人教版新课标高中数学精品系列课件选修2-1 3.2立体几何中的向量方法(四课时全)

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人教新课标版数学高二选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(三)

3.已知在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值是( )
2
3
2
1
A.3
B. 3
C. 3
D.3
解析答案
1 2345
4.正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A－BD－C的正弦值为_______.
解析答案
1 2345
5.在矩形 ABCD 中，AB＝1，BC＝ 2，PA⊥平面 ABCD，PA＝1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是________.
与平面 α 所成的角为 θ，则
π2－〈a，n〉，当〈a，n〉∈[0，π2]，
θ＝〈a，n〉－π，当〈a，n〉∈π，π].
答案
(3)二面角的求法： ①转化为分别在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的方向向量的夹角(注意：要特别关注两个向量的方向). 如图所示，二面角 α－l－β 的大小为 θ，A，B∈l，AC⊂α，BD⊂β， AC⊥l 于 A，BD⊥l 与 B，则 θ＝〈A→C，B→D〉＝〈C→A，D→B〉. ②先求出二面角一个面内一点到另一面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角. 如图所示，已知二面角α－l－β，在α内取一点P，过P作PO⊥β， PA⊥l ，垂足分别为 O ， A ，连接 AO ，则 AO⊥l 成立，所以 ∠PAO就是二面角的平面角.
解析答案
课堂小结
(1)利用法向量求直线 AB 与平面 α 所成的角 θ 的步骤：第一步，求平面 α 的法向量 n；第二步，利用公式 sin θ＝|cos〈―A→B ，n〉|＝||―A―A→→BB|··|nn||，注意直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]. (2)利用法向量求二面角的余弦值的步骤：第一步，求两平面的法向量；第二步，求两法向量的夹角的余弦值；第三步，由图判断所求的二面角是锐角、直角，还是钝角，从而下结论.在用法向量求二面角的大小时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.

高中数学人教A选修2-1 3-2 立体几何中的向量方法课件(16张)

A
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习1: SA 平面ABCD，DAB ABC 90， SA AB BC a，AD 2a , 求A到平面SCD的距离。 z
S A B x C D y
练2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
一、求点到平面的距离如何利用空间向量求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
如图 A , 空间一点 P 到平面的距离为 d,已知平面的
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
解：如图建立坐标系 C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). z CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2 x 2 y 4 z 0 n AB 0
y
二、求异面直线的距离
M
a
A
n
d
AB n n

N
B
b
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为

人教版高中数学选修(2-1)-3.2《立体几何中的向量方法(第4课时)》教学课件

解如图，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建系，则P(0，0，1)，B(3， 0，0)，D(0，4，0)，
∴P→B＝(3，0，－1)，B→D＝(－3，4，0)， ∴P→B|B· →DB→| D＝－59，
P 到 BD 的距离 d＝
|P→B|2－|PB―→·→BD―→|2
|BD| ＝ 10－（－59）2＝153. ∵P 到 BD 的距离为153.
(0， 3， 3)，
由nn⊥ ⊥BB→→MC，，得nn··BB→→MC＝＝00，，即x＋3y＋3y＝3z0＝，0，
令 x＝ 3，则平面 BMC 的一个法向量为 n＝( 3，－1，1) 10 分
又B→A＝(0，0，2 3)，则所求距离 d＝|B→A|n·| n|＝2 515.
d＝
|C→C1|2－|C→C1·A1C→―→|2＝
1－13＝
6 3.
|A1C|
规律方法利用向量求点线距时，不用找到点在直线上的垂足，直接按向量法的求解步骤来求就行，同时线上的点可以任意取，但一般选择特殊点，同时直线的方向向量也可以任意取．
【变式2】如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3， AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离．
名师点睛
点到平面距离的求法如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距离就是线段 BO 的长度．若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA
中，|B→O|＝|B→A|·cos∠ABO＝ |B→A|·|B→O|B|→·Oc| os∠ABO.如果令平面 α 的法向量为 n，考虑到法向量的方向，可以得到 B 点到平面 α 的距离为|B→O|＝|A→B|n·| n|.
3.2立体几何中的向量方法（四）

人教版高中数学选修2-1：3.2《立体几何中的向量方法》课件(精品)

于是 v 同时是、的一个法向量
∥.
2020/7/25
例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方
形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的
中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG.
证：如图所示, 建立 Z
空间直角坐标系. A(6,0,0), 的方程
组
n
a
0
n b 0
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
2020/7/25
练习如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=1 ,E是PC
的中点，求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
2020/7/25
2、平面的法向量
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
a AP 0
P
A
2020/7/25
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
2020/7/25
3.2.2 立体几何中的向量方法 ——平行关系
2020/7/25
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
一. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
2020/7/25
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
Z
解1 立体几何法
P
E

新人教A版(选修2-1)3.2《立体几何中的向量方法》(第1课时)ppt课件

→1， 1.如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，试判断向量AA →1，CC →1，DD → 1，A → → → → BB 1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有吗？它们的共同特点是什么？
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法向量之间又有什么关系？
•
已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： • (1)FC1∥平面ADE； • (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• • • •
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点．解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关系判定线面、面面平行．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝＝ k .∴k＝4. －2 －4
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为 (x ，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ ＝＝， x y 8 ∴x＝－14，y＝6.
• 3．2 立体几何中的向量方法
• 第1课时空间向量与平行关系

高中数学选修2-1精品课件1：3.2立体几何中的向量方法(二)

∴M→N∥平面 A1BD，又 MN⊄平面 A1BD，即 MN∥平面
A1BD.
[点评] (1)证明直线 l1∥l2 时，分别取 l1、l2 的一个方向向量 a、b，则 a∥b⇔存在实数 k，使 a＝kb 或利用
其坐标ab11＝ab22＝ab33(其中 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
∴A→1D＝(－1,0，－1)，A→1B＝(0,1，－1)， D→1B1＝(1,1,0)，D→1C＝(0,1，－1)，设平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝(x，y，z)，
则n1·A→1D＝0 n1·A→1B＝0
－x－z＝0 ⇒y－z＝0 .
令 z＝1，得 x＝－1，y＝1.
∴平面 A1BD 的一个法向量为 n1＝(－1,1,1)．设平面 CD1B1 的一个法向量为 n2＝(x，y，z)，
[证明] B→1F＝B→1C1＋C→1F，E→D＝E→A＋A→D， ∵B→1C1＝A→D，C→1F＝E→A， ∴B→1F＝E→D，由条件知，B1F 与 ED 显然不共线． ∴B1F//ED， ∴四边形 B1EDF 是平行四边形．
跟踪练习 1 正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，点 M、N 分别是棱
∴N→M∥D→B，显然 MN 与 DB 不共线，∴MN∥DB.
[例 2] 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、
N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
[证明] 证法一：如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 M0，1，12，
第三章空间向量与立体几何
§3.2.2 向量法解决空间中的平行关系

高中数学人教版选修2-1教学课件：3.2.2立体几何中的向量方法(二)

思考题.如图,PA⊥平面 ABC,
AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
y
x
1详细答案
思考题
练习: 1. 已知 AB (2, 2,1), AC (4,5, 3), 求平面 ABC 的单位法向量. 解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z ) 则 n AB ， n AC . y 2 x ( x, y, z ) (2, 2,1) 0 2 x 2 y z 0 ∴ ① ∴ 即 z 2x ( x, y, z ) (4,5, 3) 0 4 x 5 y 3z 0
立体几何中的向量方法(二)
立体几何中的向量方法(二)
立体几何要解决的主要问题是空间图形的形状、大小及其位置关系.其中点到直线、点到平面之间的距离问题以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的夹角问题是立体几何研究的重要问题. 上一节 , 我们认识了直线的方向向量及平面的法向量的概念 , 发现可以利用这两个向量的运算(特别是数量积) 解决点、直线、平面之间的平行、垂直、夹角等问题.
( x , y , z ) ( 2,0,0) 0 ∴ 令 y 1, n (0, 1, 1) y z 1,1) 0 ( x, y, z) (0,
刚才的思考具有一般性 , 当解空间图形问题几何法难进行时,可以尝试运用空间向量(或坐标)来处理(三步曲):
1 ∵ x y z 1 ②∴由①②得 x 3 1 2 2 1 2 2 ，））. ∴平面 ABC 的单位法向量为 ( ，或 ( ，， 3 3 3 3 3 3
2 2 2
思考题.如图,PA⊥平面 ABC,AC⊥BC,PA=AC=1,

高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.2《立体几何中的向量方法(二)》课件

置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义. （回到图形）
9
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以
顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角
都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的
长与棱长有什么关系？解:如图1,不妨设
引入
知识要点
练习巩固
思考1
例1的思考
1
2
方法小结
3
练习巩固
4
1详细答案
思考题
5
6
1答案
方法小结
7
8
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位
化为向量问题依据向量的加法法则，进行向量运算
D1
A1 D 图1
C1
B1
C
A
B
回到图形问题所以这个晶体的对角线的长是棱长的
课外思考(1)(2)(3)
倍。
10
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
解：
A1 B1
H A D C D1 C1
B
∴ 所求的距离是
如何用向量法求点到平面的距离?
12
如何用向量法求点到平面的距离?
z
G
x
F
D
C

(人教)高中数学选修2-1【精品课件】3-2立体几何中的向量方法1

3.2立体几何中的向量方法第一课时空间向量与平行、垂直关系KEQIAN YUXI DAOXUEKETANG HEZUO TANJIU预习引导学习目标重点难点1•方向向量与法向量(1)空间中任意一条直线I的位置可以由____________ 以及 __________ 确定，如图A是直线/上一点，向量a表示直线/的___ .(2)直线/丄a,取直线I的方向向量a,则向量a叫做平面a的_____...... 交流1对于一条确定的直线和一个确定的平面，它的方向向量及法向量有几个？课前预习导学课堂合作探究2•空间平行关系的向量表示⑴线线平行:设直线l,m的方向向量分别为a,b,则1 // mu <=> .(2跡平行:设直线I的方向向量为a,平面a的法向量为“，则Zc a 或I // ao o ______ .(3)面丽行:设平面的法向量分别为“”则3•空间垂直关系的向量表示(1)线线垂直:设直线l,m的方向向量分别为则I _L m^=>a _L b u> .(2)线面垂直:设直线I的方向向量为平面a的法向量为"，则/丄(3)面面垂直:若平面a的法向量为平面卩的法向量为儿则a丄卩o课前预习导学课堂合作探究.......... 交流2(1)已知直线I的方向向量”=(2厂1,3),平面a的法向量v=(-6,3,-9), 则/与a的位置关系是__________ .(2)若两个不同平面％卩的法向量分别是u=(l,2,・3),y=(2，-4,・2)，则两个平面的位置关系是问题导学当堂检测一、利用方向向量和法向量判定线面的位置关系=3活动与探究问题1：如何认识直线的方向向量?问题导学当堂检测问题2：如何理解平面的法向量?问题3：如何认识直线的方向向量和平面的法向量的作用?问题导学当堂检测问题4：利用直线的方向向量和平面的法向量判定线面位置关系的方法是什么？问题5：求平面法向量的方法是什么?问题导学当堂检测______ 例1(1)设a,b分别是不重合的直线/i,/2的方向向量,根据下列条件判断人和仏的位置关系：①“(2,3,-1), “(-6,-9,3);②“=(5,0,2)上=(0,4,0);③“=(-2,1,4),"(6,3,3).(2)设u,v分别是不同的平面a,{3的法向量，根据下列条件判断a,p 的位置关系：②“=(0,3,0),心(0,-5,0);问题导学当堂检测③“=(2,-3,4),心(4,-2,1).（3）设u是平面a的法向量皿是直线I的方向向量，根据下列条件判断a和/的位置关系：①”=（2,2,・1）,“=（・3,4,2）;②”=（0,2厂3）,“=（0厂&12）;③%=（4丄5）皿=（2,丄0）・解:⑴①••力=(2,3厂1)0=(・6,-9,3), ••“ 二・:a//b. ：1{ //12.②S(5Q2)0=(O,4,O)，••“ • b=0・•乙丄力•£丄仏・③・・"(-2 丄4)0=(6,3,3), ••“与b不共线，也不垂直.问题导学当堂检测/11与12相交或异面.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU(2)①••"(1,丄2)严(3,2,母•u• v=3-2-l =0.••“ 丄v・「a 丄卩.②•力=(0,3,0),心(0厂5,0), •3•U = --V.5:u H v. ：d p.③-.w=(2,-3,4),v=(4,-2,l), •S与V不共线，也不垂直.问题导学当堂检测•5与p相交但不垂直.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测S3迁移与应用1・若直线I的方向向量为“=(1,0,2)，平面a的法向量为氏=(-2,0,-4)，则().A.l// a Bl 丄aC.lc a DI与a斜交课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测2.已知平面ot和卩的法向量分别是(-1,3,4)和(x,1,-2),若a丄卩，求x 的值.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测3•如图，已知点A(a,O,O),B(O,b,O),C(O,O,c),求平面ABC的一个法向量.问题导学当堂检测------------- 名師❽障----------------若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：(1)设出平面的法向量为n=(x,y,z).(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量° =(如0“1)上=@202(2)・(3)根据法向量的定义建立关于的方程组匸::二常(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量•由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向问题导学当堂检测量.问题导学当堂检测二、利用向量证明平行关系詡舌动与探究问题1:空间中有几种平行关系?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测③根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可.(3)面面平行①由面面平行的判定定理证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE②若能求岀平面的法向量”,儿则要证明CL// p,只需证明u//v.课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测课堂合作探究当堂检测问题2：用向量法证明平行关系的方法步骤是什么?课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE(4)利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现:一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系;二是通过建立空间直角坐标系,借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU当堂检测---------- 列2已知正方体ABCD-A1BCD1的棱长为2,E,F分别是BBi,DD］的中点，求证：(1)F C 1〃平面ADE\(2)平面ADE〃平面B{C X F.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测（1）设兀1=（兀1,刃忆1）是平面ADE的法向量，则W1±DA,W1丄旋，即]ni2?A = 2X1 = 0,（阳• AE = 2yi + Z] = 0, （X] = 0，，，得n 令zi=2,则yi=-l,（zi = -2y「所以切=（0,丄2）.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测因为戸珥•切=2+2=0,所以瓦；丄补又因为FC&平面ADE,所以FCi〃平面ADE.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测⑵因为GW=(2,0,0),设〃2 =(兀2丿2忆2)是平面BGF的一个法向量.由“2丄FC19n2 ^（n2• FC r = 2y2 + z2 = 0.得f 兀2 =I n2• C1B1=2X2 = 0, "2 = -2y2«令Z2=2得歹2=丄所以兀2=（0,丄2）・因为Hi=n2,所以平面ADE〃平面B X C X F.吧迁移与应用1 •在长方体ABCD-AiBiCQi 中,AB=4,AD=3,AA]=2,P,Q,R,S 分别是AA],D]C],AB,CCi 的中点•证明:PQ//RS.当堂检测2•已知正方体ABCD-AECD.求证:平面ABD〃平面BDC.令刃=1,可得平面AB'D'的一个法向量为“1=(-1,1,-1).设平面BDC 的法向量为兀2=(兀2丿2忆2)・因为 DB=(1JMDC=(OJ,1), n 2 丄 DB.令力=1,可得平面BDC 的一个法向量为兀2=（丄 1 1 ）・••阮 1 力2,:n 1 〃 “2, •••平面 4B Q ‘〃平面n 2 • DB =兀2 + y2 = °，n 2 • DC' = y 2 + z 2 = 0.所以BDC.------------- 名師尊障----------------1 •用空间向量证明线面平行通常有两种方法:一是利用法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;二是利用共面向量定理•若/的方向向量是"，平面a内两个不共线向量是门和巾,则＜〃ao存在实数g 使W=ZV]+|1V2-2 •证明直线与平面平行时,还应说明直线不在平面内.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU三、利用向量证明垂直关系S3活动与探究问题1:空间中的垂直关系有哪些?当堂检测课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU 问题导学当堂检测(3)面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU问题导学当堂检测②证明两个平面的法向量互相垂直.问题2：用向量法证明垂直关系的方法步骤是什么?课前预习导学课堂合作探究KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU问题导学当堂检测(2)用向量法证明线面垂直的方法与步骤:r①设岀基向量，用基向量表示直线所在的向量②找岀平面内两条相交的向量并分别用基向量表示③分别计算直线的方向向量与平面内两相交向量的数量积①建立空间直角坐标系②将直线的方向向量用坐标表示③求平面的法向量I④说明平面的法向量与直线的方向向量平行(3)用向量法证明面面垂直通常可以有两种方法:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直.------- H列3如图，在正方体ABCD-A]B]C]D1中,E,F分别是B】B,DC 的中点，求证:AE丄平面AQF证明:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为1, 则A(l,O,O),E(l,l,)A](l,O,l),Di(O,O,l),F(O,.O),•*AE =(0,1,)石殆(-1,0,0)谅=法一:设平面A\D{F的法向量为n=(x,y,z). 则)n• A1D1=O,n • D]F=O,(-x = 0，即h 解得x=0,y=2z・(严=0,课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE 问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU令Z=l,则n=（0,2,l）.又近=（0,l,|）,.w=2AE.••n〃近,即XI丄平面A X D X F.因此，AE丄平面AiDiF.法二:由于旋• AX =（0,1,|）• （-1,0,0）=0,•'AE 丄AQi・又旋•而=（0,1勻•（0,芥1）=0, ••AE丄皿••AiDiGDiF=Di,.・AE丄平面AQFEii 移与应用1 •在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为DD ］的中点,O 为底面ABCD 的中心，求证:BQ 丄平面PAC.当堂检测当堂检测2•在四面体ABCD中,AB丄平面BCD,BC=CD,ZBCD=90°,ZADB=30°,E,F 分别是AC,AD 的中点, 求证:平面BEF丄平面ABC.课前预习导学KEQIAN YUXI DAOXUE设平面BEF 的法向量〃=（x,y ，z ）,由 n •丽=0,即g,z) •(0,ya,|)=0, 有yay+|z=0=> z=-V3y ・取 y=l,得 n=(l,l<V3).•S 丄而.•••平面BEF 丄平面ABC.问题导学当堂检测课堂合作探究KETANG HEZUOTANJIU\h • CD=(l 9l r V3) •KEQIAN YUXI DAOXUE KETANG HEZUO TANJIU当堂检测-------------- 名師尊障 ---------------1.用空间向量证明线面垂直的方法：建立空间坐标系,用坐标表示直线的方向向量并求平面的法向量, 说明平面的法向量与直线的方向向量平行;或者说明直线的方向向量与平面内任意两条相交直线垂直,即直线的方向向量与相交直线的方向向量的数量积为零.2.用空间向量证明面面垂直的方法：说明两个平面的法向量垂直或根据线面垂直来证明.当堂检测2问题导学1•已知平面a〃平面卩,n=(l,-l,l)是平面a的一个法向量，则下列向量是平面卩的法向量的是().4(1,1,1) 5.(-1,1,-1)C(-l 厂1,-1) D(l,l，-1)。

人教B版高中数学选修2-1课件3.2《立体几何中的向量方法(二)》(新人教B)

|

( A1 A

AE ) (CB
a2 sin2

BF
)
a2 cos a2 cos cos( ) a2 cos cos( ) a2 cos2

a2 sin2
cos

1 cos
∴可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。
练习：
（1）如图4，60°的二面角
的棱上有A、B两点，直线AC、BD
分别在这个二面角的两个半平面
内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC
＝6，BD＝8，求CD的长。 C
A B
D

图4
（2）三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB＝45°，∠A1AC＝ 60°，求二面角B-A A1-C的平面角的余弦值。
A1 C1
所以 cos a2 b2 c2 d 2 .
2ab
回到图形问题库底与水坝所成二面角的余弦值为
a2 b2 c2 d 2 .
2ab
例2：如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线（库l底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为 a 和 b ,CD的长为 c, AB的长为 d。求库底与水坝所成二面角的余弦值。
（回到图形问题）
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹
角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角
线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设AB AA1 AD 1，BAD
BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1 C1
依据向量的加法法则， A1

人教新课标版数学高二选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(一)

l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二利用空间向量处理平行问题利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，
用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
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合作探究
问题1 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？
答案
问题2 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
探究点3 利用空间向量证明平行关系例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
解析答案
(证2)明平面因AD为E∥C―1→平B1＝面(B21,C0,10F).，
设 n2＝(x2，y2，z2)是平面 B1C1F 的一个法向量.
立体几何问题
向量渐渐成为重要工具
(研究的基本对象是点、直线、平面
以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几
何中的应用.
引入2、复习共线向量定理:

选修2-1课件3.2.2_立体几何中的向量方法(全面)

化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
空间“距离”问题(1)
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形）
P
n

A
O
这个结论说明,平面外一点到平面的距离为：连结此点与平面上的任一点(常选择一个特殊点)的向量与该平面的法向量数量积的绝对值与该法向量模长的商.
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
z
G
C

1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
空间“距离”问题(2)

高中数学新人教A版选修2-1精品课件3.2《立体几何中的向量方法(一)》课件

引入
知识要点
方向向量、法向量的运用思考本课小结
练习
1
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.
2
P
P
O A
B
3
P
此方程称为直线的向量参数方程
B A
P O
4
P
O
除此之外, 还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.
5
平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在
6
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那么向量叫做平面的法向量. 给定一点 A 和一个向量 , 那么 l 过点A,以向量为法向量的平面是完全确定的.
A 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有
平行
垂直
夹角
7
8
9

11
12
13
14
15
16
17

高二数学 3.2《立体几何中的向量方法(一)》课件(新人教A版选修2-1)

线线垂直线面垂直
r r rr
l⊥m a⊥b ab 0；
rr r r
l ⊥ a ∥u a ku；
面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
画出图形意会
rr
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
rr
的法向量分别为 u, v ，则
rr
B A 以及一个定
A
方向确定.
⑵直线
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一
个定点 A 以及一个定方向确定.
r a
P
对于直线 l 存在实数 t 使得
上的任一点
uuur uuur AP t AB
P
,
此方程称为直线的向量参数方程
B uuur uuur r uuur uuur uuur
OP OA ta 或 OP xOA yOB (x y 1）
1答案
2答案
3答案
练习
1.已知两点 A(1， 2，3),B（2，1， 3）,,
求直线 AB 与坐标平面 yOz 的交点.
解:设直线 AB 与 yOz 平面的交点为 C(0, y1, y2 )
uuur
uuur uuur
由OC （1 t）OA tOB得
(0,y1,z1 )（1 t）(1, 2, 3) t(2,1, 3) （u0uu,ry1,z1） (1 t， 2 3t，3 6t） OC （0， 5，9）
立体几何中的向量方法(一)
引入
知识要点
方向向量、法向量的运用思考
练习
本课小结
作业:课本 P113练习 1,2
立体几何中的向量方法(一)
前面,我们把平面向量

人教版高中数学(选修2-1)3-2-2《立体几何中的向量方法》课件

Page 18
垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ；
线面垂直 l ⊥ a ∥u a ku ,k R；
面面垂直
⊥ u ⊥ v u v 0.
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例2 (1)设a‚b分别是直线 l1‚l2的方向向量,根据下列
给定平面上的一个点A和一个定方向（向量），你能确定这个平面在空间的位置吗？
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3.平面的法向量
空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.
Hale Waihona Puke nbO a
P
对于平面上的任一点 P ,
存在有序实数对 ( x, y) ,使得
OP xa yb
这样，点O与向量 a、b 不仅可以确定平面的位置，还可以具体表示出内的任意一点.
条件判断 l1与 l2 的位置关系:
① a (2, 3, 1),b (6, 9, 3) ② a (5,0,2),b (0,4,0) ③ a (2,1, 4), b (6, 3, 3)
分析:直线方向向量与直线位置关系,
l1 ∥l2 a ∥b;l1 ⊥l2 a ⊥b
据此可判断两直线的位置关系
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lm
l // m a // b a kb, k R
Page 12
l
l
//
a
u
a
u
0
Page 13
//
u
// v
u
kv, k
R
Page 14
平行关系
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，