基于空间划分树的多目标粒子群优化算法

第４９卷　第４期吉林大学学报（理学版）Ｖｏｌ．４９　Ｎｏ．４　２０１１年７月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｊｕｌｙ　２０１１基于空间划分树的多目标粒子群优化算法刘华蓥１，王　静１，许少华１，孙　毅２（１．东北石油大学计算机与信息技术学院，黑龙江大庆１６３３１８；２．吉林大学数学学院，长春１３００１２）摘要：提出一种基于空间划分树的多目标粒子群优化算法，该算法采用网格拥挤距离与网格密度相结合的策略选取全局极值，能加速算法收敛，保持种群多样性，在提高全局极值选取准确度的同时使最终解保持了较好的分布性．关键词：多目标优化；粒子群算法；Ｍ维空间划分；空间划分树中图分类号：ＴＰ３０１．６ 文献标志码：Ａ 文章编号：１６７１－５４８９（２０１１）０４－０６９６－０７Ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍＢａｓｅｄｏｎＳｐａｔｉａｌＰａｒｔｉｔｉｏｎＴｒｅｅＬＩＵＨｕａ－ｙｉｎｇ１，ＷＡＮＧＪｉｎｇ１，ＸＵＳｈａｏ－ｈｕａ１，ＳＵＮＹｉ２（１．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ＮｏｒｔｈｅａｓｔＰｅｔｒｏｌｅｕｍＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｄａｑｉｎｇ１６３３１８，ＨｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇＰｒｏｖｉｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ；２．ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｃｈｕｎ１３００１２，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎａｌｇｒｉｔｈｍｂａｓｅｄｏｎｓｐａｔｉａｌｐａｒｔｉｔｉｏｎｔｒｅｅｗａｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｔｈｅｓｔｒａｔｅｇｙｏｆｕｓｉｎｇｃｒｏｗｄｉｎｇｄｉｓｔａｎｃｅａｎｄｇｒｉｄｄｅｎｓｉｔｙｔｏｓｅｌｅｃｔｇｌｏｂａｌｂｅｓｔｉｓａｂｌｅｔｏｓｐｅｅｄｕｐｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ，ａｎｄｍａｉｎｔａｉｎｓｔｈｅｐｏｐｕｌａｔｉｏｎｄｉｖｅｒｓｉｔｙ．Ｔｈｉｓｓｔｒａｔｅｇｙｃａｎｉｍｐｒｏｖｅｔｈｅａｃｃｕｒａｃｙｏｆｓｅｌｅｃｔｉｎｇｇｌｏｂａｌｂｅｓｔａｎｄｋｅｅｐｓｔｈｅｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｏｆｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ；ｐａｒｔｉｃｌｅｓｗａｒｍａｌｇｏｒｉｔｈｍ；Ｍ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｐａｔｉａｌｐａｒｔｉｔｉｏｎ；ｓｐａｔｉａｌｐａｒｔｉｔｉｏｎｔｒｅｅ收稿日期：２０１０－１１－２２．作者简介：刘华蓥（１９６９—），女，汉族，硕士，教授，从事群体智能优化算法的研究，Ｅ－ｍａｉｌ：ｄｑｐｉｌｈｙ＠１６３．ｃｏｍ．基金项目：国家自然科学基金（批准号：６０４７３０５１）、中国石油科技创新基金（批准号：２０１０Ｄ－５００６－０３０２）、黑龙江省自然科学基金（批准号：ＺＡ２００６－１１）和黑龙江省科技攻关项目（批准号：ＧＺ０７Ａ１０３）．粒子群优化算法（ＰＳＯ）［１］以其易于实现、参数设置较少等优点，广泛应用于多目标优化［２－３］和其他优化问题［４－５］中．多目标粒子群优化算法（ＭＯＰＳＯ）主要分为聚集函数法、基于目标函数排序法、子群法、基于Ｐａｒｅｔｏ支配法等，目前研究者主要集中于基于Ｐａｒｅｔｏ支配的多目标粒子群优化算法［６］．自从Ｃｏｅｌｌｏ等［７］首次提出用一个外部集保存每次迭代得到的非支配解后，大多数多目标粒子群优化算法都采用了外部存档策略．张利彪等［８］的算法采用新的全局极值和个体极值选取方式，提高了算法的有效性；孙小强等［９］采用聚类算法裁剪非支配解，提高了解的分布性．但这些算法在收敛性和分布性方面，特别是解决高维多目标问题上仍需做进一步改进．在多目标条件下，可能存在很多彼此不受支配的全局最优解，个体的密度信息是选取全局最优解的主要因素之一．典型的基于密度方法有非劣分层遗传算法（ＮＳＧＡ２）［１０］和Ｋ－近邻密度估值法（ＳＰＥＡ２）［１１］，这两种方法能对个体密度进行准确地估计，但其计算复杂度偏高．ＣＭＯＰＳＯ算法［７］和自适应网格的多目标粒子群算法（ＡＧＡＭＯＰＳＯ）［１２］使用Ｐａｒｅｔｏ存档进化策略（ＰＡＥＳ）［１３］中自适应网格法维护外部集（Ａｒｃｈｉｖｅ，简称Ａｒｃ），用网格中的粒子数作为网格密度定义网格适应度值，其网格密度计算性能较好，但其估值还存在一定误差．本文提出一种基于空间划分树的多目标粒子群优化算法（ＳＰＴＭＯＰＳＯ），用网格把目标空间划分为多个体积相等的单元格，用空间划分树建立非空单元格的索引，采用拥挤距离和网格密度相结合的策略选取全局极值，进一步提高了解集的分布性．１　多目标优化问题及粒子群优化算法多目标优化问题可以表示如下：ｍｉｎｙ＝ｆ（ｘ）＝（ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），…，ｆＭ（ｘ）），ｓ．ｔ．ｇｉ（ｘ）≤０（ｉ＝１，２，…，ｐ），其中：决策向量ｘ∈Ｒｎ；目标向量ｙ∈ＲＭ；ｆｉ（ｘ）（ｉ＝１，２，…，Ｍ）是目标函数；ｇｉ（ｘ）≤０（ｉ＝１，２，…，ｐ）是约束条件．大多数情况下各目标函数之间是相互冲突的，某目标的改善可能引起其他目标性能的降低，同时使多个目标均达到最优很难实现，只能在各目标之间进行协调权衡和折中处理，使所有目标函数尽可能达到最优．不同于单目标优化，多目标优化中使用Ｐａｒｅｔｏ支配［１４］评价最优解，相关概念如下：定义１　若ｆｉ（ｘ ）≤ｆｉ（ｘ）（ｉ＝１，２，…，Ｍ），且 ｋ∈｛１，２，…，Ｍ｝，使得ｆｋ（ｘ）＜ｆｋ（ｘ），则称解ｘ Ｐａｒｅｔｏ支配ｘ，记作ｘ ｘ．定义２　若 ｘ：ｘ ｘ ，则称解ｘ 是Ｐａｒｅｔｏ最优解或非支配解．定义３　所有Ｐａｒｅｔｏ最优解的集合ＰＳ＝｛ｘ ｘ ｘ｝称为Ｐａｒｅｔｏ最优解集或非支配解集．定义４　所有Ｐａｒｅｔｏ最优解对应的目标函数值所形成的区域ＰＦ＝｛ｆ（ｘ）＝（ｆ１（ｘ），ｆ２（ｘ），…，ｆＭ（ｘ））ｘ∈ＰＳ｝称为Ｐａｒｅｔｏ最优前端．标准粒子群优化算法使用一群粒子表示特定问题的潜在解．给定一个ｄ维搜索空间，第ｉ个粒子在ｔ时刻的位置为ｘｉ（ｔ），速度为ｖｉ（ｔ），它经历过的最好位置记为ｐｂｅｓｔｉ，整个粒子群经历过的最好位置记为ｇｂｅｓｔ．ＰＳＯ算法通过不断更新粒子速度与位置使粒子向最优解飞行．第ｉ个粒子的速度与位置更新公式如下：ｖｉ（ｔ＋１）＝ｗｖｉ（ｔ）＋ｃ１ｒ１（ｐｂｅｓｔｉ－ｘｉ（ｔ））＋ｃ２ｒ２（ｇｂｅｓｔ－ｘｉ（ｔ）），（１）ｘｉ（ｔ＋１）＝ｘｉ（ｔ）＋ｖｉ（ｔ＋１），（２）其中：ｗ为惯性权重；ｃ１和ｃ２为常数，称为学习因子；ｒ１和ｒ２是［０，１］上的随机数．式（１）中的ｃ１ｒ１（ｐｂｅｓｔｉ－ｘｉ（ｔ））为认知部分，ｃ２ｒ２（ｇｂｅｓｔ－ｘｉ（ｔ））为社会部分，认知部分和粒子的个体经验相关，社会部分则表示粒子间的交互．２　基于空间划分树的多目标粒子群优化算法外部集维护和全局最优位置的选取是多目标粒子群优化算法的两个重要步骤．维护外部集的主要目的是为群体的演化提供多样化的全局最优位置，而为每个粒子选择适当的全局最优位置能保持或进一步增加外部集中解的多样性，两者相互配合，使算法获得更多均匀分布在目标空间上的非支配解，逼近Ｐａｒｅｔｏ最优前端．本文使用空间划分树［１５］对目标空间进行划分．２．１　外部集的空间划分树索引给定Ｍ维目标空间Ｓ＝Ｄ１×Ｄ２×…×ＤＭ，其中Ｄｉ为Ｓ中第ｉ维的数据域．定义５　将外部集所对应的Ｍ维目标空间Ｓ的每一维平均分为ｋ个相等的间隔段，则Ｓ被划分为ｋＭ个互不相交的超矩形单元，它们覆盖整个Ｍ维目标空间Ｓ．每个单元Ｃ的空间位置表示为（ｃ１，ｃ２，…，ｃＭ），其中１≤ｃｉ≤ｋ，对应于第ｉ维的第ｃｉ个左闭右开的间隔段．这ｋＭ个单元在划分目标空间Ｓ的同时也划分了外部集，称为外部集的Ｍ维空间划分．图１为一个外部集对应的２维空间划分结果．每维划分为５个间隔段，编号为１～５，外部集空间被划分为２５个子空间．其中Ｃ（１，４），Ｃ（１，５），Ｃ（２，３），Ｃ（２，４），Ｃ（３，２），Ｃ（３，３），Ｃ（５，１）为非空单元．９９６　第４期 刘华蓥，等：基于空间划分树的多目标粒子群优化算法 在对外部集进行划分后，需要为其建立高效索引，以便对其进行有效管理．本文采用空间划分树索引外部集的Ｍ维空间划分．由于Ｍ维空间划分的规模与Ｍ为指数增长关系，为了以最小的代价存储有效信息，空间划分树仅索引非空单元．定义６　外部集在Ｍ维空间划分下的空间划分树（ｓｐａｔｉａｌｐａｒｔｉｔｉｏｎｔｒｅｅ，简称ＳＰＴ）结构定义如下：１）它有一个根节点，共有Ｍ＋１层；２）ＳＰＴ的第ｉ层对应外部集的第ｉ维（ｉ＝１，２，…，Ｍ），第Ｍ＋１层存储所有非空单元中的粒子数；３）除了第Ｍ＋１层，第ｉ层（非叶节点层）包含形如（ｄｉｍ，ｎｅｘｔ）的节点，其中ｄｉｍ表示该单元在第ｉ维上的间隔号，ｎｅｘｔ为指向下一层节点的指针，所指向节点包含与本单元对应的下一维的所有相异非空单元；４）第Ｍ层节点指向叶节点：叶节点形如（ｎｕｍ，ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ），其中ｎｕｍ为叶节点中包含的非支配解个数，ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ为叶节点中保存的非支配解集；５）从根节点到叶节点的一条路径对应一个非空单元．图２为对图１中外部集的２维空间划分结果进行索引建立的ＳＰＴ，该ＳＰＴ共３层，第１层有４个节点，分别表示非空单元在ｆ１维的间隔号．例如根节点中的节点１指向第２层节点４和节点５，说明与ｆ１维第１个间隔号对应的非空单元在ｆ２维的间隔段编号分别为４和５．叶节点存储从根节点到该叶节点经过的路径所对应非空单元中的非支配解数目及非支配解．如图２中第３层最后一个节点表示非空单元Ｃ（５，１）中有２个非支配解ｊ和ｋ．图１　外部集对应的２维空间划分示意图Ｆｉｇ．１　２－Ｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓｐａｔｉａｌｐａｒｔｉｔｉｏｎｏｆａｒｃｈｉｖｅｓｅｔ图２　空间划分树Ｆｉｇ．２　Ｓｐａｔｉａｌｐａｒｔｉｔｉｏｎｔｒｅｅ２．２　非支配解的ＳＰＴ存储非支配解的存储过程即建立ＳＰＴ的过程，也即把非支配解插入ＳＰＴ的过程．例如，把Ｍ维目标空间每维划分为ｋ个相等的间隔段，非支配解ｘ 的插入过程即依次由ｘ 所在网格各维间隔段号（ｃ１，ｃ２，…，ｃＭ）查找其存储网格的过程．其中ｃｉ＝「（ｆｉ（ｘ ）－ｍｉｎ（ｆｉ））×ｋｍａｘ（ｆｉ）－ｍｉｎ（ｆｉ） （ｉ＝１，２，…，Ｍ），ｍａｘ（ｆｉ）和ｍｉｎ（ｆｉ）分别为目标函数ｆｉ的最大值和最小值．２．３　全局极值的选取直接采用ＮＳＧＡ２中方法计算拥挤距离的计算代价太高．采用基于自适应网格的ＭＯＰＳＯ方法直接根据网格密度决定全局极值的选取，可降低计算代价，但该方法未考虑相邻网格对网格密度的影响．如图１所示，若只考虑单个网格密度会得出Ｄｅｎ（Ｃ（３，３））＝Ｄｅｎ（Ｃ（３，２））的结论，但由于与Ｃ（３，３）相邻的Ｃ（２，３）的网格密度较高，所以事实上ｈ的密度高于ｉ的密度，即可直观得出Ｄｅｎ（Ｃ（３，２））＜Ｄｅｎ（Ｃ（３，３））的结论．考虑到相邻网格对网格密度的影响，本文采用网格拥挤距离与网格密度相结合的策略选择全局极值．本文计算网格拥挤距离与ＮＳＧＡ２中方法不同之处在于网格拥挤距离的计算基于ＳＰＴ进行，由于ＳＰＴ从根节点到网格节点之间各层节点本身包含了计算拥挤距离所需信息，因此在ＳＰＴ上计算所有网格的拥挤距离只需遍历一次ＳＰＴ，其计算复杂度比ＮＳＧＡ２降低了一个量级．定义７　网格单元Ｃ对应的第ｉ维拥挤距离为Ｃｒｏｗｉ（Ｃ）＝Ａｖｇ∑Ｃｎｅｉｇｈｂｏｒ・ｃｉ－Ｃ・ｃｉ，其中００７ 吉林大学学报（理学版） 第４９卷　Ｃｎｅｉｇｈｂｏｒ・ｃｉ－Ｃ・ｃｉ为网格Ｃ在第ｉ维上与其最近邻Ｃｎｅｉｇｈｂｏｒ的距离，Ｃｎｅｉｇｈｂｏｒ最多可能有２个，也可能有１个（处在该维边界上）或０个（只有一个网格）．Ａｖｇ（）计算Ｃ在第ｉ维上与所有Ｃｎｅｉｇｈｂｏｒ的平均距离．定义８　网格Ｃ的拥挤距离为Ｃｒｏｗ（Ｃ）＝∑Ｍｉ＝１Ｃｒｏｗｉ（Ｃ）．网格拥挤距离的计算从根节点开始在每层非叶节点上进行．计算所有网格的拥挤距离只需从根节点开始遍历一次ＳＰＴ．不同网格如果有公共祖先，则它们在公共祖先对应各维的拥挤距离相同，如图２中的网格Ｃ（３，２）和Ｃ（３，３），它们的公共祖先是ＳＰＴ第１层间隔段号为３的节点，故有Ｃｒｏｗ１（Ｃ（３，２））＝Ｃｒｏｗ１（Ｃ（３，３））．为了避免公共部分拥挤距离的重复计算，ＳＰＴＭＯＰＳＯ使用栈ＳｔａｃｋＣｒｏｗ保存计算各维拥挤距离的中间结果，当算法遍历到一个叶节点时，ＳｔａｃｋＣｒｏｗ中依次保存了该叶节点对应各维的拥挤距离，求和即可得到其拥挤距离．当计算相邻节点时，只需执行Ｐｏｐ（ＳｔａｃｋＣｒｏｗ）操作，然后把相邻节点在该维的拥挤距离入栈Ｐｕｓｈ（ＳｔａｃｋＣｒｏｗ）．网格的拥挤距离越大，其中的非支配解作为ｇｂｅｓｔ进行搜索的潜力越大．为了维持解集分布的均匀性，规定每个网格Ｃ中保存非支配解的最大个数为ｎｕｍｍａｘ．定义９　网格密度Ｄｅｎ（Ｃ）＝Ｃ．ｎｕｍ／ｎｕｍｍａｘ．Ｄｅｎ（Ｃ）越小，其中非支配解的局部搜索能力越强．定义１０　拥挤距离密度比ＫＣ／Ｄ＝Ｃｒｏｗ（Ｃ）／Ｄｅｎ（Ｃ）．ｇｂｅｓｔ优先从ＫＣ／Ｄ最大的网格中选取．２．４　外部集的更新设 Ｎ为Ａｒｃ的规模．如果非支配解ｘ 插入网格Ｃ时其中非支配解数目已达到ｎｕｍｍａｘ，则从Ｃ中随机删除一个粒子，然后把ｘ 插入Ｃ．若ｘ 插入外部集时，外部集中非支配解数目已经达到 Ｎ，则优先从ＫＣ／Ｄ值最小的网格中随机删除一个非支配解．若网格中非支配解已被全部删除，则从ＳＰＴ中删除对该网格的索引．２．５　算　法下面给出基于空间划分树的多目标粒子群优化算法．设Ｎ为粒子群Ｐ的规模，Ｐｉ为第ｉ次迭代后得到的非支配解集，Ｐｉ为Ｐｉ中非支配解个数．ｍａｘ＿ｉｔ为最大迭代次数，函数Ｒａｎｄｏｍ｛ｘ，ｙ｝从集合｛ｘ，ｙ｝中随机选择一个．粒子搜索时有速度限制Ｖｍａｘ，当粒子飞出搜索空间时，令粒子的位置在边界上，其速度＝－Ｖｍａｘ／２．ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法描述如下：Ｉｎｉｔｉａｌ（Ｐ）；／／初始化粒子群ＰＰａｒｔｉｔｉｏｎ（ｋ），Ｃｒｅａｔｅ（ＳＰＴ）；／／划分目标空间网格，建立ＳＰＴＦｏｒｉ＝１ｔｏＰ０ 执行Ｉｎｓｅｒｔ（ＳＰＴ，ｘ ）把非支配解ｘ 加入Ａｒｃ并对其建立ＳＰＴ索引；／／ｘ∈Ｐ０ＥｎｄＦｏｒＷｈｉｌｅｉ＜ｍａｘ＿ｉｔ Ｆｏｒｊ＝１ｔｏＮ Ｉｆｘｊ ｐｂｅｓｔｊ ｐｂｅｓｔｊ＝ｘｊ ＥｌｓｅＩｆ！（ｐｂｅｓｔｊ ｘｊ） ｐｂｅｓｔｊ＝Ｒａｎｄｏｍ｛ｘｊ，ｐｂｅｓｔｊ｝； ＥｎｄＩｆ ＥｎｄＩｆ ＥｎｄＦｏｒ 通过Ｔｒａｖｅｒｓａｌ（ＳＰＴ）计算ＳＰＴ索引的每个网格Ｃ的Ｃｒｏｗ（Ｃ）与Ｄｅｎ（Ｃ）； 从ＫＣ／Ｄ值最大的网格中随机选择一个粒子作为ｇｂｅｓｔ；１０７　第４期 刘华蓥，等：基于空间划分树的多目标粒子群优化算法 用式（１），（２）更新Ｐ中所有粒子的速度和位置； Ｆｏｒｊ＝１ｔｏＰｉ 执行Ｕｐｄａｔｅ（ＳＰＴ，ｘ ）；／／ｘ ∈Ｐｉ ＥｎｄＦｏｒＥｎｄＷｈｉｌｅ使用ＳＰＴ索引划分后的目标空间网格不仅能有效保存数据的空间位置信息，而且能保存单元的相对空间位置信息．计算任意网格Ｃ密度Ｄｅｎ（Ｃ）即为查找网格Ｃ的过程，最差情况下ＳＰＴ中有ｋ个非叶节点，ＳＰＴ共Ｍ＋１层，查找网格在某层的间隔段号需要进行ｌｏｇ２ｋ次比较，查找一个网格共需Ｍｌｏｇ２ｋ次比较．ＳＰＴ从根节点到网格节点之间各层节点本身包含了计算拥挤距离所需信息，在ＳＰＴ上计算所有网格的拥挤距离只需遍历一次ＳＰＴ，最差情况下ＳＰＴ索引 Ｎ个非空网格（此时每个非空网格中只落入一个非支配解），遍历ＳＰＴ需要Ｍ Ｎｌｏｇ２ｋ次比较．对于不同问题，规模ｋ为常数，因此ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法确定ｇｂｅｓｔ的时间复杂度为Ｏ（Ｍ Ｎ）．由于Ａｒｃ规模 Ｎ的设置采用与ＮＳＧＡ２相同的方法，即与种群规模Ｎ呈线性关系，于是确定ｇｂｅｓｔ的时间复杂度为Ｏ（ＭＮ），而ＮＳＧＡ２为Ｏ（ＭＮｌｏｇ２Ｎ）．ＳＰＴ仅索引非空网格，一般情况下非空网格数量远小于空网格数量，因此实际计算量要小得多．３　实验结果与分析多目标优化算法的性能评价指标很多，主要分为三类：收敛性能、分布性能（多样性能）和综合性能．本文选用其中两个指标评价算法的性能．定义１１［１６］　算法所获得的解与Ｐａｒｅｔｏ最优前端的趋近程度ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎａｌｄｉｓｔａｎｃｅ（ＧＤ）定义为ＧＤ＝∑ｎｉ＝１ｄ２ｉｎ，其中：ｎ表示算法最终获得的解个数；ｄｉ为第ｉ个解到最优前端的最短距离．ＧＤ值越小，表明算法所获得的解越趋近最优前端．定义１２［１７］　Ｓｐａｃｉｎｇ（ＳＰ）用于描述算法获得的解在目标空间上的分布是否均匀，定义为ＳＰ＝１ｎ－１∑ｎｉ＝１（ ｄ－ｄｉ）２，其中：ｄｉ＝ｍｉｎｊ＝１，２，…，ｎ∑Ｍｋ＝１ｆｉｋ－ｆｊｋ；ｎ表示算法最终获得的解个数； ｄ是ｄｉ的平均值．ＳＰ值越小，表明该算法获得的解分布越均匀．本文使用ＳＣＨ，ＺＤＴ１，ＺＤＴ２和ＺＤＴ３四个测试函数［１８］验证ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法．这些测试函数的最优前端有凸的、非凸的和不连续的．对这些具有不同形状最优前端的函数进行测试，并把实验结果与ＮＳＧＡ２和ＰＡＥＳ的结果进行对比．ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法参数设置如下：粒子群初始规模为２００；最大迭代次数为２００；学习因子ｃ１＝ｃ２＝０．５；ｗ从０．９随迭代线性变化到０．４；ｋ＝３０；ｎｕｍｍａｘ＝１０；ｎ＝３０．ＮＳＧＡ２和ＰＡＥＳ的参数设置如下：种群大小１００，外部集合大小为１００，交叉概率为０．８，二元锦标赛选择和二进制编码，变异概率为染色体长度的倒数．ＰＡＥＳ的每维目标被划分的数量为１０．３种算法分别对每个函数独立运行３０次．图３～图６为本文算法所得的近似Ｐａｒｅｔｏ最优前端．表１列出了３种算法的计算结果．由表１可见，ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法具有较好的收敛性能，在４个测试函数上都优于ＰＡＥＳ，在ＺＤＴ１，ＺＤＴ２和ＺＤＴ３三个函数上优于ＮＳＧＡ２．这是由于ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法的全局极值选取策略更合理，而且基于空间划分树的全局极值选择算法具有更高的计算效率．表１的计算结果也验证了在空间划分树上使用拥挤距离和网格密度相结合策略维护外部种群的有效性．由于考虑了相邻网格对网格密度的影响，所以ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法对４个测试函数产生的非支配解在最优前端的分布都比ＰＡＥＳ更广、更均匀，在ＳＣＨ和ＺＤＴ２上分布性能略差于ＮＳＧＡ２，而在ＺＤＴ１和ＺＤＴ３上比ＮＳＧＡ２具有更好的分布性．２０７ 吉林大学学报（理学版） 第４９卷　图３　ＳＣＨ的近似Ｐａｒｅｔｏ最优前端Ｆｉｇ．３　ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＰａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌｆｒｏｎｔｏｆＳＣＨ图４　ＺＤＴ１的近似Ｐａｒｅｔｏ最优前端Ｆｉｇ．４　ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＰａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌｆｒｏｎｔｏｆＺＤＴ１图５　ＺＤＴ２的近似Ｐａｒｅｔｏ最优前端Ｆｉｇ．５　ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＰａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌｆｒｏｎｔｏｆＺＤＴ２图６　ＺＤＴ３的近似Ｐａｒｅｔｏ最优前端Ｆｉｇ．６　ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｅＰａｒｅｔｏｏｐｔｉｍａｌｆｒｏｎｔｏｆＺＤＴ３表１　３种算法的计算结果对比Ｔａｂｌｅ１　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｒｅｓｕｌｔｓｏｆ３ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ函数参数ＧＤＳＰＴＭＯＰＳＯＰＡＥＳＮＳＧＡ２ＳＰＳＰＴＭＯＰＳＯＰＡＥＳＮＳＧＡ２ＳＣＨ平均值０．０８６３２００．５４２４２４０．０２２０３７０．０９５９７２０．１９２８３７０．０３８１０８中间值０．０８３２３００．０４１９６５０．０１７１８２０．１２５６７３０．１８９８１１０．０３９３３６标准差０．０５２３７００．０３１９２６０．０２７２３８０．０１０３５７０．０６２９３２０．０１９７１３ＺＤＴ１平均值０．０３３５９２０．１９０２７６０．０８３７１４０．０９２５３９０．１１８６３５０．０９５６１１中间值０．０１１３５８０．０３８４９１０．０１１６０５０．０６２３４７０．０８１４５９０．０２５１３５标准差０．１０４１１３０．２４８４７３０．１６５３４７０．１２０７３８０．０９１７３２０．３３１８８５ＺＤＴ２平均值０．０１２７４００．１６８２６３０．０２５７３７０．０１２９６８０．０３９９４２０．００３５３４中间值０．０１１６２００．０５６０２９０．０１４９１２０．００９２２９０．０２６７３５０．００２２６７标准差０．００２９１００．２３１３１６０．０４５６９７０．００２７７５０．３４７８２７０．００３００８ＺＤＴ３平均值０．０７１２１００．１５２６３９０．６４５７６２０．０５５３３９０．１１６７５５０．１３４２７３中间值０．０７１８２００．１４７９１８０．６３７１５８０．０５４３５８０．１１６５３９０．１３３５１６标准差０．０２２３７００．００１５８１０．００１９７５０．００２０３００．００１６４９０．００１９６７ 由于ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法中全局极值的选取不仅考虑了个体网格的密度信息，而且综合了个体网格与相邻网格间的拥挤距离信息，使得选取全局极值时的估值更准确、分布更均匀，能够较好地逼近Ｐａｒｅｔｏ最优前端．所以，与其他两种算法相比，ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法具有一定的优势．综上可见，ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法使用网格对多维目标空间进行划分，网格保存数据空间位置信息，空间划分树在索引存储非支配解的非空网格的同时记录非空网格的相对空间位置信息，为外部集维护提供了高效的数据结构支持，能有效提高ｇｂｅｓｔ的计算性能；ＳＰＴＭＯＰＳＯ算法用ＮＳＧＡ２中拥挤距离的概念重新定义网格拥挤距离并结合网格密度选取全局极值，使算法能较好地逼近Ｐａｒｅｔｏ最优前端，并且可使Ｐａｒｅｔｏ最优解分布较均匀．３０７　第４期 刘华蓥，等：基于空间划分树的多目标粒子群优化算法 ４０７ 吉林大学学报（理学版） 第４９卷　参考文献［１］　ＫｅｎｎｅｄｙＪ，ＥｂｅｒｈａｒｔＲＣ．ＰａｒｔｉｃａｌＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｏｆｔｈｅ１９９５ＩＥＥＥＩｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌＣｏｎｆｅｒｅｎｃｅｏｎＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋ．Ｐｉｓｃａｔａｗａｙ：ＩＥＥＥＳｅｒｖｉｃｅＣｅｎｔｅｒ，１９９５：１９４２－１９４８．［２］　ＺＨＡＮＧＬｉ－ｂｉａｏ，ＺＨＯＵＣｈｕｎ－ｇｕａｎｇ，ＬＩＵＸｉａｏ－ｈｕａ，ｅｔａｌ．ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ，２００５，２３（４）：３８５－３８９．（张利彪，周春光，刘小华，等．粒子群算法在求解优化问题中的应用［Ｊ］．吉林大学学报：信息科学版，２００５，２３（４）：３８５－３８９．）［３］　ＹＵＦａｎ－ｈｕａ，ＬＩＵＨａｎ－ｂｉｎｇ．ＳｔｒｕｃｔｕｒａｌＤａｍａｇｅＩｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎｂｙＳｕｐｐｏｒｔＶｅｃｔｏｒＭａｃｈｉｎｅａｎｄＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＡｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＥｄｉｔｉｏｎ，２００８，３８（２）：４３４－４３８．（于繁华，刘寒冰．基于支持向量机和粒子群算法的结构损伤识别［Ｊ］．吉林大学学报：工学版，２００８，３８（２）：４３４－４３８．）［４］　ＬＩＵＳｈｕ－ｈｕａ，ＺＨＡＮＧＹｕ．Ｍｕｌｔｉ－ｒｏｂｏｔＴａｓｋＡｌｌｏｃａｔｉｏｎＢａｓｅｄｏｎＳｗａｒｍＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｅａｓｔＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ，２００９，４１（４）：６８－７２．（刘淑华，张嵛．基于粒子群蚁群算法的多机器人任务分配方法［Ｊ］．东北师大学报：自然科学版，２００９，４１（４）：６８－７２．）［５］　ＬＩＸｉｕ－ｙｉｎｇ，ＨＡＮＺｈｉ－ｇａｎｇ．ＡＣｏｎｔｒｏｌｌｅｒｏｆＴ－ＳＭｏｄｅｌＦｕｚｚｙＮｅｕｒａｌＮｅｔｗｏｒｋＢａｓｅｄｏｎＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｏｆＨｅｉｌｏｎｇｊｉａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０１０，２７（２）：２７２－２７６．（李秀英，韩志刚．基于粒子群算法优化的Ｔ－Ｓ型模糊神经网络控制器［Ｊ］．黑龙江大学自然科学学报，２０１０，２７（２）：２７２－２７６．）［６］　ＷＡＮＧＹａｎ，ＺＥＮＧＪｉａｎ－ｃｈａｏ．ＡＳｕｒｖｅｙｏｆａＭｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍ［Ｊ］．ＣＡＡＩＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＩｎｔｅｌｌｉｇｅｎｔＳｙｓｔｅｍｓ，２０１０，５（５）：３７７－３８４．（王艳，曾建潮．多目标微粒群优化算法综述［Ｊ］．智能系统学报，２０１０，５（５）：３７７－３８４．）［７］　ＣｏｅｌｌｏＣＡＣ，ＰｕｌｉｄｏＧＴ，ＬｅｃｈｕｇａＭＳ．ＨａｎｄｌｉｎｇＭｕｌｔｉｐｌｅＯｂｊｅｃｔｉｖｅｓｗｉｔｈＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００４，８（３）：２５６－２７９．［８］　ＺＨＡＮＧＬｉ－ｂｉａｏ，ＺＨＯＵＣｈｕｎ－ｇｕａｎｇ，ＭＡＭｉｎｇ，ｅｔａｌ．ＳｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆＭｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＰｒｏｂｌｅｍｓＢａｓｅｄｏｎＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＤｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，２００４，４１（７）：１２８６－１２９１．（张利彪，周春光，马铭，等．基于粒子群算法求解多目标优化问题［Ｊ］．计算机研究与发展，２００４，４１（７）：１２８６－１２９１．）［９］　ＳＵＮＸｉａｏ－ｑｉａｎｇ，ＺＨＡＮＧＱｉｕ－ｍｉｎｇ．ＡＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＭｅｔｈｏｄｆｏｒＭｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００６，１８：４０－４２．（孙小强，张求明．一种基于粒子群优化的多目标优化算法［Ｊ］．计算机工程与应用，２００６，１８：４０－４２．）［１０］　ＤｅｂＫ，ＰｒａｔａｐＡ，ＡｑａｒｗａｌＳ，ｅｔａｌ．ＡＦａｓｔａｎｄＥｌｉｔｉｓｔＭｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍ：ＮＳＧＡ－Ⅱ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃ－ｔｉｏｎｓｏｎＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２００２，６（２）：１８２－１９７．［１１］　ＺｉｔｚｌｅｒＥ，ＴｈｉｅｌｅＬ．ＭｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓ：ＡＣｏｍｐａｒａｔｉｖｅＣａｓｅＳｔｕｄｙａｎｄｔｈｅＳｔｒｅｎｇｔｈＰａｒｅｔｏＡｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．ＩＥＥＥＴｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓｏｎＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，１９９９，３（４）：２５７－２７１．［１２］　ＹＡＮＧＪｕｎ－ｊｉｅ，ＺＨＯＵＪｉａｎ－ｚｈｏｎｇ，ＦＡＮＧＲｅｎｇ－ｃｕｎ，ｅｔａｌ．Ｍｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＰａｒｔｉｃｌｅＳｗａｒｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＢａｓｅｄｏｎＡｄａｐｔｉｖｅＧｒｉｄＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｙｓｔｅｍＳｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２００８，２０（２１）：５８４３－５８４７．（杨俊杰，周建中，方仍存，等．基于自适应网格的多目标粒子群优化算法［Ｊ］．系统仿真学报，２００８，２０（２１）：５８４３－５８４７．）［１３］　ＫｎｏｗｌｅｓＪＤ，ＣｏｒｎｅＤＷ．ＡｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇｔｈｅＮｏｎｄｏｍｉｎａｔｅｄＦｒｏｎｔＵｓｉｎｇｔｈｅＰａｒｅｔｏＡｒｃｈｉｖｅｄＥｖｏｌｕｔｉｏｎＳｔｒａｔｅｇｙ［Ｊ］．ＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ，２０００，８（２）：１４９－１７２．［１４］　ＣｏｅｌｌｏＣＡＣ，ＬａｍｏｎｔＧＢ，ＶｅｌｄｈｕｉｚｅｎＤＡ，Ｖａｎ．ＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇＭｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＰｒｏｂｌｅｍｓ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，２００７．［１５］　ＶａｎěｃｅｋＧ，Ｊｒ．ＢＲＥＰ－Ｉｎｄｅｘ：ＡＭｕｌｔｉｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌＳｐａｃｅＰａｒｔｉｔｉｏｎｉｎｇＴｒｅｅ［Ｍ］．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＡＣＭ，１９９１．［１６］　ＶｅｌｄｈｕｉｚｅｎＤＡ，Ｖａｎ，ＬａｍｏｎｔＧＢ．ＭｕｌｔｉｏｂｊｅｃｔｉｖｅＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＡｌｇｏｒｉｔｈｍＲｅｓｅａｒｃｈ：ＡＨｉｓｔｏｒｙａｎｄＡｎａｌｙｓｉｓ［Ｒ／ＯＬ］．１９９８－１０－１４．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｌａｎｉａ．ｍｘ／～ｃｃｏｅｌｌｏ／ＥＭｏｏ／ｃｏｅｌｌｏｏ３ａ．ｐｄｆ．ｇｚ．［１７］　ＳｃｈｏｔｔＪＲ．ＦａｕｌｔＴｏｌｅｒａｎｔＤｅｓｉｇｎＵｓｉｎｇＳｉｎｇｌｅａｎｄＭｕｌｔｉｃｒｉｔｅｒｉａＧｅｎｅｔｉｃＡｌｇｏｒｉｔｈｍＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｍａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓ：ＭａｓｓａｃｈｕｓｅｔｔｓＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，１９９５．［１８］　ＧＯＮＧＭａｏ－ｇｕｏ，ＪＩＡＯＬｉ－ｃｈｅｎｇ，ＹＡＮＧＤｏｎｇ－ｄｏｎｇ，ｅｔａｌ．ＲｅｓｅａｒｃｈｏｎＥｖｏｌｕｔｉｏｎａｒｙＭｕｌｔｉ－ｏｂｊｅｃｔｉｖｅＯｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎＡｌｇｏｒｉｔｈｍｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｏｆｔｗａｒｅ，２００９，２０（２）：２７１－２８９．（公茂果，焦李成，杨咚咚，等．进化多目标优化算法研究［Ｊ］．软件学报，２００９，２０（２）：２７１－２８９．）。