算法复杂度分析
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结分析
算法的时间复杂度和空间复杂度-总结通常，对于一个给定的算法，我们要做两项分析。
第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。
而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。
算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。
因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。
而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。
一、事后统计的方法这种方法可行，但不是一个好的方法。
该方法有两个缺陷：一是要想对设计的算法的运行性能进行评测，必须先依据算法编制相应的程序并实际运行；二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优势。
二、事前分析估算的方法因事后统计方法更多的依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，有时容易掩盖算法本身的优劣。
因此人们常常采用事前分析估算的方法。
在编写程序前，依据统计方法对算法进行估算。
一个用高级语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：(1). 算法采用的策略、方法；(2). 编译产生的代码质量；(3). 问题的输入规模；(4). 机器执行指令的速度。
一个算法是由控制结构（顺序、分支和循环3种）和原操作（指固有数据类型的操作）构成的，则算法时间取决于两者的综合效果。
为了便于比较同一个问题的不同算法，通常的做法是，从算法中选取一种对于所研究的问题（或算法类型）来说是基本操作的原操作，以该基本操作的重复执行的次数作为算法的时间量度。
1、时间复杂度（1）时间频度一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。
但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。
并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。
算法的时间复杂度是指什么
算法的时间复杂度是指什么时间复杂度通常用大O符号表示。
大O表示法表示算法运行时间的上界，即算法最坏情况下的运行时间。
时间复杂度可以分为几个级别，如常数时间O(1)、对数时间O(log n)、线性时间O(n)、线性对数时间O(n log n)、平方时间O(n^2)等。
这些时间复杂度级别代表了问题规模增长时算法所需时间的不同变化速度。
在分析算法的时间复杂度时，通常关注的是算法运行时间随问题规模n的增长而变化的趋势，而不关注具体的运行时间。
因此，时间复杂度是一种抽象的概念，用于比较不同算法的运行效率。
1.基本操作数计数法：通过统计算法执行的基本操作数来估计算法的时间复杂度。
基本操作就是算法中最频繁执行的操作，例如赋值、比较、加法、乘法等。
基本操作数计数法的思路是，通过对算法中的基本操作进行计数，然后选择基本操作数最大的那一部分作为算法的时间复杂度。
2.事后统计法：通过实际运行算法并统计其执行时间来估计算法的时间复杂度。
这种方法通常用于验证理论上估计的时间复杂度是否准确。
然而，事后统计法只能得到特定输入情况下的时间复杂度，不能推断出算法的一般情况下的时间复杂度。
3.算法复杂度分析法：通过对算法中各个语句进行分析，得出算法的时间复杂度。
这种方法可以用数学方法推导出时间复杂度的表达式，通常使用数学归纳法、递推关系、循环求和等方法进行分析。
算法的时间复杂度对于衡量算法的效率非常重要。
较低的时间复杂度意味着算法可以在更短的时间内处理更大规模的问题。
因此，选择合适的算法设计和算法优化可以提高程序的运行效率，并减少资源消耗，对于大规模数据处理和系统性能优化至关重要。
算法的渐进复杂度分析
算法优化可以降低算法的渐进复杂度， 从而提高算法的效率。常见的算法优化 方法包括选择更高效的算法、减少重复 计算、使用更有效的数据结构等。
算法优化可以减少算法在处理大规模数据时 的计算量和时间复杂度，从而提高算法的实 用性。
算法优化可以改进算法的并行性和 分布式计算能力，从而更好地利用 多核处理器和分布式计算资源，提 高算法的执行效率。
在游戏开发中的算法选择与渐进复杂度分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
游戏开发中，算法的渐进复杂度分析有助于优化游戏性能 和提升用户体验。
游戏开发中，算法的选择直接影响到游戏的运行效率和性 能表现。渐进复杂度分析可以帮助我们评估不同算法在游 戏中的性能表现，从而选择适合的算法来优化游戏性能。 例如，对于游戏物理引擎，可以使用碰撞检测和碰撞响应 算法来提高游戏交互性和真实性；对于游戏渲染，可以采 用光线追踪和阴影渲染等技术来提升画面质量和用户体验 。
渐进复杂度分析可以用于比较不同算 法的性能，为实际应用中选择合适的 算法提供依据。
促进学科发展
渐进复杂度分析是计算科学领域的重 要研究方向之一，对算法设计和分析 理论的发展具有重要意义。
未来研究方向与挑战
探索更复杂的算法模型
随着计算科学的发展，越来越多的复杂算法涌现出来，需 要发展更精确、更复杂的渐进复杂度分析方法来评估这些 算法的性能。
THANKS.
渐进复杂度通常用大O表示法来表示 ，例如O(n)、O(n^2)、O(log n)等， 其中n表示输入规模。
为什么关心算法的渐进复杂度
01
算法的效率是衡量算法好坏的重 要标准之一，而渐进复杂度是评 估算法效率的重要指标。
02
通过分析算法的渐进复杂度，可 以了解算法在不同规模输入下的 性能表现，从而在实际应用中选 择合适的算法。
算法与函数优化的数学原理分析
算法与函数优化的数学原理分析算法和函数优化是计算机科学和应用数学领域中的重要研究方向。
它们都涉及到数学原理的应用和分析，本文将对算法和函数优化的数学原理进行深入分析。
一、算法的数学原理分析算法是一组有序的操作步骤，用于解决特定问题或完成特定任务。
数学在算法设计和分析中起着重要的作用。
1. 算法复杂度分析算法复杂度是评估算法执行效率的重要指标。
在分析算法复杂度时，我们要使用数学方法来推导和计算算法的时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度是表示算法执行所需时间的函数，通常用大O表示法表示。
空间复杂度表示算法运行所需的额外存储空间。
2. 数据结构与算法数据结构与算法密切相关，数学原理在数据结构和算法的设计和分析中发挥着重要作用。
例如，树、图等数据结构的设计和算法的分析都需要基于图论和数论等数学原理进行。
3. 算法优化算法优化是提高算法性能和效率的重要手段之一。
数学技术如动态规划、贪心算法、分支界限等都可以应用于算法优化中，提高算法的执行效率和解决问题的准确性。
4. 算法的收敛性和稳定性分析算法的收敛性和稳定性是算法设计中需要考虑的重要因素。
数学原理如数值分析、微分方程等可以帮助我们分析和证明算法的收敛性和稳定性。
二、函数优化的数学原理分析函数优化是利用数学方法寻找函数的最大值或最小值的过程。
数学在函数优化中起着重要的作用。
1. 函数的最值点和临界点优化问题中，函数的最值点和临界点是关键要素。
数学原理如导数、极值等可以帮助我们找到函数的最值点和临界点，从而进行优化。
2. 约束条件与拉格朗日乘子法在函数优化问题中，常常伴随着一些约束条件。
拉格朗日乘子法是一种常用的处理带约束条件的优化问题的数学方法。
它利用约束条件和目标函数构建拉格朗日函数，并通过求解该函数的临界点来进行优化。
3. 梯度下降法与拟牛顿法梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解无约束问题的最优解。
它利用函数的梯度信息来迭代搜索最优解。
拟牛顿法是一类基于二阶导数信息的优化算法，收敛速度更快，准确性更高。
算法分析与设计教案
算法分析与设计教案教案一：算法复杂度与算法分析一、教学目标：1.理解算法复杂度的概念2.掌握算法复杂度的计算方法3.能够通过算法复杂度分析算法的效率4.学会如何选择适合的算法二、教学内容：1.算法复杂度概述a.时间复杂度和空间复杂度的概念b.算法的执行时间和占用空间的计算方法c.算法的最好情况、平均情况和最坏情况的概念和关系2.算法复杂度分析a.常见的算法复杂度i.常数阶ii. 对数阶iii. 线性阶iv. 线性对数阶v.平方阶b.算法复杂度的表示方法和计算示例3.算法效率的比较与选择a.算法效率的评价标准b.如何选择适合的算法c.通过实际例子对比算法效率三、教学方法：1.讲授理论知识，介绍算法复杂度的概念和计算方法2.针对具体算法实例，进行算法复杂度的分析和计算3.进行实际例子的比较，分析不同算法的效率四、教学过程：教师活动学生活动教学方法时间引入介绍本节课的内容和目标倾听并记录讲授 5分钟讲解介绍算法复杂度概念和分类倾听并记录讲授 15分钟示例分析通过具体例子分析和计算算法复杂度思考并记录讲授和讨论20分钟案例分析分析不同算法的效率，并选择合适的算法思考并讨论讲授和讨论20分钟总结总结本节课的内容和要点倾听并记录讲授 5分钟五、教学资源：1.PPT课件2.计算器3.教材和参考书籍六、教学评估：通过学生的课堂参与情况、小组讨论和问题回答情况来评估学生对算法复杂度与算法分析的掌握情况。
七、教学延伸：1.可邀请相关行业的专业人士进行讲座，分享在实际工程中使用算法复杂度和算法分析的经验2.给学生布置一些算法的分析和设计任务，让学生通过实际动手操作来深入理解算法复杂度与算法分析的概念和方法。
教案二：动态规划的基本原理与应用一、教学目标：1.理解动态规划的基本原理和思想2.掌握动态规划的基本步骤和方法3.能够使用动态规划解决实际问题4.学会如何设计动态规划的算法二、教学内容：1.动态规划概述a.动态规划的定义和基本思想c.动态规划的基本步骤和方法2.动态规划的应用a.最优子结构的性质b.重叠子问题的性质c.通过子问题的解计算原问题的解d.动态规划的算法设计与实现3.动态规划的经典问题a.背包问题b.最长公共子序列问题c.最短路径问题d.斐波那契数列问题三、教学方法：1.讲授理论知识，介绍动态规划的基本原理和方法2.运用具体问题进行示例分析，演示动态规划的应用和算法设计3.进行实际问题的解决，让学生亲自动手设计动态规划算法四、教学过程：教师活动学生活动教学方法时间引入介绍本节课的内容和目标倾听并记录讲授 5分钟讲解介绍动态规划的概念和基本原理倾听并记录讲授 15分钟示例分析通过具体问题示例进行动态规划的分析和解决思考并记录讲授和演示 20分钟算法设计学生自主设计动态规划算法并进行实际问题的解决思考并动手实践讨论和指导25分钟总结总结本节课的内容和要点倾听并记录讲授 5分钟五、教学资源：1.PPT课件2.教材和参考书籍3.计算器六、教学评估：通过学生的课堂参与情况、小组讨论和问题回答情况来评估学生对动态规划的理解和应用掌握情况。
时间复杂度分析及常用算法复杂度排名
时间复杂度分析及常用算法复杂度排名随着计算机技术的不断发展，人们对于算法的效率也提出了更高的要求。
好的算法可以大大地提高程序的运行效率，而坏的算法则会导致程序运行缓慢，浪费更多的时间和资源。
因此，在实际的开发中，需要对算法的效率进行评估和分析。
其中，时间复杂度是评估算法效率的重要指标之一，接下来就让我们来探讨一下时间复杂度分析及常用算法复杂度排名。
一、时间复杂度时间复杂度，简称时间复杂度，是指在算法中用来衡量算法运行时间大小的量。
通常情况下，时间复杂度用 O(n) 来表示，其中n 表示输入数据规模的大小。
由于常数系数和低次项不会对时间复杂度的大致表示产生影响，因此，时间复杂度的精确算法往往会被简化为最高次项的时间复杂度，即 O(n)。
二、时间复杂度的分析时间复杂度可以通过算法中的循环次数来分析。
一般来说，算法中的循环分为两种情况：一种是 for 循环，一种是 while 循环。
因为 for 循环的循环次数一般是固定的，因此可以通过循环次数来估算时间复杂度；而 while 循环的循环次数取决于输入数据的大小，因此时间复杂度的分析需要基于输入数据的规模进行分析和推导。
三、时间复杂度的常见表示法在实际的算法分析中，常常用到以下几种时间复杂度表示法：常数阶 O(1)、对数阶 O(logn)、线性阶 O(n)、线性对数阶 O(nlogn)、平方阶 O(n^2)、立方阶 O(n^3)、指数阶 O(2^n) 等。
常数阶 O(1)：表示算法的时间不随着输入规模的增加而增加，即不论输入数据的大小，算法的运行时间都是固定的。
例如，最好的情况下，二分查找的时间复杂度即为 O(1)。
对数阶 O(logn)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，但增长比较缓慢，即随着输入规模的每增加一倍，算法所需的运行时间大致增加一个常数。
例如，二分查找的时间复杂度即为 O(logn)。
线性阶 O(n)：表示算法的时间复杂度随着输入规模的增加而增加，增长速度与输入规模成线性比例关系。
算法难度分级
算法难度分级1、算法分析•算法复杂度是衡量算法难度的尺度。
•算法需要的资源越多，复杂度越高。
计算机的资源，最重要的是运算所需的时间和存储程序和数据所需的空间资源。
•算法复杂度包括时间复杂度和空间复杂度。
•复杂问题或高效算法一般不做算法分析，而是采用基准测试方法。
•能够分析清楚的算法，一般是简单或低效算法；•难题（如货郎担问题）及高效算法很难分析清楚。
2、计算算法复杂度的困难•算法复杂度与问题规模大小有关；•输入数据的分布也会影响算法复杂度。
算法复杂度评价：•最好、最坏、平均；•通常着重于最坏情况下的算法复杂度。
精确计算算法复杂度的困难：（1）由算法写出程序需要花费很大的精力；（2）会因为程序写的好坏，影响算法的质量；（3）测试数据很难对各个算法都公正；（4）好算法需要反复改进，反复测试，工作量很大。
3、算法时间复杂度的表示•算法时间复杂度指程序从开始运行到结束需要的时间。
•问题规模为n，算法需要的时间为T(n)时，T(n)称为算法的“时间复杂度”。
•算法时间复杂度常用大O表示（读为：大圈，Order，big-O）。
•算法时间复杂度与输入数据的规模有关。
•如，二分查找算法复杂度是O（log n），表示二分查找需要通过log n量级的运算步骤，去查找一个规模为n的数组。
•如，算法复杂度为O(f(n))，表示当n增大时，运行时间最多以f(n)的速度增长。
也称为渐进复杂度。
常见算法复杂度级别算法时间复杂度增长趋势曲线4、算法时间复杂度计算案例【案例】时间复杂度T(n)=O(1)的情况，如：•temp=i;•i=j;•j=temp;•以上语句的频度均为1，程序执行时间是不问题觃模n无关的常数。
•算法时间复杂度为常数阶时，记T(n)=O(1)。
•如果算法执行时间丌随问题觃模n的增加而增长，即使算法有上千条语句，其执行时间也是一个较大的常数。
记作T(n)=O(1)【例】时间复杂度T(n)=O(n)的情况。
以上算法的时间复杂度为：T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n)。
计算机算法基础知识全面解读
计算机算法基础知识全面解读计算机算法是计算机科学的核心领域之一，是解决问题和实现功能的重要工具。
本文将全面解读计算机算法的基础知识，包括算法的定义、分类、复杂度分析和常见算法。
一、算法的定义算法是指解决一类问题的有限序列指令的描述。
它可以被看作是一种计算过程，通过逐步执行的指令将输入转化为输出。
算法需要满足清晰、确定、有限和有效的要求，能够解决某个具体的问题。
二、算法的分类根据算法的实现方式和思想，可以将算法分为以下几类：1. 暴力算法：按照问题的定义直接解决，没有使用任何优化技巧。
虽然效率低下，但是思路简单明确，易于实现。
2. 贪心算法：每一步都采取最优的选择，以期达到最终的最优解。
贪心算法通常简单高效，但不能保证一定能够得到全局最优解。
3. 分治算法：将问题分解成若干个规模更小、相互独立且与原问题性质相同的子问题，递归地求解这些子问题，再将子问题的解合并得到原问题的解。
4. 动态规划算法：将问题分解成若干个子问题，并保存子问题的解，避免重复计算。
通过解决子问题来解决原问题。
5. 回溯算法：通过搜索问题的解空间树，找到所有可能的解。
回溯算法通常适用于组合优化问题、NP完全问题等。
三、算法的复杂度分析算法的复杂度是衡量算法效率的重要指标，通常从时间复杂度和空间复杂度两个方面进行评估。
1. 时间复杂度：表示算法执行所需的时间量级，通常用大 O 表示法表示。
常见的时间复杂度有O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n^2)等。
2. 空间复杂度：表示算法所需的存储空间量级，也用大 O 表示法表示。
空间复杂度包括程序代码所占用的空间、输入和输出所需的空间以及算法执行过程中临时变量所需的空间。
四、常见算法1. 排序算法：排序算法是计算机算法中最常见的一类。
包括冒泡排序、插入排序、选择排序、快速排序、归并排序等。
排序算法的选择依赖于实际需求和数据规模。
2. 查找算法：查找算法用于在一组数据中寻找特定元素的位置或者判断某个元素是否存在。
算法复杂度分析
算法复杂度分析算法复杂度分析是计算机科学中的一个重要概念，用于评估算法的运行效率和资源消耗情况。
它是通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，从而对算法进行评估和选择的过程。
一、时间复杂度分析时间复杂度是用来估计算法运行时间的一个指标，表示随着问题规模的增长，算法执行时间的增长率。
通常用大O记法表示，如O(1)、O(n)、O(n^2)等。
例如，对于一个简单的线性查找算法来说，如果要查找的元素在数组的第一个位置，那么只需要一次比较就能找到，时间复杂度为O(1)。
而如果要查找的元素在数组的最后一个位置，就需要比较n次才能找到，时间复杂度为O(n)。
通过对算法中的循环次数、递归深度等进行分析，可以得到算法的时间复杂度。
时间复杂度的分类有常数阶、线性阶、对数阶、平方阶等，不同的时间复杂度代表了算法的不同运行效率。
二、空间复杂度分析空间复杂度是用来估计算法所需的存储空间的一个指标，表示随着问题规模的增长，算法所需的存储空间的增长率。
通常用大O记法表示，如O(1)、O(n)等。
例如，对于一个数组的冒泡排序算法来说，需要一个临时变量来交换元素的位置，所需的额外存储空间是常数级别的，因此空间复杂度为O(1)。
而对于一个递归调用的算法来说，每次递归都需要保存一部分信息，所需的额外存储空间就会随着递归深度的增加而增加，空间复杂度为O(n)。
通过对算法中的变量、数组、递归调用等进行分析，可以得到算法的空间复杂度。
空间复杂度的分类和时间复杂度类似，也有常数阶、线性阶、对数阶等不同级别。
三、算法复杂度分析的应用算法复杂度分析在算法设计、性能优化和资源调度等方面具有重要的应用价值。
首先，对于不同的算法，通过时间复杂度和空间复杂度的分析，可以选择最优的算法来解决问题。
比如，当处理大规模数据时，选择时间复杂度较低的算法可以提高计算效率。
其次，通过对算法的复杂度分析，可以帮助我们发现算法中的潜在问题和瓶颈。
比如，如果一个算法的时间复杂度较高，可能存在着一些不必要的重复计算或者循环嵌套，可以通过优化算法来提高效率。
算法学习的难点解析和攻略
算法学习的难点解析和攻略算法学习对于很多人来说都是一项艰巨的任务。
无论是初学者还是有一定编程基础的人，都会遇到各种各样的难题和困惑。
本文将从几个方面解析算法学习的难点，并提供一些攻略来帮助读者更好地掌握算法。
一、数学基础算法学习的第一个难点就是数学基础。
很多算法涉及到数学概念和计算，如果没有扎实的数学基础，很容易陷入困境。
例如，理解递归算法就需要对数学归纳法有一定的了解。
此外，一些高级算法，如图论和动态规划，也需要掌握一些数学知识才能理解其原理和应用。
攻略：建议在学习算法之前，先复习一下数学基础知识。
可以选择一些数学教材或者在线课程进行学习，加强对数学概念和计算方法的理解。
另外，在学习算法过程中，遇到涉及到数学的部分，可以主动去查找相关的数学知识，提高自己的数学素养。
二、抽象思维算法学习的另一个难点是抽象思维。
算法本质上是一种解决问题的思路和方法，而不是具体的代码实现。
因此，学习算法需要培养抽象思维能力，能够将问题抽象化，找到问题的本质，并设计出相应的算法解决方案。
攻略：培养抽象思维能力需要不断的练习和实践。
可以选择一些经典的算法问题进行反复练习，例如排序算法、查找算法等。
在解决问题的过程中，要学会从具体的问题中抽象出一般的解决思路，并尝试将其应用到其他类似的问题中。
三、算法复杂度分析算法复杂度分析是算法学习的另一个难点。
在实际应用中，我们需要评估算法的时间复杂度和空间复杂度，以便选择合适的算法来解决问题。
然而，复杂度分析涉及到数学推导和推理，对于初学者来说可能比较困难。
攻略：学习算法复杂度分析需要理解算法的执行过程和资源消耗情况。
可以通过阅读相关的教材和文章，了解常见的时间复杂度和空间复杂度的计算方法。
此外，还可以通过实际编写代码并进行性能测试，来对比不同算法的效率，加深对算法复杂度的理解。
四、实践和项目经验算法学习的最后一个难点是缺乏实践和项目经验。
单纯的理论学习很难真正掌握算法的应用和实现。
算法分析与复杂性理论
算法分析与复杂性理论算法是计算机科学中的重要概念，它是解决问题的一系列步骤或指令。
但是，并不是所有的算法都一样效率高，因此我们需要进行算法分析来评估算法的性能。
同时，复杂性理论则是用来研究算法在不同规模下的复杂性和可解性。
本文将深入探讨算法分析与复杂性理论的相关概念和方法。
一、算法分析算法分析是评估算法性能的过程，我们通常关注算法的时间复杂度和空间复杂度。
1. 时间复杂度时间复杂度表示算法解决问题所需的时间资源。
在进行时间复杂度分析时，一般会考虑最坏情况下的所需时间。
常见的时间复杂度有常数时间O(1)，线性时间O(n)，对数时间O(log n)，平方时间O(n^2)等。
2. 空间复杂度空间复杂度表示算法解决问题所需的空间资源。
与时间复杂度类似，我们通常考虑最坏情况下的所需空间。
常见的空间复杂度有常数空间O(1)，线性空间O(n)，对数空间O(log n)，平方空间O(n^2)等。
二、复杂性理论复杂性理论是研究算法在不同规模下的复杂性和可解性的学科领域。
1. NP问题NP（Nondeterministic Polynomial）问题是指可以在多项式时间内验证解答是否正确的问题。
这意味着如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们也可以在多项式时间内验证该解答是否正确。
然而，尚未找到高效的算法来解决NP问题。
2. P问题P（Polynomial）问题是指可以在多项式时间内解决的问题。
也就是说，存在一个算法可以在多项式时间内找到问题的解答。
3. NP完全问题NP完全问题是指既属于NP问题，又属于最难的NP问题。
如果我们能够在多项式时间内找到一个解答，那么我们可以在多项式时间内解决所有的NP问题。
目前，还没有找到高效的算法来解决NP完全问题。
三、算法优化为了提高算法的效率，我们可以进行算法优化。
常用的算法优化方法包括贪心算法、动态规划、分治法等。
1. 贪心算法贪心算法是一种每次都选择当前最优解的策略。
高考数学应试技巧之算法的正确性与复杂度分析
高考数学应试技巧之算法的正确性与复杂度分析在高考数学中，算法的正确性和复杂度分析是最基本的要求。
正确的算法可以保证正确的计算结果，而复杂度分析可以帮助我们选择合适的算法来提高计算效率。
本文将从这两个方面来探讨一些应试技巧。
一、算法的正确性在计算机编程中，正确性是指程序在运行结束时是否可以给出我们期望的结果。
同样地，在高考数学中，我们也需要使用正确的算法来保证计算结果的正确性。
一般来说，我们可以通过以下方法来验证一个算法的正确性：1.验证样例就像做数学题一样，我们可以通过举例验算的方式来验证算法的正确性。
这些例子可能是常见的数学问题，也可能是我们自己编造的一些数据。
2.数学归纳法数学归纳法可以被用来证明某些问题在一定范围内都是成立的。
同样地，在我们使用算法计算大量数据时，我们需要使用数学归纳法来验证所有的数据都可以得到正确的结果。
3.反证法有时，我们可以使用反证法来证明一个算法的正确性。
这种方法通常适用于数学中涉及到概率等复杂问题的推导。
以上这些方法都可以用来验证算法的正确性。
在实际算法设计中，我们应该尽量选择可验证的算法，以免出现错误结果。
二、复杂度分析在高考数学中，我们需要选择合适的算法来提高计算效率。
但是，即使我们使用了正确的算法，如果其时间复杂度过高，那么我们的计算效率也会慢得无法承受。
因此，我们需要对算法的时间复杂度进行分析来选择最优的算法。
时间复杂度是指算法所需要的运算次数，通常用“大O记号”表示，例如O(n)，O(log n)，O(n^2)等等。
在实际应用中，我们可以使用以下方法来分析算法的时间复杂度：1.逐级分析我们可以逐级分析算法的计算过程，从最基本的操作开始逐步分析。
例如，对于快速排序算法，我们可以分析每一次划分中比较的次数和交换的次数。
2.渐进法分析大O记号是渐进法分析中最常用的方法。
基本规则是：如果一个算法的时间复杂度可以表示为O(f(n))，那么对于比n大的数据，这个算法的运算次数不能超过cf(n)。
计算机算法分析大学计算机基础知识时间复杂度
计算机算法分析大学计算机基础知识时间复杂度计算机算法分析是大学计算机基础知识中非常重要的一部分。
在进行算法分析时，我们需要关注算法的时间复杂度。
本文将为您解析时间复杂度的概念及其在计算机算法中的应用。
一、时间复杂度的定义时间复杂度是衡量算法执行时间的一种指标，用来描述在不同规模输入下算法的执行时间与输入规模的增长关系。
通常用大O符号表示，例如O(n)、O(n^2)等。
二、常见的时间复杂度1. 常数时间复杂度：O(1)常数时间复杂度表示无论输入规模的大小，算法的执行时间都是恒定的。
这是最理想的情况，例如简单的赋值语句或常数运算。
2. 线性时间复杂度：O(n)线性时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈线性关系。
例如遍历一个数组或链表的操作，需要逐个处理其中的元素。
3. 对数时间复杂度：O(logn)对数时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈对数关系。
例如二分查找算法，每次将输入规模缩小一半。
4. 平均时间复杂度：O(nlogn)平均时间复杂度表示在所有可能输入情况下的平均执行时间。
例如快速排序算法，在平均情况下的时间复杂度为O(nlogn)。
5. 最坏时间复杂度：O(n^2)最坏时间复杂度表示在最不利于算法执行的情况下，算法的执行时间将达到最高。
例如冒泡排序算法，在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)。
6. 指数时间复杂度：O(2^n)指数时间复杂度表示算法的执行时间随着输入规模的增长呈指数关系。
例如求解旅行商问题的穷举算法。
三、选择合适的算法与优化在分析算法的时间复杂度时，我们可以选择时间复杂度较低的算法。
例如，对于需要对大量数据排序的问题，选择快速排序而不是冒泡排序。
此外，我们可以通过算法的改进和优化来降低时间复杂度。
例如，在某些情况下，通过采用空间换时间的策略，我们可以将时间复杂度由O(n^2)优化为O(nlogn)。
四、算法分析的实际应用1. 算法性能评估通过分析算法的时间复杂度，我们可以对不同算法的性能进行评估和比较，以选择最适合的算法。
几种常见算法的介绍及复杂度分析
几种常见算法的介绍及复杂度分析一、排序算法1.冒泡排序：通过反复交换相邻元素实现排序，每次遍历将最大元素放到最后。
时间复杂度为O(n^2)。
2.插入排序：将未排序元素插入已排序序列的适当位置，时间复杂度为O(n^2)。
3.选择排序：每次选择最小的元素放到已排序序列末尾，时间复杂度为O(n^2)。
4. 快速排序：通过递归将数组分段，并以一个基准元素为准将小于它的元素放在左边，大于它的元素放在右边，时间复杂度为O(nlogn)。
5. 归并排序：将数组递归拆分为多个子数组，对子数组进行排序并合并，时间复杂度为O(nlogn)。
二、查找算法1.顺序查找：从头到尾依次比较目标元素与数组中的元素，时间复杂度为O(n)。
2. 二分查找：依据已排序的数组特性，将目标元素与中间位置的元素比较，并根据大小取舍一半的数组进行查找，时间复杂度为O(logn)。
3.哈希查找：通过哈希函数将目标元素映射到数组的索引位置，时间复杂度为O(1)，但可能需要额外的空间。
三、图算法1.广度优先（BFS）：从起始节点开始，依次访问其邻居节点，再访问邻居的邻居，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
2.深度优先（DFS）：从起始节点开始一直遍历到没有未访问的邻居，再回溯到上一个节点继续遍历，直到找到目标节点或遍历所有节点。
时间复杂度为O(V+E)，V为顶点数量，E为边的数量。
3. 最短路径算法（如Dijkstra算法）：通过计算起始节点到每个节点的最短路径，找到起始节点到目标节点的最短路径。
时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
4. 最小生成树算法（如Prim算法）：通过贪心策略找到连通图的最小权重生成树，时间复杂度为O(V^2)，V为顶点数量。
四、动态规划算法1.背包问题：将问题拆解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解推导出原问题的最优解。
时间复杂度为O(nW)，n为物品数量，W为背包容量。
网络结构和算法的复杂性分析
网络结构和算法的复杂性分析随着现代社会的发展，网络已经成为人们交流、获取信息和娱乐的主要渠道。
而网络的发展离不开网络结构和算法的支撑。
网络结构指网络中各个节点之间的连接方式，而算法则是网络中各个节点之间进行信息传递和处理的方式。
网络结构和算法的复杂性分析是研究网络系统的性质、特点和规律的重要方法，也是网络系统设计、优化和改进的基础。
网络结构的复杂性分析网络结构是指网络中各个节点及其之间的连接方式。
一般来说，网络结构可以分为以下几类：1. 完全图结构完全图结构是指由n个节点组成的网络，其任意两个节点之间都有一条边相连。
完全图结构在实际应用中很少出现，因为节点之间的连接需要耗费大量的资源。
2. 随机图结构随机图结构是指由n个节点组成的网络，节点之间的连接是随机的。
随机图结构具有一定的灵活性，但是其连接方式不规律，容易导致网络性能的忽高忽低。
3. 并联/串联网络结构并联/串联网络结构是指由若干个小网络组成的大网络，各个小网络之间通过并联或串联的方式组合起来。
并联/串联网络结构具有稳定性和可修复性，但是其设计和维护较为困难。
以上只是网络结构中的一部分常见类型，网络结构的多样性和复杂性需要进一步研究和分析。
网络结构的复杂性分析主要研究的是网络系统中节点数量、连接方式和连接数量的分布情况，以及网络中各个节点之间的距离和路径的规律等问题。
通过对网络结构的复杂性分析，可以找出网络中信息传递的瓶颈和优化的方向，同时也为网络设计和优化提供理论基础和方法。
算法的复杂性分析算法是指网络中各个节点之间进行信息传递和处理的方式。
在网络中，我们经常需要对数据进行传输、存储、处理等操作，这些操作需要选择相应的算法进行实现。
算法的复杂度分析是研究算法在执行过程中所需要的计算资源的分析。
算法的复杂度分析一般可以分为以下两个方面：1. 时间复杂度分析时间复杂度是指算法执行所需要的时间随着输入大小的增加而增加的程度。
时间复杂度通常用大O符号表示，表示算法需要执行的基本操作数与输入大小的关系。
离散数学-13.3-4算法的平均复杂度分析
要点二
常见空间复杂度分类
根据算法所需存储空间的大小，可以将空间复杂度分为常 数空间复杂度、线性空间复杂度、多项式空间复杂度和指 数空间复杂度。常数空间复杂度表示算法所需存储空间与 数据规模无关，线性空间复杂度表示算法所需存储空间与 数据规模成线性关系，多项式空间复杂度和指数空间复杂 度则分别表示算法所需存储空间与数据规模成多项式和指 数关系。
并行排序算法
如归并排序、快速排序等，通过并行化处理实现更快的排序速度。
并行图算法
如并行深度优先搜索、并行广度优先搜索等，通过并行化处理实现 更快的图算法执行速度。
04
实际应用中的平均复杂度 分析
在数据库查询中的应用
数据库查询是离散数学中算法复杂度分析的重要应用场景之 一。在数据库查询中，平均复杂度分析可以帮助我们评估查 询性能，优化数据库结构，提高查询效率。
在网络通信中的应用
在网络通信中，算法的平均复杂度分析同样具有实际意义 。网络通信协议通常需要进行大量的数据传输和处理，如 果算法的平均复杂度过高，会导致通信效率和网络性能下 降。
通过算法的平均复杂度分析，我们可以优化通信协议，提 高其运行效率。例如，在网络拥塞控制算法中，我们可以 选择复杂度更低、更高效的算法来控制网络拥塞，提高网 络性能。
通过改进算法逻辑、减少重复计 算、使用更高效的算法结构等方 式，降低算法的时间复杂度和空
间复杂度。
循环展开
将循环体展开成更简单的操作，减 少循环次数，从而降低算法复杂度。
分治策略
将问题分解为更小的子问题，分别 解决子问题，再将子问题的解合并 为原问题的解，降低算法复杂度。
利用数据结构优化算法
哈希表
02
常见算法的平均复杂度分 析
算法的复杂度
算法的复杂度
1.1.3 算法的复杂度
算法的复杂度主要包括时间复杂度和空间复杂度。
1.算法的时间复杂度
所谓算法的时间复杂度，是指执⾏算法所需要的计算⼯作量。
可以⽤算法在执⾏过程中所需基本运算的执⾏次数来度量算法的⼯作量。
算法所执⾏的基本运算次数还与问题的规模有关。
算法的⼯作量⽤算法所执⾏的基本运算次数来度量，⽽算法所执⾏的基本运算次数是问题规模的函数。
在同⼀个问题规模下，如果算法执⾏所需的基本运算次数取决于某⼀特定输⼊时，可以⽤以下两种⽅法来分析算法的⼯作量。
（1）平均性态（Average Behavior）
所谓平均性态分析，是指⽤各种特定输⼊下的基本运算次数的加权平均值来度量算法的⼯作量。
（2）最坏情况复杂性（Worst-Case Complexity）
所谓最坏情况分析，是指在规模为n时，算法所执⾏的基本运算的最⼤次数。
2.算法的空间复杂度
⼀个算法的空间复杂度，⼀般是指执⾏这个算法所需要的内存空间。
⼀个算法所占⽤的存储空间包括算法程序所占的空间、输⼊的初始数据所占的存储空间以及算法执⾏过程中所需要的额外空间。
其中额外空间包括算法程序执⾏过程中的⼯作单元以及某种数据结构所需要的附加存储空间。
学习算法中的模型复杂度分析
学习算法中的模型复杂度分析在学习算法的过程中，模型复杂度分析是非常重要的一环。
模型复杂度是指模型所需要的资源和时间，它是衡量一个模型优劣的重要指标。
本文将从不同角度探讨学习算法中的模型复杂度分析。
一、时间复杂度分析时间复杂度是指算法执行所需要的时间。
在学习算法中，我们经常需要计算算法的时间复杂度，以评估算法的效率。
时间复杂度通常用大O符号表示，例如O(n)表示随着输入规模增加，算法的执行时间呈线性增长。
在分析算法的时间复杂度时，我们需要考虑算法中各个操作的执行次数。
例如，在排序算法中，比较和交换操作是最常见的操作。
通过分析这些操作的执行次数，我们可以得出算法的时间复杂度。
二、空间复杂度分析空间复杂度是指算法执行所需要的额外空间。
在学习算法中，我们经常需要计算算法的空间复杂度，以评估算法的内存占用情况。
空间复杂度通常用大O符号表示，例如O(n)表示随着输入规模增加，算法所需的额外空间呈线性增长。
在分析算法的空间复杂度时，我们需要考虑算法中使用的数据结构和变量的空间占用情况。
例如，在图遍历算法中，我们可能需要使用一个队列或者栈来保存遍历的节点。
通过分析这些数据结构和变量的空间占用情况，我们可以得出算法的空间复杂度。
三、算法的复杂度与问题规模的关系算法的复杂度与问题规模之间存在着密切的关系。
通常情况下，随着问题规模的增加，算法的复杂度也会增加。
例如，在排序算法中，当输入规模为n时，最坏情况下的时间复杂度通常为O(n^2)。
而当输入规模为2n时，最坏情况下的时间复杂度通常为O((2n)^2)=O(4n^2)。
因此，问题规模的增加会导致算法的复杂度增加。
对于一些常见的问题，我们可以通过模型复杂度分析来选择合适的算法。
例如，在查找问题中，如果问题规模较小，我们可以选择简单的线性查找算法（时间复杂度为O(n)）。
而如果问题规模较大，我们可以选择更高效的二分查找算法（时间复杂度为O(logn)）。
通过分析问题规模和算法复杂度的关系，我们可以选择最适合的算法来解决问题。
算法复杂度的计算方法
算法复杂度的计算方法算法复杂度的计算方法什么是算法复杂度算法复杂度是衡量一个算法执行效率的指标，常用来评估算法的时间和空间消耗情况。
它能够帮助我们选择更加高效的算法，在解决问题时更有效地利用计算资源。
时间复杂度常见的时间复杂度•O(1)：常数时间复杂度，表示算法的执行时间是固定的，不随问题规模的增加而变化。
例如，查找数组中某个元素的索引。
•O(logn)：对数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈对数增长。
例如，二分查找算法。
•O(n)：线性时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈线性增长。
例如，遍历数组求和。
•O(n^2)：平方时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈平方增长。
例如，多次嵌套循环遍历二维数组。
•O(2^n)：指数时间复杂度，表示算法的执行时间随问题规模的增加而呈指数增长。
例如，解决旅行商问题的暴力穷举法。
如何计算时间复杂度通常情况下，通过分析算法中的循环次数或者递归调用次数，可以推导出算法的时间复杂度。
以下是一些常见的情况和计算方法：•单条语句执行：如果算法中只包含一条语句，那么它的时间复杂度为O(1)，即常数时间复杂度。
•顺序执行：如果算法中包含多条语句，并且按照顺序执行，那么算法的时间复杂度取决于耗时最长的那条语句的复杂度。
•循环语句：根据循环的次数和循环体内的代码复杂度，可以推导出循环语句的时间复杂度。
•递归调用：递归算法的时间复杂度和递归调用的次数以及每次调用的复杂度有关。
空间复杂度常见的空间复杂度•O(1)：常数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗是固定的，不随问题规模的增加而变化。
•O(n)：线性空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而线性增长。
•O(n^2)：平方空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而平方增长。
•O(2^n)：指数空间复杂度，表示算法的额外空间消耗随问题规模的增加而指数增长。
如何计算空间复杂度空间复杂度的计算方法与时间复杂度类似，但要注意算法中需要额外使用的空间。
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算法复杂度分析算法与程序设计2010-08-30 20:47:10 阅读13 评论0字号：大中小订阅首先接触" 算法复杂度"这个术语是在数据结构这门课程中。
数据结构主要是讲如何在计算机中存储.组织数据，对于相同的存储.组织数据方式，往往又有不同的实现方式(即算法)。
对于精心实现的算法，往往可以带来更高的运行和存储上的效率，而评价一个实现方式(算法)是否高效就是通过" 算法复杂度"来评定的。
目前算法的评定主要是从时间和空间上来评定，毕竟我们对计算机关心的一个是运行时间，另一个就是消耗的存储空间。
从时间上评定算法的优劣称为"时间复杂度"，自然，从空间上评定算法的优劣就称为"空间复杂度"。
一.时间复杂度:一个算法执行所用的时间，理论上讲是不能通过计算得出来的，因为它受多方面的影响，比如说不同的硬件，相同的算法在不同的硬件机器上执行，所消耗的时间是不同的。
即使是在同一台机器上，一个算法在不同的时间执行，所消耗的时间也是不同的(当某个时刻计算机系统待处理的任务比较多时，这个时刻算法执行消耗的时间相对于计算机系统待处理任务较少时，所用的时间可能会多些)。
我们使用"时间复杂度"并不是为了计算算法执行所消耗的时间，而是用于评定不同的算法之间在时间成本上，那个消耗的时间理论上少些，那个多些。
背后的原理是这样的:如果有两个算法A,B，假如它们实现的功能都是在一个相同长度的数组内查找符合条件的一个元素位置。
经过"时间复杂度"的评定，算法A 在时间成本上比算法B消耗的时间要少。
那么在实际运行中算法A的执行应该会比算法B快。
请注意我使用了"应该"这个词语，毕竟任何情况都有特殊的时候，不是吗？但毕竟特殊的情况属于少数，大多数情况下还是正常的。
所以请不要认为"算法复杂度"是属于理论的东西，没有什么实际的意义。
它在评定算法优劣上占有非常重要的地位。
讨论时间复杂度时，不得依次说明下面几个术语所表达的意思，当对这些术语背后表达的意思明白过后，"时间复杂度"也自然而然的明白了。
1.算法消耗时间.一个算法执行所消耗的时间= 算法中所有语句执行的时间之和。
如果我们独立机器的软，硬件。
假定语句执行一次所消耗的时间一样，并把语句执行一次所消耗的时间定义为单位时间。
这样的假定有助于我们理解，并能把问题集中在需要考虑的地方。
2.语句频度.语句频度是指算法中语句的执行次数.那么算法中每条语句的执行时间＝该语句的执行次数(语句频度)*单位时间所以一个算法执行所消耗的时间= 算法中所有语句的语句频度*单位时间例:求两个n阶方阵C=A*B的乘积其算法如下://右边列为语句执行的频度void MatrixMultiply(int A[n][n]，int B [n][n]，int C[n][n]){(1) for(int i=0; i <n; i++) //n+1{(2) for (j=0;j < n; j++) //n*(n+1){(3) C[i][j]=0; //n2(4) for (k=0; k ,n; k++) //n2*(n+1){(5) C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j]; //n3}}}}则该算法所有语句的频度之和为:T(n) = 2n3+3n2+2n+1;算法执行时间:T(n)*单位时间，设单位时间为1.则算法执行时间＝T(n)可以看出算法MatrixMultiply的执行时间T(n)是一个关于矩阵阶数n的函数3.问题规模在上面的算法执行时间T(n)是一个关于n的函数，n称为"问题规模"."问题规模"(这里是n)与算法的执行次数有关，在上面的例子中，n越大，算法的执行次数越多。
当然也会存在某个算法的执行次数与"问题规模"无关的情况.比如说下面的函数:voidAddTenTimes( int& a ){for(int i=0; i<=10; i++ ) //11{++a; //10}}T(n) = 21;为一个常数4.渐进时间复杂度还是接着算法MatrixMultiply例子说，上面我们求出了，该算法的语句频度:T(n) = 2n3+3n2+2n+1;如果我们能找到一个函数f(n),使当n趋于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为一个不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数.并记T(n)=O(f(n))为算法的渐进时间复杂度。
注:这里多了一个符号O,符号O只是一个标识，它并不代表任何的数学运算。
在上面的例子中我们能很容易的找到f(n) = n3.这里的渐进时间复杂度，即是我们常说的时间复杂度。
5.常见的时间复杂度按数量级递增的排列，常见的依次为:常数阶O(1)、对数阶O(log2n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog2n)、平方阶O(n^2)、立方阶O(n^3)、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2^n)时间复杂度：算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f（n），T（n）=O（f（n））。
它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f （n）的增长率相同。
语句的频度：是该语句重复执行的次数。
例1：交换i和j的内容。
temp=i; i=j; j=temp;以上三条语句的频度均为1，该程序的执行时间是与问题规模n无关的常数，因此算法的时间复杂度为常数阶，记作T（n）=O（1）。
例2：变量计数。
(1）x=0;y=0;(2)for(k=1;k<=n;k++)(3) x++;(4)for(i=1;i<=n;i++)(5) for(j=1;j<=n;j++)(6) y++;以上语句中频度最大的语句是（6），其频度为f(n)= n2,所以该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n2)例3：求两个n阶方阵的乘积C=A×B，其算法如下：#define n 100void MatrixMultiply(int A[n][n],int B[n][n],int C[n][n]){ inti,j,k for (i=1;i<=n;++i) /* 次数n+1 */for (j=1;j<=n;++j) /* 次数n*(n+1)*/{ C[i][j]=0; /* 次数n2 */for (k=1;k<=n,k++) /* 次数n2(n+1) */C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];/* 次数n3 */}}T(n)=2n3+3n2+2n+1lim（T(n)/ n3)=2T(n)=O(n3)例4：（1）{++x;s=0;}（2）for (i=1;i<=n;++i) {++x;s+=x;}（3）for (j=1;j<=n;++j)（4）for (k=1;k<=n;k++){++x;s+=x;}(5) i=1; while(i<=n) i=i*2;执行次数f(n)与n的关系是n=2^f(n)含基本操作“x增1”的语句的频度分别为1,n，n2和log2n常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1),对数阶0(Log2n),线性阶O(n)，线性对数阶0(nLog2n)，平方阶O(n2)，立方阶0(n3)，指数阶O(2n)。
通常认为，具有指数阶量级的算法是实际不可计算的，而量级低于平方阶的算法是高效的。
是说明一个程序根据其数据n的规模大小所使用的大致时间和空间说白了就是表示如果随着n的增长时间或空间会以什么样的方式进行增长例for(int i = 0; i < n;++i) ;这个循环执行n次所以时间复杂度是O(n)for(int i = 0; i< n;++i){for(int j = 0; j< n;++j) ;}这嵌套的两个循环而且都执行n次那么它的时间复杂度就是O(n^2)时间复杂度只能大概的表示所用的时间而一些基本步骤所运行的时间不同我们无法计算所以省略如for(int i = 0;i < n;++i)a = b;和for(int i = 0;i < n;++i) ;这个运行的时间当然是第二个快但是他们的时间复杂度都是O(n)判断时间复杂度看循环例1：交换i和j的内容。
temp=i; i=j; j=temp;以上三条语句的频度均为1，该程序的执行时间是与问题规模n无关的常数，因此算法的时间复杂度为常数阶，记作T（n）=O（1）。
例2：变量计数。
(1）x=0;y=0;(2)for(k=1;k<=n;k++)(3) x++;(4)for(i=1;i<=n;i++)(5) for(j=1;j<=n;j++)(6) y++;以上语句中频度最大的语句是（6），其频度为f(n)= n2,所以该程序段的时间复杂度为T(n)=O(n2)例3：求两个n阶方阵的乘积C=A×B，其算法如下：#define n 100void MatrixMultiply(int A[n][n],int B[n][n],int C[n][n]){ inti,j,kfor (i=1;i<=n;++i) /* 次数n+1 */for (j=1;j<=n;++j) /* 次数n*(n+1)*/{ C[i][j]=0; /* 次数n2 */for (k=1;k<=n,k++) /* 次数n2(n+1) */C[i][j]=C[i][j]+A[i][k]*B[k][j];/* 次数n3 */}}T(n)=2n3+3n2+2n+1lim（T(n)/ n3)=2T(n)=O(n3)例4：（1）{++x;s=0;}（2）for (i=1;i<=n;++i) {++x;s+=x;}（3）for (j=1;j<=n;++j)（4）for (k=1;k<=n;k++){++x;s+=x;}(5) i=1; while(i<=n) i=i*2;执行次数f(n)与n的关系是n=2^f(n)含基本操作“x增1”的语句的频度分别为1,n，n2和log2n常见的时间复杂度，按数量级递增排列依次为：常数阶O(1),对数阶0(Log2n),线性阶O(n)，线性对数阶0(nLog2n)，平方阶O(n2)，立方阶0(n3)，指数阶O(2n)。
通常认为，具有指数阶量级的算法是实际不可计算的，而量级低于平方阶的算法是高效的。