高等数学练习题4

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高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题.将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1.收敛的数列必有界.（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量.（）3.闭区间上的间断函数必无界.（）4.单调函数的导函数也是单调函数.（）5.若f (x )在x 0点可导，则f (x )也在x 0点可导.（）6.若连续函数y =f (x )在x 0点不可导，则曲线y =f (x )在(x 0,f (x 0))点没有切线.（）7.若f (x )在[a ,b ]上可积，则f (x )在[a ,b ]上连续.（）8.若z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z =f (x ,y )在（x 0,y 0）处可微.（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10.设偶函数f (x )在区间(-1,1)内具有二阶导数，且f ''(0)=f '(0)+1,则f (0)为f (x )的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1.设f (x -1)=x ，则f (x +1)=.22.若f (x )=2-12+11x1x，则lim +=.x →03.设单调可微函数f (x )的反函数为g (x ),f (1)=3,f '(1)=2,f ''(3)=6则---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------g '(3)=.4.设u =xy +2x,则du =.y35.曲线x =6y -y 在(-2,2)点切线的斜率为.6.设f (x )为可导函数,f '(1)=1,F (x )=f ()+f (x ),则F '(1)=.7.若1x2⎰f (x )0t 2dt =x 2(1+x ),则f (2)=.8.f (x )=x +2x 在[0,4]上的最大值为.9.广义积分⎰+∞0e -2x dx =.2210.设D 为圆形区域x +y ≤1,⎰⎰y D1+x 5dxdy =.三、计算题（每题5分，共40分）111+Λ+).1.计算lim(2+22n →∞n (n +1)(2n )2.求y =(x +1)(x +2)(x +3)ΛΛ(x +10)在（0，+∞）内的导数.23103.求不定积分⎰1x (1-x )dx .4.计算定积分⎰πsin 3x -sin 5xdx .3225.求函数f (x ,y )=x -4x +2xy -y 的极值.6.设平面区域D 是由y =x ,y =x 围成，计算⎰⎰Dsin ydxdy .y7.计算由曲线xy =1,xy =2,y =x ,y =3x 围成的平面图形在第一象限的面积.---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8.求微分方程y '=y -2x的通解.y四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arc tan x=arcsinx 1+x 2(-∞<x <+∞).2.设f (x )在闭区间[a ,b ]上连续，且f (x )>0,F (x )=⎰f (t )dt +⎰x xb1dt f (t )证明：方程F (x )=0在区间(a ,b )内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题.将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√；2.×；3.×；4.×；5.×；6.×；7.×；8.×；9.√；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）21.x +4x +4； 2.1； 3.1/2；4.(y +1/y )dx +(x -x /y )dy ；25.2/3；6. 1；7.336；8.8；9.1/2；10.0.三、计算题（每题5分，共40分）n +1111n +1<++L +<1.解：因为(2n )2n 2(n +1)2(2n )2n 2且lim 由迫敛性定理知：lim(n →∞n +1n +1=0lim ，=0n →∞(2n )2n →∞n 2111++Λ+)=0222n (n +1)(2n )2.解：先求对数ln y =ln(x +1)+2ln(x +2)Λ+10ln(x +10)---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------∴11210y '=++Λ+y x +1x +2x +10∴y '=(x +1)Λ(x +10)(3.解：原式=21210++Λ+)x +1x +2x +10⎰11-xd x =2⎰11-(x )2d x=2arcsin4.解：原式=x +c⎰πsin 3x cos 2xdxπ32=⎰π2020cos x sin xdx -⎰cos x sin xdx232ππ32=⎰sin xd sin x -⎰ππ2sin xd sin x32222-[sin 2x ]π=[sin 2x ]0π552=4/525.解：f x'=3x -8x -2y =0f y'=2x -2y =05π5故⎨⎧x =0⎧x =2或⎨⎩y =0⎩y =2当⎨⎧x =0''(0,0)=-2，f xy ''(0,0)=2''(0,0)=-8，f yy 时f xx⎩y =0---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Θ∆=(-8)⨯(-2)-22>0且A=-8<0∴（0，0）为极大值点且f (0,0)=0当⎨⎧x =2''(2,2)=-2，f xy ''(2,2)=2''(2,2)=4，f yy 时f xxy =2⎩Θ∆=4⨯(-2)-22<0∴无法判断6.解：D=(x ,y )0≤y ≤1,y 2≤x ≤y{}∴⎰⎰D1y sin y 1sin y sin y dxdy =⎰dy ⎰2dx =⎰[x ]y dyy 20y 0y y y =⎰(sin y -y sin y )dy1=[-cos y ]+10⎰1yd cos y 1=1-cos1+[y cos y ]0-⎰cos ydy 01=1-sin17.解：令u =xy ，v =y；则1≤u ≤2，1≤v ≤3x1x uJ =yuxv =2uv y vv-u 2v v =12v u2u v231dv =ln 3∴A =⎰⎰d σ=⎰du ⎰112v D8.解：令y =u ，知(u )'=2u -4x由微分公式知：u =y =e ⎰22dx 2(⎰-4xe ⎰-2dx dx +c )---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=e 2x (⎰-4xe -2x dx +c )=e 2x (2xe -2x +e -2x +c )四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f (x )=arctan x -arcsinx 1+x 221Θf '(x )=-21+x 1x 1-1+x 221+x -⋅1+x 2x 21+x 2=0∴f (x )=c-∞<x <+∞令x =0Θf (0)=0-0=0∴c =0即：原式成立。

高等数学习题

高等数学练习题一1、一平面过点(1,0,1)-，且平行于向量()2,1,1a →=和()1,1,0b →=-，试求这平面方程.2、求过点(3,1,2)-且通过直线43521x y z -+==的平面方程.3、求过点(3,2,5)-且与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行的直线方程。

4、求过点(0,2,4)且与两平面21x z +=和32y z -=的交线平行的直线方程。

5、求过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程.6、求过点(4,1,3)-且垂直于直线31215x y z --==的平面方程. 7、已知某直线过点(1,2,4)-, 且与平面2340x y z -+-=垂直, 则该直线方程8、已知某直线过点 (4,1,3)-, 且平行于直线31215x y z --==，则该直线方程 9、求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面方程和法线方程。

10、求曲面3z e z xy -+=在点(2,1,0)处的切平面方程和法线方程。

11、求曲线32,,x t y t z t ===在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.12、求曲线21,,1t t x y z t t t +===+在对应于01t =的点处的切线及法平面方程.高等数学练习题二1、设sin u z e v =, 而u xy =, v x y =+. 求z x ∂∂和z y∂∂. 2、设2ln z u v =, 而x u y =, 32v x y =-. 求z x ∂∂和z y∂∂. 3、设23,sin ,,x y z e x t y t -===求dz dt . 4、设22z u v =+，而,u x y v x y =+=-，求,z z x y∂∂∂∂.5、计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 由两条抛物线y =2y x =所围成闭区域.6、利用极坐标计算22xy D e dxdy --⎰⎰，其中D 是由圆周222x y a +=所围成的闭区域.7、利用极坐标计算22xy D e dxdy +⎰⎰，其中D 是由圆周224x y +=所围成的闭区域.8、计算22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰, 其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域。

高等数学练习题(附答案)

高等数学练习题(附答案)高等数学一、判断题（每题2分，共20分）1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.√ 10.√二、填空题（每题2分，共20分）1.f(x+2)=x+12.03.g'(3)=1/64.du=ydx+xdy5.-1/26.5/47.9/48.69.-2 10.π/2三、计算题（每题5分，共40分）1.1/42.y'=(∑(i=1 to 10) i/(x+i))^23.ln|x-1|+ln|x|+C4.2π5.(2,2)6.1-cos(1)7.ln3/28.y=e^x-x-1/2x^2+C一、判断题1.√2.×3.×4.×5.×二、填空题1.22.13.14.15.1三、改写后的文章2.根据函数的定义，f(x)在点x处有定义是指该点的函数值存在，而f(x)在点x处连续是指当x在该点附近时，函数值的变化趋势与x的变化趋势一致。

因此，f(x)在点x处有定义是f(x)在点x处连续的充分条件，但不是必要条件。

3.若y=f(x)在点x不可导，则曲线y=f(x)在(x,f(x))处可能有切线，也可能没有切线。

因此，该说法是错误的。

4.若f(x)在[a,b]上可积，g(x)在[a,b]上不可积，则f(x)+g(x)在[a,b]上可能可积，也可能不可积。

因此，该说法是错误的。

=0和x+y+z=0在空间直角坐标系中分别表示一个坐标轴和一个平面，而不是三个坐标轴和一个点。

因此，该说法是错误的。

四、证明题1.设f(x)=arctanx-arcsin(x/(1+x^2)^(1/2))，则f'(x)=1/(1+x^2)-x/(1+x^2)(1-x^2/(1+x^2))=0.化简可得x^2=1，即x=±1.因此，f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递减，故在(-∞,+∞)上存在唯一实根。

高等数学第四章不定积分习题

第四章不定积分§ 4 – 1 不定积分的概念与性质一.填空题1．若在区间上)()(x f x F ='，则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。

2．F(x)是)(x f 的一个原函数，则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3．因为dxxx d 211)(arcsin -=,所以arcsinx 是______的一个原函数。

4．若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3x 成正比例，并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该曲线方程为__________?。

二．是非判断题1．若f ()x 的某个原函数为常数，则f ()x ≡0. [ ] 2．一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3． ()()()⎰⎰'='dx x f dx x f . [ ] 4．若f ()x 在某一区间内不连续，则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5.=y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ]三．单项选择题1．c 为任意常数，且)('x F =f(x),下式成立的有。

（A ）⎰=dx x F )('f(x)+c; （B ）⎰dx x f )(=F(x)+c; （C ）⎰=dx x F )()('x F +c; (D) ⎰dx x f )('=F(x)+c.2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数，f(x)≠0，则下式成立的有。

（A ）F(x)=cG(x); （B ）F(x)= G(x)+c; （C ）F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ⋅=c. 3．下列各式中是||sin )(x x f =的原函数。

(A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|;(c)y={;0,2cos ,0,cos <-≥-x x x x (D) y={.0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。

高等数学基础练习题

高等数学基础练习题函数（一）单项选择题⒈下列各函数对中，（）中的两个函数相等．A. 2)()(x x f =，x x g =)(B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(=D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（）对称．A. 坐标原点B. x 轴C. y 轴D. x y =⒊下列函数中为奇函数是（）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y +=⒋下列函数中为基本初等函数是（）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2x y =D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y⒌下列极限存计算不正确的是（）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x xC. 0sin lim =∞→x xx D. 01sin lim =∞→x x x⒍当0→x 时，变量（）是无穷小量．A. x xsin B. x 1C. x x 1sin D. 2)ln(+x⒎若函数)(x f 在点0x 满足（），则)(x f 在点0x 连续。

A. )()(lim 00x f x f x x =→B. )(x f 在点0x的某个邻域内有定义C. )()(lim 00x f x f x x =+→D. )(lim )(lim 00x f x f x x x x -+→→=（二）填空题⒈函数)1ln(39)(2x x x x f ++--=的定义域是．⒉已知函数x x x f +=+2)1(，则=)(x f ．⒊=+∞→x x x)211(lim ． ⒋若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=0,0,)1()(1x k x x x x f x ，在0=x 处连续，则=k ．⒌函数⎩⎨⎧≤>+=0,sin 0,1x x x x y 的间断点是． ⒍若A x f x x =→)(lim 0，则当0x x →时，A x f -)(称为．导数与微分（一）单项选择题⒈设0)0(=f 且极限x x f x )(lim0→存在，则=→xx f x )(lim 0（）． A. )0(f B. )0(f 'C. )(x f 'D. 0⒉设)(x f 在0x 可导，则=--→hx f h x f h 2)()2(lim 000（）． A. )(20x f '- B. )(0x f 'C. )(20x f 'D. )(0x f '- ⒊设xx f e )(=，则=∆-∆+→∆xf x f x )1()1(lim 0（）． A. e B. e 2C. e 21D. e 41 ⒋设)99()2)(1()(---=x x x x x f ，则=')0(f （）． A. 99 B. 99-C. !99D. !99-⒌下列结论中正确的是（）．A. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 可导．B. 若)(x f 在点0x 连续，则在点0x 可导．C. 若)(x f 在点0x 可导，则在点0x 有极限．D. 若)(x f 在点0x 有极限，则在点0x 连续．（二）填空题⒈设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x x x x f ，则=')0(f ．⒉设x x x f e 5e )e (2+=，则=x x f d )(ln d ． ⒊曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是．⒋曲线x x f sin )(=在)1,2π(处的切线方程是． ⒌设x x y 2=，则='y ．⒍设x x y ln =，则=''y ．导数的应用（一）单项选择题⒈若函数)(x f 满足条件（），则存在),(b a ∈ξ，使得a b a f b f f --=)()()(ξ． A. 在),(b a 内连续B. 在),(b a 内可导C. 在),(b a 内连续且可导D. 在],[b a 内连续，在),(b a 内可导⒉函数14)(2-+=x x x f 的单调增加区间是（）．A. )2,(-∞B. )1,1(-C. ),2(∞+D. ),2(∞+-⒊函数542-+=x x y 在区间)6,6(-内满足（）．A. 先单调下降再单调上升B. 单调下降C. 先单调上升再单调下降D. 单调上升⒋函数)(x f 满足0)(='x f 的点，一定是)(x f 的（）．A. 间断点B. 极值点C. 驻点D. 拐点⒌设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，),(0b a x ∈，若)(x f 满足（），则)(x f 在0x 取到极小值．A. 0)(,0)(00=''>'x f x fB. 0)(,0)(00=''<'x f x fC. 0)(,0)(00>''='x f x fD. 0)(,0)(00<''='x f x f⒍设)(x f 在),(b a 内有连续的二阶导数，且0)(,0)(<''<'x f x f ，则)(x f 在此区间内是（）．A. 单调减少且是凸的B. 单调减少且是凹的C. 单调增加且是凸的D. 单调增加且是凹的（二）填空题⒈设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，且当0x x <时0)(<'x f ，当0x x >时0)(>'x f ，则0x 是)(x f 的点．⒉若函数)(x f 在点0x 可导，且0x 是)(x f 的极值点，则=')(0x f ． ⒊函数)1ln(2x y +=的单调减少区间是．⒋函数2e )(x xf =的单调增加区间是．⒌若函数)(x f 在],[b a 内恒有0)(<'x f ，则)(x f 在],[b a 上的最大值是． ⒍函数3352)(x x x f -+=的拐点是．（三）计算题⒈设函数 ⎩⎨⎧≤>=0,0,e )(x x x x f x 求：)1(,)0(,)2(f f f -．⒉求函数xx y 12lg -=的定义域．⒊在半径为R 的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数．⒋求x xx 2sin 3sin lim 0→．⒌求)1sin(1lim 21+--→xx x ．⒍求x xx 3tan lim 0→．⒎求x x x sin 11lim 20-+→．⒑设函数⎪⎩⎪⎨⎧-<+≤≤->-=1,111,1,)2()(2x x x x x x x f 讨论)(x f 的连续性．。

高等数学练习题(函数)

x0 x0
3、
x 2 1 f ( x) x 1 k
4、
k f ( x) 2 sin x
x0 x0
k f ( x ) 1 5、 sin x x
x0 x0
二、当 x 0 时，试比较无穷小 sinx , 2 x 的阶。

ln x dx x
1 dx x
C、 0 x cos xdx D、 C、 1

x dx 2 1 x
2x e 5、 A、 dx
0

1 dx x
D、 0

x dx 2 1 x
三、计算：
x
0
3
x 1dx
四、求下列各题中所给曲线及直线围成的平面图形面积
2 1、 y x ,
f ( 0)
3
x2 1 f ( x) 、 x
x0 x0
2 4、 f ( x) ln(x x 3)
三、判断函数的奇偶性
1、 f ( x ) e x e x 2、 f ( x ) x sinx
1 y x2 2
3 3、 f ( x ) x cos x
五、判断下列级数的敛散性，如收敛说明其是绝对收敛还是条件收敛。 n n ( 1 ) 2 ( n 1 ) n 1
练习题十一一、填空题： 1、一阶线性微分方程的标准形式是。 2 3 4 2、观察微分方程的阶数。微分方程 ( y) ( y) xy 0 是阶微分方程。. 3、若一阶微分方程可以表示成形式，则称其为一阶变量分离的微分方程。二、求下列微分方程的通解： 1、 y 2 x 0 4、
D
dxdy dxdy

完整)高等数学练习题附答案

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

高等数学习题答案4

四、导数的应用1. 验证函数()ln sin f x x = 在[π5π,66]上满足罗尔定理的条件，并求出相应的ξ，使()0f ξ'=.解：()lnsin f x x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛65,6ππ上可导，且 2ln 656-=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf f ，显然满足罗尔定理的三个条件. ()x x x f sin cos '=，若令()0'=ξf ，则有2πξ=. 2. 下列函数在指定区间上是否满足罗尔定理的三个条件?有没有满足定理结论中的ξ[]2(1)()1,1,1x f x =--e解：()1)1(1-==-e f f ，且连续、可导，满足罗尔定理中的三个条件. ()22'x xe x f =，若令()0'=ξf ，则有0=ξ.[](2)(),0,21f x x =-解：函数在1=x 点的导数不存在，故不满足罗尔定理的条件.[]sin ,0π(3)()0,π1,0x x f x x <≤⎧=⎨=⎩解：函数在0=x 点不连续，故不满足罗尔定理的条件.3. 不用求出函数()(1)(2)(3)f x x x x =---的导数，说明方程()0f x '=有几个实根，并指出它们所在的区间.解：0)2()1(==f f ，根据罗尔定理知：存在)2,1(1∈ξ，使得0)('1=ξf ;同理0)3()2(==f f ，根据罗尔定理知：存在)3,2(2∈ξ，使得0)('2=ξf ; 又由于)('x f 是二次方程，最多只有两个不相等的实根，故0)('=x f 的两个实根分别为)2,1(1∈ξ，)3,2(2∈ξ.4. 验证拉格朗日中值定理对函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上的正确性. 解：割线的斜率301)0()1(=--=f f k ，23)('2+=x x f ，若令()3'=ξf ，则有33=ξ. 5. 已知函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0)()(==b f a f ,试证：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈证明：构造函数)()(x f e x F x=，显然)(x F 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且0)()(==b F a F ，根据罗尔定理：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得0)('=ξF ，进而得到()()0,(,)f f a b ξξξ'+=∈. 6. 若方程10110n n n a x a x a x --+++=有一个正根0x ,证明方程 12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根.解：令x a x a x a x f n n n 1110)(--+++= ，方程10110n n n a x a x a x --+++=有正根0x ，即0)(0=x f ，同时0)0(=f ，得到)0()(0f x f =，根据罗尔定理，存在),0(0x ∈ξ，使得0)('=ξf ，即12011(1)0n n n a nx a n x a ---+-++=必有一个小于0x 的正根.7. 设()()()f a f c f b ==,且a c b <<,()f x ''在[],a b 上存在，证明在(),a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=解：)()(c f a f =，根据罗尔定理：存在),(1c a ∈ξ，使得0)('1=ξf ;)()(c f b f =，根据罗尔定理：存在),(2b c ∈ξ，使得0)('2=ξf ;由)("x f 在],[b a 上存在，得到)('x f 在],[b a 上连续且可导，又0)(')('21==ξξf f ，根据罗尔定理知：存在),(21ξξξ∈，使得0)("=ξf . 8. 利用洛必达法则求下列极限. (1) sin3limtan5x xx π→53-= (2) 0e 1lim (e 1)x x x x x →---21=(3) lim m m n n x a x a x a →--nm a nm -=(4)0lim sin ln x x x +→ 0= (5) 0e 1lim()e 1x x x x →--23=(6) 1lim(1sin )xx x →+e =(7) 2lim (arctan )πx x x →+∞π2-=e(8)2120lim e x x x → +∞→(9) lim )x x →+∞31=(10) 1101lim (1)e xxx x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦21-=e921lim1x x mx nx →++-=5,求常数m ,n解：由5212lim 1lim121=+=+=-++→→m mx x n mx x x x ，得到3=m ; 由01lim 21=++=++→n m n mx x x ，得到4-=n .10．设f (x )具有二阶连续导数，且f (0)=0,试证g (x )= (),0'(0),0f x x x f x ⎧≠⎪⎨⎪=⎩解：当0≠x 时，2)()(')('x x f x x f x g -=，显然)('x g 连续; 当0=x 时，)0("212)0(')('lim )0(')(lim )0('00f x f x f x f x x f g x x 导数定义洛必达法则=-=-=→→;)0("212)("lim 2)(')(')("lim )()('lim )('lim 00200f x f x x f x f x x f xx f x x f x g x x x x ==-+=-=→→→→ )('x g 在0=x 点的函数值和极限值相等，故在0=x 点也连续;综上得到)(x g 可导，且导函数连续.11．求下面函数的单调区间与极值(1)32()26187f x x x x =---解：单调增区间为)1,(--∞，),3(+∞; 单调减区间为)3,1(-;(2)()ln f x x x=-解：单调增区间为),1(+∞; 单调减区间为)1,0(;12. 试证方程x x =sin 只有一个根.解：构造函数x x x f -=sin )(，显然)(x f 连续.0212>+-=⎪⎭⎫⎝⎛-ππf ，0212<-=⎪⎭⎫⎝⎛ππf因此022<⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f ，根据零点定理：存在⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππξ，使得0)(=ξf . 又01cos )('≤-=x x f ，)('x f 只在一些孤立点上的值为0，因此)(x f 严格单调递减，只能存在唯一的一个根.13. 已知()([0,))f x C ∈+∞，若f (0) = 0, f ′(x )在[0,)+∞内存在且单调增加，证明()f x x在[0,)+∞内也单调增加.解：令xx f x F )()(=，则 22)]0()([)(')()(')('xf x f x x f x x f x x f x F --=-= x f x f xx f x x f )(')(')(')('2ξξ-=-=柯西中值定理，其中()x ,0∈ξ 由于函数)('x f 在],0[+∞单调递增，故0)('>x F ，即)(x F 单调增加. 14.证明下列不等式(1) 1+12x x ＞0；解：构造函数x xx f +-+=121)(0,012121)('>>+-=x xx f ，即函数)(x f 单调增加，且0)0(=f ，则 0,0)(>>x x f 时恒成立，即证.(2) x -22x ＜ln (1+x )＜x , x ＞解：构造函数)1ln()(x x x f +-=构造函数⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+=2)1ln()(2x x x x g15. 试问a 为何值时，1()sin sin 33f x a x x =+在3x π=处取得极值?是极大值还是极小值?并求出此极值.解：x x a x f 3cos cos )('+=，令03'=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则2=a ; 033"<-=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，该点是极大点. 16.讨论下列函数的凸性，并求曲线的拐点： (1)23y x x =- 解：062"=-=x y ，31=x 当⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈31,x 时，0">y ，函数下凸;当⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞∈,31x 时，0"<y ，函数上凸;拐点为⎪⎭⎫⎝⎛272,31.(2) 2ln(1)y x =+ 解： (3) =e xy x解：17.利用函数的凸性证明下列不等式：(1) e e 2x y+＞2e x y+， x ≠y解：构造函数x e x f =)(，0)(">=xe xf ，得到函数)(x f 下凸;根据下凸的定义有：2)()(2y f x f y x f +<⎪⎭⎫⎝⎛+，即22yx y x e e e+<+.(2) x ln x +y ln y ＞(x +y )ln 2x y +,x ＞0,y ＞0,x ≠y解：构造函数x x x f ln )(=18．当a ，b 为何值时，点(1，3)为曲线y =a 3x +b 2x 的拐点．解：23-=a ，29=b复习题四一、填空1．设2)(x x f =，则在x x x ∆+,之间满足拉格朗日中值定理结论的=ξ2xx ∆+. 2．设函数)(x g 在],[b a 上连续，),(b a 内可导，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使=-)()(a g b g e e))((')(a b g e g -ξξ 成立．3．)0,0()(≥>=-x n e x x f xn的单增区间是),0(n ，单减区间是),(+∞n . 4．若点)34,1(为曲线b x ax y +-=23为拐点，则 a =31，=b 32． 5．曲线11+-=x x y 的水平渐近线为1=y ，铅垂渐近线为1-=x ．二、选择1．函数)(x f y =具有下列特征：,0)0(',1)0(==f f 当0≠x 时，0)('>x f⎩⎨⎧>><<=0,00,0)(''x x x f ，则其图形为 B（A ）（B ）（C ）（D ）2．设)(x f 在],[b a 上连续，)()(b f a f =，且)(x f 不恒为常数，则在),(b a 内 A（A ）必有最大值或最小值（B ）既有极大值又有极小值（C ）既有最大值又有最小值（D ）至少存在一点ξ，使0)('=ξf三．求极限.)1ln()21(lim2210x x e xx ++-→ 解：洛必达法则得到极限为1. 四．证明：当20π<<x 时，有x x x 3sin 2tan >+成立．解：x x x x f 3sin 2tan )(-+=，3cos 2sec )('2-+=x x x f20,0cos cos 1sin 2sin 2tan sec 2)("332π<<>-=-=x xx x x x x x f ，故有)('x f 单调递增，0)0('=f ，得到0)('>x f ，函数)(x f 单调递增且0)0(=f ，得到0)(>x f ，即证. 五. 设,],,[)(b d c a b a C x f <<<∈且证明],,[b a ∈∃ξ 使).()()()(d f c f f βαξβα+=+解：设函数)(x f 在],[b a 上的最小值和最大值分别为)(min x f 和)(max x f ，不妨设)()(d f c f ≤，则有)(max )()()(min x f d f c f x f ≤≤≤，)(m in )()()()()(x f c f c f c f d f c f ≥=+++≥+++βαββααβαββαα)(m ax )()()()()(x f d f d f d f d f c f ≤=+++≤+++βαββααβαββαα根据介值定理，],[b a ∈∃ξ，使得)()()(d f c f f βαββααξ+++=.。

高数下册练习题

高等数学（第二册）练习题1一、选择题1、函数()y x f z ,=在()0,0y x 处的偏导数x z 、y z 存在是函数()y x f z ,=在该点连续的（）A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 2、微分方程x e y y y y x 342=-'-''是（）A. 二阶线性微分方程 B.二阶齐次微分方程C.二阶非齐次线性微分方程 D.二阶非齐次非线性微分方程3、下列说法中不正确的是（）A. 若0=⋅b a ，则向量b a ,垂直 B. 若0 =⨯b a ，则向量b a,平行C. 若平面π过x 轴，则平面π方程的形式为：0=++D Cz ByD. 若平面垂直与x 轴，则平面方程的形式为0=+D x ；4、设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y xF xy z ，其中()u F 为可微函数，则=∂∂+∂∂y z yx z x ( ) A.xz y + B. xy z + C. yz x + D.xy z - 5、设二重积分()⎰⎰=+Ddxdy y x 2（）其中D 是区域(){}20,11,≤≤≤≤-y x y x A.5 B.6 C.7 D.86、无穷级数()∑∞=-113n nn n x 的收敛半径（） A. 3 B. 0.3 C. 32 D. 31 7、若∑∞=-1)5(n n nx a在x=3处收敛，则它在x=-3处（） A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 不能确定二、填空题1.二阶齐次线性微分方程0106=+'+''y y y 的通解是__________； 2、函数xy e z =的全微分_______________ 3、交换二次积分I 的积分次序，=I ()=⎰⎰--dy y x f dx x 21011,_____________ ； 4、过点()2,0,1-且与平面012752=+-+z y x 垂直的直线方程__________ ；5、以点()2,3,1-为球心，2为半径的球面方程_________________ ；6、函数x e y =的麦克劳林级数_____________________________ 。

《高等数学》练习题库及答案,DOC(word版可编辑修改)

A、B、eC、-eD、-e—1 12、下列有跳跃间断点 x=0 的函数为（）
A、xarctan1/xB、arctan1/x C、tan1/xD、cos1/x 13、设 f（x)在点 x0 连续，g(x)在点 x0 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x）+g(x）在点 x0 必不连续 B、f(x）×g（x)在点 x0 必不连续须有 C、复合函数 f[g（x）］在点 x0 必不连续 D、在点 x0 必不连续
C、-1/2D、1
48、两椭圆曲线 x2/4+y2=1 及(x—1)2/9+y2/4=1 之间所围的平面图形面积等于（)
A、лB、2лC、4лD、6л
49、曲线 y=x2—2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）
A、лB、6л/15
C、16л/15D、32л/15
50、点（1，0,-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）
5．下列命题正确的是（)
A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界
C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛
6． lim sin(x2 1) （）
x1 x 1
A.1B。0
C。2D.1/2
7．设 lim(1 k )x e 6 则 k=（)
x
x
A。1B.2
C.6D。1/6
8。当 x 1 时,下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（)
7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2,求 dρ/dψ|ψ=л/6=（)
8、已知 f(x)=3/5x+x2/5，求 f`（0）=()
9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（)
《高等数学》练习题库及答案,DOC(word 版可编辑修改) 10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1）=（）

高等数学复旦大学出版第三版课后答习题四

习题四1. 利用定义计算下列定积分：（1）d ();b ax x a b <⎰解：将区间[a , b ]n 等分，分点为(), 1,2,,1;i i b a x a i n n-=+=-记每个小区间1[,]i i x x -长度为,i b a x n-∆=取, 1,2,,,i i x i n ξ==则得和式211()2(1)()[()]()2nni i i i i b a b a n n f x a b a a b a nnnξ==--+∆=+-⋅=-+∑∑由定积分定义得22122()(1)d lim()lim[()]21 ().2nb i i an i b a n n x x f x a b a nb a λξ→→∞=-+=∆=-+=-∑⎰(2)1e d .xx ⎰解：将区间[0, 1] n 等分，分点为 (1,2,,1),i i x i n n==- 记每个小区间长度1,i x n ∆=取(1,2,,),i i x i n ξ== 则和式111()innni i i i f x e nξ==∆=∑∑12101111111e d lime lim(e e e )1e (1e )1e (e 1)limlim1e e 11e(e 1)1lime 1.1i nnxnn n n n n i n nnn n n n n n x nnn nn nn→∞→∞=→∞→∞→∞==+++--==---==-∑⎰2. 利用定积分概念求下列极限：111(1)lim 122n n n n →+∞⎛⎫+++ ⎪++⎝⎭解：原式110011111lim d ln 2.ln(1)121111n x x nn xn n n →+∞⎛⎫+++⎪=⋅===++++⎪+⎝⎭⎰21(2)limn n→+∞+解：原式1320122lim ..33n x xn→+∞⎛====+⎝⎰3. 用定积分的几何意义求下列积分值:10(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)R x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .4. 证明下列不等式：2e 22e(1)e e ln d 2(e e)x x -≤≤-⎰；证明：当2e e x ≤≤时，2ln e ln ln e ,x ≤≤即1ln e.x ≤≤ 由积分的保序性知：222e e e e e ed ln d 2d x x x x ≤≤⎰⎰⎰即 2e 22ee e ln d 2(e e).x x -≤≤-⎰(2) 211e d e.xx ≤≤⎰证明：当0 1.x ≤≤时，21e e,x ≤≤ 由积分的保序性知：211100d e d ed xx x x ≤≤⎰⎰⎰即211e d e.xx ≤≤⎰5. 证明：（1）120lim0;nn xx →∞=⎰证明：当102x ≤≤时，0,nnx ≤≤于是111220110d (),12nn x x n +≤≤=⋅+⎰⎰而111lim()0,12n n n +→∞⋅=+由夹逼准则知：120lim0.nn x →∞=⎰(2) π40limsin d 0.nn x x →∞=⎰证明：由中值定理得π440ππsin d sin (0)sin ,44nnx x ξξ=⋅-=⎰其中π0,4ξ≤≤故π40πlimsin d limsin 0 ( 0sin 1).4nnn n x x ξξ→∞→∞==≤<⎰6. 计算下列定积分：3(1);x ⎰解：原式43238233x==-221(2)d x x x --⎰; 解：原式01222211()d ()d ()d x x x x x x x x x -=-+-+-⎰⎰⎰1232233210111111132233251511.6666x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=π(3)()d f x x ⎰,其中π,0,2()πsin ,π;2x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩解：原式πππ2π222π0π221πd sin d cos 1.28x x x x xx=+=-=+⎰⎰222(4)max{1,}d ;x x -⎰解：原式121122233211212011d d d 2.333x x x x x xx-----=++=++=⎰⎰⎰(5).x解：原式πππ242π04d (cos sin )d (sin cos )d sin cos x x x x x x x x x ==-+--⎰⎰⎰ππ24π04(sin cos )(cos sin )1).x x x x =++--=-7. 计算下列导数：2d(1)d x t x⎰解：原式2=32d (2)d x xx⎰解：原式3220d dd d x x xx==-⎰⎰8. 求由参数式202sin d cos d t tx u uy u u⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定的函数y 对x 的导数d d y x.解：222d d cos d cot .d d sin d y yt t t x x t t=== 9. 求由方程0e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数.解：方程两边对x 求导，有e cos 0yy x '⋅+=又 e 1sin yx =- 故 c o s s i n 1xy x '=-.10. 求下列极限：23ln(12)d (1)lim;x x t tx→+⎰解：原式212223ln(12)22limlim ln(12).333x x x x x x→→+==+=2220020e d (2)lim.ed x t x x tt t t→⎡⎤⎣⎦⎰⎰解：原式222222202e d ee d 1lim2lim2lim2.12eexx txtxxx x x t txx x →→→⋅====+⎰⎰11. a , b , c 取何实数值才能使21limsin x bx t c x ax→=-⎰成立.解：因为0x →时，sin 0x ax -→而该极限又存在，故b =0.用洛必达法则，有22000,1,limlim 2cos cos lim 2, 1.sin x x x a xxx x ax a a x →→→≠⎧⎪==⎨--=-=⎪-⎩所以 1,0,2a b c ===- 或 1,0,0a b c ≠==.12. 利用基本积分公式及性质求下列积分：2(1)5)d x x -⎰;解：原式51732222210d 5d 73xx x x x x c =-=-+⎰⎰.(2)3e d xxx ⎰；解：原式=(3e)(3e)d .ln(3e)xxx c =+⎰23(3)d ;1x x ⎛- +⎝⎰ 解：原式=321d 23arctan 2arcsin .1x x x x c x-=-++⎰⎰22(4)d ;1xx x+⎰解：原式=22211d d d arcsin .11x xx x x x c xx+-=-=-+++⎰⎰⎰2(5)sind 2x x ⎰;解：原式=1cos 1d sin .222xx x x c -=-+⎰21(6);1x x ⎛- ⎝⎰解：原式=357144444d d 4.7x x x x x xc ---=++⎰⎰2d (7);x x⎰解：原式=21d x x c x-=-+⎰.(8);x ⎰解：原式=35222d 5x x x c =+⎰.(9)⎰解：原式=25322d 3x x xc --=-+⎰.2(10)(32)d ;x x x -+⎰解：原式=32132.32x x x c -++422331(11)d ;1x x x x +++⎰ 解：原式=23213d d arctan .1x x x x x c x+=+++⎰⎰3(12)d 2e x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰;解：原式=2e 3ln .xx c ++(13)e d ;1xxx-⎛⎫-⎝⎰解：原式=1e d e .xxx x c-=-+⎰⎰2352(14)d ;3x xxx ⋅-⋅⎰解：原式=5222d 5d 2233ln 3xxx x x c ⎛⎫⎛⎫-=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰. (15)sec (sec tan )d x x x x -⎰；解：原式=2sec d sec tan d tan sec x x x x x x x c -=-+⎰⎰.1(16)d 1cos 2x x+⎰; 解：原式=22111d sec d tan 2cos 22x x x x c x ==+⎰⎰.cos 2(17)d cos sin x x x x-⎰;解：原式=(cos sin )d sin cos .x x x x x c +=-+⎰22cos 2(18)d cos sin x x x x⎰.解：原式=2211d d cot tan .sin cosx x x x c xx-=--+⎰⎰13. 一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+. 14. （略）.15. 利用换元法求下列积分：2(1)cos()d x x x ⎰;解：原式=22211cos d sin .22x x x c =+⎰sin cos (2)x xx +⎰;解：原式=12333(sin cos )d(sin cos )(sin cos ).2x x x x x x c ---=-+⎰21x -解：原式=1d 112x c -=-+-+⎰.c =+3(4)cos d x x ⎰;解：原式=231(1sin )d sin sin sin .3x x x x c -=-+⎰(5)cos cos d 2xx x ⎰；解：原式=1133d sin sin .cos cos 232222x x x x c x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ (6)sin 2cos 3d x x x ⎰;解：原式=111(sin 5sin )d cos cos 5.2210x x x x x c -=-+⎰2arccos (7)xx ⎰;解：原式=2arccos 2arccos 1110d (2arccos )10.22ln 10xxx c -=-⋅+⎰21ln (8)d (ln )x x x x +⎰;解：原式=21(ln )d(ln ).ln x x x x c x x-=-+⎰arctan(9)x ⎰;解：原式=22arctan(arctan .c =+⎰ln tan (10)d cos sin x x x x⎰;解：原式=21ln tan d (ln tan )(ln tan ).2x x x c =+⎰5(11)ed xx -⎰; 解：原式=51e5xc --+.12x -解：原式=1ln .122c x -+-sin(13)t⎰;解：原式=2sin2cos.c =-⎰102(14)tansec d x x x ⎰;解：原式=10111tan d (tan )tan.10x x x c =+⎰2d (15)ln x x x⎰;解：原式=21(ln )d (ln ).ln x x c x--=+⎰(16)tan x ⎰;解：原式=tan ln .cos c =-+⎰d (17)sin cos x x x⎰;解：原式=2d d tan ln .tan tan cos tan xx c x x xx==+⎰⎰2(18)ed xx x -⎰;解：原式=22211ed()e.22xxx c ----=-+⎰10(19)(4)d x x +⎰;解：原式=111(4)11x c ++.(20)⎰解：原式=123311(23)d(23)(23)32x x x c ----=--+⎰.2(21)cos()d x x x ⎰;解：原式=2211sin()sin().22d x x c =+⎰(22)x ⎰;解：原式=122222d 1()d ()2x x a a x a x -⎛⎫ ⎪=---⎰⎰⎰arcsin .x a c a=⋅-d (23)e exxx -+⎰;解：原式=2d(e )arctane .1(e )xxxc =++⎰ln (24)d x x x⎰;解：原式=21ln d(ln )(ln ).2x x x c =+⎰23(25)sin cos d x x x ⎰;解：原式=223511sin (1sin )d(sin )sin sin .35x x x x x c -=-+⎰(26)⎰解：原式32tan 444sec cos 1sin d d d(sin )tansinsin x tttt t t t ttt=-==⎰⎰⎰令311,3sin sin c tt=-++又cos sin t t ==故上式23(2.3x c x-=+d (27)x ⎰;解：原式d ln |1|ln(1.1tt t t c c t =-++=+++(28);x x⎰100解：原式3sec 223tan d 3(sec 1)d 3tan 3x tt t t t t t c ==-=-+⎰⎰令,又3tan arccos ,t t x===故上式=33arccosc x+.(29)⎰;解：原式2tan 3sec d cos d sin sec x tt t t t t c t===+⎰⎰令,又sec t =,所以sin t =,故上式c =.(30)⎰解：原式sin cos d sin cos x ttt t t =+⎰令① sin d sin cos tt t t +⎰②① + ② = t + c 1② － ① = ln |sin t +cos t | + c 2故cos 1d ln sin cos sin cos 2211arcsin ln .22tt t ct t t tx c x =++++=+++⎰16. 用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222d cos cos 2cos d cos 2d sin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++ (2)e d xx x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰101(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰.2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331xx x x x x x=-+⎰⎰322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++(5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=-⎰.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)ecos d xx x -⎰;解：e cos d ed sin esin esin d x xxxx x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰esin e d cos esin ecos ecos d xxxxxx x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e(sin cos ).2xx x c --+(8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x⎰;解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x xx x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰102321366(ln )(ln )ln .x x x c xxxx=----+(10)x ⎰. 解：原式tan 23secd .x a tat t =⎰又32secd sec (tan1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰ 故11ln .22x c x =++⎰17. 求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰;解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+33d (2)1xx +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x xx x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰ln3c =+.5438(3)d x x x x x+--⎰;解：原式=2843d 111x x x xx x ⎛⎫+++--⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++-26(4)d 1xx x +⎰;103解：原式=33321d ()1arctan .31()3x x c x=++⎰sin (5)d 1sin xx x+⎰; 解：原式=222sin 1d tan d (sec1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c xx-=--=-++⎰⎰⎰cot (6)d sin cos 1x x x x ++⎰;解：原式22tan222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t tttt t t t t t t t tt tt t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令 1111ln ln tan .tan222222x x t c c t =-+=-+(7)x ⎰;解：原式=22.c =+⎰(8)x ⎰;解：原式=2d 2ln 21x x x x xx x ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭⎰⎰又2d xx⎰2221d 44d 11tt t t t t =+--⎰⎰142ln2ln1t t c c t -''=++=++故原式=41)x c -++.18. 求下列不定积分，并用求导方法验证其结果正确否：d (1)1exx +⎰; 解：原式=e d 11de ln(1e ).e (1e )e 1e xx xx xx x xx c ⎛⎫==-++- ⎪++⎝⎭⎰⎰104验证：e1(ln(1e ))1.1e1ex xxxx c '-++=-=++所以，结论成立.(2)ln(x x +⎰;解：原式=ln(ln(.x x x x x c +-=+-⎰验证：ln(ln(x x x x c '⎡⎤=++-+-⎣⎦ln(x =+所以，结论成立.2(3)ln(1)d x x +⎰;解：原式=2222ln(1)2d ln(1)22arctan 1xx x x x x x x c x+-=+-+++⎰.验证：2222222ln(1)2ln(1).ln(1)22arctan 11x x x x x x x x c xx'=++⋅-+=+⎡⎤+-++⎣⎦++所以，结论正确.(4)x ⎰;解：原式=9212)arcsin(.232x x x c ++=++⎰验证：921a r c s i n (232x x '+⎡++⎢⎣211(2)32x =++=+=所以，结论正确.(5)sin(ln )d x x ⎰;解：1s i n (l n )d s i n (l n )c o s (l n )dx x x x x x x x=-⋅⋅⎰⎰ sin(ln )cos(ln )sin(ln )d x x x x x x =--⎰105所以，原式=().sin(ln )cos(ln )2x c x x +-验证： ()s i n (l n )c o s (l n )2xc x x '⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦()111sin(ln )cos(ln )cos(ln )sin(ln )22sin(ln ).x x x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+⋅ ⎪⎝⎭=故结论成立.2e(6)d (e 1)xxx x +⎰;解：原式=1e1d d d e 1e1e 11ee 1x xxxxx x x x x x --⎛⎫-=-+=-+⎪+++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1e).e 1xxx c --=-+++验证：22(e 1)e e e ln(1e )(e 1)1e (e 1)e 1x xx x xx x x x x x x c ---'-++--⎡⎤=-=-++⎢⎥++++⎣⎦. 故结论成立.23/2ln (7)d (1)x x x +⎰;解：原式=1ln d d ln(.x x x c x⎛=-=-++⎝⎰⎰验证：ln(x c '⎤++⎥⎦2223/223/21(1ln )(1)ln ln .(1)(1)xx x x xxx x =+++-=-=++所以，结论成立.sin (8)d 1cos x x x x++⎰;解：原式=2d cos d d tanln(1cos )1cos 22cos2x xx x x x x x -=-++⎰⎰⎰106tan tand ln(1cos )22tan ln(1cos )ln(1cos )2tan2x x x x x x x x x c x x c=--+=++-++=+⎰ 验证：2221sin sin (tan )tan sec22221cos 2cos2cos22x x x x x x x x c x x x x+'+=+⋅=+=+所以，原式成立.(9)()d xf x x ''⎰;解：原式=d ()()()d ()().x f x xf x f x x xf x f x c ''''=-=-+⎰⎰验证：[]()()()().()()f x xf x f x xf x xf x f x c ''''''''=+-=-+ 故结论成立.(10)sin d nx x ⎰ (n >1，且为正整数).解：1sin d sind cos nn n I x x x x -==-⎰⎰1221212cos sin (1)cos sin d cos sin (1)sind (1)sin d cos sin(1)(1)n n n n nn n nx x n x x xx x n x x n x x x x n I n I ------=-+-=-+---=-+---⎰⎰⎰故 1211cos sin.n n n n I x x I nn---=-+验证： 1211cos sin sin d n n n x x x x n n --'-⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦⎰ 22222111sin cos (1)sincos sin 111sin (1sin )sinsinsin .nn n n n n nn x x n x x xn nn n n x x x xn nnx -----=-⋅-⋅+--=--+=故结论成立.19. 求不定积分max(1,)d x x ⎰. 解： ,1m ax(1,)1,11,1x x x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩107故原式=212231,12,111,12x c x x c x x c x ⎧-+<-⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪+>⎩ 又由函数的连续性，可知：213111,1,2c c c c c c =+=+=所以 221,121m ax(1,)d ,11211,12x c x x x c x x x c x ⎧-+<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰ 20. 利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||a ax x x -⎰解：因sin ||x x 为[－a , a ]上的奇函数，故s i n d 0.||a ax x x -=⎰(2)ln(aax x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -+=-+即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos 3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos 3x x x+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1x x x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-108π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰. 解：因为3ln3x x+-是奇函数，故原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰ 21. 计算下列积分：40(1)x ⎰;333211221313d .36222t t t t ⎛⎫⎛⎫==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2e1(2)⎰解：原式=221e211).(1ln )d (1ln )x x -=-++=⎰1(3)⎰解：原式=211d 112⎛⎫+ ⎪-==π4sin (4)d 1sin x x x+⎰;解：原式=πππ244422sin(1sin )sin d d tan d cos cos x x x x x x xx-=-⎰⎰⎰π4π1 2.tan 4cos x x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭ln 3ln 2d (5)e exxx --⎰;解：原式=ln 3ln 32ln 2ln 2de113e 1lnln.(e )1222e 1xxxx-==-+⎰109π(6)x ⎰;解：原式=ππππ2π0002d cos d cos d cos x x x x x x x ==-⎰⎰ππ2π02xx=-=π0(7)x ⎰;解：原式=π33ππ222π02d sin d sin sin d sin x x x x x x =-⎰⎰⎰ππ55222π02422.sin sin 555xx=-=231(8)ln d x x x ⎰;解：原式=22243411111151ln d d 4ln 2.ln 44164x x x x x x=-=-⎰⎰π220(9)ecos d xx x ⎰;解：ππππ222222220ec o sde d s i n e s i n 2e s i n dxxxxx x x x x x ==⋅-⎰⎰⎰πππ2π2π22220e 2e d cos e 2ecos 4ecos d x xxx xx x =+=+-⎰⎰所以，原式=π1(e 2)5-.12ln(1)(10)d (2)x x x +-⎰;解：原式=1110111ln(1)ln(1)dd 2212x x x xx xx++=-⋅--+-⎰⎰1011111ln 2d 321111ln 2ln 2ln(2)ln(1)333x x xx x ⎛⎫=-+ ⎪-+⎝⎭=+-=-+⎰110322d (11)2x x x +-⎰;解：原式=3322111111d ln ln 2ln 5.333122x x x x x -⎛⎫==-- ⎪-++⎝⎭⎰21(12)x ⎰;解：原式11611d 6d (1)t 1t t t t t ⎫=-⎪++⎝⎭()67ln 26ln ln ln(1)1t t ==--++ππ3π(13)sin d 3x x ⎛⎫+⎪⎝⎭⎰; 解：原式ππ3πcos 03x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭212(14)ed tt t -⎰;解：原式=221212200ed e 12ttt --⎛⎫-=-=-- ⎪⎝⎭⎰π22π6(15)cos d u u ⎰.解：原式=ππ22ππ661π11(1cos 2)d sin 226824u u u u ⎛⎫+==-+ ⎪⎝⎭⎰22. 证明下列等式：232001(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰(a 为正常数)；证明：左222222111()d()()d ()d 222a a a x tx f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰令右所以，等式成立.(2)若()[,]f x C a b ∈，则ππ2200(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.11123. 利用习题22(2)证明：ππ220sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x xx x==++⎰⎰,并由此计算0a ⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ220sin cos d d sin cos sin cos x x x x x xx x=++⎰⎰又 πππ2220s i n c o s πd d d .s i n c o ss i nc o s2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a ⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t==+⎰令24. 已知21(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求12(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11101201111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d (2)1()d 1402444f x f x f x xxf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰25. 计算下列积分（n 为正整数）：（1）10;nx ⎰解：令sin x t =,d cos d x t t =, 当x =0时t =0，当x =1时t=π2,ππ1220sin cos d sin d cos nnnt x t t t t t==⎰⎰⎰由第四章第五节例8知101331π, 24221342,253n n n n n n x n n n n n --⎧⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪-=⎨--⎪⋅⋅⋅⋅⎪-⎩⎰为偶数, 为奇数.112(2)π240tand .nx x ⎰解：πππ2(1)22(1)22(1)44400π2(1)411tan tan d tansec d tand 1tand tan 21n n n n n n n I x x x x x x x xx x I I n ------==-=-=--⎰⎰⎰⎰由递推公式 1121n n I I n -+=-可得 111(1)(1)[(1)].43521n nn I n π--=---+-+- 26. 用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sind x xx+∞⎰;解：原式=22ππ1111lim sin d lim coslim cos1.bbb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰2d (2);22x x x +∞-∞++⎰解：原式=0022d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭ 0(3)e d nxx x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=1e d deen xn xn xn xx x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰10e d !e d !n xxn xx n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=000πlim lim arcsinlim arcsin .12a a x aa εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;113解：原式=()e e 011πlim arcsin(ln )limlim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰10(6)⎰.解：原式=1120+⎰22122111022lim 2limπππlim arcsinlim arcsin2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰27. 讨论下列广义积分的敛散性：2d (1)(ln )kx x x +∞⎰;解：原式=2122112,1ln(ln )1d(ln ),1(ln )1(ln )1(ln 2),1(ln )11k kkk k x x k x k x k x k k +∞+∞-+∞-+∞-⎧=∞=⎪⎪⎪=∞<=⎨-⎪⎪=>⎪--⎩⎰故该广义积分当1k >时收敛；1k ≤时发散.d (2)()()b kax b a b x >-⎰.解：原式=1100011lim ()()1,1lim ()d ()1lim 1ln()b kk b a ka b a k b x b a k k b x b x k k b x εεεεεε+++-----→→-→⎧>⎧⎪⎪=-⎨--⎪-<---=⎪⎨-⎩⎪⎪-=-⎩⎰ 发散,发散,综上所述，当k <1时，该广义积分收敛，否则发散. 28. 已知0sin πd 2xx x +∞=⎰，求：0sin cos (1)d ;x xx x +∞⎰解：(1)原式=1sin(2)1sin πd (2)d .2224x t x t xt+∞+∞==⎰⎰22sin (2) d .x x x+∞⎰114解：22202200200200sin 1cos 2d d 21cos 2d d 22111d cos 2d2211111d cos 2dcos2222111sin 2cos 2d2222ππ0.22x x x xxx x x xx xx x x x x x xxxxx x xx x x+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞-==-=+=+⋅-⎡⎤=-+⋅+⎢⎥⎣⎦=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰29. 已知()d 1p x x +∞-∞=⎰,其中1,()0,1,x p x x <=≥⎩求C .解：1111()d 0d 0d p x x x x x x +∞-+∞-∞-∞--=⋅++⋅=⎰⎰⎰⎰⎰011001arcsin arcsin π1x x C x C xC --=+=⋅+⋅==⎰⎰所以1πC =.30. 证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()(g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.。

高数基础练习题选择题及答案

高数基础练习题选择题及答案高等数学基础模拟练题一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（）对称．A)y=xB)x轴C)y轴D)坐标原点2.当x→0时，变量（）是无穷小量．A)1/xB)sinx/xC)2xD)ln(x+1)3.下列等式中正确的是（）．A)d(arctanx)=1/(1+x^2)dxB)d(1/x)=-1/x^2dxC)d(2xln2)=2dxD)d(tanx)=sec^2xdx4.下列等式成立的是（）．A)d/dx∫f(x)dx=f(x)B)∫f'(x)dx=f(x)C)d∫f(x)dx=f(x)D)∫df(x)=f(x)5.下列无穷限积分收敛的是（）．A)∫1/x dx from 1 to +∞B)∫1/x dx from 1 to 0C)∫1/3x^4 dx from 1 to +∞D)∫sinx dx from 0 to +∞二、填空题1.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞)．2.函数y=(x+2)/(x+1)的间断点是x=-1．3.曲线f(x)=1/x在(1,1)处的切线斜率是-1．4.函数y=ln(1+x^2)的单调增加区间是(0,+∞)．5.d∫e^-x^2 dx=-2xe^-x^2+C．三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限lim(x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) as x→4，结果为-2．2.设y=ln(cosx)+x^2lnx，求dy=-(sinx/x)+2xlnx+dx/(xln10)．3.计算不定积分∫(1/x+e^x)dx=ln|x|+e^x+C．4.计算定积分∫cosx/x dx，结果为Ci(x)+C，其中Ci(x)为余积分函数．5.计算定积分∫e^(1/x)lnx dx，结果为-γ-2ln2，其中γ为欧拉常数．四、应用题1.求曲线y=x上的点，使其到点A(3,0)的距离最短．解：设点P(x,y)在曲线y=x上，则P到A的距离为d=sqrt((x-3)^2+y^2)．将y=x代入得d=sqrt((x-3)^2+x^2)=sqrt(2x^2-6x+9)．对d求导得d'=(4x-6)/sqrt(2x^2-6x+9)，令d'=0得x=3/2．再求d''(3/2)<0，故点P(3/2,3/2)到A的距离最短．。

大学高等数学各章节练习题

第一章极限与连续一、填空 1、设11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则[]()___________.f f x = 2、假设数列{}n x 收敛，则数列{}n x 肯定。

3、假设0lim ()x x f x A →=，而0lim ()x x g x →不存在，则0lim(()())x x f x g x →+ 。

4、当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则_______=a 5、设函数()f x 在点0x x =处连续，则()f x 在点0x x =处是否连续。

6、设21))((,sin )(x x f x x f -==ϕ，则)(x ϕ的定义域为_________7、如果⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,00,12sin )(2x x xe x xf ax 在),(+∞-∞内连续，则__=a8、曲线22x e x y -=的渐近方程为__________________二、选择9、如果)(),(x g x f 都在0x 点处间断，那么〔〕〔A 〕)()(x g x f +在0x 点处间断〔B 〕)()(x g x f -在0x 点处间断〔C 〕)()(x g x f +在0x 点处连续〔D 〕)()(x g x f +在0x 点处可能连续。

10、设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞=，则以下断言正确的选项是〔〕〔A 〕假设n x 发散，则n y 必发散。

〔B 〕假设n x 无界，则n y 必有界〔C 〕假设n x 有界，则n y 必为无穷小〔D 〕假设1nx 为无穷小，则n y 必为无穷小。

11、已知0()lim0x f x x→=，且(0)1f =，那么〔〕〔A 〕()f x 在0x =处不连续。

〔B 〕()f x 在0x =处连续。

〔C 〕0lim ()x f x →不存在。

〔D 〕0lim ()1x f x →=12、设2()43x xf x x x+=- ，则0lim ()x f x →为〔〕〔A 〕12 (B)13 (C) 14 (D)不存在13、设2(1)sin ()(1)x xf x x x-=-，那么0x =是函数的〔〕〔A 〕无穷间断点。

第四章解析几何与向量代数(厦门理工作业答案)

高等数学练习题第四章空间解析几何与向量代数系专业班姓名学号4.1 向量及其线性运算（1）一．选择题1．定点)1,3,2(--A 与)1,3,2(-B 对称的坐标面为 [ C ] （A ）xOy 坐标面（B ）yOz 坐标面（C ）zOx 坐标面（D ）y 轴对称 2．两点)2,2,1(A 与)1,0,1(-B 的距离为 [ B ] （A ）1 （B ）3 （C ）13 （D ）4 3．非零向量 a 和b ，若满足| a –b |=| a | + |b | ，则 [ C ] （A ）a , b 方向相同（B ）a , b 互相垂直（C ）a , b 方向相反（D ）a , b 平行4．已知向量 a = }1,5,3{-, b ={2 ,2 ,3 },则2a –3b 为 [ C ] （A ）{0,12,11} （B ）{16,12,3} （C ）{11,4,0-} （D ）{11,14,4} 二．填空题：1．求出点)5,3,4(-A 到坐标y 2．一个向量的终点在点)7,1,2(-B 它在坐标轴上的投影顺次是4， 4- 和 7，这个向量的起点A 三．解下列各题：1．求向量a =21M M 的模、方向余弦和方向角。

已知M 1(1,2,4 ) , M 2(3 ,0 ,2 )。

解：)1,2,1(1221--=-==OM OM M M a 2121=++=∴cos x a α==-12，cos y a β==-22，cos z a γ==12 所以方向角为 3,43,32πγπβπα===2．求向量a =→→→+-k j i 532的模，并用单位向量 a o 表达向量a 。

解： (=+=22a ∴=038a a3．设向量r 的模是4，它与轴u 的夹角是60o , 求r 在轴u 上的投影。

解： ()cos u r r •ϕ=⋅=⨯=1422所以r 在轴u 上的投影为2。

4．证明以三点A(4 ,1 ,9) , B(10 ,1- ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形解： )3,2,6(--=-=OA OB AB )6,3,2(--=-=OA OC AC )3,5,8(--=-=OB OC BC2792564,79436==++==++==∴所以以三点A(4 ,1 ,9) , B(10 ,1- ,6) ,C(2 ,4 ,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形高等数学练习题第四章空间解析几何与向量代数系专业班姓名学号4.1 数量积向量积（2）一．选择题1．判断向量→a =→→→++k j i 23和→b =→→-j i 32位置是 [ B ] （A ）平行（B ）垂直（C ）相交（D ）以上都不是。

高等数学课后练习题答案作业4无穷小与无穷大

1、根据无穷小的定义证明：1）当n →∞时，!n n n u n =是无穷小。

证明：0>∀ε!!10n n n n n n n-=< 取1N ε=，当n N >时恒有!0n n nε-< 所以当n →∞时，!n nn u n =是无穷小。

2）当0→x 时，221cos xx y =为无穷小证明：0>∀ε 2221cos x xx ≤ 取εδ=，当δ<<x 0时，恒有ε<221cosx x 所以221cos xx y =当0→x 时为无穷小。

2、根据无穷大的定义证明：当0x →时，()12x f x x +=是无穷大。

证明：对于任给的0>M121122x x x x+=+>- 取12M δ=+，当00x δ<-<时，恒有12x M x+> 所以当0x →时，()12x f x x +=是无穷大。

3、当1x →时，将()223211x x f x x +-=+分解为一个常数于一个无穷小的和。

解：()()2222223212223321111x x x x x x f x x x x x +-+++-+===+-+++ ()213lim 101x x x x →+-=+4、求下列极限并说明理由1）()1lim 1x x x e →∞+ 解：因为()lim 1x x x e →∞+=∞，所以()1lim 01xx x e →∞=+ 2）101lim 1x x x e e →-+解：因为()0lim 10x x e →-=，1111x e <+，所以101lim 01x x x e e →-=+。

（有界量与无穷小的积还是无穷小）5、设0x x →时，()()A x g x f →∞→,，（A 为有限数）。

试证明下列各式： 1）()()()0lim x x g x f x →+=∞ 证明：对于任给0>M ，因为()∞=→x f x x 0lim ，所以存在01>δ，当100δ<-<x x 时，恒有()23AM x f +>又因为()A x g x x =→0lim ，对于2A =ε，一定存在02>δ，当200δ<-<x x 时，恒有()()()2322A x g A A x g A A x g <⇒<-⇒<- 取{}21,min δδδ=，当δ<-<00x x 时()()()()3322A A g x f x f x g x M M +≥->+-= 所以()()()0lim x x g x f x →+=∞ 2）()()()1lim 0=+→x g x f x f x x 证明：因为()()()()()()x g x f x g x g x f x f +-+=+1，所以只需证明()()()0lim 0=+-→x g x f x g x x 由1）中证明，可得()()x g x f +为0x x →时的无穷大，由无穷大与无穷小的关系0x x →时，()()x g x f +1为无穷小，又因为()A x g x x =→0lim ，利用极限的性质，()x g 是局部有界的，因此()x g -也是局部有界的。

高等数学上册练习题

高等数学上册练习题集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]高数练习题一、选择题。

4、11lim1--→x x x （）。

a 、1-=b 、1=c 、=0d 、不存在5、当0→x 时，下列变量中是无穷小量的有（）。

a 、x 1sinb 、x xsin c 、12--x d 、x ln7、()=--→11sin lim 21x x x （）。

a 、1 b 、2 c 、0 d 、219、下列等式中成立的是（）。

a 、e n n n =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→21lim b 、e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→211limc 、e n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211limd 、e n nn =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→211lim10、当0→x 时，x cos 1-与x x sin 相比较（）。

a 、是低阶无穷小量b 、是同阶无穷小量c 、是等阶无穷小量d 、是高阶无穷小量11、函数()x f 在点0x 处有定义，是()x f 在该点处连续的（）。

a 、充要条件 b 、充分条件 c 、必要条件 d 、无关的条件 12、数列｛y n ｝有界是数列收敛的 ( ) .（A ）必要条件 (B) 充分条件 (C) 充要条件 (D)无关条件 13、当x —>0 时，( )是与sin x 等价的无穷小量. (A) tan2 x(B) x(C)1ln(12)2x + (D) x (x +2)14、若函数()f x 在某点0x 极限存在，则（）.（A ）()f x 在0x 的函数值必存在且等于极限值（B ）()f x 在0x 的函数值必存在，但不一定等于极限值（C ）()f x 在0x 的函数值可以不存在（D ）如果0()f x 存在则必等于极限值 15、如果0lim ()x x f x →+与0lim ()x x f x →-存在，则（）.（A ）0lim ()x xf x →存在且00lim ()()x xf x f x →=（B ）0lim ()x xf x →存在但不一定有00lim ()()x xf x f x →=（C ）0lim ()x xf x →不一定存在（D ）0lim ()x xf x →一定不存在16、下列变量中（）是无穷小量。

高等数学课后习题及参考答案(第四章)

高等数学课后习题及参考答案（第四章）习题4-11. 求下列不定积分:(1)⎰dx x 21;解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰112111222.(2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++==+⎰⎰212323521231. (3)⎰dx x1;解C x C x dx xdx x+=++-==+--⎰⎰21211112121. (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x+=++==+⎰⎰3313737321031371. (5)⎰dx xx 21;解C x x C x dx xdx xx +⋅-=++-==+--⎰⎰12312511125252. (6)dx x m n ⎰; 解C x m n m C x mn dx x dx x mn m m nm nmn++=++==++⎰⎰111.(7)⎰dx x 35;解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334555.(8)⎰+-dx x x )23(2;解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰2233123)23(2322.(9)⎰ghdh 2(g 是常数);解C ghC h gdh hgghdh +=+⋅==⎰⎰-22212122121. (10)⎰-dx x 2)2(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423144)44()2(23222.(11)⎰+dx x 22)1(;解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰3524242232512)12()1(.(12)dx x x ⎰-+)1)(1(3;解 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23212323)1()1)(1(C x x x x +-+-=25233523231.(13)⎰-dx xx 2)1(;解C x x x dx x x xdx xx x dx xx ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰-2523212321212252342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1133224; 解C x x dx x x dx x x x ++=++=+++⎰⎰arctan )113(1133322224.(15)⎰+dx x x 221;解⎰⎰⎰+-=+-=+-+=+C x x dx xdx xx dx x x arctan )111(111122222.(16)⎰+dx xe x )32(;解 C x e dx xdx e dx x e x x x ++=+=+⎰⎰⎰||ln 32132)32(.(17)⎰--+dx xx )1213(22;解 ⎰⎰⎰+-=--+=--+C x x dx xdx x dx xx arcsin 2arctan 3112113)1213(2222.(18)dx xe e x x⎰--)1(;解 C x edx xe dx xe e xxx x+-=-=-⎰⎰--21212)()1(.(19)⎰dx e x x 3;解 C e C e e dx e dx e xx x xxx++=+==⎰⎰13ln 3)3ln()3()3(3.(20)⎰⋅-⋅dx xxx 32532; 解 C x C x dx dx x xx xxx+--=+-=-=⋅-⋅⎰⎰)32(3ln 2ln 5232ln )32(52])32(52[32532. (21)⎰-dx x x x )tan (sec sec ;解 ⎰⎰+-=-=-C x x dx x x x dx x x x sec tan )tan sec (sec )tan (sec sec 2.(22)⎰dx x2cos 2;解 C x x dx x dx x dx x ++=+=+=⎰⎰⎰)sin (21)cos 1(212cos 12cos 2.(23)⎰+dx x 2cos 11;解 ⎰⎰+==+C x dx xdx x tan 21cos 212cos 112.(24)⎰-dx xx xsin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+-=+=--=-C x x dx x x dx xx xx dx x x x cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22.(25)⎰dx x x x22sin cos 2cos ;解 ⎰⎰⎰+--=-=-=C x x dx xx dx x x x x dx x x x tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222.(26)⎰-dx x x x)11(2;解 ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-dx x x x 211⎰++=-=--C x x dx x x 41474543474)(.2. 一曲线通过点(e 2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.解设该曲线的方程为y =f (x ), 则由题意得xx f y 1)(='=',所以 C x dx xy +==⎰||ln 1.又因为曲线通过点(e 2, 3), 所以有=3-2=1 3=f (e 2)=ln|e 2|C =2C ,C =3-2=1. 于是所求曲线的方程为 y =ln|x | 1.3. 一物体由静止开始运动, 经t 秒后的速度是3t 2(m/s ), 问 (1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？ (2)物体走完360m 需要多少时间？解设位移函数为s =s (t ), 则s '=v =3 t 2, C t dt t s +==⎰323. 因为当t =0时, s =0, 所以C =0. 因此位移函数为s =t 3. (1)在3秒后物体离开出发点的距离是s =s (3)=33=27.(2)由t 3=360, 得物体走完360m 所需的时间11.73603≈=t s. 4. 证明函数x e 221, e x sh x 和e x ch x 都是x x e xsh ch -的原函数.证明 x x xx x x x x x e ee e e e e e x x e 222sh ch ==--+=----. 因为x x e e 22)21(=', 所以x e 221是x x e xsh ch -的原函数.因为(e x sh x )'=e x sh x e x ch x =e x (sh x ch x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=++-=--, 所以e x sh x 是xx e xsh ch -的原函数.因为(e x ch x )'=e x ch x e x sh x =e x (ch x sh x )x xx x x x e e e e e e 2)22(=-++=--, 所以e xch x 是xx e x sh ch -的原函数.习题4-21. 在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数, 使等式成立(例如: )74(41+=x d dx :(1) dx = d (ax );解dx = a 1d (ax ).(2) dx = d (7x -3);解dx = 71d (7x -3).(3) xdx = d (x 2); 解xdx = 21 d (x 2).(4) x d x = d (5x 2);解x d x = 101d (5x 2).(5))1( 2x d xdx -=;解 )1( 212x d xdx --=.(6)x 3dx = d (3x 4-2);解x 3dx = 121d (3x 4-2).(7)e 2x dx = d (e 2x ); 解e 2x dx = 21 d (e 2x ).(8))1( 22x x ed dxe --+=;解 )1( 2 22x xe d dx e --+-=.(9))23(cos 23sin x d xdx =;解 )23(cos 32 23sin x d xdx -=.(10)|)|ln 5( x d xdx=; 解 |)|ln 5( 51x d x dx =. (11)|)|ln 53( x d xdx-=; 解|)|ln 53( 51x d x dx --=. (12))3(arctan 912x d x dx=+; 解 )3(arctan 31912x d x dx =+. (13))arctan 1( 12x d xdx -=-;解)arctan 1( )1( 12x d xdx --=-.(14))1( 122x d x xdx -=-.解)1( )1( 122x d x xdx --=-.2. 求下列不定积分(其中a , b , ω, ϕ均为常数): (1)⎰dt e t 5; 解 C e x d e dt e xx t +==⎰⎰55551551. (2)⎰-dx x 3)23(; 解 C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰433)23(81)23()23(21)23(. (3)⎰-dx x 211; 解C x x d x dx x +--=---=-⎰⎰|21|ln 21)21(21121211.(4)⎰-332xdx ;解C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)32(21)32(2331)32()32(3132. (5)⎰-dx e ax bx)(sin ;解C be ax ab x d e b ax d ax a dx e ax b xb xbx+--=-=-⎰⎰⎰cos 1)()(sin 1)(sin .(6)⎰dt tt sin ;解⎰⎰+-==C t t d t dt tt cos 2sin 2sin .(7)⎰⋅xdx x 210sec tan ;解 ⎰⋅xdx x 210sec tan C x x xd +==⎰1110tan 111tan tan . (8)⎰xx x dxln ln ln ;解C x x d x x d x x x x x dx +===⎰⎰⎰|ln ln |ln ln ln ln ln 1ln ln ln ln 1ln ln ln .(9)⎰+⋅+dx xx x 2211tan ;解 ⎰+⋅+dx x x x 2211tan 2222211cos 1sin 11tan x d x x x d x +++=++=⎰⎰C x x d x ++-=++-=⎰|1cos |ln 1cos 1cos 1222.(10)⎰xx dxcos sin ;解 C x x d xdx x x x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan 1tan sec cos sin 2. (11)⎰-+dx e e xx 1;解 ⎰-+dx e e xx 1C e de edx e e x x xx x +=+=+=⎰⎰arctan 11122.(12)⎰-dx xe x 2; 解 .21)(212222C e x d e dx xe x x x +-=--=---⎰⎰ (13)⎰⋅dx x x )cos(2;解 C x x d x dx x x +==⋅⎰⎰)sin(21)()cos(21)cos(2222. (14)⎰-dx xx 232;解C x C x x d x dx x x+--=+--=---=-⎰⎰-2212221223231)32(31)32()32(6132.(15)⎰-dx xx 4313; 解⎰⎰+--=---=-C x x d x dx x x |1|ln 43)1(11431344443.(16)⎰++dt t t ))sin((cos 2ϕωϕω; 解 C t t d t dt t t ++-=++-=++⎰⎰)(cos 31)cos()(cos 1)sin()(cos 322ϕωωϕωϕωωϕωϕω. (17)⎰dx x x3cos sin ; 解 C x C x x xd dx xx +=+=-=--⎰⎰2233sec 21cos 21cos cos cos sin . (18)⎰-+dx x x xx 3cos sin cos sin ; 解 )sin cos (cos sin 1cos sin cos sin 33x x d x x dx x x x x +--=-+⎰⎰ C x x x x d x x +-=--=⎰-3231)cos (sin 23)cos (sin )cos (sin .(19)⎰--dx xx 2491;解dx xx dx xdx xx ⎰⎰⎰---=--22249491491)49(49181)32()32(1121222x d x x d x --+-=⎰⎰C x x +-+=2494132arcsin 21.(20)⎰+dx xx 239; 解 C x x x d xx d x x dx x x ++-=+-=+=+⎰⎰⎰)]9ln(9[21)()991(21)(9219222222223. (21)⎰-dx x 1212;解⎰⎰⎰+--=+-=-dx x x dx x x dx x )121121(21)12)(12(11212 ⎰⎰++---=)12(121221)12(121221x d x x d x C x x C x x ++-=++--=|1212|ln 221|12|ln 221|12|ln 221.(22)⎰-+dx x x )2)(1(1;解C x x C x x dx x x dx x x ++-=++--=+--=-+⎰⎰|12|ln 31|1|ln |2|(ln 31)1121(31)2)(1(1.(23)⎰xdx 3cos ;解 C x x x d x x d x xdx +-=-==⎰⎰⎰3223sin 31sin sin )sin 1(sin cos cos .(24)⎰+dt t )(cos 2ϕω; 解 C t t dt t dt t +++=++=+⎰⎰)(2sin 4121)](2cos 1[21)(cos 2ϕωωϕωϕω. (25)⎰xdx x 3cos 2sin ; 解 ⎰xdx x 3cos 2sin C x x dx x x ++-=-=⎰cos 215cos 101)sin 5(sin 21. (26)⎰dx xx 2cos cos ;解 C x x dx x x dx x x ++=+=⎰⎰21sin 23sin 31)21cos 23(cos 212cos cos .(27)⎰xdx x 7sin 5sin ; 解 C x x dx x x xdx x ++-=--=⎰⎰2sin 4112sin 241)2cos 12(cos 217sin 5sin . (28)⎰xdx x sec tan 3;解 x d x xdx x x xdx x sec tan tan sec tan sec tan 223⎰⎰⎰=⋅=C x x x d x +-=-=⎰sec sec 31sec )1(sec 32.(29)⎰-dx xx2arccos 2110;解C x d x d dx xx xxx+-=-=-=-⎰⎰⎰10ln 210)arccos 2(1021arccos 10110arccos 2arccos 2arccos 22arccos 2.(30)⎰+dx x x x )1(arctan ;解C x x d x x d x xdx x x x +==+=+⎰⎰⎰2)(arctan arctan arctan 2)1(arctan 2)1(arctan .(31)⎰-221)(arcsin xx dx;解C xx d x x x dx+-==-⎰⎰arcsin 1arcsin )(arcsin 11)(arcsin 222.(32)⎰+dx x x x 2)ln (ln 1; 解C xx x x d x x dx x x x+-==+⎰⎰ln 1)ln ()ln (1)ln (ln 122. (33)⎰dx xx xsin cos tan ln ;解⎰⎰⎰=⋅=x d x x xdx x x dx x x x tan tan tan ln sec tan tan ln sin cos tan ln 2C x x d x +==⎰2)tan (ln 21tan ln tan ln .(34)⎰-dx x a x 222(a >0);解⎰⎰⎰⎰-===-dt t a dt t a tdt a t a t a t a x dx xa x 22cos 1sin cos cos sin sin 22222222令, C x a xa x a C t a t a +--=+-=222222arcsin 22sin 421. (35)⎰-12x x dx ;解C x C t dt tdt t t t tx x x dx +=+==⋅⋅=-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec 1sec 12令.或C x x d x dx xx x x dx +=--=-=-⎰⎰⎰1arccos 111111112222.(36)⎰+32)1(x dx ;解C t tdt t d t tx x dx +==+=+⎰⎰⎰sin cos tan )1(tan 1tan )1(3232令C x x ++=12.(37)⎰-dx xx 92; 解⎰⎰⎰=-=-tdt t d tt t x dx x x 222tan 3)sec 3(sec 39sec 9sec 39令 C x x C t t dt t+--=+-=-=⎰3arccos 393tan 3)1cos 1(322.(38)⎰+xdx 21;解C x x C t t dt t tdt t t x xdx ++-=++-=+-=+=+⎰⎰⎰)21ln(2)1ln()111(11221令.(39)⎰-+211x dx ;解⎰⎰⎰⎰-=+-=+=-+dt tdt t tdt t tx x dx)2sec211()cos 111(cos cos 11sin 1122令 C xxx C t t t C t t +-+-=++-=+-=211arcsin cos 1sin 2tan . (40)⎰-+21x x dx .解⎰⎰⎰+-++=⋅+=-+dt tt tt t t tdt t t tx x x dx cos sin sin cos sin cos 21cos cos sin 1sin 12令C t t t t t d t t dt +++=+++=⎰⎰|cos sin |ln 2121)cos (sin cos sin 12121 C x x x ++-+=|1|ln 21arcsin 212.习题4-3求下列不定积分: 1. ⎰xdx x sin ; 解C x x x xdx x x x xd xdx x ++-=+-=-=⎰⎰⎰sin cos cos cos cos sin .2. ⎰xdx ln ;解 C x x x dx x x x xd x x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰ln ln ln ln ln . 3. ⎰xdx arcsin ;解 ⎰⎰-=x xd x x xdx arcsin arcsin arcsin ⎰--=dx xx x x 21arcsinC x x x +-+=21arcsin . 4. ⎰-dx xe x ;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dx e xe xde dx xe x x x x C x e C e xe x x x ++-=+--=---)1(. 5. ⎰xdx x ln 2; 解 ⎰⎰⎰-==x d x x x xdx xdx x ln 31ln 31ln 31ln 3332 C x x x dx x x x +-=-=⎰332391ln 3131ln 31.6. ⎰-xdx e x cos ; 解因为⎰⎰⎰⎰------+=-==xdx e x e xde x e x d e xdx e x x x x x x sin sin sin sin sin cos ⎰⎰-----+-=-=x x x x x xde x e x e x d e x e cos cos sin cos sin⎰-----=xdx e x e x e x x x cos cos sin ,所以 C x x e C x e x e xdx e x x x x +-=+-=----⎰)cos (sin 21)cos sin (21cos .7. ⎰-dx xe x 2sin 2;解因为⎰⎰⎰-----==x x x x de xx e x d e dx x e 22222cos 22cos 22cos 22sin⎰⎰----+=+=2sin 82cos 22cos 42cos 22222xd e x e dx x e x e x x x x⎰----+=x x x de xx e x e 2222sin 82sin 82cos 2⎰---++=dx xe x e x e x x x 2sin 162sin 82cos 2222,所以 C xx e dx x e x x ++-=--⎰)2sin 42(cos 1722sin 22.8. ⎰dx xx 2cos ;解 C xx x dx x x x x xd dx x x ++=-==⎰⎰⎰2cos 42sin 22sin 22sin 22sin 22cos .9. ⎰xdx x arctan 2; 解 ⎰⎰⎰+⋅-==dx x x x x xdx xdx x 233321131arctan 31arctan 31arctan ⎰⎰+--=+-=2232223)111(61arctan 31161arctan 31dx xx x dx x x x x C x x x x +++-=)1ln(6161arctan 31223.10. ⎰xdx x 2tan解 ⎰⎰⎰⎰⎰+-=-=-=x xd x xdx xdx x dx x x xdx x tan 21sec )1(sec tan 2222C x x x x xdx x x x +++-=-+-=⎰|cos |ln tan 21tan tan 2122.11. ⎰xdx x cos 2;解 ⎰⎰⎰⎰+=⋅-==x xd x x xdx x x x x d x xdx x cos 2sin 2sin sin sin cos 2222C x x x x x xdx x x x x +-+=-+=⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin 22. 12. ⎰-dt te t 2;解 ⎰⎰⎰----+-=-=dt e te tde dt te t t tt 2222212121 C t e C e te t t t ++-=+--=---)21(214121222.13. ⎰xdx 2ln ;解 ⎰⎰⎰-=⋅⋅-=xdx x x dx xx x x x xdx ln 2ln 1ln 2ln ln 222C x x x x x dx x x x x x x ++-=⋅+-=⎰2ln 2ln 12ln 2ln 22.14. ⎰xdx x x cos sin ; 解 ⎰⎰⎰⎰+-=-==xdx x x x xd xdx x xdx x x 2cos 412cos 412cos 412sin 21cos sin C x x x ++-=2sin 812cos 41.15. ⎰dx xx 2cos 22; 解 ⎰⎰⎰⎰-+=+=+=xdx x x x x x d x x dx x x dx x x sin sin 2161sin 2161)cos 1(212cos 2323222⎰⎰-++=++=xdx x x x x x x xd x x x cos cos sin 2161cos sin 21612323C x x x x x x +-++=sin cos sin 216123.16. ⎰-dx x x )1ln(; 解 ⎰⎰⎰-⋅--=-=-dx x x x x dx x dx x x 1121)1ln(21)1ln(21)1ln(222 ⎰-⋅++--=dx x x x x )111(21)1ln(212C x x x x x +-----=)1ln(212141)1ln(2122.17. ⎰-xdx x 2sin )1(2;解 ⎰⎰⎰⋅+--=--=-xdx x x x x d x xdx x 22cos 212cos )1(212cos )1(212sin )1(222 ⎰+--=x xd x x 2sin 212cos )1(212⎰-+--=xdx x x x x 2sin 212sin 212cos )1(212C x x x x x +++--=2cos 412sin 212cos )1(212.18. ⎰dx x x 23ln ;解⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=xdx xx x x d x x x x xd dx x x22333323ln 13ln 1ln 1ln 11ln ln⎰⎰+--=--=x d xx x x x x xd x x 22323ln 13ln 3ln 11ln 3ln 1⎰⎰---=+--=x xd x x x x dx x x x x x x 1ln 6ln 3ln 1ln 16ln 3ln 123223⎰+---=dx xx x x x x x 22316ln 6ln 3ln 1C x x x x x x x +----=6ln 6ln 3ln 123.19. ⎰dx e x3;解 ⎰⎰⎰==t t xde t dt e t t x dx e223333令⎰⎰-=-=t t t t tde e t dt te e t 636322 ⎰+-=dt e te e t t t t 6632 C e te e t t t t ++-=6632 C x x ex ++-=)22(33323.20. ⎰xdx ln cos ; 解因为⎰⎰⋅⋅+=dx xx x x x xdx 1ln sin ln cos ln cosdx xx x x x x x xdx x x 1ln cos ln sin ln cos ln sin ln cos ⋅⋅-+=+=⎰⎰⎰-+=xdx x x x x ln cos ln sin ln cos , 所以 C x x xxdx ++=⎰)ln sin ln (cos 2ln cos .21. ⎰dx x 2)(arcsin ;解 ⎰⎰-⋅⋅-=dx xx x x x dx x 22211arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰--+=dx x x x x 2arcsin 12)(arcsin 22 C x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22. 22. ⎰xdx e x 2sin . 解 ⎰⎰⎰-=-=xdx e e dx x e xdx e xx x x 2cos 2121)2cos 1(21sin 2, 而 dx x e x e xde xdx e x x x x ⎰⎰⎰+==2sin 22cos 2cos 2cos⎰⎰-+=+=xdx e x e x e de x x e x x x x x 2cos 42sin 22cos 2sin 22cos ,C x x e xdx e x x ++=⎰)2sin 22(cos 512cos ,所以 C x x e e xdx e x x x ++-=⎰)2sin 22(cos 10121sin 2.习题4-4求下列不定积分:1. dx x x ⎰+33;解 dx x x x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰+-+-+=+-+=+327)93)(3(327273233 ⎰⎰+-+-=dx x dx x x 3127)93(2 C x x x x ++-+-=|3|ln 279233123.2. ⎰-++dx x x x 103322;解 C x x x x d x x dx x x x +-+=-+-+=-++⎰⎰|103|ln )103(1031103322222.3. ⎰--+dx xx x x 3458; 解 ⎰⎰⎰--++++=--+dx xx x x dx x x dx x x x x 3223458)1(8 ⎰⎰⎰--+-+++=dx x dx x dx x x x x 13148213123C x x x x x x +--+-+++=|1|ln 3|1|ln 4||ln 8213123.4. ⎰+dx x 133;解 ⎰⎰⎰+-⋅++--⋅-+=+-+-++=+dx x x x x x x dx x x x x dx x )11231122111()1211(132223⎰⎰-+-++-+--+=)21()23()21(123)1(1121|1|ln 2222x d x x x d x x xC x x x x +-++-+=312arctan31|1|ln2. 5. ⎰+++)3)(2)(1(x x x xdx;解dx x x x x x x xdx )331124(21)3)(2)(1(+-+-+=+++⎰⎰C x x x ++-+-+=|)1|ln |3|ln 3|2|(ln 21.6. ⎰-++dx x x x )1()1(122;解 ⎰⎰+--⋅++⋅=-++dx x x x dx x x x ])1(111211121[)1()1(1222 C x x x +++-+-=11|1|ln 21|1|ln 21C x x +++-=11|1|ln 212.7. dx x x )1(12+⎰; 解 C xx dx x x x dx x x ++-=+-=+⎰⎰)1ln(21||ln )11()1(1222.8. ⎰++))(1(22x x x dx;解⎰⎰+⋅-++⋅-=++dx x x x x x x x dx )112111211())(1(222⎰++-+-=dx x x x x 1121|1|ln 21||ln 2⎰⎰+-+-+-=dx x dx x x x x 11211241|1|ln 21||ln 22C x x x x +-+-+-=arctan 21)1ln(41|1|ln 21||ln 2.9. ⎰+++)1)(1(22x x x dx; 解dx x xx x x x x x dx )111()1)(1(2222⎰⎰+-+++=+++)1ln(21112111221222+-++++++=⎰⎰x dx x x x x x ⎰++++-++=dx x x x x x 1121)1ln(21|1|ln 21222C x x x x ++++-++=312arctan 33)1ln(21|1|ln 2122. 10. ⎰+dx x 114;解dx x x x x dx x ⎰⎰+-++=+)12)(12(111224⎰⎰+-+-++++=dx x x x dx x x x 12214212214222⎰⎰+----++++=dx x x x dx x x x 1222)22(21421222)22(214222 )1212(41]12)12(12)12([82222222⎰⎰⎰⎰+-+++++-+--++++=x x dxx x dx x x x x d x x x x d C x x x x x x +-++++-++=)12arctan(42)12arctan(42|1212|ln 8222. 11. ⎰++--dx x x x 222)1(2; 解 ⎰⎰⎰++-++-=++--dx x x dx x x x dx x x x 11)1(1)1(2222222 ⎰⎰⎰++-++-+++=dx x x dx x x dx x x x 11)1(123)1(122122222 ⎰⎰++-++-++⋅-=dx x x dx x x x x 11)1(12311212222, 因为)312arctan(32)312()312(11321122+=+++=++⎰⎰x x d x dx x x , 而⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1由递推公式 ⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx ,得⎰⎰++=++dx x dx x x 22222])23()21[(1)1(1312arctan 323211231)1121()23(212222+⋅++++⋅=++++++=⎰x x x x x x dx x x x , 所以 ⎰++--dx x x x 222)1(2C x x x x x x x ++-+-+++-++⋅-=312arctan 32312arctan 3211221112122C x x x x ++-+++-=312arctan34112.12. ⎰+x dx2sin 3;解⎰⎰⎰+=-=+x d x dx x x dx tan 3tan 41cos 41sin 3222C x x d x +=+=⎰3tan 2arctan321tan )23(tan 14122.13.⎰+dx x cos 31;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2sec 1(2cos )2(2cos 121cos 31222x x x d x dx dx x ⎰+=+=C x x x d 22tanarctan 212tan 22tan 2. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212312tancos 31令 C xC u du u +=+=+=⎰22tan arctan212arctan21)2(122. 14.⎰+dx x sin 21;解 ⎰⎰⎰+=+=+)2cot 2(csc 2sin )2(2cos 2sin 22sin 2122x x x x d x x dx dx x⎰⎰+++-=++-=222)23()212(cot )212(cot 12cot 2cot )2(cot x x d x x x dC x ++-=312cot 2arctan 32. 或⎰⎰+⋅++=+du u u u xu dx x221212212tansin 21令 ⎰⎰++=++=du u du u u 222)23()21(111C xC u ++=++=312tan 2arctan 32312arctan 32. 15.⎰++x x dxcos sin 1;解 ⎰⎰⎰+=+=+=++C x x xd x x dx x x dx |2tan |ln 2tan1)2(tan )2tan 1(2cos 21cos sin 12. 或⎰⎰+⋅+-+++=++du u u u u ux u xx dx2222121112112tancos sin 1令C xC u du u ++=++=+=⎰|12tan |ln |1|ln 11. 16.⎰+-5cos sin 2x x dx; 解⎰⎰⎰++=+⋅++--+=+-du u u du u u u u ux u x x dx2231125111412tan5cos sin 222222令C xC u du u ++=++=++=⎰512tan 3arctan 51513arctan 51)35()31(13122. 或⎰⎰+⋅++--+=+-du uu uu u x u x x dx2222125111412tan5cos sin 2令⎰⎰++=++=du u du u u 222)35()31(1312231C xC u ++=++=512tan 3arctan 51513arctan 51. 17.⎰++dx x 3111;解⎰⎰⎰++-=⋅+=+=++du uu du uu ux dx x )111(33111111233令 C x x x C u u u +++++-+=+++-=)11ln(313)1(23|1|ln 332333322.18.⎰++dx x x 11)(3;解C x x x dx x x dx x x ++-=+-=++⎰⎰232233221]1)[(11)(.19.⎰++-+dx x x 1111;解⎰⎰⎰++-=⋅+-=+++-+du u u udu u u u x dx x x )122(221111111令 C u u u +++-=|)1|ln 2221(22C x x x +++++-+=)11ln(414)1(. 20.⎰+4xx dx ;解⎰⎰⋅+=+du uu u u x xx dx 324441令C u u u du uu +++-=++-=⎰|1|ln 442)111(42 C x x x +++-=)1ln(4244.21.⎰+-xdxx x 11;解令u x x=+-11, 则2211u u x +-=, du u u dx 22)1(4+-=,⎰⎰⎰++-=+-⋅-+⋅=+-du uu du u u u u u x dx x x )1111(2)1(41111222222 C u u u +++-=arctan 2|11|ln C xxxx x x ++-+++-+--=11arctan2|1111|ln . 22.⎰-+342)1()1(x x dx .解令u x x =-+311, 则1133-+=u u x , 232)1(6--=u udx , 代入得C x x C u du x x dx +-+-=+-=-=-+⎰⎰334211232323)1()1(.总习题四求下列不定积分(其中a , b 为常数):1. ⎰--x x e e dx;解 C e e de e dx e e e e dxx x xx x xxx ++-=---=-⎰⎰⎰-|11|ln 2111122.2. dx x x ⎰-3)1(; 解C x x dx x dx x dx x x+-⋅+-=----=-⎰⎰⎰2323)1(12111)1(1)1(1)1(. 3. ⎰-dx xa x 662(a >0);解 C ax a x a x d x a dx x a x +-+=-=-⎰⎰||ln 61)()()(1313333332323662.4. ⎰++dx x x xsin cos 1;解 C x x x x d x x dx x x x ++=++=++⎰⎰|sin |ln )sin (sin 1sin cos 1.5. ⎰dx xxln ln ; 解 C x x x dx x x x x x x xd dx x x +-⋅=⋅⋅-⋅==⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln .6.⎰+dx x xx 4sin 1cos sin ; 解 C x x d x x d xx dx x x x +=+=+=+⎰⎰⎰222244sin arctan 21)(sin )(sin 1121sin sin 1sin sin 1cos sin . 7. ⎰xdx 4tan ; 解 xxd x x d xx xdx tan sin tan tan cos sin tan 22244⎰⎰⎰==⎰⎰++-=+=x d x x x d x x tan )1tan 11(tan tan 1tan tan 2224c x x x c x x x ++-=++-=tan tan 31tan arctan tan tan 3133.8. ⎰xdx x x 3sin 2sin sin ; 解 ⎰⎰--=xdx x x xdx x x 3sin )cos 3(cos 213sin 2sin sin ⎰⎰+-=xdx x xdx x 3sin cos 213sin 3cos 21 ⎰⎰++=dx x x x xd )2sin 4(sin 41)3(cos 3cos 61 C x x x +--=2cos 814cos 1613cos 1212. 9.⎰+)4(6x x dx;解 C x x dx x x x x x dx++-=+-=+⎰⎰)4ln(241||ln 41)41(41)4(6656.10.)0(>-+⎰a dx xa xa ; 解⎰⎰⎰⎰-+-=-+=-+dx xa xdx x a a du x a x a dx x a x a 2222221C x a a xa +--=22arcsin .11.⎰+)1(x x dx ;解C x x C x x x d x x x dx +++=+++=+=+⎰⎰)1ln(2))(1ln(2)(112)1(22.12. ⎰xdx x 2cos ; 解 ⎰⎰⎰+=+=x xd x dx x x x xdx x 2sin 4141)2cos (21cos 22 C x x x x xdx x x x +++=-+=⎰2cos 812sin 41412sin 412sin 414122.13. ⎰bxdx e ax cos ; 解因为dx bx e a b bx e a bxde a bxdx e ax axax ax ⎰⎰⎰+==sin cos 1cos 1cos dx bx e ab bx e a b bx e a de bx a b bx e a ax ax ax axax ⎰⎰-+=+=cos sin cos 1sin cos 12222,所以 C bx e ab bx e a b a a bxdx e axax ax+++=⎰)sin cos 1(cos 2222C bx b bx a e ba ax +++=)sin cos (122.14.⎰+xedx 1;解⎰⎰⎰⎰+--=-=-=++du u u du u u d u u e edx xx)1111(112)1ln(11122令.c e e c u u x x +++-+=++-=1111ln |11|ln .15.⎰-122x xdx ;解C t tdt tdt t t t tx x x dx+==⋅⋅=-⎰⎰⎰sin cos tan sec tan sec 1sec 1222令C xx +-=12.16.⎰-2/522)(x a dx;解⎰⎰⋅=-tdt a t a ta x x a dx cos )cos (1sin )(52/522令⎰⎰+==t d t adt ta tan )1(tan1cos 112444C t at a++=tan 1tan 31434C xa x ax a x a+-+-⋅=224322341)(31.17.⎰+241xxdx;解tdt t t tx x xdx 2424secsec tan 1tan 1⋅⋅=+⎰⎰令⎰⎰==t d t tdt t tsin sin cos sin cos 4243 C t tt d t t ++-=-=⎰sin 1sin 31sin )sin 1sin 1(324 C xx x x ++++-=233213)1(.18.⎰dx x x sin ;解⎰⎰⎰=⋅=tdt t tdt t t t x dx x x sin 22sin sin 2令⎰⎰⋅+-=-=tdt t t t t d t 2cos 2cos 2cos 222⎰⎰-+-=+-=tdt t t t t t td t t sin 4sin 4cos 2sin 4cos 222 C t t t t t +++-=cos 4sin 4cos 22C x x x x x +++-=cos 4sin 4cos 2. 19. ⎰+dx x )1ln(2;解 ⎰⎰+⋅-+=+dx xx x x x dx x 22212)1ln()1ln(⎰+--+=dx x x x )111(2)1ln(22C x x x x ++-+=arctan 22)1ln(2. 20.⎰dx x x32cos sin ;解 x d x xx x d x x dx x xtan )1tan tan (tan tan cos sin cos sin 2232⎰⎰⎰+-== C x x ++-=)1ln(tan 21tan 2122.21. ⎰dx x arctan ;解 x d xx x x dx x ⎰⎰+⋅-=11arctan arctan x d xx x ⎰+⋅--=)111(arctan C x x x x ++-=arctan arctan C x x x +-+=arctan )1(. 22.dx xx⎰+sin cos 1;解C x x x d x dx x x xdx x x +-===+⎰⎰⎰|2cot 2csc |ln 222csc 22cos2sin 22cos2sin cos 1. 23.⎰+dx x x 283)1(;解 C x x x dx x dx x x +++⋅=+=+⎰⎰]arctan 1[2141)1(141)1(484428283. 提示: 已知递推公式⎰⎰--+-++-=+])()32()([)1(21)(122122222n n n a x dxn a x x n a a x dx . 24. ⎰++dx x x x 234811; 解 ⎰⎰⎰++=++=++dt t t t t x dx x x x dx x x x 234123412322444884811令 ⎰⎰+++-=+++-=dt t t dt t t t )11241(41)23231(412 C t t t ++++-=|1|ln 41|2|ln 41C x x x ++++=21ln 414444.25.⎰-416x dx;解⎰⎰⎰++-=+-=-dx x x dx x x x dx)4141(81)4)(4(11622224C xx x ++-+=)2arctan 21|22|ln 41(81C x x x ++-+=2arctan 161|22|ln 321. 26.dx x x⎰+sin 1sin ;解 ⎰⎰⎰-=--=+dx xxx dx x x x dx x x 222cos sin sin sin 1)sin 1(sin sin 1sinC x x x dx x x x++-=+-=⎰tan sec )cos 11cos sin (22.27. dx xxx ⎰++cos 1sin ;解⎰⎰⎰⎰+=+=++dx x xdx x x dx x x x dx x x x 2cossin 212cos 212cos 2sin cos 1sin 222 ⎰⎰+=dx xx xd 2tan 2tanC xx dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan .28. ⎰-dx x x x x e x23sin cos sin cos ;解 ⎰⎰⎰⋅⋅-⋅⋅=-xdx x e xdx e x dx xx x x ex x xsec tan cos cos sin cos sin sin 23sin⎰⎰-=x d e x d xe x x sec sin sin sin ⎰⎰+⋅-=x x x xde e x xde sin sin sin sec sec⎰⎰⋅⋅+⋅--=xdx e x e x dx e xe x x x x cos sec sec sin sin sin sin C e x xe x x +⋅-=sin sin sec .29.⎰+dx x x x x)(33;解dt t t dt t t t t t t x dx x x x x)111(66)()(52362633+-=⋅+=+⎰⎰⎰令C x x C t t ++=++=66)1(ln 1ln6. 30.⎰+2)1(x e dx;解⎰⎰⎰---=-⋅=++dt t t t dt t tt e e dxx x )1111(1111)1(222令 C tt t ++--=1ln )1ln(C ee x xx ++++-=11)1ln(.31. ⎰+-+dx e e e e x x xx 1243;解)()(1111222243x xx x x x xx x x x x e ed e e dx e e e e dx e e e e ------+=+-+=+-+⎰⎰⎰C e e x x +-=-)arctan( C x +=)sh 2arctan(. 32.⎰+dx e xe xx 2)1(;解⎰⎰⎰+-=++=+11)1()1()1(22x x x x xe xd e d e x dx e xe⎰⎰+++-=+++-=x x x x x x de e e e x dx e e x )1(11111⎰+-++-=x xxxde e ee x )111(1 C e e e xx x x ++-++-=)1ln(ln 1C e e xe x x x++-+=)1ln(1.33. ⎰++dx x x )1(ln 22;解 dx x x x x x x dx x x ])1([ln )1(ln )1(ln 222222'++⋅-++=++⎰⎰ ⎰+⋅++-++=dx xx x x x x x 22221)1ln(2)1(ln⎰+++-++=22221)1ln(2)1(ln x d x x x x x⎰'++⋅+++++-++=dx x x x x x x x x x ])1[ln(12)1ln(12)1(ln 222222 ⎰++++-++=dx x x x x x x 2)1ln(12)1(ln 2222 C x x x x x x x +++++-++=2)1ln(12)1(ln 2222.34.⎰+dx x x2/32)1(ln ;解因为⎰⎰⎰++=+==⋅=+C xx C t tdt tdt t t x dx x 2232/321sin cos sec sec 1tan )1(1令,所以⎰⎰⎰⋅+-+=+=+dx x x xx x x x x xd dx x x111ln )1(ln )1(ln 2222/32 C x x x x x +++-+=)1ln(1ln 22.35. ⎰-xdx x arcsin 12;解⎰⎰⎰+=⋅=-dt t t t tdt t t x xdx x )2cos (21cos sin arcsin 122令⎰⎰-+=+=tdt t t t t t t 2sin 412sin 41412sin 414122C t t t t +++=2cos 812sin 41412122241arcsin 121)(arcsin 41C x x x x x +--+=.36.⎰-dx xx x 231arccos ;解⎰⎰⎰--=-⋅=-2222231arccos 1arccos 1arccos x xd x dx x x x x dx x x x⎰'⋅-+--=dx x x x x x x )arccos (1arccos 12222 ⎰-⋅-⋅-+--=dx xx x x x x x x )11arccos 2(1arccos 122222⎰⎰-⋅-+--=dx x xdx x x x x x 2222arccos 12arccos 1⎰-----=32322)1(arccos 3231arccos 1x xd x x x x⎰-------=dx x x x x x x x )1(32arccos )1(3231arccos 1232322。

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