第一章 命题逻辑-最终版

联结词的严格定义和符号化。
注意：复合命题的真值只取决于联结词的定义，各 原子命题的真值，而与原子命题的内容、含义无关， 与原子命题之间是否有关系无关。 理解和掌握这一点是至关重要的。 22
河南工业大学离散数学课程组 一、否定“” 一元运算
符号： 含义：
定义： 例：

设P为命题， 在P的前面加否定词，变为P， 称P是P的否定式。 P读作：“非P”或“P的否定” 。 用真值表表示。
我是一位学生。 他是一位教师。
语句联结词
• • • • • • 并且 或 否定 如果…，则…。 当且仅当 既不…，也不…。 原子命题
我是一位学生和他是一位教师。 复合命题
河南工业大学离散数学课程组 三、命题的表示
命题标识符： 表示命题的符号，就是命题标识符。

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例子
例1-1.1 (1)你要出去吗？ (2)今天天气真好！ (3)把门关上。
非命题
真命题 (4)中华人民共和国的首都是北京。 (5)大于4的偶数均可分解为两个质数的和 真命题 (哥德巴赫猜想)。 (6)所有质数都是奇数。 假命题 (7)雪是黑色的。 假命题
河南工业大学离散数学课程组 判断语句是否为命题要注意的问题：
例：
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第一篇 数理逻辑
主要 研究内容 第一章 命题逻辑
命题的基本概念 命题联结词 命题公式 命题的范式
第二章 谓词逻辑
谓词的基本概念 谓词公式 公式的标准型
第一、二章 推理与证明技术
命题逻辑推理理论 谓词逻辑推理理论 数学归纳法 按定义证明法
第一章 命题逻辑
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为什么要研究数理逻辑？ 程序=算法 + 数据 算法=逻辑 + 控制
它与数学的其它 分支、计算机科 学、人工智能、 语言学等学科均 有密切联系。

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数理逻辑的主要内容

现 代 数 理 逻 辑
数理逻辑内容丰富，但其主要包括“两个演算” 加“四论 ”，即： 逻辑演算。包括命题演算和谓词演算。 证明论。主要研究数学理论系统的相容性（即不矛盾、 协调性）的证明。 递归论（能行性理论）。自从电子计算机发明后，迫切 需要在理论上弄清计算机能计算哪些函数。递归论研究 能行可计算的理论，它为能行可计算的函数找出各种理 论上精确化的严密类比物。 模型论。主要是对各种数学理论系统建立模型，并研究 各模型之间的关系以及模型与系统之间的关系。 公理集合论。主要研究在消除已知集合论悖论的情况下 ，用公理方法把有关集合的理论充分发展下去。

像(1),(2)这样能够唯一确定所表达的判断是正 确的还是错误的陈述句称为命题。
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一、命题的概念 命题： 可以判断真或假的陈述句。
命题一定是陈述句，但并非一切陈述句都是命题。 命题可以是真的，或者是假的，但不能既真又假。 真值： 命题的值叫真值。 真值有两种：“真”或“假”。 真值为真:一个命题所作的判断与客观一致，则称 该命题的真值为真，真命题。 真值为假:一个命题所作的判断与客观不一致，则 称该命题的真值为假，假命题。 真：T (True) 、1； 假：F (False) 、0 命题是具有唯一真值 的陈述句。 二值逻辑：因为命题只有两种取值，所以这样的命 题逻辑称为二值逻辑。 16


目前无法确定真值，但从本质而言，真值存在的语句是命 题。 只要句子本 例： (1) 别的星球上有生物。 身可以分辨 (2) 2046年世界杯在中国举行。 真值因时因地而异的判断性陈述句是命题。 真假的，就 是命题。 例：(3) 2100年的元旦是晴天。 (4) 今天下雨。 含有未确定内容的代词，不能判断真假的语句不是命题。 例： (5) 1+101=110。 当1和101是二进制数，语句为真，为十进制数，语 句为假。 (6) x+y>10。 (7)他很高。 悖论不是命题。语句既为真，同时又包含假的不是命题， 这样的句子称为“悖论”。 例：(8)我正在说慌。
大写的带或不带下标的英文字母，如：A,A3,P 例如：“今天下雨”是一个命题，P是命题标识符。 P：今天下雨。 Q：张三在唱歌。
注意：命题常量有确定真值，命题常量是命题。 命题变元： 可表示任意一个（原子或复合）命题的命题 标识符，就称为命题变元。 注意：命题变元可以表示任意的命题，无确定真值， 命题变元不是命题。 对命题变元作指派(给命题变元一个解释)： 给一个命题变元P 指定一个特定命题或一个真值 “T”或“F” ，从而确定P的 真值，该过程称对P进行指派。 例：若P是命题变元，P：北京是中国的首都。（指派P为命题 北京是中国的首都） 21
公元前四世纪亚里斯多德《工具论》奠定了 逻辑学的理论基础。中国最早的一部逻辑专 著－－《墨经》也创造了一个比较完整的逻 辑体系。
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什么是数理逻辑



字面含义：数学理论的逻辑。 广义理解：用数学方法研究演绎规律的学科。 狭义理解：用数学方法研究数学中演绎规律的学科。 研究对象：推理过程的正确性标准。 更深入的理解：就是采用数学的方法来研究思维形式 的逻辑结构及其规律的一门科学。 所谓数学的方法就是用一套符号(即人工符号语言)的 方法。 1930s-1970s，成为数学的独立分支。
P P T F


P：2是素数。（T） F T P：2不是素数。（F） P：上海是一个大城市。（T） P ：上海不是一个大城市。或：上海是个不大的城市。 （严格讲不建议）。
真值形式可以用图表来说 明。这种表称为真值表。
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一、否定“” 一元运算

P：每一种生物都是动物。（F） P
实际生活：
数理逻辑：
推理形式可以表示为 P Q为真； 符号化为： P表示“甲在河南工业大学上学”； P为真； 则可推出Q为真。 Q表示“甲在郑州上大学”； P Q表示“如果甲在河南工业大 可以抽象地写成 (P Q)∧P Q 学上学，则 甲在郑州上大学”。
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请根据下面事实，找出凶手： 1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5.午夜时屋里灯灭了。 问：谁是凶手？ 秘书谋害了经理。
P和Q是互为独立的， P Q P∧Q Q∧P 地位是相等，P和Q T 的位置可以互换而不 T T T F 会影响P∧Q 的结果。 T F F F F T F F F F F

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合取“∧”对应的日常用语：
“并且”、“既…又…”，“不但(仅)…而且…”，“虽 然…但是…”，“尽管…还… ”， 例 P：今天下雨。 Q：明天下雨。 P∧Q：今天下雨而且明天下雨（或者：今天与明天 都下雨，或者：这两天都下雨）。 ∧可以把毫无内在联系的命题联结为一个新的命题。 注 1： P: 我们去食堂吃饭。Q: 教室里有三块黑板。 P∧Q: 我们去食堂吃饭并且教室里有三块黑板。 注 2： ∧可以把两个互为否定的命题联结为一个新的命题。 例：3=5 ∧ 3≠5
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第一章 命题逻辑 学习要求
重点掌握
一般掌握 了解
1 1、五种基本联 结词（第1-3节） 2、24个基本的 等价公式（第4、5
节）
2 公式的代入规
则和替换规则
（第4节中的部
3 联结词的完 备集的理解 和学习（第6
节）
分内容）
3、求命题范式 的方法（第7节） 4、推理方法（第8
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1-2 联结词


联结词是复合命题的关键组成部分，它是自然语言 中的连词的逻辑抽象。 命题联结词：联结命题与命题的字词。 定义了五个常用的逻辑联结词，分别是：


(1) 否定“” (2) 合取“∧” (3) 析取“∨” (4) 条件“” (5) 双条件“” 为便于区分“或”,课件附加给出第(6)个异或“ ”。
第一篇 数理逻辑 Mathematical Logic

数理：Mathematical，数学理论

逻辑：Logic
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什么是逻辑

逻辑通常指人们思考问题，从某些已知条件出发推 出合理的结论的规律。

逻辑学：一门研究思维形式及思维规律的科学。
逻辑学主要研究对象：推理形式。

节）
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1-1. 命题与命题的真值

本节主要讨论四个问题： 命题的概念:什么是命题？ 命题的真值 原子命题与复合命题 命题的表示
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陈述句：陈述一个事实或一个说 话人的看法，句末用句号。 祈使句：要求或者希望别人做什 么事或者不做什么事时用的句子， 句末用句号或感叹号。 疑问句：提出问题的句子，句末 用问号。 感叹句：带有浓厚感情的句子， 句末用感叹号。 陈述句包括肯定句和否定句两种。 一般来说，仅有陈述句能够确定句 子的意义是真还是假。


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如何判断一个句子是否为真命题？

1、是否为陈述句？ 2、其真值是否唯一？ 3、其真值是否为真。
命题
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二、原子命题与复合命题

原子命题 由简单陈述句表述的命题 称为原子命题。 命题逻辑不再进一步分析 原子命题的内部结构。 例：孔子是圣人。 复合命题 • 由若干个原子命题使用联 结词所组成的新命题。
一、 命题的概念
雪是白的。