人教新课标版数学高二人教A选修1-2素材 复数的几何意义方法总结
人教A版高中数学选修1-2课件高二：3-1-2复数的几何意义
3．复数模的几何意义 复数模的几何意义就是复数 z＝a＋bi 所对应的点 Z(a，b) 到原点(0,0)的距离． 由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数 z1 与 z2 对应的两点之间的距离．
二、学法指导 1．学习本节要注意类比思想方法的运用
复数与复平面上的点的对应
实数与数轴上点的对
(2013·重庆文)设复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝ ________.
[答案] 5 [解析] 本题考查复数的模． |z|＝|1＋2i|＝ 12＋22＝ 5.
探索延拓创新
命题方向 复数模的应用 [例 3] 已知复数 z＝3＋ai，且|z|＜4，求实数 a 的取值范
围． [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①已知复数及其模的范围； ②求复数虚部的取值范围． 解答本题可利用模的定义转化为实数不等式求解或利用
[解析] 设复数 z＝a－8i，由 a2＋82＝17，∴a2＝225.a＝ ±15.z＝±15－8i.
课堂典例讲练
思路方法技巧
命题方向 复数的几何意义
[例 1] 在复平面内，若复数 z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i 对应点
(1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线 y＝x 上． 分别求实数 m 的取值范围．
关系如下：
3．复数的模
复数 z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O→Z，则O→Z的模叫做
复数 z 的模，记作|z|且|z|＝ a2＋b2 当 b＝0 时，z 的模就是实数 a 的绝对值． 4．复数 z＝1＋ 3i 在复平面内的对应点为 (1， 3) ．
5．设复数 z 的模为 17，虚部为－8，则复数 z＝______. [答案] ±15－8i
课后强化作业（点此链接）
人教新课标版数学高二-1-2课件 复数的几何意义
线 y＝－x 的对称点为 B，则向量O→B对应的复数为( B )
A.－2－i
B.－2＋i
C.1＋2i
D.－1＋2i
解析 ∵点A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)， ∴向量O→B对应的复数为－2＋i.
解析答案
123 4
4.在复平面内表示复数 z＝(m－3)＋2 mi 的点在直线 y＝x 上，则实数 m 的 值为_9_. 解析 ∵z＝(m－3)＋2 mi 表示的点在直线 y＝x 上， ∴m－3＝2 m，解得 m＝9.
根据复数与复平面内的点一一对应关系，可得向量B→A对应的复数是 5－5i.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 2 复数 4＋3i 与－2－5i 分别表示向量O→A与O→B，则向量A→B表示 的复数是_－__6_－__8_i _. 解析 因为复数 4＋3i 与－2－5i 分别表示向量O→A与O→B， 所以O→A＝(4,3)，O→B＝(－2，－5) 又A→B＝O→B－O→A＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)， 所以向量A→B表示的复数是－6－8i.
π3－icos
π 6|
＝
sin23π＋－cos π62＝
232＋ 232＝ 26，
|z2|＝|2＋3i|＝ 22＋32＝ 13，
且 26＝
3 2<
13，∴|z1|<|z2|.
解析答案
(2)求满足条件2≤|z|<3的复数z在复平面上表示的图形. 解 如图是以原点O为圆心，半径分别为2个单位长度和3个单位长度的两 个圆所夹的圆环，但不包括大圆圆周.
轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？ 思考1 平面直角坐标系中的点Z与向量有怎样的对应关系？ 答案 一一对应. 思考2 复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合一一对应吗？
人教版高中数学选修1-2《3.1.2 复数的几何意义》
复数还有哪些特征能和
平面向量类比?
达标检测
1.设 i 为虚数单位， 若 z cos i sin 对应的点位于复平面的第 四象限，则 为（ ） A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
2．下列命题中：①任意两个确定的复数都不能比较大小；②
2 若|z|≤2，则－2≤ z≤2；③若 z1 ＋z2 2＝0，则 z1＝z2＝0.其中正
z a bi (a R, b R)
实部
虚部
其中
i 称为虚数单位。
一个复数 由什么唯 一确定？
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi （数）
z=a+bi Z(a,b)
a
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
建立了平面直角 坐标系来表示复数的 b 平面 ------复数平面 (简称复平面) x x轴------实轴 o y轴------虚轴
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
数学运用一
变式训练：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， ∴m=1或m=-2。
确命题的个数为( A．0 个
)
B．1 个 C．2 个 D．3 个
人教新课标A版高二数学《选修1-2》3.1.2复数的几何意义
问题探究
1、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？
有向线段的始点和终点. 2、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？ 以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画有向线段. y (a， b)
O
x
问题探究 3、在复平面内，复数z＝a＋bi（a，b∈R）用向量如何表示？ y Z：a＋bi b
做虚轴.
形成结论 一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？ y Z：a＋bi b
实轴上的点表示实数； 虚轴上的点除原点外都表示纯虚数， 各象限内的点表示实部不为零的虚数.
O
a
x
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即
复数z＝a＋bi 复平面内的点 Z（a，b）
一一对应
复平面内的点 Z（a，b）
一一对应
课堂小结
复数z＝a＋bi
点Z(a，b)
向量
典例讲评
z = log 2 ( m 2 - 3m - 3) + ilog 2 ( m - 3)
m=
15
典例讲评
例2 若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为z1＝1＋2i，z2
＝－2＋i，z3＝－1－2i，求这个正方形第四个顶点对应的复数.
y z4＝2－i Z2 O Z3 Z4 x
Z1
典例讲评
1 x 违(0, ] U [8, + 8
)
谢谢大家！
3.1.2 复数的几何意义
复习巩固
1.虚数单位i的基本特征是什么？
（1） i2＝－1； （2） i可以与实数进行四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立. 虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到 了复数集.
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)
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人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。
要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。
） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
人教版数学高二选修1-2讲义复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义1．理解复平面、实轴、虚轴等概念． 2．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系．(重点)3．理解复数模的概念，会求复数的模．(难点)[基础·初探]教材整理 复数的几何意义及复数的模阅读教材P 52～P 53内容，完成下列问题．1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ――――→一一对应 平面向量OZ →.为方便起见，我们常把复数z ＝a ＋b i 说成点Z 或说成向量OZ →，并且规定，相等的向量表示同一个复数．3．复数的模向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且r ＝a 2＋b 2(r ≥0，且r∈R)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)复数的模一定是正实数．()(3)复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|.()【解析】(1)正确．根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误．复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数．(3)错误．两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型]复数与复平面内点的关系的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)．(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y2＝4x上．【精彩点拨】解答本题可先确定复数z的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解．【自主解答】复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1，在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)．(1)若z对应的点在实轴上，则有2a－1＝0，解得a＝1 2.(2)若z 对应的点在第三象限，则有⎩⎨⎧ a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12. (3)若z 对应的点在抛物线y 2＝4x 上，则有(2a －1)2＝4(a 2－1)，即4a 2－4a ＋1＝4a 2－4，解得a ＝54.复数与点的对应关系及应用(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论．[再练一题]1．在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围.【导学号：81092039】【解】 复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2，虚部为m 2－3m ＋2.(1)由题意得m 2－m －2＝0，解得m ＝2或m ＝－1.(2)由题意得⎩⎨⎧ m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎨⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.(3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2.复数与向量的对应关系(1)12Z 1和Z 2，且OZ 1→⊥OZ 2→，则a 的值为________．(2)已知向量OA →对应的复数是4＋3i ，点A 关于实轴的对称点为A 1，将向量OA 1→平移，使其起点移动到A 点，这时终点为A 2.①求向量OA 1→对应的复数；②求点A 2对应的复数．【精彩点拨】 (1)利用复数与向量的对应关系，转化为向量的数量积求解．(2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解．【自主解答】 (1)依题意可知OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1)，因为OZ 1→⊥OZ 2→，所以OZ 1→·OZ 2→＝0，即－6a ＋4＝0，解得a ＝23.【答案】 23(2)①因为向量OA →对应的复数是4＋3i ，所以点A 对应的复数也是4＋3i ，因为点A 坐标为(4,3)，所以点A 关于实轴的对称点A 1为(4，－3)，故向量OA 1→对应的复数是4－3i.②依题意知OA 1→＝AA 2→，而OA 1→＝(4，－3)，设A 2(x ，y )，则有(4，－3)＝(x －4，y －3)，所以x ＝8，y ＝0，即A 2(8,0)．所以点A 2对应的复数是8.1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．2．解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．[再练一题]2．在复平面内，O 是原点，若向量OA →对应的复数z 的实部为3，且|OA →|＝3，如果点A 关于原点的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数．【解】 根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R )，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得OA →＝(3，b )，已知|OA →|＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)．因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)，所以向量OB →对应的复数为z ′＝－3.[探究共研型]复数模的几何意义及应用探究1 【提示】 (1)因为|z |＝2，即|OZ →|＝2，所以满足|z |＝2的点Z 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示．探究2 若z ∈C ，则满足2<|z |<3的点Z 的集合是什么图形？【提示】 不等式2<|z |<3可化为不等式组⎩⎨⎧|z |>2，|z |<3，不等式|z |>2的解集是圆|z |＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z |<3的解集是圆|z |＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z |<3的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示．已知复数z 1＝－3＋i ，z 2＝－12－32i.(1)求|z 1|与|z 2|的值，并比较它们的大小； (2)设复平面内，复数z 满足|z 2|≤|z |≤|z 1|，复数z 对应的点Z 的集合是什么？【精彩点拨】 (1)利用复数模的定义来求解．若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.(2)先确定|z |的范围，再确定点Z 满足的条件，从而确定点Z 的图形．【自主解答】 (1)|z 1|＝(－3)2＋12＝2.|z 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. ∵2＞1，∴|z 1|＞|z 2|.(2)由(1)知|z 2|≤|z |≤|z 1|，则1≤|z |≤2.因为不等式|z |≥1的解集是圆|z |＝1上和该圆外部所有点的集合，不等式|z |≤2的解集是圆|z |＝2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1≤|z |≤2的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界．1．两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模可比较大小．2．复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解．3．|z 1－z 2|表示点Z 1，Z 2两点间的距离，|z |＝r 表示以原点为圆心，以r 为半径的圆．[再练一题]3．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |<2，那么实数a 的取值范围是________．【解析】 由|z |<2知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由z ＝1＋a i 知z 对应的点在直线x ＝1上，所以线段AB (除去端点)为动点Z 的集合，由图可知－3<a < 3.【答案】 (－3， 3)1．在复平面内，若OZ →＝(0，－5)，则OZ →对应的复数为( )A ．0B ．－5C ．－5iD ．5【解析】 OZ →对应的复数z ＝0－5i ＝－5i.【答案】 C2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点在第四象限．【答案】 D3．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( )A ．5B ．8C ．6 D.11【解析】 |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.【答案】 D4．已知复数z ＝x －2＋y i(x ，y ∈R )的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________．【解析】 ∵|z |＝22，∴(x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8.【答案】 (x －2)2＋y 2＝85．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 【导学号：81092041】【解】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－15，b ＝8. ∴z ＝－15＋8i. 学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i【解析】 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i.【答案】 C2．复数z ＝1＋3i 的模等于( )A ．2B ．4 C.10 D ．2 2【解析】 |z |＝|1＋3i|＝12＋32＝10，故选C.【答案】 C3．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】 ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.【答案】 A4．在复平面内，O 为原点，向量OA→对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB→对应的复数为( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i【解析】 因为A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点为B (－2,1)，所以向量OB→对应的复数为－2＋i.【答案】 B5．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－5，则z 为( ) 【导学号：81092042】A ．－5＋2iB ．－5－2iC ．－5＋3iD ．－5－3i【解析】 设z ＝－5＋b i(b ∈R )，由|z |＝(－5)2＋b 2＝3，解得b ＝±2，又复数z 对应的点在第二象限，则b ＝2， ∴z ＝－5＋2i.【答案】 A二、填空题6．在复平面内，复数z 与向量(－3,4)相对应，则|z |＝________.【解析】 由题意知z ＝－3＋4i ，∴|z |＝(－3)2＋42＝5.【答案】 57．已知复数x 2－6x ＋5＋(x －2)i 在复平面内对应的点在第三象限，则实数x 的取值范围是________．【解析】 由已知得⎩⎨⎧ x 2－6x ＋5<0，x －2<0，∴⎩⎨⎧1<x <5，x <2，∴1<x <2.【答案】 (1,2)8．已知△ABC 中，AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ，则BC →对应的复数为________．【解析】 因为AB→，AC →对应的复数分别为－1＋2i ，－2－3i ， 所以AB→＝(－1,2)，AC →＝(－2，－3)． 又BC→＝AC →－AB →＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以BC →对应的复数为－1－5i.【答案】 －1－5i三、解答题9．若复数z ＝x ＋3＋(y －2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝2，则点(x ，y )的轨迹是什么图形？【解】 ∵|z |＝2， ∴(x ＋3)2＋(y －2)2＝2，即(x ＋3)2＋(y －2)2＝4.∴点(x ，y )的轨迹是以(－3,2)为圆心，2为半径的圆．10．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m －3)＋(m 2－5m －14)i 的点：(1)位于第四象限；(2)位于第一、三象限；(3)位于直线y ＝x 上．【解】 (1)由题意得⎩⎨⎧ m －3>0，m 2－5m －14<0， 得3<m <7，此时复数z 对应的点位于第四象限．(2)由题意得⎩⎨⎧ m －3>0，m 2－5m －14>0或⎩⎨⎧m －3<0，m 2－5m －14<0，∴m >7或－2<m <3，此时复数z 对应的点位于第一、三象限．(3)要使复数z 对应的点在直线y ＝x 上，只需m 2－5m －14＝m －3，∴m 2－6m －11＝0，∴m ＝3±25，此时，复数z 对应的点位于直线y ＝x 上．[能力提升]1．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 ∵0<a <1，∴a >0，且a －1<0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．【答案】 D2．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．圆心在原点的圆C ．圆心不在原点的圆D ．椭圆【解析】 因为a ，x ，y ∈R ，所以a 2＋2a ＋2xy ∈R ，a ＋x －y ∈R .又a 2＋2a＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，所以⎩⎨⎧ a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a 得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，亦即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，该方程表示圆心为(1，－1)，半径为2的圆．【答案】 C3．若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________.【解析】 依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R )，由|z |＝5，得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i.【答案】 1＋2i 或－1－2i4．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．【解】 根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(－1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，则向量OZ 1→，OZ 2→，OZ 3→如图所示． |z 1|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．。
人教版高中数学选修1-2《 复数的几何意义》
A组第4题、第5题； B组第1题、第2题
2.思考：满足 | z 2 3i | 1的复数 平面上构成怎样的图形？
z 对应的点在复
3.选做：查阅资料，复数在实际生活中有哪些应用？
新知探究 思考1：在几何上，我们用什么来表示实数？
A
a
实数
(数)
一一对应
数轴上的点
(形)
思考2：类比实数的几何表示，可以用什么来表示复 数？
z a bi
(a, b R)
实部 虚部
( a, b)
1.复数的几何意义(1)
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi y b
一一对应
直角坐标系中的点 复平面内 Z(a,b)
思考:(1)满足 | z | 5 ( z R) 的
z 值有几个？ (2)满足 | z | 5 ( z C ) 的 z 值有几个？这些复数
对应的点在复平面上构成怎样的图形？ y 5
-5
O
-5
5
x
(3)满足 3 | z | 5 的复数 z 对应的点在复平面上构 成怎样的图形？
(3)满足 3 | z | 5 的复数 z 对应的点在复平面上构 构成怎样的图形？ y 5 3 –5 –3
a
3.复数的模
平面向量 OZ (a, b) 的模 叫做复数 z a bi的模
2 2 | OZ | a b | z |
y b
Z(a,b)
注:(1) | z | 0
(2)两个复数的模可以比较大小
OZ
o
a
x
1 例2：求复数 z1 3 4i 及 z2 2i 的模，并 2
建立了直角坐标系 来表示复数的平面 ------复平面 x轴 ------实轴
人教新课标版数学高二人教A选修1-2素材 数系的扩充和复数的相关概念方法总结
数系的扩充和复数的相关概念方法总结1．虚数单位i 具有两条性质：(1)它的平方等于－1，即i 2＝－1.(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立．2．关于复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，注意以下几点：(1)a ，b ∈R ，否则不是代数形式．(2)从代数形式可判定z 是实数、虚数还是纯虚数．反之，若z 是纯虚数，可设z ＝b i(b ≠0，b ∈R)；若z 是虚数，可设z ＝a ＋b i(b ≠0，b ∈R)；若z 是复数，可设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)．(3)形如b i 的数不一定是纯虚数，只有b ≠0且b ∈R 时，才是纯虚数．3．两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小．关于这一点的理解要注意以下几点：(1)根据复数a ＋b i 与c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)相等的定义，可知在a ＝c ，b ＝d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a ＋b i≠c ＋d i.(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．1．已知i 是虚数单位，则复数1－2i 的虚部为(D)A ．2B ．1C ．－1D ．－22．若复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数，则实数x 的值为(A)A ．－1B ．0C ．1D ．－1或13．若x ，y ∈R ，且3x ＋y ＋3＝(x －y －3)i ，则x ＝______，y ＝______．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋3＝0，x －y －3＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－3. 答案：0 －34．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值．解析：因为当两个复数都是实数时，才能比较大小．故有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＞0，m 2－2m ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1或m ＜－1，m ＝0或m ＝2⇒m ＝2. ∴m ＝2时，(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0.。
人教A版数学高二选修1-2学案复数的几何意义
3．1.2 复数的几何意义预习课本P52～53，思考并完成下列问题 (1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？[新知初探]1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)―――――――→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) ――――→一一对应平面向量OZ ――→.3．复数的模(1)定义：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模． (2)记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. (3)公式：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R)． [点睛] 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为()A．(0,1)B．(1,0)C．(0,0)D．(1,1)答案：A3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i答案：B4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.答案： 5复数与点的对应关系[典例]求实数a分别取何值时，复数z＝aa＋3＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z 满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方．[解](1)点Z在复平面的第二象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－a－6a＋3＜0，a2－2a－15＞0，解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－2a－15＞0，a＋3≠0，即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.[一题多变]1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．解：点Z 在x 轴上，所以a 2－2a －15＝0且a ＋3≠0， 所以a ＝5.故a ＝5时，点Z 在x 轴上．2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上，求实数a 的值． 解：因为点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上， 所以a 2－a －6a ＋3＋a 2－2a －15＋7＝0，即a 3＋2a 2－15a －30＝0，所以(a ＋2)(a 2－15)＝0，故a ＝－2或a ＝±15.所以a ＝－2或a ＝±15时，点Z 在直线x ＋y ＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．复数的模[典例] (1)若复数z 对应的点在直线y ＝2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝( ) A ．1＋2i B ．－1－2i C ．±1±2iD ．1＋2i 或－1－2i(2)设复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，且|z 1|＜|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(－1,1) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)[解析] (1)依题意可设复数z ＝a ＋2a i(a ∈R)， 由|z |＝5得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1＋2i 或z ＝－1－2i. (2)因为|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝4＋1＝5，所以a 2＋4＜5，即a 2＋4＜5，所以a 2＜1， 即－1＜a ＜1. [答案] (1)D (2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． [活学活用]1．如果复数z ＝1＋a i 满足条件|z |＜2，那么实数a 的取值范围是( ) A ．(－22，22) B ．(－2,2) C ．(－1,1)D ．(－3，3)解析：选D 因为|z |＜2，所以1＋a 2＜2，则1＋a 2＜4，a 2＜3，解得－3＜a ＜ 3. 2．求复数z 1＝6＋8i 与z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小．解：∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ，∴|z 1|＝62＋82＝10， |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋(－2)2＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|.复数与复平面内向量的关系[典例] 向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是( )A ．－10＋8iB ．10－8iC ．0D ．10＋8i[解析] 因为向量OZ 1――→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2――→对应的复数是－5＋4i ，所以OZ 1――→＝(－5, 4), OZ 2――→＝(5, －4)，所以OZ 2――→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1――→+OZ 2――→对应的复数是0.[答案] C(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z －z 1|表示点Z 到点Z 1之间的距离．如|z －i|＝1表示点Z 到点(0,1)之间的距离为1.[活学活用]在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模． z 1＝1－i ；z 2＝－12＋32i ；z 3＝－2；z 4＝2＋2i.解：在复平面内分别画出点Z 1(1，－1)，Z 2－12，32，Z 3(－2,0)，Z 4(2,2)，则向量OZ 1――→，OZ 2――→, OZ 3――→,OZ 4――→分别为复数z 1，z 2，z 3，z 4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为：|z 1|＝12＋(－1)2＝2； |z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1； |z 3|＝(－2)2＝2；|z 4|＝22＋22＝2 2.层级一 学业水平达标1．与x 轴同方向的单位向量e 1与y 轴同方向的单位向量e 2，它们对应的复数分别是( )A ．e 1对应实数1，e 2对应虚数iB ．e 1对应虚数i ，e 2对应虚数iC ．e 1对应实数1，e 2对应虚数－iD ．e 1对应实数1或－1，e 2对应虚数i 或－i 解析：选A e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)．2．当23＜m ＜1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵23＜m ＜1，∴3m －2＞0，m －1＜0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限．3．已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，5)C ．(1,3)D ．(1,5)解析：选B |z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴|z |∈(1，5)．5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：选B |z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2|cos α2|.∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z |＝－2cos α2. 6．复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________．解析：由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5. 答案：57．过原点和3－i 对应点的直线的倾斜角是________． 解析：∵3－i 在复平面上的对应点是(3，－1)， ∴tan α＝－1－03－0＝－33(0≤α＜π)，∴α＝5π6.答案：5π69．设z 为纯虚数，且|z －1|＝|－1＋i|，求复数z . 解：∵z 为纯虚数，∴设z ＝a i(a ∈R 且a ≠0)，又|－1＋i|＝2，由|z －1|＝|－1＋i|， 得a 2＋1＝2，解得a ＝±1，∴z ＝±i.10．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i(m ∈R)． (1)若z 是实数，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求m 的值；(3)若在复平面内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围． 解：(1)∵z 为实数，∴m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝－3或m ＝1. (2)∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －1)＝0，m 2＋2m －3≠0. 解得m ＝0. (3)∵z 所对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m (m －1)＞0，m 2＋2m －3＜0. 解得－3＜m ＜0. 故m 的取值范围为(－3,0)．层级二 应试能力达标1．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R)对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应点的点在第二象限，故选B.2．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0D ．a ＝2或a ＝0解析：选D ∵z 在复平面内对应的点在虚轴上， ∴a 2－2a ＝0，解得a ＝2或a ＝0.3．若x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，则复数x ＋y i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A ∵x ＋y ＋(x －y )i ＝3－i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴复数1＋2i 所对应的点在第一象限．4．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：选D 设z 2＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ (x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝15，y ＝325.故选D.5．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.解析：由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0，m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12.答案：126．已知复数z ＝x －2＋y i 的模是22，则点(x ，y )的轨迹方程是________． 解析：由模的计算公式得 (x －2)2＋y 2＝22，∴(x －2)2＋y 2＝8. 答案：(x －2)2＋y 2＝87．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2. ① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．8．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的轨迹是什么图形？ 解：(1)|z 1|＝ (3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋322＝1，∴|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z |≤|z 1|及(1)知1≤|z |≤2.因为|z |的几何意义就是复数z 对应的点到原点的距离，所以|z |≥1表示|z |＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z |≤2表示|z |＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．。
高二数学人教A版选修1-2课件：3.1.2 复数的几何意义
������ = ������2 +
3, ������ 2
=
4,
∴
������ ������
= =
± 1,又∵复数
3.
z
对应的点在
第二象限,∴a=-1,则 z=-1+ 3i.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
已知复数z=a+i(0<a<2),则|z|的取值范围是
.
答案:(1, 5)
解析:|z|=
������2 + 1,
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案:C
解析:复数z在复平面内的对应点为(-1,-2),该点位于第三象限. 2.复数z=m-2-(4-m2)i,且复数z在复平面内的点位于虚轴上,则实数m的值为( )
A.0 B.2 C.-2 D.±2 答案:B 解析:当点在虚轴上时,实部m-2=0,∴m=2.
∵0<a<2,∴1<a2+1<5,∴1<|z|<
5.
案例探究
误区警示
a∈C,b∈C,下列命题中正确的有
.
①若a=b,则|a|=|b|;
②
=|���|a���||;2
③若|a|=|b|,则a=±b.
思路分析:逐项分析. 解析:对于①,若a=b,则a与b的实部相等,虚部也相等,∴|a|=|b|;对于②,显然成立;对于③,由于a∈C,b∈C,若 |a|=|b|=r>0,则复数a,b对应的点的轨迹都是以原点为圆心,半径为r的圆,故③不正确.
一二
知识精要
典题例解
迁移应用
3.在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别为A,B,C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数.
人教版数学高二新人教A版选修1-2 复数中的几个结论及其应用
复数中的几个结论及其应用数系由实数系扩充到复数系之后，实数系中哪些公式和法则仍然成立，哪些不成立，又有哪些新的公式和法则，是同学们不易弄清的问题，以下给出几则在复数系中仍然成立的公式和法则及几个新的公式和法则，并简单举例说明其应用.一、中点公式：A 点对应的复数为1111()a b i a b +∈∈R R ，，B 点对应的复数为2222()a b i a b +∈∈R R ，，C 点为A B ，两点的中点，则C 点对应的复数为11222a b i a b i +++，即121222a a b b i +++．例 1 四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A B C ，，三点对应的复数分别为132i i i +-+，，，求D 点对应的复数．解：由已知应用中点公式可得A C ，的中点对应的复数为322i +，所以D 点对应的复数为32[22(1)]352i i ⨯+⨯--=+．二、根与系数的关系：若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠的两复根为11a b i +，22a b i +，则有1122ba b i a b i a +++=-，1122()()ca b i a b i a ++=·．推论：若实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠有两虚数根，则这两个虚数根共轭． 例2 方程20x ax b ++=的一个根为1i +，求实数a ，b 的值．解：已知实系数方程的一个根为1i +，由推论知方程的另一根为1i -，由根与系数的关系可知(11)2a i i =-++-=-，(1)(1)2b i i =+-=·．三、相关运算性质：①z 为实数2220z z z z z ⇔=⇔>⇔=，z 为纯虚数200(0)z z z z ⇔<⇔+=≠；②对任意复数有z z =；③1212z z z z ±=±；④1212z z z z =··，特别地有22()z z =；⑤1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭；⑥2z z z =·． 例3 设1z =，且z i ≠±，求证21zz +为实数．证明：由条件可知0z ≠，则21z z z ==·，所以11z z z -==，1212222211()11()11z z z z z z z z z z z z --⎛⎫=-=== ⎪++++⎝⎭++，所以21zz +为实数．四、两则几何意义：①0z z -的几何意义为点z 到点0z 的距离；②0(0)z z r r -=>中z 所对应的点为以复数0z 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点． 例4 若z C ∈，且221z i +-=，则22z i --的最小值为 ． 解：221z i +-=即(22)1z i --+=，z 对应的点为到点(22)-，的距离为定值1的所有的点，即以(22)-，为圆心，1为半径的圆O 上的点．22z i --即(22)z i -+，为圆O 上的点与点(22)，之间的距离减去圆O 的半径，可得结果为3．。
高中数学选修1-2常考题型：复数的几何意义
复数的几何意义【知识梳理】1．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点Z (a ，b )；(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量 OZ ＝(a ，b )．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为 OZ ，则 OZ 的模叫做复数z 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且|z |＝a 2＋b 2.【常考题型】题型一、复数与复平面内点的一一对应【例1】 实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上．[解] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6＜0，x 2－2x －15＜0，即－3＜x ＜2时，点Z 位于第三象限． (2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6＞0，x 2－2x －15＜0， 即2＜x ＜5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．【类题通法】探究复数z 对应复平面内的点的位置如果Z 是复平面内表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的点，则(1)当a ＞0，b ＞0时，点Z 位于第一象限；当a ＜0，b ＞0时，点Z 位于第二象限；当a ＜0，b ＜0时，点Z 位于第三象限；当a ＞0，b ＜0时，点Z 位于第四象限．(2)当a ＝0时，点Z 在虚轴上；当b ＝0时，点Z 在实轴上．(3)当b ＞0时，点Z 位于实轴上面的半平面内；当b ＜0时，点Z 位于实轴下面的半平面内．【对点训练】实数m取什么值时，复平面内表示复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i的点(1)位于x轴上方；(2)位于直线y＝x上．解：(1)由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方．(2)由m2＋5m＋6＝m2－2m－15，得m＝－3，此时z在复平面内对应的点位于直线y＝x上.题型二、复数与平面向量的一一对应【例2】(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量AB，AC，BC对应的复数；②判定△ABC的形状．(1)[解析]向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量OA＝(2，－3)，OB＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量BA＝OA－OB＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA对应的复数是5－5i.[答案] B(2)[解]①由复数的几何意义知：OA＝(1,0)，OB＝(2,1)，OC＝(－1,2)，∴AB＝OB－OA＝(1,1)，AC＝OC－OA＝(－2,2)，BC＝OC－OB＝(－3,1)，∴AB，AC，BC对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②∵|AB|＝2，|AC|＝22，|BC|＝10，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC是以BC为斜边的直角三角形．【类题通法】复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．【对点训练】i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i题型三、复数模的计算【例3】 求复数z 1＝6＋8i 及z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的模的大小． [自主解答] ∵z 1＝6＋8i ，z 2＝－12－2i ， ∴|z 1|＝62＋82＝10，|z 2|＝ (－12)2＋(－2)2＝32. ∵10>32，∴|z 1|>|z 2|. 【类题通法】复数模的计算方法计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．【对点训练】已知复数z ＝3＋a i ，且|z |＜4，求实数a 的取值范围．解：∵z ＝3＋a i(a ∈R)，|z |＝32＋a 2，由已知得 32＋a 2＜4，∴a 2＜7，即－7＜a ＜7，∴a ∈(－7，7)．【练习反馈】1．在复平面内，复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则a 的值为( )A ．a ＝0或a ＝2B ．a ＝0C ．a ≠1且a ≠2D ．a ≠1或a ≠2解析：选A ∵复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，∴a 2－2a ＝0，∴a ＝0或a ＝2.2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 因为π2＜2＜π，所以sin 2＞0，cos 2＜0.所以复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限．3．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝________.解析：复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 答案：54．已知3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －y i|，|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，得x ＝3，y ＝－4.而|1－5i|＝1＋52＝26，|x －y i|＝|3＋4i|＝32＋42＝5，|y ＋2i|＝|－4＋2i|＝(－4)2＋22＝20， ∵20<5<26，∴|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|.答案：|y ＋2i|<|x －y i|<|1－5i|5．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量1OZ ，2OZ ，3OZ ，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)， ⎝⎛⎭⎫12，－32，则向量1OZ ，2OZ ，3OZ 如图所示．|z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1. 如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．6．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．。
人教新课标版数学高二-人教选修1-2学案设计复数的几何意义
3.1.2 复数的几何意义问题导学一、复平面内的点与复数的关系活动与探究11．在复平面内，点A，B对应的复数分别是－3＋2i,1－4i，则线段AB的中点对应的复数是()．A．－2－2i B．4－6i C．－1－i D．2－3i2．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)．迁移与应用1．复数z＝－2i－1，则复数z在复平面内对应的点位于()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．复数z＝m－2－(4－m2)i，且复数z在复平面内的点位于虚轴上，则m的值为()．A．0 B．2C．－2 D．±2确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解．二、复平面内复数与向量的对应关系活动与探究2已知平面直角坐标系中，O是原点，向量OA，OB对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量BA对应的复数是()．A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i迁移与应用在复平面内，复数i,1,4＋2i对应的点分别为A，B，C．求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．三、复数的模活动与探究3已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，复数z的虚部为3，且|z|＝2．若复数z在复平面内对应的点在第二象限，则复数z＝__________．迁移与应用已知复数z＝a＋i(0＜a＜2)，则|z|的取值范围是__________．复数z＝a＋b i(a，b∈R)的模为22+＝．z a b答案：课前·预习导学【预习导引】1．实轴虚轴纯虚数2．Z(a，b)OZ预习交流1(1)提示：不是．实轴上的点都是实数，但虚轴上的点不全是纯虚数，因为原点O也在虚轴上，其为实数0，不是纯虚数．(2)提示：①在复平面中，复数z＝a＋b i(a，b R)对应的点应该是Z(a，b)，而不是(a，b i)．②复数z＝a＋b i的对应向量OZ是以原点O为起点，否则就谈不上一一对应．③我们常把复数z＝a＋b i(a，b R)说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示相等的复数．(3)四3．|z||a＋b i|a2＋b2预习交流2 B课堂·合作探究【问题导学】活动与探究 1．思路分析：根据复数z ＝a ＋b i(a ，b R )在复平面内的对应点为(a ，b )，求出A ，B 点坐标，再求A ，B 中点．C 解析：由已知A (－3,2)，B (1，－4)，∴AB 的中点为(－1，－1)，∴AB 中点对应复数为－1－i ．2．思路分析：根据复数与复平面内点的一一对应关系，依题设要求列出不等式求解即可．解：(1)要使点位于第四象限，需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15>0，m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5，－7<m <4， ∴－7＜m ＜3．(2)要使点位于x 轴负半轴上，需⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－8m ＋15<0，m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3<m <5，m ＝－7或m ＝4， ∴m ＝4．(3)要使点位于上半平面(含实轴)，而m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7．迁移与应用 1．C 解析：复数z 在复平面内的对应点为(－1，－2)，该点位于第三象限．2．B 解析：当点在虚轴上时，实部m －2＝0，∴m ＝2．活动与探究2 思路分析：根据复数与平面向量，复数与复平面内的点一一对应，得到向量OA ，OB 的坐标，计算出向量BA 的坐标，再确定对应的复数．B 解析：由已知OA ＝(2，－3)，OB ＝(－3,2)，BA ＝OA －OB ＝(5，－5)， ∴BA 对应的复数为5－5i ．迁移与应用 解：方法1：由已知A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)，则AC 的中点坐标为E ⎝⎛⎭⎫2，32．由平行四边形的性质可知，E 也是BD 的中点．设D (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.即D (3,3)． ∴D 点对应的复数为3＋3i ．方法2：由已知可得：OA ＝(0,1)，OB ＝(1,0)，OC ＝(4,2)，∴BA ＝(－1,1)，BC ＝(3,2)，∴BD ＝BA ＋BC ＝(2,3)，∴OD ＝OB ＋BD ＝(3,3)，∴点D 对应的复数为3＋3i ．活动与探究3 思路分析：由|z |＝2，虚部为3，可解出a ，再利用点在第二象限，确定a 为负值，从而求出z ． －1＋3i 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，a 2＋b 2＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝±1，b ＝ 3. 又∵复数z 对应的点在第二象限，∴a ＝－1，则z ＝－1＋3i ．迁移与应用 (1，5) 解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜5，∴1＜|z |＜5．当堂检测1．在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于( )．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：i(2－i)＝1＋2i，其在复平面上的对应点为(1,2)，该点位于第一象限，故选A．2．复平面内下列哪个点对应的复数是纯虚数()．A．(1,2) B．(－3,0)C．(0,0) D．(0，－2)答案：D解析：复平面内点(0，－2)对应的复数是－2i，是纯虚数．3．已知复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹为()．A．一个圆B．线段C．两点D．两个圆答案：A解析：∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0．∴|z|＝3．∴复数z对应点的轨迹是一个圆．4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋的点在直线y＝x上，则实数m的值为__________．答案：9解析：与复数z对应的点为(m－3,，由已知得m－3＝m ＝9．5．已知复平面内，AB对应的复数为－1＋2i，AC对应的复数为－2－3i，则BC对应的复数为__________．答案：－1－5i解析：由已知AB＝(－1,2)，AC＝(－2，－3)，∴BC＝AC－AB＝(－1，－5)．∴BC对应的复数为－1－5i．。
人教版高中数学选修1-2《复数的几何意义》
探究4：已知 z 4, 求 z 6 8i 的最大值和最小值。 最大值14，最小值6
结论： z1 z2 表示点Z1, Z2两点间的距离
自我总结
这节课我们学习了: 体验落实
A．0 C．－5i
课堂反馈
) B．－5 D．5
→ → 1．在复平面内，若OZ＝(0，－5)，则OZ对应的复数为(
→ 【解析】 OZ对应的复数z＝0－5i＝－5i.
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( × ) (3)复数的模一定是正实数． (× )
2．已知复数 z＝i，复平面内对应点 Z 的坐标为 A．(0,1) B．(1,0) C．(0,0) D．(1,1)
( A )
3．向量 a＝(1，－2)所对应的复数是 A．z＝1＋2i C．z＝－1＋2i B．z＝1－2i D．z＝－2＋i
【自主解答】 复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i的实部为a2－1，虚部为2a－1， 在复平面内对应的点为(a2－1,2a－1)． (1)若z对应的点在实轴上，则有 1 2a－1＝0，解得a＝ . 2 (2)若z对应的点在第三象限，则有
2 a －1<0， 2a－1<0，
1 解得－1<a< . 2
( B )
5 4．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝________.
例题讲解
复数与点的对应关系
典例 :已知复数z (a 2 1) (2a 1)i, 其中a R.当复数z在复平面内 对应的点满足下列条件 时，求a的值（或取值范围）。 （ 1）在实轴上；（ 2）在第三象限；（ 3）在抛物线y 2 4 x上。
建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面叫复平面
人教A版高中数学选修1-2复数的加、减运算及其几何意义PPT全文课件
人 教 A 版 高中 数学选 修1-2 复数的 加、减 运算及 其几何 意义PP T全文课 件【完 美课件 】
复数代数表示式的加、减法运算 [例1] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)已知zi＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i， x，y为实数，若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
243－1.
所以|z－ 3|2＋|z－2i|2的最大值为27＋2 43，最小值为27－2 43.
人 教 A 版 高中 数学选 修1-2 复数的 加、减 运算及 其几何 意义PP T全文课 件【完 美课件 】
复数模的最值问题
[例 3] (1)如果复数 z 满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋
1|的最小值是
()
A．1
1 B.2
C．2
D. 5
(2)若复数 z 满足|z＋ 3＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
[变式训练]
1．[变条件，变设问]若本例(2)条件改为已知|z|＝ 1且z∈C，求|z －2－2i|(i为虚数单位)的最小值． 解：因为|z|＝1且z∈C，作图如图：所以|z－ 2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面 上的点P(2,2)的距离，所以|z－2－2i|的最小 值为|OP|－1＝2 2－1.
()
人 教 A 版 高中 数学选 修1-2 复数的 加、减 运算及 其几何 意义PP T全文课 件【完 美课件 】
3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝
()
A．0
B．6i
C．6
D．6－6i
解析：∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)
＝6－6i.
高中数学人教A版选修1-2课件：3.1.2 复数的几何意义
2(������-1)2 + 8 ≥ 2 2,
即|z|的最小值为 2 2. 答案:(1)A (2)C
题型一
题型二
题型三
题型四
复数模的意义 【例3】 已知|x|=3,对于下列条件,这个方程对应的图形各是什么? (1)在数轴上; (2)在复平面内,x∈C. 分析:分别利用绝对值、复数的模的几何意义解答. 解:(1)在数轴上,|x|=3表示到原点的距离为3的两个点3和-3. (2)在复平面内,|x|=3表示到原点的距离为3的复数的集合,即以原 点为圆心,以3为半径的圆. 反思复数的模的几何意义是复平面内表示复数对应的点到原点 的距离,这可以类比实数的绝对值,也可以类比以原点为起点的向 量的模来加深理解.
2.复数的几何意义 (1)复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的,即
复数 z=a+bi 复平面内的点 Z(a,b)
复数 z=a+bi
平面向量������������
【做一做1-1】 实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面 的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位 于复平面的第二象限.故选B. 答案:B
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形? (1)|z|=2; (2)2<|z|<3.
解:(1)因为|z|=2,即|OZ|=2,所以满足|z|=2 的点 Z 的集合是以原点为圆心,2 为半径的圆, 如图. (2)不等式 2<|z|<3 可化为不等式组 |������| > 2, 不等式|z|>2 的解集是圆|z|=2 外部所有的点 |������| < 3,
人教课标版高中数学选修1-2《复数的几何意义》疑难点拨
《复数的几何意义》疑难点拨一、复平面1.根据复数相等的定义，任何一个复数(),z a bi a b R =+∈都可以由一个有序实数对(),a b 唯一确定.由于有序实数对(),a b 与平面直角坐标系中的点一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.2.如图，点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ，复数z a bi =+可用点(),Z a b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时，通常是由对应关系列出方程（组）或不等式（组），求得复数的实部（对应点的横坐标）和虚部（对应点的纵坐标）的取值(范围）来确定所求的复数.4.习惯上,用大写字母Z 表示点,小写字母z 表示复数.例1(★★☆)(1)已知复数()224z m m i =---,且复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上,则实数m 的值为（ ）A.OB.2C.-2D.2±(2)当实数m 分别为何值时，复数()()22815328m m m m i -+++-在复平面内对应的点：①位于第四象限？②位于x 轴的负半轴上？③位于y 轴的正半轴上？解题导引 (1)复数(),a bi a b R +∈在复平面内对应的点位于虚轴上应满足0a =；(2)复数(),a bi a b R +∈在复平面内对应的点位于第四象限应满足0a >且0b <，位于x 轴的负半轴上应满足0a <且0b =,位于y 轴的正半轴上应满足0a =且0b >.二、复数的几何意义每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.由此可知，复数集C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点(),Z a b 这是复数的一种几何意义.如图所示，设复平面内的点Z 表示复数(),z a bi a b R =+∈,连结OZ ,显然向量OZ 由点Z 唯一确定；反过来，点Z （相对于原点来说)也可以由向量OZ 唯一确定.因此，复数集C 与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的（实数O 与零向量对应），即复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应平面向量OZ .这是复数的另一种几何意义.例2（★★☆）(1)在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）A.48i +B.82i +C.24i +D.4i +(2)已知两个向量,a b 对应的复数是123,55z z i ==-+，求向量a 与b 的夹角. 解题导引 (1)写出,A B 的坐标→求解点C 的坐标→写出点C 对应的复数(2)写出,a b 的坐标→求,,a b a b ⋅cos a b a bθ⋅→=→求解θ 例3（★★☆）(1)已知()()()()1,3,4,3,0,2,4,0,M N P Q O -为复平面的原点，试写出OM ON OP OQ 、、、所表示的复数； （2）已知复数1,12,3,67,i i i -+--在复平面内画出这些复数对应的向量。
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复数的几何意义方法总结
1．复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)与点Z (a ，b )及向量OZ →的一一对应关系如下图所示．
2．由复平面内适合某种条件的点的集合求其对应的复数时，通常是由对应关系列出方程(组)或不等式(组)，求得复数的实部、虚部的取值(范围)来确定所求的复数．
3．复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2
，从几何意义上理解，表示点Z (a ，b )和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z 1－z 2|表示复数z 1和z 2对应的点Z 1和Z 2之间的距离．
4．复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用复数模的计算公式进行计算．由于复数的模是一个实数，所以复数的模可以比较大小．
1．复数z ＝3－4i 5
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为(D) A 第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．复数z ＝2－i 2
对应的点在复平面的(B)
A ．第一象限内
B ．实轴上
C ．虚轴上
D ．第四象限上
3．(2013·重庆卷)已知复数z ＝1＋2i(i 是虚数单位)，则|z |＝5． 4．a 取何值时，z ＝(a 2－2a －8)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2
－a －2a ＋1i(a ∈R)对应的点Z ： (1)在复平面的x 轴的下方？
(2)在直线x ＋y ＋8＝0上？
解析：(1)点Z 在复平面的x 轴的下方，则a 2－a －2a ＋1
＜0⇒a ＜2，且a ≠1.
∴a ＜2，且a ≠－1时，点Z 在复平面的x 轴的下方．
(2)点Z 在直线x ＋y ＋8＝0上，则
a 2
－2a －8＋a 2－a －2a ＋1＋8＝0⇒a 3－3a －2＝0⇒a 2－a －2＝0(a ≠－1)⇒a ＝2. ∴a ＝2时，点Z 在直线x ＋y ＋8＝0上．。