1.4生活中的优化问题举例
1.4生活中的优化问题举例
令S ( x ) 0, 得x 50.
'
练习: 把长为L的铁丝分成两段，一段做 成圆形, 一段围成正方形，怎样分 法，能使圆和正方形面积之和最小.
L 解: 取 4 的一段做圆
4 L 的一段做正方形 4
例1. 某产品生产x件时的总成本函 数为
1 3 2 C ( x ) 300 x 5 x 170 x 12
每件产品的价格是134元, 求产量为 多少时利润最大.
解: 由题意, 生产x件时, 总收益 R(x)=134x ,设利润为L(x)
L( x ) R( x ) C ( x ) 1 3 2 134 x ( 300 x 5 x 170 x ) 12 1 3 2 x 5 x 36 x 300 12
f ( r ) 0.8 ( r 2r )
2
当r 2时，f ( r ) 0
当r (0,2)时，f ( r ) 0 当r ( 2,6)时，f ( r ) 0
当r=2cm时, 利润最小 当r=6cm时, 利润最大 书本P36 例1
例4. 要设计一个容积为V的圆柱形 水池(无盖), 已知底的单位面积造价 是侧面的单位面积造价的2倍, 问: 如何设计水池的底半径和高, 才 能使总造价最省? R
h
解:设高为h,底半径R, 侧面单位造价为a
则表面积S=2Rh+ R2 所以, 总造价P=2aRh+ 2aR2
由V R h, 则 2aRV 2 P (r ) 2aR 2 R
2
令P ( R ) 2aV / R 4aR 0,
2
得R V / 2 , 从而
问题: 1.瓶子多大时, 能使每瓶饮料的利 润最大? 2. 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利 润最小?
1.4生活中的优化问题举例
§1.4生活中的优化问题举例一、几何中的最值问题【例1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各空2dm,左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？1-1、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做成一个无盖的方底容器，先在四角分别截去一个小正方形,再然后把四边翻转角再焊接而成，则该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少?1-2、要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图，问斜角 为多大时，水槽的流量最大？二、利润最大问题【例2】 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是20.8r π分，其中r （单位：cm ）是瓶子的半径，已知每出售1mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半径为6cm .(1) 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2) 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？2-2、某分公司经销某种品牌产品，每件成品的成本为3元，且每件成品需向总公司交元a 元(35)a ≤≤的管理费，预计当每件成品的售价为x 元(911)a ≤≤时，一年销售量为2(12)x -万件.（1）求分公司一年的利润L 与每件成品的售价x （元）的函数关系式；（2）当每件成品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大()Q a .2-1、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加0元，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆每天每间需花费20元的各种维修费．房间定价多少时，宾馆的利润最大？三、费用最省问题【例3】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平分米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(10)x≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x+（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=购地总费用/建筑总面积）3-1、已知某厂每天生产x件产品的成本为22500020040xc x=++元，若受到设备的影响，该厂每天至多只能生产800件产品，则要使平均成本最低，每天应生产多少件产品呢？[注] 对于型如)0(>+=ab xb ax y 的函数最值问题，要根据定义域选择恰当的方法，并熟练掌握这些方法的要点。
1.4生活中的优化问题举例
解：设当汽车以x km/h的速度行驶时，从甲地到乙地 的耗油量为h(x) L，则
1 3 100 3 h( x ) ( x x 8). 128000 80 x 1 2 800 15 x (0 x 120) 1280 x 4
x 800 x3 803 h '( x) 2 (0 x 120) 2 640 x 640 x
这里的w是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程
W 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量，则 G . S
例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位: L / h） 与汽车行驶的平均速度v（单位: km）之间，有如图的 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 g 的几何意 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ v w 义是什么？ 分析：每千米平均的汽油消耗量 G = ，这里 w是汽油 s 消耗量，s是汽车行驶的路程 g (L/h) ∵w=gt，s=vt 15 w gt g P(v，g) G = s vt v 10 g 所以由右图可知，当直线 OP 如图所示， 表示经过原点 v kmin f '(90) 为曲线的切线时，即斜率 k取 5 与曲线上的点 P(v，g)的直线 0.07 最小值时，汽油使用效率最高 的斜率k 90 120 v(km/h) O 30 50
例2、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式 可以表示为：
1 3 3 y x x 8(0 x 120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到 乙地要耗油为 17.5 升; （II）若速度为x千米/小时，则汽车从甲地到乙地需 行驶
1.4生活中的优化问题举例
练习1、 一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个 正方形，要使两个正方形的面积和最小， 两段铁丝的长度分别是多少？
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
=
s1
+ s2
=( x)2 4
+( l
- x)2 4
=
1 (2x2 16
-
2lx
+
l2
)
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题称 为优化问题，优化问题有时也称为最 值问题．解决这些问题具有非常重要 的现实意义．
通过前面的学习，我们知道，导数是求函 数最大（小）值的有力工具，本节我们运 用导数，解决一些生活中的优化问题。
类型一：求面积、容积的最大问题
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
m
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
2x 512 8 ( x 0) x
S
'(
x
)
2
512 x2
2dm
S(
x)
2
x
512 x
8，S
'(
x)
2
512 x2
令S '(x) 0可解得x 1（6 x -16舍去）
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令
V(x)= 60x - 3 x2 = 0 2
,解得x=0(舍去),x=40.且
1.4生活中的优化问题(带答案)
1。
4生活中的优化问题举例1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为() A。
错误!cm B．错误!cm C.错误!cm D．错误!cm ［答案] D2．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3:4，那么容器容积最大时，高为()A．0.5m B．1m C．0。
8m D．1.5m[答案］ A［解析］设容器底面相邻两边长分别为3x m、4x m,则高为错误!＝错误!(m），容积V＝3x·4x·错误!＝18x2－84x3错误!，V′＝36x－252x2,由V′＝0得x＝1或x＝0（舍去)．x∈错误!时，V′〉0，x∈错误!时，V′<0，7所以在x＝错误!处，V有最大值，此时高为0。
5m。
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为(）A．R B．2R C.错误!R D．错误!R［答案］ C［解析］设圆锥高为h,底面半径为r，则R2＝（h－R）2＋r2，∴r2＝2Rh－h2, ∴V＝错误!πr2h＝错误!h(2Rh－h2)＝错误!πRh2－错误!h3，V′＝错误!πRh－πh2。
令V′＝0得h＝错误!R.当0<h〈错误!R时，V′〉0；当错误!<h〈2R时，V′〈0。
因此当h＝错误!R时，圆锥体积最大．4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度（单位:℃)为f（x）＝错误!x3－x2＋8(0≤x≤5），那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A．8 B．错误!C．－1 D．－8［答案］ C[解析］瞬时变化率即为f′（x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x）＝(x－1）2－1，又x∈[0,5],故x＝1时,f′（x）min＝－1.5．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋错误!x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时，产量应定为__________件．[答案］25[解析]设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知a＝错误!。
1.4 生活中的优化问题举例
1.4 生活中的优化问题举例一、知识点阅读1. 优化问题：生活中求利润最大、用料最省、效率最高、体积面积最大等问题，称为优化问题.2. 解决优化问题的一般步骤（1）审：认真阅读并理解题目，化繁为简，揭示数学本质；（2）设：在阅读理解的基础上，建立数学模型，选定未知量，设未知数； （3）列：建立相关的函数关系式； （4）解：利用导数的知识求解最优解； （5）验：回归实际问题进行检验； （6）答：结合题意作答.二、题型阅读例1 把长为cm 12的细铁丝截成两段，分别围成一个正方形和一个正三角形，问如何截取可使二者的面积之和最小？解：设围成正方形的一段长为xcm ，那么围成正三角形的一段为cm x )12(-，记二者面积之和为)(x S ，那么3sin )312(21)4(22πx x S -+=（120<<x ）.239128)('⨯-+=x x x S ，令0)('=x S ， 得11)433(48349348-=+=x . 当)11)433(48,0(-∈x 时，0)('<x S ；当)12,11)433(48(-∈x 时，0)('>x S ；因此，11)433(48-=x 是函数)(x S 的极小值点，也是最小值点，所以围成正方形的一段长截取为cm 11)433(48-时，二者面积之和最小.答：围成正方形的长为cm 11)433(48-时，面积和最小.【模仿1】把长为cm 12的细铁丝截成两段，分别围成两个正三角形，则两正三角形面积之和最小为.夹角正弦边长边长⨯⨯⨯=∆21S例2ml 500的圆柱形金属饮料罐，它的高与半径应该怎样选择，才能使所饮料罐用材料最省？解: 设半径为rcm ，高为hcm ，那么5002=h r π，得2500r h π=. 记表面积为)(r S ，那么2250022)(rr r r S πππ⋅+=， 即r r r S 10002)(2+=π. 求导得210004)('r r r S -=π，令010004)('2=-=rr r S π，得3250π=r .当)250,0(3π∈r 时，0)('<r S ；当),250(3∞+∈πr 时，0)('>r S ；因此，3250π=r 是函数)(r S 的极小值点，也是最小值点，此时32)250(500ππ=h ，才能使所饮料罐用材料最省. 答：饮料罐半径为cm 3250π，高为32)250(500ππ时，饮料罐用材料最省.反思：解答最优化问题的关键是列出正确的函数关系式，余下的就是导数的最值问题.例3 某造船公司年最高造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为3210453700)(x x x x R -+=（单位：万元），成本函数为5000460)(+=x x C （单位：万元）. 求：（1）利润函数)(x P (提示：利润＝产值－成本)的解析式；（2）年造船量安排多少艘时，可使造船公司的年利润最大？解：（1）P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x 3＋45x 2＋3 240x －5 000 (x ∈N 且x ∈[1,20]). （2）P ’(x)＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x ＋9)(x －12) (x ∈N 且x ∈[1，20])，当1≤x ≤12时，P ’(x)＞0，P(x)单调递增；【模仿2】（1）圆柱形金属饮料罐的体积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为（ ）A. 2∶1B. 1∶2C. 1∶4D. 4∶1（2）如果圆柱轴截面的周长l 为定值，则体积的最大值为 .当12＜x ≤20时，P ’(x)＜0，P(x)单调递减；∴x ＝12时，P(x)取最大值，即年造船12艘时，造船 公司的年利润最大.答：年造船12艘时，造船公司的年利润最大. 小结：关于利润问题常用的两个等量关系：①利润＝收入－成本；②利润＝每件产品的利润×销售件数.例4 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进 行促销，在一年内，预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为)0(113≥++=x x x Q ，已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品需再投入32万元. 若每件产品售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，则（1）试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数. 如果年广告费投入100万元，那么企业是亏损还是盈 利？（2）当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？ 分析：（1）利用题中等量关系列出y 与x 的函数 关系式，将x ＝100代入所求关系式判断y >0还是y <0； （2）先求出(1)中函数关系式的导函数，再利用导数求 最值.解：(1)由题意，每年销售Q 万件，年成本共为)332(+Q 万元. 年销售收入是%50%150)332(⋅+⨯+x Q .∴年利润y ＝年收入－年成本－年广告费 ＝%50%150)332(⋅+⨯+x Q x Q -+-)332( ＝)332(21x Q -+＝)311332(21x x x -+++⨯ ＝)0()1(235982≥+++-x x x x ，∴所求的函数关系式为：)0()1(235982≥+++-=x x x x y因为100=x 时，0<y ，所以当年广告费投入100万元时，企业亏损.(2)由)0()1(23598)(2≥+++-==x x x x x f y ，得【模仿3】某产品的销售收入P (万元)是产品x (千台)的函数：217x P =)0(>x ；生产总成本Q (万元)也是x (千台)的函数：232x x Q -=)0(>x ，为使利润最大化，应生产（ ）A. 9千台B. 8千台C. 6千台D. 3千台)0()1(2632)('22≥++--=x x x x x f .令0)('=x f ，则2x ＋2x －63＝0. ∴x ＝－9(舍去) ，或x ＝7. 又∵当x ∈(0，7)时，0)('>x f ； 当x ∈(7，＋∞)时，0)('<x f ， ∴极大值)(x f ＝)7(f ＝42.又∵在(0，＋∞)上只有一个极值点， ∴极大值)()(max x f x f =＝)7(f ＝42.答：当年广告费投入7万元时，企业年利润最大. 小结：用导数解决优化问题的实质是求函数的最值. 根据题意设出变量，列出函数关系式，注明定义域，再利用导数求最值，若在定义域内只有一个极值，则这个极值就是最值. 解决此类问题，也要灵活运用数学结合的方法.用导数解决优化问题的基本思路：三、综合训练1.已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为23481313-+-=x x y ,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件 2. 某箱子的容积与底面边长x 的关系为)600)(260()(2<<-=x xx x V ,则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为 ( )A.30B.40C.50D.203. 用长为24m 的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体体积的最大值为 ( )3mA.8B.12C.16D.244. 要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20cm ,要使其体积最大,则其高应为 ( )cmA.20 33B.100C.20D.2035. 某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k (k >0).已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去.设存款利率为x ,x ∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x 的取值为 ( )A.0.016 2B.0.032 4C.0.024 3D.0.048 66. 把一个周长为12cm 的长方形作为一个圆柱的侧面,当圆柱的体积最大时,该圆柱底面周长与高的比为.7. 用长为90cm ,宽为48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),当容器的体积最大时,该容器的高为.8. 统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/小时)的函数解析式可以表示为]120,0(,880312800013∈+-=x x x y ,且甲、乙两地相距100千米,则当汽车以 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少.9. 请您设计一个帐篷,它下部的形状是高为m 1的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为m 3的正六棱锥.试问当帐篷的顶点O 到底面中心1O 的距离为多少时,帐篷的体积最大？最大体积是多少？（帐篷体积=正六棱柱的体积+正六棱锥的体积）。
1.4生活中的优化问题举例
x x
60
x
60
解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
3 2 令V ( x ) 60x x 0 , 解得x=0(舍去),x=40.且V(40)= 2 16000.
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子 的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
如果函数f(x)在开区间（a,b）上只有一个极 值点，那么这个极值点必定是最值点。
例3.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架， 要求长方体的长与宽之比为2:1，问该长方体的长、 宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
则 S 2( x 2) 2 2 y 1
2
y
4x 2 y 8
由基本不等式：
4 x 2 y 2 8 xy 2 8 128 64
(当且仅当4 x 2 y 32取" ")
x
x 8, y 16 Smin 64 8 72 （dm 2 )
练习：教材P104 6
课后作业
白皮书P22
例1.学校或班级举行活动，通常需要张贴 海报进行宣传．现让你设计一张如图所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积128dm 2 , 上、下两边各空2dm．左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸，才能使四周空白的面 积最小？
解：设版心的宽为x dm ，长为y dm则有 ຫໍສະໝຸດ y=128 另设四周空白面积为Ｓ，
方法小结 解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的 统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过 研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题 得到解决．在这个过程中，导数往往是一个有 利的工具，其基本思路如以下流程图所示: 优化问题
1.4生活中的优化问题举例
作答
优化问题解决方案
用导数解决数学问题
这是一个典型的数学建模过程
解决优化问题的一般步骤：
（1）审题 （2）建模
（3）解模
（4）回归
温馨提示：用导数解决实际问题，要特
别注意在实际问题中变量的取值范围.
课堂小结
解决优化问题的步骤：
•实际问题转化数学模型；
•求解数学问题； •数学结果还原到实际问题之中
h(x) < 0 ; 当x∈(0,80)时，
h(x) > 0 . 当x∈(80,120)时，
∴在x=80时，取得极小值，也是最 小值h(80)=11.25.
1 3 100 1 2 800 15 3 h(x) = ( x - x + 8) = x + 128000 80 x 1280 x 4 0 < x ≤ 120
求函数的导数得： 1 800 x3 - 803 h(x) = x- 2 = 640 x 640x2
令 h(x) = 0 解得：x = 80
3.4
生活中的优化问题举例
例1 海报版面设计
学校或班级举行 活动,通常需要张贴海 报进行宣传.现让你设 计一张如图所示 的竖 向张贴的海报，要求 2 dm 版心面积为128 ， 上下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm. 如何设计海报的尺寸， 才能使四周空白面积 最小？
解：设版心的高为x dm，则版心的 128 宽为 dm，此时四周空白面积为
x
128 S x = x + 4 + 2 - 128 x 512 = 2x + + 8, x > 0 x
求导数，得
512 S x = 2 - 2 . x
1.4 生活中的优化问题举例
解决优化问题的方法之一：通过搜集大量的 统计数据，建立与其相应的数学模型，再通过研 究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到 解决．在这个过程中，导数往往是一个有利的工 具，其基本思路如以下流程图所示: 建立数学模型 优化问题
用函数表示数学问题
解决数学 模型
求f(x)在闭区间
[a,b]上的最值
的步骤
生活中经常遇到求利润最大、用料 最省、效率最高等问题，这些问题通常
称为优化问题，通过前面的学习，我们
知道，导数是求函数最大（小）值的有 力工具，本节我们运用导数，解决一些 生活中的优化问题.
探究点1 海报版面尺寸的设计 例1 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报 进行宣传.现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向 张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边 各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的 尺寸，才能使四周空白面积最小？
一、如何判断函数的单调性？
设函数y=f(x) 在某个区间内 可导
f´(x)>0 f´(x)<0
f(x)为增函数
f(x)为减函数
二、如何求函数的极值与最值？ 求函数极值的
一般步骤
（1）确定定义域 （2）求导数f′(x) （3）求f′(x)=0的根 （4）列表（5）判断
(1)求f(x)在区 间(a,b)内极值； (2) 将y=f(x)的各极 值f(a)、f(b）比较, 从而确定函数的最值
3（10）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，下列结论中 错误的是 （A）存在x0∈R,f(x0)=0
（B）函数y=f(x)的图像是中心对称图形
（C）若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区 （D）若x0是f（x）的极值点，则 f ' x0 0
课件14：1.4 生活中的优化问题举例
2．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面积 最小时，底面边长为 ( C )
A．3 V
B．3 2V
C．3 4V
D．23 V
【解析】 如图，设底面边长为 x(x>0)，
则底面积
S＝
43x2，∴h＝VS＝
4V 3x2.
S 表＝x·43Vx2×3＋ 43x2×2＝4 x3V＋ 23x2，
S′表＝ 3x－4 x32 V，令 S′表＝0 得 x＝3 4V，
1.4 生活中的优化问题举例
情景导入 低碳生活(low-carbon life)可以理解为减少二氧化
碳的排放，就是低能量、低消耗、低开支的 生活．低碳生活节能环保，势在必行．现实 生活中，当汽车行驶路程一定时，我们希望 汽油的使用效率最高，即每千米路程的汽油 消耗最少或每升汽油能使汽车行驶的路程最长．
广告的面积 S＝xy＝x1x－802000＋25＝1x8－00200x＋25x 整理得 S＝3x6－002000＋25(x－20)＋18500. 因为 x－20>0
所以 S≥2 3x6－002000＋25(x－20)＋18500＝24500. 当且仅当3x6－002000＝25(x－20)时等号成立，
又 l＝36r42－43r>0⇒r<234，所以定义域为(0,243)． (2)因为 y′＝－12r82 π＋16πr＝16π(rr23－8)， 所以令 y′>0 得 2<r<234；令 y′<0 得 0<r<2， 所以当 r＝2 时，该容器的建造费用最小为 96π 千元， 此时 l＝83.
学科核心素养 利用基本不等式处理优化问题 在解决生活中遇到的优化问题时，基本不等式在解
位：万件)的函数关系式为 y＝－31x3＋81x－234，则使该
1.4生活中的优化问题举例
润的影响 【背景材料】某制造商制造并出售球形 瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是 0.8π r2分，其中r(单位：cm)是瓶子的 半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可 获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最 大半径为6cm.
问：（1）r为多大时，利润最大？ （2）r为多大时，利润最小？
探究（三）：磁盘的最大存储量问题
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间 的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道 长度不得小于n.为了数据检索的方便， 磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的 比特数. R
r
现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是 半径介于r与R的环形区域，且最外面的 磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的 存储量最多可达多少？并求最大存储量
课堂练习
一、无盖方盒的最大容积问题
一边长为a的正方形铁片，铁片 的四角截去四个边长为X的小正方 形，然后做成一个无盖方盒，问X 为多大时？方盒的容积最大？
二、圆柱形金属饮料罐容积一定时，
他的高与半径如何选择，才能使所 用材料最省？
小结作业
1.解决优化问题的基本思路：
优化问题 用函数表示的数学问题
生活中的优化问题举例
探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 左、右两边各空1dm. 问：如何公司利
R
r
思考：如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比，那么如何计算磁盘的存 储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储 R 量越大？
m r = 时，存储量最大. 2
r
2p r 2p (r + m ) 2p (R - m ) f (r ) = + +L + n n n p = (R + r - m )(R - r ) mn
学案7：1.4 生活中的优化问题举例
1.4 生活中的优化问题举例知识梳理知识点：生活中的优化问题举例提出问题某厂家计划用一种材料生产一种盛500 mL溶液的圆柱形易拉罐．问题1：生产这种易拉罐，如何计算材料用得多少呢？问题2：如何制作使用材料才能最省？导入新知1．优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路化解疑难1．在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．2．在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的取值范围．例题讲解：题型一：利用导数解决面积、体积最大问题例1：如图①，∠ACB＝45°，|BC|＝3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折叠，使∠BDC＝90°(如图②所示)．当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大？类题通法利用导数解决优化问题的一般步骤(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数解析式y＝f(x)．(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点．(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值．(4)根据实际问题的意义给出答案．活学活用：如图，要设计一矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告牌面积最小？题型二：利用导数解决费用最省问题例2：为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求出最小值．类题通法解决优化问题应关注两点(1)在列函数解析式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． (2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f (x )在给定区间内只有一个极值点或函数f (x )在开区间上只有一个点使f ′(x )＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．活学活用：甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－ 1160v 3＋15v . (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式．(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．题型三：利用导数解决利润最大问题例3：某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t (单位：百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (单位：百万元，且0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益＝销售额－投入)．类题通法利润最大问题的解决方法利润问题是经济生活中最为常见的问题．一般来说，利润等于总收入减去总成本，而总收入等于产量乘价格．由此可以得到利润与产量的函数关系式，进而用导数求最大利润． 活学活用：某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系式为p ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？题型四：导数在实际问题中的应用例4：有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的B 处，乙厂到河岸的垂足D 与A 相距50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问：供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？课堂检测：1．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A ．6 mB ．8 mC ．4 mD ．2 m2．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．4．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x ＞0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台．5．一个圆柱形圆木的底面半径为1 m ，长为10 m ，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD (如下图所示，其中O 为圆心，C ，D 在半圆上)，设∠BOC ＝θ，木梁的体积为V (单位：m 3)，表面积为S (单位：m 2)．(1)求V关于θ的函数表达式．(2)求θ的值，使体积V最大．(3)问：当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．参考答案知识梳理提出问题问题1：答：计算出圆柱的表面积即可．问题2：答：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小．可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表面积S ＝2πx 2＋1 000x (x ＞0)，求S 最小时，圆柱的半径、高即可．例题讲解：题型一：利用导数解决面积、体积最大问题例1：解：在如图①所示的△ABC 中，设|BD |＝x (0＜x ＜3)，则|CD |＝3－x .由AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°知，△ADC 为等腰直角三角形，所以|AD |＝|CD |＝3－x . 由折叠前AD ⊥BC 知，折叠后，如图②所示，AD ⊥DC ，AD ⊥BD ，且BD ∩DC ＝D ， 所以AD ⊥平面BCD .又∠BDC ＝90°，所以S △BCD ＝12|BD |·|CD |＝12x (3－x )．于是V A BCD ＝13|AD |·S △BCD ＝13(3－x )·12x (3－x )＝16(x 3－6x 2＋9x )．令f (x )＝16(x 3－6x 2＋9x )，由f ′(x )＝12(x －1)·(x －3)＝0，且0＜x ＜3，解得x ＝1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(1,3)时，f ′(x )＜0.所以当x ＝1时，f (x )取得最大值f (1)＝23，即V A BCD 取得最大值23.故当|BD |＝1时，三棱锥A BCD 的体积最大．活学活用：解：设广告牌的高和宽分别为x cm 、y cm ，则每栏的高和宽分别为x －20，y －252，其中x >20，y >25.两栏面积之和为2(x －20)·y －252＝18 000，由此得y ＝18 000x －20＋25.广告牌面积为S (x )＝x ⎝⎛⎭⎫18 000x －20＋25＝18 000xx －20＋25x ， ∴S ′(x )＝18 000[(x －20)－x ](x －20)2＋25＝－360 000(x －20)2＋25.令S ′(x )>0，得x >140；令S ′(x )<0，得20<x <140.∴函数S (x )在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减， ∴S (x )的最小值为S (140)． 当x ＝140时，y ＝175，即当x ＝140，y ＝175时，S (x )取得最小值24 500，故当广告牌的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告牌的面积最小. 题型二：利用导数解决费用最省问题例2：解：(1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0＜x ＜5时，f ′(x )＜0；当5＜x ＜10时，f ′(x )＞0，故x ＝5是f (x )的最小值点， 对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．活学活用：解：(1)Q ＝P ·400v ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v＝⎝⎛⎭⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0＜v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v .令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80. 当0＜v ＜80时，Q ′＜0； 当80＜v ≤100时，Q ′＞0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).题型三：利用导数解决利润最大问题例3：解：(1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)， ∴当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(3－x )百万元， 又设由此获得的收益是g (x )，则g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3 ＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，∴g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0； 当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0，故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．活学活用：解：依题意，每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x ) ＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．f ′(x )＝－35x 2＋24 000，令f ′(x )＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)． 当0<x <200时f ′(x )>0，当x >200时f ′(x )<0， ∴x ＝200时，f (x )取最大值，最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000.故该厂每月生产200吨产品才能使利润达到最大，最大利润为315万元． 题型四：导数在实际问题中的应用例4：解：如图所示，依题意，点C 在线段AD 上，设C 点距D 点x km ，则AC ＝50－x ，因为BD ＝40， 所以BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2.设总的水管费用为y 元，则y ＝3a (50－x )＋5a x 2＋402(0＜x ＜50)， y ′＝－3a ＋5axx 2＋402.令y ′＝0，解得x 1＝30，x 2＝－30(舍去)． 当0＜x ＜30时，y ′＜0； 当30＜x ＜50时，y ′＞0， 所以当x ＝30时，y 取得最小值， 此时AC ＝50－30＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．课堂检测：1．【解析】设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．【答案】C2．【解析】因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当0＜x ＜9时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9时函数取最大值． 【答案】C3．【解析】设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r >0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr (r >0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr2，令S ′＝0，解得r ＝3.当0<r <3时，S ′<0；当r >3时，S ′>0，所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．【答案】34．【解析】设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x ＞0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0或x ＝6.经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 【答案】65．解：(1)等腰梯形ABCD 的面积S ABCD ＝2cos θ＋22·sin θ＝sin θcos θ＋sin θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 故木梁的体积V (θ)＝10(sin θcos θ＋sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (2)由(1)知V ′(θ)＝10(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝10(2cos θ－1)·(cos θ＋1)，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 令V ′(θ)＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)．∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴θ＝π3. 当θ∈⎝⎛⎭⎫0，π3时，12<cos θ<1，V ′(θ)>0，V (θ)为增函数； 当θ∈⎝⎛⎭⎫π3，π2时，0<cos θ<12，V ′(θ)<0，V (θ)为减函数． ∴当θ＝π3时，体积V 最大．(3)∵木梁的侧面积S 侧＝(AB ＋2BC ＋CD )·10 ＝20⎝⎛⎭⎫cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴S ＝2S ABCD ＋S 侧＝2()sin θcos θ＋sin θ＋20⎝⎛⎭⎫cos θ＋2sin θ2＋1， θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 设g (θ)＝cos θ＋2sin θ2＋1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∵g (θ)＝－2sin 2 θ2＋2sin θ2＋2，∴当sin θ2＝12，即θ＝π3时，g (θ)最大．又由(2)知θ＝π3时，sin θcos θ＋sin θ取得最大值，∴θ＝π3时，木梁的表面积S 最大．综上可知，当木梁的体积V 最大时，其表面积S 也最大．。
课件8：1.4 生活中的优化问题举例
3 令 S′＝0，得 d＝10
4π，此时 h＝5 3
4π，
3 ∵当 0<d<10
4π时，S′<0；当 d>10 3
4π时，S′>0，
3 ∴当 d＝10
4π时，S 取得最小值．
3 ∴当 d＝10
4 π
3 m，h＝5
4 π
m 时，用料最省．
题型二 利润最大问题 例 2：某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨) 与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系式为 P＝24 200－15x2，且 生产 x 吨的成本为 R＝50 000＋200x(元)，问该产品每月生产多 少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入 －成本)
解：根据题意，得表示每月生产 x 吨时的利润的函数为
f(x)＝24
200－15x2x－(50
000＋200x)
＝－15x3＋24 000x－50 000(x≥0)．
令 f′(x)＝－35x2＋24 000＝0， 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f′(x)＝0，
课堂检测：
1．一个圆锥形漏斗的母线长为 20，高为 h，则体积 V 的表达
式为( )
A.13π(400－h2)h
B．π(400－h2)h
1 C.3πh
400－h2
【答案】A
D．πh 400－h2
2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与 存款利率的平方成正比，比例系数为 k(k＞0)．已知贷款的利率 为 0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利 率为 x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则 x 的取值为 ()
1.4生活中的优化问题举例
故
它
就
是
最
大
值
点
，
且
最
大
值
为
：
f(200)
＝
－
1 5
×2003
＋
24000×200－50000＝3150000(元)
答 ： 每 月 生 产 200 吨 产 品 时 利 润 达 到 最 大 ， 最 大 利 润 为 315 万 元．
[点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定义域，这是此类题 解答过程中极易出错的地方．
问题2: 饮料瓶大小对饮料公司利润有影响吗?
你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装 的要贵些?你想从数学上知道它的道理吗? 是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大?
例2 某制造商制造并出售球形瓶装饮料.瓶子制造成本是 0.8πr2分.已知每出售1ml的饮料,可获利0.2分,且瓶子的最 大半径为6cm.
∴V (x)＝12x2－480x＋3600，
令V (x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)
当0<x<10时，V (x)>0，当10<x<30时，V (x)<0.
∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值． 答：当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．
[点评] 在解决实际应用问题中，如果函数在区间内只有一个极值 点，那么只需根据实际意义判定是最大值还是最小值．不必再与端 点的函数值进行比较．
解法二：由解法(一)得
S (x) 2x 5128 2 x
2x 5128 x
232872
当 且 仅 当 4 x 2 5 6 ,即 x 8 (x 0 )时 S 取 最 小 值 x
1.4 生活中的优化问题举例用共16张
生活中经常遇到求利润最大、用 料最省、效率最高等问题，这些问题 通常称为优化问题．通过前面的学习， 我们知道，导数是求函数最大（小） 值的强有力工具．这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题．
例1、海报版面尺寸的设计： 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，
现让你设计一张如右图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各 空1dm，如何设计海报的尺寸才能使四周空白面积最小？
解：设版心的高为xdm，则版心的
1dm
1dm
宽 128 dm，此时四周空白面积为 2dm x
S( x) ( x 4)(128 2) 128 x
8
8
利润：L R C (25q 1 q2 ) (100 4q)
1
q2
21q
8 100
(0
q
200)
8
令 L' 1 q 21 0, 得到唯一极值点 q 84. 4
因为 L 只有一个极值，所以它就是最大值.
答：产量为84时，利润L最大.
回顾总结:
1.利用导数解决优化问题的基本思路：
解释它的实际意义吗?
图1.4 4
例3 磁盘的最大存储量问题
1你知道计算机是如何存储、检索信息的吗? 2你知道磁盘的结构吗? 3如何使一个圆环状的磁盘存储尽可能多的
信息?
背景知识 计算机把信息存储在磁盘上.磁盘是带
有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁
道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道,
以磁道数最多可达 R r . m
又由于每条磁道上的比特数 相同,为获得最大存储量,最内 一条磁道必须装满,即每条磁 道上的比特数可达到2πr .所
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例3、经统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的 、经统计表明， 耗油量y（ 关于行驶速度x（千米/小时 小时） 耗油量 （升）关于行驶速度 （千米 小时）的函数解析式 可以表示为： 可以表示为：
1 3 3 y= x − x + 8(0 < x ≤120). 128000 80
若已知甲、乙两地相距 千米。 若已知甲、乙两地相距100千米。 千米 千米/小时的速度匀速行驶时 （I）当汽车以 千米 小时的速度匀速行驶时，从甲地到 ）当汽车以40千米 小时的速度匀速行驶时， 乙地要耗油为 17.5 升; 千米/小时 （II）若速度为 千米 小时，则汽车从甲地到乙地需 ）若速度为x千米 小时， 行驶
具体的问题： 具体的问题：汽油使用效率何时最高
我们知道， 单位:L)与汽车的速度 我们知道，汽油的消耗量 w (单位 与汽车的速度 v 单位 (单位 单位:km/h) 之间有一定的关系，汽车的消耗量 w 是汽车 之间有一定的关系， 单位 的函数. 根据实际生活，思考下面两个问题： 速度 v 的函数 根据实际生活，思考下面两个问题： （1）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大 ）是不是汽车的速度越快， 汽油的消耗量越大? 如何计算每千米路 （2）当汽车的行驶路程一定时，是车速快省油还是 ）当汽车的行驶路程一定时， 程的汽油消耗量？ 程的汽油消耗量？ 车速慢的时候省油呢？ 车速慢的时候省油呢？ 一般地，每千米路程的汽油消耗量越少， 一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我们就说 汽油的使用效率越高（即越省油）。 汽油的使用效率越高（即越省油）。 越高
思考1 版心面积为定值128dm 思考1：版心面积为定值128dm2，海报 的面积是否也为定值？ 的面积是否也为定值？
128 (x + 4)( + 2) x
128 (x + 4)( + 2) - 128 x
思考2 设版心的高为x 思考2：设版心的高为x，则海报的面积 为多少？海报四周空白的面积为多少？ 为多少？海报四周空白的面积为多少？
3.4 生活中的优化问题举例
问题提出
1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间[a，b]上 1.在什么条件下，函数f(x)在闭区间[a，b]上 在什么条件下 f(x)在闭区间[a 一定存在最大值和最小值？ 一定存在最大值和最小值？ 函数y f(x)的图象是一条连续不断的曲线 函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线 2.如果在闭区间[a，b]上函数y f(x)的图象是 2.如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是 如果在闭区间[a 上函数 一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f(x) f(x)在 一条连续不断的曲线，那么如何求出函数f(x)在 区间[a b]上的最大值和最小值 [a， 上的最大值和最小值？ 区间[a，b]上的最大值和最小值？ 将函数f(x)在开区间（a，b）上的所有极值与区 将函数f(x)在开区间（ f(x)在开区间 间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值， 间端点函数值进行比较，其中最大者为最大值， 最小者为最小值. 最小者为最小值.
3
是否存在最值？若存在，如何求其最值？ 是否存在最值？若存在，如何求其最值？
f (x)min 3.2p = f (2) = 3
f (x)max = f (6) = 28.8p
r 思考5 思考5：函数 f (r) = 0.8p( - r 2)(0 < r 6) 3
3
的大致图象是什么？据图象分析， 的大致图象是什么？据图象分析，瓶子 半径的大小对制造商的利润产生什么影 响？ y 当0＜r＜3时，利润为负 值；当r＝3时，利润为 零；当r＞3时，利润为 O 正值，并随着瓶子半径 正值， 的增大利润也相应增大. 的增大利润也相应增大.
思考3 设海报四周空白的面积为S(x)， 思考3：设海报四周空白的面积为S(x)， S(x) S(x)的最简表达式如何 的最简表达式如何？ 则S(x)的最简表达式如何？其定义域是 什么？ 什么？
512 S(x) = 2x + + 8, x > 0 x
思考4 海报四周空白的面积S(x)是否存 思考4：海报四周空白的面积S(x)是否存 S(x) 在最值？若存在，如何求其最值？ 在最值？若存在，如何求其最值？
R- r m
最内一条磁道. 最内一条磁道
r
思考2 由于每条磁道上的比特数相同， 思考2：由于每条磁道上的比特数相同， 那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条 磁道上的比特数？ 磁道上的比特数？
思考3 要使磁盘的存储量达到最大， 思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那 么最内一条磁道上的比特数为多少？ 么最内一条磁道上的比特数为多少？
2 3 6 x
思考6 思考6：市场上等量的小包装的物品一般比大 包装的要贵些（ 包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的 白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？ ），在数学上有什么道理 白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？ 将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小， 将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小， 其利润低， 其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与 大包装的利润. 大包装的利润.
R r
R r = 时，存储量最大 存储量最大. 2
思考6 思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道 的长度成正比， 的长度成正比，那么如何计算磁盘的存 储量？此时，是不是r越小， 储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储 R 量越大？ 量越大？
m r = 时，存储量最大 存储量最大. 2
r
2pr 2p(r + m) 2p(R - m) f (r ) = + +L + n n n p (R + r - m)(R - r ) = mn
0.2?
思考3 设每瓶满装饮料的利润为f(r)， 思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)， f(r) 则函数f(r)的定义域是什么？ f(r)的定义域是什么 则函数f(r)的定义域是什么？ （0，6]
3
pr
3
0.8pr
2
r 思考4 思考4：函数 f (r) = 0.8p( - r 2)(0 < r 6) 3
探究（ 探究（一）：海报版面尺寸的设计
【背景材料】学校或班级举行活动，通 背景材料】学校或班级举行活动， 常需要张贴海报进行宣传. 常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一 张如图所示的竖向张贴的海报， 张如图所示的竖向张贴的海报，要求版 心面积为128dm 下两边各空2dm 2dm， 心面积为128dm2，上、下两边各空2dm， 右两边各空1dm. 左、右两边各空1dm.
探究（ 探究（三）：磁盘的最大存储量问题 【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上， 背景材料】计算机把信息存储在磁盘上， 磁盘是带有磁性介质的圆盘， 磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统 将其格式化成磁道和扇区. 将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径 所构成的同心圆轨道， 所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分 割成的扇形区域. 割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基 本存储单元， 本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数 这个基本单元通常称为比特， 据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘 的构造如图所示. 的构造如图所示.
这里的w是汽油消耗量， 是汽车行驶的路程 这里的 是汽油消耗量，s是汽车行驶的路程 是汽油消耗量
w 若用G来表示每千米平均的汽油消耗量 来表示每千米平均的汽油消耗量， 若用 来表示每千米平均的汽油消耗量，则 G = s
例2、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中，汽油的 、通过研究，人们发现汽车在行驶过程中， 平均消耗率 g（即每小时的汽油消耗量， 单位 L / h） （即每小时的汽油消耗量， 单位: ） 与汽车行驶的平均速度 单位: 平均速度v（ 与汽车行驶的平均速度 （单位 km）之间，有如图的 ）之间， 函数关系 g = f (v) ，那么如何根据这个图象中的数据来 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ 解决汽油的使用效率最高的问题呢？ w g 的几何意 分析： 分析：每千米平均的汽油消耗量 G = ，这里 w是汽油 是汽油 v s 义是什么？ 义是什么？ 消耗量， 是汽车行驶的路程 消耗量，s是汽车行驶的路程 g (L/h) ∵w=gt，s=vt ， 15 w gt g P(v，g) ， ∴G = = = s vt v 10 g 所以由右图可知，当直线OP 所以由右图可知，当直线 如图所示， 如图所示， 表示经过原点 v kmin = f '(90) 为曲线的切线时，即斜率k取 5 为曲线的切线时，即斜率 取 与曲线上的点 P(v，g)的直线 ， 的直线 ≈ 0.07 最小值时， 最小值时，汽油使用效率最高 的斜率k 的斜率 90 120 v(km/h) O 30 50
3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大， 3.生活中经常遇到求利润最高，产量最大， 生活中经常遇到求利润最高 成本最低，用料最省等实际问题， 成本最低，用料最省等实际问题，这些问题 通常称为优化问题 优化问题. 通常称为优化问题.解决优化问题的本质就是 求函数的最值，因此， 求函数的最值，因此，以函数为载体导数为 工具，解决生活中的优化问题， 工具，解决生活中的优化问题，是数学应用 领域的一个重要课题. 领域的一个重要课题.
R
2pr n
r
思考4 思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多 少比特？ 少比特？
R - r 2pr × m n
思考5 思考5：若R为定值，r为变量，那么这张 为定值， 为变量，
2p r(R - r )(0 < r < R) 磁盘的存储量 f (r) = mn
如何变化？有何最值？ 如何变化？有何最值？
小结
1.解决优化问题的基本思路： 1.解决优化问题的基本思路： 解决优化问题的基本思路
优化问题 用函数表示的数学问题
优化问题的答案
用导数解决数学问题
2.解决优化问题的实质是将实际问题化归 2.解决优化问题的实质是将实际问题化归 为函数的最值问题来处理， 为函数的最值问题来处理，其探究过程是一 个典型的数学建模过程.对目标函数的最值， 个典型的数学建模过程.对目标函数的最值， 要根据函数式的特点，用适当的方法求解， 要根据函数式的特点，用适当的方法求解， 有时用基本不等式或二次函数图象求最值比 用导数更方便. 用导数更方便. 3.对优化问题中的函数关系， 3.对优化问题中的函数关系，要注意根据 对优化问题中的函数关系 实际背景确定函数的定义域， 实际背景确定函数的定义域，如果目标函数 在定义域内只有一个极值点， 在定义域内只有一个极值点，则这个极值点 一般就是最值点. 一般就是最值点.