5.2 导数在研究函数中的应用
高中数学选择性必修二 专题5 2 导数在研究函数中的应用(A卷基础篇)(含答案)
专题5. 2导数在研究函数中的应用（1）（A 卷基础篇）（新教材人教A 版,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·全国高二课时练习）设函数()f x 的图象如图所示，则导函数()'f x 的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】∵()f x 在(,1)-∞，(4,)+∞上为减函数，在(1,4)上为增函数， ∴当1x <或4x >时，()0f x '<；当14x <<时，()0f x '>． 故选：C ．2．（2020·河北张家口市·高三月考）下列函数中，在其定义域上为增函数的是（ ） A ．4y x = B ．2x y -=C ．cos y x x =+D ．12y x =-【答案】C 【解析】对于A 选项，函数4y x =为偶函数，在()0,∞+上递增，在(),0-∞上递减； 对于B 选项，函数2xy -=在R 上递减；对于C 选项，1sin 0y x '=-≥在R 上恒成立，则函数cos y x x =+在其定义域R 上递增； 对于D 选项，函数12y x =-在()0,∞+上递减. 故选：C ．3．（2020·赣州市赣县第三中学高三期中（文））已知函数21()ln 2f x x x =-，则其单调增区间是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+C ．(]0,1D ．[]0,1【答案】A 【解析】 由21()ln 2f x x x =-，函数定义域为()0,∞+， 求导211()x f x x x x='-=-，令()0f x '>，得1x >或1x <-（舍去）所以()f x 单调增区间是()1,+∞ 故选：A.4．（2020·张家界市民族中学高二月考）函数22y x x=+的单调递增区间为（ ）A ．(),1-∞B ．)+∞C ．()1,+∞D ．(),0-∞【答案】C 【解析】3222222x y x x x-'=-=，由0y '>得3220x ->，即1x >， 所以函数22y x x=+的单调递增区间为(1,)+∞. 故选：C5．（2020·全国高三专题练习）如图所示为()y f x '=的图象，则函数()y f x =的单调递减区间是（ ）A ．(),1-∞-B ．()2,0-C ．()()2,0,2,-+∞D ．()(),1,1,-∞-+∞【答案】C 【解析】由导函数图象，知20x -<<或2x >时，()0f x '<，∴()f x 的减区间是(2,0)-，(2,)+∞． 故选：C ．6．（2019·江西九江市·高二期末（理））函数()22ln f x x x =-的递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】因为()22ln f x x x =-的定义域为(0,)+∞，1()4f x x x'=-， 由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1(,)2+∞. 故选：C.7．（2020·四川内江市·高三三模（文））函数xy x e =⋅的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】'(1)x y x e =+⋅，当1x >-时，'0y >，当1x <-时，'0y <，所以函数x y x e =⋅在(1,)-+∞上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减. 故选：C8．（2020·广东深圳市·高三开学考试）已知函数()f x 与f x 的图象如图所示，则不等式组()()03f x f x x '<⎧⎨<<⎩解集为（ ）A ．0,1B ．()1,3C ．1,2D ．()1,4【答案】B 【解析】由导函数与原函数单调性关系知图中实线是()'f x 的图象，虚线是()f x 的图象，不等式组()()03f x f x x <⎧⎨<<'⎩解集是{|13}x x <<． 故选：B ．9．（2020·全国高三专题练习）已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ） A ．(2)(1)2f f > B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 【答案】D 【解析】令()()F x xf x =，则()()()0xf x x F x f '='+>，故()F x 为R 上的增函数， 所以()()21F F >即()()221f f >， 故选：D.10．（2020·黄梅国际育才高级中学高二期中）已知函数()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,18 B ．[]2,18C ．(][),218,-∞+∞D ．[)2,18【答案】A 【解析】 ∵()'2a f x x x=-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,3内不是单调函数， 故20ax x-=在()1,3存在变号零点，即22a x =在()1,3存在零点， ∴218a <<. 故选：A.第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·长顺县文博高级中学有限公司高三月考）函数322611y x x =-+的单调减区间是__________.【答案】()0,2 【解析】()261262y x x x x '=-=-，令0y '<，解得02x <<，所以函数的单调减区间为()0,2. 故答案为：()0,212．（2020·全国高三专题练习）函数()52ln f x x x =-的单调递减区间是______．【答案】20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 的定义域是()0,∞+，()252'5x f x x x-=-=， 令()'0f x <，解得：205x <<，所以()f x 在20,5⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，故答案为20,.5⎛⎫ ⎪⎝⎭13．（2019·全国高三月考（文））已知0a >，函数3()2f x x ax =-在[1,)+∞上是单调增函数，则a 的最大值是_______． 【答案】6 【解析】2()6f x x a '=-，令()0f x '>，得6a x >6a x <-16a≤，解得6a ． 故答案为：614．（2018·全国高二专题练习） 函数()32267f x x x =-+在区间______上是增函数，在区间______上是减函数．【答案】(),0-∞和()2,+∞ ()0,2 【解析】2'()612f x x x =-=6(2)x x -，令'()0f x <，解得：02x <<，令'()0f x >，解得：0x <或2x >.函数()32267f x x x =-+在区间(,0)-∞,(2,)+∞上是增函数，在区间(0,2)上是减函数．15．（2020·浙江高一期末）已知2()(3)f x x b x =+-是定义在R 上的偶函数，则实数b =_____，写出函数2()2g x x x=+-在(0,)+∞的单调递增区间是______ 【答案】3 )2,+∞【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()22(3)(3)x b x x b x ∴---=+-，解得3b =，()(2221x x g x x x+'=-+=， 令()0g x '>，解得x >()g x ∴的单调递增区间是)+∞.故答案为：3；)+∞.16．（2020·全国高三专题练习）已知()lg f x x x =，那么()f x 单调递增区间__________；()f x 单调递减区间__________.【答案】1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】因为()lg f x x x =,故11()lg lg lg lg lg ln10ln10f x x x x x e ex x '=+⋅=+=+=.令()0f x '=可得1ex =,即1x e=. 又()f x '为增函数,故当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 单调递减；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时, ()0f x '>,()f x 单调递增.故答案为：(1) 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；(2)10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭17．（2019·山西运城市·高三期中（文））设函数()-=-x xf x e ae （a 为常数）.若()f x 为奇函数，则a =________；若()f x 是[2,2]-上的减函数，则a 的取值范围是________.【答案】1 41≥-a e 【解析】 （1）若()-=-xx f x eae 为奇函数则()()xxx x f x e ae x e ae f --=-=-+-=-，则1a =（2）若()f x 是[2,2]-上的减函数，则()x xf x e ae -'=--在[2,2]-上小于或者等于零，即0x x e ae ---≤在[2,2]-上恒成立，2x e a --≤，可知2xy e-=-在[2,2]-上单调递增，所以41≥-a e .三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分） 18．（2020·甘肃省岷县第二中学高二期中（理））求函数()33f x x x =-的递减区间.【答案】()1,1- 【解析】 ∵233fxx ，∴令2330x ，解得11x -<<.∴函数()33f x x x =-的递减区间为()1,1-.19．（2019·甘肃省武威第一中学高二月考（理））求函数ln ()(0)xf x x x=>的单调区间． 【答案】增区间为(0e)，，减区间为(e )+∞，. 【解析】 由()f x 得()()2221·ln ln ''ln 1ln 'x xx x x x x x f x x x x ---===， 令()'0f x =，即21ln 0xx -=，得1ln 0x -=，从而e x =，令()'0f x >，即21ln 0xx ->，得e x <，此时()f x 为增函数，又0x >，得增区间为()0e ，，令()'0fx <，即21ln 0xx-<，得e x >，此时()f x 为减函数，减区间为()e +∞，.20．（2020·横峰中学月考（文））已知()1xf x e ax =--. （1）当2a =时，讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x 在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞，单调递减区间为(),ln 2-∞；（2）0a ≤ 【解析】（1）当2a =时，()21xf x e x =--则()'2x f x e =-，令()'20x f x e =->，得ln 2x > 令()'20x fx e =-<，得ln 2x <所以()f x 的单调递增区间为()ln 2,+∞ 单调递减区间为(),ln 2-∞（2）由题可知：()f x 在定义域R 内单调递增 等价于()'0x f x e a =-≥由()'x fx e a =-在R 上单调递增，又0x e >则000a a -≥⇒≤21．（2020·西宁市海湖中学高二月考（文））已知函数()31f x x ax =--. （1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围. （2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值. 【答案】（1）(],3-∞；（2）3. 【解析】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立， 所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞ （2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得33aa x -<<， 所以()f x 的单调递减区间为(,)33a a -， 又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(,)33a a -=(1,1)-， 所以13a=，即3a =. 22.已知函数，其中.（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求的单调区间.【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）①当时，的单调递减区间为；单调递增区间为，．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．③当时，为常值函数，不存在单调区间．④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，．【解析】（Ⅰ）解：当时，，．……2分由于，，所以曲线在点处的切线方程是． ……4分（Ⅱ）解：，． …………6分①当时，令，解得．的单调递减区间为；单调递增区间为，．…8分当时，令，解得，或．②当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． ……10分③当时，为常值函数，不存在单调区间．……………11分④当时，的单调递减区间为，；单调递增区间为，． …………14分。
导数在研究函数中的应用导数与函数单调性
《导数在研究函数中的应用》导数与函数单调性
一、导数与函数的单调性的关系
1.与为增函数的关系.
能推出为增函数，但反之不一定.如函数在
上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件.
2.时，与为增函数的关系.
若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有 .∴当时，是为增函数的充分必要条件.
3.与为增函数的关系.
为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或 .当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性.∴是为增函数的必要不充分条件.
函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性.因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题.但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理.
4.单调区间的求解过程，已知
（1）分析的定义域；
（2）求导数
（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间
5.函数单调区间的合并
函数单调区间的合并主要依据是函数在单调递增，在单调递增，又知函数在处连续，因此在单调递增.同理减区间的合并也是如此，即相邻区间的单调性相同，且在公共点处函数连续，则二区间就可以合并为一个区间.
6.已知
（1）若恒成立∴为上
∴对任意不等式恒成立
（2）若恒成立∴在上
∴对任意不等式恒成立。
课题《导数在研究函数中的应用》
课题：《直线与圆锥曲线的位置关系》课型：高三复习课授课人：尤溪一中陈绍朗 2011-11-23一．【考纲要求】1.了解圆锥曲线的实际背景；2.了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；3.理解直线与圆锥曲线的位置关系；4.了解圆锥曲线的简单应用；5.理解数形结合的思想．二．【命题走向】近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题的重要位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。
分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等．三．【教学目标】1．知识目标：巩固直线与圆锥曲线的基本知识和性质；掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法，主要是利用判别式法，以及分类讨论法，会求参数的值或范围等．2．能力目标：直线与圆锥曲线位置关系的问题始终是解析几何的一个主要问题，是充分反映代数与几何不可分割关系的一个非常好的素材。
要求学生能从数、形两方面深刻理解线与线之间的位置关系，并会用方程法讨论直线与两类(封闭与非封闭)曲线的位置关系；弦长公式的理解与灵活运用；通过曲线焦点的弦的弦长问题的处理，使解题过程得到优化，同时使得学生树立通过坐标法用方程思想解决问题的观念，培养学生直观、严谨的思维品质；灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法，提高解题能力．3．情感目标：让学生感悟数学的统一美、和谐美，端正学生的科学态度，进一步激发学生自主探究的精神．四．【教学重点、难点】1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，注意数形结合思想的渗透；2．非封闭曲线，尤其是双曲线、抛物线与直线位置关系的讨论；3．理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系，感悟方程组的解的个数与直线与圆锥曲线公共点的个数的关系；4．充分运用新旧知识的迁移，从数与形两方面深刻理解相关结论，构建完整的知识体系．五．【教学方法】合作讨论与启发探究、题组教学与讲练结合．六．【教学准备】1．学生预先复习本课题，并做讲义的相应习题；2．教师准备教学PPT课件．。
“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思
用导 数研 究 函数 的单 调性 ， 会 求 不超 过 三 次 的 多
项式 函数 的单 调 区间． （ ２ ） 通 过 实例 ， 借 助 几 何 直 观探 索并 了解 函 数 的单调 性与 导数 的关 系 ； 通 过初 等 方 法 与 导数 方法 在研究 函数 性 质 过程 中 的 比较 ， 体 会 导数 在 研究 函数性 质 中的一般 性 和有效 性．
若 在 区间 Ｄ上 ｆ （ ｚ） ＜０ ， 则－ 厂 （ ） 在 区间 Ｄ
一
０
—
上 是减 函数．
．
ｒ ｜一
／
１
师： 很好， 你 能 用 函 数单 调 性 的 定 义 给 出证
明吗 ？
图 ２
图 １
老 师先 让 学生 在 草稿 纸 上试 证 ， 然 后 在学 生
的关 系．
对 于 函数 ， （ ｚ） ＝ ＝ ＝ ｌ ｏ ｇ ￣ ｘ， Ｖ ｚ∈ （ ０ ， ＋Ｃ ｘ ３ ） ，
， （ ｚ）一 一 ＜ ０ ・
３ 教 学过 程
３ ． １ 问 题 导 入
问题 １ 作 出下 列 函数 的图象 ：
（ １ ） ｆ （ ｘ） 一ｚ 。 ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） 一ｌ ｏ ｇ ￣ Ｘ ．
生： 图 １中的切线 斜率 为正 ， 图 ２中的切线斜
率为 负． 师： 回顾 导数 的几何 意义 ， 说 明了什 么？
生： 函数 ， （ ） 一ｚ 在 区 间（ 一。 。 ， ＋。 。 ） 上 的 导数 为正 ； 函数 ｆ （ ｘ） －ｌ ｏ ｇ ￣ ｚ在 区间 （ ０ ， ＋ｃ × 。 ） 上
１
（ １ ） ｆ（ ｘ）一ｚ＋ ； （ ２ ） ｆ（ ｘ）一 － ｚ 。 ｅ ．
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数作为微积分的重要概念，在研究函数中应用广泛。
导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨独立提出，它描述了函数变化的速率。
导数的定义是函数在其中一点的变化率，表示函数在这一点附近的斜率。
在函数研究中，导数的应用主要体现在以下几个方面：1.切线和法线：导数可以用来求解函数曲线上其中一点的切线和法线。
切线是函数曲线在其中一点上切过该点的直线，而法线是与切线相垂直的直线。
利用导数的定义，我们可以确定函数曲线上其中一点的斜率，进而得到其切线和法线的方程。
2.极值与拐点：导数可以帮助我们找到函数的极值点和拐点。
在函数的极值点上，导数等于零。
根据这个性质，我们可以利用导数来确定函数的极大值和极小值点。
此外，导数还可以帮助我们确定函数上的拐点，即函数曲线由凸向上转为凹向上或由凹向上转为凸向上的点。
3.函数的单调性：导数还可以帮助我们研究函数的单调性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。
通过分析函数的导数，我们可以确定函数在一些区间上是递增还是递减。
4.函数的凹凸性：导数还可以用来确定函数的凹凸性。
如果函数在一些区间上的导数恒大于零，那么函数在该区间上是凸的；如果函数在一些区间上的导数恒小于零，那么函数在该区间上是凹的。
通过分析函数的导数的变化情况，我们可以确定函数的凹凸区间。
5.近似计算：导数还可以用于近似计算。
在很多实际问题中，函数的导数可以用来近似表示函数在其中一点的变化率。
通过导数近似表示函数的变化率，我们可以很方便地进行问题求解和计算。
总之，导数在研究函数中的应用非常广泛，涵盖了函数的局部性质、全局性质以及近似计算等方面。
通过对导数的研究，我们可以全面了解函数的变化规律和特性，为解决实际问题提供了有力的工具。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用学习目标：1．会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）.2．了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3．会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）重难点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。
函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.知识点一：函数的单调性(一)导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1．因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。
2．若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。
即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。
在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。
在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。
导数在研究函数中的应用单元教学设计
导数在研究函数中的应用单元教学设计【教学设计】课题名称：导数在研究函数中的应用一、教学目标：1.知识与能力：a)掌握导数的概念；b)理解导数的几何意义；c)理解导数与函数的关系，明确导数为函数在其中一点处的变化率；d)理解导数在函数研究中的应用，并能解决与导数相关的问题；e)初步培养学生分析问题、解决问题的思维能力。
2.过程与方法：a)培养学生分析、归纳、推理和解决问题的能力；b)鼓励学生思考和提问，积极参与课堂讨论；c)培养学生合作学习和团队合作的能力。
二、教学内容：1.导数的概念及其几何意义；2.导数与函数的关系；3.导数在函数研究中的应用。
三、教学过程：1.导入（10分钟）教师通过提问和展示一些实际问题，引出函数与导数的关系，激发学生对导数应用的思考和兴趣。
2.导数的概念及其几何意义（25分钟）a)导数的定义：引导学生回顾变化率的概念，由此引出导数的定义，并帮助学生理解导数的物理意义（函数变化率）和几何意义（切线斜率）。
b)导数的计算：通过具体函数示例，引导学生运用导数的定义计算导数，并与导数公式进行关联。
c)给出一些练习题，巩固导数的概念和计算方法。
3.导数与函数的关系（25分钟）a)导数与函数图像：通过绘制不同函数的图像，引导学生发现导数与函数图像的关系，区分函数图像的变化趋势与导数的正负值。
b)导数与函数性质：通过导数与函数的关系，解释函数的凸凹性、极值和拐点等性质的判定方法。
辅以实例进行讲解。
4.导数在函数研究中的应用（30分钟）a)表达式的优化：通过使用导数求解函数的极值问题，帮助学生理解导数在最值问题中的应用，并引导学生解决一些具体的优化问题。
c)引导学生思考和讨论导数在其他实际问题中的应用，并进行展示和分享。
5.小结与拓展（10分钟）对本节课的内容进行小结，并提出拓展问题或布置作业。
鼓励学生通过实际问题思考导数的应用，拓宽对导数的理解和运用。
四、教学资源与评价：1.教学资源：a)钢琴与芦笛（展示变化率的概念）；b)多媒体课件（演示导数的定义、公式和应用）；c)函数绘图软件（辅助绘制函数图像）；d)题目练习册。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的重要概念，它在研究函数中有着广泛的应用。
导数可以描述函数在某一点上的变化率，帮助我们理解函数的性质以及解决实际问题。
本文将从几个方面介绍导数在函数研究中的应用。
一、函数的极值问题导数在研究函数的极值问题中起着重要的作用。
通过求函数的导数，我们可以得到函数的驻点和拐点，从而确定函数的极值。
具体来说，当函数的导数为零或不存在时，该点可能是函数的极值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后用二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个过程在求解最优化问题、优化生产过程中都有着广泛的应用。
二、函数的图像与性质导数可以帮助我们研究函数的图像和性质。
通过求导数，我们可以得到函数的增减性和凹凸性。
具体来说，当导数大于零时，函数是增函数；当导数小于零时，函数是减函数。
而二阶导数的正负可以判断函数的凹凸性，当二阶导数大于零时，函数是凹函数；当二阶导数小于零时，函数是凸函数。
通过分析导数和二阶导数的变化，我们可以画出函数的图像，并对函数的性质进行准确的描述。
三、函数的近似计算导数在函数的近似计算中有着重要的应用。
当函数的表达式很复杂或很难求解时，我们可以通过导数来近似计算函数的值。
具体来说，我们可以利用导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h 来计算函数在某一点的导数，然后通过导数的值和函数在该点的值来估计函数在附近点的值。
这种方法在数值计算、机器学习等领域中被广泛应用。
四、函数的最优化问题导数在函数的最优化问题中也有着重要的应用。
通过求函数的导数，我们可以找到函数的驻点，从而求解函数的最值。
具体来说，当函数在某一点的导数为零或不存在时，该点可能是函数的最值点。
通过求导数并求解方程，我们可以求得这些驻点，然后通过二阶导数的符号判断它们是极大值还是极小值。
这个方法在经济学、工程学等领域中常常用来解决最优化问题。
导数在函数的研究中有着广泛的应用。
“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思
“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思导数在研究函数单调性中的应用是高中数学中一个重要的知识点，也是学生学习微积分的必备内容之一、在教学设计中，我们可以结合具体的例子和实际问题，引导学生深入理解导数在研究函数单调性中的应用，并通过实际练习来加深他们的理解和掌握能力。
一、教学设计1.引入导入：通过一个简单的例子引入导数在研究函数单调性中的应用，让学生了解本节课的主题和学习目标。
2.理论讲解：介绍导数与函数单调性的关系，包括导数的定义、函数单调性的概念和判别方法等内容，让学生理解导数在研究函数单调性中的作用。
3.例题演练：选择一些形式简单、观念清晰的例题，让学生通过计算导数和分析函数的增减性来解决相关问题，掌握导数在研究函数单调性中的应用。
4.拓展练习：设计一些拓展性的综合题目，让学生灵活运用所学知识解决具体问题，培养他们的综合分析和解决问题的能力。
5.评价反思：及时对学生的学习情况进行评价和反馈，引导他们总结经验、查漏补缺，提高学习效果。
二、教学反思1.教学内容选择：在设计教学内容时，要根据学生的实际情况选择恰当的例题和练习题，既要符合课程要求，又要考虑学生自身的学习水平和能力，避免过于复杂或简单，确保教学效果。
2.教学方法运用：导数在研究函数单调性中的应用是一个相对抽象的概念，需要通过具体的例子和实践操作来引导学生理解和掌握。
因此，在教学过程中要采用灵活多样的教学方法，如教师讲解、学生自主探究、示范演练等，以提高学生的学习积极性和主动性。
4.课堂互动与反馈：在教学过程中要注重课堂互动和学生反馈，鼓励学生积极参与讨论和思考，及时纠正他们的错误和不完整理解，帮助他们建立正确的学习观念和方法，提高学习效果。
总之，导数在研究函数单调性中的应用是高中数学中一个重要的知识点，通过科学合理的教学设计和实施，可以有效提高学生的学习兴趣和掌握能力，促进他们对微积分知识的深入理解和应用。
希望我们的教学设计和反思能够对相关教师有所启发和帮助。
导数在研究函数中的应用教学设计
课题：利用导数判断函数的单调性(第一课时)一.指导思想与理论依据导数概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一．导数准确的揭示了自变量变化对相应函数值变化的影响，是对函数关系作为一种特殊对应关系认识的提升，“它的发展和广泛应用，开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.导数概念是微积分的核心概念之一，具有丰富的实际背景和广泛的应用。
在本模块中，学生将通过大量实例，经历．．由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解．．导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用。
．．导数概念，了解《数学课程标准》指出“学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”，教材对这部分内容的形式化程度得到很好的体现，突出了对数学概念本质理解的“返璞归真”，体现了“把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”的思想，从而有利于学生摆脱符号的束缚，以便充分发挥他们的思维潜能。
单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时,能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。
那为什么还要用导数研究函数的单调性？能不能用导数研究函数的单调性？怎样用导数研究函数的单调性？循着这样的思路,结合最近发展区理论,整个教学过程，从提出问题、寻找工具分析问题、发现工具选择问题、验证工具演绎推理、论述工具处理存疑、使用工具，五个方面入手，层层递进，螺旋上升。
二.教学背景分析1.学习内容分析(1)单调性作为函数的主要性质之一，主要用来刻画图象的变化趋势，在必修1的学习中定义了单调性，并且在学习幂指对及三角函数时，能够借助于函数图象特征和单调性的定义来研究函数的单调性。
导数在研究函数中的应用(课时2 函数的极值)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号． 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为 或 在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
已知 ， 的图象如图所示．
1.函数 在 ， 上的单调性与导数的符号有何特点？
[答案] 在 上单调递增，其导数值大于零，在 上单调递减，其导数值小于零．
预学忆思
自主预习·悟新知
2.观察 的图象，在区间 内，函数值 有何特点？它是极大值吗？
巩固训练
（2） ．
[解析] 函数 的定义域为 ， 且 ， 令 ，解得 ． 当 变化时， 与 的变化情况如表所示：
+
0
-
↗
↘
故当 时，函数 取得极大值，且极大值为 ．
探究2 求含参函数的极值
例2 已知函数 ，求函数 的极值.
情境设置
合作探究·提素养
问题1：观察下列图形，函数 在 ， ， ， ， ， 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
[答案] 以 ， 两点为例，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都小，函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点的函数值都大.
D
[解析] 对 求导得 ，令 ，解得 ，易知 是函数 的极小值点．
4.已知函数 的极大值为10，则 的值为_____．
8
[解析] ，令 ，解得 ， ，经判断知 是极大值点，故 ，解得 ．
《导数在研究函数中的应用》教学设计
《导数在研究函数中的应用》教学设计一、学情分析我校高二学生在经历了一年多的高中学习，抽象思维能力有所提高，但对于形象的事物则更容易理解并掌握。
在前一个月，不断地通过数形结合的方式，引导学生认识、掌握、运用导数。
目前，学生对于导数的基础知识较好的掌握。
然而，学习若只停留在“被动接受”的阶段，而没有“主动出击”的经历，那么，学习便无乐趣，学生便无能力。
如何激发学生的自主探究的激情，明确探究的内容，制定探究的方案，越过探究的难点，享受成功的喜乐。
这对于教师来说，是一个大挑战。
在较好掌握一阶导数在函数单调性中的应用后，学生自然而然会产生一种纵向挖掘导数新知的欲望，那就是探究二阶导数的相关知识。
（也可能是横向挖掘：探究导数在奇偶性、周期性等方面的应用）这为本节课的学习提供了情感基础。
二、教学思路【教材地位和作用】本节课是属于导数知识的拓展课。
凹凸性是一个重要的函数性质，虽不在高中学习的范畴内，但在高等数学中有着重要的地位（与拉格朗里定理，柯西不等式都有着重要的联系）。
并且也常有以二阶导数为背景的高考题目。
因此，本节课既着眼于提高学生的探究能力，也在一定程度上拓宽了学生的数学知识、素养。
【教学重、难点以及突破】重难点：（1）如何引出猜想（即[f'(x)]'决定f(x)的凹凸性）（2）面队大量的素材，如何有效的分析（3）解释结论突破：（1）如何引出猜想？突破方法：通过对汽车启动和刹车时的s(t)图形特点的思考，从而引导学生从“加速度对s(t) 图形的影响”联想到“[f'(x)]'对f(x)图形的影响。
（2）通过计算具体函数的[f'(x)]',并画出f(x),[f'(x)]'的图形。
在面对纷繁杂乱的素材时，如何才能高效地处理素材，提取出有效的信息，用于验证猜想？突破方法：将图形按照[f'(x)]'的符号来分类，通过分析同一类的f(x)图形共性，不断地验证猜想，并加强对“凹凸”的直观感知。
导数在研究函数中的应用教学设计
导数在研究函数中的应用教学设计一、教学目标1.理解导数的定义以及导数的几何意义。
2.理解导数的运算规则。
3.掌握常见函数的导数计算方法。
4.能够应用导数分析函数的变化规律和局部特性。
二、教学内容1.导数的定义和几何意义。
2.导数的运算规则。
3.常见函数的导数计算方法。
4.导数在函数分析中的应用。
三、教学过程1.导入与导入(5分钟)教师可以提出一个问题，如一辆汽车在其中一时刻的速度如何计算？引导学生思考，在不同时间点的速度是否一样？为什么？通过讨论，引出导数的定义。
2.导数的定义和几何意义(20分钟)教师通过示意图和实例，介绍导数的定义：若函数 f(x) 在点 x0 处的导数存在，记作 f'(x0) 或 dy/dx ，x=x0，定义为函数 f(x) 在该点处的切线的斜率。
然后，通过几何意义的解释，引导学生理解导数表示函数在其中一点局部的变化率和斜率的关系。
3.导数的运算规则(30分钟)教师通过示例引导学生研究导数的运算规则，让学生自己发现和总结。
例如，一次幂函数的导数等于原函数的系数，常数倍规则，和差规则等。
然后，对这些规则进行总结和讲解，使学生深刻理解导数的运算规则。
4.常见函数的导数计算方法(30分钟)教师以常见函数为例，引导学生计算其导数。
例如，常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
需要强调一些特殊函数的导数计算方法，例如乘积、商、复合函数的导数计算方法。
5.导数在函数分析中的应用(30分钟)教师通过实际问题的分析，让学生应用导数来分析函数的变化规律和局部特性。
例如，求函数的极值点、拐点，讨论函数的增减性、凸凹性等。
通过具体例题引导学生掌握应用导数解决实际问题的方法。
6.练习与巩固(15分钟)教师提供一些练习题，让学生巩固所学知识。
练习题包括导函数的计算和实际问题的应用。
教师可以设置不同难度的题目，逐渐提高学生的解题能力。
四、教学评价1.在课堂实践中，教师可以通过学生的回答问题、作业完成情况以及小组讨论的情况来评价学生对导数的理解和应用水平。
导数在研究函数中的应用
摘 要
导数是研究函数性质的一个重要工具，我们可以利用导数来求函数的单调性，极值点，最值点，另外可以利用导数找函数的零点和构造简单的函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。下面，我们运用导数研究函数的性质，通过对函数的单调性与导数的关系的研究、如何利用导数来求函数的极值与函数的最大值和最小值的一般方法、导数与函数的零点以及利用导数研究任意性、存在性以及参数的取值问题，我们可以从中体会导数在研究函数中的应用。通过对导数在研究函数中的应用的学习，为我们学习和研究函数奠定了良好的基础。
y- =f’( )(x- )
例1：曲线y=x(3 )在点（1，1）处的切线方程为：y=4x-3
解析：第一步，首先求函数y=x(3 )的导函数y’
y’=3 ,接下来把 =1代入y’,有f’ )= y’( =1)=4,从而可知在 =1处切线方程的斜率为4，最后将斜率f’ )和点（1，1）代入切线方程y- =f’( )(x- )
f’(xo)= = 。
从导数的这一定义出发，我们知道导数f’(xo)表示
函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x=xo附近的变化情况，接着可以明确导数的几何意义：
曲线y= f(x)在点(xo,f(xo))处切线的斜率。
二、导数的性质
通过对导数相关定义和几何意义出发研究导数的性质。
二、函数的单调性与导数
判断函数f(x)的单调性时，常常借助f’(x)的符号来判断
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a，b)内，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内単调递増;如果f’(x)<0，那么函数y= f(X)在这个区间内单调递減.
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修
高中数学《导数在研究函数中的应用》教案新人教A版选修教案目录：一、教材分析二、教学目标三、教学重难点四、教学方法五、教学过程一、教材分析本节课的内容是高中数学选修模块中导数在研究函数中的应用部分。
这部分内容是在学生已经掌握了导数的基本概念、求导法则和导数的应用基础上进行讲解的。
教材通过引入实际问题，引导学生利用导数研究函数的单调性、极值和最值等问题，培养学生的数学应用能力。
二、教学目标1. 理解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 学会利用导数解决实际问题，提高数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
三、教学重难点1. 重点：导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用。
2. 难点：如何利用导数解决实际问题，找到合适的切线方程。
四、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究导数在研究函数中的应用。
2. 通过实例分析，让学生了解导数在实际问题中的作用。
3. 利用多媒体辅助教学，直观展示函数图像和切线方程。
4. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾导数的基本概念、求导法则，引导学生关注导数在研究函数中的应用。
2. 知识讲解：讲解导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的应用，引导学生理解并掌握相关概念。
3. 实例分析：选取实际问题，让学生利用导数解决，体会导数在实际问题中的作用。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题心得，培养团队协作能力。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识，提高学生的自主学习能力。
六、教学评价1. 学生对导数在研究函数单调性、极值和最值等方面的理解程度。
2. 学生能否灵活运用导数解决实际问题。
3. 学生的小组协作能力和团队意识。
七、教学反思在教学过程中，教师应时刻关注学生的学习情况，发现问题时应及时调整教学策略。
教师还应注重培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力，提高学生的实际问题解决能力。
导数在函数研究中的应用
导数在函数研究中的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断函数的单调性：通过求导数，可以判断函数在某个区间上的单调性。
如果导数大于零，则函数在该区间上单调递增；如果导数小于零，则函数在该区间上单调递减。
2. 寻找函数的极值：当导数等于零的点称为极值点，函数在该点取得极值。
通过求导数并令其等于零，可以找到函数的极值点。
3. 判断函数的凹凸性：通过求二阶导数，可以判断函数的凹凸性。
如果二阶导数大于零，则函数在该区间上凹；如果二阶导数小于零，则函数在该区间上凸。
4. 解决最优化问题：通过求导数，可以找到函数的最小值或最大值。
例如，在经济学中，可以使用导数来求解边际成本、边际收益等最优化问题。
5. 应用于物理学：在物理学中，导数是研究运动和力学的重要工具。
例如，速度是位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。
因此，知道这些概念可以帮助我们更好地理解物体的运动和力学。
6. 应用于工程学：在工程学中，构造函数和导数是设计和优化产品和系统的重要工具。
例如，可以使用导数来优化工程材料的强度和刚度。
7. 应用于统计学：在统计学中，一些重要概念如概率密度函数和累积分布函数也可以使用导数来求解。
总之，导数是数学中非常重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
导数在研究函数中的应用 精品教案
《导数在研究函数中的应用》【教材分析】导数及其应用内容分为三部分：1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数。
在“利用导数判断函数的单调性”中介绍了利用求导的方法来判断函数的单调性；在“利用导数研究函数的极值”中介绍了利用函数的导数求极值和最值的方法。
【考纲解读】1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间。
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最值。
3.会利用导数解决某些实际问题。
【教学目标】1.能熟练应用导数的几何意义求解切线方程2.掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学重点】理解并掌握利用导数知识研究函数的单调性及解决一些恒成立问题【教学难点】原函数和导函数的图像“互译”，解决一些恒成立问题【学 法】本节课是在学习了导数的概念、运算、导数的应用的基础上来进行小结复习，学生已经了解了一些解题的基本思想和方法，应用导数的基本知识来解决实际问题对学生来说应该不会很陌生，所以对本节的学习应让学生能够多参与、多思考，培养他们的分析解决问题和解决问题的能力，提高应用所学知识的能力。
在课堂教学中，应该把以教师为中心转向以学生为中心，把学生自身的发展置于教育的中心位置，为学生创设宽容的课堂气氛，帮助学生确定适当的学习目标和达到目标的最佳途径,指导学生形成良好的学习习惯、掌握学习策略和发展原认知能力,激发学生的学习动机，培养学习兴趣，充分调动学生的学习积极性,倡导学生采用自主、合作、探究的方式学习。
【教 法】数学是一门培养人的思维、发展人的思维的重要学科，本节课的内容是导数的应用的复习课，所以应让学生多参与，让其自主探究分析问题、解决问题，尝试归纳总结，然后由老师启发、总结、提炼，升华为分析和解决问题的能力。
【授课类型】复习课【教学过程】一、要点梳理温馨提醒：若函数y ＝f (x )在(a ，b )内单调递增，则f ′(x )≥0,而f ′(x )>0是y ＝f (x )1．函数的单调性与导数在区间(a ，b )内,函数的单调性与其导数的正负有如下的关系: 如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递增;如果____________，那么函数y ＝f (x )在这个区间单调递减; f ′(x )＞0 f ′(x )＜0在(a ，b )内单调递增的充分不必要条件．2．函数的极值与导数函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧___f ′(x )＜0_______，右侧__ f ′(x )>0_____，则点a 叫做函数y ＝f (x )的__极小值点___，f (a )叫函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧__ f ′(x )>0_____，右侧___f ′(x )＜0_______，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．温馨提醒：导数为0的点不一定是极值点，只有在该点两侧导数的符号相反，即函数在该点两侧的单调性相反时，该 点 才是函数的极值点，另一方面，极值点处的导数 也不一定 为0,还要考察函数在该点处的导数是否存在．3．函数的最值与导数假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条_连续不间断的曲线，则该函数在[a ，b]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b)内是可导 的，该函数的 最 值必在极值点或区间端点处取得．温馨提醒：最值与极值的区别与联系：(1)“极值”是个局部概念，是一些较邻近的点之间的函数值 大小的比较，具有相对性；“最值”是个整体概念，是整个 定 义域上的最大值和最小值，具有绝对性．(2)最值和极值都不一定存在，若存在，函数在其定义域上 的最值是唯一的，而极值不一定唯一．二、课前热身1．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝x e x ，则( )A ．x ＝1为f (x )的极大值点B ．x ＝1为f (x )的极小值点C ．x ＝－1为f (x )的极大值点D ．x ＝－1为f (x )的极小值点2．(2012·高考辽宁卷)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1，1] B ．(0，1]C ．[1，＋∞)D ．(0，＋∞)3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )A ．11或18B ．11C ．18D ．17或184．函数f (x )＝x 33＋x 2－3x －4在[0，2]上的最小值是________． 5．已知a ＞0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________． 答案:1.D; 2.B; 3.C; 4.－173 5.3 三、例题讲解考点一：利用导数研究函数的单调性例1、已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R.(1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)当t >0时，求f (x )的单调区间．【解】(1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3＋3x 2－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2＋6x －6，f ′(0)＝－6.所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .(2)f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t 2. 方法感悟：(1)导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤：①求f ′(x )；②确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；③作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．(2)导数法求函数单调区间的一般步骤：①确定函数f (x )的定义域；②求导数f ′(x )；③在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0；④根据(3)的结果确定函数f (x )的单调区间．考点二：由函数的单调性求参数的取值范围因为t >0，则－t <t 2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝⎛⎭⎫t 2，＋∞；f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－t ，t 2.例2、(2014·安徽合肥市质量检测)已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0，1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝x 2·[f (x )－a ]，且g (x )在区间[1，2]上为增函数，求实数a 的取值范围．【解】(1)设f (x )图象上任一点的坐标为P (x ，y )，点P 关于点A(0，1)的对称点P ′(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x＋2， ∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x. (2)g (x )＝x 2·[f (x )－a ]＝x 3－ax 2＋x ，方法感悟：函数单调性确定参数范围的方法：(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f ′(x )≥0；若函数单调递减，则f ′(x )≤0”来求解．考点三：利用导数研究函数的极值(最值)例3、(2013·高考福建卷)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．【解】函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)， 因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A(1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 又g (x )在区间[1，2]上为增函数，∴g ′(x )＝3x 2－2ax ＋1≥0在[1，2]上恒成立，即2a ≤3x ＋1x 对任意的x ∈[1，2]恒成立． 注意到函数r (x )＝3x ＋1x 在[1，2]上单调递增， 故r (x )min ＝r (1)＝4. 于是2a ≤4，a ≤2.即实数a 的取值范围是(－∞，2]．(2)由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)<0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时,函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a,无极大值.方法感悟：(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【课堂小结】1.函数的单调性与导数2.函数的极值与导数3函数的最值与导数【布置作业】练习册60练 p19【板书设计】课题一、要点梳理三、例题讲解二、课前热身四、课堂小结【教学反思】以题目引导教学，让学生先有所思，思有所获，获有所感。
导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用导数是微积分中的一个基本概念，它描述了函数在其中一点的变化率。
由于函数在不同点的变化率是函数的重要性质之一，所以导数在研究函数中有着广泛的应用。
下面将从几个方面探讨导数在研究函数中的应用。
首先，导数可以用来求函数的最值。
在实际问题中，我们经常需要找到一个函数的最大值或最小值，这些最值往往代表了问题中的其中一种最优解。
通过计算函数的导数，我们可以找到函数在哪些点取得最大值或最小值，从而解决问题。
例如，在经济学中，我们利用导数来确定一个企业的生产量，以使其利润最大化。
在物理学中，我们利用导数来确定一个物体在何时达到最大速度。
其次，导数可以用来求函数的图像特征。
函数的导数可以描述函数在每一点的斜率，从而揭示函数的图像特征。
通过函数的导数，我们可以确定函数在哪些点上是递增的、递减的，从而得到函数的增减性质。
我们可以通过导数的符号和零点来确定函数的极值点和拐点，从而得到函数的凹凸性质。
例如，在物理学中，我们可以通过求一个物体的位移函数的导数来确定物体的速度函数。
进一步地，我们可以通过速度函数的导数来确定物体的加速度函数。
此外，导数还可以用来进行近似计算。
在很多实际问题中，往往难以通过精确计算来得到一个准确的结果。
然而，通过导数的概念，我们可以通过局部线性化来得到一个近似结果。
也就是说，我们可以用一个线性函数来替代原函数，从而得到一个较好的近似结果。
这种近似计算方法被广泛应用于物理、工程等领域。
例如，在计算器中，我们可以通过导数的近似计算方法来快速地计算一个函数的值。
最后，导数还可以用来研究函数的变化趋势。
函数的导数可以描述函数的变化趋势，它可以告诉我们函数在一些点上的变化速率。
通过导数的大小和正负号，我们可以确定函数是递增还是递减，从而得到函数的趋势。
例如，在金融学中，我们可以通过计算股票价格的导数来判断股票市场的走势。
总之，导数在研究函数中有着广泛的应用。
通过求函数的导数，我们可以求函数的最值，研究函数的图像特征，进行近似计算，以及研究函数的变化趋势。
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第2讲 导数在研究函数中的应用★ 知 识 梳理 ★1. 函数的单调性与导数的关系一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内 ；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内 . 解析：单调递增；单调递减2. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 解析：极大值点；极小值.3．解题规律技巧妙法总结: 求函数的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) . (2)求方程f ′(x )=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值. 4．求函数最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值.（2）求出端点函数值(),()f a f b . （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：熟悉利用导数处理单调性、极值与最值的一般思路，熟练掌握求常见函数的单调区间和极值与最值的方法2.难点：与参数相关单调性和极值最值问题3.重难点：借助导数研究函数与不等式的综合问题（1）在求可导函数的极值时，应注意可导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。
问题1. 设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．令()()F x x f x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值；点拨:根据求导法则有2ln 2()10x af x x x x'=-+>，， 故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22()10x F x x x x-'=-=>，，列表如下：故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．（2）借助导数处理函数的单调性，进而研究不等关系关键在于构造函数.问题2.已知函数)(x f 是),0(+∞上的可导函数，若()()xf x f x '>在0>x 时恒成立. （1）求证：函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有)()(2121x x f x x f +>+. 点拨:由()()xf x f x '>转化为()f x x为增函数是解答本题关键.类似由 ()()0xf x f x '+>转化为()xf x 为增函数等思考问题的方法是我们必须学会的. （1）由x x f x g )()(=得2()()(),xf x f x g x x'-'=因为()()xf x f x '>， 所以()0g x '>在0>x 时恒成立，所以函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数.（2）由（1）知函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数，所以当0,021>>x x 时，有222121112121)()(,)()(x x f x x x x f x x f x x x x f >++>++成立， 从而)()(),()(212122212111x x f x x x x f x x f x x x x f ++<++<两式相加得)()()(2121x f x f x x f +>+★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 导数与函数的单调性 题型1.讨论函数的单调性例1(广东高考)设k ∈R，函数111()1x x f x x ⎧<⎪-=⎨⎪⎩，≥，()()F x f x kx =-，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性．【解题思路】先求导再解'()0f x ≥和'()0f x ≤【解析】1,1,1()(),1,kx x xF x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪≥⎪⎩对于1()(1)1F x kx x x=-<-， 当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数；当0k >时，函数()F x在(,1-∞上是减函数，在(1上是增函数；对于()(1)F x k x =-≥，当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数； 当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。
【名师指引】解题规律技巧妙法总结: 求函数单调区间的一般步骤.（1） 求函数()f x 的导数()f x '（2）令()0f x '≥解不等式，得x 的范围就是单调增区间;令()0f x '≤解不等式，得x 的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论.[误区警示]求函数单调区间时，容易忽视定义域，如求函数21ln(1)2y x x x =+--的单调增区间，错误率高，请你一试，该题正确答案为(1,0)-. 题型2.由单调性求参数的值或取值范围例2: 若3()f x ax x =+在区间[－1,1]上单调递增，求a 的取值范围.【解题思路】解这类题时,通常令'()0f x ≥(函数()f x 在区间[,]a b 上递增)或'()0f x ≤(函数()f x 在区间[,]a b 上递减),得出恒成立的条件,再利用处理不等式恒成立的方法获解.解析：2()31f x ax '=+ 又()f x 在区间[－1,1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1,1]上恒成立 即213a x ≥-在xt [－1,1]的最大值为13- 13a ∴≥- 故a 的取值范围为1[,]3-+∞【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系,要特别注意导数值等于零的用法.【新题导练】.1. 若函数f (x )=x 3－ax 2+1在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 A.a ≥3 B.a=2 C.a ≤3 D.0<a<3分析：本题主要考查导数的应用.利用函数的单调性及二次函数的图象确定参数的范围.解析：f ′(x)=3x2－2ax=3x(x －32a),由f(x)在(0，2)内单调递减，得3x(x －32a)≤0, 即32a ≥2,∴a ≥3.答案：A2. 函数y =x 3+x 的单调增区间为A.(－∞,+∞)B.(0,+∞)C.(－∞,0)D.不存在 解析：∵y ′=3x 2+1>0恒成立，∴y =x 3+x 在(－∞,+∞)上为增函数，没有减区间. 答案：A3. 已知函数()ln f x x =,()(0)ag x a x=>,设()()()F x f x g x =+． （Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；解析：（I ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=> ∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增。
由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减。
∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞。
（II ）()()2'03x aF x x x -=<≤， ()()000201'032x a k F x x x -==≤<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12。
∴12a ≥，∴min 12a = 考点2: 导数与函数的极值和最大(小)值.题型1.利用导数求函数的极值和最大(小)值例1. 若函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值,则m = . 【解题思路】若在0x 附近的左侧'()0>f x ，右侧'()0<f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极大值；若在0x 附近的左侧'()0<f x ，右侧'()0>f x ，且'0()0f x =,那么0()f x 是()f x 的极小值.[解析]因为()f x 可导,且'()sin cos2f x m x x =-+,所以'()sincos0442f m πππ=-+=,解得0m =.经验证当0m =时, 函数1()sin 22=f x x 在4x π=处取得极大值.【名师指引】 若()f x 是可导函数，注意0()0f x '=是0x 为函数()f x 极值点的必要条件.要确定极值点还需在0x 左右判断单调性.例2．（2008·深圳南中）设函数2()()f x x x a =--（x ∈R ），其中0a >，求函数()f x 的极大值和极小值．【解题思路】先求驻点，再列表判断极值求出极值。
解析：.2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-，22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或x a =． 由于0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3x =处取得极小值)3(f ，且3)327(a f -=； 函数()f x 在x a =处取得极大值()f a ，且()0f a =． 【名师指引】求极值问题严格按解题步骤进行。