所以224,2412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩,解得12p k =⎧⎨=⎩故直线l 的方程为22y x =-,抛物线方程为22x y =-. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P 的切线与l 平行时,APB ∆面积最大设点()00,P x y ,因为y x '=-, 由20000122,22x x y x -=⇒=-=-=-,所以(2,2)P --.此时,点P 到直线l 的距离d === 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==故APB ∆面积的最大值为1122AB d ⋅⋅=⋅= 解法二：由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩,得,2440x x +-=.所以AB ==设点21,(222P t t t ⎛⎫---<<-+ ⎪⎝⎭,点P 到直线l 的距离为d ,则22d t ==--<<-+,当2t =-时,max d =此时点(2,2)P --. 故APB ∆面积的最大值为11225AB d ⋅⋅=⋅= 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题.22.已知函数21()x x ax f x e++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数. （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1,2]-上的最大值.【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞（2）()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a ee ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩… 【解析】【分析】(1)求导后分析导数()0f x '>求单调增区间,再求单调递减区间即可.(2)求导后根据极值点的大小关系,分a 的情况讨论函数()f x 的单调性与最值即可.【详解】（1）当1a =时,21()x x x f x e++=,(1)()x x x f x e --'=. 由()0f x '>,得,(1)0x x -<,即01x <<.所以()f x 的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞.（2）(1)[(1)]()x x x a f x e----'=. 因为1a >-,则12a -<.1.当112a <-<,即10a -<<时,由()0f x '>,得11x a <<-, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)-和(1,2]a -上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f a =--.因为(1)(2)f a e -=-,211(1)(1)1(1)(2)a a a a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-,所以max ()(2)f x a e =-.2.当11a -=,即0a =时,210(())x x f ex -'-=„, 所以()f x 在[1,2]-上单调递减,所以max ()(1)(2)f x f a e =-=-.3.当111a -<-<,即02a <<时,由()0f x '>,得11a x -<<, 则()f x 在(1,1)a -上单调递增,在[1,1)a --和(1,2]上单调递减, 所以max ()max{(1),(1)}f x f f =-, 因为()()221212(1)(1)(2)a e e a f f a e e e+--+--=+-=,则 当()222101e a e -<<+时,(1)(1)f f ->,max ()(1)(2)f x f a e =-=-；当()222121e a e -<+„时,(1)(1)f f -…,max 2()(1)a f x f e+==. 4.当11a --„,即2a …时,()f x 在[1,1)-上单调递增,(1,2]上单调递减, 则max 2()(1)a f x f e+==. 综上分析,()()22max 2221(2),11()212,1e a e a e f x e a a e e ⎧-⎪--<<⎪+=⎨-⎪+⎪+⎩…【点睛】本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.。
湖南四大名校内部资料试卷-2019-2020-师大附中高二第一学期期末
2019-2020学年度高二年级第一学期期末考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12个，每小题5分，共60分)(一)单选题1.设i 为虚数单位，已知复数z 满足()122z +=，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.如图，在三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，设OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OC c =u u u r，用a ，b ，c 表示NM u u u u r ，则MN u u u u r 等于( ) A.()1+2a b c -+ B.()12a b c +- C.()1+2a b c - D.()1+2a b c -- 3.设a ，b ∈R ，则4a b +>成立的一个充分不必要是( )A.4a b +≥B.4a ≥C.2a ≥且2b ≥D.4b <- 4.设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定 5.在()101x -的展开式中，x 项的系数为( )A.45-B.90-C.45D.90 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020S =( )A.8080-B.4040-C.8080D.40407.袋中装有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则()P B A =A.14 B.12 C.13 D.348.某单位有4位同事各有一辆私家车，车辆尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行)，四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车(车辆尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( )A.4B.12C.16D.24(二)多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期期中考试数学答案
设 "%&2!'2&!由0('"1#"(',!得* +&2110$&+! ,'21'$+!
数学参考答案!!"
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3直线 3"
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所以%-.5 为正三角形!-31槡$!
又因为 .%1槡#!所以 %51槡#!所以 %3".5! 于是分别以 3.!3%!3- 为& 轴!' 轴!: 轴建立如图所示空间直角坐 标系!
则 3%+!+!+&!.%"!+!+&!%%+!"!+&!-%+!+!槡$&!5%!"!+!+&! 则.('%1%!"!"!+&!%('-1%+!!"!槡$&!%('51%!"!!"!+&! )分
当()!= 时;&3+所以/&在区间+上单调递增
当!=&(&"时由于;&在区间 +上 单 调 递 减所 以 存 在 &+ . +使 ;&+1+且 当 &.+&+时;&#+所以/&在区间+&+上单调递增当&.&+时;&&+ 所以/&在区间&+上单调递减与已知不符! 故所求的(的取值范围是!4!=4"04! "#分
2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ）A．B．C．D．2．（5分）对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．33．（5分）写出命题p：“∃x 0∈R，使得”的否定并判断￢p的真假，正确的是（ ）A．￢p是“”且为真B．￢p是“∃x 0∈R，使得”且为真C．￢p是“”且为假D．￢p是“∃x 0∉R，使得”且为假4．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，135．（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当x＝7时的预测值是28，则实数m的值为（ ）x23456y3712m23A．18B．20C．21D．226．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，已知a2+a18＝32，则S14﹣S5＝（ ）A．2S10B．144C．288D．5（a1+a14）7．（5分）“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A．“m＝7”B．“7＜m＜9”C．“5＜m＜9”D．“5＜m＜9”且“m≠7”8．（5分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示A的对立事件，表示B的对立事件）：①，②F＝AB，③F ＝A+B，④G＝A+B，⑤，⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正确的关系式的个数是（ ）A．3B．4C．5D．69．（5分）已知圆，定点F2（1，0），点P在圆F1上移动，作线段PF2的中垂线交PF1于点M，则点M的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）A．随P点变化而变化B．2C．4D．511．（5分）如图，椭圆的左右焦点分别是F1，F2，点P、Q 是C上的两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知椭圆过定点（1，1），则的最大值是（ ）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．14．（5分）设a，b∈R，则“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）15．（5分）设函数f（x）＝x2﹣3x+a，已知∃t0∈（1，3]，使得当x∈[1，t0]时，f（x）≤0有解，则实数a的取值范围是 ．16．（5分）设数列{a n}满足，则：（1）a1+a3+a5+…+a2019＝ ；（2）数列中最小项对应的项数n为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a•sin C＝c•sin2A．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．18．（12分）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．19．（12分）设双曲线时，正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是Γ上的点．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）记，是否存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．20．（12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价x（元）99.51010.5118销售量y（元）111086514.2（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？＜注：利润＝销售收入一成本＞．参考数据：．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣）21．（12分）已知椭圆经过点（0，1），且离心率为．（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点Q（0，m），求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数．（1）若命题：“∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，求a的取值范围；（2）若a＝2，x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，求f（x1）+f（x2）的最小值；（3）若，函数f（x）在区间[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为（ ）A．B．C．D．【分析】根据随机抽样时每个个体被抽到的概率相等，即可得出结论．【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为P＝．故选：C．【点评】本题考查了随机抽样的应用问题，是基础题．2．（5分）对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是（ ）A．0B．1C．2D．3【分析】①随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；③一种彩票买一张中奖的概率是，买这种彩票一千张也有可能不会中奖；④根据古典概型的概率特征判断即可．【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，出现一正一反的概率是P＝，∴②错误；对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误．综上知，正确的个数是0．故选：A．【点评】本题考查了随机事件的概率应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．3．（5分）写出命题p：“∃x 0∈R，使得”的否定并判断￢p的真假，正确的是（ ）A．￢p是“”且为真B．￢p是“∃x 0∈R，使得”且为真C．￢p是“”且为假D．￢p是“∃x 0∉R，使得”且为假【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，且命题p与它的否定命题￢p一真一假，由此判断正误．【解答】解：由sin x+cos x＝sin（x+）≤＜，所以命题p：“∃x 0∈R，使得”是假命题；所以该命题的否定￢p：“”，它是真命题．故选：A．【点评】本题考查了全称量词命题与存在量词命题的否定与真假性判断问题，是基础题．4．（5分）如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是（ ）A．12.5，12.5B．13.5，13C．13.5，12.5D．13，13【分析】根据频率分布直方图的数据，结合平均数数和中位数的对应进行判断即可．【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2，第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3，则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3＝13，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间（10，15]的的位置，即中位数为10+（15﹣10）×＝13．故选：D．【点评】本题主要考查频率分布直方图的应用，要求熟练掌握中位数和平均数的定义以及计算方式．5．（5分）已知如表所示数据的回归直线方程为，且由此得到当x＝7时的预测值是28，则实数m的值为（ ）x23456y3712m23A．18B．20C．21D．22【分析】由已知求出样本点的中心的坐标，然后结合题意列关于a与m的方程组求解．【解答】解：，，则，①又28＝5×7﹣a，②联立①②解得：a＝7，m＝20．故选：B．【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．6．（5分）设等差数列{a n}的前n项和是S n，已知a2+a18＝32，则S14﹣S5＝（ ）A．2S10B．144C．288D．5（a1+a14）【分析】利用等差数列{a n}的通项公式求出a1+9d＝16，由此能求出S14﹣S5．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和是S n，a2+a18＝32，∴a1+d+a1+17d＝32，解得a1+9d＝16，∴S14﹣S5＝（14a1+）﹣（）＝9（a1+9d）＝9×16＝144．故选：B．【点评】本题考查等差数列的前14项和与前5项和之差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．（5分）“方程的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是（ ）A．“m＝7”B．“7＜m＜9”C．“5＜m＜9”D．“5＜m＜9”且“m≠7”【分析】由椭圆的定义可列出m满足的不等式组，从而求出m的取值范围，注意9﹣m≠m﹣5，再结合选项选出必要不充分条件．【解答】解：因为方程的曲线是椭圆，则由椭圆的定义可知：，解得：5＜m＜9且m≠7，所以“方程的曲线是椭圆”的充要条件为“5＜m＜9且m≠7”，所以“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“5＜m＜9”．故选：C．【点评】本题主要考查充分条件，必要条件，充要条件的判定，做题时注意9﹣m≠m﹣5的限制，还需注意要选的是必要不充分条件而不是充要条件，是基础题．8．（5分）甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，对下列关系式（表示A的对立事件，表示B的对立事件）：①，②F＝AB，③F ＝A+B，④G＝A+B，⑤，⑥P（F）＝1﹣P（E），⑦P（F）＝P（A）+P（B）．其中正确的关系式的个数是（ ）A．3B．4C．5D．6【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A＝“甲击中靶”，事件B＝“乙击中靶”，事件E＝“靶未被击中”，事件F＝“靶被击中”，事件G＝“恰一人击中靶”，在①中，事件E是指事件A与事件B同时不发生，∴，故①正确；在②中，事件F表示事件A和事件B至少有一个发生，故F＝A+B，故②错误；在③中，F＝A+B，故③正确；在④中，，故④错误；在⑤中，，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得P（F）＝1﹣P（E），故⑥正确；在⑦中，由互斥事件概率计算公式得P（F）＝P（A）+P（B），故⑦正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）已知圆，定点F2（1，0），点P在圆F1上移动，作线段PF2的中垂线交PF1于点M，则点M的轨迹方程为（ ）A．B．C．D．【分析】先确定F1、F2的坐标，再根据线段PF2的中垂线与PF1交于M点，结合双曲线的定义，可得点M的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，从而可得点M的轨迹C的方程．【解答】解：由题意得，F1（﹣1，0），则F2（1′，0），圆F1的半径|PF1|＝4，且|MF2|＝|MP|，|MF1|+|MF2|＝|PF1|＝4＞2＝|F1F2|；∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，其中实轴2a＝4，焦距2c＝2，则虚半轴b＝，椭圆的方程为：．．故选：C．【点评】本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线方程的求法，是中档题．10．（5分）已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，点P是C的右支上的一点（不是顶点），过F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则|MO|＝（ ）A．随P点变化而变化B．2C．4D．5【分析】由题设条件结合等腰三角形的性质可得|PH|＝|PF2|，由双曲线的定义推出PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，由中位线定理可得|OM|＝a，由双曲线的方程可得所求值．【解答】解：双曲线的左右焦点分别是F1，F2，延长F2M交PF1于H，∵PM是∠F1PF2的角平分线，∴|PH|＝|PF2|，∵P在双曲线上，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|﹣|PH|＝|F1H|＝2a，∵O是F1F2的中点，M是F2H的中点，∴OM是△F2F1H的中位线，∴|HF1|＝2|OM|，即|OM|＝a，双曲线中a＝4，则|OM|＝4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，注意运用等腰三角形的性质和中位线定理，考查推理能力，属于中档题．11．（5分）如图，椭圆的左右焦点分别是F1，F2，点P、Q是C上的两点，若，且，则椭圆C的离心率为（ ）A．B．C．D．【分析】利用椭圆的性质和正弦定理求出e．【解答】解：设QF2的倾斜角α，延长QF2到P'，显然PP'关于O对称，根据椭圆的极坐标方程P'F2＝，F2Q＝，由，e cosα＝，又根据正弦定理e＝，所以e sinα+e cosα＝1，的e sinα＝，所以e2cos2α+e2sin2α＝，e2＝，e＝．故选：A．【点评】本题利用椭圆在交点处的极坐标方程，还用了正弦定理，中档题．12．（5分）已知椭圆过定点（1，1），则的最大值是（ ）A．B．C．D．【分析】代入（1，1），再利用基本不等式求出．【解答】解：把（1，1）代入得，则＝≤，当且仅当成立，即a2＝，b2＝4，故选：C．【点评】考查椭圆的性质，基本不等式的用法，基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．（5分）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．【分析】根据红灯持续时间结合几何概率公式，即可求出至少需要等待10秒才出现绿灯的概率．【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为P＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型，是基础题．14．（5分）设a，b∈R，则“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【分析】由log2（a﹣b）＞0可得出a＞b，然而由a＞b，只能得到a﹣b＞0，得不到a﹣b＞1，故推不出log2（a﹣b）＞0，从而“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的充分不必要条件．【解答】解：由log2（a﹣b）＞0可知，a﹣b＞1，所以a﹣b＞0，从而得出a＞b，然而由a＞b，只能得到a﹣b＞0，得不到a﹣b＞1，故推不出log2（a﹣b）＞0，所以“log2（a﹣b）＞0”是“a＞b”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的判定，是基础题．15．（5分）设函数f（x）＝x2﹣3x+a，已知∃t0∈（1，3]，使得当x∈[1，t0]时，f（x）≤0有解，则实数a的取值范围是 （﹣∞，2] ．【分析】二次函数的值域问题需要三步走：一、判断开口方向；二、得出对称轴；三、判断对称轴与区间端点的位置关系，结合草图得出结论．【解答】解：∵f（x）的对称轴为x＝，所以，当t0∈（1，]时，x∈[1，t0]位于对称轴左侧，草图如下：此时f（x）min＝f（t0）＝，又对于任意t0∈（1，]均成立，因此a≤﹣（）min＝2；又，当t0∈（，3]时，x∈[1，t0]越过对称轴，草图如下：此时f（x）min＝f（）＝+a≤0，解得a≤；综上，a≤2．故答案为：（﹣∞，2]．【点评】本题属于基础题，掌握二次函数值域的求解是关键．16．（5分）设数列{a n}满足，则：（1）a1+a3+a5+…+a2019＝ 1010 ；（2）数列中最小项对应的项数n为 9或10 ．【分析】（1）当n为奇数时，可得奇数项的值都为1，从而求出前2020项奇数项的和为1010．（2）当n为偶数时，a n+2﹣a n＝2n，属于累加法的题型，运用累加法求出a n，从而求出，再结合均值不定式求出最小项，注意n的取值．【解答】解：（1）数列{a n}满足，则：＝1，，……，，所以a1+a3+a5+…+a2019＝．故答案为：1010．（2）由题意知：，因为n为偶数，所以a n+2＝a n+2n，整理得a n+2﹣a n＝2n，a n﹣a n﹣2＝2（n﹣2），……，a6﹣a4＝2×4，a4﹣a2＝2×2，累加得：a n+2﹣a2＝2（2+4+…+n），整理得：，所以：（n为偶数），从而得到，由于，又因为n∈N*且n为偶数，所以当n＝18或20时，的值最小．所以数列中最小项对应的项数n为9或10．故答案为：9或10．【点评】考查了由数列的递推公式求通项公式的常用方法累加法，又与均值不等式结合到一起考查最值问题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a•sin C＝c•sin2A．（1）求A；（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简即可求解；（2）利用余弦定理求解c，即可求解△ABC的面积．【解答】解：（1）因为知a•sin C＝c•sin2A．由正弦定理：sin A•sin C＝sin C•sin2A．因为sin2A＝2sin A cos A，sin A•sin C≠0，所以cos A＝．因为0＜A＜π，所以A＝．（2）因为a＝，b＝2，A＝．由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2cb cos A得c2﹣6c+5＝0，解得：c＝1或c＝5，均适合题．当c＝1时，△ABC的面积．为S＝bc sin A＝．当c＝5时，△ABC的面积．为S＝bc sin A＝．【点评】本题考查正、余弦定理和面积公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h）分成六段；[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【分析】（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，由此能求出这40辆小型汽车车速的众数；由频率分布直方图求出[60，75）对应的频率为0.35，[75，80）对应的频率为0.3，由此能求出中位数的估计值．（2）车速在[60，70）内频率为0.15，从而车速在[60，70）内的车辆有6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有2辆，车速在[65，70）内的车辆有4辆，由此能求出从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80）对应的小矩形最高，∴这40辆小型汽车车速的众数为：＝77.5（km/h）．由频率分布直方图知[60，75）对应的频率为：（0.010+0.020+0.040）×5＝0.35，[75，80）对应的频率为：0.060×5＝0.3，∴中位数的估计值为：＝77.5（km/h）．（2）车速在[60，70）内频率为（0.010+0.020）×5＝0.15，∴车速在[60，70）内的车辆有0.15×40＝6辆，其中车速在[60，65）内的车辆有：0.010×5×40＝2辆，车速在[65，70）内的车辆有：0.020×5×40＝4辆，∴从车速在[60，70）内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数n＝，车速在[65，70）内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数m＝＝8，∴车速在[65，70）内的车辆恰有一辆的概率p＝＝．【点评】本题考查众数、中位数的求法，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．19．（12分）设双曲线时，正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是Γ上的点．（1）求数列{x n}的通项公式；（2）记，是否存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【分析】（1）由题意可得得x n2﹣x n﹣12＝1，即有{x n2}为首项和公差均为1的等差数列，由等差数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得＝＝﹣，运用数列的裂项相消求和可得S n，假设存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线，求得双曲线的渐近线，解方程可得m，即可判断存在性．【解答】解：（1）正项数列{x n}满足x1＝1，对任意的n≥2，n∈N*，都有是双曲线上的点，可得x n2﹣x n﹣12＝1，即有{x n2}为首项和公差均为1的等差数列，可得x n2＝1+n﹣1＝n，即x n＝；（2）＝＝﹣，则＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1，假设存在正整数m，使得与Γ有相同的渐近线，即有y＝±x与y＝±x相同，可得＝，即S m＝99，即﹣1＝99，解得m＝9999，则存在正整数m＝9999，使得与Γ有相同的渐近线．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查数列的裂项相消求和，以及存在性问题解法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．（12分）某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价x（元）99.51010.5118销售量y（元）111086514.2（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？＜注：利润＝销售收入一成本＞．参考数据：．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（x n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：＝＝，＝﹣）【分析】（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；根据回归直线方程，计算x＝8时对应的y数值，判断回归直线方程是否理想；（3）求销售利润函数W，根据二次函数的图象与性质求最大值即可．【解答】解：（1）（9+9.5+10+10.5+11）＝10，×（11+10+8+6+5）＝8，＝＝﹣3.2，则＝8﹣（﹣3.2）×10＝40，于是y关于x的回归直线方程为；取x＝8，得，∵|14.4﹣14.2|＝0.2＜0.5，∴所求得的回归直线方程是理想的；（2）令销售利润为W，则W＝（x﹣2.5）（﹣3.2x+40）＝﹣3.2x2+48x﹣100（2.5＜x＜12.5），当x＝7.5时，W取最大值80．∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是综合题．21．（12分）已知椭圆经过点（0，1），且离心率为．（1）设过点的直线与椭圆E相交于M、N两点，若MN的中点恰好为点P，求该直线的方程；（2）过右焦点F的直线l（与x轴不重合）与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点Q（0，m），求实数m的取值范围．【分析】（1）利用椭圆的定义求出椭圆E的方程，再利用点差法求直线的方程；（2）由题意设出直线l的方程，设出A、B的坐标，联立直线与椭圆的方程得韦达定理，根据A、B的坐标得到线段AB的垂直平分线方程，用t表示出m，再求m的范围．【解答】解：设椭圆的焦距为2c，由题意，，解得，∴椭圆E的标准方程为，（1）设点M（x1，y1），N（x2，y2），则，两式作差得，由点P为MN的中点得直线的斜率k＝，∴该直线的方程为：，化简得一般式方程为：2x﹣2y+1＝0；（2）由椭圆的方程可得F（1，0），由题意可设直线l的方程为x＝ty+1，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由得（t2+2）y2+2ty﹣1＝0，由韦达定理得，，易求得线段AB的垂直平分线的方程为，由x＝0得：m＝，①当t＝0时，m＝0；②当t≠0时，，当t＜0时，，，当t＞0时，，，综上：实数m的取值范围是．【点评】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，注意对直线的设法，属于中档题．22．（12分）已知函数．（1）若命题：“∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，求a的取值范围；（2）若a＝2，x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，求f（x1）+f（x2）的最小值；（3）若，函数f（x）在区间[t，t+1]的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）由题意可知在定义域上单调递减，由∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，可知f（x）max＞1，可求（2）由题意可知f（x）＝，然后结合基本不等式和对数的运算性质即可求解（3）由函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，可知f（t）﹣f（t+1）≤1，然后结合函数的性质可求．【解答】解：（1）∵在定义域上单调递减，∵∃x0∈[1，4]，f（x0）＞1”是真命题，∴f（x）max＝f（1）＝log2（1+a）＞1，∴a+1＞2，∴a＞1，a的取值范围（1，+∞）；（2）若a＝2，f（x）＝，∵x1＞0，x2＞0，x1+x2＝1，∴＝，∴≥4，∴f（x1）+f（x2）＝，＝＝≥4，即最小值4；（3）∵，函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，故f（t）﹣f（t+1）≤1，∴≤1，即，∴＝，设1﹣t＝r，则r，∴＝＝当r＝0时，0＝，当r≠0时，＝，根据对勾函数的单调性可知，当r＝，时，r+取得最小值，∴≤，∴．故a的取值范围[，+∞）．【点评】本题主要考查函数最值的求解，根据基本不等式的性质以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．。
2019-2020学年湖南师大附中高二(上)第一次段考数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为( ) A ．110B ．3353C ．35353D ．33502．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关； ②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖； ④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题． 其中正确的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是()A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，135．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．226．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．69．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．511．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )A B C D 12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 ．14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 ．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= ；（2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z和销售量y之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y关于z的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i ii ix y x====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x，1)y，2(x，2)y，(nx⋯，)ny，其回归直线ˆˆˆy bx a=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．学校要从353名学生干部中任意选取35名学生代表参加“重走办学路”远志夏令营活动．若采用系统抽样方法，首先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，则其中学生干部甲被选中参加活动的概率为()A．110B．3353C．35353D．3350【解答】解：从353名学生干部中任意选取35名学生，先要随机剔除3名学生，再从余下的350名学生干部中抽取35名学生，因为被剔除与被选中的概率相同，所以甲被选中的概率为35353P=．故选：C．2．对以下命题：①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是13；③若一种彩票买一张中奖的概率是11000，则买这种彩票一千张就会中奖；④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3【解答】解：对于①，随机事件的概率是确定的值，与实验次数无关，而频率是实验值，与试验重复的次数有关，∴①错误；对于②，抛掷两枚均匀硬币一次，出现的基本事件是：{正、正}、{正、反}、{反、正}、{反、反}共4种，出现一正一反的概率是12P=，∴②错误；对于③，若一种彩票买一张中奖的概率是1 1000，则买这种彩票一千张也有可能不会中奖，∴③错误；对于④，“姚明投篮一次，求投中的概率”出现的事件有“投中”和“未中”两种，但是这两种事件的概率是不同的，不属于古典概型概率问题，④错误． 综上知，正确的个数是0． 故选：A ．3．写出命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=”的否定并判断p ⌝的真假，正确的是( )A ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+≠B ．p ⌝是“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +≠C ．p ⌝是“,sin cos x R x x ∀∈+=D ．p ⌝是“0x R ∃∉，使得00sin cos x x +≠【解答】解：由sin cos )4x x x π+=+<…所以命题p ：“0x R ∃∈，使得00sin cos x x +=所以该命题的否定p ⌝：“,sin cos x R x x ∀∈+≠，它是真命题． 故选：A ．4．如图是一组样本数据的频率分布直方图，则依据图形中的数据，可以估计总体的平均数与中位数分别是( )A ．12.5，12.5B ．13.5，13C ．13.5，12.5D ．13，13【解答】解：根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2， 第二组的频率为0.5，则第三组的频率为0.3， 则平均数为7.50.212.50.517.50.313⨯+⨯+⨯=，由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间(10，15]的35的位置，即中位数为310(1510)135+-⨯=．故选：D ．5．已知如表所示数据的回归直线方程为ˆ5yx a =-，且由此得到当7x =时的预测值是28，则实数m 的值为( )A ．18B ．20C ．21D ．22【解答】解：2345645x ++++==，371223955m my ++++==+，则9545ma +=⨯-，① 又2857a =⨯-，②联立①②解得：7a =，20m =． 故选：B ．6．设等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，已知21832a a +=，则145(S S -= ) A ．102SB ．144C ．288D ．1145()a a +【解答】解：等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，21832a a +=， 111732a d a d ∴+++=，解得1916a d +=， 14511141354(14)(5)22S S a d a d ⨯⨯∴-=+-+ 19(9)916144a d =+=⨯=．故选：B ．7．“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的一个必要不充分条件是( ) A ．“7m =” B ．“79m <<”C ．“59m <<”D ．“59m <<”且“7m ≠”【解答】解：因为方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆， 则由椭圆的定义可知：905095m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得：59m <<且7m ≠，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的充要条件为“59m <<且7m ≠”，所以“方程22195x y m m +=--的曲线是椭圆”的必要不充分条件是：“59m <<”． 故选：C ．8．甲、乙两人对同一个靶各射击一次，设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”，对下列关系式(A 表示A 的对立事件，B 表示B 的对立事件）：①E AB =，②F AB =，③F A B =+，④G A B =+，⑤G AB AB =+，⑥()1P F P =-（E ），⑦()P F P =（A ）P +（B ）．其中正确的关系式的个数是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6【解答】解：甲、乙两人对同一个靶各射击一次， 设事件A = “甲击中靶”，事件B = “乙击中靶”，事件E = “靶未被击中”，事件F = “靶被击中”，事件G = “恰一人击中靶”， 在①中，事件E 是指事件A 与事件B 同时不发生，∴E AB =，故①正确； 在②中，事件F 表示事件A 和事件B 至少有一个发生， 故F A B =+，故②错误； 在③中，F A B =+，故③正确； 在④中，G AB AB =+，故④错误； 在⑤中，G AB AB =+，故⑤正确；在⑥中，由对立事件概率计算公式得()1P F P =-（E ），故⑥正确； 在⑦中，由互斥事件概率计算公式得()P F P =（A ）P +（B ），故⑦正确． 故选：C ．9．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ，点P 在圆1F 上移动，作线段2PF 的中垂线交1PF 于点M ，则点M 的轨迹方程为( )A ．22134x y += B ．221169x y += C ．22143x y += D ．22143x y -= 【解答】解：由题意得，1(1,0)F -，则2(1,0)F '， 圆1F 的半径1||4PF =，且2||||MF MP =， 12112||||||42||MF MF PF F F +==>=；∴点M 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的椭圆，其中实轴24a =，焦距22c =，则虚半轴b =，椭圆的方程为：22143x y +=．．故选：C ．10．已知双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 是C 的右支上的一点（不是顶点），过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足是M ，O 是原点，则||(MO = ) A ．随P 点变化而变化 B ．2 C ．4D ．5【解答】解：双曲线22:1169x y C -=的左右焦点分别是1F ，2F ， 延长2F M 交1PF 于H ，PM 是12F PF ∠的角平分线，2||||PH PF ∴=， P 在双曲线上，12||||2PF PF a ∴-=， 11||||||2PF PH F H a ∴-==，O 是12F F 的中点，M 是2F H 的中点， OM ∴是△21F F H 的中位线，1||2||HF OM ∴=，即||OM a =，双曲线22:1169x y C -=中4a =，则||4OM =． 故选：C ．11．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是1F ，2F ，点P 、Q 是C 上的两点，若212QF PF =，且120F P F P =，则椭圆C 的离心率为( )ABCD【解答】解：设2QF 的倾斜角α，延长2QF 到P '，显然PP '关于O 对称， 根据椭圆的极坐标方程221cos b a P F e α'=-，221cos b a F Q e α=+， 由221cos 21cos P F e QF e αα'+==-，1cos 3e α=， 又根据正弦定理12122sin 902sin cos F F c e a PF PF αα︒===++， 所以sin cos 1e e αα+=，的2sin 3e α=， 所以22225cos sin 9e e αα+=， 259e =，e =故选：A ．12．已知椭圆22221x y a b +=过定点(1,1)，则22222b a b +的最大值是( )A ．516B ．12C ．916D ．34【解答】解：把(1,1)代入得22111a b +=， 则22222222111211192()()22216b ab a b a b +++=+=…，当且仅当221112a b =+成立，即243a =，24b =， 故选：C ．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号的横线上. 13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为 4． 【解答】解：因为红灯持续时间为40秒，所以根据已知条件可得至少需要等待10秒才出现绿灯的概率为40103404P -==， 故答案为：34． 14．设a ，b R ∈，则“2log ()0a b ->”是“a b >”的 充分不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要” )【解答】解：由2log ()0a b ->可知，1a b ->，所以0a b ->，从而得出a b >， 然而由a b >，只能得到0a b ->，得不到1a b ->，故推不出2log ()0a b ->， 所以“2log ()0a b ->”是“a b >”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要．15．设函数2()3f x x x a =-+，已知0(1t ∃∈，3]，使得当[1x ∈，0]t 时，()0f x …有解，则实数a 的取值范围是 (-∞，2] ． 【解答】解：()f x 的对称轴为32x =， 所以，当0(1t ∈，3]2时，[1x ∈，0]t 位于对称轴左侧，草图如下：此时2000()()30min f x f t t t a ==-+…，又对于任意0(1t ∈，3]2均成立，因此200(3)2min a t t --=…；又，当03(2t ∈，3]时，[1x ∈，0]t 越过对称轴，草图如下：此时399()()0242min f x f a ==-+…，解得94a …； 综上，2a …．故答案为：(-∞，2]．16．设数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-，则： （1）1352019a a a a +++⋯+= 1010 ； （2）数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为 ．【解答】解：（1）数列{}n a 满足1221,180,(1)n n n a a a a n n +===++-， 则：1311(1)11a a =++-=，3533(1)31a a =++-=，⋯⋯，2017201920172017(1)20171a a =++-=，所以135********10102a a a a +++⋯+==． 故答案为：1010．（2）由题意知：22180,(1)n n n a a a n n +==++-， 因为n 为偶数，所以22n n a a n +=+， 整理得22n n a a n +-=， 22(2)n n a a n --=-， ⋯⋯， 6424a a -=⨯， 4222a a -=⨯，累加得：222(24)n a a n +-=++⋯+， 整理得：2211802n a n n +=++， 所以：21180(2n a n n n =-+为偶数），从而得到 ()18012n a n n n n=+-为偶数，由于18018022n n n n n+==当且仅当即…， 又因为*n N ∈且n 为偶数，所以当18n =或20时，na n的值最小． 所以 数列22n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项对应的项数n 为9或10．故答案为：9或10．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c sin sin 2C c A =． （1）求A ；（2）若a =b =ABC ∆的面积．【解答】解：（1sin sin 2C c A =．sin sin sin 2A C C A =． 因为sin 22sin cos A A A =，sin sin 0A C ≠，所以cos A =． 因为0A π<<， 所以6A π=．（2）因为a =b =6A π=．由余弦定理：2222cos a b c cb A =+- 得2650c c -+=，解得：1c =或5c =，均适合题．当1c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==当5c =时，ABC ∆的面积．为1sin 2S bc A ==．18．“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下的小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的样本方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(/)km h 分成六段；[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；（2）若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图知[75，80)对应的小矩形最高， ∴这40辆小型汽车车速的众数为：758077.5(/)2km h +=． 由频率分布直方图知[60，75)对应的频率为： (0.0100.0200.040)50.35++⨯=， [75，80)对应的频率为：0.06050.3⨯=，∴中位数的估计值为：(0.50.35)75577.5(/)0.3km h-+⨯=．（2）车速在[60，70)内频率为(0.0100.020)50.15+⨯=，∴车速在[60，70)内的车辆有0.15406⨯=辆，其中车速在[60，65)内的车辆有：0.0105402⨯⨯=辆，车速在[65，70)内的车辆有：0.0205404⨯⨯=辆，∴从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，基本事件总数2615n C==，车速在[65，70)内的车辆恰有一辆包含的基本事件个数11428m C C==，∴车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率815mpn==．19．设双曲线时22:13yxΓ-=，正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是Γ上的点．（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记12231111nn nSx x x x x x+=++⋯++++，是否存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由．【解答】解：（1）正项数列{}nx满足11x=，对任意的2n…，*n N∈，都有1()n nx-是双曲线22:13yxΓ-=上的点，可得2211n nx x--=，即有2{}nx为首项和公差均为1的等差数列，可得211nx n n=+-=，即nx=；（2）11n nx x+==+，则1223111111 nn nSx x x x x x+=++⋯+=+-+-=+++，假设存在正整数m，使得22133my xS-=与Γ有相同的渐近线，即有y=与y==，即99m S =199-=， 解得9999m =，则存在正整数9999m =，使得22133m y x S -=与Γ有相同的渐近线． 20．某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价z 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：（1）根据1至5月份的拮据，先求出y 关于z 的回归直线方程；6月份的数据作为检验数据．若由回归直线方程得到的预测数据与检验数据的误差不超过0.5，则认为所得到的回归直线方程是理想的．试问所求得的回归直线方程是否理想？（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的回归关系，如果该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得得最大利润？<注：利润=销售收入一成本>．参考数据：5211392,502.5ni i i i i x y x ====∑∑．参考公式：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，(n x ⋯，)n y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x ynxy bxx xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆ)ay bx =- 【解答】解：（1）1(99.51010.511)105x =++++=，1(1110865)85y =⨯++++=，23925108ˆ 3.2502.5510b-⨯⨯==--⨯， 则ˆˆ8( 3.2)1040ay bx =-=--⨯=， 于是y 关于x 的回归直线方程为ˆ 3.240y x =-+； 取8x =，得ˆ 3.284014.4y=-⨯+=， |14.414.2|0.20.5-=<，∴所求得的回归直线方程是理想的；（2）令销售利润为W ，则2( 2.5)( 3.240) 3.248100(2.512.5)W x x x x x =--+=-+-<<，当7.5x =时，W 取最大值80．∴该产品的销售单价定为7.5元/件时，获得的利润最大．21．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)．（1）设过点11(,)36P -的直线与椭圆E 相交于M 、N 两点，若MN 的中点恰好为点P ，求该直线的方程；（2）过右焦点F 的直线l （与x 轴不重合）与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点(0,)Q m ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：设椭圆的焦距为2c ，由题意，222211b c e a a b c⎧=⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=，（1）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得121212122()y y x x x x y y -+=--+， 由点P 为MN 的中点得直线的斜率231123k -=-=，∴该直线的方程为：1163y x -=+，化简得一般式方程为：2210x y -+=； （2）由椭圆的方程可得(1,0)F ，由题意可设直线l 的方程为1x ty =+，设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(2)210t y ty ++-=，由韦达定理得12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 易求得线段AB 的垂直平分线的方程为202ttx y t +-=+， 由0x =得：22tm t =+， ①当0t =时，0m =； ②当0t ≠时，12m t t=+，当0t <时，2t t +-…，0m <，当0t >时，2t t+…0m <…综上：实数m的取值范围是[． 22．已知函数21()log (),0f x a a x=+>．（1）若命题：“0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题，求a 的取值范围； （2）若2a =，10x >，20x >，121x x +=，求12()()f x f x +的最小值；（3）若1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．【解答】解：（1）21()log (),0f x a a x=+>在定义域上单调递减，0[1x ∃∈，4]，0()1f x >”是真命题， ()max f x f ∴=（1）2log (1)1a =+>， 12a ∴+>， 1a ∴>，a 的取值范围(1,)+∞；（2）若2a =，21()(2)f x log x =+，10x >，20x >，121x x +=， ∴212121()24x x x x +=…， ∴1214x x …，12221211()()(2)(2)f x f x log log x x ∴+=+++， 122212121223(4)(4)4x x log log x x x x ++=+=+…，即最小值4；（3）1[,1]2t ∀∈，函数()f x 在区间[t ，1]t +上单调递减，故()(1)1f t f t -+…，∴2211()()11log a log a t t +-++…，即112()1a a t t +++…， ∴1211(1)ta t t t t --=++…， 设1t r -=，则1[0,]2r ∈，∴21(1)(1)(2)32t r rt t r r r r -==+---+ 当0r =时，2032rr r =-+，当0r ≠时，212323r r r r r=-++-，根据对勾函数的单调性可知，当r =，12时，2r r +取得最小值92， ∴22323r r r -+…， ∴23a …．故a 的取值范围2[3，)+∞．。
湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学试卷附答案解析
湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学卷一、单选题 1．21ii-（i 为虚数单位）的值等于（ ） A ．1BCD ．22．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ）A ．56B ．65C ．23D ．324．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2B ．4C ．bD ．2b7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值48．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．239．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b+=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的最小值不小于()2a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,52⎡⎢⎣⎭11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f ef <B ．()()12eff <C ．()()303ef f > D ．()()514e f f -<12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞ D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值.19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈.20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值．21．已知抛物线()2:20E ypx p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()Fx f x g x =-的两个极值点分别为12,x x，且12x x <.已知0λ>，若不等式112ex x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.解析湖南师大附中2019-2020学年上学期第二次检测高二数学卷一、单选题 1．21ii-（i 为虚数单位）的值等于（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】 A 正确由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数”D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ⌝∨⌝是真命题.故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题. 3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ） A ．56B ．65C ．23 D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】 在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a = 故选：C 【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是∵ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∵sinA ＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∵sin （A+B ）＜sinBcosA, ∵sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∵sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∵cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4 C ．b D ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称所以()()224f a f c +=⨯=故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题.7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD =故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v⋅+=()222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题. 8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A = 故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴=∴=∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b+=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT )a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B【解析】根据PT =2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min)c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果. 【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -，则minPT =又PT 的最小值不小于)a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-则)c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥-所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则0e <<综上所述：3,52e ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222x f x f x e --=，则下列判断一定正确的是（）A ．()()10f ef <B ．()()12eff <C ．()()303ef f > D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e -= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，又()()222x f x f x e --=，所以2(2)()xx f x f x e e--=， 则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称， 则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误. 故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞ D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果. 【详解】 由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解由()3231f x ax x =-+，则()'236f x ax x =-又()()gx xf x '=，所以()3236g x ax x =-所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解， 令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减 所以()()max14h x h ==所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________. 【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果.【详解】由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增， 所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >>故答案为：c b a >>【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题. 14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U 【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果. 【详解】由题可知：若222x y m m <++有解 则()2min 22mm x y >++因为211x y+=，且0,0x y >> 所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+= 当且仅当4x y y x=，即2x y =时，取等号 所以228m m +>， 则()()2280420mm m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题. 15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】 因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =， 所以可得()()22122f m f m m -->-+-又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---< 所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得112m ≤<. 故m的取值范围是112m ≤<.【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()tf x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】 令()tf x =，方程()()0f f x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩如图若1t=时，有1个交点当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意 当0a >时，则00t t t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t=时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时，则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩如图当1t=时，(),y t y f x ==图象只有一个交点所以0a < 综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率.（注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数）【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s（3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又BA x x =，所以127a =（2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为As =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C = 所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-= 【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==求ABC ∆的面积S 的最大值. 【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果.（2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cossin 23110x x ⨯++==+（2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭r r所以()2cos+sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos 2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++-所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =5bc ≤所以1522Sbc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题 19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，等比数列{}n b 的公比为q则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111na a n d n =+-=+由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2n n b =， ()()1+322n n a a n n n S +==， ()111221nn n b q T q +-==--（2）由（1）可知：()12n n nn a b =+⋅ 所以()23223242...12n nn K =⋅+⋅+⋅+++⋅∵ 则()2341223242...122n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅∵所以∵-∵可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n n n n K -++-=+-+⋅=-⋅-- 所以12n n K n +=⋅ ()()()()111322222321n n n n n n n n n S T c K n n n ++++-+-=⋅== ()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+ 则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ； （2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值.【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=，13AG CD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形， 1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -， 设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a、(10,C a、(C 、()0,0,0E、3,0,44D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ， 1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r，得a =(11AC AC ==-u u u u r u u u r Q，34ED ⎛=- ⎝⎭u u u r，1,2EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r，由304402n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v，得y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 令1x =，可得y =，z =DEF的一个法向量为(n =r，111111cos ,A C n A C n A C n ⋅===⋅u u u u r r u u u u r r u u u u r r因此，直线11A C 与平面DEF 【点睛】 本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+ 设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t> 另设()()1122,,,B x y C x y()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++所以2168t =+， 化简可得：2210t -+=，所以t =由0t >，所以2t =所以()()64,64B C -+-则直线BC的斜率为441BC k --==- 所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值； （2）函数()()()Fx f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围； （3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数. 【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'f x ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果. （2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果. （3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子， 可得()()112212ln 1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果【详解】（1）由题可知：()'ln 1f x x =+当[],1x e e ∈+，()'0f x >所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2aF x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于ln xa x =在()0,∞+有两个不同的实数根等价于函数()ln ,xy a h x x ==图象在()0,∞+有两个交点则()'21ln xh x x -=令()'0h x >，则0x e <<令()'0h x <，则x e >所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e =，当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x > 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =-由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-= 所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=- 由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x <所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t >所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时， 若()20,t λ∈，()'0h t >若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减 又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。
湖南省2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)含答案
湖南师大附中2016－ 2017 学年度高二第一学期期末考试理科数学试题－(这是边文，请据需要手工删加)题答要不内线封密号位座____________号场考 ____________号级班 ____________学 ____________级年名姓 ____________( 这是边文，请据需要手工删加)湖南师大附中2016 －2017 学年度高二第一学期期末考试时量：120 分钟理科数学命题人：高二数学备考组( 必修 3，选修 2－ 1，选修 2－2)满分： 100 分 ( 必考试卷Ⅰ ) ， 50 分 ( 必考试卷Ⅱ)得分： ____________一、选择题：本大题共必考试卷Ⅰ ( 满分100 分 )10 个小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．11．复数－i＋i＝1A．－2i B.2i C．0D．2i2．在△ ABC的边 AB上随机取一点 P，记△ CAP和△ CBP的面积分别为 S1和 S2，则 S1>2S的概率是1 1A.2B.31 1C.4D.5→→→→3．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，设 AC′＝xAB＋2yBC＋3zCC′ ，则x＋y＋z ＝11527A.B.C.D.66364.π(cos x＋1)d x等于A．1B．0C．π＋1D．π15．若 a， b 为实数，则“ 0<ab<1”是“ b< a”的A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件6．履行以下图的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第 3 项是A ．870B ．30C ．6D ．37．在某次丈量中获得的A 样本数据以下： 82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若 B 样本数据恰巧是 A 样本数据都加 2 后所得数据，则 A ， B 两样本的以下数字特点对应同样的是A ．众数B ．均匀数C ．中位数D ．标准差8．已知 f ( x ) ＝ e x ＋2xf ′ ( 1) ，则 f ′ ( 0) 等于 A ． 1＋2e B ． 1－ 2e C ．－ 2e D ． 2ex2 y229．已知双曲线 a2－ b2＝ 1 的一个焦点与抛物线 y ＝ 4x 的焦点重合，且双曲线的离心率 等于 5 ，则该双曲线的方程为． 5x 2 － 4y2 ＝ 1 . x2 － y2 ＝ 1 A 5 B 5 4y2 x2 2 5y2C . 5－4＝1D ．5x － 4 ＝ 110．若函数 f(x) ＝ x － 12x ＋ a x 在( －∞，＋∞ ) 单一递加，则a 的取值范围是3sin sin．[ －1，1].1－ 1，AB311 D . － 1，－ 1C .－，333答题卡题号 12345 678910答案二、填空题：本大题共 3 个小题，每题 5 分，共 15 分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．11．若命题 p ： x ∈ R ， x 2＋ x ＋ 1<0，则綈 p 为____________ 命题 ( 填真，假 ) ．12．一个社会检查机构就某地居民的月收入检查了 10 000 人，并依据所得数据画了样本的频次散布直方图 ( 以以下图 ) ．为了剖析居民的收入与年纪、学历、 职业等方面的关系， 要 从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作出一步检查，则在 [2 500 ， 3 000]( 元 )/ 月收入段应抽出 ________人．13．对于定义域为 R 的函数 f ( x ) ，若存在非零实数 x 0，使函数 f ( x ) 在( －∞， x0) 和 ( x0，＋∞ ) 上均有零点，则称 x 0 为函数 f ( x ) 的一个“给力点”．现给出以下四个函数：1(1) f(x)＝3|x－1|＋2；(2) f(x)＝2＋ lg |x－1|；x3(3)f ( x)＝3－ x－1；(4)f ( x)＝x2＋ax－1( a∈R)．存在“ 力点”的函数是 ____________ ．三、解答：本大共 3 小，共 35 分，解答写出文字明，明程或演算步．14． ( 本小分 11 分 ) 数列 { an} 足S n＝2n－a n，此中S n＝a1＋a2＋a3＋⋯＋a n.(1)求 a1， a2， a3， a4的并猜想 a n的表达式；(2)用数学法明你的猜想．15.( 本小题满分 12分 )在一个盒子里装有 6 张卡片，上边分别写着以下定义域为R的函数：f ( x)＝ x＋1，f2( x)＝ x ，f( x) ＝ sin x，f ( x) ＝ log (x2＋ 1＋ x)，f ( x)＝cos x＋| x|，123425f 6( x)＝ x sin x－2.(1)此刻从盒子中随意取 1 张卡片，记事件A为“这张卡片上函数是偶函数”，求事件A 的概率；(2)此刻从盒子中随意取两张卡片，记事件 B 为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件 B 的概率；(3)从盒中不放回逐个抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，不然持续进行，记事件 C为“停止时抽取次数为2”，求事件 C的概率．16.( 本小题满分 12 分 )C： y2＝2px( p>0)在直角坐标系xOy 中，直线 l ：y＝ t ( t ≠0)交 y 轴于点 M，交抛物线于点 P， M对于点P的对称点为 N，连结 ON并延伸交 C于点 H.|OH|(1)求|ON|；(2)除 H之外，直线 MH与抛物线 C能否有其余公共点？说明原因．必考 卷Ⅱ ( 分 50 分 )一、 ： 本大 共 2 个小 ， 每小 5 分，共 10 分．在每小 出的四个 中，只有一 是切合 目要求的．17．古希腊人常用小石子在沙 上 成各样形状来研究数．比方：他 研究1 中的 1，3， 6，10，⋯，因为 些数能 表示成三角形，将其称 三角形数； 似地，称 2 中的 1，4，9，16，⋯， 的数 正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是 ()A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378－ x 2＋2x （－ 2≤x ≤0），18．已知函数 f ( x ) ＝1若 ( ) ＝ | f ( )| － ax － a的 象与 xg xxlnx ＋1（0<x ≤2），有 3 个不一样的交点， 数 a 的取 范 是 ()1 11 ln 3A. 2e ， eB. 2e ，3C. ln 3 1D. ln 3 13 ，e 3 ，2e二、填空 ：本大 共1 个小 ，每小 5 分，共 5 分． 把答案填在答 卷 号后的横 上．19．已知点(，0) 双曲 的 x2 － x2 ＝ 1( ， >0) 右焦点， 点P 双曲 左支上一点，F ca2 b2a bPFx － c2y2＝ b2QPQ 2QF__________段与＋ 相切于点 ．3 9 ，且 →＝→， 双曲 的离心率三、解答题：本大题共 3 小题，共 35 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．20． ( 本小题满分10 分 )如图，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形， AC∩ BD＝O，A1O⊥底面 ABCD，AB＝ AA1＝2.(1)证明：平面 A1CO⊥平面 BB1D1D；(2)若∠ BAD＝60°，求二面角 B－ OB1－ C的余弦值．21． ( 本小题满分12 分 )x2y2| OA| ＝| OF| ＝已知椭圆a2＋b2＝1( a>b>0) 的右焦点为F，A为短轴的一个端点且2(其中 O为坐标原点)．(1) 求椭圆的方程；(2) 若C、D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M知足MD⊥ CD，连结 CM，交椭圆于点P，试问 x 轴上能否存在异于点C的定点 Q，使得以存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明原因．MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若22． ( 本小题满分13 分 )已知函数 g( x)＝ x e(2－a) x( a∈R)，e为自然对数的底数．(1)议论 g( x)的单一性；(2)若函数 f ( x)＝ln g( x)－ ax2的图象与直线 y＝ m( m∈R)交于 A、 B 两点，线段 AB中点的横坐标为 x0，证明： f ′( x0)<0( f ′( x)为函数 f ( x)的导函数)．湖南师大附中2016－ 2017 文，请据需要手工删加)湖南师大附中学年度高二第一学期期末考试理科数学参照答案－2016 －2017 学年度高二第一学期期末考试理科数学参照答案必考试卷Ⅰ( 这是边一、选择题．题 号答 案1A 2B 3A 4D 5D 6B 7D 8B 9D10C210.C【分析】 f ′(x ) ＝1－ 3cos 2 x ＋ a cos x ≥ 0 对 x ∈ R 恒成立，22425故 1－ 3(2cosx － 1) ＋ a cos x ≥0，即 a cos x －3cos x ＋3≥0恒成立， 4 254 2 5即－ 3t ＋at ＋ 3≥0对 t ∈[ － 1， 1] 恒成立，结构 f ( t ) ＝－ 3t＋at ＋ 3，张口向下的二1次函数 f ( t ) 的最小值的可能值为端点值，故只要保证f （－ 1）＝3－t ≥0，11解得－ 3f （1）＝3＋t ≥0，1≤a ≤ .3二、填空题．11．真 12． 2513．(2)(4)【分析】对于 (1),f ( x) | x －1 |1(2) ，取＝ 3＋ 2>0，不存在“给力点”；对于99101x 0＝1， f ( x ) 在 ( －∞， 1) 上有零点 x ＝ 100，在 (1 ，＋∞ ) 上有零点 x ＝100，所以 f ( x ) 存在“给力点” 1.对于 (3) ， f ′ ( x ) ＝ ( x ＋ 1)( x － 1) ，易知 f ( x ) 只有一个零点．三、解答题．37 1514．【分析】 (1) a 1＝ 1， a 2＝2， a 3＝ 4，a 4＝ 8 .(3 分)2n －1猜想： a n ＝ 2n －1.(5 分 )(2) 证明以下：①当 n ＝ 1 时， a 1＝1，猜想成立； (6 分 )2k －1②假定 n ＝ k ( k ≥2) 时猜想成立，即a k ＝ 2k －1， (7 分 )2k － 1此时， S k ＝ 2k － 2k －1， S k ＋ 1＝ 2( k ＋1) － a k ＋ 1，即 S k ＋ a k ＋ 1＝ 2( k ＋ 1) － a k ＋ 1，k ＋ 1＝ 1 ＋1)－ k ＝ 1 ＋1)－ 2k － 2k －1 ] ＝ 2k ＋1－1 ，a2[2( kS ]2[2( k2k －1 2（k ＋1）－ 1所以， n ＝ k ＋ 1 ，猜想也成立，(10 分)2n － 1*由①②知， a n ＝ 2n －1 n ∈N 成立． (11 分 )15．【分析】 (1) 由 意知， f 3( x ) ，f 4( x ) 是奇函数， f 2( x ) ，f 5( x ) ，f 6( x ) 是偶函数， f 1( x )是非奇非偶函数， (3 分)1故 P ( A ) ＝ 2.(4 分) (2) 因 基本领件 数15，此中两个函数相加 奇函数的只有 f 3( x ) ＋ f 4( x ) ，即事件B 所包括的基本领件 数1，1故 P ( B ) ＝ 15.(8 分)(3) 因 基本领件 数 6×5＝ 30，事件 C 生当且 当第一次取的卡片上是奇函数或 非奇非偶函数，第二次取的卡片上是偶函数，故事件C ，93所包括的基本领件 数3×3＝ 9， P ( C ) ＝30＝ 10.(12 分 )t216．【分析】 (1) 由已知得 M (0 ， t ) ， P 2p ， t .(2 分 )t2又 NM 对于点 P 的 称点，故N p ，t ， (3 分 )pON 的方程 y ＝ t x ， (4 分)2222t2代入 y ＝2px 整理得 px － 2t x ＝0，解得 x 1＝ 0， x 2＝ p ， (5 分 )2t2所以 Hp ，2t .(6分 )|OH|所以 N OH 的中点，即 |ON| ＝ 2.(8 分 )(2) 直 与抛物 C 除 H 之外没有其余公共点．(9 分)MHp直 MH 的方程 y － t ＝ 2t x ， (10 分 )2t222即 x ＝ p ( y － t ) ．代入 y ＝2px 得： y －4ty ＋ 4t ＝ 0， 解得 y 1＝y 2＝ 2t ， (11 分 )即直 MH 与 C 只有一个公共点，所以除H 之外直 MH 与 C 没有其余公共点．(12 分)必考 卷Ⅱ一、 ．17． C 【分析】 察三角形数： 1， 3， 6，10，⋯， 数列 { a n } ， a 1＝ 1，a 2＝ a 1＋ 2，a 3＝ a 2＋ 3，⋯a n ＝ a n － 1＋ n .∴ a 1＋ a 2＋⋯＋ a n ＝ ( a 1 ＋a 2＋⋯＋ a n －1) ＋ (1 ＋ 2＋ 3＋⋯＋ n ) ，∴ n ＝ 1＋2＋ 3＋⋯＋n＝ n （n ＋1） ，a2察正方形数：1， 4， 9， 16，⋯，数列{ b n} ，b n＝n2. 把四个的数字，分代入上述两个通公式，可知使得n 都正整数的只有 1 225.18．C【分析】化| f ( x)|＝ ax＋ a，即两个函数象有 3 个交点，分作出象，剖析交点个数状况，求出切斜率即可．二、填空．19. 5 【分析】如，左焦点 F1，接 PF1， QC，然 CF1＝2CF，→→由已知 PQ＝2QF，PF1平行于 CQ，故 PF1＝3CQ＝ b，又依据双曲的定得：PF－ PF1＝2a PF＝2a＋ b，在直角三角形1222b＝2a，PFF 中，(2 c) ＝b＋ (2 a＋b)即：2＝42c2＝5 2＝ .b a a e5三、解答．20．【分析】 (1) 因 A O⊥平面ABCD，BD平面 ABCD，1所以⊥.(1分)1因 ABCD是菱形，所以 CO⊥ BD.因 1 ∩＝，AOCOO所以 BD⊥平面 A1CO.(2分)因BD平面 1 1 ，BBDD所以平面 BBDD⊥平面 A CO.(3分 )111→→→(2) 解法一：因A1O⊥平面 ABCD， CO⊥BD，以 O原点， OB， OC， OA1方向 x，y， z 正方向成立如所示空直角坐系．因 AB＝ AA1＝2，∠ BAD ＝ 60°，所以 OB ＝ OD ＝ 1，OA ＝ OC ＝ 3，2OA 1＝ AA 12－ OA ＝ 1.(4 分 )则 B (1，0，0) ， C ( 0， 3，0) ， A ( 0，－ 3，0)， A 1( 0，0，1) ，→ →→ → → 3， 1) .(5 分)所以 BB1＝ AA1＝( 0， 3，1) ， OB1＝OB ＋ BB1＝( 1， 设平面 OBBn (x ，y ，z )，1 的法向量为＝因为 →＝( 1， 0，0 ) ， → ＝ ( 1， 3，1) ，OB OB1x ＝0，所以x ＋ 3y ＋z ＝0.令 y ＝1，得 n ＝( 0，1，－ 3).(7 分 )同理可求得平面 OCB 1的法向量为 m ＝( 1，0，－ 1) .所以 cos， m＝36 分 )＝.(8n 2 24因为二面角 B －OB 1－ C 的平面角为钝角，所以二面角 B －OB 1－ C 的余弦值为－64 .(10 分)解法二：由 (1) 知平面 A 1CO ⊥平面 BB 1D 1D ， 连结 A 1C 1 与 B 1D 1 交于点 O 1， 连结 CO 1， OO 1， 因为 AA 1＝ CC 1，AA 1∥ CC 1，所以 CAA 1C 1 为平行四边形．因为 O ， O 1 分别是 AC ， A 1C 1 的中点， 所以 OA 1O 1 C 为平行四边形．且 O 1C ＝ OA 1＝ 1.因为平面 A 1CO ∩平面 BB 1D 1D ＝ OO 1，过点 C 作 CH ⊥ OO 1于 H ，则 CH ⊥平面 BB 1D 1D .过点 H 作 HK ⊥ OB 于 K ，连结 CK ，则 CK ⊥ OB .11所以∠ CKH 是二面角 B － OB 1－ C 的平面角的补角．(5 分)在 Rt △ OCO 1中， CH ＝O1C ×OC 1× 33OO1＝2＝ 2.(6 分 )在△ OAB 中，因为 A O ⊥ A B ，所以 OB ＝ OA 12＋ A B 12＝ 5.1 1 1 1 1 1 1因为 A 1B 1＝CD ， A 1B 1∥ CD ，所以 B 1C ＝ A 1D ＝ A1O2＋OD2＝ 2.1221因为 B C ＋OC ＝ OB 21，所以△ OCB 为直角三角形． (7 分 )所以 CK ＝CB1×OC 2× 36 OB1＝5 ＝.(8 分)5所以 KH ＝ CK2－CH2＝ 3 .(9 分 )2 5KH6所以 cos ∠ CKH ＝＝ .CK 4所以二面角 －1－ 的余弦值为－6 .(10 分 )BOBC421．【分析】 (1) 由已知： b ＝ c ＝ 2，∴ a 2＝4，x2 y2故所求椭圆方程为4＋ 2＝1(4 分) (2) 由(1) 知， C ( －2， 0)，D (2 ，0)．由题意可设 CM ： y ＝ k ( x ＋2) ， P ( x 1 ，y 1) ，则 M (2 ， 4k ) ，x2 y2由4＋ 2＝1，整理得 (1 ＋ 2k 2) x 2＋8k 2x ＋ 8k 2－ 4＝0， (6 分)y ＝k （x ＋ 2），8k2－ 4方程明显有两个解，由韦达定理：x 1x 2 ＝1＋2k2，2－4k24k得x 1＝1＋2k2，y 1＝1＋2k2，2－4k2 4k所以 P 1＋2k2，1＋2k2 ，设 Q ( x 0，0) ， (8 分)→ →若存在知足题设的Q 点，则 MQ ⊥ DP ，由 MQ ·DP ＝ 0，8k2x0整理，可得 1＋2k2＝ 0 恒成立，所以x 0＝ 0.(12 分 )故存在定点 Q (0 ， 0) 知足题设要求．22．【分析】 (1) 由题可知， g ′ (x ) ＝e (2 －a) x ＋ x e (2 －a) x (2 － a ) ＝ e (2－a) x[ ( 2－a ) x ＋ 1] ．(2 分 )1① a <2 时，令 g ′ ( x ) ≥0，则 ( 2－a ) x ＋1≥0，∴ x ≥ a －2，1令 g ′( x ) <0，则 ( 2－a ) x ＋ 1<0，∴ x <a － 2，此时函数 y ＝ g ( x ) 在 －∞，1 上单一递减，在 1 ，＋∞ 上单一递加． (3 分 )a － 2 a －2②当 a ＝ 2 时， g ′ ( x ) >0， y ＝g ( x ) 在 R 上单一递加． (4 分 )1③当 a >2 时，令 g ′ ( x ) ≥0，则 (2－a ) x ＋1≥0，∴ x ≤ a －2，令 g ′( x ) <0，则 ( 2－a ) x ＋ 1<0，∴1x >a － 2，此时函数 y ＝ g ( x ) 11在 －∞， a － 2上单一递加，在a －2，＋∞ 上单一递减． (5分 )(2) ∵f (x ＝ln (xe （2－a ）x －2＝ lnx ＋ (2－a－ 2 x>0， (6分))) ax )) xax ()1(2x ＋1 ) (∴ f ′( x ) ＝x ＋ ( 2－a ) － 2ax ＝－ax －1 ，(7 分)x当 a ≤0时， f ′ ( x ) >0，函数在 ( 0，＋∞ ) 上单一递加，不行能有两个交点，故a >0.(8分)11当 a >0 时，令 f ′ ( x ) ≥0，则 0<x ≤ a ；令 f ′ ( x ) <0，则 x >a .故 y ＝f ( x ) 在 0，1上单一递加，在1，＋∞ 上单一递减． (9分 )aa1不如设 A ( x1，m ) ， B ( x2，m ) ，且 0<x 1<a <x 2，要证 f ′ ( x0) <0， 需证 ax 0－ 1>0，1 2 2 f ( x2) <f 2，(10 分 )即证 x 0>x 1＋ x 2>x 2> － x 1－x1 aaaa2又 f ( x1) ＝f ( x2) ，所以只要证 f ( x1) <f a －x1 .1即证：当 0<x <a 时，2 fa －x － f ( x ) >0.(11 分 )2设 F (x ) ＝f a － x －f ( x ) ＝ ln ( 2－ax ) －ln ( ax ) ＋ 2ax －2( ★)2a12( ax －1)则 F ′( x ) ＝－ 2－ax － x ＋ 2a ＝－ x ( 2－ ax )<0，∴ F ( x ) ＝ f21 上单一递减， (12 分)－x － f ( x ) 在 0，aa12 1 1又 F a ＝ f a －a － f a ＝ 0，2故 F (x ) ＝f a － x －f ( x ) >0.(13 分)【注】假如学生在 ( ★) 式开始直接剖析函数的单一性， 获得函数为单一递减函数， 再证明结论，也可给满分．。
2019-2020学年 湖南省长沙市湖南师大附中 高二上学期第二次大练习数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市湖南师大附中高二上学期第二次大练习数学试题一、单选题 1．21ii-（i 为虚数单位）的值等于（ ）A ．1 BC D ．2【答案】B【解析】根据复数的运算法则以及复数模的概念，可得结果 【详解】()()()22212221111i i i i i i i i i ++==-+-- 由21i =-，所以222112i i i i -==--所以211ii i=-==-故选：B 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的模，主要是计算，属基础题. 2．下列说法中错误的是（ ）A ．“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件B ．命题“,sin 1x R x ∀∈≤”的否定为“00,sin 1x R x ∃∈>”C ．命题“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是“若,x y 都不是偶数，则x y +不是偶数”D ．设命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则()()p q ⌝∨⌝为真命题 【答案】C【解析】采用逐一验证法，根据充分条件、必要条件的概念，命题的否定，否命题概念，以及真值表，可得结果. 【详解】由23201x x x -+>⇒<或2x >，故“1x <”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 B 正确特称命题的否定式全称命题，命题的否定只否定结论 C 错，“若,x y 都是偶数，则x y +是偶数”的否命题是 “若,x y 不都是偶数，则x y +不是偶数” D 正确命题p ：所有有理数都是实数，是真命题 命题q ：正数的对数都是负数，比如：lg10020=>，所以命题q 是假命题 则()()p q ⌝∨⌝是真命题. 故选：C 【点睛】本题主要判断命题的真假，审清题意以及知识的交叉应用，属基础题.3．在等比数列{}n a 中，12846,6,5n n a a a a a a +>⋅=+=，则46a a 等于（ ）A ．56B ．65C ．23D ．32【答案】C【解析】根据4268a a a a =⋅⋅，然后与465a a +=，可得46,a a ，最后简单计算，可得结果. 【详解】在等比数列{}n a 中，4268a a a a =⋅⋅ 由28466,5a a a a ⋅=+=所以464656a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，又1n n a a +>，所以462,3a a ==所以4623a a =【点睛】本题考查等比数列的性质，重在计算，当m n p q +=+，在等差数列中有m n p q a a a a +=+，在等比数列中m n p q a a a a =，灵活应用，属基础题.4．ABC ∆中，角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若cos cA b<，则ABC ∆为( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】B【解析】由已知结合正弦定理可得sinC ＜sinBcosA,利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin （A+B ）＜sinBcosA,整理可得有sinAcosB ＜0,结合三角形的性质可求. 【详解】∵A 是△ABC 的一个内角，0＜A ＜π， ∴sinA ＞0． ∵cb＜cosA ， 由正弦定理可得，sinC ＜sinBcosA, ∴sin （A+B ）＜sinBcosA,∴sinAcosB+sinBcosA ＜sinBcosA, ∴sinAcosB ＜0 , 又sinA ＞0, ∴cosB ＜0 , 即B 为钝角, 故选B ．5．如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种【答案】C【解析】试题分析：设5个开关依次为1、2、3、4、5，由电路知识分析可得电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，依次分析开关1、2与3、4、5中至少有1个接通的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．解：根据题意，设5个开关依次为1、2、3、4、5，若电路接通，则开关1、2与3、4、5中至少有1个接通，对于开关1、2，共有2×2=4种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的有4-1=3种情况，对于开关3、4、5，共有2×2×2=8种情况，其中全部断开的有1种情况，则其至少有1个接通的8-1=7种情况，则电路接通的情况有3×7=21种；故选C ． 【考点】分步计数原理点评：本题考查分步计数原理的应用，可以用间接法分析开关至少有一个闭合的情况，关键是分析出电路解题的条件． 6．设函数()12f x x b=+-，若,,a b c 成等差数列（公差不为0），则()()f a f c +=（ ） A ．2 B ．4C ．bD ．2b【答案】B【解析】根据等差数列的性质可得2b a c =+，根据函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称，可得结果. 【详解】 由题可知： 函数()12f x x b=+-关于(),2b 对称 又,,a b c 成等差数列（公差不为0），则2b a c =+， 所以()()()(),,,a f a c f c 关于(),2b 对称 所以()()224f a f c +=⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了等差数列的性质，还考查了反比例型函数的对称性，关键在于函数的关于(),2b 对称，熟悉基础的函数以及函数的平移知识（左加右减），属中档题. 7．已知ABC ∆为等腰三角形，满足3AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=u u u v u u u v u u u vA ．有最大值8B ．是定值2C ．有最小值1D ．是定值4【答案】D【解析】设AD 是等腰三角形的高.将AP u u u r 转化为AD DP +u u u v u u u v ，将AB AC u u u v u u u v +转化为2AD uuu r，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项. 【详解】设AD 是等腰三角形的高，长度为312-=.故()AP AB AC u u u v u u u v u u u v ⋅+=()()2222222224AD DP AD AD DP AD AD +⋅=+⋅==⨯=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v .所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.8．在学校举行的演讲比赛中，共有6名选手进入决赛，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】D【解析】计算6位选手演讲的排法有66A ，然后计算甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1444C A ，最后简单计算，可得结果. 【详解】由题可知：6位选手演讲的排法有66A甲不在第一个也不在最后一个演讲排法数为1545C A所以所求概率为15456623C A A =故选：D 【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，重在审清题意，排列、组合方法：特殊元素法，特殊位置法，捆绑法，插空法等，熟练使用，属基础题.9．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F ∆的最小内角的大小为30o ，则双曲线C 的渐近线方程是（ ） A．0x ±= B0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=【答案】B【解析】假设点P 在双曲线的右支上，由题得1212126,4,2.2PF PF aPF a PF a PF PF a⎧+=⎪∴==⎨-=⎪⎩ 12|22F F c a =Q ，所以最短边是2,PF 最小角为12PF F ∠.由余弦定理得2220224164242cos30,30.a a c a c c a =+-⨯⨯⨯∴-+=2222222230,3,3,2.ce e c a a b a b a a∴-+=∴=∴==∴+=∴=ba∴=0y ±=，故选B. 10．已知椭圆()222222210,x y a b c a b c a b +=>>>=+的左右焦点分别为12,F F ，若以2F 为圆心，b c -为半径作圆2F ，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且PT 的)a c -，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ） A ．30,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．1,52⎡⎢⎣⎭【答案】B 【解析】根据PT =2PF 最小值为a c -，可知min PT ，然后min()2c PTa ≥-，结合c e a =，计算，可得结果. 【详解】由题可知：PT =由2PF 最小值为a c -，则minPT=又PT )a c -即min))PTc a a c ≥≥-⇒-)2c a ≥- 化简可得：()22()14c a c b -≥-，则()2a c b c -≥- 所以2a c b +≤，由222a b c =+，所以2222a a c c +⎛⎫≤ ⎪⎝+⎭化简可得：223250a ac c --≥，所以23250c c a a ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，由c e a =所以25230e e +-≥，所以()()5310e e -+≥ 则1e ≤-或35e ≥，又()0,1e ∈，所以3,15e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭又b c >，所以22222b c a c c >⇒->，所以212c a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则02e <<综上所述：3,52e ⎡∈⎢⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查椭圆离心率的应用，离心率是热点内容，本题关键在于利用转化法，PT =，熟悉常用结论a c PF a c -≤≤+，把握细节，中档题.11．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，若函数()f x 满足：()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，()()222xf x f x e --=，则下列判断一定正确的是（） A ．()()10f ef < B ．()()12ef f < C ．()()303e f f >D ．()()514e f f -<【答案】C【解析】先设函数()()x f x g x e=，求导可得函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数，再由2(2)()xx f x f x e e--=，得()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，再结合函数()g x 的性质逐一判断即可. 【详解】解：令()()x f x g x e = ，则''()()()xf x f xg x e-= 因为()()()1'0x f x f x --<⎡⎤⎣⎦， 所以当1x >时，'()0g x <，当1x <时，'()0g x >，即函数()g x 在(,1)-∞为增函数，()g x 在(1,)+∞为减函数， 又()()222xf x f x e--=，所以2(2)()x x f x f x e e--=，则 ()(2)g x g x =-，即函数()g x 的图像关于直线1x =对称，则(0)(1)g g <，即()()10f ef >即A 错误；(1)(2)g g >，即()()12ef f >即B 错误；(0)(3)g g >，即03(0)(3)f f e e>，即()()303e f f >，即C 正确；(1)(4)g g ->，即()()514e f f ->，即D 错误.故选C. 【点睛】本题考查了分式函数求导、利用导数的符号研究函数的单调性，再结合函数的单调性、对称性判断值的大小关系，重点考查了函数的性质，属中档题. 12．已知()3231f x ax x =-+，定义()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，若()()g x xf x '=，且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．13,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】C【解析】利用等价转化法可得()()f x g x ≥，然后使用参数分离的方法，并构造新函数，研究新函数的单调性以及计算最值，并与a 比较，可得结果. 【详解】 由题可知：()()(){}()()()()()(),,max ,,f x f x g x h x f x g x g x f x g x ⎧≥⎪==⎨<⎪⎩且存在[]01,2x ∈使()()00h x f x = 等价于()()f x g x ≥在[]1,2有解 由()3231f x ax x =-+，则()'236fx ax x =-又()()g x xf x '=，所以()3236g x ax x =- 所以32323136ax x ax x -+≥-在[]1,2有解即3132a x x ≤+在[]1,2有解， 令()313h x x x=+，()'4233h x x x =--所以[]1,2x ∈，则()'0h x <故()313h x x x=+在[]1,2单调递减 所以()()max 14h x h == 所以242a a ≤⇒≤ 故选：C 【点睛】本题考查等价转化思想以及参数分离方法的使用，关键在于得出()()f x g x ≥在[]1,2有解，熟练使用参数分离的方法，考验分析能力以及计算能力，属难题.二、填空题 13．设2422sin,sin ,tan 555a b c πππ===，则,,a b c 的大小关系为_______________.【答案】c b a >>【解析】利用诱导公式，可得sin5a π=，根据sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，可得,a b 大小，然后根据tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，以及中间值1比较，可得结果. 【详解】 由题可知：24sinsin 5sin 555a ππππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭ 由sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增， 所以20sinsin155a b ππ<=<=< 又tan y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭的单调递增 所以2tantan 154c ππ=>= 所以c b a >> 故答案为：c b a >> 【点睛】本题考查利用正切函数，正弦函数单调性比较式子大小，一般把角度化为同一个单调区间中，同时也会借用中间值，比如：0，1等，进行比较，审清题意，细心计算，属基础题.14．已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m <++有解，则实数m 的取值范围是_____________. 【答案】()(),42,-∞-+∞U【解析】利用等价转化法，可得()2min 22m m x y >++，根据基本不等式，可得()min 2x y +，简单计算，最后可得结果.【详解】由题可知：若222x y m m <++有解 则()2min 22m m x y >++因为211x y+=，且0,0x y >>所以()2122x y x y x y ⎛⎫+=++⎪⎝⎭42448x y x y y x +=++≥+= 当且仅当4x y y x=，即2x y =时，取等号 所以228m m +>，则()()2280420m m m m ->⇒+->+所以4m <-或2m >，即()(),42,m ∈-∞-⋃+∞ 故答案为：()(),42,-∞-+∞U 【点睛】本题考查能成立问题以及基本不等式的应用，关键在于利用基本不等式求得28x y +≥，对于“1”在基本不等式中的应用，细心观察，属基础题.15．已知函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数，在[]0,3上单调递减，并且()22225a f m f m m ⎛⎫-->-+- ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是______.【答案】112m ≤<. 【解析】根据函数定义域的对称性求出a ,再利用函数的单调性及偶函数得到不等式，求解即可. 【详解】因为函数()f x 在定义域[]2,3a -上是偶函数， 所以230a -+=，解得5a =，所以可得()()22122f m f m m -->-+- 又()f x 在[]0,3上单调递减， 所以()f x 在[]3,0-上单调递增,因为210m --<，2222(1)10m m m -+-=---<所以由()()22122f m f m m -->-+-可得，22221223103220m m m m m m ⎧-->-+-⎪-≤--≤⎨⎪-≤-+-≤⎩解得1122m -≤<. 故m 的取值范围是1122m -≤<. 【点睛】本题主要考查了偶函数的定义域，偶函数的单调性，不等式的解法，属于难题.16．已知函数(),0ln ,0x a e x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()0f f x =有且只有一个实数解，则实数a 的取值范围是_____________________. 【答案】()(),00,1a ∈-∞U【解析】令()t f x =，利用分类讨论0,0,0a a a =><，通过()0f t =，计算t ，然后比较(),y t y f x ==图象交点个数，可得结果 【详解】令()t f x =，方程()()0ff x =有且只有一个实数解即等价于(),y t y f x ==图象只有一个交点 当0a =时，()0,0ln ,0x f x x x ≤⎧=⎨>⎩则0000t t ≤⎧⇒≤⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩如图若1t =时，有1个交点 当0t ≤时，有无数个交点， 所以0a =，不符合题意当0a >时， 则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，要使(),y t y f x ==图象只有一个交点 则011ae a <⇒<，所以01a << 当0a <时， 则00tt t ae ≤⎧⇒∈∅⎨=⎩或01ln 0t t t >⎧⇒=⎨=⎩ 如图当1t =时，(),y t y f x ==图象只有一个交点 所以0a <综上所述：()(),00,1a ∈-∞U 故答案为：()(),00,1a ∈-∞U 【点睛】本题考查镶嵌函数的应用，掌握等价转化思想，化繁为简以及数形结合，形象直观，考验分析能力以及逻辑推理能力，属难题.三、解答题17．电动摩托车的续航里程，是指电动摩托车在蓄电池满电量的情况下一次能行驶的最大距离.为了解A ，B 两个不同型号电动摩托车的续航里程，现从某卖场库存电动摩托车中随机抽取A ，B 两个型号的电动摩托车各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值相等. （1）求a 的值；（2）求A 型号被测试电动摩托车续航里程标准差的大小；（3）从被测试的电动摩托车中随机抽取A ，B 型号电动摩托车各1台，求至少有1台的续航里程超过122km 的概率. （注：n 个数据12,,,n x x x ⋯，的方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L ，其中x 为数据12,,,n x x x ⋯的平均数） 【答案】（1）127；（2（3）2125【解析】（1）分别计算A ，B 两个型号被测试电动摩托车续航里程的平均值，然后根据平均值相等，可得结果.（2）根据（1）的结论，计算A 型号被测试电动摩托车续航里程方差2A s ，然后可得A s （3）先计算抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数1155C C ，然后计算没有1台续航里程超过122km 的数目，最后求比值，可得结果. 【详解】（1）A 型续航里程的平均数：120+125+122+124+124=1235A x =B 型续航里程的平均数：118+123+127+120+488=55B a a x +=又B A x x =，所以127a =（2）由()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦L A 型号被测试电动摩托车续航里程方差：()()()()()2222223211115A s ---⎡⎤=+-+-+⎣+⎦则23.2A s =（km 2）所以标准差为A s =（3）抽取A ，B 型号电动摩托车各1台的总数115525C C = 没有1台续航里程超过122km 的数目为11224C C =所以至少有1台的续航里程超过122km 的概率：42112525P =-= 【点睛】本题考查统计量的计算，以及古典概型的应用，重在于对数据的处理，审清题意，细心计算，掌握基本统计量：平均数，方差，标准差，中位数，卡方等计算方法，属基础题18．已知向量2cos ,1,cos,3cos 22x x a b x π-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r . （1）当a b ⊥r r时，求2cos sin 2x x +的值；（2）设函数()()f x a b a =-⋅r r r，在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()4,f A a ==ABC ∆的面积S 的最大值.【答案】（1）710；（2）52【解析】（1）向量垂直的坐标表示，可得tan 3x =，所求式子利用二倍角正弦公式以及平方关系，结合弦化切可得22tan 1tan 1x x ++，然后简单计算，可得结果. （2）根据向量的坐标运算，以及辅助角公式，可得()f x ，根据()4f A =，可得2A π=，然后用勾股定理以及基本不等式，可得bc 的最大值，最后根据三角形面积公式，可得结果. 【详解】（1）由a b ⊥r r，所以0a b ⋅=r r ，又2cos ,12x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭rcos ,3cos sin ,3cos 22x x b x x π-⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r所以2cossin 3cos 3cos sin 022x x x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭又cos 0x ≠，所以tan 3x =22222cos 2sin cos 2tan 1cos sin 2cos sin tan 1x x x x x x x x x +++==++ 所以222317cos sin 23110x x ⨯++==+ （2）2cos +sin ,13cos 22x x a b x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭r r所以()2cos +sin 2cos 13cos 222x x xf x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 则()24cos2sin cos 13cos 222x x xf x x =++- 则()()21cos sin 13cos f x x x x =+++- 所以()sin cos 334f x x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭由()4f A =344A π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭则sin 42A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 由()0,A π∈，所以3,444A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以442A A πππ-=⇒=所以可知三角形ABC ∆为直角三角形则2222a b c bc =+?（当且仅当b c =时，取等号）又a =，所以5bc ≤ 所以1522S bc =? 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及二倍角公式的使用，还考查了辅助角公式以及基本不等式的应用，本题主要就是在于计算，考验分析能力以及计算能力，注意知识的交叉应用，属中档题19．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前三项和为9，且137,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）分别求数列{}n a ，{}n b 的前n 项和,n n S T ； （2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n K ，设n n n nS T c K =，求证：()*1n n c c n N +>∈. 【答案】（1）1n a n =+，2nn b =，()32n n n S +=，122n nT+=-；（2）证明见详解【解析】（1）根据等差数列的前n 项和公式以及通项公式，结合等比数列的性质，可得()()1211133926a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，可得1,a d ，进一步可得q ，然后利用公式法，可得结果. （2）根据（1）的结论可得n n a b ，然后使用错位相减法求和可得n K ，进一步得到n c ，然后使用作差法可得结果. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠， 等比数列{}n b 的公比为q 则由题可知：()()112322317111339926a d a a a a a a a d a a d +=⎧++=⎧⎪⇒⎨⎨=+=+⎩⎪⎩ 所以121a d =⎧⎨=⎩或130a d =⎧⎨=⎩（舍）所以()111n a a n d n =+-=+ 由11232,4b a b a ====，则212b q b == 所以2nn b =，()()1+322n n a a n n n S +==，()111221nn n b q T q+-==--（2）由（1）可知：()12n nn n a b =+⋅ 所以()23223242...12nn n K =⋅+⋅+⋅+++⋅①则()2341223242 (12)2n n n K +=⋅+⋅+⋅+++⋅②所以①-②可得：()()2231222...212n n n n K +=++++-+⋅-所以()()1211412212212n n n nn n K -++-=+-+⋅=-⋅--所以12n n K n +=⋅()()()()111322222321n n n n n n n nn S T c K n nn ++++-+-=⋅==()()()()121142122321n n n n n n c n n c ++++-=-+--+则1122202n n n n n c c +++++-=> 所以()*1n n c c n N +>∈【点睛】本题考查数列的综合应用，识记公式，掌握数列求和的常用方法，比如：错位相减，裂项相消法，分组求和等，同时熟悉式子比较大小，常用作差法，考验计算能力，属中档题20．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆为正三角形，点D 在棱BC 上，且3CD BD =，点E 、F 分别为棱AB 、1BB 的中点．（1）证明：1//A C 平面DEF ；（2）若1A C EF ⊥，求直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）6. 【解析】（1）连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，证明出13AG BG =，结合条件3CD BD =可得出1//A C DG ，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出1//A C 平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，证明出EM ⊥平面ABC ，且CE AB ⊥，设等边三角形ABC 的边长为2，并设1AA a =，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，由1A C EF ⊥得出a 的值，并计算出平面DEF 的法向量，利用空间向量法求出直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值. 【详解】（1）如下图所示，连接1AB ，连接1A B 分别交EF 、1AB 于点G 、O ，再连接DG ，E Q 、F 分别为AB 、1BB 的中点，则1//EF AB ，EF BOG =Q I ，则G 为OB 的中点，在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，则四边形11AA B B 为平行四边形，11A B AB O =Q I ，O ∴为1A B 的中点，11124BG BO A B ∴==，13A G BG ∴=， 13AGCD BD BG∴==，1//AC DG ∴， 1A C ⊄Q 平面DEF ，DG ⊂平面DEF ，1//AC ∴平面DEF ；（2）取11A B 的中点M ，连接EC 、EM ，Q 四边形11AA B B 为平行四边形，则11//AB A B ，E Q 、M 分别为AB 、11A B 的中点，1//AE A M ∴，所以，四边形1AEMA 是平行四边形，1//EM AA Q ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，EM ∴⊥平面ABC ，ABC ∆Q 是等边三角形，且点E 是AB 的中点，CE AB ∴⊥，以点E 为坐标原点，EA 、EM 、EC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系E xyz -，设ABC ∆的边长为2，1AA a =，则点()1,0,0A 、()11,,0A a 、(10,3C a 、(3C 、()0,0,0E 、334D ⎛- ⎝⎭、1,,02a F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(11,3AC a =--u u u r ，1,,02a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，1A C EF ⊥Q ，则21102a AC EF ⋅=-=u u u r u u u r ，得2a = (113AC AC ==-u u u u r u u u r Q ，33,0,44ED ⎛=- ⎝⎭u u u r ，21,2EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 设平面DEF 的法向量为(),,n x y z =r ，由3304420n ED x z n EF x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v ，得23y x z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.令1x =，可得2y ，3z =DEF 的一个法向量为(2,3n =r，1111116cos ,626A C n A C n A C n ⋅===⨯⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，因此，直线11A C 与平面DEF 所成的角的正弦值为66【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了直线与平面所成角的正弦值的计算，一般建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．已知抛物线()2:20E y px p =>经过点()2,4A ，过A 作两条不同直线12,l l ，其中直线12,l l 关于直线2x =对称.（1）求抛物线E 的方程及其准线方程；（2）设直线12,l l 分别交抛物线E 于,B C 两点（均不与A 重合），若以线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，求直线BC 的方程.【答案】（1）抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-；（2）20x y +-=【解析】（1）代值计算，可得结果.（2）假设直线AB 方程()42x t y =-+（且B 在直线2x =左边），然后抛物线方程结合韦达定理，可得B ，同理得C ，然后利用准线与圆的位置关系得t ，最后简单计算，可得结果.【详解】（1）由题可知：2444px p =⇒=所以抛物线E 的方程为28y x =，准线方程为2x =-（2）由题可知：设直线AB 方程()42x t y =-+设直线AC 方程()42x t y =--+且B 在直线2x =左边，则0t >另设()()1122,,,B x y C x y()22428321608x t y y ty t y x⎧=-+⇒-+-=⎨=⎩ 则114321684y t y t =-⇒=-所以()21142882x t y t t =-+=-+ 故()2882,84B t t t -+-同理()2882,84C t t t ++--所以线段BC 的中点()282,4t +-由线段BC 为直径的圆与抛物线E 的准线相切，则22822t =++2168t =+，化简可得：2210t -+=，所以2t =由0t >，所以t =所以()()64,64B C -+-则直线BC 的斜率为441BC k --==-所以直线BC 方程为()(164y x ⎡⎤=-⨯-+-⎣⎦即20x y +-=【点睛】本题考查抛物线与直线的几何关系应用，直线与圆锥曲线的应用常常联立方程，结合韦达定理，考验计算能力以及分析能力，属难题.22．已知函数()ln f x x x =，函数()2()2a g x x x a a R =+-∈. （1）求函数()f x 在[],1e e +上的最小值；（2）函数()()()F x f x g x =-，若()F x 在其定义域内有两个不同的极值点，求a 的取值范围；（3）记()()()F x f x g x =-的两个极值点分别为12,x x ，且12x x <.已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立，求λ的取值范围.注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数.【答案】（1）e ；（2）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）1λ≥ 【解析】（1）计算()'fx ，判断()'f x 在[],1e e +的符号，可得()f x 的单调性，可得结果.（2）计算()'F x ，采用等价转化思想，()'0F x =有两个不同的实数根，然后分离参数，并构建新的函数，判断新函数的单调性，求得极值，最后与a 比较大小，可得结果.（3）通过两边取对数以及1122ln ,ln ax x ax x ==，1212ln ln x x a x x -=-化简式子， 可得()()112212ln1x x x x x x λλ<++-，利用换元法并构造函数，根据导数研究函数的性质，可得结果 【详解】（1）由题可知：()'ln 1fx x =+ 当[],1x e e ∈+，()'0f x > 所以()f x 在区间[],1e e +单调递增，所以()()min f x f e e ==，（2）()2ln 2a F x x x x x a =--+，定义域为()0,∞+ 则()'ln F x x ax =-，由()F x 在其定义域内有两个不同的极值点则()'0F x =在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于ln x a x=在()0,∞+有两个不同的实数根 等价于函数()ln ,x y a h x x==图象在()0,∞+有两个交点 则()'21ln x h x x -= 令()'0h x >，则0x e << 令()'0h x <，则x e > 所以()h x 在()0,e 递增，在(),e +∞递减则()h x 有极大值为()1h e e=， 当(),x e ∈+∞时，ln y x =递增，且ln 1x >所以当(),x e ∈+∞时，()0h x >所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（3）由（2）可知：()'ln F x x ax =- 由()F x 两个极值点分别为12,x x所以1122ln 0,ln 0x ax x ax -=-=所以1122ln ,ln ax x ax x == 则12121212ln ln ln ln x x ax ax x x a x x --=-⇒=- 由1212e x x λ+<⋅，所以两边取对数可知：121ln ln x x λλ+<+，所以121ax a x λλ+<+ 则121a x x λλ+>+，所以121212ln ln 1x x x x x x λλ->-++ 由12x x < 所以()()112212ln 1x x x x x x λλ<++- 令()12,0,1x t t x =∈ 所以()()11ln t t t λλ+-<+，则()()ln 011t t t λλ+--<+ 若不等式112e x x λλ+<⋅恒成立等价于()()ln 011t t t λλ+--<+，()0,1t ∈恒成立 令()()()11ln t h t t t λλ+-=-+，()0,1t ∈ 则()()()()()()222'2111h t t t t t t t λλλλ--+=-=++ 当21λ≥，即1λ≥，可得()'0h t > 所以()h t 在()0,1单调递增，又()10h =所以当()0,1t ∈时，()0h t <恒成立当21λ<，即01λ<<时，若()20,t λ∈，()'0h t > 若()2,1t λ∈，()'0h t <所以()h t 在()20,λ递增，在()2,1λ递减 又()10h =，所以当()0,1t ∈时，()0h t <不恒成立综上所述：1λ≥【点睛】本题考查导数的综合应用，关键在于构造函数以及换元法的使用，考验分析能力，观察能力以及极强的逻辑推理能力，属难题.。
湖南师大附中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)检测含答案
湖南师大附中2019－2020学年度高二第一学期期末考试数学(理科)审题：高二数学备课组 时量：120分钟 满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数2i1－i在复平面内所对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设向量a ＝(1，0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a ∥bD ．a －b 与b 垂直3．设m ，n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γβ∥γ；②⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βm ∥αm ⊥β；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥βα⊥β；④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n nαm ∥α.其中正确的命题是A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④4．已知命题p ：x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x>sin x ，则下列判断正确的是A ．p 为真B ．綈q 为真C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为真5．若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上相异两点P 、Q 关于直线kx ＋2y －4＝0对称，则k 的值为A ．1B ．－1 C.12D ．26．已知f(x)＝sin x ＋3cos x(x ∈R )，函数y ＝f(x ＋φ)的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值可以是A.π2B.π3C.π4D.π67．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为 A ．1 B ．－1 C ．0 D ．28．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x ，据此估计，该社区一户年收入为15万元时家庭年支出为A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元9．若曲线f(x)＝xsin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于A ．－2B ．－1C ．1D ．210．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南师大附中高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．若a b > , 则下列不等式正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc >C ．a c b c ->-D ．22ac bc >【答案】C【解析】根据不等式性质，结合特殊值即可比较大小. 【详解】对于A ，当1,2a b ==-，满足a b >，但不满足22a b >，所以A 错误； 对于B ，当,0a b c >≤时，不满足ac bc >，所以B 错误；对于C ，由不等式性质“不等式两边同时加上或减去同一个数或式子，不等式符号不变”，所以由a b >可得a c b c ->-，因而C 正确；对于D ，当,0a b c >=时，不满足22ac bc >，所以D 错误. 综上可知，C 为正确选项， 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式大小比较，不等式性质及特殊值的简单应用，属于基础题. 2．在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】D【解析】由众数就是出现次数最多的数，可确定x ，题中中位数是中间两个数的平均数，这样可计算出y ． 【详解】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=.故选：D. 【点睛】本题考查众数和中位数的概念，掌握众数与中位数的定义是解题基础．3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π【答案】C【解析】试题分析：由三视图分析可知，该几何体的表面积为圆锥的表面积与圆柱的侧面积之和．，，所以几何体的表面积为．【考点】三视图与表面积．4．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m nB ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥I ，，，则n β⊥D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥【答案】D【解析】根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可找出正确选项． 【详解】选项A 错误，同时和一个平面平行的两直线不一定平行，可能相交，可能异面； 选项B 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面；选项C 错误，一个平面内垂直于两平面交线的直线，不一定和另一平面垂直，可能斜交；选项D 正确，由m α⊥，//m n 便得n α⊥，又n β⊂，βα∴⊥，即αβ⊥. 故选：D . 【点睛】本题考查空间直线位置关系的判定，这种位置关系的判断题，可以举反例或者用定理简单证明， 属于基础题.5．已知1,6,()2a b a b a ==⋅-=r r r r r ，则向量a r 与向量b r的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】试题分析：根据已知可得：2.2.3a b a a b -=⇒=rrr rr ，所以.1cos ,2.a b a b a b 〈〉==r r r rr r ，所以夹角为3π，故选择C【考点】向量的运算6．已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（ ） A ． B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】试题分析：，最短的弦长为，选C.【考点】直线与圆位置关系7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A ．2a ≤ B ．2a ≥ C ．52a ≥D ．52a ≤【答案】D【解析】根据题意得不等式对应的二次函数()21f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0∆=∆>∆<三种情况即可．【详解】由题意得：当02a ∆=⇒=±当()()22052251020222a a a a f f a a ⎧->⎧⎪⇒⇒<-<≤⎨⎨≥≥≤≤⎩⎪⎩V 或或或或 当022a ∆<⇒-<< 综上所述：52a ≤,选D. 【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围．解这类题通常分三种情况：0,0,0∆=∆>∆<．有时还需要结合韦达定理进行解决．8．在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若cos cos a Bb A=，则ABC V 的形状为 A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】由a b cosB cosA =，利用正弦定理可得sinA sinBcosB cosA=，进而可得sin2A=sin2B ，由此可得结论． 【详解】∵a b cosB cosA=， ∴由正弦定理可得sinA sinBcosB cosA= ∴sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A +2B=π ∴A=B 或A +B=2π ∴△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 故选D ． 【点睛】判断三角形形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.9．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，()()1618n n n S n T +=+．若nna Zb ∈，则n 的取值集合为（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2,3,4} C ．{1,2,3,5} D ．{1,2,3,6}【答案】D【解析】首先根据()()1618n n n S n T +=+即可得出n nS T ，再根据前n 项的公式计算出nn b a 即可。
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2019-2020学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题 1．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r ，用a r ，b r ，c r表示NM u u u u r ，则NM u u u u r 等于( )A ．1()2a b c -++r r rB ．1()2a b c +-r r rC ．1()2a b c -+r r rD ．1()2a b c --+r r r3．（5分）若a ，b R ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．||4a b +…B ．||4a …C ．||2a …且||2b …D ．4b <-4．（5分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5．（5分）在10(1)x 的展开式中，x 项的系数为( ) A ．45-B ．90-C ．45D ．906．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020(S =)A ．8080-B ．4040-C ．8080D ．40407．（5分）袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率(|)P B A 为( ) A ．14B ．12 C ．13D ．348．（5分）某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( ) A ．4B ．12C ．16D ．24（二）多选项择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近10．（5分）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )A ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 3C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1，3]11．（5分）下列命题中为真命题的是( ) A ．(0,)x ∀∈+∞，(3)sin ln x x +>B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+=D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<12．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点0(P x ，0)y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ． 则下列结论正确的是( )A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:C y lnx = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x = 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）设曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程 ． 14．（5分）已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 的直线上，若△12PF F 为等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 ．16．（5分）已知ABC ∆是边长为的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心．则 （1）球心O 到平面BCD 的距离为； （2）球O 的体积为 ．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b ，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值．18．（12分）已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1*1222()n n n b b b na n N -++⋯+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交于M ，N ． （Ⅰ）求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE ．20．（12分）在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功．游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分． （Ⅰ）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（Ⅱ）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 21．（12分）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上． 过点(0,2)M -作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r．（Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆面积的最大值．22．（12分）已知函数21()xx ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1-，2]上的最大值．2019-2020学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）（一）单选题 1．（5分）设复数z 满足(1)2i z +=，则复平面内表示z 的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：(1)2i z +=Q ， ∴22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-， 则复平面内表示z 的点位于第四象限． 故选：D ．2．（5分）三棱锥O ABC -中，M ，N 分别是AB ，OC 的中点，且OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，用a r ，b r ，c r表示NM u u u u r ，则NM u u u u r 等于( )A ．1()2a b c -++r r rB ．1()2a b c +-r r rC ．1()2a b c -+r r rD ．1()2a b c --+r r r【解答】解：Q 1()2NM NA NB =+u u u u r u u u r u u u r ，1()2AN AO AC =+u u u r u u u r u u u r ，1()2BN BO BC =+u u u r u u u r u u u r ，AC OC OA =-u u u r u u u r u u u r ，BC OC OB =-u u u r u u u r u u u r ， ∴1111()2222MN AN BN OA OB OC =+=--+u u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r111222a b c =--+r r r ，∴111222NM a b c =+-u u u u r r r r ，故选：B ．3．（5分）若a ，b R ∈，使||||4a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．||4a b +…B ．||4a …C ．||2a …且||2b …D ．4b <-【解答】解：由4b <-可得||||4a b +>，但由||||4a b +>得不到4b <-，如1a =，5b =． 故选：D ．4．（5分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC ∆的形状为( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【解答】解：ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin b C c B a A +=Q ，则由正弦定理可得sin cos sin cos sin sin B C C B A A +=， 即sin()sin sin B C A A +=，可得sin 1A =，故2A π=，故三角形为直角三角形，故选：B ．5．（5分）在101)的展开式中，x 项的系数为( ) A ．45-B ．90-C ．45D ．90【解答】解：101)展开式中的通项公式是：(10)10211010(1)(1)t kkkkk k T C C x--+=-=-g g ，令1012k-=，则8k =， 故x 项的系数为：8882101010109(1)4521C C C ⨯⨯-====⨯， 故选：C ．6．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12015a =-，63218S S -=，则2020(S =)A ．8080-B ．4040-C ．8080D ．4040【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为63218S S -=， 则1234561232()18a a a a a a a a a +++++-++=， 即33318d d d ++=，则2d =．因为12015a =-，则2200202020192020(2015)280802S ⨯=⨯-+⨯=， 故选：C ．7．（5分）袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸出红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率(|)P B A 为( ) A ．14B ．12 C ．13D ．34【解答】解：由P （A ）25=，211()5420P AB =⨯=，由条件概率()1(|)()4P AB P B A P A ==， 故选：A ．8．（5分）某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2)最多只能用一天，则不同的用车方案种数是( ) A ．4B ．12C ．16D ．24【解答】解：15日至18日，有2天奇数日和2天偶数日，车牌尾数中有2个奇数和2个偶数．第一步安排奇数日出行，每天都有2种选择，共有224=种． 第二步安排偶数日出行，分两类：第一类，先选1天安排甲的车，另外一天安排其他车，有2种； 第二类，不安排甲的车，只有1种选择，共计123+=． 根据分步计数原理，不同的用车方案种数共有4312⨯=， 故选：B ．（二）多选项择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：)kg 分别服从正态分布1(N μ，21)σ，2(N μ，22)σ，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A ．甲类水果的平均质量10.4kg μ=B ．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近C ．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D ．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近 【解答】解：由正态分布的密度曲线图象可知，甲类水果的平均质量为10.4kg μ=，A 正确；乙类水果的平均质量为20.8kg μ=，所以12μμ<，C 正确； 由甲类水果的正态密度曲线比乙类水果的正态密度曲线更凸起些， 所以12σσ<，得出B 正确；所以D 错误． 故选：ABC ．10．（5分）设椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是( )A ．当点P 不在x 轴上时，△12PF F 的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，△12PF FC ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[1，3]【解答】解：由椭圆方程可知，2,a b ==，从而1c =． 据椭圆定义，1224PF PF a +==，又1222F F c ==， 所以△12PF F 的周长是6，A 项正确． 设点0(P x ，00)(0)y y ≠，因为122F F =， 则12120012PF F S F F y y ==V g ．因为00y b <…，则△12PF F B 项正确． 由图可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大． 此时，122PF PF a ===，又122F F =， 则△12PF F 为正三角形，1260F PF ∠=︒， 所以不存在点P ，使12PF PF ⊥，C 项错误．由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1PF 取最大值，此时13PF a c =+=； 当点P 为椭圆C 的左顶点时，1PF 取最小值，此时11PF a c =-=，所以1[1PF ∈，3]，D 项正确， 故选：ABD ．11．（5分）下列命题中为真命题的是( ) A ．(0,)x ∀∈+∞，(3)sin ln x x +>B ．2000,2x R x x ∃∈+=- C ．220001,sin cos 333x x x R ∃∈+= D ．1311(0,),()log 32x x x ∀∈<【解答】解：对于A 项，当0x >时，则(3)31ln x ln lne +>>=， 又1sin 1x -剟，所以(3)sin ln x x +>恒成立，即A 正确；对于B 项，因为221772()244x x x ++=++…，所以方程22x x +=-无解，即B 错误；对于C 项，因为对22,sin cos 133x xx R ∀∈+=恒成立，即C 错误； 对于D 项，指数函数1()()2x f x =在1(0,)3上单调递减，所以()(0)1max f x f <=，对数函数13()g x log x =在1(0,)3上单调递减，所以1()()13min g x g >=，所以D 正确，故选：AD ．12．（5分）若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：①直线l 在点0(P x ，0)y 处与曲线C 相切；②曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，则称直线l 在点P 处“切过”曲线C ． 则下列结论正确的是( )A ．直线:0l y =在点(0,0)P 处“切过”曲线3:C y x =B ．直线:1l y x =-在点(1,0)P 处“切过”曲线:C y lnx = C ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:sin C y x =D ．直线:l y x =在点(0,0)P 处“切过”曲线:tan C y x =【解答】解：对于A ，因为23y x '=，当0x =时，0y '=，所以在点(0,0)P 处的切线为:0l y =． 当0x <时，0y <；当0x >时，0y >，所以曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即A 正确； 对于B ，1y x'=，当1x =时，1y '=，在(1,0)P 处的切线为:1l y x =-．令()1h x x lnx =--，则11()1(0)x h x x x x-'=-=>， 当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<，所以()min h x h =（1）0=． 故1x lnx -…，即当0x >时，曲线C 全部位于直线l 的下侧（除切点外），即B 错误； 对于C ，cos y x '=，当0x =时，1y '=，在(0,0)P 处的切线为:l y x =， 由正弦函数图象可知，曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即C 正确； 对于D ，21cos y x'=，当0x =时，1y '=，在(0,0)P 处的切线为:l y x =， 由正切函数图象可知，曲线C 在点P 附近位于直线l 的两侧，即D 正确． 故选：ACD ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程 20x y -= ． 【解答】解：3(1)y x ln x =-+的导数为131y x '=-+， 可得曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线斜率为312-=， 则曲线3(1)y x ln x =-+在点(0,0)处的切线方程为02(0)y x -=-， 即为2y x =，即20x y -=． 故答案为：20x y -=．14．（5分）已知随机变量ξ的分布列为若()2E ξ=，则p =12【解答】解：113()1232222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 令322p +=，则12p =．故答案为：12． 15．（5分）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，A 是双曲线的左顶点，点P 在过点A 的直线上，若△12PF F 为等腰三角形，且12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为 3 ．【解答】解：如图，过点P 作PB x ⊥轴，垂足为B ．由已知，2122PF F F c ==，260BF P ∠=︒， 则2,3BF c BP c ==， 所以3tan 2cPAB a c∠=+． 由33327c a c =+， 解得3c a =，所以双曲线的离心率3e =． 故答案为：3．16．（5分）已知ABC ∆是边长为23的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将ABC ∆折成一个大小为60︒的二面角B AD C --，设O 为四面体ABCD 的外接球球心．则 （1）球心O 到平面BCD 的距离为 32； （2）球O 的体积为 ．【解答】解：（1）如图，在四面体ABCD 中，AD DC ⊥，AD DB ⊥，则60BDC ∠=︒． 因为3DB DC ==，则3BC =． 设BCD ∆的外心为E ，则OE ⊥平面BCD ． 因为AD ⊥平面BCD ，则//OE AD ．取AD 的中点F ，因为OA OD =，则OF AD ⊥， 所以1322OE DF AD ===．（2）在正BCD ∆中，由正弦定理，得112DE ==．在Rt OED ∆中，OD ==，所以343V π=⋅=球 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，若2224S c a b =--． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若b ，ABC ∆sin A B ，求sin A 及c 的值． 【解答】解：()I 因为1sin 2S ab C =，所以22214sin 2ab C c a b ⨯=--，即222sin cos 2c a b C C ab--==-，所以tan 1C =-，又因为0180C ︒<<︒，所以34C π=．()II 因为2222222cos 325c a b ab C a a a =+-=+=，所以c =，即sin C A所以sinA C =因为1sin 2ABC S ab C ∆=，且sin ABC S A B ∆，所以1sin sin 22ab C A B =，即sin sin sin abC A B由正弦定理得2()sin sin c C C解得1c =．18．（12分）已知等差数列{}n a 满足13a =，当2n …时14n n a a n -+=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足1*1222()n n n b b b na n N -++⋯+=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 【解答】解：()I 由题意，14n n a a n -+=，则128a a +=，又13a =，则25a =．∴等差数列{}n a 的公差212d a a =-=，又13a =Q ，∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈．()II 由题意，11222n n n b b b na -++⋯+=， 则121122(1)n n n b b b n a ++++⋯+=+，两式相减，得112(1)(1)(23)(21)43n n n n b n a na n n n n n ++=+-=++-+=+， ∴当2n …时，1412n n n b --=． 经检验，13b =也符合该式， ∴数列{}n b 的通项公式是1412n n n b --=，*n N ∈． Q 11137(41)()22n n S n -=++⋯+-g g ，∴211111137()(45)()(41)()22222n n n S n n -=++⋯+-+-g g g g ， 两式相减，得211111134[()()](41)()22222n n n S n -=+++⋯+--g1114734[1()](41)()7222n n n n n -+=+---=-g ． ∴147142n n n S -+=-． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC DEF -的底面是边长为2的正三角形，侧棱1AD =，P 是线段CF 的延长线上一点，平面PAB 分别与DF ，EF 相交于M ，N ． （Ⅰ）求证：//MN 平面CDE ；（Ⅱ）求当PF 为何值时，平面PAB ⊥平面CDE ．【解答】解：()I因为//AB DE，AB在平面DEF外，则//AB平面DEF．因为平面PAB⋂平面DEF MN=，则//AB MN，从而//DE MN．因为MN在平面CDE外，所以//MN平面CDE．()II解法一：分别取线段AB，DE的中点G，H，则//GH CP，所以P，C，G，H四点共面．因为Rt PCA Rt PCB∆≅∆，则PA PB=，所以PG AB⊥．因为//AB DE，则PG DE⊥．若PG CH⊥，则PG⊥平面CDE，从而平面PAB⊥平面CDE．此时，CPG HCG∠=∠，则PC CG CGGH=．因为ABC∆是边长为2的正三角形，则2sin603CG=︒=，又1GH=，则23CGPCGH==，从而2PF PC FC=-=，所以当2PF=时，平面PAB⊥平面CDE．()II解法二：如图，分别取AB，DE的中点O，H，以O为原点，直线OB，OC，OH分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由已知，2,1,3AB OH OC===(1,0,0),3,0),(0,0,1)B C H，从而(0,3,1),(1,0,0)CH HE OB=-==u u u r u u u r u u u r，设平面CDE的法向量为111(,,)m x y z=r，由m CHm HE⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rrgu u u rrg，得111(3)010y zx⎧-+=⎪⎨=⎪⎩gg取11y=，则3)m=r设CP t =，则点(0,3,)P t ，从而(0,3,)OP t =u u u r设平面PAB 的法向量222(,,)n x y z =r，由00n OP n OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g r g ，得2223010y tz x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩g ，取2y t =，则(0,,3)n t =-r．因为平面PAB ⊥平面CDE ，则0m n =r rg ， 得，3t =，从而2PF PC FC =-=， 所以当2PF =时，平面PAB ⊥平面CDE ．20．（12分）在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功．游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分． （Ⅰ）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率；（Ⅱ）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望． 【解答】解：()I 据题意，游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：123111,,236p p p ===，设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A ， 则1212122()(1)(1)3P A p p p p p p =-+-+=， 所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为23． ()II 据题意，ξ的可能取值为0，3，6，7，10． 121(0)(1)(1)3P p p ξ==--=，123123555(3)(1)(1)(1)(1)183612P p p p p p p ξ==--+--=+=， 1235(6)(1)36P p p p ξ==-=， 123123211(7)(1)(1)363612P p p p p p p ξ==-+-=+=， 1231(10)36P p p p ξ===． ξ∴的分布列为ξ 0 3 6 7 10P13512 536 112 136ξ的数学期望为155115303671031236123618E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 21．（12分）如图，抛物线的顶点O 在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上． 过点(0,2)M -作直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且满足(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r．（Ⅰ）求直线l 和抛物线的方程；（Ⅱ）当抛物线上一动点P 从点A 向点B 运动时，求ABP ∆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据题意可设直线l 的方程为2y kx =-，抛物线方程为22(0)x py p =->（2分）有222y kx x py=-⎧⎨=-⎩得2240x pkx p +-= （3分） 设点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 则122x x pk +=-，21212()424y y k x x pk +=+-=-- ∴21212(,)(2,24)OA OB x x y y pk pk +=++=---u u u r u u u r（4分） Q(4,12)OA OB +=--u u u r u u u r ， ∴2242412pk pk -=-⎧⎨--=-⎩，解得12p k =⎧⎨=⎩（5分）故直线l 的方程为22y x =-，抛物线方程为22x y =-． （6分）（Ⅱ）据题意，当抛物线过点P 的切线与l 平行时，APB ∆得面积最大（7分）设点0(P x ，0)y ，由y x '=-，故由02x -=得02x =-，则200122y x =-=-(2,2)P ∴--（9分）∴点P 到直线l 的距离d ===10分） 由2222y x x y=-⎧⎨=-⎩，得2440x x +-= （11分）∴||AB ==12分）ABP ∴∆的面积的最大值为11||22AB d =⨯=g g （14分） 22．（12分）已知函数21()xx ax f x e ++=，其中e 为自然对数的底，a 为实常数．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a >-时，求函数()f x 在区间[1-，2]上的最大值．【解答】解：()I 当1a =时，21()x x x f x e ++=，(1)()xx x f x e--'=． 由()0f x '>，得，(1)0x x -<，即01x <<．所以()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(,0)-∞和(1,)+∞．(1)[(1)]()()xx x a II f x e----'=． 因为1a >-，则12a -<．（1）当112a <-<，即10a -<<时，由()0f x '>，得11x a <<-， 则()f x 在(1,1)a -上单调递增，在[1-，1)和(1a -，2]上单调递减， 所以(){(1)max f x max f =-，(1)}f a -．因为(1)(2)f a e -=-，211(1)(1)1(1)(2)a aa a a f a a e e---+-+-==- 则(1)(1)f f a ->-，所以()(2)max f x a e =-．（2）当11a -=，即0a =时，2(1)()0xx f x e --'=…，所以()f x 在[1-，2]上单调递减， 所以()(1)(2)max f x f a e =-=-．（3）当111a -<-<，即02a <<时，由()0f x '>，得11a x -<<， 则()f x 在(1,1)a -上单调递增，在[1-，1)a -和(1，2]上单调递减， 所以(){(1)max f x max f =-，f （1）}，因为222(1)2(1)(1)(1)(2)a a e e f f a e e e ++----=+-=，则 当222(1)01e a e -<<+时，(1)f f ->（1），()(1)(2)max f x f a e =-=-；当222(1)21e a e -<+„时，f （1）(1)f -…，2()(1)max a f x f e+==． （4）当11a --„，即2a …时，()f x 在[1-，1)上单调递增，(1，2]上单调递减， 则2()(1)max af x f e+==． 综上分析，（1）当10a -<<时，()(2)max f x a e =-； （2）当0a =时，()(2)max f x a e =-． （3）当02a <<时，2()(1)max af x f e+==． （4）当2a …时，2()(1)max af x f e+==．。