【全国市级联考word】湖南省郴州市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

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郴州市2017年下学期学科教学状况抽测试卷
高一数学
（试题卷）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}4A x N x =∈≤≤，{}2,2B =-，A B =（ ）
A ． {}12，
B ． {}2-
C ．{}2,2-
D ．{}2
2. 当01a <<时，在同一坐标系中，函数1()x
y a =与log a y x =的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 在空间直角坐标系中，点(2,2,4)A -与点(2,2,4)B =---关于（ ）对称
A ．原点
B ．x 轴
C ． y 轴
D ． z 轴
4. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ）
A ．2y x =
B ．2x y =
C ．y x =
D ．1
y x =
5. 设0.13a =，9log 0.1b =，0.20.3c =则（ ）
A ．a c b >>
B ．a b c >> C. b a c >> D ．b c a >>
6. 设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A ． 若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂
B ．若//l α，//αβ，则//l β
C. 若l α⊥，//αβ，则//αβ D ．若l α⊥，//αβ，则l β⊥
7. 中国古代数学名著《九章算术）中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器—商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π可取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（ ）
A ． 1.2
B ． 1.6 C. 1.8 D ．2.4
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8. 将正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，则直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（ ）
A ．30︒
B ． 45︒ C. 60︒ D ．90︒
9. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上是增函数，若实数a 满足
223(log )+(log )2(1)f a f a f -≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]02，
B ．(],2-∞ C.[)2,+∞ D ．[)1,+∞
10. 已知函数()f x 是定义在R 的奇函数，且当0x ≤时，1()2
12x f x x =--，则函数()f x 的零点个数是
（ ）
A ． 1
B ．2 C. 3 D ．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. .若幂函数a y x =的图像过点(28)，，则a = ．
12. 已知函数3(1)
()ln (1)x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，e 为自然对数的底数，则[]()f f e ．
13. 如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，侧棱长12AA =，则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于 ．
14．直线1y kx =+与圆22(2)1x y -+=有交点，则实数k 的取值范围是 ．
15．函数()f x 的定义域为A ，若1x ，2x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为和谐函数.
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例如，函数()1()f x x x R =+∈是和谐函数.下列命题：
①函数()1()f x x x R =+∈是和谐函数； ②函数12
log 2
()2,2
x
x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，是和谐函数；
③若()f x 是和谐函数，1x ，2x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠.
④若函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性，则()f x 一定是和谐函数.
其中真命题是 （写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知函数[](],0,2()4,2,4.
x x f x x x ⎧∈⎪⎨∈⎪⎩，
（Ⅰ）画出函数()f x 的大致图像；
（Ⅱ）写出函数()f x 的最大值和单调递减区间
17. 设U R =，{}321x A x -=≤，{}25B x x =<<，{}1C x a x a =≤≤+ （a 为实数）
（Ⅰ）求A B ；
（Ⅱ）若B C B =，求a 的取值范围.
18. 如图，四棱锥中P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD .底面ABCD 为梯形，//AB DC ，AB BC ⊥，22AC DC AB ===，3PA =，点E 在棱PB 上，且2PE EB =.
（Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面PCB ；
（Ⅱ）求三棱锥A BCE -的体积.
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19. 已知方程22260x y x y m +--+=
（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）求实数m 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程.
20. 已知函数21
()12x x a f x ⋅-=+是R 上的奇函数.
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）判断并证明()f x 的单调性；
（Ⅲ）若对任意实数，不等式[]()(3)0f f x f m +->恒成立，求m 的取值范围.
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郴州市2017年下学期学科教学状况抽测试卷
高一数学参考答案及评分细则
一、选择题
1-5: DCCBA 6-10: DBBCC
二、填空题
11. 3 12. 3 13.60︒ 14.
4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
15. ③ 三、解答题
16. 解：（Ⅰ）函数()f x 的大致图象如图所示.
（Ⅱ)由函数()f x 的图象得出，()f x 的最大值为2.
其单调递减区间为[]24，或(]24，. 17.（Ⅰ）∵321x -≤ ∴3x ≤
∴{}23A B x x =<≤
（Ⅱ）由B C B =得C B ⊆
∴2
15a a >⎧⎨+<⎩
即24a << ∴(2,4)a ∈
18. （Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，∴BC PA ⊥
又∵BC AB ⊥，且AB PA A =.∴B BC ⊥面PAB
又∵BC ⊂面PBC ，∴面PBC ⊥面PAB
（Ⅱ）过点E ，在平面PAB 内作EF 垂直于AB ，垂足为F . 由（Ⅰ）可知EF ⊥底面ABCD
6 ∵13EF PA =，3PA =
∴3
3EF =
又∵A BCE E ABC V V --=
13
1322ABC S ∆=⨯⨯=
∴1
3
3
1
3236A BCE E ABC V V --==⨯⨯=
19. 解.（Ⅰ）圆的方程可化为22(1)(3)10x y m -+-=-，∴10m < （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则1142x y =-，2242x y =-， 121212168()4x x y y y y =-++
∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=
∴1212168()50y y y y -++=①
由2242260
x y x y x y m =-⎧⎨+--+=⎩
得251880y y m -++=
所以1218
5y y +=，1285m y y +=代入①得24
5m =
（Ⅲ）以MN 为直径的圆的方程为
1212()()()()0x x x x y y y y --+--=
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即221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 所以所求圆的方程为224
18
055x y x y +--=.
20. （Ⅰ）∵()f x 为R 上的奇函数，∴(0)0f =，即1
02a -=，由此得1a =
（Ⅱ）由（1）知21
2
()12121x x x f x -==-++∴()f x 为R 上的增函数.
证明，设12x x <，则1221122222
()()1(1)21212121
x x x x f x f x -=---=-++++ ∵12x x <，∴212
202121x x -<++，∴12()()f x f x <
∴()f x 为R 上的增函数.
（Ⅲ）∵()f x 为R 上的奇函数
∴原不等式可化为[]()(3)f f x f m >--，即[]()(3)f f x f m >- 又∵()f x 为R 上的增函数，∴()3f x m >-， 由此可得不等式2
()3421x m f x <+=-+对任意实数x 恒成立 由2
202110221x x x >⇒+>⇒<<⇒+
22
202442121x x -<-<⇒<-<++
∴2m ≤
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15。