高等数学知识点

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高等数学各项基础知识点总结

高等数学知识点总结第一章函数与极限一.函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim （1）l =0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x)=0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。

（2）l ≠0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

（3）l =1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x)~g(x)2.常见的等价无穷小当x →0时sin x ~x ，tan x ~x ，x arcsin ~x ，x arccos ~x，1−cos x ~2/2^x ，x e −1~x ，)1ln(x +~x ，1)1(-+αx ~xα二．求极限的方法1．两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.（夹逼定理）设g (x )≤f (x )≤h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则Ax f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→xx x 公式2e x x x =+→/10)1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次233521211...()2!3!!sin ...(1)()3!5!(21)!n xn n n n x x x e x o x n x x x x x o x n ++=++++++=-+++-++)(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=)()1(...32)1ln(132n n n x o nx x x x x +-++-=++)(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital）法则.∞∞型未定式定理2设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则；（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在．6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式1011lim ()()n n k k f f x dx n n →∞==∑⎰（如果存在）三．函数的间断点的分类)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y =f (x )的间断点。

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点大全一、导数和微分在高等数学中，导数和微分是重要的基本概念。

导数描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们求解函数的最值、刻画曲线形状等问题。

微分则是导数的一种运算形式，表示函数在给定点附近的局部线性逼近。

1. 导数的定义和性质：- 导数定义：函数f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) =lim┬(h→0)⁡〖(f(a+h)-f(a))/h〗。

- 导数的几何意义：导数表示曲线在某一点的切线斜率。

- 导数的性质：求导法则包括常数法则、幂函数法则、指数函数和对数函数法则等。

2. 微分的定义和性质：- 微分的定义：设y=f(x)为定义在区间I上的函数，若存在常数dy 使得Δy=f'(x)Δx+dy，其中Δx是x的增量，则称dy为函数f(x)在区间I 上的微分。

- 微分的性质：微分是线性近似，具有微分的小量运算法则。

3. 一阶导数和高阶导数：- 一阶导数：如果函数f(x)在点x处的导数存在，则称f(x)在该点可导，其导数为一阶导数，记作f'(x)或dy/dx。

- 高阶导数：若函数f(x)的导数f'(x)也存在导数，则称导数f'(x)为函数f(x)的二阶导数，记作f''(x)或d²y/dx²。

二、积分和定积分积分和定积分是数学中的重要工具，可以用来求解曲线下的面积、求解定量累计、求解方程等问题。

它们是导数的逆运算。

1. 定积分的定义和性质：- 定积分的定义：设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，则称函数f(x)在区间[a,b]上的积分为定积分，记作∫_a^b▒f(x)dx。

- 定积分的性质：定积分具有线性性、加法性、估值性等。

2. 积分基本公式和换元积分法：- 积分基本公式：包括常数乘法法则、分步积分法则和换元积分法则等。

- 换元积分法：利用换元积分法可以将一些复杂的积分问题转化为简单的积分形式。

3. 不定积分和定积分的关系：- 不定积分：函数F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则称F(x)为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

高等数学知识点总结pdf

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高等数学知识点总结
一、函数与极限
1. 函数的定义、连续性与间断点
2. 导数与极值
3. 不定积分与定积分
4. 泰勒展开式与幂级数展开
5. 重要的极限定理：夹逼定理、洛必达法则等
二、微分方程
1. 一阶常微分方程与分离变量法
2. 一阶线性微分方程
3. 高阶线性常系数齐次微分方程
4. 高阶线性常系数非齐次微分方程
5. 欧拉方程与特征方程法
三、多元函数与偏导数
1. 多元函数的定义与性质
2. 偏导数与全微分
3. 隐函数与参数方程
4. 多元函数的极值与条件极值
四、重积分与曲线积分
1. 重积分的概念与性质
2. 极坐标系与二重积分
3. 三重积分与球坐标系
4. 曲线积分的概念与性质
5. 向量场的曲线积分和曲面积分
五、无穷级数与傅里叶级数
1. 数列极限与数列的收敛性
2. 数项级数的概念与性质
3. 正项级数的审敛法与一致收敛性
4. 幂级数与傅里叶级数的展开
六、空间解析几何
1. 点、直线与平面的方程
2. 曲线与曲面的方程
3. 空间中的向量运算
4. 空间曲线的切线与法平面
5. 空间曲面的切平面与法线
七、常微分方程
1. 一阶常微分方程的概念与解法
2. 高阶常微分方程的特征方程法
3. 常系数线性齐次微分方程的解法
4. 变系数线性齐次微分方程的解法
这些是高等数学中的一些重要知识点总结，掌握了这些知识，对于解题和理解高等数学的相关概念非常有帮助。

高等数学知识点

高等数学知识点高等数学知识点在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。

哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

高等数学知识点1第一章：函数与极限1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2.会建立简单应用问题中的函数关系式。

3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。

4.掌握基本初等函数的性质及图形。

5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。

6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。

7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。

8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

9.掌握极限性质及四则运算法则。

10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

第二章：导数与微分1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。

3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

第三章：微分中值定理与导数的应用1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。

2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。

3.了解函数图形的作图步骤。

了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。

4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。

第四章：不定积分1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。

2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分3.掌握不定积分的分步积分法。

高等数学高数知识点总结

高数重点总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

高数知识点

高数知识点高数知识点是指高等数学的基本概念、定理和方法，它们具有重要的实践价值，为后续学习提供了重要的基础。

一、函数的概念函数是一类由定义域和值域决定的关系，它是将定义域上的元素映射到值域上的元素，从而形成一种对应关系，即y=f（x）。

其中，x为定义域，y为值域，f（x）为函数式，也就是函数的表达式。

二、方程的概念方程是一种数学表达式，表示不定数及其之间的某种关系。

一般情况下，方程的形式为ax+b=0，其中a和b为常数，x为未知数，表达的意思是“a×未知数+b=0”。

三、微积分的概念微积分是一类数学的基本概念，它可以用来研究连续、可微的函数的变化情况。

它主要包括微分学和积分学两部分，分别研究函数作图时对应点的斜率及函数在一定区间内的积分。

四、空间几何的概念空间几何是一类数学概念，它包括平面几何和立体几何，它研究的是空间中的点、直线、平面和立体的特征和性质，以及它们之间的关系，如直线的斜率、曲线的曲率等。

五、概率论的概念概率论是一类数学的概念，它研究的是随机事件的发生的概率，它的发展主要依赖于实验手段，使人们能够通过观察实验结果来估计某一事件发生的概率。

六、线性代数的概念线性代数是一类数学概念，它是研究线性方程组和线性变换的数学分支，它可以用来解决矩阵的运算、向量的运算等问题，线性代数中还提出了多种矩阵的定义，如正交矩阵、对称矩阵等。

七、复变函数的概念复变函数是一类数学概念，它是研究复数变量的函数的数学分支，它用来研究复数变量x,y,z的变化规律，比如其中的实部函数Re(z)和虚部函数Im(z)，以及复数z的模函数|z|等。

八、极限的概念极限是一类数学概念，它是指数学中的某种特殊的情况，当某个变量的值趋近于某个特定的值时，就称为这个变量的极限。

极限的概念是高等数学中的重要概念，可以用来分析函数在某一点的特性，从而得出函数的性质和特征。

高等数学知识点

第八章空间解析几何与向量代数（一）向量及其线性运算1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、线性运算：加减法、数乘；3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ，则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；5、向量的模、方向角、投影：1）向量的模：222z y x r ++=ρ；2）两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4）方向余弦：rz r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5）投影：ϕcos Pr a a j uρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。

（二）数量积，向量积 1、数量积：θcos b ab a ρρρρ=⋅1）2a a a ρρρ=⋅2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρρ2、向量积：b a c ρρρ⨯=大小：θsin b aρρ，方向：c b a ρρρ,,符合右手规则 1）0ρρρ=⨯a a2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b a z y xzy xb b b a a a k j ib a ρρρρρ=⨯运算律：反交换律 b a a b ρρρρ⨯-=⨯（三）曲面及其方程 1、曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、旋转曲面：（旋转后方程如何写）yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、柱面：（特点）0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面4、二次曲面（会画简图）1）椭圆锥面：22222z by a x =+ 2）椭球面：1222222=++czb y a x 旋转椭球面：1222222=++cz a y a x 3）*单叶双曲面：1222222=-+cz b y a x4）*双叶双曲面：1222222=--czb y a x 5）椭圆抛物面：z by a x =+2222 6）*双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-2222 7）椭圆柱面：12222=+b ya x 8）双曲柱面：12222=-b y a x 9）抛物柱面：ay x =2（四）空间曲线及其方程1、一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos3、空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x H（五）平面及其方程（法向量） 1、点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、一般式方程：0=+++D Cz By Ax （某个系数为零时的特点）截距式方程：1=++czb y a x3、两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ，222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21//212121C C B B A A ==4、点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（六）空间直线及其方程（方向向量）1、一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、对称式（点向式）方程：pz z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=pt z z nty y mt x x 0004、两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥LpC n B m A ==第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。

大学高等数学知识点

微分的应用：微分在近似计算、误差估计、求极值等方面有广泛应用。
导数与微分的关系：导数是函数在某一点的切线的斜率，而微分是在这一点附近对函数进行线性近似。
04
积分学
定积分的概念与性质
概念：定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限几何意义：定积分的值是曲线下方和x轴之间的面积
性质：定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差
类型：一阶、二阶和高阶差分方程
解法：递推法、迭代法和数学归纳法等
应用：在经济学、生物学、物理学等领域有广泛应用
07
无穷级数
无穷级数的概念与性质
概念：无穷级数是无穷多个数相加的结果，可以用来表示函数、数列等数学对象。
性质：无穷级数具有收敛性、可加性、可乘性和可微性等性质，这些性质在数学分析中有着广泛的应用。
计算方法：将三重积分拆分为三个方向的二重积分，再逐个计算
几何意义：表示三维空间中某种量的分布情况
应用领域：物理学、工程学、经济学等
06
微分方程与差分方程
常微分方程的基本概念
定义：常微分方程是描述一个或多个未知函数及其
导数之间关系的方程。
类型：根据未知函数的个数，常微分方程可以分为一阶、二阶和高阶方程。
函数的极限：函数在某点的极限表示当自变量趋近于该点时，函数值的趋近
值。
函数的连续性：函数在某点的连续性表示函数在该
点附近的变化趋势。
极限的概念与性质
极限的定义：描述函数在某一点处的变化趋势极限的性质：包括唯一性、有界性、局部保号性等极限的运算：包括四则运算法则、等价无穷小替换等极限的应用：在导数、积分等领域有广泛应用

高等数学知识点大全

高等数学知识点大全高考高等数学知识点篇一极限1、知识范围(1)数列极限的概念数列、数列极限的定义(2)数列极限的性质性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理(3)函数极限的概念函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义(4)函数极限的性质性、四则运算法则、夹通定理(5)无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶(6)两个重要极限2、要求(1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

(2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

(3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。

会运用等价无穷小量代换求极限。

篇二高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。

主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。

这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。

第三，数列及其应用。

这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。

第四，不等式。

主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五，概率和统计。

这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。

第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。

第七，解析几何。

是高考的难点，运算量大，一般含参数。

高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。

针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。

以不变应万变。

对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学知识点总结1一、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)8. 降幂法二、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3.参考不定积分计算方法三、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小四、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >=()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀 p="" 兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为m，最小值为m则m(b-a)<= <=m(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法五、变限积分的导数方法高等数学知识点总结2a.function函数(1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等)(2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数)(3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质)(4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质)(5)复合函数，反函数(6)参数函数，极坐标函数，分段函数(7)函数图像平移和变换b.limit and continuity极限和连续(1)极限的定义和左右极限(2)极限的运算法则和有理函数求极限(3)两个重要的极限(4)极限的应用-求渐近线(5)连续的定义(6)三类不连续点(移点、跳点和无穷点)(7)最值定理、介值定理和零值定理c.derivative导数(1)导数的定义、几何意义和单侧导数(2)极限、连续和可导的关系(3)导数的求导法则(共21个)(4)复合函数求导(5)高阶导数(6)隐函数求导数和高阶导数(7)反函数求导数(8)参数函数求导数和极坐标求导数d.application of derivative导数的应用(1)微分中值定理(d-mvt)(2)几何应用-切线和法线和相对变化率(3)物理应用-求速度和加速度(一维和二维运动)(4)求极值、最值，函数的增减性和凹凸性(5)洛比达法则求极限(6)微分和线性估计，四种估计求近似值(7)欧拉法则求近似值e.indefinite integral不定积分(1)不定积分和导数的关系(2)不定积分的公式(18个)(3)u换元法求不定积分(4)分部积分法求不定积分(5)待定系数法求不定积分f.definite integral 定积分(1)riemann sum(左、右、中和梯形)和定积分的定义和几何意义(2)牛顿-莱布尼茨公式和定积分的.性质(3)accumulation function求导数(4)反常函数求积分h.application of integral定积分的应用(1)积分中值定理(i-mvt)(2)定积分求面积、极坐标求面积(3)定积分求体积，横截面体积(4)求弧长(5)定积分的物理应用i.differential equation微分方程(1)可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程(2)斜率场j.infinite series无穷级数(1)无穷级数的定义和数列的级数(2)三个审敛法-比值、积分、比较审敛法(3)四种级数-调和级数、几何级数、p级数和交错级数(4)函数的级数-幂级数(收敛半径)、泰勒级数和麦克劳林级数(5)级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差注意：(1)问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。

高数知识点总结

高数知识点总结高等数学是大学必修课程，也是各个理工科专业的基础课程。

在学习高等数学的过程中，我们需要掌握和理解一些重要的知识点。

下面将对一些常见的高数知识点进行总结。

一. 极限与连续1. 极限的定义和性质：极限是函数在某点逼近的结果，可以通过函数的左右极限来判断。

常用的极限性质有极限的唯一性、四则运算法则、夹逼准则等。

2. 连续与不连续：连续是指函数在某点和周围的点都存在极限并且这些极限相等。

常见的不连续点有可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。

二. 导数与微分1. 导数的定义和性质：导数是函数在某点处的变化率，可以描述函数曲线的陡峭程度。

导数的性质包括可导的充分必要条件、导数与函数连续的关系、导数的四则运算法则等。

2. 微分与高阶导数：微分是导数的一种表示形式，通过微分可以求得函数值的近似值。

高阶导数表示导数的导数，可以描述更加复杂的曲线变化。

三. 积分与定积分1. 不定积分和定积分的定义：不定积分是求导的逆运算，可以得到函数的原函数。

定积分是求函数在一定区间上的累积值，可以计算曲线下的面积或弧长。

2. 积分的性质和计算方法：积分的性质包括线性性质、区间可加性等。

计算积分可以通过换元法、分部积分法、定积分的几何应用等方法。

四. 一元函数的应用1. 函数的最值和极值点：函数的最值是函数在定义域上的最大值和最小值，极值点是函数的导数等于零或不存在的点。

通过求函数的导数可以找到函数的极值点。

2. 函数的图像与曲线的特性：函数的图像可以通过绘制函数的曲线来了解其性质。

常见的曲线特性有单调性、凹凸性、拐点等。

五. 多元函数的极限、偏导数与全微分1. 多元函数的极限：多元函数的极限是指在多元空间中某点的邻域内，函数值无限接近于某个值。

可以通过多元极限的定义和性质进行计算和推导。

2. 偏导数和全导数：偏导数是多元函数对于某个自变量的导数，全导数是多元函数所有自变量的偏导数的集合。

可以通过偏导数和全导数来分析多元函数的性质和曲线变化。

高等数学上重要知识点归纳

高等数学上重要知识点归纳第一章函数、极限与连续一、极限的定义与性质 1、定义以数列为例,,0lim N a x n n ∃>∀⇔=∞→ε当N n >时,ε<-||a x n2、性质1 )()()(lim 0x A x f A x f xx α+=⇔=→,其中)(x α为某一个无穷小; 2保号性若0)(lim 0>=→A x f xx ,则,0>∃δ当),(0δx U x o∈时,0)(>x f ; 3无穷小乘以有界函数仍为无穷小; 二、求极限的主要方法与工具 1、两个重要极限公式 11sin lim=∆∆→∆ 2e =◊+◊∞→◊)11(lim 2、两个准则 1 夹逼准则 2单调有界准则 3、等价无穷小替换法常用替换：当0→∆时（1)∆∆~sin 2∆∆~tan 3∆∆~arcsin 4∆∆~arctan （5）∆∆+~)1ln( 6∆-∆~1e （7）221~cos 1∆∆- 8nn ∆-∆+~11 4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义三、无穷小阶的比较高阶、同阶、等价四、连续与间断点的分类 1、连续的定义)(x f 在a 点连续2、间断点的分类⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧其他震荡型（来回波动））无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在）第一类 3、曲线的渐近线五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理第二章导数与微分一、导数的概念 1、导数的定义 2、左右导数左导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='--→→∆-)()(limlim)(0 右导数ax a f x f x y a f a x x --=∆∆='++→→∆+)()(limlim)(0 3、导数的几何意义 4、导数的物理意义5、可导与连续的关系: 连续，反之不然。

高等数学知识点(全)

2、不定积分：在区间 I 上，函数 f (x) 的带有任意常数的原函数
称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分。
3、基本积分表（P188，13 个公式）；
4、性质（线性性）。
（二）换元积分法 1、第一类换元法（凑微分）：
f [(x)](x)dx f (u)du u(x)
（五）不等式证明
1、利用微分中值定理；
2、利用函数单调性；
3、利用极值（最值）。
（六）方程根的讨论
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阿樊教育 1、连续函数的介值定理；
永不改变年轻时的梦想
2、 Rolle 定理；
3、函数的单调性；
4、极值、最值；
5、凹凸性。
（七）渐近线
1、铅直渐近线： lim f (x) ，则 x a 为一条铅直渐近线； xa
（二）微分
1）定义：y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x) ，其中 A 与 x 无关。
2）可微与可导的关系：可微可导，且
dy f (x0 )x f (x0 )dx
第三章微分中值定理与导数的应用（一）中值定理
1、 Rolle 定理：若函数 f (x) 满足： 1 ） f (x) C[a,b] ； 2 ） f (x) D(a,b) ； 3 ）
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ， 2
则称 f (x) 在区间 I 上的图形是凹的；若
x1, x2 I ,
f ( x1 x2 ) 2
f (x1) f (x2 ) ，则称 f (x) 在区间 2
I

高数总结知识点

高数总结知识点一、函数与极限函数的概念、性质及其图像。

函数的极限定义、性质及其运算。

无穷小与无穷大的概念及关系。

极限存在准则（夹逼准则、单调有界准则等）。

二、导数与微分导数的定义、性质及几何意义。

导数的计算（包括基本初等函数的导数、复合函数求导法则、隐函数求导、参数方程求导等）。

高阶导数的概念及计算。

微分的定义、性质及运算。

三、微分中值定理与导数的应用微分中值定理（罗尔定理、拉格朗日中值定理、泰勒定理等）。

洛必达法则及其应用。

函数的单调性、极值、最值及凹凸性的判定。

曲线的渐近线、拐点及图形的描绘。

四、不定积分与定积分不定积分的概念、性质及基本积分公式。

不定积分的计算（包括凑微分法、换元积分法、分部积分法等）。

定积分的概念、性质及计算。

定积分的应用（如面积、体积、弧长、功、平均值等的计算）。

五、向量代数与空间解析几何向量的概念、性质及运算。

空间直角坐标系及点的坐标表示。

向量的坐标表示及运算。

平面与直线的方程及其位置关系。

六、多元函数微分学多元函数的概念、性质及极限与连续。

偏导数的定义、计算及几何意义。

全微分的概念及计算。

多元函数的极值与最值问题。

七、多元函数积分学二重积分的概念、性质及计算。

三重积分的概念及计算。

曲线积分与曲面积分的概念及计算。

八、无穷级数常数项级数的概念、性质及收敛判别法。

函数项级数的概念及一致收敛性。

幂级数的概念、性质及运算。

傅里叶级数及其应用。

九、微分方程微分方程的概念及分类。

一阶微分方程的解法（分离变量法、凑微分法等）。

高阶微分方程的解法（降阶法、幂级数解法等）。

微分方程的应用（如物理、化学、生物等领域中的实际问题）。

以上只是高等数学的一些主要知识点，实际上高等数学的内容非常丰富且深入，需要学习者不断地探索和实践。

高等数学知识点汇总

一.函数的概念1．用变上、下限积分表示的函数（1）()dt t f y x∫=0，其中()t f 连续，则()x f dxdy=（2）()()()dt t f y x x∫=21ϕϕ，其中()x 1ϕ，()x 2ϕ可导，()t f 连续，则()[]()()[]()x x f x x f dxdy1122ϕϕϕϕ′−′=2．两个无穷小的比较设()0lim =x f ，()0lim =x g ，且()()l x g x f =lim （1）0=l ，称()x f 是比()x g 高阶的无穷小，记以()()[]x g x f 0=，称()x g 是比()x f 低阶的无穷小。

（2）0≠l ，称()x f 与()x g 是同阶无穷小。

（3）1=l ，称()x f 与()x g 是等价无穷小，记以()()x g x f ~ 3．常见的等价无穷小当0→x 时x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，xx ~arctan 221~cos 1x x −，x e x ~1−，()x x ~1ln +，()xx αα~11 −+二．求极限的方法1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则2．两个准则准则1．单调有界数列极限一定存在（1）若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且m A ≥（2）若n n x x ≥+1（n 为正整数）又M x n ≤（n 为正整数），则A x n n =∞→lim 存在，且MA ≤准则2．（夹逼定理）设()()()x h x f x g ≤≤若()A x g =lim ，()A x h =lim ，则()A x f =lim 3．两个重要公式公式1．1sin lim0=→xxx 公式2．e n nn =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；e u uu =⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim ；()ev vv =+→101lim 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 5．用泰勒公式当0→x 时，()n nxx n x x x e 0!!212+++++=Λ()()()1212530!121!5!3sin ++++−+++−=n n nx n x x x x x Λ()()()nnn x n xx x x 22420!21!4!21cos +−+−+−=Λ()()()n nn x n x x x x x 01321ln 132+−+−+−=++Λ()()1212153012153arctan +++++−+−+−=n n n x n xx x x x Λ()()()()[]()n n x x n n x x x 0!11!21112+−−−++−++=+αααααααΛΛ 6．洛必达法则法则1．（型）设（1）()0lim =x f ，()0lim =x g （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim （或∞）则()()A x g x f =lim（或∞）（注：如果()()x g x f ′′lim不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()()x g x f lim不存在且不是无穷大量情形）法则2．（∞∞型）设（1）()∞=x f lim ，()∞=x g lim （2）x 变化过程中，()x f ′，()x g ′皆存在（3）()()A x g x f =′′lim （或∞）则()()A x g x f =lim（或∞）7．利用导数定义求极限基本公式：()()()0000limx f xx f x x f x ′=∆−∆+→∆ [如果存在]8．利用定积分定义求极限基本公式()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011lim dx x f n k f n n k n [如果存在]三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数()x f y =的间断点。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结1. 极限与连续性- 极限的定义与性质- 无穷小与无穷大- 极限的运算法则- 连续函数的定义与性质- 闭区间上连续函数的定理（确界存在定理、中值定理、罗尔定理等）2. 导数与微分- 导数的定义与几何意义- 导数的计算方法（基本导数公式、链式法则、乘积法则、商法则、隐函数求导等）- 高阶导数- 微分的定义与应用- 泰勒级数与麦克劳林级数3. 积分学- 不定积分的概念与性质- 基本积分表与积分技巧（换元法、分部积分法等）- 定积分的定义与性质- 定积分的应用（面积、体积、弧长、工作量等）- 微积分基本定理- 积分技巧（特殊技巧、积分表的使用等）4. 多元函数微分学- 多元函数的偏导数与全微分- 多元函数的极值问题与拉格朗日乘数法- 梯度、方向导数与切平面- 多重积分的概念与计算（二重积分、三重积分）5. 向量代数与空间解析几何- 向量的运算与性质- 点、直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程6. 级数- 级数的基本概念（数项级数、幂级数、函数项级数）- 收敛性判断（柯西准则、比较判别法、比值判别法、根值判别法等）- 幂级数的收敛半径与收敛区间- 傅里叶级数7. 常微分方程- 微分方程的基本概念- 可分离变量的微分方程- 一阶线性微分方程- 二阶常系数线性微分方程- 特殊类型的微分方程（贝塞尔方程、勒让德方程等）8. 复变函数- 复数的基本概念与运算- 解析函数的概念与性质- 复变函数的积分与柯西积分定理- 留数定理与应用9. 泛函分析初步- 赋范线性空间与内积空间- 线性算子与线性泛函- 正交性与谱理论初步10. 概率论与数理统计- 随机事件与概率的定义- 随机变量与分布函数- 多维随机变量及其分布- 大数定律与中心极限定理- 统计量的分布与假设检验以上是高等数学的主要知识点概要。

每个部分都需要深入学习并通过大量的练习来掌握。

这些知识点构成了高等数学的基础，对于理解和应用更高级的数学概念至关重要。

高等数学知识点总结

高等数学知识点总结高等数学是大学教育中的重要一门课程，其内容涵盖了微积分、线性代数、数学分析等多个方面。

本文将从绪论、微积分、线性代数和数学分析四个方面进行总结，并列举相关题目进行分析和解答。

一、绪论1. 集合论：集合的概念、包含关系、交集、并集、补集等基本运算。

2. 映射与函数：函数的概念、映射的性质、复合函数、反函数、一一映射等基本概念。

3. 极限与连续：数列极限、函数极限、无穷小与无穷大、连续函数等概念。

4. 导数与微分：导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数及参数方程的导数等。

二、微积分1. 反函数与隐函数：反函数定义、隐函数的导数、求反函数的导数等。

题目：已知函数$f(x)=e^{2x}+x\sin{(\frac{\pi}{2}+x)}$，求其反函数$f^{-1}(x)$的导数表达式。

2. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。

题目：判断函数$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x^2-4x$在闭区间[-2,2]上是否满足罗尔中值定理，并给出证明。

3. 泰勒公式与应用：泰勒展开、泰勒公式、常用泰勒公式推导等。

题目：设$f(x)=\ln{(1+\frac{x}{a})}$，求其在$x=0$处的Talor展开式，并写出其带有佩亚诺余项的n阶展开式。

三、线性代数1. 行列式与矩阵：行列式的定义、行列式运算、矩阵的基本运算、逆矩阵、伴随矩阵等。

题目：已知矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，求其逆矩阵$A^{-1}$并验证。

2. 线性方程组与矩阵：线性方程组的解、矩阵运算、矩阵的秩、可逆矩阵、特征值与特征向量等。

题目：已知线性方程组$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$，求其解。