电大作业-工程数学考核作业(第二次)
国家开放大学《工程数学》章节测试参考答案

国家开放大学《工程数学》章节测试参考答案第2章 矩阵(一)单项选择题(每小题2分,共20分)⒈设,则(D ).A. 4B. -4C. 6D. -6⒉若,则(A ). A.B. -1C.D. 1⒊乘积矩阵中元素(C ). A. 1 B. 7 C. 10 D. 8⒋设均为阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是(B ). A. B.C. D.⒌设均为阶方阵,且,则下列等式正确的是(D ).A. B. C. D.⒍下列结论正确的是(A ). A. 若是正交矩阵,则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵,则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵,则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵,则a a ab b bc c c 1231231232=a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=000100002001001a a=a =12-121124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥c 23=A B ,n A BAB+=+---111()AB BA--=11()A B A B +=+---111()AB A B ---=111A B ,n k >0k ≠1A B A B +=+AB n A B =kA k A =-=-kA k A n ()A A -1A B ,n AB A B ,n AB A B ,n AB ≠0⒎矩阵的伴随矩阵为(C ).A. B. C. D. ⒏方阵可逆的充分必要条件是(B ).A.B.C.D.⒐设均为阶可逆矩阵,则(D ).A. B. C.D.⒑设均为阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ). A. B.C.D.(二)填空题(每小题2分,共20分)⒈ 7 。
⒉是关于的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 。
⒊若为矩阵,为矩阵,切乘积有意义,则为 5×4 矩阵。
⒋二阶矩阵 [151]。
⒌设,则 [6―35―18]。
⒍设均为3阶矩阵,且,则 72 。
《工程数学》电大历年期末试题及答案 (2)

工程数学电大历年期末试题及答案第一章:复数及其运算1.1 复数的定义和性质试题:1.请简要叙述复数的定义和性质。
2.复数的共轭运算是指什么?给出其定义和性质。
3.试证明虚数单位i满足i2=−1。
答案:1.复数是由实数和虚数部分构成的数,通常表示为a+bi的形式,其中a是实数部分,b是虚数部分,i是虚数单位。
复数的性质有:–复数可以相加:(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i–复数可以相乘:(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i–复数的加法和乘法满足交换律和结合律。
2.复数的共轭运算是指改变虚数部分的符号,即将a+bi变为a-bi。
共轭运算的定义和性质如下:–定义:对于任意复数z=a+bi,其共轭复数为z* = a-bi。
–性质:(a+bi) * (a-bi) = a^2 + b^2,即一个复数与其共轭的乘积等于实数部分的平方加虚数部分的平方。
3.可以通过计算i2来证明虚数单位i满足i2=−1:–i2=(0+1i)∗(0+1i)=−1。
1.2 复数的指数表示和三角函数形式试题:1.请简要叙述复数的指数表示形式和三角函数形式。
2.试证明对于任意复数z,有$e^{i\\theta} =\\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
答案:1.复数的指数表示形式是通过欧拉公式来表达,即$z= r \\cdot e^{i\\theta}$,其中r是复数的模,$\\theta$是复数的辐角。
复数的三角函数形式是通过复数的实部和虚部来表示,即$z = a + bi = r\\cos\\theta + r\\sin\\theta i$,其中r是复数的模,$\\theta$是复数的辐角。
2.可以通过欧拉公式来证明对于任意复数z,有$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$:–欧拉公式表示为$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$。
国开电大 工程数学(本) 形考任务1-5答案 (2)

国开电大工程数学(本) 形考任务1-5答案任务1答案在工程数学中,任务1通常包括对于给定的函数或方程求解、求导或求积分等基本运算。
以下是对任务1的答案:1.1 求解方程对于给定的方程,求解意味着找到使方程成立的变量的值。
解方程的一般步骤如下:1.将方程移项,整理为标准形式;2.根据运算法则,对方程进行简化;3.通过合适的代数运算,解出变量的值。
例如,对于方程2x+5=15,我们可以按照以下步骤求解:1.将方程移项得到2x=15−5;2.简化方程为2x=10;3.通过除法运算解出x的值,得到 $x = \\frac{10}{2}= 5$。
因此,方程2x+5=15的解为x=5。
1.2 求导求导是对给定函数的导数进行计算。
函数的导数反映了函数在每个点上的变化率。
求导的一般步骤如下:1.根据导数的定义,写出函数的导数表达式;2.使用导数的基本运算法则,对函数进行求导。
例如,对于函数x(x)=3x2+2x+1,我们可以按照以下步骤求导:1.写出函数x(x)的导数表达式为x′(x)=6x+2;2.使用导数的基本运算法则得到x′(x)=6x+2。
因此,函数x(x)=3x2+2x+1的导数为x′(x)=6x+2。
1.3 求积分求积分是对给定函数的积分进行计算。
函数的积分表示了函数在指定区间上的面积或曲线长度。
求积分的一般步骤如下:1.根据积分的定义,写出函数的积分表达式;2.使用积分的基本运算法则,对函数进行积分。
例如,对于函数x(x)=3x2+2x+1,我们可以按照以下步骤求积分:1.写出函数x(x)的积分表达式为 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx}$;2.使用积分的基本运算法则得到 $\\int{(3x^2 + 2x +1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$,其中x为常数。
因此,函数x(x)=3x2+2x+1的积分为 $\\int{(3x^2 +2x + 1)dx} = x^3 + x^2 + x + C$。
电大 工程数学试卷及答案汇总(完整版)

当1 x 2 时, F(x) P(X 1) 1 ; 6
当 2 x 3时, F(x) P( X 1) P( X 2) 2 ; 3
当 x 3 时, F(x) 1;
(2)EX=1 x 1/6+2 x 3/6+3 x 2/6= 13/6
(3 分) (1 分) (1 分) (1 分)
(1 分) (1 分) (1 分)
1 )n) N
15.解答: (1)随机变量 X 的取值为 1,2,3。
(2 分) (1 分)
《工程数学》试题
第 7 页 共6 页
依题意有: P{X 1} 1 ; P{X 2} 3 ; P( X 3) 2
6
6
6
X 的分布函数 F(x) P{X x} 由条件知:当 x 1时, F(x) 0;
《工程数学》试题
第 3 页 共6 页
15.设一口袋中依此标有 1,2,2,2,3,3 数字的六个球。从中任取一球,记随机 变量 X 为取得的球上标有的数字,求 (1)X 的概率分布律和分布函数。(2)EX
得分 评卷人
四、证明题(共 10 分)
16.设 a=(a1,a2,…,an)T,a1≠0,其长度为║a║,又 A=aaT, (1)证明 A2=║a║2A; (2) 证明 a 是 A 的一个特征向量,而 0 是 A 的 n-1 重特征值; (3) A 能相似于对角阵Λ吗?若能,写出对角阵Λ.
=0.8x0.6+0.1 x0.4=0.52
(2)由贝叶斯公式
有
P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A)
=0.8x0.6/0.52=12/13
(2 分) (1 分) (2 分) (1 分) (1 分) (2 分) (1 分)
最新2015电大[工程数学]形成性考核册答案
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2015年电大【工程数学】形成性考核册答案工程数学作业(一)答案(满分100分)第2章 矩阵(一)单项选择题(每小题2分,共20分)⒈设a a a b b b c c c 1231231232=,则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=(D ).A. 4B. -4C. 6D. -6⒉若000100002001001a a =,则a =(A ). A. 12 B. -1 C. -12D. 1⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=(C ).A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是( B ). A. A BAB +=+---111 B. ()AB BA --=11C. ()A B A B +=+---111 D. ()AB A B ---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵,k >0且k ≠1,则下列等式正确的是(D ). A. A B A B +=+ B. AB n A B =C. kA k A =D. -=-kA k A n()⒍下列结论正确的是( A ).A. 若A 是正交矩阵,则A -1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵,则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵,则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵,则AB ≠0⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为( C ).A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆的充分必要条件是(B ).⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则()ACB '=-1(D ).A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 11C. A C B ---'111() D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ). A. ()A B A AB B +=++2222 B. ()A B B BA B +=+2C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22ABC C B A '='''(二)填空题(每小题2分,共20分)⒈21014001---= 7 . ⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 . ⒊若A 为34⨯矩阵,B 为25⨯矩阵,切乘积AC B ''有意义,则C 为 5×4 矩阵.⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051. ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,,则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设A B ,均为3阶矩阵,且A B ==-3,则-=2AB72 .⒎设A B ,均为3阶矩阵,且A B =-=-13,,则-'=-312()A B -3 .⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵,则a = 0 . ⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 . ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵,则A O OA 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A . (三)解答题(每小题8分,共48分) ⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,,求⑴A B +;⑵A C +;⑶23A C +;⑷A B +5;⑸AB ;⑹()AB C '.答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,,求AC BC +.解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,,求满足方程32A X B -=中的X . 解:Θ32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X⒋写出4阶行列式1020143602533110-- 中元素a a 4142,的代数余子式,并求其值.答案:0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥; ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥; ⑶ 100110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥. 解:(1)[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-91929292919292929110001000191929203132032311002120112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A ⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩. 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-0000000111000111011011011010111000011100011101101111112211100111000111011011111102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴3)(=A R(四)证明题(每小题4分,共12分) ⒎对任意方阵A ,试证A A +'是对称矩阵. 证明:'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ A A +'是对称矩阵⒏若A 是n 阶方阵,且AA I '=,试证A =1或-1.证明:Θ A 是n 阶方阵,且AA I '=∴ 12==='='I A A A A A ∴ A =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵,试证'A 也是正交矩阵. 证明:Θ A 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业(第二次)(满分100分)第3章 线性方程组(一)单项选择题(每小题2分,共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为(C ).A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪(B ).A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为( A ). A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,,则(B )是极大无关组.A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D ). A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ). A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是(D ).A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,,Λs 线性相关,则向量组(A )可被该向量组其余向量线性表出. A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9.设A ,B为n 阶矩阵,λ既是A又是B的特征值,x 既是A又是B的属于λ的特征向量,则结论( )成立.A.λ是AB 的特征值 B.λ是A+B 的特征值C.λ是A -B 的特征值 D.x 是A+B 的属于λ的特征向量10.设A,B,P为n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似. A.BA AB = B.AB AB =')( C.B PAP =-1 D.B P PA =' (二)填空题(每小题2分,共16分)⒈当λ= 1 时,齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解.⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 .⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 .⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=,则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的.⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα. ⒍向量组ααα12,,,Λs 的秩与矩阵[]ααα12,,,Λs 的秩 相同 .⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量,且秩()A =3,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个.⒏设线性方程组AX b =有解,X 0是它的一个特解,且AX =0的基础解系为X X 12,,则AX b =的通解为22110X k X k X ++.9.若λ是A的特征值,则λ是方程0=-A I λ 的根. 10.若矩阵A满足A A '=-1 ,则称A为正交矩阵. (三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分) 1.用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210009039270188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-3100010100100102000131004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x2.设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ]∴ 当1≠λ且2-≠λ时,3)()(==A R A R ,方程组有唯一解当1=λ时,1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解3.判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出,若能,写出一种表出方式.其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解:向量β能否由向量组321,,ααα线性表出,当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,解:[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关5.求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系.解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ,得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ 6.求下列线性方程组的全部解.x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =,24k x =,这里1k ,2k 为任意常数,得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x 7.试证:任一4维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.证明:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一4维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解. 证明:设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解,即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9.设λ是可逆矩阵A的特征值,且0≠λ,试证:λ1是矩阵1-A 的特征值.证明:Θλ是可逆矩阵A的特征值∴ 存在向量ξ,使λξξ=A∴ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A I∴ξλξ11=-A 即λ1是矩阵1-A 的特征值 10.用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型. 解:42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++=222423221)()(x x x x x x -+-++=∴ 令211x x y +=,4232x x x y +-=,23x y =,44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=工程数学作业(第三次)(满分100分)第4章 随机事件与概率(一)单项选择题⒈A B ,为两个事件,则( B )成立.A. ()A B B A +-=B. ()A B B A +-⊂C. ()A B B A -+=D. ()A B B A -+⊂ ⒉如果( C )成立,则事件A 与B 互为对立事件. A. AB =∅ B. AB U =C. AB =∅且AB U =D. A 与B 互为对立事件⒊10奖券中含有3中奖的奖券,每人购买1,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D ). A. C 10320703⨯⨯.. B. 03. C. 07032..⨯ D. 307032⨯⨯.. 4. 对于事件A B ,,命题(C )是正确的. A. 如果A B ,互不相容,则A B ,互不相容 B. 如果A B ⊂,则A B ⊂C. 如果A B ,对立,则A B ,对立D. 如果A B ,相容,则A B ,相容⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D ). A.3)1(p - B. 31p - C. )1(3p - D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,),且E X D X ().,().==48096,则参数n 与p 分别是(A ). A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数,则对任意的a b a b ,()<,E X ()=(A ). A. xf x x ()d -∞+∞⎰ B. xf x x ab()d ⎰C.f x x ab()d ⎰D.f x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ).A. f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它C. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它 9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x (),分布函数为F x (),则对任意的区间(,)a b ,则=<<)(b X a P ( D ).A. F a F b ()()-B. F x x ab()d ⎰C. f a f b ()()-D.f x x ab()d ⎰10.设X 为随机变量,E X D X (),()==μσ2,当(C )时,有E Y D Y (),()==01. A. Y X =+σμ B. Y X =-σμ C. Y X =-μσD. Y X =-μσ2(二)填空题⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为52. 2.已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,互不相容时,P A B ()+= 0.8 ,P AB ()= 0.3 .3.A B ,为两个事件,且B A ⊂,则P A B ()+=()A P .4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==,则P B ()=P -1.5. 若事件A B ,相互独立,且P A p P B q (),()==,则P A B ()+=pq q p -+.6. 已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,相互独立时,P A B ()+= 0.65 ,P A B ()= 0.3 .7.设随机变量X U ~(,)01,则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x x x .8.若X B ~(,.)2003,则E X ()= 6 .9.若X N ~(,)μσ2,则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ.10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 . (三)解答题1.设A B C ,,为三个事件,试用A B C ,,的运算分别表示下列事件: ⑴ A B C ,,中至少有一个发生; ⑵ A B C ,,中只有一个发生; ⑶ A B C ,,中至多有一个发生; ⑷ A B C ,,中至少有两个发生; ⑸ A B C ,,中不多于两个发生; ⑹ A B C ,,中只有C 发生.解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++ (4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A2. 袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率: ⑴ 2球恰好同色;⑵ 2球中至少有1红球.解:设A =“2球恰好同色”,B =“2球中至少有1红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P 3. 加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率. 解:设=i A “第i 道工序出正品”(i=1,2)9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P4. 市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率.解:设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= 865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯= 5. 某射手连续向一目标射击,直到命中为止.已知他每发命中的概率是p ,求所需设计次数X 的概率分布. 解:P X P ==)1(P P X P )1()2(-==P P X P 2)1()3(-== …………P P k X P k 1)1()(--== …………故X 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-p p p p p p p k k 12)1()1()1(3216.设随机变量X 的概率分布为012345601015020301201003.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253.解:87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P 72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P 7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P 7.设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它 试求P X P X (),()≤<<12142. 解:412)()21(210221021====≤⎰⎰∞-x xdx dx x f X P 16152)()241(1412141241====<<⎰⎰x xdx dx x f X P 8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它,求E X D X (),().解:32322)()(1031==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x xf X E 21422)()(10410222==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x f x X E181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D9. 设)6.0,1(~2N X ,计算⑴P X (..)0218<<;⑵P X ()>0. 解:8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P10.设X X X n 12,,,Λ是独立同分布的随机变量,已知E X D X (),()112==μσ,设X n X i i n==∑11,求E X D X (),().解:)]()()([1)(1)1()(21211n n ni i X E X E X E nX X XE n X nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=μμ==n n 1)]()()([1)(1)1()(2122121n n n i i X D X D X D n X X X D n X n D X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=22211σσn n n=⋅=工程数学作业(第四次)第6章 统计推断(一)单项选择题⒈设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2(μσ,2均未知)的样本,则(A )是统计量.A. x 1B. x 1+μC.x 122σ D. μx 1⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2(μσ,2均未知)的样本,则统计量(D )不是μ的无偏估计.A. max{,,}x x x 123B. 1212()x x +C. 212x x -D. x x x 123--(二)填空题1.统计量就是 不含未知参数的样本函数 .2.参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 .常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法.3.比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 , 有效性 .4.设x x x n 12,,,Λ是来自正态总体N (,)μσ2(σ2已知)的样本值,按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠,需选取统计量nx U /0σμ-=.5.假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ(u 为临界值)发生的概率.(三)解答题1.设对总体X 得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0试分别计算样本均值x 和样本方差s 2.解: 6.336101101101=⨯==∑=i i x x878.29.2591)(110121012=⨯=--=∑=i i x x s2.设总体X 的概率密度函数为f x x x (;)(),,θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ. 解:提示教材第214页例3矩估计:,121)1()(110∑⎰===++=+=ni i x n x dx x x X E θθθθxx --=112ˆθ最大似然估计:θθθθθ)()1()1();,,,(21121n n i ni n x x x x x x x L ΛΛX +=+==0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11=++=++=∑∑==ni i ni i x nd L d x n L θθθθ,1ln ˆ1--=∑=ni ixnθ3.测两点之间的直线距离5次,测得距离的值为(单位:m ):108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的,求μ与σ2的估计值.并在⑴σ225=.;⑵σ2未知的情况下,分别求μ的置信度为0.95的置信区间.解: 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ5122=--==∑=i i x x s σ (1)当σ225=.时,由1-α=0.95,975.021)(=-=Φαλ 查表得:96.1=λ故所求置信区间为:]4.111,6.108[],[=+-n x n x σλσλ(2)当2σ未知时,用2s 替代2σ,查t (4, 0.05 ) ,得 776.2=λ 故所求置信区间为:]7.111,3.108[],[=+-nsx n sx λλ4.设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2,从历史资料已知σ=4,抽查10个样品,求得均值为17,取显著性水平α=005.,问原假设H 020:μ=是否成立. 解:237.0162.343|10/42017||/|||0=⨯=-=-=nx U σμ,由975.021)(=-=Φαλ ,查表得:96.1=λ因为 237.0||=U > 1.96 ,所以拒绝0H5.某零件长度服从正态分布,过去的均值为20.0,现换了新材料,从产品中随机抽取8个样品,测得的长度为(单位:cm ):20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化(α=005.).解:由已知条件可求得:0125.20=x 0671.02=s1365.0259.0035.0|8/259.0200125.20||/|||0==-=-=n s x T μ 62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H 0即用新材料做的零件平均长度没有变化。
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F(w)= [e|t| ] e|t|e jt dt e( j )t dt e( j )t dt
0
0
(3 分)
= 1 1 2 j j 2 2
(2 分)
由付氏积分公式有
f(t)= 1[ F(w)]=
1
F ( )e jt d
2
(2 分)
= 1 2 (cost j sint)d
dx f (x, y)dy 1
即 从而
dx ce(2x4y)dy 1
00
c=8
(2) P(X Y )
f
(x,
y)dxdy
x
dx
8e(2x4 y) dy
2
x y
00
3
(3) 当 x>0 时, f X (x) f (x, y)dy 8e(2x4y)dy 2e2x
0
=–( y2 –7000y + 4•106 ) /1000 求极值得 y=3500 (吨)
(3 分) (1 分)
工程数学(本)10 秋模拟试题(一) 一、单项选择题(每小题 3 分,共 15 分)
1.设 A, B 都是 n 阶方阵,则下列命题正确的是( AB A B ).
《工程数学》试题
第 8 页 共6 页
12.求线性方程组
x1 3x2 x3 x4 1 x12x14x27x23x32x32x4x41 2
的
全
部
解
.
解
:
2x1 4x2 8x3 2x4 2
将方程组的增广矩阵化为阶梯形
1 3 1 1 1 1 3 1 1 1
2 7 2 1 2 0 1 0 1 0 1 4 3 2 1 0 1 2 3 0
13.设二维随机变量 (X ,Y ) 的联合概率函数是
电大工程数学必过2010年1月2015年1月期末试题已填写答案

试卷代号:1080 座位号国家开放大学(中央广播电视大学)2014 年秋季学期“开放本科”期末考试工程数学(本)试题(半开卷)2015 年1 月1. 设A,B 都是n阶方阵,则下列等式中正确的是(C).A. /A+B/= /A/+ /B/B. /A一i+B一i /= /A/-1 /B /一1c. /AB I= /Al /B/ D. /AA /=λ/A/2.向量组110201230037⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,,,的秩是(B ).A.1 B.3C. 2 D.43. 设A 为 n 阶方阵,若存在数人(λ的误)和非零 n 维向量 X ,使得AX= 人X ,则称数λ为A 的(A ).A. 特征值B. 特征多项式41c. 特征向量 D. 非零解4. 设X的分布列为x 1 2 3p 0. 3 0.4 0.2则P<X<2)=(BA.o. 1B.0.4c. o. 3 D. 0. 25.对给定的正态总体N(σ2A.χ2分布 B. t 分布c. 指数分布 D. 正态分布得分|评卷人二、填空题{每小题3分,共15 分}l 0 06. 若三阶方阵A= lo -1 21 ,则IA-II= 02 3 6X1十X z十X3+x4 =37. 线性方程组3X 2 +2x3十4x4=6 -般解中的自由未知量的个数为X3 - X4 = 318. 已知P(A) =0.9, P(AB) =0. 5 ,则P<A-B) =0.49. 设随机变量X B(lOO,0.15) ,则E(X) = 1510. 不含未知参数的样本函数称为统计量411「得分|评卷人三、计算题(每小题 16 分,共 64 分)求I AI , A -1第二部分12.在线性方程组' 1 -1 211.设矩阵A = 2 —3 53 -2 4中λ取何值时,此方程组有解。
在有解的情况下,求出通解。
《工程数学》形成性考核作业2答案

《工程数学》形成性考核作业2答案第3章 线性方程组(一)单项选择题(每小题2分,共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为(C ). A. [,,]102-' B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪(B ).A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为( A ). A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,,则(B )是极大无关组.A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组有解,则(A ).A. 秩()A =秩()AB. 秩()A <秩()AC. 秩()A >秩()AD. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ).A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解 ⒎以下结论正确的是(D ).A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出.A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量 9.设A ,B为n 阶矩阵,λ既是A又是B的特征值,x 既是A又是B的属于λ的特征向量,则结论( B )成立.A.λ是AB 的特征值 B.λ是A+B 的特征值C.λ是A -B 的特征值 D.x 是A+B 的属于λ的特征向量10.设A,B,P为n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似. A.BA AB = B.AB AB =')( C.B PAP =-1 D.B P PA =' (二)填空题(每小题2分,共16分)⒈当λ= 1 时,齐次线性方程组x x x x 12120+=+=⎧⎨⎩λ有非零解.⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 .⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 .⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=,则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的. ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα. ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 . ⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量,且秩()A =3,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个.⒏设线性方程组AX b =有解,X 0是它的一个特解,且AX =0的基础解系为X X 12,,则AX b =的通解为22110X k X k X ++.9.若λ是A的特征值,则λ是方程0=-A I λ 的根. 10.若矩阵A满足A A '=-1 ,则称A为正交矩阵. (三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分) 1.用消元法解线性方程组 x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+331100041100461501012442001136504110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-31000101001001020001310004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x2.设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ]∴ 当1≠λ且2-≠λ时,3)()(==A R A R ,方程组有唯一解当1=λ时,1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解3.判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出,若能,写出一种表出方式.其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解:向量β能否由向量组321,,ααα线性表出,当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解 这里[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠ ∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出4.计算下列向量组的秩,并且判断该向量组是否线性相关 ?αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,解:[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关5.求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系.解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ,得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ 6.求下列线性方程组的全部解.x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++-=2217112179432431x x x x x x令13k x =,24k x =,这里1k ,2k 为任意常数,得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171792217112179212121214321k k k k k k k k x x x x7.试证:任一4维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.证明:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一4维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a 44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解.证明:设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解,即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9.设λ是可逆矩阵A的特征值,且0≠λ,试证:λ1是矩阵1-A 的特征值. 证明: λ是可逆矩阵A的特征值 ∴ 存在向量ξ,使λξξ=A∴ ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A I∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值 10.用配方法将二次型3231212322213212222),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=化为标准型,并写出满秩的线性变换。
最新国家开放大学电大本科《工程数学》期末试题标准题库及答案(试卷号:1080)

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电大[工程数学]形成性考核册答案(1~3)
![电大[工程数学]形成性考核册答案(1~3)](https://img.taocdn.com/s3/m/7670f2222f60ddccda38a026.png)
工程数学(1~3) 形成性考核册答案电大工程数学作业(一)答案(满分100分)第2章 矩阵(一) 单项选择题(每小题2分,共20分)⒈设a a a b b b c c c 1231231232=,则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=(D ).A. 4B. -4C. 6D. -6⒉若0001000020011a a=,则a =(A ).A.12B. -1C. -12D. 1⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=(C ). A. 1 B. 7 C. 10 D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是( B ). A. A BA B +=+---111B. ()AB BA--=11C. ()A B AB+=+---111D. ()A B AB---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵,k >0且k ≠1,则下列等式正确的是(D ). A. A B A B +=+ B. A B n A B = C. kA k A = D. -=-kA k A n() ⒍下列结论正确的是( A ). A. 若A 是正交矩阵,则A-1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵,则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵,则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵,则A B ≠0 ⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为( C ).A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325 C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321 ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是(B ).A.A ≠0B.A ≠0C. A *≠0D. A *>0 ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则()ACB '=-1(D ). A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 11 C. A C B ---'111() D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ). A. ()A B A AB B +=++2222 B. ()A B B BA B +=+2 C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22A B C C B A '=''' (二)填空题(每小题2分,共20分)⒈210140001---= 7 . ⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 . ⒊若A 为34⨯矩阵,B 为25⨯矩阵,切乘积A C B ''有意义,则C 为 5×4 矩阵.⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051. ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,,则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360⒍设A B ,均为3阶矩阵,且A B ==-3,则-=2A B 72 . ⒎设A B ,均为3阶矩阵,且A B =-=-13,,则-'=-312()A B -3 .⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵,则a = 0 . ⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 . ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵,则A O O A 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A . (三)解答题(每小题8分,共48分) ⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,,求⑴A B +;⑵A C +;⑶23A C +;⑷A B +5;⑸AB ;⑹()A B C '.答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥12101210321111432102,,,求AC BC +. 解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,,求满足方程32A X B -=中的X . 解: 32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X ⒋写出4阶行列式102014360253311--中元素a a 4142,的代数余子式,并求其值.答案:035263420)1(1441=--=+a 4535631021)1(2442=---=+a ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥; ⑵ 123423121111126---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥; ⑶ 1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥. 解:(1)[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-919292929192929291100010001919292031320323110210201122120323190630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A(2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-110110001100011A ⒍求矩阵101101111011001012101211321⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩. 解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-0001110001110110110110101110111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴3)(=A R(四)证明题(每小题4分,共12分) ⒎对任意方阵A ,试证A A +'是对称矩阵. 证明:'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ A A +'是对称矩阵⒏若A 是n 阶方阵,且A A I '=,试证A =1或-1. 证明: A 是n 阶方阵,且A A I '=∴ 12==='='I A A A A A∴A =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵,试证'A 也是正交矩阵. 证明: A 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业(第二次)(满分100分)第3章 线性方程组(一)单项选择题(每小题2分,共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为(C ).A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪(B ).A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为( A ). A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,,则(B )是极大无关组. A. αα12, B. ααα123,, C. ααα124,, D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D ). A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ). A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是(D ).A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出. A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9.设A ,B为n 阶矩阵,λ既是A又是B的特征值,x 既是A又是B的属于λ的特征向量,则结论( )成立.A.λ是AB 的特征值 B.λ是A+B 的特征值C.λ是A -B 的特征值 D.x 是A+B 的属于λ的特征向量 10.设A,B,P为n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似. A.BA AB = B.AB AB =')( C.B PAP =-1D.B P PA ='(二)填空题(每小题2分,共16分)⒈当λ= 1 时,齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解.⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 .⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 . ⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=,则这个方程组有 无穷多解,且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的. ⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα.⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s的秩 相同 .⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量,且秩()A =3,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个.⒏设线性方程组A X b =有解,X 0是它的一个特解,且AX =0的基础解系为X X 12,,则A X b =的通解为22110X k X k X ++.9.若λ是A的特征值,则λ是方程0=-A I λ 的根. 10.若矩阵A满足A A '=-1 ,则称A为正交矩阵. (三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分) 1.用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612109039270018871048231901843101850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-310101001001020001314110046150101244200134241441542111r rr r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x 2.设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(1111111011111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ]∴ 当1≠λ且2-≠λ时,3)()(==A R A R ,方程组有唯一解当1=λ时,1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解3.判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出,若能,写出一种表出方式.其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解:向量β能否由向量组321,,ααα线性表出,当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==5710117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,, 解:[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关5.求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系. 解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000073140211450110314731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ,得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ 6.求下列线性方程组的全部解.x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =,24k x =,这里1k ,2k 为任意常数,得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x 7.试证:任一4维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.证明:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一4维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解. 证明:设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解,即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9.设λ是可逆矩阵A的特征值,且0≠λ,试证:λ1是矩阵1-A 的特征值.证明: λ是可逆矩阵A的特征值∴ 存在向量ξ,使λξξ=A∴ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A AA AA AI∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值10.用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型.解:42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++= 222423221)()(x x x x x x -+-++=∴ 令211x x y +=,4232x x x y +-=,23x y =,44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=工程数学作业(第三次)(满分100分)第4章 随机事件与概率(一)单项选择题⒈A B ,为两个事件,则( B )成立.A. ()A B B A +-=B. ()A B B A +-⊂C. ()A B B A -+=D. ()A B B A -+⊂ ⒉如果( C )成立,则事件A 与B 互为对立事件. A. AB =∅ B. AB U =C. AB =∅且AB U =D. A 与B 互为对立事件⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D ). A. C 10320703⨯⨯.. B. 03. C. 07032..⨯ D. 307032⨯⨯.. 4. 对于事件A B ,,命题(C )是正确的. A. 如果A B ,互不相容,则A B ,互不相容 B. 如果A B ⊂,则A B ⊂C. 如果A B ,对立,则A B ,对立D. 如果A B ,相容,则A B ,相容⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D ). A.3)1(p - B. 31p - C. )1(3p - D. )1()1()1(223p p p p p -+-+-6.设随机变量X B n p ~(,),且E X D X ().,().==48096,则参数n 与p 分别是(A ). A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数,则对任意的a b a b ,()<,E X ()=(A ). A. xf x x ()d -∞+∞⎰ B.xf x x ab ()d ⎰ C.f x x ab ()d ⎰D.f x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ).A. f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它C. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它 9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x (),分布函数为F x (),则对任意的区间(,)a b ,则=<<)(b X a P ( D ).A. F a F b ()()-B. F x x a b ()d ⎰C. f a f b ()()-D.f x x ab()d ⎰10.设X 为随机变量,E X D X (),()==μσ2,当(C )时,有E Y D Y (),()==01. A. Y X =+σμ B. Y X =-σμC. Y X =-μσD. Y X =-μσ2(二)填空题⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为52.2.已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,互不相容时,P A B ()+= 0.8 ,P A B ()= 0.3 .3.A B ,为两个事件,且B A ⊂,则P A B ()+=()A P .4. 已知P AB P A B P A p ()(),()==,则P B ()=P -1.5. 若事件A B ,相互独立,且P A p P B q (),()==,则P A B ()+=pq q p -+.6. 已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,相互独立时,P A B ()+= 0.65 ,P A B ()= 0.3 .7.设随机变量X U ~(,)01,则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x xx . 8.若X B ~(,.)2003,则E X ()= 6 . 9.若X N ~(,)μσ2,则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ.10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 . (三)解答题1.设A B C ,,为三个事件,试用A B C ,,的运算分别表示下列事件: ⑴ A B C ,,中至少有一个发生; ⑵ A B C ,,中只有一个发生; ⑶ A B C ,,中至多有一个发生; ⑷ A B C ,,中至少有两个发生; ⑸ A B C ,,中不多于两个发生; ⑹ A B C ,,中只有C 发生.解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++ (4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A2. 袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率: ⑴ 2球恰好同色;⑵ 2球中至少有1红球.解:设A =“2球恰好同色”,B =“2球中至少有1红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P3. 加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率. 解:设=i A “第i 道工序出正品”(i=1,2)9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P4. 市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率.解:设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=5. 某射手连续向一目标射击,直到命中为止.已知他每发命中的概率是p ,求所需设计次数X 的概率分布. 解:P X P ==)1(P P X P )1()2(-==P P X P 2)1()3(-==…………P P k X P k 1)1()(--==…………故X 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-pp pp pp pk k 12)1()1()1(321 6.设随机变量X 的概率分布为12345601015020301201003.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253.解:87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P 72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P 7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P7.设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它试求P X P X (),()≤<<12142.解:412)()21(2122121====≤⎰⎰∞-xxdx dx x f X P16152)()241(1412141241====<<⎰⎰xxdx dx x f X P8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它,求E X D X (),().解:32322)()(1031==⋅==⎰⎰+∞∞-xxdx x dx x xf X E21422)()(1041222==⋅==⎰⎰+∞∞-xxdx x dx x f x XE181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D 9. 设)6.0,1(~2N X ,计算⑴P X (..)0218<<;⑵P X ()>0.解:8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P10.设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量,已知E X D X (),()112==μσ,设X nX i i n==∑11,求E X D X (),().解:)]()()([1)(1)1()(21211n n ni i X E X E X E nX XX E nX nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=μμ==n n1 )]()()([1)(1)1()(2122121n n ni i X D X D X D nX XX D nX nD X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑=22211σσnn n=⋅=以上内容可能会有错误,欢迎指出。
中央电大土木工程本科工程数学形成性考核册答案

工程数学作业(一)答案(满分100分)第2章 矩阵(一)单项选择题(每小题2分,共20分)⒈设a a a b b b c c c 1231231232=,则a a a a b a b a b c c c 123112233123232323---=(D ).A. 4B. -4C. 6D. -6⒉若000100002001001a a=,则a =(A ).A.12 B. -1 C. -12D. 1 ⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥中元素c 23=(C ).A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是( B ). A. A BAB +=+---111 B. ()AB BA --=11C. ()A B A B +=+---111 D. ()AB A B ---=111⒌设A B ,均为n 阶方阵,k >0且k ≠1,则下列等式正确的是(D ). A. A B A B +=+ B. AB n A B =C. kA k A =D. -=-kA k A n()⒍下列结论正确的是( A ).A. 若A 是正交矩阵,则A -1也是正交矩阵B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵,则AB 也是对称矩阵C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵,则AB 也是非零矩阵D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵,则AB ≠0⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤⎦⎥的伴随矩阵为( C ). A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥ B. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥1325C. 5321--⎡⎣⎢⎤⎦⎥D. --⎡⎣⎢⎤⎦⎥5321⒏方阵A 可逆的充分必要条件是(B ).A.A ≠0B.A ≠0C. A *≠0D. A *>0⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则()ACB '=-1(D ).A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 11 C. A C B ---'111() D. ()B C A ---'111⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ). A. ()A B A AB B +=++2222 B. ()A B B BA B +=+2C. ()221111ABC C B A ----= D. ()22ABC C B A '='''(二)填空题(每小题2分,共20分)⒈21014001---= 7 . ⒉---11111111x 是关于x 的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 . ⒊若A 为34⨯矩阵,B 为25⨯矩阵,切乘积AC B ''有意义,则C 为 5×4 矩阵.⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤⎦⎥=11015⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051. ⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎤⎦⎥124034120314,,则()A B +''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设A B ,均为3阶矩阵,且A B ==-3,则-=2AB 72 .⒎设A B ,均为3阶矩阵,且A B =-=-13,,则-'=-312()A B -3 .⒏若A a =⎡⎣⎢⎤⎦⎥101为正交矩阵,则a = 0 .⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥的秩为 2 . ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵,则A O OA 121⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A . (三)解答题(每小题8分,共48分)⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥123511435431,,,求⑴A B +;⑵A C +;⑶23A C +;⑷A B +5;⑸AB ;⑹()AB C '.答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥121012103211114321002,,,求AC BC +.解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥310121342102111211,,求满足方程32A X B -=中的X .解: 32A X B -=∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X ⒋写出4阶行列式1020143602533110--中元素a a 4142,的代数余子式,并求其值.答案:0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:⑴ 122212221--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥; ⑵ 1234231211111026---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥; ⑶1000110011101111⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥.解:(1)[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-91929292919292929110001000191929203132032311002120112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r r r I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A(2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A ⒍求矩阵1011011110110010121012113201⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥的秩.解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-00000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R(四)证明题(每小题4分,共12分) ⒎对任意方阵A ,试证A A +'是对称矩阵. 证明:'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴ A A +'是对称矩阵⒏若A 是n 阶方阵,且AA I '=,试证A =1或-1.证明: A 是n 阶方阵,且AA I '=∴ 12==='='I A A A A A∴A =1或1-=A⒐若A 是正交矩阵,试证'A 也是正交矩阵. 证明: A 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即'A 是正交矩阵工程数学作业(第二次)(满分100分)第3章 线性方程组(一)单项选择题(每小题2分,共16分)⒈用消元法得x x x x x x 12323324102+-=+=-=⎧⎨⎪⎩⎪的解x x x 123⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥为(C ).A. [,,]102-'B. [,,]--'722C. [,,]--'1122D. [,,]---'1122⒉线性方程组x x x x x x x 12313232326334++=-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪(B ). A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解⒊向量组100010001121304⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥,,,,的秩为( A ). A. 3 B. 2 C. 4 D. 5⒋设向量组为αααα12341100001110101111=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥,,,,则(B )是极大无关组.A. αα12,B. ααα123,,C. ααα124,,D. α1⒌A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D ). A. 秩()A =秩()A B. 秩()A <秩()A C. 秩()A >秩()A D. 秩()A =秩()A -1⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ). A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是(D ).A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解⒏若向量组ααα12,,, s 线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出. A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量9.设A ,B为n 阶矩阵,λ既是A又是B的特征值,x 既是A又是B的属于λ的特征向量,则结论( )成立. A.λ是AB 的特征值 B.λ是A+B 的特征值C.λ是A -B 的特征值 D.x 是A+B 的属于λ的特征向量10.设A,B,P为n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似. A.BA AB = B.AB AB =')( C.B PAP =-1 D.B P PA =' (二)填空题(每小题2分,共16分)⒈当λ= 1 时,齐次线性方程组x x x x 121200+=+=⎧⎨⎩λ有非零解.⒉向量组[][]αα12000111==,,,,,线性 相关 .⒊向量组[][][][]123120100000,,,,,,,,,,,的秩是 3 .⒋设齐次线性方程组ααα1122330x x x ++=的系数行列式ααα1230=,则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量ααα123,,是线性 相关 的.⒌向量组[][][]ααα123100100===,,,,,的极大线性无关组是21,αα. ⒍向量组ααα12,,, s 的秩与矩阵[]ααα12,,, s 的秩 相同 .⒎设线性方程组AX =0中有5个未知量,且秩()A =3,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个. ⒏设线性方程组AX b =有解,X 0是它的一个特解,且AX =0的基础解系为X X 12,,则AX b =的通解为22110X k X k X ++.9.若λ是A的特征值,则λ是方程0=-A I λ 的根. 10.若矩阵A满足A A '=-1 ,则称A为正交矩阵. (三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分) 1.用消元法解线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x x 123412341234123432638502412432---=-++=-+-+=--+--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-261210009039270188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-3100010100100102000131004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x2.设有线性方程组λλλλλ11111112⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥x y z λ 为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ]∴ 当1≠λ且2-≠λ时,3)()(==A R A R ,方程组有唯一解当1=λ时,1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解3.判断向量β能否由向量组ααα123,,线性表出,若能,写出一种表出方式.其中βααα=---⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥83710271335025631123,,, 解:向量β能否由向量组321,,ααα线性表出,当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA )()(A R A R ≠∴ 方程组无解∴ β不能由向量321,,ααα线性表出4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关αααα1234112343789131303319636=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=----⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥,,,解:[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=00000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关5.求齐次线性方程组x x x x x x x x x x x x x x x 1234123412341243205230112503540-+-=-+-+=--+-=++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 的一个基础解系. 解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-000100001431001450100010002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ,得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ 6.求下列线性方程组的全部解.x x x x x x x x x x x x x x x 12341234124123452311342594175361-+-=-+-+=----=++-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=++-+-+-++00000000002872140121790156144280287214028721401132511163517409152413113251423212413121214553r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−-0000000000221711012179012141r ∴方程组一般解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++-=2217112197432431x x x x x x令13k x =,24k x =,这里1k ,2k 为任意常数,得方程组通解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00211021210171972217112197212121214321k k k k k k k k x x x x 7.试证:任一4维向量[]'=4321,,,a a a a β都可由向量组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00112α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01113α,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11114α线性表示,且表示方式唯一,写出这种表示方式.证明:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=00011α ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-001012αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-010023αα ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-100034αα任一4维向量可唯一表示为)()()(10000100001000013442331221143214321αααααααβ-+-+-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a a a a44343232121)()()(ααααa a a a a a a +-+-+-=⒏试证:线性方程组有解时,它有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组只有零解. 证明:设B AX =为含n 个未知量的线性方程组 该方程组有解,即n A R A R ==)()(从而B AX =有唯一解当且仅当n A R =)(而相应齐次线性方程组0=AX 只有零解的充分必要条件是n A R =)(∴ B AX =有唯一解的充分必要条件是:相应的齐次线性方程组0=AX 只有零解9.设λ是可逆矩阵A的特征值,且0≠λ,试证:λ1是矩阵1-A 的特征值.证明: λ是可逆矩阵A的特征值∴ 存在向量ξ,使λξξ=A∴ξξλλξξξξ=====----1111)()()(A A A A A A I∴ξλξ11=-A即λ1是矩阵1-A 的特征值 10.用配方法将二次型43324221242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=化为标准型. 解:42244232322143324224232212)(2)(222)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f -++-+++=+--+++=222423221)()(x x x x x x -+-++=∴ 令211x x y +=,4232x x x y +-=,23x y =,44y x =即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+==-=44432332311y x y y y x y x y y x则将二次型化为标准型 232221y y y f -+=工程数学作业(第三次)(满分100分)第4章 随机事件与概率(一)单项选择题⒈A B ,为两个事件,则( B )成立.A. ()A B B A +-=B. ()A B B A +-⊂C. ()A B B A -+=D. ()A B B A -+⊂ ⒉如果( C )成立,则事件A 与B 互为对立事件. A. AB =∅ B. AB U =C. AB =∅且AB U =D. A 与B 互为对立事件⒊10张奖券中含有3张中奖的奖券,每人购买1张,则前3个购买者中恰有1人中奖的概率为(D ). A. C 10320703⨯⨯.. B. 03. C. 07032..⨯ D. 307032⨯⨯.. 4. 对于事件A B ,,命题(C )是正确的. A. 如果A B ,互不相容,则A B ,互不相容 B. 如果A B ⊂,则A B ⊂ C. 如果A B ,对立,则A B ,对立D. 如果A B ,相容,则A B ,相容⒌某随机试验的成功率为)10(<<p p ,则在3次重复试验中至少失败1次的概率为(D ). A.3)1(p - B. 31p - C. )1(3p - D. )1()1()1(223p p p p p -+-+- 6.设随机变量X B n p ~(,),且E X D X ().,().==48096,则参数n 与p 分别是(A ). A. 6, 0.8 B. 8, 0.6 C. 12, 0.4 D. 14, 0.27.设f x ()为连续型随机变量X 的密度函数,则对任意的a b a b ,()<,E X ()=(A ). A. xf x x ()d -∞+∞⎰B.xf x x ab()d ⎰C.f x x ab()d ⎰D.f x x ()d -∞+∞⎰8.在下列函数中可以作为分布密度函数的是(B ).A. f x x x ()sin ,,=-<<⎧⎨⎪⎩⎪ππ2320其它B. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪020π其它C. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎪⎩⎪0320π其它 D. f x x x ()sin ,,=<<⎧⎨⎩00π其它9.设连续型随机变量X 的密度函数为f x (),分布函数为F x (),则对任意的区间(,)a b ,则=<<)(b X a P ( D ). A. F a F b ()()- B. F x x a b()d ⎰ C. f a f b ()()- D.f x x ab()d ⎰10.设X 为随机变量,E X D X (),()==μσ2,当(C )时,有E Y D Y (),()==01. A. Y X =+σμ B. Y X =-σμC. Y X =-μσD. Y X =-μσ2(二)填空题⒈从数字1,2,3,4,5中任取3个,组成没有重复数字的三位数,则这个三位数是偶数的概率为52. 2.已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,互不相容时,P A B ()+= 0.8 ,P AB ()= 0.3 . 3.A B ,为两个事件,且B A ⊂,则P A B ()+=()A P .4. 已知P AB P AB P A p ()(),()==,则P B ()=P -1.5. 若事件A B ,相互独立,且P A p P B q (),()==,则P A B ()+=pq q p -+.6. 已知P A P B ().,().==0305,则当事件A B ,相互独立时,P A B ()+= 0.65 ,P A B ()= 0.3 .7.设随机变量X U ~(,)01,则X 的分布函数F x ()=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤111000x x x x .8.若X B ~(,.)2003,则E X ()= 6 .9.若X N ~(,)μσ2,则P X ()-≤=μσ3)3(2Φ.10.E X E X Y E Y [(())(())]--称为二维随机变量(,)X Y 的 协方差 . (三)解答题1.设A B C ,,为三个事件,试用A B C ,,的运算分别表示下列事件: ⑴ A B C ,,中至少有一个发生; ⑵ A B C ,,中只有一个发生; ⑶ A B C ,,中至多有一个发生; ⑷ A B C ,,中至少有两个发生; ⑸ A B C ,,中不多于两个发生; ⑹ A B C ,,中只有C 发生.解:(1)C B A ++ (2)C B A C B A C B A ++ (3) C B A C B A C B A C B A +++ (4)BC AC AB ++ (5)C B A ++ (6)C B A2. 袋中有3个红球,2个白球,现从中随机抽取2个球,求下列事件的概率: ⑴ 2球恰好同色;⑵ 2球中至少有1红球.解:设A =“2球恰好同色”,B =“2球中至少有1红球”521013)(252223=+=+=C C C A P 1091036)(25231213=+=+=C C C C B P 3. 加工某种零件需要两道工序,第一道工序的次品率是2%,如果第一道工序出次品则此零件为次品;如果第一道工序出正品,则由第二道工序加工,第二道工序的次品率是3%,求加工出来的零件是正品的概率. 解:设=i A “第i 道工序出正品”(i=1,2)9506.0)03.01)(02.01()|()()(12121=--==A A P A P A A P4. 市场供应的热水瓶中,甲厂产品占50%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲、乙、丙厂产品的合格率分别为90%,85%,80%,求买到一个热水瓶是合格品的概率.解:设""1产品由甲厂生产=A ""2产品由乙厂生产=A ""3产品由丙厂生产=A""产品合格=B)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++=865.080.02.085.03.09.05.0=⨯+⨯+⨯=5. 某射手连续向一目标射击,直到命中为止.已知他每发命中的概率是p ,求所需设计次数X 的概率分布. 解:P X P ==)1(P P X P )1()2(-==P P X P 2)1()3(-==…………P P k X P k 1)1()(--==…………故X 的概率分布是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋯⋯-⋯⋯--⋯⋯⋯⋯-p p p p p p p k k 12)1()1()1(321 6.设随机变量X 的概率分布为012345601015020*********.......⎡⎣⎢⎤⎦⎥ 试求P X P X P X (),(),()≤≤≤≠4253.解:87.012.03.02.015.01.0)4()3()2()1()0()4(=++++==+=+=+=+==≤X P X P X P X P X P X P72.01.012.03.02.0)5()4()3()2()52(=+++==+=+=+==≤≤X P X P X P X P X P7.03.01)3(1)3(=-==-=≠X P X P7.设随机变量X 具有概率密度f x x x (),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它 试求P X P X (),()≤<<12142. 解:412)()21(210221021====≤⎰⎰∞-x xdx dx x f X P 16152)()241(1412141241====<<⎰⎰x xdx dx x f X P 8. 设X f x x x ~(),,=≤≤⎧⎨⎩2010其它,求E X D X (),(). 解:32322)()(10310==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x xf X E 21422)()(10410222==⋅==⎰⎰+∞∞-x xdx x dx x f x X E 181)32(21)]([)()(222=-=-=x E X E X D 9. 设)6.0,1(~2N X ,计算⑴P X (..)0218<<;⑵P X ()>0.解:8164.019082.021)33.1(2)33.1()33.1()33.12.0133.1()8.12.0(=-⨯=-Φ=-Φ-Φ=<-<-=<<X P X P 0475.09525.01)67.1(1)67.16.01()0(=-=Φ-=<-=>X P X P 10.设X X X n 12,,, 是独立同分布的随机变量,已知E X D X (),()112==μσ,设X n X i i n==∑11,求E X D X (),().解:)]()()([1)(1)1()(21211n n n i i X E X E X E n X X X E n X nE X E +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= μμ==n n1 )]()()([1)(1)1()(2122121n n n i i X D X D X D nX X X D n X n D X D +⋯⋯++=+⋯⋯++==∑= 22211σσn n n=⋅=工程数学作业(第四次)第6章 统计推断(一)单项选择题⒈设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2(μσ,2均未知)的样本,则(A )是统计量.A. x 1B. x 1+μC. x 122σ D. μx 1 ⒉设x x x 123,,是来自正态总体N (,)μσ2(μσ,2均未知)的样本,则统计量(D )不是μ的无偏估计.A. max{,,}x x x 123B. 1212()x x + C. 212x x - D. x x x 123--(二)填空题1.统计量就是 不含未知参数的样本函数 .2.参数估计的两种方法是 点估计 和 区间估计 .常用的参数点估计有 矩估计法 和 最大似然估计 两种方法.3.比较估计量好坏的两个重要标准是 无偏性 , 有效性 .4.设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2(σ2已知)的样本值,按给定的显著性水平α检验H H 0010:;:μμμμ=≠,需选取统计量nx U /0σμ-=.5.假设检验中的显著性水平α为事件u x >-||0μ(u 为临界值)发生的概率.(三)解答题1.设对总体X 得到一个容量为10的样本值4.5, 2.0, 1.0, 1.5, 3.5, 4.5, 6.5,5.0, 3.5, 4.0 试分别计算样本均值x 和样本方差s 2. 解:6.336101101101=⨯==∑=i i x x878.29.2591)(110121012=⨯=--=∑=i i x x s2.设总体X 的概率密度函数为f x x x (;)(),,θθθ=+<<⎧⎨⎩1010其它 试分别用矩估计法和最大似然估计法估计参数θ.解:提示教材第214页例3 矩估计:,121)1()(110∑⎰===++=+=n i i x n x dx x x X E θθθθx x --=112ˆθ 最大似然估计:θθθθθ)()1()1();,,,(21121n n i n i n x x x x x x x L +=+==0ln 1ln ,ln )1ln(ln 11=++=++=∑∑==n i i n i i x n d L d x n L θθθθ,1ln ˆ1--=∑=n i ixn θ 3.测两点之间的直线距离5次,测得距离的值为(单位:m ):108.5 109.0 110.0 110.5 112.0测量值可以认为是服从正态分布N (,)μσ2的,求μ与σ2的估计值.并在⑴σ225=.;⑵σ2未知的情况下,分别求μ的置信度为0.95的置信区间.解: 11051ˆ51===∑=i i x x μ 875.1)(151ˆ5122=--==∑=i i x x s σ (1)当σ225=.时,由1-α=0.95,975.021)(=-=Φαλ 查表得:96.1=λ故所求置信区间为:]4.111,6.108[],[=+-n x nx σλσλ(2)当2σ未知时,用2s 替代2σ,查t (4, 0.05 ) ,得 776.2=λ 故所求置信区间为:]7.111,3.108[],[=+-ns x n s x λλ 4.设某产品的性能指标服从正态分布N (,)μσ2,从历史资料已知σ=4,抽查10个样品,求得均值为17,取显著性水平α=005.,问原假设H 020:μ=是否成立.解:237.0162.343|10/42017||/|||0=⨯=-=-=n x U σμ, 由975.021)(=-=Φαλ ,查表得:96.1=λ 因为 237.0||=U > 1.96 ,所以拒绝0H5.某零件长度服从正态分布,过去的均值为20.0,现换了新材料,从产品中随机抽取8个样品,测得的长度为(单位:cm ):20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5问用新材料做的零件平均长度是否起了变化(α=005.). 解:由已知条件可求得:0125.20=x 0671.02=s 1365.0259.0035.0|8/259.0200125.20||/|||0==-=-=n s x T μ 62.2)05.0,9()05.0,1(==-=t n t λ ∵ | T | < 2.62 ∴ 接受H 0即用新材料做的零件平均长度没有变化。
电大作业-工程数学考核作业(第二次)

第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型一、单项选择题1 用消元法得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+20142332321x x x x x x 的解123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为(C ) A []102'- B []722'-- C[]1122'-- D []1122'---2 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++43362323231321x x x x x x x (B )A 有无穷多解B 有唯一解C 无解D 只有零解注:经初等行变换,有()()3r A r A B ==,线性方程组有唯一解.3 向量组101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得秩为(A ) A 3 B 2 C 4 D 54 设向量组为11100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20011α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,31010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则(B )是极大无关组。
A 21,ααB 321,,αααC 421,,αααD 1α 注:1011101110111011100100100010011101110111011100100101001000000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦极大无关组为:321,,ααα或431,,ααα.5 A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组有解,则(A )A )A A 秩()秩(= B )A (A)秩秩(< C )A ((A)秩秩> D 1)A ((A)-=秩秩6 若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解,则该线性方程组(A )A 可能无解B 有唯一解C 有无穷多解D 无解注:若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明:系数矩阵的秩等于未知量的个数,至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。
最新电大工程数学形成性考核册作业【1-4】答案参考知识点复习考点归纳总结

三一文库()*电大考试*电大工程数学作业(一)答案(满分100分)第2章矩阵(一)单项选择题(每小题2分,共20分)⒈设,则(D).A. 4B. -4C. 6D. -6⒉若,则(A).A. B. -1 C. D. 1⒊乘积矩阵中元素(C).A. 1B. 7C. 10D. 8⒋设均为阶可逆矩阵,则下列运算关系正确的是(B).A. B.C. D.⒌设均为阶方阵,且,则下列等式正确的是(D).A. B.C. D.⒍下列结论正确的是(A).A. 若是正交矩阵,则也是正交矩阵B. 若均为阶对称矩阵,则也是对称矩阵C. 若均为阶非零矩阵,则也是非零矩阵D. 若均为阶非零矩阵,则⒎矩阵的伴随矩阵为(C).A. B.C. D.⒏方阵可逆的充分必要条件是(B ). A. B.C.D.⒐设均为阶可逆矩阵,则(D ). A. B.C. D.⒑设均为阶可逆矩阵,则下列等式成立的是(A ).A. B. C.D.(二)填空题(每小题2分,共20分)⒈ 7 .⒉是关于的一个一次多项式,则该多项式一次项的系数是 2 .⒊若为矩阵,为矩阵,切乘积有意义,则为 5×4 矩阵.⒋二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1051. ⒌设,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--815360 ⒍设均为3阶矩阵,且,则72 .⒎设均为3阶矩阵,且,则-3 .⒏若为正交矩阵,则 0 .⒐矩阵的秩为 2 .⒑设是两个可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1211A O O A .(三)解答题(每小题8分,共48分) ⒈设,求⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹.答案:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+8130B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+4066C A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+73161732C A⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+01222265B A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=122377AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡='801512156)(C AB⒉设,求.解:⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+10221046200123411102420)(C B A BC AC ⒊已知,求满足方程中的.解:∴ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=252112712511234511725223821)3(21B A X ⒋写出4阶行列式中元素的代数余子式,并求其值.答案:0352634020)1(1441=--=+a 45350631021)1(2442=---=+a⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:⑴ ; ⑵ ; ⑶ .解:(1)[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+-+--+-++-+-91929292919292929110001000191929203132032311002120112201203231900630201102012001360630221100010001122212221|2313323212312122913123222r r r r r r r r r r r r rr I A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=∴-9192929291929292911A (2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221A (过程略) (3) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-11000110001100011A ⒍求矩阵的秩.解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+-+-+-000000001110001110110110110101110000111000111011011011011221110011100011101101101101102311210121010011011110110143424131212r r r r r r r r r r ∴ 3)(=A R(四)证明题(每小题4分,共12分) ⒎对任意方阵,试证是对称矩阵. 证明:'')''(')''(A A A A A A A A +=+=+=+∴是对称矩阵 ⒏若是阶方阵,且,试证或.证明:是阶方阵,且∴ 12==='='I A A A A A∴ 或1-=A⒐若是正交矩阵,试证也是正交矩阵.证明: 是正交矩阵∴ A A '=-1∴ )()()(111''==='---A A A A即是正交矩阵工程数学作业(第二次)(满分100分)第3章 线性方程组(一)单项选择题(每小题2分,共16分)⒈用消元法得的解为(C ).A. B. C.D.⒉线性方程组(B ).A. 有无穷多解B. 有唯一解C. 无解D. 只有零解⒊向量组的秩为( A ).A. 3B. 2C. 4D. 5⒋设向量组为,则(B )是极大无关组.A. B. C. D.⒌与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组无解,则(D ). A. 秩秩 B. 秩秩 C. 秩秩D. 秩秩⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解,则该线性方程组(A ).A. 可能无解B. 有唯一解C. 有无穷多解D. 无解 ⒎以下结论正确的是(D ).A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D. 齐次线性方程组一定有解 ⒏若向量组线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出.A. 至少有一个向量B. 没有一个向量C. 至多有一个向量D. 任何一个向量9.设A ,B为n 阶矩阵,λ既是A又是B的特征值,x 既是A又是B的属于λ的特征向量,则结论( )成立. A.λ是AB 的特征值 B.λ是A+B 的特征值C.λ是A -B 的特征值 D.x 是A+B 的属于λ的特征向量10.设A,B,P为n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A和B相似. A.BA AB = B.AB AB =')( C.B PAP =-1 D.B P PA =' (二)填空题(每小题2分,共16分) ⒈当1 时,齐次线性方程组有非零解.⒉向量组线性 相关 .⒊向量组的秩是 3 . ⒋设齐次线性方程组的系数行列式,则这个方程组有 无穷多 解,且系数列向量是线性 相关 的.⒌向量组的极大线性无关组是21,αα.⒍向量组的秩与矩阵的秩 相同 .⒎设线性方程组中有5个未知量,且秩,则其基础解系中线性无关的解向量有 2 个.⒏设线性方程组有解,是它的一个特解,且的基础解系为,则的通解为22110X k X k X ++.9.若λ是A的特征值,则λ是方程0=-A I λ 的根. 10.若矩阵A满足A A '=-1 ,则称A为正交矩阵. (三)解答题(第1小题9分,其余每小题11分) 1.用消元法解线性方程组解:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------=+-+++++-2612100090392700188710482319018431001850188710612312314112141205183612314132124131215323r r r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−+-+-+---+3311000411004615010124420011365004110018871048231901136500123300188710482319014323133434571931213r r r r r r r r r r ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−++-+-31000101001001020001310004110046150101244200134241441542111r r r r r r r ∴方程组解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-==31124321x x x x2.设有线性方程组为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-+---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=++-+-↔22322222)1)(1()1)(2(00)1(110111110110111111111111111132312131λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r r r A ]∴ 当1≠λ且2-≠λ时,3)()(==R A R ,方程组有唯一解当1=λ时,1)()(==A R A R ,方程组有无穷多解3.判断向量能否由向量组线性表出,若能,写出一种表出方式.其中解:向量能否由向量组321,,ααα线性表出,当且仅当方程组βααα=++332211x x x 有解这里 []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------==571000117100041310730110123730136578532,,,321βαααA)()(A R A R ≠∴ 方程组无解 ∴不能由向量321,,ααα线性表出4.计算下列向量组的秩,并且(1)判断该向量组是否线性相关解:[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−→−⋯⋯⋯⋯−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=0000001800021101131631343393608293711131,,,4321αααα ∴该向量组线性相关5.求齐次线性方程组的一个基础解系.解:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------−−−→−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=+-+-+-+-++30000000731402114501103140731407314021314053521113215213142321241312114335r r r r r r r r r r r r A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-−−−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−→−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--−−→−+-+↔-0001000143100145010001002114310211450100030002114310211450123133432212131141r r r r r r r r ∴ 方程组的一般解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x 令13=x ,得基础解系 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10143145ξ 6.求下列线性方程组的全部解.。
电大本科 工程数学-期末复习试卷含答案

工程数学综合练习(一)一、单项选择题A. 1B. -1C. 0D. 24. A.B 都是〃阶矩阵(〃:>1),则下列命题正确的是(). A.AB=BAB,若AB = O ,则 A = 0或8 = 0C. (A-B)2 =A 2-2AB + B 2D.仇耳=凤同 5. 若A 是对称矩阵,则等式()成立. A. A -1 = A f B. A = —A C. A = A'D. A ,= -A1 2 6. 若 A = 3 5,则A. 0 9. 向量组a, =[1 2 3]',%=[2 2 4]',%=[1 极大无关组可取为().B. a,,a 2C.D. %,。
2,%,。
410. 向量组 %=[1,0,-2],%=[2,3,5],%=[1,2,1],则 2a,+a 2-3a 3 =b a 2 b 2a 3 a 2 3角-如C 2a 33%-打 C3B 是矩阵,则下列运算中有意义的是(). A'B D AB' 3. 己知A7.若人=2 2 2 23 3 3 3 44 4 4C. 2A. 4 2]',%= [2 3 5]'的一个 C 2 C 3C|设A 是〃xs 矩阵, AB B. BA C.2. A. 0 0 -a,若 AB = ,则。
=(8.向量组A. 1,-3,2B. 1,-3,-2]C. 1,3,-2]D. 1,3,2]11. 线性方程组」X,+X2=+X2=解的情况是(). x 2 + x 3 = 0A.无解 D.只有零解 C.有唯一非零解 D.有无穷多解12, 若线性方程组AX=O 只有零解,则线性方程组AX=b (). A.有唯一解 B.有无穷多解C.可能无解 D.无解 13. 若〃元线性方程组AX=O 有非零解,则()成立. A. r(A) < n B. r(A) = n C. |A| = 0D. A 不是行满秩矩阵14. 下列事件运算关系正确的是(). C. D. B = BA+BA15. 对于随机事件A,B.下列运算公式()成立. A. P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) B. P(AB) = P(A)P(B) C. P(AB) = P(8)P(B|A) D. P(A + B) = P(A) + P(B)16. 袋中有3个红球,2个白球,第一次取出一球后放回,第二次再取一球,则两球都 是红球的概率是(). A. AB. Ac. AD .210 20 252517.若随机事件满足AB = 0,则结论()成立 A. A 与8是对立事件 B. A 与B 互不相容C. A 与B 相互独立D. 1与京互不相容 18.若A, B 满足() ,则A 与8是相互独立. A. P(A + B) = P(A) + P(B) B. P(A-B) = P(A)-P(B)Dpg端 中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布.A. B = BA + BAB. A = BA + BAC. P(AB) = P(A)P(B) 19.下列数组中,(1 1 1 3 1 1 3 12 4 16 162 4 8 820. 设X123则 P(X <2)=0.1 0.3 0.4 0.2A. 0.1B. 0.4C. 0.3D. 0.221. 随机变量X 〜8(3,:), 则 P(X <2)=()A. 0B.C.1D782822.已知X 〜N(2,22),若aX+b~ N(O,1),那么(). A. a = 2,b = -2 B.。
《工程数学》广播电视大学历年期末试题及答案及中央电大工程数学形成性考核册答案

试卷代号:1080中央广播电视大学2011~2012学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷)工程数学(本) 试题2012年1月一、单项选择题(每小题3分,共15分)1. 设A ,B 为三阶可逆矩阵,且0k >,则下列( )成立.A . AB A B +=+ B .AB A B '=C . 1AB A B -=D .kA k A =2. 设A 是n 阶方阵,当条件( )成立时,n 元线性方程组AX b =有惟一解.3.设矩阵1111A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值为0,2,则3A 的特征值为( )。
A .0,2 B .0,6C .0,0D .2,64.若随机变量(0,1)X N :,则随机变量32Y X =-: ( ).5. 对正态总体方差的检验用( ).二、填空题(每小题3分,共15分)6. 设,A B 均为二阶可逆矩阵,则111O A B O ---⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ .8. 设 A , B 为两个事件,若()()()P AB P A P B =,则称A 与B .9.若随机变量[0,2]X U :,则()D X = .10.若12,θθ都是θ的无偏估计,且满足 ______ ,则称1θ比2θ更有效。
三、计算题(每小题16分,共64分)11. 设矩阵234123231A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111111230B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,那么A B -可逆吗?若可逆,求逆矩阵1()A B --. 12.在线性方程组123121232332351x x x x x x x x λλ++=⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩中λ取何值时,此方程组有解。
在有解的情况下,求出通解。
13. 设随机变量(8,4)X N :,求(81)P X -<和(12)P X ≤。
(已知(0.5)0.6915Φ=,(1.0)0.8413Φ=,(2.0)0.9773Φ=)14. 某切割机在正常工作时,切割的每段金属棒长服从正态分布,且其平均长度为10.5cm ,标准差为0.15cm 。
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第3章 线性方程组 第4章 矩阵的特征值及二次型一、单项选择题1 用消元法得⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-+20142332321x x x x x x 的解123x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦为(C ) A []102'- B []722'-- C[]1122'-- D []1122'---2 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++43362323231321x x x x x x x (B )A 有无穷多解B 有唯一解C 无解D 只有零解注:经初等行变换,有()()3r A r A B ==M ,线性方程组有唯一解.3 向量组101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,304⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦得秩为(A ) A 3 B 2 C 4 D 54 设向量组为11100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,20011α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,31010α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则(B )是极大无关组。
A 21,ααB 321,,αααC 421,,αααD 1α 注:1011101110111011100100100010011101110111011100100101001000000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦极大无关组为:321,,ααα或431,,ααα.5 A 与A 分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵,若这个方程组有解,则(A )A )A A 秩()秩(= B )A (A)秩秩(< C )A ((A)秩秩> D 1)A ((A)-=秩秩6 若某个线性方程组相应的齐次方程组只有零解,则该线性方程组(A )A 可能无解B 有唯一解C 有无穷多解D 无解注:若线性方程组相应的齐次方程组只有零解只能说明:系数矩阵的秩等于未知量的个数,至于系数矩阵的秩与增广矩阵的秩是否相等不得而知。
例1231231112x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪++=⎩与1231231113x x x x x x =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪++=⎩7 以下结论正确的是(D )A 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解B 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解C 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解D 齐次线性方程组一定有解(至少有零解,所以正确)8 若向量组s ααα⋯,,21线性相关,则向量组内(A )可被该向量组内其余向量线性表出。
A 至少有一个向量B 没有一个向量C 至多有一个向量D 任何一个向量160P 定理3.69设A,B 为n 阶矩阵,λ既是A 又是B 的特征值,x 既是A 又是B 的属于λ的特征向量,则结论(A )成立。
A 2λ是AB 的特征值 B λ是B A +的特征值 C λ是B A -的特征值 D 的特征向量的属于是λB A +x 注:由已知得,AX X λ=,BX X λ=,从而()()()2ABX A BX A X AX X λλλ==== 选A()()2A B X AX BX X λ+=+= B 和 D 不正确10 设A,B,P 为n 阶矩阵,若等式(C )成立,则称A 和B 相似。
A BA AB = B ()AB AB '=C B PAP =-1D PAP B '=230P 定义4.2二、填空题1 当=λ1时,齐次线性方程组⎩⎨⎧=+=+002121x x x x λ有非零解.注:1101λ=2 向量组()0,0,01=α,()1,1,12=α 线性相关.注:157p 第五行:包含零向量的向量组一定是线性相关的. 3 向量组()3,2,1,()0,2,1,()0,0,1,()0,0,0得秩是3.4 设齐次线性方程组0332211=++x x x ααα的系数行列式0321=ααα,则这个方程组有非零解,且系数列向量321,,ααα是线性相关的.5 向量组()()()0,0,1,0,0,1321===ααα的极大线性无关组是21,αα.6 向量组s ααα⋯,,21的秩与矩阵()s ααα⋯,,21的秩相等. 注:169P 定理3.97 设线性方程组0=AX 中有5个未知量,且秩(A)=3,则其基础解系中线性无关的解向量有2个.8 设线性方程组b AX =有解,0X 是它的一个特解,且0=AX 的基础解系为21,X X ,则b AX =的通解为:22110X K X K X ++(21,K K 为任意常数). 9 若λ是A 的特征值,则λ是方程0=-A I λ的根. 注:220P (3)10 若矩阵A 满足A 为方阵且A A I '=,则称A 为正交矩阵. 注:240P 定义4.5 三、解答题1 用消元法解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--+--=++=++=234124205836234321432143214321x x x x x x -x x -x x x -x -x x -x -x 解:将增广矩阵通过初等行变换化为阶梯阵: 132163815021411214132---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦→132160178180581001348---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦→132160134805810017818---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥-⎣⎦→13216013480023214000101226---⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦ →10111330013480023214000101226--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦→101113300134833990005561300155--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦→171005521010556130015500013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→10002010010010100013⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦于是知21=x ,12-=x ,13=x ,34-=x ,为唯一解.2 设有线性方程组21111111x y z λλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,λ为何值时,方程组有唯一解?或有无穷多解?解:方法一:①当0111111≠λλλ时,有3)()(==A r A r ,方程组有唯一解,于是有()()λλλλλλλλλλλλλλ110101112111111121212112111111-+=+=+++=()()()()()()011211111222≠--+=--+=+λλλλλλ于是当1≠λ且2-≠λ时,方程有唯一解。
②当1=λ时,有111111111111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦→111100000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,有31)()(<A r A r ==,知有无穷多解.当2-=λ时,有2111A 12121124-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→112412122111-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→112403360339-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦→112403360003-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦由)()(,3)(,2)(A r A r A r A r ≠==,方程组无解. 于是,当1=λ时,方程组有无穷多解.方法二:21111111λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦21111111λλλλλ⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦2223110110111λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦22223110110021λλλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥→---⎢⎥⎢⎥--+--⎣⎦()()()()()()22110111002111λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥→-----⎢⎥⎢⎥-+---+⎢⎥⎣⎦于是当2-=λ时,)()(,3)(,2)(A r A r A r A r ≠==,方程组无解. 当1=λ时,方程组有无穷多解.当1≠λ且2-≠λ时,方程有唯一解。
3 判断向量β能否由向量组321,,ααα线性表出,若能,写出一种表出方式.其中:83710β-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,12713α-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,23502α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,35631α-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 解:若β能由向量组321,,ααα线性表示,有 βααα=++332211x x x写作线性方程组即为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=++-=---=-+-10123730136578532321321321321x x x x x x x x x x x x , 于是有23587563103732110A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦→10377563235832110⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦→ 1037052752031602831⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦ →1037006217701725002281⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→1037017250062177002281⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→103701725177001625640031⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1000010000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦()()r A r A ≠,所以β不能由321,,ααα线性表出.4 计算下列向量组的秩,并且判断该向量组是否线性相关?111234α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,2378913α⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,313033α-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,419636α⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解:由矩阵(以4321,,,αααα为列)进行初等行变换,有131117392806393341336-⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦131104410022400000112-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→13110225011200000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→131100090112000000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→13100110000100000000-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦知向量组4321,,,αααα的秩为3,由于43),,,(4321<r =αααα,所以向量组线性相关. 5 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+--=+-+-=-+-0453052110325023421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系. 解:将系数矩阵进行初等行变换,有13125123111253504--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦→13120143701437014310--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦→13120143700030000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→1310014300001000-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→5100143010140001000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=+00143014543231x x x x x 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=014314543231x x x x x ,令31x =,得51431410x ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦化简,令[]53140Y '=-,则{}Y 为齐次线性方程组的一个基础解系.6 求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++=----=+-+-=-+-16351749524311325432142143214321x x x x x x x x x x x x x x x 的全部解. 解:将增广矩阵进行初等行变换,有 1523113142519041753611--⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥---⎢⎥--⎣⎦→1523110142728014272802841456--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦→15231111012720000000000--⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦→91117211012720000000000⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦令0,143==x x ,得相应的解向量,1911077X '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 令1,043==x x ,得相应的解向量,2110122X '⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦令0,043==x x ,得相应的特解,[]01200X '=- 于是线性方程组的全部解为:01122X K X K X ++ (其中21,K K 为任意常数). 7 试证:任一4维向量()4321,,a a a a =β都可由向量组 11000α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,21100α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,31110α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,41111α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性表出,且表出方式唯一,写出这种表出方式. 证:由已知β可由4321,,,αααα线性表示,有βαααα=+++44332211x x x x写作线性方程组,有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++44321343212432114321000000a x x x x a x x x x a x x x x a x x x x 因为系数行列式111101111000110001A ==≠所以由克拉默法则,线性方程组有唯一解又因为12341111011100110001a a A a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦→12233441000010000100001a a a a a a a -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以()()()44343232121ααααβa a a a a a a +-+-+-=.且表出方式唯一。