等比数列·双基能力训练

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数列·双基能力训练

数列·双基能力训练(一)选择题：1．数列{a n}的通项公式是a n=n2-3n-28，这个数从第几项起各项都是正数 [ ]．A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项2．数列1，3，6，10，…的一个通项公式a n= [ ]．A．n2-n＋1D．2n+1-33．数列7，9，11，…，2n-1的项数是 [ ]A．nB．n-1C．n-2D．n-3A．18项B．19项C．17项D．20项5．无穷数列1，23，26，29，…，23n+6，…中，23n+6是第 [ ]．A．3n＋6项B．3n＋7项C．n＋2项D．n＋3项6．一个数列{a n}，其中a1=3，a2=6，a n+2=a n+1-a n，那么这个数列的第5项是 [ ]A．-6 B．-3C．6 D．37．在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x的值是 [ ]．A．19 B．20C．21 D．22(二)填空题：8．写出下列各数列的通项公式：(1)3，8，15，24，35，… a n=______；(3)3，33，333，3333，33333，… a n=_______；(4)3，5，3，5，3，… a n=_______．9．数列{a n}的通项公式为a n=log n＋1(n＋2)，则它的前14项的积为_________．10．已知数列{a n}中，a1=2，a n=a n-1-2，则a3=______，a6=_____．11．数列{a n}为3，5，7，…，2n＋1，…，数列{b n}中，b1=a1，当n≥2时b n＝ab n-1，则b4=______，b5=______．12．数列{a n}中，a1=1，a n＋1=f(a n)，且f(x)=x2-1，写出这个数列的前5项______．13．已知数列{a n}的前n项和为S n=3＋2n，则通项a n=______．14．在数列{a n}中，已知S n=2n3-3n，那么a6＋a7=______．______项．(三)解答题：(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式．200，380三个数中，哪个数是数列{a n}中的项，是第几项？任意大于1的自然数n，都有2a n+a n-1=0，S n-1＋2S n=-6成立数列·双基能力训练·答案提示(一)1．C 2．B 3．D 4．B5．D 6．A 7．C提示：7．此数列的递推公式是a1=1，a2=1，a n+1=a n＋a n-1，则x=8＋13=21，故选C．9．4 10．-2，-8 11．31，6312．1，0，-1，0，-113．5(n-1),2n-1(n≥2)14．430 15．8提示：9．由a n=log n+1(n＋2)，则a1·a2·a3……a14=log23×log34×log45×…×log1516=log216=4．11．数列{a n}的通项公式为a n=2n＋1．当n≥2时，b2=ab1=aa1=a3=7，b3=ab2=a7=2×7×1=15，b4=ab3=a15=2×15＋1=31，b5=ab4=a31=2×31+1=63．12．a n＋1=a n2-1．a1=1，则a2=a12-1=0，a3=a22-1=-1，a4=a32-1=(-1)2-1=0，a5=a42-1=-1．14．a6＋a7=S7-S5=2×73-3×7-2×53＋3×5=430．(三)当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n(n＋1)．因为a1符合n≥2时a n的解析式，所以数列{a n}的通项公式为a n=n(n＋1)．经检验a11=132，a19=380，而200不是该数列中的项．18．证明:∴ 2a n＋a n-1=0(n＞1)．可化简为 S n-1＋2S n=-6 (n＞1)。

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等差数列•双基能力训练（一）选择题：1.已知命题甲是“△ ABC的一个内角B为60°”，命题乙是“△ ABC的三个内角A、B C成等差数列”，那么[ ] .A.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B•甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C•甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是必要条件2.已知数列｛a n｝的前n项和为：①2n；②2n+6;③n2:④n2-1 :⑤n2+ 2n；⑥n2 + n+ 1；⑦n3；®0.在上述各数列中构成等差数列的A.3个C. 5个3.公差为d的等差数列的前n项和为S= n(1-n)，那么[ ].A. d = 2, a n = 2n-2B. d = 2, a“ = 2n+ 2C. d = -2 , a“= -2n-2D. d = -2 , a“= -2n + 24.己知数列牯詁中，3n41 = a n十且a t= 2,贝临哪等于B ．1000C ．999D ．9985. 已知等差数列｛a n ｝中的前三项依次为a-1 , a+ 1, 2a+3,则此数列的通项公式为[ ] ．A. a n =2n-5B. a n=2n-3C. a “ = 2n-1D. a n =2n+ 16. 等差数列｛a n ｝，已知 a 3 + a ii =10,则 a 6+ a ?+ a 8等于 [ ] .A. 20B. 18C. 15 D . 127. 在等差数列｛an ｝中，28, So=36，贝U S5等].B . 44A ．1001 A. 24B. m+ nC . m+ n 211 .在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和C. 64 D . 808 .首项为18,公差为-3的等差数列，前n 项和S 取最大值时，n 等A . 5 或 6C. 79.在项数为2n+ 1的等差数列中，所有奇数项的和与所有偶数项的和之比为［A.2n + lnFB.——nC.10. m = 在等差数列｛a n ｝中，am = n, a “= m(n^ m),则a*等 A. mnB. 5684 D ．456012•三角形三个边长组成等差数列，周长为 36,内切圆周长为6n,则此三角形是[] ．A. 正三角形B. 等腰直角三角形C •等腰三角形，但不是直角三角形D.直角三角形，但不是等腰三角形(二)填空题：13. 已知1, 4, 7, 10,…是等差数列，若(1) _____________________________ 1 + 4+ 7+-+ x = 477，贝U x = ;⑵(x + 1) + (x + 4) + (x + 7) +…+ (x + 298)=15950,则 x = _____ ;(3) 在此数列的每相邻两项中间插入三项, 使它们仍构成一个新的等差数列,则原数列的第 10项,是新数列的第 _________ 项,新数列的第 29项,是原数列的第 ____ 项.14. 在等差数列{a n } 中,A. 5880 C ．4877⑴若 a7= m a14 = n,贝U a2= ；(2)若 a i+ a3 + a5=-1，贝U a i+ a2 + a3 + a4 + a5= ______ ；(3)若 a+ a3 + a4 + a§= 34, a? • a§= 52,且 a°>a?,贝U a5= _______ ；⑷若 $5= 90,则 a8= ________________________ ；(5)若 a6= a3+a s，贝U S9= ____ ;⑹ 若 S n= 100, S2n= 400,则 S3n = _____________________ ；(7)若 a1 + a2 + a3 + a4= 124, a n + a n“ + a*-2 + a n-3=156, S=210,则 n = :(8)若 a n-1 -a n + a n+1 = 0,且 a n工0, S2n-1 =38,则 n= _______ .15.已知数列的通项公式是a n= 2n-47 ,那么当S取最小值时，n = ____________________ ,16.___________________________ 等差数列｛a n｝的前10项中，项数为奇数的各项之和为125,项数为偶数的各项之和为15,则首项a1 = ，公差d = .(三)解答题：17.己知丄，丄・丄成竽差数列，且日+G a - c,目+ c-2b皆正，求a & c证：lg(a + c) , Ig(a-c) , lg(a + c-2b)也成等差数列.1&设｛%｝是等差数列.8=｛扌产・已知珂+切+耳二斗力b2b3,求等差数列｛a n｝的通项公式.O19.已知数列｛a n｝中，a i = -60, &+1 = a“+3,求数列｛ | a n | ｝的前30项的和 S' 30.20.已知数列｛a n｝是递减的等差数列，且a3 + a9 = 50, a§ • a?=616,试求这个数列前多少项和最大，并求这个最大值.21.某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有 24 个座位，以后每隔一排增加两个座位，求全剧场共有多少个座位.22.有30根水泥电线杆，要运往1000米远的地方开始安装，在1000 米处放一根，以后每50米放一根，一辆汽车一次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少公里？等差数列•双基能力训练•答案提示（一）1 . C3 . D4 . A5 . B6. C 7 . A 8 . D10 . D11. A 12 . D提示：2.利用等差数列的充要条件 S= pn2+qn(p ,q为常数)={aj等差数列.5. 2(a + 1)=(a-1) + (2a + 3)，解得 a= 0.8. {a n}为递减等差数列，若求S的最大值，只需求出那些正项的和.5.所有奇数项和®十1) x (衍十日斗J,所有偶数项和6 =-nX (a2由性质知，辺+&时1二比+白比则” ■-----/ b 口11.题中要找的整数，恰可排列成51,公差为10的等差数列，共30项.12.设三边长为12-d，12，12+ d,由题意，三角形内切圆半径为 3.由36X3 = ,7/13[ 1S -\12 - d)](18 - 12)[ 18_- (12 + d)]得：d =± 3.(3)37 , 814. -n C2)-| (3)13 (4)6解方程，得 a=-1 , d=2或 a 一3, d = -2 .••• a n = 2n-3 或 a “= 5-2n .19. 数列｛a n ｝为首项-60,公差3的等差数列，◎= 3n -63 .令 a n < 0,即 3n-63 < 0, nW21.(5)0 (6)90)6 (8)10(715. 23 (三)17 .略16 . 113, -2218. 设等差数列的公差为d, ◎= a 1 + (n-1)d据題意，有2zl- ZLg -丨- S H) = -2S2l= j x 30(&1+ a3.) - 2 X 1 X 21 x (a1 + a21) = 765.20.设等差数列首项为a i，公差为d.(珀十24) + (幻 +8d)-50,据题意，有(a L+44)(% +6d) = $1&由｛a n｝为递减数列，则dv0,可得a i = 40, d= -3 , a・=43-3n .43由43-3n>0)得口<〒心14.玄a1 >a2>•••> a i4>0>a i5>••••••使a n>0成立的最大自然数n,能使S取最大值，即这个数列前14项和最大，其最大值$4=287.21.1036 个.22.设第n次装卸返回原处后所走的路程为 a n,贝U a= (100 + 50 + 50)x 2= 2200, a2= (1100 + 150) x 2= 2500, a§ = (1100 + 150+ 150) x 2 = 2800,…相邻两车装卸返回原处后所走的路程之差为一常数， d = 300, 一共装卸了 10车.10x5S M =io ai +—^―Xd= 35.5（公里）.。

等比数列基础练习题及答案

等比数列基础练习题及答案一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n12．已知等比数列{an}中，a6﹣2a3=2，a5﹣2a2=1，则等比数列{an}的公比是15．在等比数列{an}中，，则tan=17．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则= 222．在等比数列{an}中，若a3a4a5a6a7=243，则的值为2二．填空题28．已知数列{an}中，a1=1，an=2an﹣1+3，则此数列的一个通项公式是29．数列30．等比数列{an}的首项a1=﹣1，前n项和为Sn，若，则公比q等于 _________ ．的前n项之和是22参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} 数列测试题优能提醒：请认真审题，仔细作答，发挥出自己的真实水平！一、单项选择题：1．在等差数列{an}中，已知a1=2，a2+a3=13，则a4+a5+a6等于B2．设数列{an}的前n项和，则a8的值为A3．数列1，﹣3，5，﹣7，9，…的一个通项公式为A． an=2n﹣1C． an=nB． an=n D． an=nB4．已知数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?2an?1，则a5? A．?16B．1C．31 D．32B5．在公比为整数的等比数列{an}中，如果a1+a4=18，a2+a3=12，那么该数列的前8项之和为C6．已知数列{an}满足：a1=1，an=2an﹣1+1，则a4=A．0 B． 1C．1 D． 15D7．设等差数列?an?的公差d不为0，a1?9d 若ak是a1与a2k的等比中项，则k?等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________． 1511．在等比数列?an?中，已知a1a2a3?5，a7a8a9?40，则a5a6a7?2012．已知数列{an}满足an?2n?1?2n?1，则数列{an}的前n 项和Sn?_______．Sn?2n?n2?113．在等差数列?an?中，已知a2?a7?a8?a9?a14?70,则a8?．1414．在数列?an?中，已知a1?a2?1，an?2?an?1?an815．已知?an?等差数列Sn为其前n项和．若a1??n?N?，则a*6 ?___________．1，S2?a3，则a21等差数列{an}中，已知a3?5，a2?a5?12，an?29，则n?__________ 1517．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a8=9，则log3a1+log3a10218．已知{an}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，如果an=2005，则序号n等于．66919．等比数列{an}中，已知a+a2+a3=7，a1a2a3=8，且{an}为递增数列，则a4820．已知三个数﹣7，a，1成等差数列，则a等于．﹣321．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q=_______-222．在等比数列{an}中，若，则公比q的值等于．﹣或123．等比数列{an}中，公比q?1，其前3项和S3?3a1，则q=?2考点：等比数列求和24．设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=___________?3525．若等比数列?an?满足a2a4?1，则a1a32a5?__________．1426．已知递增的等差数列?an?满足a1?1,a3?a2?4,则an=____?2n-127．s13设等差数列?an?的前n项和为Sn，若a7?7a4，则s7= ．1328．设数列{an}的前n项和Sn?n2?n，则a7的值为__．1429．参考答案与试题解析一．选择题1．已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=4．已知数列1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值是7．已知数列{an}满足，其中λ为实常数，则数列{an} *n。

高二数学复习考点知识精讲与练习4 等比数列的前n项和公式

高二数学复习考点知识精讲与练习专题4 等比数列的前n项和公式【考点梳理】考点一等比数列的前n项和公式考点二等比数列前n项和的性质1．数列{a n}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，S n为其前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍构成等比数列．2．若{a n}是公比为q的等比数列，则S n＋m＝S n＋q n S m(n，m∈N*)．3．若{a n}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，S偶S奇＝q；②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝a1＋a2n＋1q1－(－q)＝a1＋a2n＋21＋q(q≠－1)．考点三：等比数列前n项和的实际应用1．解应用问题的核心是建立数学模型．2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型．3．注意问题是求什么(n ，a n ，S n )．注意：(1)解答数列应用题要注意步骤的规范性：设数列，判断数列，解题完毕要作答． (2)在归纳或求通项公式时，一定要将项数n 计算准确． (3)在数列类型不易分辨时，要注意归纳递推关系．(4)在近似计算时，要注意应用对数方法，且要看清题中对近似程度的要求．【题型归纳】题型一：等比数列前n 项和公式的基本运算1．（2022·江苏南通·高二期末）已知等比数列{}n a 的前6项和为1894，公比为12，则6a =（） A ．738B ．34C ．38D ．242．（2022·河南商丘·高二期中（理））已知正项等比数列{}n a 中，22a =，48a =，数列{}2n n a a ++的前n 项和为n S ，则62SS =（）A ．32B ．21C ．16D ．83．（2022·全国·高二课时练习）设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，3412a a +=，则公比q 等于（）．A ．1B ．2C ．3D ．4题型二：等比数列的判断和性质的应用4．（2022·全国·高二课时练习）设等比数列{}n a 前n 项和为S n ，若S 3＝8，S 6＝24，则a 10＋a 11＋a 12＝（） A ．32B ．64 C ．72D ．2165．（2022·广西·田东中学高二期末（理））已知数列{}n a 是等比数列，n S 为其前n 项和，若1234a a a ++=，4568a a a ++=，则12S =（） A ．40B ．60C ．32D ．506．（2020·四川·双流中学高二期中（理））设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若423S S =，则64S S =（） A ．2B ．73C ．310D ．12或题型三：等比数列奇偶项和的性质7．（2020·河南·高二月考（理））已知等比数列{}n a 共有32项，其公比3q =，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{}n a 的所有项之和是（） A ．30B ．60C ．90D ．1208．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{}n a 中，11a =，132185k a a a ++++=，24242k a a a +++=，则k =（）A ．2B ．3C ．4D ．59．（2022·全国·高二课时练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的公比和项数分别为（） A ．8，2B ．2，4C ．4，10D ．2，8题型四：等比数列中an 与Sn 的关系10．（2022·全国·高二课时练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-，则2020S =（）A ．202021-B ．202121-C ．2020122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2021122⎛⎫- ⎪⎝⎭11．（2022·宁夏·六盘山高级中学高二月考（理））已知数列{}n a 的前n 项和112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，那么数列{}n a （） A ．是等差数列但不是等比数列 B ．或者是等差数列，或者是等比数列 C ．是等比数列但不是等差数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列12．（2020·江苏·高二专题练习）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，121n n S S +=+，则6S =（）A ．63B ．127C ．128D ．256题型五：等比数列的简单应用13．（2022·甘肃·西北师大附中高二期中（理））中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.那么请问此人前两天所走的里程为（） A ．189里B ．216里C ．288里D ．192里14．（2022·全国·高二课时练习）为全力抗战疫情，响应政府“停课不停学”的号召，某市中小学按照教学计划，开展在线课程教学和答疑．某高一学生家长于3月5日在某购物平台采用分期付款的形式购买了一台价值m 元的平板电脑给学生进行网上学习使用，该平台规定：分12个月还清，从下个月5日即4月5日开始偿还，每月5日还款，且每个月还款钱数都相等．若购物平台的月利率为p ，则该家长每月的偿还金额是（）A ．12m 元B ．()()1212111mp p p ++-元C ．()12112m p +元D ．()()1313111mp p p ++-元 15．（2022·北京朝阳·高二期末）光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F 值表示，光圈的F 值系列如下：F 1，F 1.4，F 2，F 2.8，F 4，F 5.6，F 8，…，F 64.光圈的F 值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F 8调整到F 5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的（） A ．2倍B ．4倍C ．8倍D ．16倍【双基达标】一、单选题16．（2022·河南·高二期中（文））n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且33a =，26S =，则5a 的值为（）A ．34B ．3或12C ．3或34D ．12或3417．（2022·河南商丘·高二期中（理））在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则满足1n n S a T +>的最大正整数n 的值为（） A ．11B ．12 C ．13D ．1418．（2022·江西·九江市第三中学高二期中（理））若{}n a 是等比数列，已知对任意*n N ∈，2121n n a a a ++=-，则2222123n a a a a ++++=（）A ．2(21)n -B ．121(2)3n -C ．41n -D ．1(41)3n -19．（2022·全国·高二课时练习）等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝（）A ．2n－1B ．413n -C ．()143--nD ．()123n--20．（2022·江西·景德镇一中高二期中（文））已知数列{}n a 满足11a =，若1114()n n nn N a a ++-=∈，则数列{}n a 的通项n a =（） A ．341n -B ．431n -C ．413n -D ．314n -21．（2022·河南洛阳·高二期中（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为21nn S a b =⋅+-，则44a b +的最小值为（） A ．2B．．4D ．522．（2022·全国·高二课时练习）在等比数列{}n a 中，已知42S =，86S =，17181920a a a a +++=（）A ．32B ．16C ．35D ．16223．（2022·全国·高二课时练习）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m ∈N ，满足29m mS S =，2511m m a m a m +=-，则m 的值为( )A ．-2B ．2C ．-3D ．324．（2022·全国·高二课时练习）某人于2020年6月1日去银行存款a 元，存的是一年定期储蓄，2022年6月1日将到期存款的本息一起取出再加a 元之后还存一年定期储蓄，此后每年的6月1日他都按照同样的方法在银行取款和存款．设银行定期储蓄的年利率r 不变，则到2025年6月1日他将所有的本息全部取出时，取出的钱共有（）A ．()41a r +元B ．()51a r +元C ．()61a r +元D ．()()611a r r r⎡⎤+-+⎣⎦元 25．（2022·江苏·高二单元测试）设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【高分突破】一：单选题26．（2022·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（） A ．（2n ﹣1）2B ．()1213n -C ．4n ﹣1D ．()1413n - 27．（2022·全国·高二学业考试）已知一个项数为偶数的等比数列{}n a ，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则1a =（） A ．1B ．4 C ．12D ．3628．（2022·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（） A ．3B ．13C ．2D ．1229．（2022·全国·高二单元测试）在正项数列{}n a 中，首项12a =，且()()22*12,,2n n a a n n -∈≥N 是直线80x y -=上的点，则数列{}n a 的前n 项和n S =（） A ．()122n--B ．122n +-C ．12n +D ．122n-30．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高二月考）公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（）A ．61019000-米B ．410190-米C ．510990-米D ．5101900-米31．（2022·全国·高二课时练习）等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝（） A ．29B ．31C ．33D ．3632．（2022·全国·高二课时练习）若正项等比数列{}n a 满足13116a a =，4322a a a +=，则()1121111n n nS a a a +=-++-=（）A ．()2123n ⎡⎤+-⎣⎦B ．()2123n -C ．()2123n +D ．()2123n⎡⎤--⎣⎦33．（2022·广西·崇左高中高二月考）已知{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足2021201920192020a a a a -=-，则下列等式成立的是（）A ．2202020212019S S S =B ．2020202120192S S S +=C ．2201920212020S S S =D ．2019202120202S S S +=34．（2022·全国·高二课时练习）如图，画一个边长为2的正三角形，再将这个正三角形各边的中点相连得到第二个正三角形，依此类推，一共画了5个正三角形．那么这五个正三角形的面积之和等于（）A ． 3． 213． 853D ． 3413二、多选题35．（2022·江苏苏州·高二期中）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若5432a a a +=，且存在两项m a ，n a ，使得14m n a a a =，则（） A ．12n n a a +=B ．12n n S a a =-C ．5mn =D ．6m n +=36．（2022·全国·高二课时练习）n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且满足11a =，12n n a S +=，则下列说法正确的是（） A ．{}n a 是等比数列 B ．1123n n a -+=⨯C ．{}n a 中能找到三项p a ，q a ，r a 使得p q r a a a =D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和74n T <37．（2022·江苏·高二单元测试）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设2132n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（）A ．若2q ，则n n T S =B ．若2q >，则n n T S >C ．若14q =-，则n n T S >D ．若34q =-，则n n T S <38．（2022·全国·高二单元测试）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}n b 满足1n n n n a b S S+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（）A ．数列{}n a 的通项公式为13-=n n aB ．31n n S =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=--D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭39．（2022·全国·高二课时练习）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在实数H ，使得对任意的*n ∈N ，都有n S H <，则称数列{}n a 为“和有界数列”．下列说法正确的是（） A ．若数列{}n a 是等差数列，且公差0d =，则数列{}n a 是“和有界数列” B ．若数列{}n a 是等差数列，且数列{}n a 是“和有界数列”，则公差0d = C ．若数列{}n a 是等比数列，且公比q 满足1q <，则数列{}n a 是“和有界数列” D ．若数列{}n a 是等比数列，且数列{}n a 是“和有界数列”，则公比q 满足1q <40．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23n n naa n a +=∈+，则下列结论正确的是（）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a -=- C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--三、填空题41．（2022·全国·高二课时练习）数列a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.42．（2022·全国·高二课时练习）设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.43．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的公比为12-，则135246a a a a a a ++++的值是________.44．（2022·江西·景德镇一中高二期中）在数列{}n a 及{}n b中，1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+11a =，11b =．设11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前2022项和为__________．45．（2022·全国·高二课时练习）等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项的和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝______.四、解答题46．（2022·河南商丘·高二期中（文））已知正项数列{}n a 满足19a =，()12n n n a a a +=+，设()lg 1n n b a =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设1n n c a =+，数列{}n c 的前n 项积为n S ，若lg n n S b λ<恒成立，求实数λ的取值范围．47．（2022·河南商丘·高二期中（文））设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知636S =，且2a 是1a ，5a 的等比中项．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =⨯，求数列{}n b 的前n 项和n T ．48．（2022·陕西·延安市宝塔区第四中学高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和S n ＝2n ＋1＋A ，若{}n a 为等比数列.（1）求实数A 及{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，求数列{a n b n }的前n 项和T n .49．（2022·河南洛阳·高二期中（理））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=，数列{}n b 满足12b =，2112na n nb b ++⋅=. （1）求证{}n a 为等差数列；（2）求证：12122n na a ab bb ++⋅⋅⋅+<.50．（2022·甘肃省民乐县第一中学高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足1nn n n ac b b +=，求证：1212n c c c +++<．【答案详解】1．B解：根据题意，等比数列{}n a 的前6项和为1894，公比为12，则有616(1)18914a q S q -==-，解可得124a =，则56134a a q ==；故选：B ． 2．B 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q，则2q ==，所以，()()()()()()()66111263486421234112412635121221151212a a a a a a a a SS a a a a a --++++++++⨯--====+++--. 故选：B. 3．B解：由题意，正项等比数列{}n a 中，因为23S =，3412a a +=，所以()121221234331212a a a a q a a a a +=+=⎧⎧⇒⎨⎨+=+=⎩⎩，解得24q =．因为0q >，所以2q ．故选：B 4．B【详解】由于S 3、S 6－S 3、S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，S 3＝8，S 6－S 3＝16，故其比为2，所以S 9－S 6＝32，a 10＋a 11＋a 12＝S 12－S 9＝64．故选：B ． 5．B 【详解】由等比数列的性质可知，数列36396129,,,S S S S S S S ---是等比数列，即数列4，8，96129,S S S S --是等比数列，因此9661291216,12,32,32161260S S S S S S -==-==++=．故选:B. 6．B 【详解】设24,3S k S k ==，由数列{}n a 为等比数列(易知数列{}n a 的公比1q ≠-)，得24264,,S S S S S --为等比数列又242,2S k S S k =-=644S S k ∴-= 67,S k ∴=647733S k S k ∴== 故选：B ． 7．D 【详解】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S则311531a a S a a =++++，()2463213531123a a a a q a a a a S S ++++=++++==又1260S S +=，则11603S S +=，解得1230,90S S ==，故数列{}n a 的所有项之和是3090120+=. 故选：D 8．B 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则132112285k k a a a a a a q q +++++++==，即()2285184k q a a ++=-=，因为24242k a a a +++=，所以2q，则()21123221112854212712k k k a a a a a ++⨯-+++++=+==-，即211282k +=，解得3k =，故选：B. 9．D解：设等比数列项数为2n 项，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，根据题意得：S 奇＝85，S 偶＝170， ∴q S S ==偶奇2，又a 1＝1，∴S 奇()21211na q q -==-85，整理得：1﹣4n ＝﹣3×85，即4n ＝256，解得：n ＝4，则这个等比数列的项数为8．故选D ． 10．A 【详解】依题意21n n S a =-，当n=1时，a 1=2a 1-1，解得a 1=1；当2n ≥时，由21n n S a =-得1121n n S a --=-，两式相减，得1122n n n n S S a a ---=-，即12n n a a -=，所以12nn a a -=()2n ≥，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n na ，202020202020122112S -==--. 故选：A . 11．C解：数列{}n a 的前n 项和112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当2n 时，1111112212nn nn n n a S S -- ⎡⎤=-=--=-⎢⎥⎢⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎪⎝⎝⎭⎝⎣⎭⎥⎦，当1n =时，1111122a S ==-=-，上式也成立．∴12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得112n n a a -=，∴数列{}n a 是首项为12-，公比为12的等比数列，但不是等差数列．故选：C ．12．A在121n n S S +=+中，令1n =，得23S =，所以22a =．由121n n S S +=+得2121n n S S ++=+，两式相减得212n n a a ++=，即212n n a a ++=，又11a =，212a a =，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以66126312S -==-. 故选：A ． 13．C 【详解】由题意，记每天走的路程为{}n a 是公比为12的等比数列，又由6161[1()]2378112-==-a S ，解得1192a =，所以11192()2-=⨯n n a ，则21192()962a =⨯= 故前两天所走的路程为：192+96=288 故选：C 14．B 【详解】设每月的偿还金额都是a 元，则()()()()122111111m p a a p a p a p +=+++++++，即()()()121211111a p m p p ⎡⎤-+⎣⎦+=-+，解得()()1212111mp p a p +=+-．故选：B 15．C 【详解】由题可得单位时间内的进光量形成公比为12的等比数列{}n a ，则F 4对应单位时间内的进光量为5a ，F 1.4对应单位时间内的进光量为2a ，从F 4调整到F 1.4，则单位时间内的进光量为原来的258a a =倍.故选：C. 16．C 【详解】设公比为q ，则211136a q a a q ⎧=⎨+=⎩解得12q =-或1q =，故25334a a q ==或53a =．故选：C. 17．B 【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则()25267556a q q a a q qa a ++==+=，即260q q +-=，0q >，则2q，514132a a q ∴==，所以，()11221321232n n nS --==-，()()211112122121122232nn n n n n n n n T a a a a --+++-⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅=⋅= ⎪⎝⎭，因为1n n S a T +>，即211221123232n nn--+>，即2115222n n n -->，即213100n n -+<，n <，因为1112<，则25122<<，因此，满足条件的正整数n 的最大值为12. 故选：B. 18．D 【详解】因为对任意*n N ∈，2121n n a a a ++=-①，当1n =时，11a =，当2n ≥时，211121n n a a a --++=-②，①-②得11222n n n n a ---==，满足11a =，则()221124n n n a --==，即{}2n a 是首项为1，公比为4的等比数列，所以()22221231141(41)143n n n a a a a ⨯-++++==--. 故选：D. 19．B 【详解】由a 1a 2a 3＝1得321,a =∴a 2＝1，又a 4＝4，故q 2＝4，所以a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1414n--＝413n -. 故选：B20．A 【详解】根据题意，由1114n n n aa +-=，得12121321111111444n nn a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得()114141144143n n n a a -⨯---==-，因11a =，所以1413n n a -=，即341n n a =-.故选：A. 21．C 【详解】当1n =时，1121a S a b ==+-，当2n ≥时，11121221n n n n n n a S S a b a a b ---==⋅+--⋅⋅--+=从而22a a =，34a a = 因为{}n a 是等比数列所以公比322a q a ==，且212a a a ==，即21ab a +-=，即1a b += 所以444a b ≥==+，当且仅当44a b =，即12a b ==时，等号成立所以44a b +的最小值为4 故选：C 22．A 【详解】解：由等比数列前n 项和的性质知，当数列依次每k 项和不为0时，则依次每k 项和仍成等比数列，所以4S ，84S S -，128S S -，1612S S -，2016S S -成等比数列，且公比为4q ．又441232S a a a a =+++=，484567844S S a a a a S q -=+++==，所以42q =，所以16201617181920432S S a a a a S q -=+++==．故选：A 23．D 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ．当1q =时，21122m m S ma S ma ==与29m m S S =矛盾，不合乎题意；当1q ≠时，()()2122111119111m m m m m m m a q S q q q S qa q q---===+=---，则8mq =，又2511m mma m q a m +==-，即5181m m +=-，解得3m =．故选：D. 24．D设此人2020年6月1日存入银行的钱为1a 元，2022年6月1日存入银行的钱为2a 元，以此类推，则2025年6月1日存入银行的钱为6a 元，那么此人2025年6月1日从银行取出的钱有()6a a -元．由题意，得1a a =，()21a a r a =++，()()2311a a r a r a =++++，……，()()()()()5432611111a a r a r a r a r a r a =++++++++++，所以()()()256111a a a r r r ⎡⎤-=++++++⎣⎦()()()()()561111111r r a r r r a r ⎡⎤+-+⎣⎦⎡⎤=+-++⋅⎣-=⎦．故选：D ． 25．A 【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠），若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n n n n dd S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭，由两边的对应项相等可得110,1,5,1221bd d a q q -====--，解得111,2,5,4a d q b ====，所以3d q -=-. 故选：A 26．D 【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --===由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143nn ⋅--=-故选：D 27．C 【详解】由题意可得所有项之和S S +奇偶是所有偶数项之和S 偶的4倍，所以，4S S S +=奇偶偶，故13S S =奇偶设等比数列{}n a 的公比为q ，设该等比数列共有()2k k N *∈项，则()242132113k k S a a a q a a a qS S -=+++=+++==奇奇偶，所以，13q =，因为3212364a a a a ==，可得24a =，因此，2112aa q ==.故选：C. 28．B解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=， ∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n n a --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn nn n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n n n na S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13. 故选：B. 29．B 【详解】在正项数列{}n a 中，12a =，且()2212,n n a a -是直线80x y -=上的点，可得22128n n a a -=，所以12n n a a -=，可得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则{}n a 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.故选：B 30．A由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{}n a ，其中11100,10a q ==，且30.00110n a -==，所以乌龟爬行的总距离为3611110010(1)101101119000110nn n a a qa q S q q---⨯---====---. 故选：A. 31．B 【详解】由题意，231136112522a q a a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，则3161214a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得q 3＝18， ∴q ＝12，a 1＝16，∴S 5＝551116[1()](1)231112a q q--==-. 故选：B 32．D 【详解】由题意，2132116a a a ==，得214a =.令{}n a 的公比为0q >，由4322a a a +=，得2210q q +-=，得12q =，∴112a =，∴12n na =，令()111n n n b a +=-，则()2nn b =--，∴()()()12212212123nn n n S b b b ⎡⎤--⎣⎦⎡⎤=++⋅⋅⋅+==--⎣⎦--，故选：D. 33．B 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q (q ≠1)，又2021201920192020a a a a -=-，即201920129290120a a q a q -=+，而20190a ≠，则220q q +-=，解得2q =-，则201911201923a a S +⋅=，2019112020223a a S -⋅=，2019112021423a a S +⋅=，10a ≠，20192019201922111111202020212019(22)(42)(2)99a a a a a a S S S -⋅⋅+⋅+⋅=≠=，A 不正确；20192020202120192019201911111122422223323a a a a S a S a S -⋅+⋅+⋅=+==+，B 正确；20192019201922111111201920212020(2)(42)(22)99a a a a a a S S S +⋅⋅+⋅-⋅=≠=，C 不正确；2019201920191111201920212020112422523323a a a a a a S S S +⋅+⋅+⋅=+=+≠，D 不正确.故选：B 34．D 【详解】根据三角形中位线的性质可知：这五个正三角形的边长形成等比数列{}n a ：前5项分别为：2，1，12，14，18，所以这五个正三角形的面积之和为22222222461111112121248222⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦51414114⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-，故选：D ． 35．BD 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，且0q >因为5432a a a +=，即4321112a q a q a q +=化简得：221q q +=解得：12q =或1q =-（舍去）对A ，因为12q =，所以112n n a a +=，故A 错误；对B ，1111112211112nn n n n a a a a q a a q S a a q q ---====----，故B 正确；对C，因为1a，即1a =，化简得：2214m n q+-=，又12q =解得6m n +=，当2m =，4n =时，8mn =，故C 错误；对D ，由C 知，6m n +=，故D 正确. 故选：BD. 36．BD 【详解】当1n =时，211222a S a ===；当2n ≥时，由12n n a S +=可得12n n a S -=，两式相减得12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，且2123aa =≠，则数列{}n a 从第二项开始成以3为公比的等比数列，则222323n n n a a --=⋅=⨯，所以21,1,23,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩则1123n n a -+=⨯，所以A 选项错误，B 选项正确．由题意可知，数列{}n a 为单调递增数列，设p q <，若在数列{}n a 中能找到三项p a ，q a ，r a ，使得p q r a a a =，则r q p >>且p ，q ，*r ∈N ，若1p =，则p r a a =，这与数列{}n a 单调递增矛盾，若2p ≥，则224323292p q p q p q a a --+-=⨯⨯⨯=⨯，232r r a -=⨯，由p q r a a a =，可得42322p q r +--⨯=，由于432b q +-⨯能被3整除，22r -不能被3整除，故C 选项错误；因为21,1,11,2,23n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⨯⎩所以11T =；当2n ≥时，122111111113137231111112232323434413n n n n T ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=++++⋅⋅⋅+=+=+-<+= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭-，故选项D 正确．故选：BD 37．AB 【详解】由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110a S =>，0q ≠，当1q =时，10n S na =>，符合题意；当1q ≠时，()1101n n a q S q-=>-，即101nq q->-，等价于1010n q q ⎧->⎨->⎩或1010n q q ⎧-<⎨-<⎩，对于1010n q q ⎧->⎨->⎩，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以(1,0)(0,1)q ∈-⋃，对于1010n q q ⎧-<⎨-<⎩可得：1q >.综上所述，q 的取值范围是(1,0)(0,)-+∞；因为2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以2311(2)22n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0n S >，且(1,0)(0,)q ∈-⋃+∞，所以，当12q =-或2q 时，0n n T S -=，即n n T S =，故A选项正确.当112q -<<-或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故B 选项正确，D 选项错误. 当12(0)2q q -<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <，故C 选项错误；故选：AB. 38．BD 【详解】A ：由214S a =可得213a a =，所以等比数列{}n a 的公比3q =，所以113n n a a -=⨯. 由2a 是11a +与312a 的等差中项，可得2131212a a a =++，即()2111123132a a a ⨯=++⨯，解得12a =，所以123n n a -=⨯，所以A 不正确； B ：()()1121331113nnnn a q S q-⨯-===---，所以B 正确；C ：()()111123111331313131n n n n n n n n n a b S S -+++⨯⎛⎫===- ⎪⋅----⎝⎭，所以C 不正确；D ：12n n T b b b =++⋅⋅⋅+1223111111111111113333231313131313131n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以数列{}n T 是递增数列，得11110326n T T ⎛⎫≤<⨯-= ⎪⎝⎭，所以1186n T ≤<，所以D 正确.故选：BD. 39．BC【详解】若数列{}n a 是公差为d 的等差数列，则211(1)()222n n n d d dS na n a n -=+=+-，当0d =时，若10a ≠，则1n S a n =⋅，n S 是n 的一次函数，不存在符合题意的H ，A 错误；数列{}n a 是“和有界数列”，当0d ≠时，n S 是n 的二次函数，不存在符合题意的H ，当0d =，10a =时，存在符合题意的H ，B 正确；若数列{}n a 是公比为(1)≠q q 的等比数列，则1(1)1-=-n n a q S q，因q 满足1q <，则||1n q <，即|1|2nq -<，11|||||1|2||11n n a a S q qq=⋅-<--，则存在符合题意的实数H ，即数列{}n a 是“和有界数列”，C 正确；若等比数列{}n a 是“和有界数列”，当1q =-时，若n 为偶数，则0n S =，若n 为奇数，则1n S a =，即1=n S a ，从而存在符合题意的实数H ，D 错误. 故选：BC 40．AD 【详解】因为123nn n a a a +=+，所以112323n nn n a a a a ++==+，所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n na -+=⨯，所以1231n na +=-，可得1123n n a +=-，故选项A 正确，选项B 不正确；因为1231n na +=-单调递增，所以1123n n a +=-单调递减，即{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()()2312132323232223n n n T n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+- 22122323412nn n n +-=⨯-=---．故选项D 正确；故选：AD ． 41．2n －1(n ∈N *) 【详解】a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即21232112,2,2n n n a a a a a a ---=⎧⎪-=⎪⎨⎪⎪-=⎩ 各式相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2，故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1(n ∈N *). 又1n =时，11a =符合a n ＝2n －1 故答案为：2n －1(n ∈N *). 42．12 【详解】由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∴302010201012S S S S -=-，∵数列{a n }是等比数列∴10302021222330201011121320S S a a a a q S S a a a a -++++==-++++ 故101012q =，解得：12q =± 因为等比数列{a n }为正项数列，所以0q >，故12q = 故答案为：12 43．2- 【分析】由等比数列的通项公式与性质求解即可【详解】∵等比数列{a n }的公比为12-，则()1351352461352a a a a aa a a a q a a a ++++==-++++.故答案为：2-44．4042. 【详解】由1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+ 两式相加可得：()112n n n n a b a b +++=+，故数列{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn n a b +=；两式相乘可得：()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++⋅=+-+=⋅，故数列{}n n a b ⋅是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n n a b -⋅=，故112n nn nn n n a b c a b a b ⎛⎫+=+==⎪⋅⎝⎭，故数列{}n c 的前2022项和为2021202124042S =⨯=，故答案为：4042 45．32 【详解】当q ＝1时，显然不符合题意；当q ≠1时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴a 8＝14×27＝32. 故答案为：32 46．（1）12n n b -=（2）[)2,+∞ （1）由已知可得()2111++=+n n a a ，所以()()1lg 12lg 1++=+n n a a ，即12n n b b +=，又()()11lg 1lg 191b a =+=+=，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b -=．（2）由（1）可知()1lg 12n n n a b -=+=，所以12101n n a -=-，12110n n n c a -=+=．所以021112222122212122101011010100n nn n n S c c c --+++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅==⋅=⋅．lg n n S b λ<即1212n n λ--<，即1122n λ->-，因为1122n --关于n 单调递增，而11222n --<且无限接近于2，所以实数λ的取值范围是[)2,+∞． 47．（1）21n a n =-（2）()12326n n T n +=-⨯+（1）设{}n a 的公差为d （0d ≠）．由题可知()()1211165636,24,a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩解得11,2,a d =⎧⎨=⎩所以{}n a 的通项公式为()12121n a n n =+-=-．（2）由（1）可知()212nn b n =-⨯，所以()()231123252232212n nn T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯…①()()23412123252232212n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯…②①－②得()()23122222212n n n T n +-=+⨯++⋅⋅⋅+--⨯()()()211121222212322612n n n n n -++⨯-=+⨯--⨯=-⨯--，所以()12326n n T n +=-⨯+．48．（1）A ＝－2，2nn a ＝.（2）()1122n n T n ++＝－（1）根据题意，数列{}n a 的前n 项和S n ＝2n ＋1＋A ，则a 1＝S 1＝22＋A ＝4＋A ，a 2＝S 2－S 1＝（23＋A ）－（22＋A ）＝4， a 3＝S 3－S 2＝（24＋A ）－（23＋A ）＝8，又由{}n a 为等比数列，则a 1×a 3＝（a 2）2，即（4＋A ）×8＝42＝16，解可得A ＝－2，则a 1＝4－2＝2，即数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a ＝，（2）设2n n b log a ＝，则设222nn n b log a log n ＝＝＝，则2nn n a b n ⨯＝，故231222322nn T n ⨯⨯⨯⋯⋯⨯＝＋＋＋＋，①则有()23121222122n n n T n n ⨯+⨯+⋯⋯+⨯⨯＋＝－＋，② ①－②可得：()231122222122n n n n T n n +++++⋯⋯+⨯－＝－＝－－，变形可得：()1122n n T n ++＝－，故()1122n n T n ++＝－.49．（1）证明：由题意有22111,(2)n n n n n n S S a S S a n ++-+=+=≥，两式相减得2211n n n n a a a a +++=-，即()22110n n n n a a a a ++--+=，所以()()1110n n n n a a a a ++--+=，因为数列{}n a 为正项数列，所以10n n a a ++>，所以11(2)n n a a n +-=≥，又因为2212S S a +=，即22122a a a +=，解得22a =，且11a =，所以211a a -=也满足上式，所以*11()n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 为以1为首项1为公差的等差数列；（2）证明：由（1）有()111n a n n =+-⨯=，又2112na n nb b ++⋅=，所以2112n n n b b ++⋅=，()21122n n n b b n --⋅=≥，两式相除有()2112112422n n n n b n b ++--==≥，又12b =，24b =，所以135721,,,,,n b b b b b -是以12b =为首项，公比为4的等比数列，24682,,,,,n b b b b b 是以24b =为首项，公比为4的等比数列，所以数列{}n b 是以12b =为首项，公比为2的等比数列，所以2nn b =，所以2n n na nb =，令1212n n na a a Tb b b =++⋅⋅⋅+，则()2111111212222n n nT n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， ()2311111112122222n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯，两式相减可得231111111111111222112222222212nn n n n n n T n n +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=++++-⨯=-⨯=--，所以222n nn T +=-，因为n N ∈，所以2222n nn T +=-<，从而得证原不等式成立. 50．（1）解：由11n n a S +=+，得11(2)n n a S n -=+≥，所以11(2)2(2)n n n n n a a a n a a n ++-=≥=≥，即又由11a =，得22a =，满足12n n a a +=，所以12n n a ，而122n n n n b b a +-==，所以1211222n n n b b ---=++⋯+，所以()1211212221=2121n n n nn b --⨯-=++++=--…；（2）证明：因为11+12111()2(21)(21)2121n nn n n n c -+==-----，所以121223111111111111()=(1)22221212121212121n n n n c c c ++++=-+-+--<-------.。

高三数学(理)一轮复习之双基限时训练：数列的概念与简单表示法(人教新课标).pdf

巩固双基,提升能力一、选择题 1．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于( ) A．11 B．12 C．13 D．14 解析：观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13. 答案：C 2．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(nN*)，则数列{an}的通项公式是( ) A．2n－1 B.n－1 C．n2 D．n解析：方法一：由已知整理，得(n＋1)an＝nan＋1，＝.数列是常数列，且＝＝1. an＝n. 方法二(累乘法)：n≥2时，＝，＝，＝，＝，以上各式两边分别相乘，得＝n. 又a1＝1，an＝n. 答案：D 3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋2，若对于nN*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是( ) A．k＞0 B．k＞－1 C．k＞－2 D．k＞－3 解析：an＋1＞an， (n＋1)2＋k(n＋1)＋2＞n2＋kn＋2，即k＞－(2n＋1)对于nN*都成立．而－(2n＋1)当n＝1时取到最大值－3，所以k＞－3. 答案：D 4．若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＝(n≥3，nN*)，则a17＝( ) A．1 B．2 C. D．2－987 解析：由已知，得a1＝1，a2＝2，a3＝2，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝2，a9＝2，a10＝1，a11＝，a12＝，即an的值以6为周期重复出现，故a17＝. 答案：C5．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，nN*)，则的值是( ) A. B. C. D. 解析：由已知，得a2＝1＋(－1)2＝2， a3a2＝a2＋(－1)3.a3＝. ∴a4＝＋(－1)4.a4＝3. 3a5＝3＋(－1)5.a5＝. ∴＝＝. 答案：C 6．在数列{an}中，an＝4n－，a1＋a2＋…＋an＝an2＋bn，nN*，其中a，b为常数，则ab等于( ) A．1 B．－1 C．2 D．－2 解析：方法一：n＝1时，a1＝，＝a＋b. 当n＝2时，a2＝，＋＝4a＋2b. 由得，a＝2，b＝－，ab＝－1. 方法二：a1＝，Sn＝＝2n2－n. 又Sn＝an2＋bn，a＝2，b＝－，ab＝－1. 答案：B 二、填空题 7．已知数列{an}中，a1＝20，an＋1＝an＋2n－1，nN*，则数列{an}的通项公式an＝__________. 解析：an＋1－an＝2n－1， a2－a1＝1，a3－a2＝3，…，an－an－1＝2n－3，n≥2.an－a1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)． an＝20＋＝n2－2n＋21. 答案：n2－2n＋21 8．已知{an}的前n项和为Sn，满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则an＝__________. 解析：由已知条件可得Sn＋1＝2n＋1， Sn＝2n＋1－1. 当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－1－2n＋1＝2n. n＝1时不适合an， an＝答案： 9．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，nN*，则a2 009＝__________，a2 014＝__________. 解析：a2 009＝a4×503－3＝1，a2 014＝a1 007＝a252×4－1＝0. 答案：1　0 三、解答题 10．已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝1，S2＝2，且Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(nN*且n≥2)，求该数列的通项公式．解析：由S1＝1，得a1＝1.又由S2＝2可知，a2＝1. Sn＋1－3Sn＋2Sn－1＝0(nN*，且n≥2)， Sn＋1－Sn－2Sn＋2Sn－1＝0(nN*，且n≥2)．即(Sn＋1－Sn)－2(Sn－Sn－1)＝0(nN*且n≥2)． an＋1＝2an(nN*且n≥2)，故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列．数列{an}的通项公式为an＝nN*. 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)． (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)由已知，{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)， a2＝a1＋4＝5，a3＝a2＋7＝12. (2)由已知，an＝an－1＋3n－2(n≥2)，得an－an－1＝3n－2. 由递推关系，得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4，累加得an－a1＝4＋7＋…＋3n－2 ＝＝. an＝(n≥2)．当n＝1时，a1＝＝1，数列{an}的通项公式an＝. 12．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6. (1)设bn＝an＋1－an，求{bn}的通项公式； (2)求n为何值时an最小. 解析：(1)由an＋2－2an＋1＋an＝2n－6，得 (an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2n－6. bn＋1－bn＝2n－6. 当n≥2时，bn－bn－1＝2(n－1)－6， bn－1－bn－2＝2(n－2)－6， b3－b2＝2×2－6， b2－b1＝2×1－6，累加得bn－b1＝2(1＋2＋…＋n－1)－6(n－1) ＝n(n－1)－6n＋6 ＝n2－7n＋6. 又b1＝a2－a1＝－14， bn＝n2－7n－8(n≥2)． n＝1时，b1也适合此式．故bn＝n2－7n－8. (2)由bn＝(n－8)(n＋1)，得an＋1－an＝(n－8)(n＋1)，当n＜8时，an＋1＜an；当n＝8时，a9＝a8；当n＞8时，an＋1＞an. 当n＝8或n＝9时，an的值最小．。

人教A版高中数学高一必修5双基练 2-5-2等比数列

双基限时练(十五)1．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )A ．33B ．72C ．84D ．189解析 ∵a 1＝3，a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝21， ∴1＋q ＋q 2＝7.解得q ＝2，或q ＝－3(舍去)．∴a 3＝a 1q 2＝12. ∴a 3＋a 4＋a 5＝a 3(1＋q ＋q 2)＝12×7＝84. 答案 C2．在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 5＋a 6＝( )A ．80B ．90C ．95D ．100解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝40， a 3＋a 4＝a 3(1＋q )＝60， ∴q 2＝a 3a 1＝32.∴a 5＋a 6＝q 2(a 3＋a 4)＝32×60＝90.答案 B3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数)，则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B．一定是等比数列C．或者是等差数列，或者是等比数列D．既非等差数列，也非等比数列解析由S n＝a n－1，知当a＝1时，S n＝0，此时{a n}为等差数列(a n＝0)．当a≠1时，{a n}为等比数列．答案 C4．数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…前n项和等于()A．2n＋1－n B．2n＋1－n－2C．2n－n D．2n解析解法1：当a1＝1，a2＝3，a3＝7，…，a n＝2n－1，∴S n＝a1＋a2＋…＋a n＝(2－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n－1)＝2＋22＋23＋…＋2n－n＝2(2n－1)2－1－n＝2n＋1－2－n.解法2：取n＝2，则S2＝4，排除A，C，取n＝3，则S3＝11，排除D.答案 B5．已知数列a，a(1－a)，a(1－a)2，…是等比数列，则实数a的取值范围是()A ．a ≠1B ．a ≠0或a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0且a ≠1解析由等比数列的定义，知a ≠0，且a ≠1. 答案 D6．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析依题意，有4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 2)＝a 1＋3(a 1＋a 2＋a 3)，即a 2＝3a 3，∴q ＝a 3a 2＝13.答案 137．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的序号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③{1a n }；④{lg|a n |}答案 ①②③8．求数列32，94，258，6516，…的前n 项和．解 S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋124＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n ＝n (1＋n )2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋n 2＋1－12n .9．等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ， a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3·a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，解得d ＝0，或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200. 当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝7.于是S 20＝20a 1＋20×192×d ＝20×7＋190＝330.10．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3＝a 2＋4，得2q 2＝2q ＋4，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，∴q ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)由题意S n ＝2(1－2n )1－2＋n ×1＋n (n －1)2×2＝2n ＋1＋n 2－2.11．已知公差不为0的等差数列{a n }的前4项的和为20，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n ×2a n ，求数列{b n }的前n 项和，并判断是否存在n (n ∈N *)，使得S n ＝1440成立？若存在，求出所有n 的解；若不存在，请说明理由．解 (1)设{a n }的公差为d ，依题意得⎩⎨⎧S 4＝20，a 22＝a 1·a 4，即⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝10，d 2＝a 1d .解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.∴a n ＝2n .(2)∵b n ＝n ×22n ＝n ×4n ，∴S n ＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)×4n －1＋n ×4n ， 4S n ＝1×42＋2×43＋…＋(n －1)×4n ＋n ×4n ＋1，两式相减，得－3S n ＝4＋42＋43＋…＋4n －n ×4n ＋1∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3－194n ＋1＋49.令⎝ ⎛⎭⎪⎫n 3－194n ＋1＋49＝1440，化简得(3n －1)4n ＝3239. ∵左边为偶数，右边为奇数，∴方程无解．即不存在n ∈N *，使S n ＝1440成立．。

高中数学北师大必修五活规范训练等比数列的前n项和含解析

3.2 等比数列的前n 项和双基达标(限时20分钟)1．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为 ( )． A ．4 B ．－4 C ．2 D ．－2 解析 S 5＝a 1(1－q 5)1－q ，∴44＝a 1[1－(－2)5]1－(－2)，∴a 1＝4，故选A.答案 A2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝ ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 3S 3－3S 2＝3a 3＝a 4－a 3⇒a 4＝4a 3⇒q ＝4. 答案 B3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ ( )．A ．2 B.73 C.83D ．3解析由题意知S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴S 9S 6＝a 1(1－q 9)1－q a 1(1－q 6)1－q＝1－q 91－q 6＝1－(q 3)31－(q 3)2＝1－81－4＝73.答案 B4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 解析 ∵S 6＝4S 3，∴a 1(1－q 6)1－q ＝4a 1(1－q 3)1－q ，解得q 3＝3.∴a 4＝a 1q 3＝3. 答案 35．数列{a n }是等比数列，其前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝8，则S 12＝________.解析由等比数列前n 项和的性质，知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，即(S 8－S 4)2＝ S 4(S 12－S 8)，又S 4＝2，S 8＝8，故S 12＝26. 答案 266．在等比数列{a n }中，a 3－a 1＝8，a 6－a 4＝216，S n ＝40.求公比q ，a 1及n . 解显然公比q ≠1，由已知可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2－a 1＝8，a 1q 5－a 1q 3＝216，a 1(1－q n )1－q ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3，n ＝4.综合提高（限时25分钟）7．已知数列前n 项的和S n ＝2n －1，则此数列奇数项的前n 项的和是 ( )． A.13(2n ＋1－1) B.13(2n ＋1－2) C.13(22n －1) D.13(22n －2) 解析由S n ＝2n －1知当n ＝1时，a 1＝21－1＝1. 由n ≥2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时也适合， ∴a n ＝2n －1.∴奇数项的前n 项和为 S n ＝4n －14－1＝13(4n －1)＝13·(22n －1)．答案 C8．若S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n 2，则{a n }是 ( )． A ．等比数列，但不是等差数列 B ．等差数列，但不是等比数列 C ．等差数列，而且也是等比数列 D ．既非等差数列又非等比数列解析 a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，则a n ＋1－a n ＝2，但a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1≠常数，∴{a n }是等差数列，但不是等比数列．答案 B9．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是________．解析设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由题意，可知a 1＝81，a 5＝16，故q 4＝a 5a 1＝1681，得q ＝±23.又等比数列的各项都是正数，则q ＝23.所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝211.答案 21110．设数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则x 101＋x 102＋…＋x 200＝________.解析由lg x n ＋1＝1＋lg x n ，∴lg x n ＋1＝lg(10x n )，∴x n ＋1x n ＝10.故x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝10100×100＝10102. 答案 1010211．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解 (1)∵a n ＋1＝2S n ，∴S n ＋1－S n ＝2S n ，∴S n ＋1S n＝3.又∵S 1＝a 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公比为3的等比数列，S n ＝3n －1(n ∈N ＋)．当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2·3n －2(n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.(2)T n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n . 当n ＝1时，T 1＝1；当n ≥2时，T n ＝1＋4·30＋6·31＋…＋2n ·3n －2， 3T n ＝3＋4·31＋6·32＋…＋2n ·3n －1 ①－②得－2T n ＝－2＋4＋2(31＋32＋…＋3n －2)－2n ·3n －1 ＝2＋2·3(1－3n －2)1－3－2n ·3n －1＝－1＋(1－2n )·3n －1. ∴T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫n －123n －1(n ≥2)．又∵T 1＝a 1＝1也满足上式， ∴T n ＝12＋⎝⎛⎭⎫n －123n －1(n ∈N ＋)． 12．(创新拓展)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)求a n ；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)∵a n ＋1＝2a n ＋2n，∴a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1，即有a n ＋12n －a n 2n －1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1是以a 120＝1为首项，公差为1的等差数列，∴a n 2n －1＝a 120＋(n －1)＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.(2)S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n－1,2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n 两式相减，得S n ＝n ·2n －1×20－21－…－2n －1＝n ·2n －2n ＋1.。

人教版高二数学必修5等比数列同步训练(带答案)

人教版高二数学必修5等比数列同步训练（带答案）为了协助大家停止课后温习，查字典数学网整理了数学必修5等比数列同步训练，希望大家好好练习。

一、选择题1.数列{an}为等比数列的充要条件是()A.an+1=anq(q为常数)B.a2n+1=anan+20C.an=a1qn-1(q为常数)D.an+1=anan+2解析：各项都为0的常数数列不是等比数列，A、C、D选项都有能够是0的常数列，应选B.答案：B2.等比数列{an}的公比q=-13，那么a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8等于()A.-13B.-3C.13D.3解析：a1+a3+a5+a7a2+a4+a6+a8=a1+a3+a5+a7a1+a3+a5+a71q=1q= -3，应选B.答案：B3.假定a，b，c成等比数列，其中0A.等比数列B.等差数列C.每项的倒数成等差数列D.第二项与第三项区分是第一项与第二项的n次幂解析：∵a，b，c成等比数列，且0答案：C4.(2021江西文)等比数列{an}中，|a1|=1，a5=-8a2，a5a2，那么an=()A.(-2)n-1B.-(-2)n-1C.(-2)nD.-(-2)n剖析：此题主要考察等比数列的基本知识.解析：a5=-8a2a2q3=-8a2，q3=-8，q=-2.又a5a2，即a2a2，q3=-8.可得a20，a10.a1=1，q=-2，an=(-2)n-1.应选A.答案：A5.在等比数列{an}中，a6a7=6，a3+a10=5，那么a28a21=()A.23B.32C.23或32D.732解析：由及等比数列性质知a3+a10=5，a3a10=a6a7=6.解得a3=2，a10=3或a3=3，a10=2.q7=a10a3=23或32，a28a21=q7=23或32.应选C.答案：C6.在等比数列{an}中，a5a11=3，a3+a13=4，那么a15a5=()A.3B.13C.3或13D.-3或-13解析：在等比数列{an}中，∵a5a11=a3a13=3，a3+a13=4，a3=1，a13=3或a3=3，a13=1，a15a5=a13a3=3或13.应选C. 答案：C7.(2021重庆卷)在等比数列{an}中，a2021=8a2021，那么公比q的值为()A.2B.3C.4D.8剖析：此题主要考察等比数列的通项公式.解析：由a2021=8a2021，可得a2021q3=8a2021，q3=8，q=2，应选A.答案：A8.数列{an}中， a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5() A.成等比数列 B.成等差数列C.每项的倒数成等差数列D.每项的倒数成等比数列解析：由题意可得2a2=a1+a3，a23=a2a4，2a4=1a3+1a5a2=a1+a32，①a4=a23a2，②2a4=1a3+1a5.③将①代入②得a4=2a23a1+a3，再代入③得a1+a3a23=a5+a3a3a5，那么a5a1+a3a5=a3a5+a23，即a23=a1a5，a1，a3，a5成等比数列，应选A.答案：A9.x是a、b的等差中项，x2是a2，-b2的等差中项，那么a 与b的关系是()A.a=b=0B.a=-bC.a=3bD.a=-b或a=3b解析：由得2x=a+b2x2=a2-b2 ①②故①2-②2得a2-2ab-3b2=0，a=-b或a=3b.答案：D10.(2020广东卷)等比数列{an}满足an0，n=1,2，，且a5a2n-5=22n(n3)，那么当n1时，log2a1+log2a3++log2a2n-1=()A.n(2n-1)B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，∵a5a2n-5=22n(n3)，a1q4a1q2n-6=22n，即a21q2n-2=22n(a1qn-1)2=22n(an)2=(2n)2，∵an0，an=2n，a2n-1=22n-1，log2a1+log2a3++log2a2n-1=log22+log223++log222n-1=1+ 3++(2n-1)=1+2n-12n=n2，应选C.答案：C二、填空题11.等比数列{an}中，a3=6，a10=768，那么该数列的通项an=________.解析：由得q7=a10a3=128=27，故q=2.an=a3qn-3=32n-2. 答案：32n-212.在1和100之间拔出n个正数，使这(n+2)个数成等比数列，那么拔出的这n的数的积为________.解析：应用性质aman=apaq(其中m+n=p+q).设拔出的n个数为a1，a2，，an，G=a1a2an，那么G2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(ana1)=(1100)n，G=10n，故填10n.答案：10n13.-9，a1，a2，-1四个实数成等差数列，-9，b1，b2，b3，-1五个实数成等比数列，那么b2(a2-a1)=________.解析：∵-9，a1，a2，-1成等差数列，a2-a1=-1--94-1=83=d.又∵-9，b1，b2，b3，-1成等比数列，那么b22=-9(-1)=9，b2=3.当b2=3时，由于-9与3异号，此时b1不存在，b2=-3，b2(a2-a1)=-8.答案：-814.假定a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且解析：a，b，a+b成等差数列有b=2a，a，b，ab成等比数列有b=a2，那么有a=2，所以ab=8,0答案：{n|n8}三、解答题15.(2021全国卷Ⅰ文)记等差数列{an}的前n项和为Sn.设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn.解析：设数列{an}的公差为d.依题设有2a1a3+1=a22，a1+a2+a3=12，a21+2a1d-d2+2a1=0，a1+d=4. 解得a1=1，d=3，或a1=8，d=-4.因此Sn=12n(3n-1)，或Sn=2n(5-n).16.等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d，又知d1，且a1=b1，a4=b4，a10=b10.(1)求a1及d的值;(2)b16是不是{an}中的项?解析：(1)由a1=b1，a4=b4，a10=b10a1+3d=a1d3，a1+9d=a1d9. a11-d3=-3d，a11-d9=-9dd6+d3-2=0d1=1(舍去)，d2=3-2=-32.所以d=-32，a1=-d=32，b1=32.(2)由于b16=b1d15=-32a1，假设b16是{an}中的项，那么有-32a1=a1+(k-1)d.所以(k-1)d=-33a1=33d.所以k=34，即b16是{an}中的第34项.17.四个数成等比数列，其积为1，第二项与第三项之和为-32，求这四个数.解析：设这四个数区分为a，aq，aq2，aq3.那么a4q6=1，①aq1+q=-32 ②由①得a2q3=1，即a2q2=由②得a2q2(1+q)2=94，③把a2q2=1q代入③得q2-14q+1=0，此方程无解.把a2q2=-1q代入③得q2+174q+1=0，解得q=-4或q=-14.当q=-4时，a=-18或a=18(舍);当q=-14时，a=8或a=-8(舍).这四个数区分是8，-2，12，-18或-18，12，-2,8.18.在各项均为正数的数列{an}中，2an=3an+1，且a2a5=827.(1)求证：{an}是等比数列，并求出通项公式.(2)试问-1681能否为该数列的项?假定是，是第几项;假定不是，请说明理由.解析：(1)∵2an=3an+1，an+1an=23，故数列{an}是公比q=23的等比数列.又a2a5=827，那么a1qa1q4=827，即a21(23)5=(23)3，由于数列各项均为正数，那么a1=-32，an=-32(23)n-1=-(23)n-2.(2)设an=-1681，由等比数列的通项公式得-1681=-(23)n-2，即(23)4=(23)n-2.依据指数的性质有4=n-2，n=6.因此-1681是这个数列的第6项.以上是数学必修5等比数列同步训练及答案的一切内容，请同窗们好好应用，提高自己。

海南省临高县临高二中2020-2021学年高二数学必修5等比数列的前n项和双基达标练习题

海南省临高县临高二中2020-2021学年高二数学必修5等比数列的前n 项和双基达标练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5=0，则52S S =________. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=2,S 6=18，则S 10S 5= 4．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 5．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q =________.6．若等比数列{a n }中，a 1=1，a n =－512，前n 项和为S n =－341，则n 的值是________. 7．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4=18，a 2＋a 3=12，则此数列的前8项和为________.8．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4=1，S 3=7，则S 5=____________.9．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S a =-，则该数列的通项公式n a =______ 10．在数列{a n }中，a n ＋1=ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n =3n ＋k ，则实数k 的值为________.二、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n =66，a 3a n －2=128，S n =126，求n 和q .12．求和：S n =x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0).13．已知等比数列前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为S n ，S 2n ，S 3n ，求证：222n nS S -=S n (S 2n ＋S 3n ).14．已知数列{a n }的前n 项和S n =2n ＋2－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案1．－11【解析】通过8a 2＋a 5＝0，设公比为q ，将该式转化为8a 2＋a 2q 3＝0，解得q ＝－2，所以52S S ＝5211q q --＝333-＝－11. 2．3【解析】试题分析：1631,4a S S ==，显然1q ≠()()63113311414311a q a q q q q q --∴=⨯∴+=∴=--，3413a a q ∴==考点：等比数列通项及求和点评：等比数列通项公式11n n a a q-=，求和公式：1n =时1n S na =，1n ≠时()111n n a q S q -=-3．33【解析】因为等长连续片段的和依然是等比数列，因此可是公比为q3=8,q =2，那么利用整体思想可知所求的为S 10S 5=33 4．152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 5．1【解析】当q=1时，S n =na 1,显然｛S n ｝是等差数列.当q ≠1时，因为S n =a 1(1−q n )1−q 并且｛S n ｝是等差数列,所以S n −S n−1=a 1(1−q n )1−q −a 1(1−q n−1)1−q =a 1(q n−1−q n )1−q =a 1q n−1(1−q)1−q ，因为它与n 无关，所以a 1=0这与a 1≠0矛盾，所以不成立.所以q=1.6．10【解析】很明显数列的公比1q ≠，则：S n =11n a a q q--，∴－341=15121q q +-， ∴q =－2，又∵a n =a 1q n －1，∴－512=(－2)n －1，∴n =10.7．510【解析】由a 1＋a 4=18和a 2＋a 3=12，得方程组：3112111812a a q a q a q ⎧+=⎨+=⎩，解得a 1=2,q =2或a 1=16,q =0.5. ∵q 为整数，∴q =2，a 1=2，S 8=()821212⨯--=29－2=510. 8．314【解析】∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4=1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且22431a a a ==，即a 3=1.∵S 3=7，∴a 1＋a 2＋a 3=21q ＋1q＋1=7，即6q 2－q －1=0. 故q =12或q =－13(舍去)，∴a 1=21q =4.∴S 5=51412112⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=8(1－512)=314. 点睛：等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．9．12n -【分析】根据1121S a =-求出1a ；利用11n n n a S S ++=-得到12n n a a +=，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.【详解】由21n n S a =-得：1121n n S a ++=-11122n n n n n a S S a a +++∴=-=-，即12n n a a += 又1121S a =-，则11a =由此可得，数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列则12n n a本题正确结果：12n -【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用n S 证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.10．－1【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，∴a 1＝3＋k ＝2，∴k ＝－1.11．n =6，q =12或2. 【解析】试题分析：由题意可得方程组a 1a n =128,a 1+a n =66,则a 1=64,a n =2①或a 1=2,a n =64②，据此分类讨论可得n =6，q =12或2. 试题解析：∵a 3a n －2=a 1a n ，∴a 1a n =128，解方程组1112866n na a a a =⎧⎨+=⎩, 得a 1=64,a n =2①或a 1=2,a n =64②将①代入S n =11n a a q q --，可得q =12，由a n =a 1q n －1可解得n =6. 将②代入S n =11n a a q q --，可得q =2，由a n =a 1q n －1可解得n =6. 故n =6，q =12或2. 12．S n =(1)2n n +(x =1)；S n =2(1)(1)n x x x --－11n nx x+-.（x ≠1且x ≠0）. 【解析】试题分析：由题意分x =1和x ≠1两种情况讨论：(1)当x =1时，S n =()12n n +.(2)当x ≠1时，错位相减可得S n =()()211n x x x --－11n nx x +-.试题解析：分x =1和x ≠1两种情况. (1)当x =1时，S n =1＋2＋3＋…＋n =()12n n +.(2)当x ≠1时，S n =x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，xS n =x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n =x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1=()11nx x x--－nx n ＋1.∴S n =()()211n x x x --－11n nx x +-. 综上可得S n =()12n n +(x =1)；S n =()()211n x x x --－11n nxx +-.（x ≠1且x ≠0）.13．证明见解析【解析】试题分析：设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，分类讨论：当q =1时，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，满足()22223n n n n n S S S S S +=+, 当q ≠1时，则S n =()111n a q q --，S 2n =()2111n a q q --，S 3n =()3111n a q q --，据此计算可知也满足()22223n n n n n S S S S S +=+.综上可得题中的等式成立.试题解析：设此等比数列的公比为q ，首项为a 1，当q =1时，则S n =na 1，S 2n =2na 1，S 3n =3na 1，S ＋S =n 2a ＋4n 2a =5n 2a ，S n (S 2n ＋S 3n )=na 1(2na 1＋3na 1)=5n 2a ， ∴S ＋S =S n (S 2n ＋S 3n ).当q ≠1时，则S n =()111n a q q --，S 2n =()2111n a q q --，S 3n =()3111n a q q --， ∴S ＋S =211a q ⎛⎫ ⎪-⎝⎭·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2]=211a q ⎛⎫ ⎪-⎝⎭·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n ). 又S n (S 2n ＋S 3n )=211a q ⎛⎫ ⎪-⎝⎭·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S ＋S =S n (S 2n ＋S 3n ). 14．(1)12n n a +=；(2)12n n T n +=⋅. 【解析】试题分析：(1)由题意，分类讨论n ≥2和n =1两种情况可得数列{a n }的通项公式为a n =2n ＋1，n ∈N *.(2)结合(1)的结果可知b n =a n log 2a n =(n ＋1)·2n ＋1，错位相减可得数列{b n }的前n 项和T n =n ·2n ＋2.试题解析：(1)由题意，S n =2n ＋2－4，n ≥2时，a n =S n －S n －1=2n ＋2－2n ＋1=2n ＋1，当n =1时，a 1=S 1=23－4=4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n =a n log 2a n =(n ＋1)·2n ＋1，∴T n=2·22＋3·23＋4·24＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1，①2T n=2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2.②②－①得，T n=－23－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2=－23－()3121212n---＋(n＋1)·2n＋2=－23－23(2n－1－1)＋(n＋1)·2n＋2=(n＋1)·2n＋2－23·2n－1=(n＋1)·2n＋2－2n＋2=n·2n＋2.点睛：一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．。

等比数列基础练习题

等比数列综合练习题一、选择题 (每小题4分，共40分)1. 已知等比数列}{n a 中1n n a a +>，且37283,2a a a a +=⋅=，则117a a =（） A.21B. 23C. 32D. 2 2.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a 2a =1，则1a = ( ) A.21B. 22C. 2D.23. 在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( )A. 4-B. 4±C. 2- D .2±4. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m =( )A.38B.20C.10D.9 5.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69SS =( ) （A ） 2 （B ）73 （C ） 83（D ）3 6. 已知等比数列的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学计算得到S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为( )A ．S 1B ．S 2C ． S 3D ．S 47. 已知n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且421,,S S S 成等比数列，则132a a a +等于( ) A. 4 B. 6 C.8 D.108. 已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项的和为n S ，则45S a 与54S a 的大小关系是( ) A.4554S a S a <B.4554S a S a >C.4554S a S a =D.不确定9. 已知等比数列a a S n a n n n 则项和的前,612}{1+⋅=-的值为( )A ．31 B ．21 C ．—31 D ．—2110. 若{}n a 是等比数列,前n 项和21n n S =-,则2222123n a a a a ++++=( )A.2(21)n -B.21(21)3n - C.41n - D.1(41)3n-二、填空题 (每小题4分，共16分)11. 已知数列1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a _______．12. 已知等差数列{a n }，公差d ≠0,431a a a ，，成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=13. 等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S = 。

等比数列·双基能力训练

等比数列·双基能力训练(一)选择题：1．数列m，m，m，…，一定 [ ]A.．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，但不一定是等比数列D．既是等差数列，又是等比数列④lg2，lg4，lg8，那么[ ]A．①和②是等比数列B．②和③是等比数列C．③是等比数列，④是等差数列D．②是等比数列，④是等差数列A．充分条件但非必要条件B．充分且必要条件C．必要条件但非充分条件D．既非充分又非必要条件4．已知｛a n｝是等比数列，且a n＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6=25，那么a3＋a5的值等于 [ ]A．5B．10C．15D．205．等差数列｛a n｝的首项a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于 [ ]A．3B．2C．-2D．2或-26．等比数列｛a n｝中，a5＋a6＝a7-a5＝48，那么这个数列的前10项和等于 [ ]A．1511B．512C．1023D．10247．等比数列｛a n｝中，a2＝6，且a5-2a4-a3＝-12，则a n等于 [ ] A．6B．6·(-1)n-2C．6·2n-2D．6或6·(-1)n-2或6·2n-28．等比数列｛a n｝的首项为1，公比为q，前n项之和为S，则B．S9．若等差数列｛a n｝的首项为1，｛b n｝是等比数列，把这两个数列对应项相加所得的新数列｛a n＋b n｝的前3项为3，12，23，则｛a n｝的公差d 与｛b n｝的公比q之和为 [ ]A．14B．9C．7D．-510．某种产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的2000元降到1800元，这种产品平均每次降价的百分率是[ ]11．已知a1，a2，…，a8是各项为正数的等比数列，公比q≠1，则 [ ] A．a1＋a8＞a4＋a5B．a1＋a8＜a4＋a5C．a1＋a8＝a4＋a5D．a1＋a8和a4+a5的大小关系不能由已知条件确定12．某工厂产值的月平均增长率为P，则该厂的年平均增长率为 [ ] A．(1＋P)12B．(1＋P)12-1C．(1＋P)11D．(1+P)11-1(二)填空题：13．一个数列的前n项和S n＝8n-3，则它的通项公式a n＝____．14．若等比数列的首项为4，公比为2，则其第3项和第5项的等比中项是______．15．在等比数列｛a n｝中，(2)若S3=7a3，则q＝______；(3)若a1＋a2＋a3＝-3，a1a2a3＝8，则S4=____．16．在等比数列｛a n｝中，(1)若a7·a12=5，则a8·a9·a10·a11=____；(2)若a1＋a2＝324，a3+a4＝36，则a5＋a6＝______；(3)若q为公比，a k＝m，则a k＋p＝______；(4)若a n＞0，q=2，且a1·a2·a3…a30=230，则a3·a6·a9…a30=_____．式a n＝_______．18．在2和30之间插入两个正数，使前三个成为等比数列，后三个成等差数列，则这两个正数之和是_______．(三)解答题：19．求和：(1)S＝1＋x＋x2＋…＋x n(x∈R)；(2)S＝(3-1)＋(32-2)＋(33-3)＋…＋(37-7)．20．在数列｛a n｝中，a1＝a≠0，且S1，S2，…，S n，…组成公比为q(q ≠1)的等比数列，求证：数列a2，a3，a4，…也成等比数列，并求其首项与公比．21．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成公差是30的等差数列，求这四个数．22．已知等比数列｛a n｝的首项为a，公比为9，前n项和为S n；等差数列｛b n｝的首项为a，公差也为a，前k项和为S k．试问：是否存在自然数k 与n使S k＝S n？若存在时，写出k与n的关系式；若不存在，说明理由等比数列·双基能力训练·答案提示(一)1．C 2．D 3．C 4．A5．B 6．C 7．D 8．C9．B 10．D 11．A 12．B提示：9．a1＝1，b1＝2，由已知1＋d＋2q＝12，1＋2d＋2q2＝23，解得q＝2，d＝7．11．a1＋a8-a4-a5＝a1(1＋q7-q3-q4)=a1(q4-1)·(q3-1)=a1(q2+1)(q-1)(q＋1)(q-1)(q2+q+1)＝a1(q2+1)(q-1)2(q2+q＋1)．由a n＞0，则a1＞0，q＞0，可知上式＞0．12．设a1是第一年第1个月的产值，a n是第n个月的产值，显然｛a n｝是等比数列，a n=a1(1+p)n-1，设S1＝a1+a2＋…＋a12，S2＝a13+a14＋…(2)S=(3＋31＋…＋37)-(1＋2＋…＋7)＝3251．20．由于｛S n｝成等比数列且公比为q(q≠1)，即a2，a3，…成等比数列．数列a2，a3，…的首项为a(q-1)，公比为q．21．5，15，45，75．＝1，k=1是方程的一组解，所以必存在此k与n，当3n-1＝2k时，S n＝S k成立。

巩固双基

双基限时练巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·安徽)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7 解析：由题意得a 3a 11＝a 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 10232＝16⇒a 10＝25，故log 2a 10＝5.答案：B2．(2012·课标全国)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 4×a 1q 5＝－8，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 3×a 1q 6＝－8⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝－2，a 1q 6＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝4，a 1q 6＝－2.⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2或⎩⎨⎧a 1＝－8，q 3＝－12.所以当a 1＝1，q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝1＋(－2)3＝－7；当a 1＝－8，q 3＝－12时，a 1＋a 10＝－8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－7，所以选D.答案：D3．若S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：由8a 2＋a 5＝0，得8a 1q ＋a 1q 4＝0，得q ＝－2，则S 5S 2＝a 1(1＋25)a 1(1－22)＝－11.答案：D4．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10.又∵a m ＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11. 答案：C5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．若a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172解析：∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1， ∴设{a n }的公比为q ，则q ＞0，且a 23＝1，即a 3＝1. ∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12，或q ＝－13(舍去)，a 1＝1q 2＝4.故S 5＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－125＝314. 答案：B6．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设公比为q (q ≠0)，则由a 2·a 3＝2a 1知a 1q 3＝2，得a 4＝2. 又∵a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∴a 1＝16，q ＝12.故S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.答案：C 二、填空题7．(2012·浙江)设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝__________.解析：当q ＝1时，由S 2＝3a 2＋2得a 2＝－2，由S 4＝3a 4＋2得a 4＝2，两者矛盾，舍去，则q ≠1，联立方程⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1(1－q 4)1－q ＝3a 1q 3＋2，可解得⎩⎨⎧a 1＝－1，q ＝32，故应填32.答案：328．(2012·辽宁)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝__________.解析：设公比为q ，由a 25＝a 10得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q . 又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2(q ＝12舍)，∴a n ＝a 1·q n －1＝2n . 答案：2n9．(2013·山西质检)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3，S 12－S 8＝12，则S 8＝__________.解析：由S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列，得(S 8－S 4)2＝S 4(S 12－S 8)，解得S 8＝9或S 8＝－3，又由等比数列的前n 项和公式知S 8与S 4同号，故S 8＝9.答案：9 三、解答题10．(2013·许昌联考)设a 1＝2，a 2＝4，数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n ，b n ＋1＝2b n ＋2.(1)求证：数列{b n ＋2}是等比数列(要指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：∵b n ＋1＝2b n ＋2，∴b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)． ∴b n ＋1＋2b n ＋2＝2. 又∵b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)∵b n ＋2＝4·2n －1，∴b n ＝2n ＋1－2， ∴a n ＋1－a n ＝2n ＋1－2.在上式中，令n ＝1,2,3，…，(n －1)，叠加得 a n ＝2n ＋1－2n .11．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解析：(1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n2，所以S n ＝1－a n 2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2. 所以{}b n 的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.12．(2013·揭阳调研)已知数列{a n }是首项为2，公比为12的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项a n 及S n ；(2)设数列{b n ＋a n }是首项为－2，第三项为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .解析：(1)∵数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝12的等比数列，∴a n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n . (2)依题意得数列{b n ＋a n }的公差d ＝2－(－2)2＝2，∴b n ＋a n ＝－2＋2(n －1)＝2n －4， ∴b n ＝2n －4－22－n .设数列{b n ＋a n }的前n 项和为P n 则P n ＝n (－2＋2n －4)2＝n (n －3)，∴T n ＝P n －S n ＝n (n －3)－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n＝n 2－3n －4＋22－n .双基限时练巩固双基,提升能力一、选择题1．(2013·菏泽调研)等差数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1，数列(1a n a n ＋1)，其前n 项和为S n ，则S n 等于( ) A.2n 2n ＋1 B.n 2n ＋1 C.n 2n －1D ．以上都不对解析：∵a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n －1)＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1 ＝n 2n ＋1. 答案：B2．(2013·济宁月考)若数列{a n }的通项为a n ＝4n －1，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，n ∈N *，则数列{b n }的前n 项和是( )A ．n 2B ．n (n ＋1)C ．n (n ＋2)D ．n (2n ＋1)解析：a 1＋a 2＋…＋a n ＝(4×1－1)＋(4×2－1)＋…＋(4n －1)＝4(1＋2＋…＋n )－n ＝2n (n ＋1)－n ＝2n 2＋n ，∴b n ＝2n ＋1，b 1＋b 2＋…＋b n ＝(2×1＋1)＋(2×2＋1)＋…＋(2n ＋1) ＝n 2＋2n ＝n (n ＋2). 答案：C3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( )A ．66B ．65C ．61D ．56 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2] ＝2n －5.∴a 2＝－1，a 3＝1，a 4＝3，…，a 10＝15.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋8(1＋15)2＝2＋64＝66.答案：A4．若S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＋S 33＋S 50等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．2解析：S n ＝⎩⎨⎧n ＋12(n 为奇数)，－n2(n 为偶数).故S 17＝9，S 33＝17，S 50＝－25，S 17＋S 33＋S 50＝1. 答案：A5．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋2(n ∈N *)，若前n 项和为S n ，则S n 为( )A.n ＋2－1B.n ＋2＋n ＋1－2－1C.12(n ＋2－1) D.12(n ＋2＋n ＋1－2－1) 解析：∵a n ＝1n ＋n ＋2＝12(n ＋2－n )，∴S n ＝12(3－1＋4－2＋5－3＋6－4＋…＋n －n －2＋n ＋1－n －1＋n ＋2－n )＝12(－1－2＋n ＋1＋n ＋2)＝12(n ＋2＋n ＋1－2－1).答案：D6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n＝( )A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18 (n ＞3) D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 (1≤n ≤3)，n 2－6n (n ＞3)解析：由S n ＝n 2－6n ，得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7. ∴n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时a n ＞0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18 (n ＞3).答案：C 二、填空题7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________.解析：由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)．∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n .② 由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1. 答案：(n －1)·2n ＋18．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________．解析：∵a n ＝n (n ＋1)2n ＋1＝n 2，∴b n ＝8n (n ＋1)＝8⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n ＋1. ∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1. 答案：8nn ＋19．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)．与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2.∴n ＝1时，a 1适合a n .∴a n ＝4(n ＋1)2. ∴a nn ＋1＝4n ＋4， ∴a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n (8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n 三、解答题10．设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.∴当n ≥2时a n ＝22n －1，而a 1＝2，符合上式，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. (2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1，知 S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②，得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1. 即S n ＝19[(3n －1)22n ＋1＋2]．11．已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知，a n ＝2n ＋1，从而b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，从而T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝n4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).12．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比q ＝14的等比数列，设b n＋2＝3log 14a n (n ∈N *)，数列{c n }满足c n ＝a n ·b n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n .解析：(1)由题意，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)，又b n ＝3log 14a n －2，故b n＝3n －2(n ∈N *)．(2)由(1)，知a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，b n ＝3n －2(n ∈N *)，∴c n ＝(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(n ∈N *)．∴S n ＝1×14＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，于是14S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫144＋…＋(3n －5)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＋(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1，两式相减，得34S n ＝14＋3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －(3n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1＝12－(3n ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋1， ∴S n ＝23－3n ＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n (n ∈N *)．双基限时练巩固双基,提升能力一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12解析：设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案：B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.答案：C3．数列{a n }中，a n ＝3n －7(n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2，且n ∈N *)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在，且不唯一D ．不一定存在解析：依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2， ∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13. 若a n ＋log k b n 是常数，则3＋3log k 13＝0.即log k 3＝1，∴k ＝3. 答案：B4．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，点O 是平面上不在l 上的任意一点，l 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →，则S 2 010＝( )A ．1 004B ．2 010C ．2 009D ．1 005解析：如图所示，设AB →＝λAC →，则a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →)．故(a 2－1＋λ)OA →＝(λ－a 2 009)OC →. 又∵A 、B 、C 三点不重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＋λ＝0，λ－a 2 009＝0，∴a 2＋a 2 009＝1. 又∵a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，∴{a n }为等差数列． ∴S 2 010＝2 010×(a 1＋a 2 010)2＝2 010×(a 2＋a 2 009)2＝1 005.答案：D5．抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交点分别为A n ，B n (n ∈N *)，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|的值是( )A.2 0092 010B.2 0102 011C.2 0112 012D.2 0122 013解析：令y ＝0，则(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0. 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n .解得x 1＝1n ，x 2＝1n ＋1∴|A n B n |＝1n －1n ＋1，∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|＝2 0102 011.答案：B6．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析：依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案：D 二、填空题7．已知等比数列{a n }中，a 2＞a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是__________．解析：∵a 2＞a 3＝1，∴0＜q ＝a 3a 2＜1，a 1＝1q 2＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝a 1(1－q n )1－q －1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q＝a 1(1－q n )1－q －q (1－q n )a 1(1－q )q ≥0，∴a 1(1－q n )1－q ≥q (1－q n )a 1(1－q )q n .∵0＜q ＜1，化简，得a 21≥1qn －1，q 4≤q n －1，∴4≥n －1，n ≤5，所以n 的最大值为5. 答案：58．已知函数f (x )＝sin x ＋tan x ，项数为27的等差数列{a n }满足a n∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且公差d ≠0，若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝__________时，f (a k )＝0.解析：由于f (x )＝tan x ＋sin x ，显然该函数为奇函数．若a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，可以得出等差数列{a n }的这27项在0的两侧对称分布，所以处在中间位置的a 14＝0⇒f (a 14)＝0.答案：149．在各项均为正数的数列{a n }中，S n 为前n 项和，na 2n ＋1＝(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1且a 3＝π，则tan S 4＝__________.解析：由na 2n ＋1＝(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1.可得(a n ＋a n ＋1)(na n ＋1－na n －a n )＝0. ∵数列{a n }各项都为正数，∴a n ＋a n ＋1＞0，∴na n ＋1－na n －a n ＝0. ∴a n a n ＋1＝n n ＋1. ∴a 3a 4＝34，a 4a 5＝45，…，a n －1a n ＝n －1n . 各式相乘，得a 3a n ＝3n .∵a 3＝π，∴a n ＝n π3.∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝π3＋2π33π3＋4π3＝10π3.∴tan S 4＝tan 10π3＝tan π3＝ 3.答案： 3 三、解答题10．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．解析：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ＞6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎨⎧130－10n ， n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6， n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)， A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故 S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764＞80， A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996＜80.所以须在第9年初对M 更新．11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图像过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，(n ∈N *)．(1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．解析：(1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n16n 2a －4nb ＝0.解之得a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n .由累加得1a n －14＝n 2－n ，∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)．12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2－.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解析：(1)由x ＞0，y ＞0,3n －nx ＞0，得0＜x ＜3.∴x ＝1，或x ＝2.∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1、x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2.则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n .∴a n ＝3n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝3n (n ＋1)2， ∴T n ＝n (n ＋1)2n， ∴T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1－n (n ＋1)2n ＝(n ＋1)(2－n )2n ＋1， ∴当n ≥3时，T n ＞T n ＋1，且T 1＝1＜T 2＝T 3＝32. 于是T 2，T 3是数列{T n }中的最大项，故m ≥T 2＝32.。

等比数列训练案

使用时间: 2014 年月日（第周）导学案编号：14一、训练目标1.熟练掌握等比数列的概念与性质；2.熟练应用等比数列的求和公式与性质解决相关问题；二、训练题（一）．填空题：1．数1，2的等比中项为______.2．若a 、b 、c 成等比数列，则函数()2f x ax bx c =++的图象与x 轴的交点个数为_______. 3．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a _______.4．在等比数列}{n a 中，11a =，103a =，则=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅98765432a a a a a a a a _________.5．若数列{}n a 满足111,2,1,2,3,,n n a a a n +===则12n a a a +++= _______.6．231a a a +++…()01≠+-a a n __________. 7．若数列{}n x 满足)(lg 1lg *1N n x x n n ∈+=+，且100100321=++++x x x x ，则 =++++)lg(200321x x x x ________.8．在等比数列}{n a 中，若3682=⋅a a ，3715a a +=，则公比q 的值为_____.（二）．选择题：9.等比数列}{n a 中，首项为1a ，公比为q ，则下列条件中，使}{n a 一定为递减数列的是（）A. 1q <B. 10,1a q ><C. 10,01a q ><<或10,1a q <>D. 1q >10.等比数列{}n a 中，37a =，321S =，则公比q 的值为（）A.1B.12-C. 1或12-D.112-或 11.若等比数列{}n a 对于一切正整数n 都有n n S a 3211-=+，其中n S 是此数列的前n 项和，又为则公比q ,11=a （）A. 1B. 31C. 31-D. 32- 12.设}{n a 是由正数组成的等比数列，公比2q =，且30303212...=⋅a a a a 那么=⋅3063...a a a （）A ．102 B.152 C.202 D.16213.已知等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则22212na a a +++=（） A.2(21)n - B. 1(21)3n - C. 41n - D.1(41)3n - （三）．解答题：编制人: 张慧审核人: 印发人：学习小组：学生姓名：14.(1)已知等比数列{}n a 的公比1q <，前n 项为n S ，3422,5a S S ==，求{}n a 的通项公式.(2)将20，50，100这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，求公比q ．15．求和：(1) 111135248+++…()11212n n +++ ； (2) 231357n S x x x =++++…+()112--n x n ．16．数列{}n a 为首项是正数的等比数列，前n 项和为80，前2n 项和为6560，在前n 项中数值最大的为54，求通项n a17．某林场有荒山3250亩，从2000年1月开始在该荒山上植树造林，且保证每年种树全部使用时间: 2014 年月日（第周）导学案编号：14成活，第一年植树亩，此后每年都比上一年多植树亩．（1）问至少需要几年才能使荒上全部绿化？（2）如果新种树苗每亩的木材量是32m ，树木每年的自然增林率为10％，那么到此荒山全部绿化后的那一年底，这里树木的木材量总共多少立方米？（85.21.111≈，59.21.110≈，36.21.19≈）18.已知等比数列{}n a ，71,a =且456,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：n S <128（n=1,2,3,…）三、我的疑问1.2.3.四、我的收获1.2.3.。

高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练31 等比数列及其前n项和理北师大版

计时双基练三十一等比数列及其前n 项和A 组基础必做1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)，则a m ，a k ，a n 成等比数列。

答案 D2．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2。

又a 4＝a 1q 3，且a 1＝14，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12。

答案 C3．已知数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz ＝( ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2D ．±2 2解析根据等比数列的性质，xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，又y－1＝q 2(q 为公比)，故y <0，所以y ＝－2，所以xyz ＝－22。

答案 C4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，从而得a n ＝2n。

解法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)。

高三数学之双基限时训练：数列的综合应用

学必求其心得，业必贵于专精错误!巩固双基,提升能力一、选择题1．各项都是正数的等比数列｛a n｝中，a2，错误!a3,a1成等差数列，则错误!的值为（)A。

5－12B。

错误!C.错误!D。

错误!或错误!解析:设{a n｝的公比为q(q＞0)，由a3＝a2＋a1,得q2－q－1＝0，解得q＝错误!。

而错误!＝q＝错误!。

答案：B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A．10秒钟B．13秒钟C．15秒钟D．20秒钟解析:设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…a n则数列｛a n｝是首项a1＝2,公差d＝2的等差数列，由求和公式有na1＋错误!＝240，即2n＋n（n－1)＝240，解得n＝15。

答案：C3．数列｛a n｝中，a n＝3n－7（n∈N＊)，数列{b n｝满足b1＝1 3，b n－1＝27b n（n≥2，且n∈N*），若a n＋log k b n为常数，则满足条件的k值（)A．唯一存在，且为错误!B．唯一存在，且为3C．存在,且不唯一D．不一定存在解析：依题意，b n＝b1·错误!n－1＝错误!·错误!3n－3＝错误!3n－2,∴a n＋log k b n＝3n－7＋log k错误!3n－2＝3n－7＋（3n－2)log k错误!＝错误!n－7－2log k错误!.若a n＋log k b n是常数,则3＋3log k错误!＝0。

即log k3＝1，∴k＝3。

答案：B4．已知数列{a n｝满足a n＋1＋a n－1＝2a n，n≥2，点O是平面上不在l上的任意一点，l上有不重合的三点A、B、C，又知a2错误!＋a2 009错误!＝错误!，则S2 010＝（）A．1 004 B．2 010 C．2 009 D．1 005解析：如图所示，设错误!＝λ错误!，则a2错误!＋a2 009错误!＝错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋λ错误!＝OA，→＋λ（错误!－错误!）．故（a2－1＋λ）错误!＝（λ－a2 009)错误!.又∵A、B、C三点不重合，∴错误!∴a2＋a2 009＝1.又∵a n＋1＋a n－1＝2a n，n≥2，∴｛a n}为等差数列．∴S2 010＝错误!＝2 010×a2＋a2 0092＝1 005。

等比数列练习题

等比数列练习题一、填空题1. 已知等比数列的首项为2，公比为3，则第四项是______。

2. 在等比数列{an}中，若a1=1，a3=8，则公比q=______。

3. 等比数列的前三项分别为1，2，4，则第n项的一般表达式为______。

4. 等比数列的前5项和为31，且公比不为1，首项为______。

5. 已知等比数列的通项公式为an=3×2^(n1)，则第6项是______。

二、选择题1. 在等比数列{an}中，若a1=3，a3=24，则a2的值为（）A. 6B. 8C. 9D. 122. 等比数列的前三项分别为a，ar，ar^2，若a+ar+ar^2=14，ar+ar^2+ar^3=42，则a的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列数列中，不是等比数列的是（）A. 1，2，4，8，…B. 2，4，8，16，…C. 3，6，12，24，…D. 1，3，6，10，…4. 已知等比数列的前n项和为2^n 1，则公比q等于（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在等比数列{an}中，若a1=1，a3=8，则a5的值为（）A. 16B. 24C. 32D. 64三、解答题1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求该数列的通项公式。

2. 在等比数列{an}中，若a1=5，公比q=2，求前5项和。

3. 已知等比数列的通项公式为an=3×5^(n1)，求前n项和。

4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，q=3，求使得Sn>100的最小正整数n。

5. 已知等比数列的通项公式为an=2^n，求证：数列{an+1 an}是等比数列。

四、应用题1. 一个等比数列的前三项和为26，前四项和为78，求这个数列的首项和公比。

2. 某企业计划连续5年每年投入相同金额的资金进行技术改造，若每年的投资金额比上一年增加20%，求第一年的投资金额。

3. 一项贷款的年利率为12%，采用复利计算，若某人贷款10万元，问经过多少年，贷款金额将翻倍？4. 一个等比数列的前三项分别为a，2a，4a，已知这个数列的前n项和为1024a，求n的值。

高中数学第二章数列双基限时练13(含解析)新人教A版

双基限时练(十三)1．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3为( ) A ．4 B.32 C.169D ．2解析 a 6·q 3＝a 9，∴q 3＝a 9a 6＝32，∴a 3＝a 6q 3＝6×23＝4.答案 A2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10等于( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 35解析由等比数列的性质，知a 1·a 2·a 3…a 10＝(a 5·a 6)5＝95＝310，∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2…a 10)＝log 3310＝10. 答案 B3．数列{a n }为等比数列，且a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，a n >0，则该数列的公比q 是( ) A.22 B.255 C.1－52D.5－12解析由a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，得a n ＝a n q ＋a n q 2. ∵a n >0，∴q 2＋q －1＝0，解得q ＝5－12. 答案 D4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 6a 19等于( ) A.32 B.23 C.16D ．6解析 ∵a 7·a 14＝a 4·a 17＝6，a 4＋a 17＝5，且a n >a n ＋1，∴a 4＝3，a 17＝2，∴q 13＝a 17a 4＝23.∴a6a19＝a6a6q13＝1q13＝32.答案 A5．在等比数列{a n}中，a5·a6·a7＝3，a6·a7·a8＝24，则a7·a8·a9的值等于( ) A．48 B．72C．144 D．192解析a6·a7·a8＝(a5·a6·a7)q3∴24＝3q3，∴q3＝8，∴a7·a8·a9＝(a6·a7·a8)q3＝24×8＝192.答案 D6．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1＝9d，若a k是a1与a2k的等比中项，则k＝( ) A．2 B．4C．6 D．8解析依题意，知a k＝a1＋(k－1)d＝9d＋(k－1)d＝(k＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d.又a2k＝a1·a2k.∴(k＋8)2d2＝9d·(2k＋8)d.即k2－2k－8＝0.∴k＝4，或k＝－2(舍去)．答案 B7．已知{a n}是等比数列，若a n>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝________.解析∵a2a4＝a23，a4a6＝a25，∴a23＋2a3a5＋a25＝25，即(a3＋a5)2＝25.又a n>0，∴a3＋a5＝5.答案 58．公差不为零的等差数列{a n}中，2a3－a27＋2a n＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.解析∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，又b7＝a7≠0，∴a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.答案169．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析依题意这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n}，(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a210＝[2(2)9]2＝4×29＝2048.10．一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项，并求出通项公式．解设这个等比数列的第1项是a 1，公比是q ，那么a 1q 2＝12，① a 1q 3＝18，②②÷①得 q ＝32.③把③代入①得 a 1＝163.因此，a 2＝a 1q ＝163×32＝8，a n ＝a 1·q n －1＝163·(32)n －1，所以数列的第1项和第2项分别为163和8，通项公式为a n ＝163(32)n －1.11．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2. 故这三个数可表示为2－d,2,2＋d .①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )．解得d ＝6或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2为等比中项，则有22＝(2－d )(2＋d )．解得d ＝0(舍去)．③若2＋d 为等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解得d ＝－6或d ＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4. 综上可知，这三个数是8,2，－4.12．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求数列{S n }的通项公式； (3)当S 11＋S 22＋…＋S nn最大时，求n 的值．解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25. 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5.① 又a 3与a 5的等比中项为2，而q ∈(0,1)，∴a 3>a 5. ∴由①与②解得a 3＝4，a 5＝1.∴q 2＝a 5a 3＝14，q ＝12.∴a 1＝16.∴a n ＝16×(12)n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝4.∴数列{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列． ∴S n ＝n 9－n2.(3)由S n n ＝9－n 2，得当n ≤8时，S nn>0，当n ＝9时，S nn ＝0，当n >9时，S n n<0， ∴当n ＝8或n ＝9时，S 11＋S 22＋…＋S nn最大．。

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